Breve resumen del famoso Libro de mercadotecniaDescripción completa
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βιωματικες ασκησεις
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GUIA DE EJERCICIOS
4
GUIA DE EJERCICIOS
PRACTICA 1
1 2
Deducir el procedimiento por el cual una ecuación de Riccati se transforma en una ecuación lineal.
2
Anote un ejemplo de una ecuación diferencial de cuarto grado y tercer orden.
3
Halle la ecuación diferencial que tiene por solución: y =
4
Si una familia de curvas en coordenadas polares se da por F ( r , θ ) = C anote la condición que se necesita para hallar las trayectorias ortogonales de esta familia
5
6
(
)
4 4 Resolver la ecuación diferencial: 3dx = x tan y − x cos y dy
Resolver la ecuación diferencial: conoce µ = µ ( x + y )
7
C + 3x 2 x4
( x + 2xy − y ) dx − ( x − 2xy − y ) dy = 0 2
2
2
2
si se
Determinar una expresión para φ ( x ) en la ecuación: φ ( x ) = e 4 x + ∫ e x −tφ ( t ) dt x
0
8 La recta normal en un punto P(x,y) de una curva corta al eje X en M y al eje Y en N. Hallar la ecuación de la curva que pasa por Q(1,5) si se conoce que el segmento PM se divide en la mitad por N.
147
GUIA DE EJERCICIOS
PRACTICA 2 1
Anote un ejemplo de una ecuación de bernoulli y explique como resolverla
2
Anote por lo menos una solución particular de la ecuación de Ricatti: y '+ xy 2 − 2 x 2 y + x 3 = x + 1
3
Explique qué tipo de soluciones se generan al resolver una ecuación de Clairaut
4
Determinar el valor de “n” para que la ecuación x 2 + y 2
(
) ( xy dx − x ydy ) = 0 n
2
2
sea exacta; luego resolverla.
5
En la ecuación diferencial:
( 2 y cos x − x f ( y ) sin x ) dx + 2 x cos xdy = 0
determinar f ( y ) de modo que la ecuación admita un factor integrante del tipo µ ( x , y ) = x f ( y ) , f ( 0 ) = 0 ; luego resolverla. x 3 + 2 xy 2 − x x2 y + y3 + y
6
Resolver la ecuación diferencial y ' =
7
Conocida la familia de curvas x 2 + y 2 = Cy hallar otra familia g ( x , y ) = k de modo que en sus intersecciones las respectivas rectas tangentes formen un π ángulo de 3
PRACTICA 3
148
1
Anote el teorema de existencia y unicidad de soluciones para una ecuación diferencial de primer orden
2
Anote un ejemplo de una ecuación de Ricatti y luego explique brevemente el método que debe seguirse para hallar la solución de este problema
GUIA DE EJERCICIOS
3
Deducir con claridad el procedimiento por el cual una ecuación de Lagrange se transforma en una ecuación lineal de primer orden
4
Resolver la ecuación diferencial: 3v 2 ( t + 2 ) dv + ( 8v3 − 3 + 4tv3 ) dt = 0 ; v ( 0 ) = 3
5
Resolver la ecuación diferencial:
6
3 3 2 4 Resolver la ecuación diferencial: x y − 2 y dx + xy − x = 0 si se conoce que
2
dy = tan ( x + y − 4 ) ; y ( 0 ) = 4 dx
(
(
m n el factor integrante es del tipo µ = µ x y
7
)
)
(
)
Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y =
2C C − x3
PRACTICA 4
1
Deducir el procedimiento por el cual una ecuación de Lagrange se transforma en una ecuación lineal.
2
Anote un ejemplo de una ecuación diferencial de orden 3 y grado 4.
3
Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y = Ax 2 + cot 2 x − x
4
Explique cómo se construyen las trayectorias ortogonales de una familia de curvas en coordenadas polares f ( r , θ ) = C
5
Resolver la ecuación diferencial:
sin 2 y sin y cot x dx = 1 − − cos 2 sin x sin x
y dy ;
149
GUIA DE EJERCICIOS
6
Hallar la solución completa de la ecuación diferencial: x ; 0 ≤ x <1 1 + x2 y′ + 2 xy = f ( x ) , y ( 0 ) = 0 , f ( x) = x ≥1 − x ;
(
7
)
(
)
(
)
2 2 2 2 Resolver la ecuación diferencial: x + 2xy − y dx + y + 2xy − x dy = 0 si se
8 Hallar la curva que pasa por el punto M(5,3) para la cual la recta normal en un punto P y el segmento que une el origen con P formen un triangulo isósceles que tiene el eje Y como base.
PRACTICA 5 1
(
)
(
)
5 4 3 La ecuación diferencial g ( y ) x − x dy + 2 yx − 2 y dx = 0 admite un factor
integrante de la forma µ ( x ) . Determinar g ( y ) , luego resolverla.
(x+ y
) (
)
x2 + y2 dy + x x2 + y2 − y dx = 0
2
Resolver:
3
Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias con centro en C(h,0) y es tangente a la recta x = 1
4
Resolver
( xy + 2xy ln
2
x + x ln x) dy + ( 2y2 ln x + y) dx = 0
5 Determinar la forma del espejo. Si los rayos que parten de un punto dado al reflejarse son paralelos al eje Y.
PRACTICA 6 1
150
Resolver la ecuación diferencial y ′ =
3x5 + 3x 2 y 2 − 6 x 2 2 x3 y − 2 y3
GUIA DE EJERCICIOS
2
Determinar f ( x ) y resolver la ecuación diferencial y′ + y 2 sin x =
2sin x , si la cos 2 x
solución particular es de la forma y = f ( x ) sec x con la condición f ( 0 ) = 1
3
y y x x dx − 2 + dy = 0 − 2 2 2 2 x +y x + y 2
Resolver
4 Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que establece que por un punto P de la curva se traza la recta tangente y la recta normal de modo que la primera corta al eje Y en el punto A, la segunda corta el eje X en el punto B, con la condición que OA=OB, donde O es el origen de coordenadas.
5 Determinar la curva que está en el primer cuadrante con la propiedad: El área bajo la curva y sobre el eje X, desde el origen al punto P(x,y) es un tercio del área del rectángulo que tiene al origen y P como vértices.
PRACTICA 7 1
Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y = x 3 + Mx 2 + Nx
2
Explique brevemente el proceso que debe seguirse para resolver una ecuación diferencial: a) de Bernoulli b) de Ricatti c) de Clairaut
3
Resolver:
4
(y
2
1 3 3y 2 + 1) x 2 dx = ye 2 + (1 − y ) x 2 dy ;
(
)
y (1) = 0
(
)
2 2 Resolver la ecuación diferencial: 6x − 4xy − 2y dx + x + 4x − y dy = 0 si se
conoce µ = µ ( x + y ) 2
5
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: 2x2 + y2 = Cy
151
GUIA DE EJERCICIOS
6 Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje X por la normal, es igual al doble del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas
PRACTICA 8 1
Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y = Ax 4 + Bx − 4 + 4 x 3 + e 2 x
2
Resolver la ecuación diferencial:
3
(x
(
5
+ x tan y ) dy − 4 sin ydx = 0
)
(
)
2 2 Resolver la ecuación diferencial: 6x − 4xy − 2y dx + x + 4x − y dy = 0 si se
conoce µ = µ ( x + y ) 2
4
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que son tangentes al eje Y en el punto Q(0,3).
5 La recta normal en un punto P(x,y) de una curva corta al eje X en M y al eje Y en N. Hallar la ecuación de la curva que pasa por Q(2,5) si se conoce que el segmento PM se divide en dos partes iguales por N.
