Tema
P Quinto grado de secundaria 1.
A) C) 2.
f ( x; x; y y)) con ( x; x; y y)) ∈ S tiene más de una soSi máx máx f
En una urna hay 5 bolillas; 3 azules y 2 rojas. Se saca una bolilla de la urna y, sin mirarla, se guarda. A continuación, se vuelve a sacar otra bolilla y esta resultó roja. ¿Cuál es la probabilidad pro babilidad de que la primera haya sido azul? 1
B)
2
3
D)
4
lución óptima, entonces el valor de máx f f ( x; y) es m+n A) 1.
1 4
C)
2 5
5.
Se les preguntó a 10 personas cuántas veces acudían al dentista durante un año, y los resultados obtenidos fueron 2; 1; 3; 1; 2; 4; 2; 1; 1; 3. Determine la varianza de los datos obtenidos.
5 2
B) 2. 7
.
D) . 2
Sea f : R → R+ una función tal que Sea f f ( x) x) = e x – 1. Esboce la gráfica de la función función g g defi defi–1 nida por g por g ( x) x) = f ( x x +1). A)
B)
Y
1
A) 1,5 C) 0,8
B) 1,3 D) 1 C)
3.
D)
Y
1
Calcule el valor de m. A)
41
B)
15
C) 7
15 41
D) 5
Sea S un polígono convexo cuyos vértices son
(1; 1), 3;
1
5 , 2; , (4; 3) , (5; 2) , y 2 2
f ( x; x; y y)) = mx + ny ny,, m; n ∈
+ R .
X
Y 1
2 x + y − z = 2 x − y + 2 z = m x + 3 y − 2z = −1
4.
X
El sistema lineal de orden tres
S = ( x x0; y0; 3). tiene conjunto solución solución S
Y
6.
X
X
De las siguientes proposiciones, indique el valor de verdad. I. Dos rectas perpendiculares a una tercera necesariamente son paralelas. II. La intersección de dos planos es necesariamente una recta. III. Si dos circunferencias solo tienen un punto en común, entonces necesariamente son tangentes. A) FFF C) FVV
B) VVV D) FVF
Prueba eliminatoria - Quinto grado de secundaria
7.
En el laboratorio de la UCH, existe un prisma cuadrangular regular ABCD- EFGH . Si P y Q son puntos medios de AB y AD, respectivamente, además AE = FH , calcule la medida del ángulo diedro que forma el plano determinado por P ; Q y G con el plano EFGH . A) 45º C) 74º
T
B) 53º D) 60º
Se construye un tetraedro con cuatro piezas triangulares de vidrio. Si estos triángulos son equiláteros y el tetraedro obtenido tiene altura 2, calcule el volumen de dicho tetraedro. A) 1 C) 2
C
A
B
O
A) 8.
D
C)
1
B)
2
3
D)
4
2 3 4 3
12. En el gráfico, AB = 6 y la tangente del ángulo
B) 3 D) 3
ACB es igual a – 3. Calcule CH . C
9.
Sea P un punto del plano que contiene a la base de un cono de revolución, desde el cual se traza PT una recta tangente a la superficie cónica (T punto de tangencia). Si T es punto medio de la generatriz que la contiene, la menor distancia de P a la circunferencia que limita la base es 2 y PT = 5, calcule la altura del cono sabiendo que el área de la superficie lateral es el doble del área de la base. A) 3 C) 3 3
B)
2
D)
6
45º
A
H
A) 2 C) 4
B) 3 D) 5
13. Al simplificar la expresión 3
3
sen x − cos x
10. Calcule el volumen de una esfera que es tangente
a todas las aristas de un hexaedro regular (cubo) cuya longitud de su arista es 2.
A)
C)
2π 3 8π 3
B)
D)
B
cos x − sen x
+
sen x cos x,
se obtiene B)
C) 1.
D) .
−
2
4π 3
2
14. ¿Cuántos valores enteros adopta la expresión 3sen
11. Se muestra una circunferencia con centro O,
cuyo diámetro es igual a la longitud del lado del cuadrado ABCD. Calcule la tangente del ángulo COB. Considere al punto T de tangencia.
.
1
32π 3
1
A) –1.
2
x +
1 2
sen 2 x ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Concurso Nacional de Matemática - UCH
sen 3 x + cos 3 x
15. Si f ( x ) = sen x +
18. En un triángulo ABC , se cumple la relación
,
1 + 2sen2 x
2tan B + tanC = tan2 B × tanC Calcule el valor de
5π . 6
calcule el valor de f
tan B
+ 2
cot
A)
−
1
B)
2 1
C
.
2
3 2
B) 3
3
D)
2
tan A
−
A) 2 C)
2014
2
C)
1
D)
2
3 2
16. Halle el equivalente de 4 cos
2
π
tan
−
24
A) C)
2 tan
5π 12
19. El área de la región triangular ABC es 12 u2. Si
.
MB = MC y tana = 8, calcule AC 2 – AB2.
π
B)
12 tan
π
sen
A
12
D) sec
4
π
π
3
α
17. En el triángulo ABC , AB = c; BC = a y AC
=
2a
2
−
4c
2
. Si sen
B
2
a =
−
c
2 a
C
M
, A) 4 C) 8
calcule tan2 B.
B) 6 D) 12
B
A) 2
20. De la ecuación trigonométrica
B
B) 3 C) 4 D) 5 A
C
2cos2 x - 3sen2 x - 3sen x - cos x + 3 = 0, donde x ∈ 〈0; 2p〉, halle el número de soluciones. A) 1 C) 3
B) 2 D) 4
B
