UNAM
FACULTAD DE INGENIERÍA
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL A
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
SEMESTRE 93-2
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA
27 de mayo de 1993
ESTÁTICA
Duración: 60 minutos
Grupo 6
Problema 1 (50 puntos)
Determina el ángulo θ de la fuerza de 500 N de tal manera que cuando la fuerza se descomponga en dos componentes actuando a lo largo de las barras AB y BC, la fuerza componente a lo largo de AB sea de 300 N, dirigida de B hacia A. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza componente actuando a lo largo de BC?
A las fuerzas componentes que actúan a lo largo de las barras AB y BC se les denominará respectivamente F A y FC . Con base en la ley de los senos, y los datos del problema: sen(θ − 30º ) 300
=
sen 75º 500
de donde: sen(θ − 30º ) =
300 sen75º
500 θ − 30º = ang sen (0.5796 ) θ
= 35.42º +30º
θ
= 65.42º
Ya que la suma de ángulos interiores de todo triángulo es 180º: α + θ − 30º +75º = 180º
y por tanto: = 135º −65.42º α = 69.58 º α
Resolución escalar
Con base en el principio de Stevinus, se puede construir el siguiente triángulo: triáng ulo:
Y nuevamente empleando la ley de los senos, se obtiene: F C senα F C =
=
500 sen 75º
500 sen 69.58 º sen 75º
y por tanto: F C = 485.1 N
Resolución vectorial F C = −
La fuerza F puede ser representada por el vector: F = (− F cos θ , F senθ )
2
2
⎛ − 155.3 ⎞ ± ⎜ ⎟ − (− 160000 ) 2 ⎝ ⎠
F C = 77 .65 ± 166029 F C = 77 .65 ± 407 .5
y las fuerzas componentes por los vectores:
de las cuales se escoge la positiva, por tanto:
F A = (F A sen45º , F A cos 45º )
F C = 485.1 N
F C = (− F C sen60º , F C cos 60º )
Observe que los ángulos están definidos en este caso con respecto a la vertical.
Para obtener θ, se sustituye el valor de F C, por facilidad, en la segunda ecuación escalar: 500 senθ = 212.1 + 0.5(485.1)
Dado que: F = F A + F C
θ
al sustituir los valores conocidos la ecuación vectorial queda:
(− 500 cos θ , 500 senθ ) = (300 sen45º , 300 cos 45º ) + (− F C sen60º , F C cos 60º )
− 500 cos θ = 212.1 − 0.8660 F C 500 senθ = 212.1 + 0.5 F C
θ
= 65.42º
Como se puede observar, para la resolución de este problema es más sencillo el planteamiento escalar. Problema 2 (50 puntos)
de las que se despejan el seno y el coseno: 2
⎛ 454.7 ⎞ = ang sen⎜ ⎟ ⎝ 500 ⎠
de donde: θ
de la cual se establecen las siguientes dos ecuaciones escalares:
250000 cos
− 155.3
= (212.1 − 0.8660 F C )
2
250000 sen 2θ = (212.1 + 0.5 F C )
2
Determina la ordenada yP del punto P, tal que los momentos de las fuerzas mostradas con respecto a dicho punto, sean de igual magnitud y de sentido contrario, si se sabe que 1 < yP < 3.
luego de sumar miembro a miembro:
(
)
250000 cos 2 θ + sen 2θ = 45000 − 367 .4 F C
+ 0.75 F C 2 + 45000 + 212.1F C + 0.25 F C 2
dado que cos 2 θ + sen 2θ = 1 : 250000 = 90000 − 155.3 F C + F C 2
por tanto: F C 2 − 155.3 F C − 160000 = 0
cuyas raíces son: 2
La fuerza de 600 lb puede ser representada por el vector:
M P 1 = (0 , 0 , 900 − 720 + 720 y P ) F
y dado que M PF = − M PF : 1
⎛ 4 3 ⎞ F 1 = 600 ⎜ , ⎟ ⎝ 5 5 ⎠
2
− 2880 + 480 y P = −180 − 720 y P
de donde
es decir:
1200 y P = 2700
F 1 = (480 , 360 ) lb
De forma similar, la fuerza de 780 lb puede representarse por medio del vector:
por tanto: y P = 2.25
ft
5 ⎞ ⎛ 12 , − ⎟ ⎝ 13 13 ⎠ F 2 = (720 , − 300 ) lb F 2 = 780 ⎜
Asimismo, los segmentos dirigidos PA y PB quedan representados por los vectores: r 1 = (1 − 5 , 3 − y P )
ft
r 2 = (2 − 5 , 1 − y P )
ft
y
Entonces, es posible calcular los momentos que producen ambas fuerzas con respecto al punto P: M P 1 = r 1 × F 1 F
y M P 2 = r 2 × F 2 F
Se calculan los momentos por medio del producto cruz de vectores: i M P 1 = − 4 F
480
j
k
3 − y P
0
360
0
M P 1 = (0 , 0 , − 1440 − 1440 + 480 y P ) F
y de forma similar: i
j
k
M P 2 = − 3
1 − y P
0
720
− 300
0
F
3
