Evaluare Nationala 2014 - Editura CABA

Buburuza

matematician

Gina Caba • Constantin Apostol • Romică Zăbrăuţanu Marinela Canu • Nadia Bărbieru • Marilena Faiciuc Adrian Ciupitu • Florentina Enea • Ana Poştaru Doina Moldoveanu • Costică Lupu • Marinela Georgescu Dana Radu • Marius Farcaş

ediţi e

dig it

ală

MATEMATICĂ Evaluarea naţională 2014 103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a breviar teoretic 12 teste recapitulative cuprinzând materia din clasele V – VII 16 teste pentru aprofundarea materiei din clasele V – VII şi a VIII-a (semestrul I) 70 teste pentru recapitulare finală variante de probe scrise date la examene în perioada 2010 – 2013 răspunsuri, rezolvări, bareme ditura

Caba

MATEMATICĂ pentru Evaluarea Naţională 2014

Buburuza

matematician

Gina Caba • Constantin Apostol • Romică Zăbrăuţanu Marinela Canu • Nadia Bărbieru • Marilena Faiciuc Adrian Ciupitu • Florentina Enea • Ana Poştaru Doina Moldoveanu • Costică Lupu • Marinela Georgescu Dana Radu • Marius Farcaş

ediţi e

dig it

ală

MATEMATICĂ Evaluarea naţională 2014 103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a breviar teoretic 12 teste recapitulative cuprinzând materia din clasele V – VII 16 teste pentru aprofundarea materiei din clasele V – VII şi a VIII-a (semestrul I) 70 teste pentru recapitulare finală variante de probe scrise date la examene în perioada 2010 – 2013 răspunsuri, rezolvări, bareme ditura

Caba

© Copyright 2014, 2013, 2012, 2011, 2010 Editura CABA Toate drepturile sunt rezervate. Nicio parte din aceastã carte nu poate fi reprodusã sau transmisã în orice formã sau prin orice mijloace fãrã acordul prealabil scris al Editurii CABA.

Tehnoredactare: Cãtãlin Georgescu Oana Georgescu, Cristian Stănescu Copertã: Alina Păun Colecþia Didactica Seria Examene e-Evaluare Naţională 2014

e-00017

Publicat: ianuarie 2014

Informaţii şi comenzi: Editura CABA Telefon/fax: Telefon fix: Telefon mobil:

021/327.32.44 031/431.11.18 0723.563.570 0747.048.670

e-mail: site internet: adresă poştală:

[email protected] www.edituracaba.ro OP 39-CP D4, sector 2, cod 021711 Bucureşti

Cuprins PROGRAMA pentru disciplina matematică - Evaluare Naţională pentru elevii clasei a VIII-a, anul şcolar 2013-2014 ............................

6

CALENDARUL de desfăşurare a Evaluării Naţionale 2014 .................10 BREVIAR TEORETIC...........................................................................11

Secţiunea 1

Recapitularea materiei din

clasele V-VII ................................................54

Testele 1-12 (enunţuri) ............................... 54

Secţiunea 2

Recapitularea materiei din

clasele V-VII şi a VIII-a semestrul I ........... 71

Testele 13-28 (enunţuri) ............................ 71

Secţiunea 3 Recapitulare finală .................................... 94

Secţiunea 4

Testele 29-98 (enunţuri) ............................ 94

Variante de probe scrise date la examene în perioada 2010 –2013.........179

Testele 99-103 (enunţuri) ......................... 179

Răspunsuri, rezolvări, bareme ...................................... 188

Secţiunea 1 ................................................ 188

Secţiunea 2 ................................................ 205

Secţiunea 3 ................................................ 225

Secţiunea 4 ................................................ 297

PROGRAMA pentru disciplina matematică - Evaluare Naţională pentru elevii clasei a VIII-a, anul şcolar 2013-2014 I. STATUTUL DISCIPLINEI Pentru anul şcolar 2013/2014, în cadrul Evaluării Naţionale pentru elevii clasei a VIII-a, matematica are statut de disciplină obligatorie. Testul la matematică este o probă scrisă cu durata de 2 ore.

II. COMPETENŢE DE EVALUAT 1. 2. 3. 4. 5.

Utilizarea noţiunii de număr real şi a relaţiilor dintre mulţimile de numere studiate Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu numere reale Aplicarea operaţiilor cu numere reale în calcule variate Analizarea unor situaţii practice cu ajutorul rapoartelor, procentelor, proporţiilor Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii, rezolvarea acestora şi interpretarea rezultatului obţinut 6. Aplicarea în rezolvarea problemelor a elementelor de logică şi de teoria mulţimilor 7. Utilizarea elementelor de calcul algebric 8. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin dependenţe funcţionale sau calculul probabilităţilor 9. Aplicarea teoriei specifice funcţiei de forma f :  →  , f(x) = ax + b, a, b є  10. Utilizarea proprietăţilor figurilor geometrice şi a corpurilor geometrice în probleme de demonstraţie si de calcul 11. Reprezentarea, prin desen, a unor figuri geometrice şi a unor corpuri geometrice utilizând instrumente geometrice 12. Transpunerea în limbaj matematic a enunţului unei situaţii-problemă 13. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unei probleme practice cu referire la figurile geometrice şi la unităţile de măsură 14. Investigarea valorii de adevăr a unor enunţuri şi construirea unor generalizări 15. Redactarea coerentă şi completă a soluţiei unei probleme

III. CONŢINUTURI

ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ Mulţimi Mulţimi: relaţii (apartenenţă, egalitate, incluziune); submulţime; operaţii cu mulţimi (reuniunea, intersecţia, diferenţa, produsul cartezian). Mulţimi finite, mulţimi infinite. Mulţimile: , , , ,  \ , ⊂  ⊂  ⊂  Scrierea numerelor naturale în baza zece. Propoziţii adevărate şi propoziţii false.

6

Împărţirea cu rest a numerelor naturale. Divizibilitatea în  : definiţie, divizor, multiplu; proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate; criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3; numere prime şi numere compuse; numere pare şi numere impare; numere prime între ele; descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime; cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun. Divizibilitatea în  : definiţie, divizor, multiplu. Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare; reprezentări echivalente ale fracţiilor; fracţii ireductibile. Scrierea unui număr raţional sub formă de fracţie ordinară sau fracţie zecimală. Reprezentarea pe axă a numerelor reale. Compararea şi ordonarea numerelor reale Valoarea absolută (modulul), partea întreaga şi partea fracţionară a unui număr real. Opusul şi inversul unui număr real. Rotunjirea şi aproximarea unui număr real. Intervale în  : definiţie, repezentare pe axă. Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect; algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural; scrierea unui număr real pozitiv ca radical din pătratul său. Reguli de calcul cu radicali. Introducerea factorilor sub radical. Scoaterea factorilor de sub radical. Raţionalizarea numitorului de forma a b , a ± b , cu a є Z*, b є Z. Operaţii cu numere reale: adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, ridicarea la putere cu exponent număr întreg. Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor. Factorul comun. Media aritmetică şi media aritmetică ponderată a unor numere raţionale pozitive. Media geometrică a două numere reale pozitive. Rapoarte şi proporţii: raport; proprietatea fundamentală a propoţiilor; proporţii derivate; aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie; mărimi direct proporţionale şi mărimi invers proporţionale; regula de trei simplă. Procente: p% dintr-un număr real; aflarea unui număr raţional când cunoaştem p% din el; aflarea raportului procentual. Rezolvarea problemelor în care intervin procente. Calculul probabilităţii de realizare a unui eveniment.

Calcul algebric

Calcul cu numere reprezentate prin litere: adunare, scadere, înmulţire, împarţire, ridicarea la putere cu exponent număr întreg. 2 Formulele de calcul prescurtat: (a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2

(a + b )(a − b ) = a 2 − b2 (a + b + c )2 = a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Descompunerea în factori: metoda factorului comun; utilizarea formulelor de calcul prescurtat; gruparea termenilor şi metode combinate. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Simplificare. Operaţii cu rapoarte (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent număr întreg).

7

Funcţii Noţiunea de funcţie. Funcţii definite pe mulţimi finite exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule; graficul unei funcţii, reprezentarea geometrică a graficului. Funcţii de tipul f : A → , f(x) = ax + b, a, b є , unde A =  sau o mulţime finită; reprezentarea geometrică a graficului funcţiei f ; interpretare geometrică.

Ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii

Rezolvarea în  a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a є *, b є . Ecuaţii echivalente. Rezolvarea în  x  a sistemelor de ecuaţii de forma: a1x + b1 y = c1 , a1, a2 , b1, b2 , c1, c2 ∈   a2 x + b2 y = c2

Rezolvarea în  a inecuaţiilor de forma ax + b ≤ 0, (<, ≥, >), unde a є *, b є . Probleme cu caracter aplicativ care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi al sistemelor de ecuaţii. Utilizarea metodelor aritmetică sau algebrică pentru rezolvarea unor probleme.

GEOMETRIE Figuri şi corpuri geometrice 1. Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul • poziţii relative, clasificare; convenţii de desen şi de notaţii • paralelism şi perpendicularitate în plan şi în spaţiu: axioma paralelelor, unghiuri cu laturile respectiv paralele; unghiul a două drepte în spaţiu; drepte perpendiculare; dreapta perpendiculară pe un plan; • distanţa de la un punct la un plan; plane paralele; distanţa dintre două plane paralele; • teorema celor trei perpendiculare; distanţa de la un punct la o dreaptă; • proiecţia ortogonală a unui punct, segment sau a unei drepte pe un plan; • unghiul unei drepte cu un plan; lungimea proiecţiei unui segment; • unghiul dietru; unghiul plan corespunzător unui unghi dietru; măsura unghiului a două plane; plane perpendiculare; • simetria faţă de un punct în plan; simetria faţă de o dreaptă în plan. • calculul unor distanţe şi măsuri de unghiuri pe feţele sau în interiorul corpurilor studiate. 2. Triunghiul • perimetrul şi aria; • suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; • unghi exterior unui triunghi; • linii importante în triunghi şi concurenţa lor; • linia mijlocie în triunghi; • triunghiul isoscel si triunghiul echilateral - proprietăţi; 8

• •

criteriile de congruenţă a triunghiurilor; triunghiul dreptunghic-teorema înălţimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora şi reciproca ei; sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta; rezolvarea triunghiului dreptunghic; • teorema lui Thales şi reciproca ei; • teorema fundamentală a asemănării • triunghiuri asemenea – criteriile de asemănare a triunghiurilor. 3. Patrulaterul convex • perimetrul şi aria (paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul, trapezul); • suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex; • paralelogramul – proprietăţi referitoare la laturi, unghiuri, diagonale; • paralelograme particulare (dreptunghi, romb, pătrat) – proprietăţi; • trapezul; linia mijlocie în trapez; • trapeze particulare (isoscel şi dreptunghic) – proprietăţi. 4. Cercul • centru, rază, diametru, disc; • unghi la centru; • coarde şi arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente şi reciproc; proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă; proprietatea arcelor cuprinse între două coarde paralele; proprietatea coardelor egal depărtate de centru); • unghi înscris în cerc; măsura unghiului înscris în cerc; • lungimea cercului; aria discului; • calculul elementelor (latură, apotemă, perimetru, arie) în poligoane regulate; triunghi echilateral; pătrat. 5. Corpuri geometrice • Paralelipipedul dreptunghic, cubul: prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral, pătrat sau dreptunghi; piramida triunghiulară regulată, tetraedrul regulat, piramida patrulateră regulată. • reprezentarea lor prin desen; convenţii de desen şi de notaţii; • descrierea elementelor lor (vârfuri, muchii, feţe laterale, baze, diagonale, înălţimi); • desfăşurări; • aria laterală, aria totală, volumul. NOTĂ:

Programa pentru Evaluarea Naţională 2014 la disciplina matematică este realizată în conformitate cu prevederile programelor şcolare în vigoare. Subiectele pentru evaluarea naţională din anul 2014 se vor elabora în baza prezentei programe.

9

Anexa la O.M.E.C.T.S. nr. 5606 /31.08.2012 privind organizarea şi desfăşurarea Evaluării Naţionale pentru elevii clasei a VIII-a, în anul şcolar 2013 — 2014

CALENDARUL DE DESFĂŞURARE A EVALUĂRII NAŢIONALE PENTRU ELEVII CLASEI A VIII-A, ÎN ANUL ŞCOLAR 2013 — 2014

13 iunie 2014 16-18 iunie 2014 23 iunie 2014 24 iunie 2014 25 iunie 2014 27 iunie 2014 27 iunie 2014 28 iunie-30 iunie 2014 1 iulie 2014

10

Încheierea cursurilor pentru clasa a VIII-a Înscrierea la Evaluarea Naţională Limba şi literatura română - probă scrisă Limba şi literatura maternă - probă scrisă Matematica - probă scrisă Afişarea rezultatelor (până la ora 1600) Depunerea contestaţiilor (orele 1600 – 2000) Rezolvarea contestaţiilor Afişarea rezultatelor finale după contestaţii

BREVIAR TEORETIC ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ MULŢIMI Relaţii între mulţimi. Mulţimi finite. Apartenenţă

Incluziune, submulţime

A 1

2 5 6

7

1

D

2

5 6

B 7

D ⊂ A; D submulþime a lui A B nu este submulþime a lui A

1∈A 7∉A ∅⊂A

A

„∈“ — aparþine; „∉“ — nu aparþine; „⊂“ — inclus Mulþimea vidã ∅ este submulþime a oricãrei mulþimi.  Orice mulþime este inclusã în ea însãºi. Egalitatea a două mulţimi Considerăm mulţimile C şi D. 

C = {6, 5}

D

5

6 5 ∈ D, 6 ∈ D ⇒ C ⊂ D

        

5 ∈ C, 6 ∈ C ⇒ D ⊂ C D=C

Mulþimile D ºi C sunt egale; fiecare este submulþime a celeilalte. Mulþimi finite Exemple: A = {1, 2, 5, 6}, B = mulþimea elevilor din ºcoala voastrã, C = {0, 2, 4, 6, ..., 2012} sunt mulþimi finite. Operaţii cu mulţimi Reuniunea

Intersecţia

A∪B A 1

2

A∩B

B 5 6

7

A ∪ B = {x | x ∈A sau x ∈B}

Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră

A

B

5 7 6 A ∪ B = {x | x ∈A ºi x ∈ B} 1

2

11

Diferenţa

Diferenţa simetrică

A\B A

A∆B

B\A B

A

5 7 6 A \ B = { x | x ∈A ºi x ∉B} B \ A = { x | x ∈B ºi x ∉A} 1

2

1

1

2

5

6

7

A D B = (A \ B) ∪ (B \ A)

B 7 6 5

(1, 7) (2, 7) (5, 7) (6, 7) (1, 6) (2, 6) (5, 6) (6, 6) (1, 5) (2, 5) (5, 5) (6, 5)

5 6

2

Produsul cartezian

A×B

B

A

B×A (5, 6) (5, 5) (5, 2) (5, 1)

(6, 6) (6, 5) (6, 2) (6, 1)

(7, 6) (7, 5) (7, 2) (7, 1)

5

6

7

B

A × B = {(x, y) | x ∈A ºi y ∈B}

A 6 5 2 1

B × A = {(y, x) | y ∈B ºi x ∈ A}

def

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ºi b = d.

Mulţimi infinite: , , , 

12

N = {0, 1, 2, 3, ...}

N* = {1, 2, 3, 4, ...}

mulþimea numerelor naturale Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

mulþimea numerelor naturale nenule Z* = Z \ {0}

mulþimea numerelor întregi

mulþimea numerelor întregi nenule

a * Q =  | a ∈ , b ∈   b 

Q* = Q \ {0}

mulþimea numerelor raţionale

mulþimea numerelor raţionale nenule

I=



{

}

2 , 3 , − 5 , ,...

Toate fracþiile infinite neperiodice sunt

mulţimea numerelor iraţionale

numere raþionale.

R = Q ∪ I

R* = R \ {0}

mulþimea numerelor reale

mulþimea numerelor reale nenule Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

Incluziunile  Ì  Ì  Ì  − 3

R\Q

–4,93 Q\Z Z\N

–

9 5

2

p

1 7

0,(3)

–

R 13 2

Q

7,5

Z N –2014

–3 –2 –1

0 1 2 3 4

2014

Scrierea numerelor naturale în baza 10 În baza 10 se utilizeazã cifrele 0, 1, 2, ..., 9. De exemplu, putem scrie: 48 = 4 · 10 + 8 sau 48 = 4 · 101 + 8 · 100 526 = 5 · 100 + 2 · 10 + 6 sau 2 1 0 526 = 5 · 10 + 2 · 10 + 6 · 10 7 342 = 7 · 1 000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 2 sau 3 2 1 0 7 342 = 7 · 10 + 3 · 10 + 4 · 10 + 2 · 10 În general, în baza 10:  Un numãr de douã cifre se scrie: ab = a · 10 + b, a ≠ 0, a, b ∈{0, 1, 2, ..., 9}.  Un numãr de trei cifre se scrie: abc = a · 100 + b · 10 + c, a ≠ 0, a, b, c ∈{0, 1, 2, ..., 9}.  Un numãr de patru cifre se scrie: abcd = a · 1 000 + b · 100 + c · 10 + d, a ≠ 0, a, b, c, d ∈{0, 1, 2, ..., 9}.   Un numãr de m + 1 cifre se scrie: amam – 1...a1a0 = am · 10m + am – 1 · 10m – 1 + ... + a1 · 10 + a0, unde am, am – 1, am –2, ..., a1, a0 ∈{0, 1, 2, ..., 9}, am ≠ 0, m ∈ N*. Propoziţii adevărate şi propoziţii false O propoziþie matematicã este un enunþ despre care are sens sã spunem cã este adevãrat sau fals, într-un anumit context. Dacã o propoziþie este adevãratã, i se atribuie valoarea de adevãr A; dacã este falsã, i se atribuie valoarea de adevãr F. Exemple:  propoziþia p: „3 + 5 = 8“ este adevãratã (A);  propoziþia q: „3 + 5 > 9“ este falsã (F). Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră

13

Împărţirea cu rest a numerelor naturale  Pentru numere naturale:

 Pentru numere întregi:

Dacã a ∈ N, b ∈N*, atunci existã q ∈N, r ∈N astfel încât a = bq + r, cu 0  r < b.

Dacã a ∈Z, b ∈Z*, atunci existã q ∈Z, r ∈ Z astfel încât a = bq + r, cu 0  r < |b|. Exemplu: a = – 23, b = – 4 – 23 = (– 4) · 6 + 1   cât rest

Exemplu: a = 23, b = 4 23 = 4 · 5 + 3   cât rest

Divizibilitatea în  şi  Definiţii, divizori, multipli:  În N: a divide b def a | b ⇔ existã c ∈N* astfel încât b = a · c.

 În Z: a divide b def a | b ⇔ existã c ∈Z* astfel încât b = a · c.

 a se numeºte divizor al numãrului natural b;  b se numeºte multiplu al numãrului natural a. Exemplu: 2 | 14; 7 | 14.

 a se numeºte divizor al numãrului întreg b;  b se numeºte multiplu al numãrului întreg a. Exemplu: –2 | 14; 7 | (–14).

Definiţie:

Divizori improprii, divizori proprii în  Divizorii –a, –1, 1 a ai unui numãr întreg a se numesc divizori improprii.

Orice alt divizor al lui a ∈ Z se numeºte divizor propriu. Exemple: DN18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} mulþimea divizorilor naturali ai lui 18; DZ18 = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} mulþimea divizorilor întregi ai lui 18. Numerele ±2, ±3, ±6, ±9 sunt divizori proprii în Z ai numãrului 18. 14

Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

Divizor comun, multiplu comun, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. Fie a, b, d ∈N*, m ∈N.  d se numeºte divizor comun dacã d | a ºi d | b.  m se numeºte multiplu comun dacã a | m ºi b | m.  Cel mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.d.c. ºi se noteazã (a, b).  Cel mai mic dintre multiplii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.m.c. ºi se noteazã [a, b]. Reþineþi! (a, b) · [a, b] = a · b. N N Exemple: D12 = {1, 2, 3, 6, 12}, D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} c.m.m.d.c.(12, 18) = 6; N N M12 = {0, 12, 24, 36, ...}, M18 = {0, 18, 36, ...} c.m.m.m.c.[12, 18] = 36; Verificare: (12, 18) · [12, 18] = 12 · 18.

Definiţii:

Numere pare, numere impare {x | x = 2n, n ∈ Z} = {..., –2, 0, 2, 4, ...} mulþimea numerelor pare. {x | x = 2n + 1, n ∈ Z} = {..., –1, 1, 3, ...} mulþimea numerelor impare. Numere prime, numere compuse def

p  2, p ∈N, p numãr prim ⇔ D Zp = {–p, –1, 1, p}. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Numerele întregi care au divizori proprii se numesc numere compuse. Exemple: 4, 6, 8, 9, 15, 18, 20, 21 ...

Definiţie:

Numere prime între ele Douã numere a, b ∈N* pentru care (a, b) = 1 se numesc prime între ele. Exemple: (2, 3) = 1; (3, 5) = 1; (5, 9) = 1. Descompunerea unui numãr în produs de puteri de numere prime Exemple: 18 2 18 = 2 · 32 12 2 12 = 22 · 3 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1 Observăm că: C.m.m.d.c. (12, 18) = 2 · 3 = 6; c.m.m.m.c. [12, 18] = 22 · 32 = 36.

|

|


15

Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N *

1.

a | a , ∀a ∈N .

2.

1 | a , ∀a ∈N.

3.

a | 0 , ∀a ∈N .

4.

a|b * ⇒ a = b, ∀a, b ∈N . b|a

5.

a|b * ⇒ a | c, ∀a, b ∈N , c ∈N. b|c

6.

a|x * ⇒ a | x + y, ∀a ∈N , x, y ∈N. a|y

6'.

a|x * ⇒ a | x – y, ∀a ∈N , x  y ∈N. a|y

7.

a | x ⇒ a | xy, a ∈N*, unde x, y ∈N.

8.

a | x ºi b | x * ⇒ ab | x, unde a, b ∈N , x ∈N. (a, b) = 1

*

} } } }

}

Definiţie:

Fracţii O pereche ordonatã de numere întregi de forma

Definiţie:

5 15 −342 29 2 581 . , , , , 4 10 39 −3 100

a O fracþie (b ≠ 0) se numeºte:  subunitarã, dacã a < b; b  echiunitarã, dacã a = b;  supraunitarã, dacã a > b

Definiţie:

Exemple:

a (b ≠ 0) se numeºte fracþie. b

a c a c Douã fracþii ºi se numesc echivalente, ºi scriem = , dacã ad = bc. b d b d

Acestea se obþin amplificând sau simplificând o fracþie datã. 15 3 6 sunt echivalente. Exemplu: , , 10 2 4



2)

Definiţie:

Amplificarea:

(2

Simplificarea:

(5

30 15 3 = = . 20 10 2

O fracþie care nu se mai poate simplifica se numeºte fracþie ireductibilã. Exemple:

16

3 6 = . 2 4

3 5 8 , , . 2 6 7 Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

Definiţie:

Fracþiile care au numitorul o putere a lui 10 (adicã 10, 100, 1 000, 10 000 etc.) se numesc fracþii zecimale finite. Exemple:

543 3 49 37 527 . , , , 10 100 1 000 10 000

Scrierea fracţiilor sub formă zecimală

partea fracþionarã

35 478 579 7 138 = 13,8; = 0,07; = 0,579; = 3,5478 10 000 1 000 100 10 partea întreagã

Transformarea fracţiilor zecimale finite în fracţii ordinare 25 8 34 1 234 567 2,5 = ; 0,34 = ; 0,008 = ; 12,34567 = . 10 1 000 100 100 000 Nu toate fracþiile ordinare se pot transforma în fracþii zecimale finite! 19 19,00000... 150 Exemplu: 150 15 0 0,1266... =4 00 =3 00 1 000 900 = 1000 900 100 Fracþia zecimalã 0,12666... se scrie 0,12(6) ºi se numeºte fracþie zecimalã periodicã cu perioada 6.



|

Fracţii periodice simple 175 48 Exemple: = 58,(3); = 4,(36) etc. 3 11 Fracţii periodice mixte Exemple: 12,34(567) ; partea neperiodicã

partea periodicã

1,2(345); 1,23(45); 1,234(5); 0,32(7) etc.


17

Transformarea unei fracţii periodice simple în fracţie ordinară 15 238 3 0,(3) = ; 0,(15) = ; 0,(238) = ; 99 999 9 2,(6) = 2

6 9

sau 2,(6) =

26 − 2 24 = ; 9 9

21 1 521 − 15 1 506 = sau 15,(21) = ; 99 99 99 34 872 − 34 34 838 872 = 34,(872) = 34 sau 34,(872) = . 999 999 999  Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor. 15,(21) = 15

Transformarea unei fracţii periodice în fracţie ordinară 25 − 2 23 126 − 12 114 = = 0,2(5) = ; 0,12(6) = ; 90 90 900 900 315 − 3 312 346 − 34 312 = 0,3(15) = ; 3,4(6) = ; = 990 990 90 90 51137 − 511 50 626 = 5,11(37) = ; 9 900 9 900 12,3(456) =

123 456 − 123 123 333 = . 9 990 9 990

Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor.



Numere; terminologia specifică; reprezentare pe axă Numere naturale 0

1

2

3

N = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}; N* = {1, 2, 3, ..., n, ...};

Numere întregi –3 –2

–1

0

1

2

3

numere opuse

* Z = {..., –n, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ..., n, ...}; Z = Z \ {0};  – a este opusul numãrului a.

18


Numere raţionale Se numeşte număr raţional mulţimea fracţiilor echivalente cu o fracţie dată. –3

–2

–1

0

1

1 2 a  2 3 −4 Q =  a, b ∈ , b ≠ 0 ; , , b 4 6 −8  

2

3 7 3

reprezintă numărul raţional

          

          

m  * Q = Q \ {0}; Z =  m ∈  , deci Z ⊂ Q. 1   a b  este inversul numãrului raþional (a, b ≠ 0); b a 6 25 2 2 291  numãr raþional sub formã fracþionarã: ; , , , 5 100 3 990  numãr raþional sub formã zecimalã: 1,2; 0,25; 0,(6); 2,3(14). fracþii finite fracþii infinite periodice

Numere iraţionale Toate numerele infinite neperiodice sunt numere iraþionale. Numerele – d , d , unde d nu este pãtrat perfect, sunt numere iraþionale.

– 2

2

1 0

2

1

|x| =

x0 {–x,x, dacã dacã x < 0

se numeºte modulul numãrului real x.

|x|  0, oricare ar fi x ∈R.

Proprietăţi x = [x] + {x}, [x] ∈ Z, 0 {x} < 1 Exemple: [3,27] = 3; {3,27} = 0,27; [–3,27] = –4; {–3,27} = 0,73.


k

x

k+1

{

Definiţie:

Numere reale  Reunind mulþimea numerelor raþionale cu mulþimea numerelor iraþionale obþinem mulþimea numerelor reale.

[x] {x}

partea fracþionarã a numãrului x

partea întreagã a numãrului x

19

Compararea şi ordonarea numerelor reale Dacã a, b ∈N* ºi a < b, atunci



Dacã a, b ∈R+ ºi a < b, atunci:

a b n n < ºi > (n ∈N*). n n a b



 an < bn (n ∈N*);



a < b ;



1 1 < . a b

Dintre douã numere negative este mai mare cel cu valoarea absolutã mai micã: a, b < 0 ºi |a| < |b|, atunci a > b. a b a
Dacã a, b ∈R, atunci are loc una ºi numai una dintre relaþiile: a < b, a = b, a > b.



Intervale în R: definiţii, reprezentări pe axă Fie a, b ∈R ºi a < b. Intervale mãrginite:

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}

[a, b] = {x ∈ R | a  x  b}

[a, b) = {x ∈ R | a  x < b}

a

(a, +∞) = {x ∈R | a < x}

[a, +∞) = {x ∈R | a  x}

(–∞, a) = {x ∈R | x < a} (–∞, a] = {x ∈R | x  a}

x

[

a

x

[

a

(a, b] = {x ∈ R | a < x  b} Intervale nemãrginite:

x

(

x

(

a a [

x

b ]

b )

b ]

+∞ +∞ +∞ +∞

b

(

x

)

a )

a ]

x

+∞

x

+∞ +∞ +∞

a

Proprietăţi ale operaţiilor cu numere reale Adunarea 1. Asociativitatea: (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar fi a, b, c ∈R. 2. Elementul neutru este 0: a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi a ∈R. 3. Opusul oricãrui numãr real a este –a: a + (–a) = (–a) + a = 0. 4. Comutativitatea: a + b = b + a, oricare ar fi a, b ∈R. 20

Înmulţirea 1. Asociativitatea: (a · b) · c = a · (b · c), oricare ar fi a, b, c ∈R. 2. Elementul neutru este 1: a · 1 = 1 · a = a, oricare ar fi a ∈ R. 1 3. Inversul oricãrui numãr real nenul a este : a 1 1 * a · = · a = 1, oricare ar fi a ∈ R . a a 4. Comutativitatea: a · b = b · a, oricare ar fi a, b ∈R.


Ridicarea la putere cu exponent întreg Fie a ∈R, n ∈N*. an = a⋅  a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a , n  2.

Fie a, b ∈R, p, q ∈Z*. ap · aq = ap + q

n factori

a = a; a0 = 1, a ≠ 0 1n = 1; 0n = 0 1 a–n = n , a ≠ 0 a 1, n par (–1)n =  −1, n impar

a p : a q = a p – q, a ≠ 0 (a p)q = a pq

1

(a · b) p = a p · b p (a : b) p = a p : b p, b ≠ 0 −p

p

a b   =   , a, b ≠ 0 b a ... 01 10–n = 0, 00 

...0 10 n =100 

n zerouri

n cifre

Radicali Definiţii:

Fie a ∈Q, a  0. Numãrul a se numeºte pãtrat perfect dacã existã x ∈Q astfel încât a = x2. Fie a ∈Q, a  0. Numãrul a se numeºte rãdãcina pãtratã a numãrului a ( a este numãrul pozitiv al cãrui pãtrat este a).

Proprietãþi: 2 1. a = a, a ∈Q+ .

( )

2. a  0, a ∈Q+ . Reguli de calcul cu radicali a ⋅ b = a ⋅ b , a, b ∈Q+ a b = a 2 b , a, b ∈Q+ x a ⋅ y b = xy ab , a, b ∈Q+ x a ± y a = ( x ± y ) a , a ∈Q+ Raţionalizarea numitorilor b) x x b = ab a b a− b

)

x a+ b

a+ b

)

x a− b

= =

(

x a− b a −b 2

(

x a+ b a −b 2

) )


3.

a nu existã dacã a < 0.

4.

a 2 = |a|, a ∈Q.

a = b

a b

, a, b ∈Q+ , b ≠ 0

a 2 b = a b , a ∈Q, b ∈Q+ x a y b

=

(x a )

n

x a , a, b ∈Q , y b y, b ≠ 0 + = x n a n , a, b ∈Q+

Exemple: 3) 2 2 3 = 3 3 2− 3

)

1 2+ 3

3+ 2

)

5 3− 2

= =

2− 3 = 2− 3 4−3

(

5 3+ 2 9−2

) = 5 (3 + 2 ) 7

21

Medii Fie a, b ∈ R , p, q ∈N . a+b ma = este media aritmeticã 2 pa + qb map = este media aritmeticã ponderatã p+q *

*

mg = ab este media geometricã

Exemple: Fie a = 3 – 5 , b = 3 + 5 .

ma =

mg =

3− 5 +3+ 5 = 3; 2

(3 − 5 ) (3 + 5 ) =

9 − 5 = 2.

Rapoarte şi proporţii a RaportulProprietatea numerelor raþionale a ºi b (b ≠ 0)aeste numãrul . Definiţii. fundamentală proporţiilor b Raportul a douã mãrimi este raportul mãsurilor lor exprimate cu aceeaºi unitate de mãsurã. Numãrul r =

a a se numeºte valoarea raportului . b b

Egalitatea a douã rapoarte

a c = (b, d ≠ 0) se numeºte proporþie. b d

a c = produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: ad = bc. b d Aflarea unui termen necunoscut a c = b d  Într-o proporþie

a=

bc d

b=

ad c

c=

ad b

d=

bc a

Proporţii derivate a−b c−d = b d

a b = c d

d c = b a

a+b c+d = b d

a c = b−a d −c

a c−a = b d −b

a c = b d a a+c = b b+d 22

a c = b+a d +c


Şir de rapoarte egale a c e x a + c + e + ... + x = = = ... = = f y b + d + f + ... + y b d Proporţionalitate directă, proporţionalitate inversă {a, b, c}

direct proporþionale

{a, b, c}

invers proporþionale

a b c = = x y z a b c = = 1 1 1 x y z

{x, y, z}

{x, y, z}

Definiţie:

Procente Fie p ∈Q*+ . Raportul

p se numeºte raport procentual. 100

a p = se numeºte procent. b 100 p Notãm p%. Avem p% din a = · a. Exemplu: 15% din 700 = 105. 100  Aflarea unui numãr când cunoaºtem p% din el: 100 p ·x=a⇒x=a· . Exemplu: 15% din x = 105 ⇒ x = 700. p 100  Aflarea raportului procentual: a ⋅100 p a 3 p = ⇒p= . Exemplu: = ⇒ p = 37,5. b b 100 8 100 Numãrul p din proporþia

Probabilitatea realizării unui eveniment numãrul cazurilor favorabile evenimentului numãrul cazurilor posibile Exemple: 1. Într-o urnã sunt 17 bile albe ºi 13 bile negre. Se extrage o bilã.  Probabilitatea ca bila extrasã sã fie albã este: 17 numãrul bilelor albe = 30 numãrul total al bilelor

p=

(

)

2. Se aruncã douã zaruri. Numãrul cazurilor posibile este 36 (toate perechile (x, y), unde x, y sunt numere naturale de la 1 la 6). 1  Probabilitatea sã aparã dubla 3: (existã 1 caz favorabil: (3, 3)). 36 2 1 ((2; 5) ºi (5; 2)).  Probabilitatea sã aparã 2, respectiv 5: = 36 18 Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră

23

CALCUL ALGEBRIC Reguli de calcul cu numere reale reprezentate prin litere ax + bx + cx = (a + b + c) · x a · (x + y + z) = ax + ay + az (a + b) · (x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz Formule de calcul prescurtat

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a + b)(a – b) = a2 – b2 Descompunerea în factori

Metoda factorului comun: ab + ac = a(b + c) ab – ac + ad = a(b – c + d) Utilizarea formulelor de calcul prescurtat: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) Exemple: 4x 2 + 6xy + 9y 2 = (2x + 3y)2 4x 2 – 6xy + 9y 2 = (2x – 3y)2 4x 2 – 9y2 = (2x – 3y)(2x + 3y) Gruparea termenilor ºi metode combinate:  ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)  ax + ay – bx – by = a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a – b)  a(x2 ± 2xy + y2) = a(x ± y)2  x2 ± 2xy + y2 – a2 = (x ± y)2 – a2 = (x ± y – a)(x ± y + a)  a2 – b2 – c2 + 2bc = a2 – (b2 + c2 – 2bc) = a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) Exemple: 5x2 – 30x + 45 = 5(x2 – 6x + 9) = 5(x – 3)2 ; 4x2 + 4x + 1 – 16y 2 = (2x + 1)2 – 16y2 = (2x + 1 – 4y)(2x + 1 + 4y).

24


Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere

 amplificarea

 simplificarea (c

c)

a ac , b, c ≠ 0 = b bc  adunarea sau scãderea

a c a±c , b ≠ 0 ± = b b b  puterea cu exponent natural n an a   = n , b ≠ 0, n ∈N* b b  puterea cu exponent întreg negativ −n bn a   = n , a, b ≠ 0, n ∈N* b a

a a:c , b, c ≠ 0 = b b:c  înmulþirea a c a⋅c ⋅ = , b, d ≠ 0 b d b⋅d  împãrþirea

a c a d : = ⋅ , b, c, d ≠ 0 b d b c

FUNCŢII

Sistem de axe ortogonale; reprezentarea punctelor în plan y axa ordonatelor ordonata punctului M

y

M(x, y)

axa absciselor x

0

x abscisa punctului M

Oricãrei perechi ordonate (x, y) i se poate asocia un punct M din plan.



Definiţie:

Noţiunea de funcţie Fiind date douã mulþimi nevide, A ºi B, ºi o lege de corespondenþã care face ca fiecãrui element x din A sã-i corespundã un unic element y din B, spunem cã am definit o funcþie pe A cu valori în B ºi scriem f : A → B. Exemplu: 1 1 2 2 3 4 3 5 2 6 domeniul de definiþie

f (x) = x 2

legea de corespondenþã

Im f = {y ∈B | y = f (x), x ∈A} imaginea funcþiei

codomeniul (mulþimea în care funcþia ia valori)


25

Definiţie:

Funcţii de tipul f : A → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈R, A = mulţime finită Fie f : A → B. Prin graficul funcþiei f vom înþelege mulþimea Gf = {(x, f (x)) | x ∈A} ⊂ A × B. y

Deci (a, b) ∈Gf ⇔ f (a) = b ºi a ∈A, b ∈B.  Graficul G al unei funcþii f are tot atâtea elemente câte are ºi domeniul A. f 

D

7 C

5

Exemplu: Fie funcþia numericã f : {0, 1, 2, 3} → R, datã prin f (x) = 2x + 1. Gf = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)} iar reprezentarea sa geometricã este mulþimea punctelor: A, B, C, D.

B

3 1 A

x

1 2 3

0

Funcţii de tipul f : R → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈R Cum domeniul de definiþie este R, atunci Gf este o mulþime infinitã ºi se reprezintã într-un sistem de axe ortogonale printr-o dreaptã. y

y

b a=0

b

−

b a

x 0 Gf  b  Gf ∩ Ox =  − , 0 , Gf ∩ Oy = (0, b)  a 

Gf x

0

a≠0

Un punct M(x, y) ∈Gf ⇔ y = ax + b.  Reþineþi! Pentru o trasare rapidã a graficului este suficient sã-i determinãm douã puncte. 

ECUAŢII ŞI INECUAŢII Rezolvarea în R a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a ∈R*, b ∈R ax + b = 0, x ∈D ⇔ ax = – b ⇔ x = –

b . a

b b  b ∈D ⇒ S = −  .  Dacã – ∉D ⇒ S = ∅. a a  a Am notat D domeniul de definiþie al ecuaþiei ºi S mulþimea soluþiilor. Exemplu: 3 –7x + 3 = 0 ⇔ –7x = – 3 ⇔ x = . 7  3  În Q avem S = ∅, dar în R avem S =   .  7 

Dacã –



26


Rezolvarea în R a ecuaţiilor de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈R, a ≠ 0

*

Pentru a rezolva în R ecuaþia ax2 + bc + c = 0, a ≠0, a, b, c ∈R, calculãm discriminantul D = b2 – 4ac. Vom avea urmãtoarele situaþii: I. D < 0 ⇒ S = ∅.

 b II. D = 0 ⇒ S = −  .  2a 

 −b − ∆ −b + ∆  , III. D > 0 ⇒ S =  . 2a   2a * Notă: Această temă nu este cuprinsă în programa pentru evaluare naţională.

Rezolvarea în R × R a sistemelor de două ecuaţii liniare cu două necunoscute Metoda substituþiei (exemplu) y = 5− x y = 5− x y + x = 5  ⇔ ⇔ ⇔ 2 x − 15 + 3x = 0 2 x − 3 y = 0  2 x − 3 (5 − x ) = 0 y = 5− x y = 5− x x = 3 ⇔ ⇔ ⇒ S = {(3, 2)} .  5 x − 15 = 0 x = 3   y = 2 Etapele metodei substituþiei: se rezolvã o ecuaþie în raport cu o necunoscutã;  înlocuind în cealaltã ecuaþie, se obþine o ecuaþie cu o singurã necunoscutã, care se rezolvã, obþinându-se o componentã a soluþiei;  revenind la substituþia fãcutã, se obþine cealaltã componentã a soluþiei. Metoda reducerii (exemplu)  x + 4 y = 11 ⋅ 3 3x + 12 y = 33 ⇔  2 x − 3 y = 0 ⋅ 4  8 x − 12 y = 0 

11x / = 33 ⊕ x = 3 x = 3 x = 3 x = 3 ⇔ ⇔ ⇔   x + 4 y = 11 3 + 4 y = 11 4 y = 8 y = 2 Etapele metodei substituþiei:  se înmulþeºte convenabil fiecare termen (dintr-o ecuaþie sau din ambele) cu acelaºi numãr;  adunând sau scãzând membru cu membru noile ecuaþii, se eliminã una dintre necunoscute;  se determinã cealaltã necunoscutã, apoi se înlocuieºte în una dintre ecuaþiile iniþiale. Rezolvarea în R a inecuaţiilor de forma ax + b 0 (<, , >), a ∈R*, b ∈R b − a +∞ b –∞ ]  Dacã a > 0: ax + b 0 ⇔ x – a b –∞ +∞  Dacã a < 0: ax + b 0 ⇔ x  – [ a b − a Analog, pentru formele <, , >. Exemple: 3 3 1. 2x + 3 < 0 ⇔ 2x < –3 ⇔ x < – . 2. –2x + 3  0 ⇔ –2x  –3 ⇔ 2x 3 ⇔ x . 2 2 3 3. –2x – 3 > 0 ⇔ –2x > 3 ⇔ 2x < –3 ⇔ x < – . 2 Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră

27

GEOMETRIE

MĂSURARE ŞI MĂSURI Unităţi de măsură pentru lungime mm

cm

dm

m

dam

hm

km

submultiplii metrului multiplii metrului 1 m = 1 000 mm 1 dam = 10 m 1 m = 100 cm 1 hm = 100 m 1 m = 10 dm 1 km = 1 000 m  Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100, 1 000, ...

1 mm = 0,001 m 1 m = 0,1 dam 1 cm = 0,01 m 1 m = 0,01 hm 1 dm = 0,1 m 1 m = 0,001 km  Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100, 1 000, ... Unităţi de măsură pentru arie mm2

cm2

dm2

m2

dam2

hm2

km2

submultiplii metrului pãtrat multiplii metrului pãtrat 1 m2 = 1 000 000 mm2 1 dam2 = 100 m2 2 2 2 1 m = 10 000 cm 1 hm = 10 000 m2 1 m2 = 100 dm2 1 km2 = 1 000 000 m2  Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 100, 10 000, 1 000 000, ...

1 mm2 = 0,000001 m2 1 m2 = 0,01 dam2 1 cm2 = 0,0001 m2 1 m2 = 0,0001 hm2 2 2 1 dm = 0,01 m 1 m2 = 0,000001 km2  Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 100, 10 000, 1 000 000, ... 1 ha = 10 000 m2 1 ar = 100 m2 Unităţi de măsură pentru volum mm3

cm3

dm3

m3

dam3

hm3

km3

submultiplii metrului cub multiplii metrului cub 1 m3 = 1 000 000 000 mm3 1 dam3 = 1 000 m3 3 3 3 1m = 1 000 000 cm 1 hm = 1 000 000 m3 3 3 3 1m = 1 000 dm 1 km = 1 000 000 000 m3  Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, ...

1 mm3 = 0,000000001 m3 1 m3 = 0,001 dam3 3 3 3 1 cm = 0,000001 m 1 m = 0,000001 hm3 3 3 3 1 dm = 0,001 m 1 m = 0,000000001 km3  Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, ... 28


Unităţi de măsură pentru capacitate ml

cl

dl

l

dal

hl

kl

submultiplii litrului multiplii litrului 1 l = 1 000 ml 1 dal = 10 l 1 m = 100 cl 1 hl = 100 l 1m= 10 dl 1 kl = 1 000 l  Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100, 1 000, ...

1 ml = 0,001 l 1 l = 0,1 dal 1 cl = 0,01 l 1 l = 0,01 hl 1 dl = 0,1 l 1 l = 0,001 kl  Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100, 1 000, ... Relaþia de legãturã între unitãþile de volum este 1 dm3 = 1l Unităţi de măsură pentru masă mg

cg

dg

g

dag

submultiplii gramului submultiplii kilogramului 1 g = 1 000 mg 1 g = 100 cg 1g= 10 dg

1 mg = 0,001 g 1 cg = 0,01 g 1 dg = 0,1 g 1 q = 100 kg chintalul

hg

kg

1 dag = 10 g 1 hg = 100 g 1 kg = 1 000 g 1 g = 0,1 dag 1 g = 0,01 hg 1 g = 0,001 kg 1 t = 1 000 kg tona

Unităţi de măsură pentru timp Unitatea principalã de mãsurã pentru timp este secunda (s).



Alte unitãþi:  minutul:  ora:  ziua:  sãptãmâna:  luna:  anul:  deceniul:  secolul:  mileniul:

Breviar teoretic Geometrie

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 zi = 24 h 1 sãptãmânã = 7 zile 1 lunã are 28, 29, 30 sau 31 zile 365 zile sau 366 zile (an bisect) 10 ani 100 ani 1 000 ani 29

FIGURI ŞI CORPURI GEOMETRICE Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul Noþiunile primare nu se definesc, ci se descriu prin exemple. A Punctul nu are „întindere“. A, B ∈d B A C∉d d C d = AB Dreapta este nemãrginitã ºi „nu are grosime“. B A ∈a B∉a d d ⊂ AB a AB ⊄ a Planul este comparabil cu suprafaþa unei ape liniºtite (presupusã nemãrginitã). A

Dreapta este o mulþime de puncte, numite coliniare. Planul este o mulþime de puncte, numite coplanare.  Planul conþine drepte.  

Semidreapta este mãrginitã la un capãt, numit origine.

C ∈[AB D ∉[AB Semidreapta deschisã (AB sau semidreapta închisã [AB.

Segmentul de dreaptã este mãrginit la ambele capete.

C ∈[AB] D ∉[AB] Segmentul deschis (AB) sau segmentul închis [AB].

A

D

D

O dreaptã inclusã într-un plan îl împarte în douã semiplane. a

A

B C

C B

C ∈(dA B ∈[dA D ∉[dA

D d A B C

În desen am haºurat semiplanul deschis (dA. Douã semidrepte având aceeaºi origine formeazã un unghi.

A O

B

. Notãm  AOB sau AOB 30


UNGHIURI FORMATE DE DOUĂ DREPTE TĂIATE DE O SECANTĂ Douã drepte a, b tãiate de o secantã s formeazã urmãtoarele perechi de unghiuri:  alterne interne: 3 , 5 , 4 , 6 s

( ) ( )  alterne externe: (1, 7 ) , ( 2 , 8 )  corespondente: (1, 5 ) , ( 2 , 6 ) , (3 , 7 ) , ( 4 , 8 )  interne de aceeaºi parte a secantei: ( 4 , 5 ) , (3 , 6 )  externe de aceeaºi parte a secantei: (1, 8 ) , ( 2 , 7 )

a

1 2 4 3

b

5 6 8 7

Axioma lui Euclid Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelã ºi numai una la dreapta datã. Criterii de paralelism s a 4 6 b 4 ≡ 6 ⇒ a || b

s

s

a

a

s 2

a

4

4 b 5

b 8

b 7

4 ≡ 8 ⇒ a || b

4 , 5 supl. ⇒ a || b

2 , 7 supl. ⇒ a || b

Axiomele geometriei în spaţiu A1 Douã puncte distincte determinã o dreaptã. A2 Trei puncte necoliniare determinã un plan. A B E Punctele A, B determinã dreapta AB. G F E, F, G necoliniare determinã planul (EFG).  Existã puncte exterioare unei drepte.  Existã puncte exterioare unui plan. d H C

C ∉d.

A3 Dacã douã puncte ale unei drepte aparþin unui plan, atunci dreapta este inclusã în plan.

b

I

a H ∉a A4 Dacã douã plane au un punct comun atunci au o dreaptã comunã. g L

J

 I, J ∈b ⇒ IJ ⊂ b

δ K

A5 Spaþiul este o mulþime de puncte. Planele ºi dreptele sunt submulþimi ale spaþiului. Breviar teoretic Geometrie

 K, L ∈δ ∩ g ⇒ δ ∩ g = KL

31

Determinarea planului I. Trei puncte necoliniare determinã un plan. III. Douã drepte paralele determinã un plan. b A planul (b, c) c planul (ABC) C B II. O dreaptã ºi un punct care nu îi aparþine determinã un plan. D planul (D, a) a

IV. Douã drepte concurente determinã un plan.

d

e

planul (e, d)

Poziţiile relative a două drepte în spaţiu

Drepte coplanare paralele a∩b=∅ a a

concurente a ∩ b ≠ ∅

a∩b=∅ a

a I b

A

b

a

a, b ⊂ a; a ∩ b = {I}

a, b ⊂ a; a || b

Drepte necoplanare

b

a

b ⊂ a; a ∩ a = {A}

Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan Dreapta este paralelã cu planul d

Dreapta este inclusã în plan

a

Dreapta este inclusã în plan d A

d

a

a d || a

d⊂a

d⊂a

Poziţiile relative a două plane Plane secante

Plane paralele

a a

d b

b a || b 32

a∩b=d


Definiţie:

Unghiul a două drepte în spaţiu Unghiul a douã drepte în spaþiu este orice unghi ascuþit sau drept cu vârful în orice punct al spaþiului având laturile paralele cu dreptele date. Drepte perpendiculare în spaţiu

d

g

a

( )

def a ⊥ b ⇔ m a , b = 90° b

d, g necoplanare A

O B OA || d     ⇒ d , g = OAB OB || g 

( )

Definiţie:

Dreapta perpendiculară pe un plan Se numeºte dreaptã perpendicularã pe un plan o dreaptã care este perpendicularã pe orice dreaptã din plan.

Criteriul de perpendicularitate  Dacã o dreaptã este perpendicularã pe douã drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendicularã pe plan.

d

}

d⊥a ⇒d⊥a a⊂a

a a

}

d

d⊥a a, b ⊂ a ⇒ d ⊥ (a, b) a∩b≠∅

b a a

Teoreme de perpendicularitate şi paralelism

Douã plane perpendiculare pe aceeaºi dreaptã sunt paralele. a ⊥ d ⇒ a || b b⊥d

}

a

Douã drepte perpendiculare pe acelaºi plan sunt paralele. a ⊥ a ⇒ a || b b⊥a

}

b d


a

b

a

33

Definiţii:

Perpendiculare şi oblice O dreaptã care intersecteazã un plan, dar nu este perpendicularã pe plan, se numeºte oblicã faþã de plan. d d ∩ a = {P} def P ⇔ d este oblicã faþã de planul a  a ≠ 90° m d, a

( )

}

A

Se numeºte distanþa de la un punct la un plan lungimea segmentului care uneºte punctul dat cu piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.

P

a

def

AP ⊥ a ⇔ d(A, a) = AP

Definiţie:

Distanţa dintre două plane paralele Se numeºte distanþa dintre douã plane paralele lungimea unui segment cuprins între cele douã plane ºi perpendicular pe ele.

A

a

}

AB ⊥ a ⇒ d(a, b) = AB AB ⊥ b

B

b

Definiţie:

Proiecţii ortogonale pe un plan

Definiţie:

34

A

Se numeºte proiecþia unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan. A′ = pra A, AA′ este proiectanta punctului A pe a Se numeºte proiecþia unei figuri geometrice pe un plan mulþimea proiecþiilor punctelor acelei figuri pe plan. A′B′C′ = praABC

A′

a

A

a

C B C′

A′ B′


Proiecţia unei drepte pe un plan d Teoremå:  Proiecþia unei drepte pe un plan este o dreaptã sau un punct.

d

d′ a

{A} = prad

Definiţie:

d′ = prad

A

a

d

Se numeºte unghiul unei drepte cu un plan unghiul pe care aceastã dreaptã îl face cu proiecþia ei pe plan. (d, a) = (d, d′), unde d′ = prad

A a

d′

Lungimea proiecţiei unui segment pe un plan B

Lungimea proiecþiei unui segment pe un plan este egalã cu lungimea segmentului înmulþitã cu cosinusul unghiului format de dreapta suport a segmentului cu planul. Aplicaþie: A′B′ = 5 cm, AB = 10 cm. A′B′ 1 5 = ⇒ u = 60°. = Avem cos u = 2 AB 10 

A u A′ B′ a A′B′ = AB cos u

Teorema celor trei perpendiculare

d⊥a a⊥b a, b ⊂ a

d

}

⇒ c ⊥ b a

Distanþa de la un punct la o dreaptã MP ⊥ a a⊥b ⇒ MA ⊥ b ⇒ d(M, b) = MA a ∩ b = {A} a, b ⊂ a

}

b

a P M

a

c A c

a P

b A

Teoremele reciproce ale teoremei celor 3 perpendiculare Prima teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d d⊥a c c⊥b ⇒ a ⊥ b a a, b ⊂ a P a ∩ b = {A} a

}

A doua teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d d⊥a c a⊥b ⇒ d ⊥ a a c⊥b P a, b ⊂ a a

}


b A

b A 35

Unghiul diedru

Definiţii:

Se numeºte unghi diedru figura geometricã formatã de douã semiplane delimitate de aceeaºi dreaptã.

Se numeºte unghi plan asociat unui unghi diedru unghiul determinat de douã semidrepte conþinute respectiv în semiplanele ce formeazã diedrul, ambele având originea pe muchia diedrului ºi fiind perpendiculare pe aceasta. a ⊥ d, b ⊥ d ⇒ (a, b) este unghiul plan al diedrului de muchie d.

a d

b

Definiţie:

Plane perpendiculare

Douã plane se numesc perpendiculare dacã formeazã un unghi diedru drept.

Teoremå:  Dacã un plan conþine o dreaptã perpendicularã pe alt plan, atunci cele douã plane sunt perpendiculare. d⊂a ⇒a⊥b d⊥b

d a

}

b

Definiţii:

Simetria în plan

Definiţii:

Spunem cã douã puncte A ºi A′ sunt simetrice faþã de un punct O, dacã O este mijlocul segmentului [AA′].

Spunem cã un punct O este centrul de simetrie al unei figuri geometrice plane dacã orice punct al figurii are simetric faþã de O tot un punct al figurii.

Spunem cã douã puncte distincte sunt simetrice faþã de o dreaptã s, dacã dreapta s este mediatoarea segmentului determinat de cele douã puncte.

36

O

A′

A ºi A′ sunt simetrice faþã de O

O

F

O este centrul de simetrie al figurii F

s

A

A′

O A, A′ sunt simetrice faþã de dreapta s

s Spunem cã o figurã geometricã planã admite o axã de simetrie s dacã orice punct al figurii are simetric faþã de dreapta s tot un punct al figurii.

A

F s este axa de simetrie a figurii F


Triunghiul Triunghiul oarecare, perimetrul ºi aria P



AABC =



A

perimetrul triunghiului

=a+b+c ABC baza · înãlþimea 2

aria triunghiului

c

sau AABC = AB · AC · sin A 2

()

()

b a

B

C D

()

 +m C  +m B  = 180°. m A



 ACD este unghi exterior triunghiului ABC. Triunghiul isoscel A

[AB] ≡ [AC] ⇔ B ≡ C

B C Triunghiul echilateral  =m C  = 60°. A [AB] ≡ [BC] ≡ [CA] ⇔ m A = m B



l h l



B

l

C



PABC = 3l; l 3 h= ; 2 l2 3 AABC = . 4

()

()

()

Linii importante în triunghi Definiţie:

Mediatoarea

Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusã prin mijlocul segmentului.

A

Punctul de intersecþie a mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului.



O B

Definiţie:

Bisectoarea

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care împarte unghiul în douã unghiuri congruente.

A I

Punctul de intersecþie a bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris.



B

Definiţie:

Mediana

Mediana este dreapta care trece printr-un vârf al triunghiului ºi mijlocul laturii opuse.

Punctul de intersecþie a medianelor se numeºte centrul de greutate al triunghiului.




C

C A

G B

M

C 37

Definiţie:

Înălţimea

A

Înãlþimea este perpendiculara dusã dintr-un vârf al triunghiului pe

latura opusã.  Punctul de intersecþie a înãlþimilor se numeºte ortocentrul triunghiului.

H B

M

C

Definiţie:

Linia mijlocie în triunghi Segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi ale unui triunghi se numeºte linie mijlocie.

Teorema asupra liniei mijlocii  Într-un triunghi, segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi este paralel cu cea de-a treia laturã ºi are lungimea egalã cu jumãtate din lungimea acesteia.  MN || BC  MN linie mijlocie ⇒  BC  MN = 2 Teorema reciprocå a teoremei asupra liniei mijlocii [AM] ≡ [MB] BC ⇒ [AN] ≡ [NC] ºi MN = 2 MN || BC

}

Aplicaþie: Fie M, N mijloacele laturii [AB], respectiv [AC] ale unui triunghi. Atunci mijloacele înãlþimii, bisectoarei ºi medianei din vârful A aparþin dreptei MN.

A

B

C A N

M B

M B

38

N

M

C

A N

C


Criteriile de congruenţă a triunghiurilor A

A′

Definiţie:

B

C

} } } } }

B′

C′

[AB] ≡ [A′B′]; A ≡ A′; def [BC] ≡ [B′C′]; B ≡ B′; ⇔ DABC ≡ DA′B′C′ [CA] ≡ [C′A′]; C ≡ C′

[AB] ≡ [A′B′] [BC] ≡ [B′C′] B ≡ B′

B ≡ B′

Cazul LUL

Cazul ULU

Cazul LLL

Cazul LUU

[BC] ≡ [B′C′] C ≡ C′ [AB] ≡ [A′B′] [BC] ≡ [B′C′] [CA] ≡ [C′A′] [AB] ≡ [A′B′] B ≡ B′ C ≡ C′

⇔ DABC ≡ DA′B′C′




Criteriile de asemănare a triunghiurilor

Definiţie:

A

}

B

A′

C

B′

C′

A ≡ A′; B ≡ B′; def ⇔ DABC ~ DA′B′C′ C ≡ C′ AB BC AC = = A′ B′ B′C ′ A′C ′

Criteriul 1 de asemãnare: AB AC A ≡ A′; ⇒ DABC ~ DA′B′C′ = A′ B′ A′C ′ Criteriul 2 de asemãnare: A ≡ A′; B ≡ B′ ⇒ DABC ~ DA′B′C′ Criteriul 3 de asemãnare: AB BC AC = = ⇒ DABC ~ DA′B′C′ A′ B′ B′C ′ A′C ′ Breviar teoretic Geometrie

39

A

Teoreme Fie triunghiul ABC ºi punctele D ∈ AB, E ∈AC.  Teorema lui Thales AD AE DE || BC ⇒ = DB EC

B

C

D

 Teorema reciprocå a teoremei lui Thales AD AE = ⇒ DE || BC DB EC

E

A D B

E

 Teorema fundamentalå a asemånårii AB AC BC = = =r. DE || BC ⇒ DADE ~ DABC ⇒ AD AE DE

E C D A

B

C

Triunghiul dreptunghic Triunghiul dreptunghic isoscel A m A = 90°

Triunghiul dreptunghic oarecare A AB ⊥ AC sau m A = 90°

()

B C D

()

AB ⋅ AC AABC = 2

B

C

[AB] ≡ [AC] ⇔

() ()

 = 45°  =m C ⇔m B

Teorema înålÆimii m A = 90° ⇒ AD2 = BD · DC AD ⊥ BC

()

}

Teorema catetei m A = 90° ⇒ AB2 = BC · BD, AC2 = BC · CD AD ⊥ BC

()

}

Teorema lui Pitagora  m A = 90° ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2

()

AB 2 = BC 2 – AC 2 AC 2 = BC 2 – AB 2

Teorema reciprocå a teoremei lui Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ m A = 90°

()

Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic c b A sin B = , cos B = a a c b b c tg B = , ctg B = c b B C a sin B 1 , ctg B = tg B = cos B tg B sin B = cos C 40


Tabele trigonometrice a

30°

45°

60°

sin a

1 2

2 2

3 2

cos a

3 2

2 2

1 2

1

3

funcþia

1

tg a

3

ctg a

1

1

3

3

Patrulaterul convex Suma mãsurilor unghiurilor unui patrulater convex este 360°.



Paralelogramul Patrulaterul convex care are laturile opuse paralele se numeºte paralelogram. def

AB || CD; BC || DA ⇔ ABCD paralelogram. Teoremå referitoare la laturi  În orice paralelogram laturile opuse sunt congruente. ABCD paralelogram ⇔ [AB] ≡ [CD] ºi [BC] ≡ [DA]. Teoremå referitoare la unghiuri  În orice paralelogram oricare douã unghiuri opuse sunt congruente ºi oricare douã unghiuri consecutive sunt suplementare. ABCD paralelogram ⇔ A ≡ C; B ≡ D. A, B suplementare. Teoremå referitoare la diagonale  În orice paralelogram diagonalele au acelaºi mijloc. [OA] ≡ [OC]; ABCD paralelogram ⇔ [OB] ≡ [OD]. Definiţie:

{

Dreptunghiul Paralelogramul care are un unghi drept se numeşte dreptunghi. def ABCD paralelogram, m A = 90° ⇔ ABCD dreptunghi.

()

Teoremå referitoare la unghiuri În orice dreptunghi toate unghiurile sunt congruente, deci drepte.  ABCD dreptunghi ⇔ A ≡ B ≡ C ≡ D. Breviar teoretic Geometrie

A

B

D

C A

B

D

C A

B

D

C

A D

B O

C

A

B

D

C

A

B

D

C 41

Definiţie:

Teoremå referitoare la diagonale În orice dreptunghi diagonalele sunt congruente.  ABCD dreptunghi ⇔ [AC] ≡ [BD]. Rombul Paralelogramul care are două laturi consecutive congruente se numeşte romb. def ABCD paralelogram, [AB] ≡ [BC] ⇔ ABCD romb.

A

B

D

C A

D

B C

Teoremå referitoare la laturi În orice romb toate laturile sunt congruente.  ABCD romb ⇔ [AB] ≡ [BC] ≡ [CD] ≡ [DA].

A D

B

Teorema 1 referitoare la diagonale În orice romb diagonalele sunt perpendiculare.  ABCD romb ⇔ AC ⊥ BD.

C A

Definiţie:

Teorema 2 referitoare la diagonale În orice romb diagonalele sunt bisectoare.  ABCD romb ⇔ [BD] bisectoarea unghiului D.

D C

Pãtratul Un paralelogram care are un unghi drept şi două laturi consecutive congruente se numeşte pătrat. def ABCD dreptunghi ºi romb ⇔ ABCD pãtrat.

Proprietăţile pătratului

Toate unghiurile sunt drepte.

Definiţii:

Toate laturile sunt congruente.

A

B

D

C

Diagonalele sunt Diagonalele sunt perpenbisectoarele pãtratului. diculare, congruente ºi au acelaºi mijloc.

Trapezul Patrulaterul convex care are două laturi opuse paralele şi celelalte două neparalele se numeşte trapez. def AB | CD ºi AD } BC ⇔ ABCD trapez. Trapezul dreptunghic Trapezul care are una dintre laturile neparalele perpendiculară pe bază se numeşte trapez dreptunghic. def  = 90° ⇔ ABCD trapez, m A ABCD trapez dreptunghic.

()

B

A

B

D

C A

B

D Linia mijlocie în trapez Segmentul care uneºte mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeºte linia mijlocie a trapezului. 42

C


Teorema asupra liniei mijlocii în trapez

A

AB + CD  [AM] ≡ [MD]; [BN] ≡ [NC] ⇔ MN || AB; MN = . 2

M

Definiţie:

ABCD trapez, [AD] ≡ [BC] ⇔ ABCD trapez isoscel.

N

D

Teorema reciprocå asupra liniei mijlocii în trapez AB + CD  [AM] ≡ [MD]; MN || AB ⇔ [BN] ≡ [NC]; MN = . 2 Trapezul isoscel Trapezul care are laturile neparalele congruente se numeşte trapez isoscel.

B C

A

B

M

N

D

C A

def

B

D

C

Teoremå referitoare la unghiuri  ABCD trapez isoscel ⇔ A ≡ B ºi D ≡ C.

A

B

D Teoremå referitoare la diagonale  ABCD trapez isoscel ⇔ [AC] ≡ [BD].

C A

B

D

C

Perimetrele şi ariile poligoanelor Paralelogramul A B h

d

l

L

D PABCD = 2(L + l) AABCD = L · l

D C PABCD = 2(L + l) AABCD = L · h AABCD = L · l · sin B

A

Pãtratul

Rombul A l B

Dreptunghiul L A B l

h

C

D PABCD = 4l AABCD = l · h d ⋅d AABCD = 1 2 2

d = L2 + l 2

C

PABCD = 4l AABCD = l2 d=l 2 Breviar teoretic Geometrie

C

Trapezul A b B

B l

D

l

h D

B PABCD = AB + BC + CD + DA (B + b ) ⋅ h AABCD = 2

C

43

Cercul coardã diametru

Definiţii:

Mulþimea punctelor din plan situate la distanþa r faþã de punctul O se numeºte cerc de centru O ºi razã r. Segmentul care uneºte douã puncte de pe cerc se numeºte coardã. Coarda care trece prin centrul cercului se numeºte diametru, iar capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse.

O

centrul razã

C (O, r)

Definiţii:

Porþiunea dintr-un cerc determinatã de douã puncte distincte ale cercului se numeºte arc de cerc.

semicerc

Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mici decât raza, formeazã interiorul cercului.

O

Mulþimea punctelor cercului C(O, r) reunitã cu interiorul cercului se numeºte disc de centru O ºi razã r: D(O, r).

arcul mic  AB

Dacã extremitãþile unui arc de cerc sunt diametral opuse, atunci arcul se numeºte semicerc.

Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mari decât raza, formeazã exteriorul cercului.

r

A

B O

interior exterior

O

Definiţii:

Unghi la centru; sector de cerc Un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeºte unghi la centru.

Se numeºte sector de cerc o porþiune dintr-un cerc cuprinsã între douã raze ale sale ºi arcul pe care îl subîntind.

D

A

B

O

(

)

(

 ADB = m AOB m 

B

Într-un cerc, arcelor congruente le corespund coarde congruente. Reciproc, într-un cerc, coardelor congruente le corespund arce congruente.



)

C



A

D

  ⇔ [AB] ≡ [CD] AB ≡ CD 44


Diametrul perpendicular pe o coardã Într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardã trece prin mijlocul arcului subîntins de coardã.



O A

Teoremå privind coardele egal depårtate de centru  Douã coarde ale unui cerc sunt congruente dacã ºi numai dacã sunt egal depãrtate de centru. [AB] ≡ [CD] ⇔ d(O, AB) = d(O, CD)

B

A

C

B Teoremå privind arcele cuprinse între coarde paralele  Dacã douã coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente.

A D

D

O

B C

O

 AB || CD ⇒  AB ≡ CD

Definiţie:

Unghiul înscris în cerc

Un unghi cu vârful pe cerc ale cãrui laturi includ douã coarde ale cercului se numeºte unghi înscris în cerc.

O

Mãsura unghiului înscris în cerc este jumãtate din mãsura arcului cuprins între laturile sale.



Poziþiile relative ale unei drepte faþã de un cerc O dreaptã poate avea cu un cerc: a) douã puncte comune b) un punct comun t s r

O

secantã 

d(O, s) < r


O

tangentã 

OT ⊥ t OT = d(O, t) = r

B

A

( ) ( ) 2  =m  m ( AOB ) ( AB) C

m  ACB =

m  AB

c) niciun punct comun e O

dreaptã exterioarã cercului  d(O, e) > r

45

T

Tangente dintr-un punct exterior la un cerc  Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce douã tangente ºi numai douã la cerc.

A

O T′

Proprietãþile tangentei dintr-un punct exterior la un cerc a) [TA] ≡ [T ′A]; ′ ; b) [AO este bisectoarea unghiului TAT ′ ; c) [OA este bisectoarea unghiului TOT d) OA este mediatoarea segmentului [TT′].  Mãsura unui unghi cu vârful pe cerc, care are una dintre laturi secantã ºi cealaltã tangentã la cerc, este jumãtate din mãsura arcului cuprins între laturile sale. Aplicaþie:  = 60°. BT = 4 3 cm, m ATB

(

T

A

O

)

B

(

)

 = m ATB  ºi raza r. Se cere mãsura arcului mic BT Soluþie:   m BT m BT  = 120°.  ⇔ 60° = ⇔ m BT m ATB = 2 2  = 30°. Triunghiul TOB este isoscel cu baza (TB). Deducem uºor cã m OTB

Se obþine r = 4 cm.

(

)

( )

( )

( )

A

Un cerc se numeºte cerc înscris într-un triunghi, dacã laturile triunghiului sunt tangente la cerc. În acest caz, triunghiul se numeºte circumscris cercului.

O

Centrul cercului înscris într-un triunghi se aflã la intersecþia bisectoarelor triunghiului.



B

Definiţie:

Cercul circumscris unui triunghi

46

C A

Un cerc se numeºte circumscris unui triunghi, dacã vârfurile triunghiului sunt situate pe cerc. În acest caz, triunghiul se numeºte triunghi înscris în cerc.

Centrul cercului circumscris unui triunghi se aflã la intersecþia mediatoarelor triunghiului.



2

( )

Definiţie:

( )

m  AB

O

B

C


Lungimea cercului ºi aria discului; lungimea arcului de cerc; aria sectorului de cerc Lcerc = 2pR; Adisc = pR2 npR 2 npR R ; Asector circular = Larc = 360 180 n° Aplicaþii: 1. Aflaþi raza r ºi lungimea unui cerc cu aria discului egalã cu 20p dm2. Soluþie: pR2 = 20p ⇒ R = 2 5 dm; Lcerc = 2p 5 dm. 2. Aflaþi raza unui cerc având un arc de cerc cu lungimea 15p cm ºi mãsura unghiului la centru corespunzãtor n° = 60°. 60 pR npR ⇔ 15p = ⇒ R = 45 cm. Soluþie: 15p = 180 180

Elemente în poligoane regulate Triunghiul echilateral l

Pãtratul

R

R 30°

O ap

R

l

O R 45°

l=R 3 R ap = 2


O R

ap

l=R 2 ap =

Hexagonul regulat

R 2 2

l

R 60°

R ap

l = R; ap =

R 3 2

P = 6l; A =

3l 2 3 2

47

Corpuri geometrice. Poliedre Prisma dreaptã Cu baza triunghi echilateral

Cu baza hexagon regulat

Cu baza pãtrat

înãlþime

muchie lateralã

diagonalã

faþã lateralã

vârf muchia bazei

bazã

Paralelipipedul dreptunghic

Cubul D′

înãlþime

A′

B′

D

lãþime lungime

Feþele unui paralelipiped dreptunghic sunt dreptunghiuri, douã câte douã congruente.

C

A B Feþele unui cub au formã de pãtrat ºi sunt congruente. D′ C′ C C′ C′ D′ D



Desfãºurarea cubului



C′

B′ A′ A

B B′

A′ Piramida V înãlþimea vârful

piramidei

B

B

D

D C

C baza

piramidei

În funcþie de natura bazei, folosim denumirile: piramidã triunghiularã, patrulaterã, pentagonalã, hexagonalã.

48

A

Definiţii:

E

A



Tetraedrul

piramidei faþã lateralã

muchie lateralã

B′

Punctele necoplanare A, B, C, D determinã poliedrul cu cel mai mic numãr de feþe numit tetraedru. Reuniunea feþelor tetraedrului se numeºte suprafaþa tetraedrului.


Definiţie:

V O piramidã care are baza poligon ºi muchiile laterale congruente se numeºte piramidã regulatã.

Feþele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele (congruente).



C

apotema piramidei înãlþimea piramidei

M O B

A

apotema bazei

Definiţii:

Piramida regulată, tetraedrul regulat Distanþa de la un vârf la o laturã a bazei se numeºte apotema piramidei. Distanþa de la centrul bazei la o laturã a bazei se numeºte apotema bazei. Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numeºte tetraedru regulat.

în piramidã

în prismã

Secţiuni paralele cu baza în poliedre

planul de secþiune

Planul de secþiune este un poligon (cu toate punctele interioare) congruent cu bazele ºi paralel cu acestea.  Obþinem douã prisme de acelaºi tip cu prisma iniþialã, dar de înãlþimi mai mici. 

planul de secþiune

Planul de secþiune este un poligon asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta.  Obþinem o piramidã micã, al cãrei vârf este vârful piramidei iniþiale iar baza poligonul (cu toate punctele interioare) ºi un trunchi de piramidã. 

Definiţii:

Trunchiul de piramidă

Se numeºte trunchi de piramidã corpul geometric obþinut prin secþionarea unei piramide printr-un plan paralel cu baza, situat între bazã ºi planul de secþiune.

laturã a bazei mici muchie lateralã

baza micã faþã lateralã

Distanþa dintre bazele trunchiului se numeºte înãlþimea trunchiului. laturã a bazei mari


baza mare

49

Corpuri rotunde Cilindrul circular drept O A

OR

B

D C

razã generatoare suprafaþã lateralã bazã

A

R

A

D C

B

B

Bazele unui cilindru au formã de disc.

Definiţii:



Raza fiecãreia dintre baze se numeºte raza cilindrului. Suprafaþa care mãrgineºte cilindrul se numeºte suprafaþa lateralã a cilindrului.

Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui cilindru este dreptunghi.



Conul circular drept A

V vârf generatoare

B

O

A

V

bazã

B R

O

A

Baza unui con are formã de disc.

Definiţii:



50

Raza bazei se numeºte raza conului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui con este un sector de disc.


Secţiuni paralele cu baza în corpuri rotunde în cilindru circular drept

în con circular drept

planul de secþiune

planul de secþiune

Planul de secþiune este un disc congruent cu bazele ºi paralel cu acestea.  Obþinem doi cilindri având aceeaºi razã cu cilindrul iniþial, dar de înãlþimi mai mici. 

Planul de secþiune este un disc asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta.  Obþinem un con mic, al cãrui vârf este vârful conului iniþial, iar baza discul de secþiune ºi un trunchi de con. 

Trunchiul de con

Definiţii:

Se numeºte trunchi de con corpul geometric obþinut prin secþionarea unui con circular drept printrun plan paralel cu baza ºi îndepãrtarea conului mic obþinut.

Distanþa dintre bazele trunchiului de con se numeºte înãlþimea trunchiului.

Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui trunchi de con este un sector de coroanã circularã.

baza micã suprafaþa lateralã

generatoarea

raza bazei mici înãlþimea trunchiului

raza bazei mari baza mare




51

Sfera; descriere. Bila

O

R

O

Sferã de centru O ºi razã R S (O, R) S (O, R) = {P | P punct din spaþiu a.î. OP = R}  Prin rotaþia unui cerc în jurul unui diametru al sãu obþinem o sferã având raza egalã cu raza cercului de rotaþie ºi centrul în centrul cercului de rotaþie.

R

Bilã de centru O ºi razã R B(O, R) B(O, R) = {P | P punct din spaþiu a.î. OP  R}  Planul de secþiune este un disc asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta.  Obþinem un con mic, al cãrui vârf este vârful conului iniþial, iar baza discul de secþiune ºi un trunchi de con.

Definiţie:

Secţiuni axiale în corpuri rotunde

Spunem cã un corp geometric admite o axã de simetrie s dacã orice punct al corpului are simetric faþã de dreapta s tot un punct al corpului.

G

G R s

G R s

R s

Secþiunea axialã este triunghi isoscel cu baza dreptunghi de dimensiuni 2R ºi laturile R 2R ºi G

52

R

trapez isoscel cu baza micã r, baza mare R ºi latura neparalelã G

s disc de razã R


Ariile şi volumele corpurilor geometrice Prisma dreaptã

Piramida regulatã

h

Trunchiul de piramidã regulatã

h

Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + 2Ab V = Ab · h

h

Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + Ab A ·h V = b 3

Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + AB + Ab h V = AB + Ab + AB ⋅ Ab 3

(

)

Raportul volumelor a douã piramide asemenea este cubul raportului de asemãnare. Conul Cilindrul Trunchiul de con



r

h

G R

G=h Al = 2pRG At = 2pR(R + G) V = pR2h

R

G2 = h2 + R2 Al = pRG At = pR(R + G) pR2h V = 3

Paralelipipedul dreptunghic b

d c a At = 2(ab + bc + ca) V = abc d = a2 + b2 + c2


G

h

Cubul

a At = 6a2 V = a3 d=a 3

G

h R

G2 = h2 + (R – r)2 Al = pG(R + r) At = Al + AB +Ab ph V = · (R2 + r2 + Rr) 3 Sfera R

d a a Asferei = 4pR2 4pR3 Vbilei = 3

53

Testul 1 (Autor: prof. Ana Poştaru)

(Bareme la pagina 188)

SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. Cel mai mare număr întreg mai mic decât 2,34 este .......... (5p) 2. Jumătate din sfertul numărului 48 este .......... (5p) 3. Dacă 3x – 2y = 16 , atunci 73 – 6x + 4y este egal cu.......... (5p) 4. Triunghiul MAT are perimetrul 108 cm. Dacă Q, P, S sunt mijloacele laturilor (AM), (AT) respectiv (MT), atunci perimetrul triunghiului QPS este egal cu.......... cm. (5p) 5. Aria unui cerc, având lungimea de 10 π cm, este egală cu .......... cm2. (5p) 6. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate peste zi pe muntele Semenic în ziua de 10 ianuarie 2012. Temperatura medie înregistrată peste zi este ..........°C (5p) ora 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 temp. – 3 – 2 – 2 – 1 0 0 +1 +2 +2 +2 +1 0 0 SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un romb MATE cu m (  A ) = 40°.

(5p)

2. Arătaţi că oricare ar fi cifrele x şi y nenule 10 xy − 10 yx  15.

(5p)

(

3.

)

Profesorul de sport doreşte să aşeze participanţii la o întrecere sportivă în coloane de câte 4, 6 sau 9 elevi, dar constată că rămân de fiecare dată câte 2 elevi neîncolonaţi. a) Care este numărul elevilor, ştiind că este cel mult egal cu 50? (5p) b) Care este numărul minim de elevi ce pot fi aşezaţi în coloane de 4, 6 sau 9 elevi? (5p)

4. Fie mulţimea A = { x ∈ | −3 ≤ 2 x − 1 < 5}. Calculaţi suma elementelor mulţimii A.



5. Fie A =  1, 44 ; 14, 4 ;



1 3  6 ; − π; ; 0  . Calculaţi A \ . 4 2 

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este schiţa unei grădini ornamentale.

Semicercurile mici sunt identice şi au razele r egale

cu jumătate din raza R a semicercului mare.

a) Exprimaţi perimetrul întregii figuri în funcţie de r şi

numărul iraţional π.

B

(5p) (5p)

D

r

R r

C

(5p)

d) Câte kg de seminţe de gazon sunt necesare, pentru cultivarea suprafeţei ABCD în cazul

r = 2 3 m, dacă 1 kg de seminţe ajunge pentru 30 m2? 54

r R

c) Calculaţi aria suprafeţei dreptunghiulare ABCD, ştiind

că r = 2 3 m.

r

b) Calculaţi aria semicercului colorat cu gri, pentru

r = 10 m şi π = 3,14.

A

(5p)


D

C

(5p) A

E

2. O suprafaţă de forma unui trapez dreptunghic ABCD

trebuie pavată cu plăci de gresie.

CD = 3 m; AD = 2 CD; m (  B ) = 45°.

a) Calculaţi aria trapezului ABCD.

b) Calculaţi câtă gresie trebuie cumpărată,

ştiind că 10% din cantitate se pierde la tăierea

acesteia. Exprimaţi în număr întreg de m2.

(5p)

Testul 2 (Autor: prof. Gina Caba)

45°

B


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 15 − 2 ⋅ 9 este egal cu ..........

(5p)

(5p)

3. Mulţimea divizorilor întregi ai numărului 12 este ..........

(5p)

este egală cu ..........m.

(5p)

n

2. Numărul 3 ⋅ 3 se scrie ca putere astfel .......... 4. Lungimea laturii unui pătrat cu aria de 36

m2

5. Un trapez dreptunghic ABCD are m (  A ) = 90°, AB = 6 dm, BC = 5 dm, CD = 9 dm. Atunci perimetrul trapezului este egal cu ..........dm. (5p)

6. În graficul de mai jos, este prezentată evoluţia euro/leu în perioada 31 august 17 septembrie 2012. Cel mai mare curs s-a înregistrat în ziua de ..........

(5p)

lei

1-17 septembrie 2012

(sursa: www.cursbnr.ro)

1. Recapitularea materiei din clasele V – VII

55

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un romb cu o latură de 3 cm şi un unghi ascuţit de 30°. (5p) 2. Un elev are 14 ani. Peste câţi ani va avea de trei ori vârsta de acum?

(5p)

3. Într-o urnă sunt 50 de bile numerotate de la 1 la 50. Care este probabilitatea ca, luând la întâmplare o bilă, pe aceasta să fie scris:

a) un număr prim?

b) un număr pătrat perfect?

(5p)

(5p)

4. Stabiliţi dacă numărul A = 4 − 2 3 + 4 + 2 3 − 6 3 este pozitiv, negativ sau zero. 5. Simplificaţi fracţia

(5p)

2n +1 ⋅ 3n , unde n ∈ *, astfel încât să obţineţi o fracţie ireductibilă.(5p) 2n ⋅ 3n +1

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Figura alăturată reprezintă schiţa unui teren împărţit

3

4

în două triunghiuri dreptunghice având catetele

de lungimi 3 m, respectiv 4 m, şi un triunghi echilateral.

a) Terenul se împrejmuieşte cu gard a câte 6 rânduri de

sârmă.

Câţi m de sârmă trebuie cumpăraţi?

b) Pe suprafeţele triunghiurilor dreptunghice se însămânţează gazon, necesarul fiind de

0,025 kg seminţe pe metrul pătrat, iar costul pe 1 kg gazon este 32 lei.

Cât a costat gazonul? (5p)

c) Pe suprafaţa triunghiului echilateral s-au trasat patru ronduri (ca în figură) fiecare în

4

3

(5p)

formă de triunghi echilateral asemenea cu triunghiul iniţial, având lungimile laturilor de 4 m, 3 m, 2 m, respectiv 1 m. Pe fiecare latură de rond s-au plantat tufe de trandafiri la distanţe egale cu 0,5 m între ele.

Câte tufe de trandafiri au fost necesare şi cât s-a plătit, ştiind că la piaţă se vând 3 tufe la 10 lei? (5p)

2. Cercul din desenul alăturat are raza de 12 cm. Calculaţi:

a) lungimea laturii triunghiului echilateral înscris în cerc; (5p)

b) apotema triunghiului echilateral înscris în cerc;

(5p)

c) raportul dintre aria triunghiului şi aria discului.

(5p)

56

12

l


Testul 3

(Autor: prof. Marinela Canu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Restul împărţirii numărului 564 la 10 este ..........

(5p)

2. Dintre numerele 2,34 şi 2,3(4) este mai mic numărul ..........

(5p)

3. Fie mulţimea A = {0; 3; 5; 6; 8; 9}. Probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din A,

acesta să fie divizibil cu 3, este egală cu ..........

(5p)

4. În triunghiul ABC dreptunghic în A, [AM] este mediană având lungimea de 18 cm.

Lungimea ipotenuzei este egală cu .......... cm.

(5p)

gardului ce-l înconjoară este de 50 m. Lungimea

dreptunghiului este egală cu .......... m.

8m

5. Lăţimea unui teren dreptunghiular este 8 m, iar lungimea (5p)

6. În schema de mai jos este prezentată:

Cea mai mare valoare s-a înregistrat în anul ..........

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. 12 muncitori termină o lucrare în 15 zile. În câte zile vor termina aceeaşi lucrare 18 muncitori?

(5p)

2. Preţul unui produs este egal cu 120 lei. Prima dată preţul creşte cu 50% şi apoi scade

tot cu 50%.

Care va fi preţul final al produsului?


(5p)

57

3. Se consideră numerele:

−2

 1 10  1 8  1  −3  x =  −  :  −  ⋅  −    3   3   3  

şi y =

(2 −

5) +

(

2

5 − 3) + ( −3) . 2

2

a) Comparaţi numerele x şi y.

(5p)

b) Calculaţi media aritmetică şi media geometrică a numerelor x şi y.

(5p)

4. Dacă a = 2 − 3 + 2 + 3 , calculaţi a2 şi ( a − 6 )

1000

.

(10p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Într-un parc se delimitează un teren de joacă de forma unui triunghi ABC, cu AB < AC. Se consideră (AM bisectoarea unghiului BAQ, exterior triunghiului ABC, unde M aparţine semidreptei (CB, şi fie N simetricul lui M faţă de A. În punctele M şi N se plantează arbuşti ornamentali. Bisectoarea unghiului BAC intersectează (BC) în D, iar în punctul E de intersecţie a dreptelor DN şi AC se fixează o bancă. A

Arătaţi că:

a) triunghiul DMN este isoscel;

(5p)

b) ∆AMB = ∆ANE;

(5p)

c) aleile AD şi BE sunt perpendiculare;

(5p)

d) aleea BE este paralelă cu aleea MN.

(5p)

B

C

2. O sală de sport are forma unui paralelogram ABCD, cu m (  A ) = 60°, AB = 10 m şi AD = 6 m. Fie M mijlocul segmentului [AB], N este mijlocul lui [DC]; MP ⊥ AB, P ∈ DC şi NQ ⊥ DC, Q ∈ AB.

a) Demonstraţi că terenul MQNP este un dreptunghi. b) Sportivii Mihai şi Andrei parcurg traseele ABCD, respectiv AQPD.

Cine a parcurs traseul cel mai lung? D P

A

58

M

(5p) (5p)

N

Q

C

B


Testul 4

(Autor: prof. Nadia Bărbieru)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului:

(– 1)3 + (– 1)2 + (– 81) : (+ 3) este egal cu ..........

(5p)

2. Inversul numărului 3 + 7 este ..........

(5p)

3. Dacă 25 x  3 , atunci valoarea lui x este ..........

(5p)

4. În triunghiul ABC, m (  A ) = 90°; AB = 8 cm; AC = 12 cm.

Aria triunghiului este egală cu ..........cm2.

5. Într-un dreptunghi ABCD, BC = 7 cm, AC ∩ BD = {O} şi m (  AOD ) = 60°. Lungimea diagonalei [AC] este egală cu ..........cm. 6. La un test de matematică elevii unei clase au obţinut următoarele note:

(5p) (5p)

Nr. elevi 7 6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Nota

Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mare decât 6 este ..........

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. 2. 3.

Desenaţi un trapez dreptunghic MNPQ. (5p) O cutie de bomboane costă 12,5 lei. Dacă o persoană plăteşte suma de 62,5 lei, câte cutii de bomboane a cumpărat? (5p) Fie numerele a1 = 2; a2 = a1 · 1 + 1; a3 = a1 · 2 + 2; ...; a10 = a1 · 9 + 9. a) Aflaţi suma acestor numere. (5p) b) Cât la sută reprezintă suma numerelor pare din suma numerelor impare? (5p)

4. Arătaţi că numărul A =

182 + 242 6 2 + 82

+ 2 ⋅ 262 − 242 este natural.

(5p)

5. Descompuneţi în factori: 4x3 – 24x2 + 36x.

(5p)


59

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1.

Un parc este de forma unui trapez isoscel ABCD, cu AD  BC, AC ⊥ CD şi m ( DAC) = 30°, iar AB = 6 dam. a) Dacă parcul este înconjurat cu un gard, aflaţi lungimea acestuia. (5p) b) Calculaţi aria trapezului. (5p) c) Aflaţi aria triunghiului ABC. (5p)

B

A

C

fig. 1

2. Figura 2 reprezintă schiţa unei grădini cu flori în formă B

de dreptunghi, cu AB = 10 m, BC = 10 3 m, şi BM ⊥ AC. Dreapta BM se prelungeşte astfel încât BM ∩ AD = { N } . a) Aflaţi lungimile segmentelor [AC] şi [BM]. (5p) b) Arătaţi că m ( CBM) = 60° (5p) AMN c) Determinaţi valoarea raportului . (5p) ADC

Testul 5

(Autor: prof. Florentina Enea )

D C

M A

N

fig. 2

D


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 5 + 5 : 5 este egal cu .......... (5p) 2. Media aritmetică a numerelor 8, 9, 11, 18 este .......... (5p) 3. Dacă 2 este soluţia ecuaţiei mx – 5m = 15, atunci valoarea parametrului m este .......... (5p) 4. Un triunghi echilateral are o latură cu lungimea de 8 3 cm. Raza cercului circumscris triunghiului are lungimea egală cu ..........cm. (5p) A B 5. Dacă aria dreptunghiului ABCD este 24 cm2 şi M ∈ (CD), M atunci aria triunghiului AMB este egală cu ..........cm2. D C (5p) 6. În graficul alăturat este reprezentată evoluţia inflaţiei în perioada ian. 2010–dec. 2010. Inflaţia a avut cea mai scăzută valoare în luna ....................... (5p)

(sursa: reflectiieconomice)

60


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un trapez isoscel de baze [AD] şi [BC].

(5p)

2. Calculaţi 2–1 + 3–1 + 6–1.

(5p)

3. Fie A = {– 9; 4; – 10; 7} şi B = {2x – 1; – 32; 5y; (– 2)2} cu x, y ∈ .

a) Ştiind că x = 0 şi y = 2, scrieţi elementele comune mulţimilor A şi B.

(5p)

b) Ştiind că A = B, determinaţi valorile numerelor x şi y.

(5p)

4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale inecuaţia 3x – 2 < 5. 5. Stabiliţi dacă numărul p = 32 + 42 +

(3 −

(5p)

12 ) − −2 3 este natural. 2

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În patrulaterul convex ABCD, M ∈ (AB).

B

Dacă MN  AC, N ∈ (BC) şi MP  AD, P ∈ (BD), arătaţi că:

a) NP  CD; CN BP b) + = 1. BC BD

C

M

(5p) (5p)

N

P

A

D 2. În triunghiul ABC cunoaştem AB = 2 cm, AC = 2 3 cm, BC = 4 cm.

a) Arătaţi că triunghiul ABC este dreptunghic.

(5p)

b) Calculaţi d(A, BC).

(5p)

sin2B

c) Calculaţi

d) Calculaţi lungimea segmentului [BM], unde M este mijlocul segmentului (AC).

Testul 6

+

sin2C.

(Autor: prof. Adrian Ciupitu)

(5p) (5p)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Calculând 1111 : 11 – 11 se obţine rezultatul ..........

(5p)

2. Dacă x = 5 şi y + z = 20, atunci xy + xz este egal cu ..........

(5p)

2

2

3. Calculând sin 30° + cos 30° obţinem rezultatul ..........

(5p)

4. Complementul unghiului de 44°16´ este unghiul .......... ° ..........´

(5p)

5. Cel mai mare număr natural de forma x 4 y divizibil cu 2 este ..........

(5p)


61

6. În graficul de mai jos este prezentată creşterea preţurilor la materiile prime

pe plan mondial în perioada 8 iunie – 3 august 2010.

O creştere de aproximativ 60% s-a înregistrat la ..........

(5p)

(sursa: Ziarul Financiar) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Aflaţi preţul unui obiect care, după o scumpire cu 25% costă 15 lei. 15   ∈ . 2. Determinaţi mulţimea A =  x ∈ | ( ) ⋅ x − 3 4  

(5p) (5p)

3. Se dau numerele: a = 2 − 3 şi b = 2 + 3.

a) Arătaţi că a · b = 1. b) Calculaţi (a –

(5p)

b)2.

(5p)

4. Un dreptunghi are dimensiunile de 9 cm şi 16 cm. Aflaţi lungimea diagonalei pătratului

echivalent cu dreptunghiul dat.

(5p)

5. Măsura unuia dintre unghiurile rombului ABCD este egală cu 60°.

Aflaţi aria şi perimetrul rombului, dacă lungimea diagonalei mici este de 6 cm.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. 2. 62

Numerele naturale x, y şi z sunt direct proporţionale cu 2; 5 şi 9. a) Aflaţi cât la sută din y reprezintă x. b) Dacă 2 · x +3 · y + 4 · z = 275, să se determine x, y şi z. Fie trapezul ABCD, AB  CD. Ştiind că AB = BC = AD = 12 cm şi AC ⊥ AD. a) Arătaţi că (AC este bisectoarea unghiului BCD. b) Aflaţi măsurile unghiurilor trapezului. c) Calculaţi aria şi perimetrul trapezului. d) Calculaţi distanţa de la A la BC.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)


Testul 7

(Autor: prof. Constantin Apostol)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Ştiind că

p 2 11 p = = , valoarea raportului , scrisă ca fracţie zecimală, este .......... 10 3 q q

(5p)

2. Rezultatul calculului: 3 · 2,1 + 0,3 · 21 + 0,03 · 0,21 · 103 este egal cu .......... (5p) 2 x 3. Pentru ca egalitatea 3 = să fie o proporţie, x trebuie să fie egal cu .......... (5p) x 3 2 4. În triunghiul ABC, D ∈ ( BC ) , perimetrul triunghiului ABD este egal cu 10 cm, perimetrul triunghiului ADC este egal cu 12 cm şi perimetrul triunghiului ABC este egal cu 14 cm. Atunci AD = ........cm... (5p) 2m + 3 5. Pentru ca raportul să fie număr natural, cea mai mică valoare a lui m este .......... (5p) m −1 6. Rata şomajului înregistrat în perioada ianuarie-iunie 2012 este prezentată în graficul de mai

jos. Rata a fost de 5,1% în luna .......... 5,4%

(5p)

Rata şomajului înregistrat în perioada ianuarie-iunie 2012 (la sfârşitul lunii)

5,3% 5,2% 5,1% 5% 4,9% 4,8% 4,7% 4,6% 4,5% 4,4%

Ian. 2012

Feb. 2012

Mar. 2012

Apr. 2012

Mai 2012

Iun. 2012

(sursa: Institutul Naţional de Statistică)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi şi puneţi în evidenţă toate unghiurile sale exterioare. (5p) ( ) ( ) ( ) a a +1 a + 2 a + 3 2. Arătaţi că oricare ar fi a ∈ * , numărul A = se poate scrie ca un 4 produs de două numere naturale consecutive. (10p) 1. Recapitularea materiei din clasele V – VII

63

3. Fie triunghiul ABC cu m (  A ) ≠ 90°. Pe dreapta AC se consideră punctul D, astfel încât BA = BD şi pe dreapta AB se consideră punctul E, astfel încât CA = CE. Notăm cu M, mijlocul segmentului (AD) şi cu N, mijlocul segmentului (AE). Fie {P} = BM ∩ CN .

Demonstraţi că dreptele AP şi BC sunt perpendiculare.

4. Ştiind că a = 3 − 5 + 9 − 4 5 şi b =

(10p)

7 − 1 − 11 − 4 7 , arătaţi că

număr raţional.

2a − b este a + 2b

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Determinaţi numerele a, b, c, ştiind că sunt proporţionale cu 3; 2; 2 şi 3a + 2b + 2c = 17. (10p) x y z 2. Fie numerele raţionale x, y, z, astfel încât să aibă loc egalitatea: + + = 2. x+ y y+z z+x a) Demonstraţi că xyz ≠ 0. (5p)

b) Arătaţi că

y z x + + =1 x+ y y+z z+x

3. Într-un cerc cu raza de

(5p)

6 cm se înscrie un patrulater convex ABCD, având m (  A ) = 60°

şi m (  B ) = 45°. Calculaţi lungimile diagonalelor acestui patrulater.

(5p)

4. Se dă triunghiul ABC şi D, piciorul bisectoarei din C. Ştiind că triunghiurile ABC şi CDB

sunt asemenea, calculaţi măsurile unghiurilor triunghiului ABC.

Testul 8

(Autor: prof. Marilena Faiciuc)

(5p)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului (– 2) · (– 3) – (– 4) · (– 5) este .......... 3

 2  2 3 2. Rezultatul calculului  −  :  −  ⋅ este numărul întreg ..........  3  3 2 3. Dintre 3 5 şi 2 10 este mai mare .......... 4. Fie triunghiul ABC cu m (  A ) = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ ( BC ) . Dacă m (  ABC ) = 40°,

(5p)

2

atunci m ( CAD ) = ..........

(5p) (5p) (5p)

5. Aria unui romb cu latura de 10 cm şi măsura unui unghi de 60° este egală cu .........

(5p)

6. Dacă 20% din numărul total de elevi ai unei clase, adică 5 elevi, joacă baschet, atunci

64

în clasă sunt .......... elevi.

(5p)


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic MNPQ.

(5p)

2. O cantitate de 5500 kg cartofi se distribuie la 3 cantine direct proporţional cu numărul abonaţilor fiecăreia. Aflaţi câte kg primeşte fiecare cantină, ştiind că prima are 100 de abonaţi, a doua 200 de abonaţi, iar a treia 250 de abonaţi.

(5p)

3. Un elev citeşte o carte în 3 zile: în prima zi citeşte o treime din numărul total de pagini, a doua zi jumătate din numărul paginilor rămase şi încă 10 pagini, iar a treia zi ultimele 60 de pagini.

Aflaţi câte pagini are cartea.

(5p)

4. Pentru a umple un bazin cu apă se folosesc zilnic simultan cele 4 robinete care au acelaşi debit şi astfel bazinul se umple în 4 ore. Într-una din zile, după o oră, unul dintre robinete s-a înfundat. Aflaţi în cât timp după defecţiune celelalte 3 robinete vor umple bazinul.

(5p)

5. Dacă elevii unei clase se grupează câte 2, câte 3 sau câte 5, rămâne de fiecare dată un elev negrupat. Aflaţi câţi elevi sunt în clasă, ştiind că numărul elevilor este mai mic decât 40.

(5p)

6. Determinaţi numerele naturale a şi b astfel încât 3a + 2b = 14.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. C

1. Un elev desenează un cerc cu raza de 6 cm, după care, pornind

din punctul A, cu aceeaşi deschidere a compasului ca şi raza

cercului, marchează succesiv pe cerc punctele B, C, D, E, F.

a) Demonstraţi că următoarea marcare va fi în punctul A. (5p)

b) Calculaţi aria triunghiului ACE.

c) Arătaţi că CE  BF.

D

A

(5p) (5p)

E

2. Fie trapezul ABCD cu AB  CD, AB = 15 cm, CD = 5 cm, AD = 6 cm, BC = 8 cm. a) Dacă CF  AD, F ∈ ( AB ) , calculaţi m (  FCB ) .

b) Calculaţi aria trapezului ABCD. { } c) Dacă BC ∩ AD = S , calculaţi aria triunghiului SAB.


B

F

(5p) (5p) (5p)

65

Testul 9

(Autor: prof. Costică Lupu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 4 5  5 11 1  − ⋅  − ⋅  , este egal cu.......... 3 13  2 4 5  2. Dacă x − 1 + 3 y − 9 = 0, atunci x = .........., y = ..........

1. Rezultatul calculului

3. Dacă

(5p) (5p)

x y x2 = , atunci 2 = .......... 3 5 y

(5p)

4. Dacă apotema unui hexagon regulat este 2 3 cm, atunci aria hexagonului

este egală cu .......... cm2.

(5p)

5. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt de 9 cm şi 12 cm. Ipotenuza triunghiului

are lungimea de .......... cm.

(5p)

6. În diagrama de mai jos este prezentată evoluţia creditelor restante în sistemul bancar. Cea mai mare sumă restantă a fost de ........... mld. lei. (5p) Evoluţia creditelor restante Sume restante (mld. lei) dec. 2011 ian. 2012 feb. 2012 mar. 2012 apr. 2012 mai 2012 iun. 2012

21 21,7 22,2 22,8 23,5 24 24,8

(sursa: BNR)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Ştiind că x, y şi z sunt proporţionale cu 2, 4 respectiv 6 şi

determinaţi x, y şi z.

x +1 5 = , y + z 24 (5p)

2. Determinaţi cifra a, astfel încât numărul

a 64 − 2 ⋅13a să fie raţional. 2n+ 2

3. Arătaţi că pentru orice n ∈ , numărul a = 3

⋅4

2n +3

−2

2 n +1

⋅6

2n +3

(5p)

,

este pătrat perfect.

a) Aflaţi: m (  ADC ) , m (  DBC ) , m (  ABD ) .

(5p)

b) Aflaţi aria triunghiului BOD.

(5p)

(5p)  4. Pe cercul C (O, 2) luăm punctele A, B, C, D, în această ordine, astfel încât m ( AB ) = 70°,  ) = 110°, m ( CD  ) = 130°. m ( BC

5. Să se arate că, trapezul ABCD (AB  CD), în care AB = 4 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm şi AD = 6 cm, este dreptunghic. 66

(5p)


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie punctele A (0; – 6) şi B (8; 0), iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Aflaţi lungimea segmentului [AB].

(5p)

b) Determinaţi coordonatele punctului M.

(5p)

2. Fie un triunghi dreptunghic isoscel ABC, cu m (  A ) = 90°. Mediana [AI], I ∈ BC se prelungeşte cu [ID] ≡ [AI].

a) Demonstraţi că punctele A, B, C, D formează un pătrat.

(5p)

b) Demonstraţi că mijloacele laturilor acestui pătrat formează de asemenea un pătrat.

(5p)

3. Triunghiul ABC are AB = 7 cm, AC = 24 cm, BC = 25 cm. Determinaţi:

a) Aria triunghiului.

(5p)

b) Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii [BC].

(5p)

Testul 10

(Autor: prof. Romică Zăbrăuţanu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului

(

45 − 20 ) : 5 este egal cu ..........

(5p)

2. Media geometrică a numerelor a = 1,(6) şi b = 0,6 este ..........

(5p)

3. Un dreptunghi are lungimea egală cu 8 cm, iar lăţimea cu 2 cm mai mică.

Atunci perimetrul este egal cu .......... cm.

(5p)

4. Rezultatul calculului 20% · 1200 – 8% · 3000 este ..........

(5p)

5. Punctul de intersecţie a dreptelor care includ înălţimile unui triunghi se numeşte .......... (5p) Structura studenţilor, pe grupe de specializări, din 6. În diagrama alăturată suma învăţământul superior, în anul universitar 2011/2012

procentelor primelor două

(cele mai căutate) specializări

din învăţământul superior

este egală cu ..........% (5p)

10,1% medico-farmaceutice 12,5% juridice

21,2% ştiinţe economice

1,6% artistice

28,3% tehnice

26,3% universitar-pedagogice (sursa: Institutul Naţional de Statistică)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie ABCD un romb. Desenaţi şi denumiţi axele de simetrie ale rombului. a b−c 2. Dacă a, b, c sunt laturile unui triunghi şi = , justificaţi că triunghiul este b+c a dreptunghic. 1. Recapitularea materiei din clasele V – VII

(5p) (5p) 67



2  1   2 

3. Calculaţi  0, 25 −  −   ⋅ 3738 + ( −1)



2012

(5p)

4. Să se rezolve ecuaţia: x = 1. x 5. Exprimaţi printr-o formulă:

(5p)

a) Dublul lui a este cu 7 mai mare decât b.

(5p)

b) Triplul lui x reprezintă 20% din y.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. a) Determinaţi valorile lui n ∈ pentru care

n 2 + 17 ∈ .

(5p)

a+ b

, unde a, b ∈ +*. a b +b a 1 c) Care este zecimala de pe poziţia 603 a numărului ? 7 b) Calculaţi

(5p)

(5p)

2. Se dă dreptunghiul ABCD în care {O} = AC ∩ BD. Ştiind că tg ( m (  ACB ) ) = 2 şi că perimetrul dreptunghiului este 12 cm, aflaţi:

a) Aria dreptunghiului.

b) Aria triunghiului

(m(
c) cos

Testul 11

(5p)

BOC.

(5p) (5p)

(Autor: prof. Marius Farcaş)



16 − 9 + 25 este egal cu .......... 2. Un ceas electronic indică ora 08:08. Ceasul va arăta din nou numere identice la ore şi minute peste minimum .......... minute.

3.

(5p) (5p)

Virgil a cumpărat de la piaţă 3 kg de mere cu 3 lei/kg şi 5 kg de mere cu 5 lei/kg. Preţul mediu al unui kg de mere este de ..........lei/kg.

(5p)

4. Bunicul măsoară grădina de formă dreptunghiulară şi obţine 45 paşi pe lăţime şi 75 paşi pe lungime. Pasul bunicului este de 80 cm.

Aria grădinii este egală cu .......... m2.

(5p)

5. După ce a parcurs două treimi dintr-un traseu montan, un turist constată că a depăşit cu

2 km borna ce indică mijlocul traseului.

Lungimea traseului este de ..........km.

68

(5p)


transport

6. Cheltuielile efectuate de o familie în

timpul unei luni sunt prezentate în

diagrama alăturată.

Dintr-un venit de 3000 lei, cheltuielile

cu activităţile extraşcolare ale copiilor

sunt de ........lei.

15% alimente

15% 20%

(5p)

excursii

10%

40%

îmbrăcăminte

activităţi extraşcolare

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi două triunghiuri echilaterale ABC şi ABD care au latura comună [AB].

(5p)

2. Aflaţi elementele mulţimilor A şi B, ştiind că:

A ∪ B = {a, b, c, d , e, f } , A ∩ B = {a, c, e} şi A − B = {b} .

(5p)

3. Dacă mutăm 10 cărţi de pe primul raft al bibliotecii pe al doilea, pe acesta vor fi de două ori mai multe cărţi decât pe primul. Dacă mutăm 10 cărţi de pe al doilea raft pe primul raft, atunci pe cele două rafturi vom avea acelaşi număr de cărţi.

Câte cărţi sunt pe fiecare raft al bibliotecii?

(5p)

4. Fie numărul a = 12 ⋅ 21505 + 10816 .

a) Aplicaţi algoritmul pentru a extrage

b) Calculaţi a.



10816 .

(5p) (5p)

2 5 2

5. Calculaţi  432 ⋅ 812 − ( 5

)

 + 2760 : 925  : ( 2

)

25 4

− 570 : 2525 + ( 3

)

4 30

⋅ 310  .

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O maşină de calcul are trei butoane. Butonul roşu dublează numărul de pe ecran, butonul verde măreşte cu 10 numărul de pe ecran, iar butonul albastru, micşorează cu 10 numărul de pe ecran.

a) Dacă pe ecran este scris numărul 10 şi se acţionează butonul roşu, apoi cel verde, apoi

cel albastru, ce număr se obţine?

b) Ce număr era iniţial pe ecran, dacă în urma acţionării butoanelor roşu, albastru, verde, roşu, se obţine numărul 20?

(5p)

(5p)

c) Dacă pe ecran este scris numărul 2, care este ordinea acţionării de 3 ori a fiecărui buton, astfel încât numărul obţinut să fie cel mai mare posibil?


(5p)

69

2. Pentru realizarea unei piscine, un arhitect construieşte un cerc cu centrul în A şi raza de 5 m, apoi construieşte un cerc cu centrul în B, punct al primului cerc, şi raza tot de 5 m şi, la final, un cerc cu centrul în C, punctul

C

de intersecţie a primelor două cercuri şi raza 5 m. (Suprafaţa

astfel obţinută reprezintă suprafaţa piscinei.)

a) Care este distanţa maximă pe care o poate parcurge

un înotător în linie dreaptă?

b) Triunghiul ABC marchează zona cu adâncimea cea

mai mare. Care este perimetrul acestuia?

B

A

(5p) (5p)

c) Pe peretele interior piscinei este montată o balustradă

de inox care înconjoară piscina. Care este lungimea acestei balustrade?

Testul 12

(Autor: prof. Dana Radu)

(5p)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. −2 4 + este egal cu .......... (5p) 3 7 2. Atunci când se dublează preţul unui obiect, acesta se scumpeşte cu .......... (5p) 3. Dacă lungimea unui dreptunghi este 5 cm şi perimetrul are 16 cm, atunci lăţimea sa este egală cu ........... cm. (5p)


4. Aproximarea cu o eroare mai mică de o sutime prin lipsă a numărului − 2 este .......... (5p) C D 5. În figura alăturată, patrulaterul ABCD are AB  CD ,

AB = 10 cm, CD = 6 cm. Dacă M, N, P, Q sunt mijloacele

segmentelor [AD], [BC], [AC], respectiv [BD], atunci

lungimea segmentului [PQ] este PQ = ..........cm. (5p)

M

P

Q

N B

A

6. În diagrama alăturată este prezen-

tată evoluţia salariului mediu net

în Bucureşti în perioada 2002-2010. Nivelul maxim s-a înregistrat în anul .......... .

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un hexagon regulat ABCDEF. 2. Determinaţi numerele raţionale a şi b, ştiind că 2a = b . 70

(5p)

(5p)


3. În triunghiul ABC, fie M, N două puncte pe laturile [AB], respectiv [AC] astfel încât AM 2 AN MN  BC şi . (5p) = . Calculaţi AB 3 NC 4. Aflaţi trei numere a, b, c, ştiind că îndeplinesc simultan condiţiile: i) suma celor trei numere este 340; ii) a este de trei ori mai mic decât b; iii) c este de 13 ori mai mare decât a. (5p) 5. Fie A(1; 3), B(–1; 5) şi C(4; –2).

a) Reprezentaţi în sistemul de coordonate punctele A, B, C.

(5p)

b) Aflaţi coordonatele mijlocului segmentului [AB].

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

1. Fie A = { 0 ; 1; 2 ;...; 99 ; 100} . Fiecare element al mulţimii A se scrie pe câte un cartonaş şi apoi se introduc cartonaşele într-o cutie.

a) Câte elemente conţine mulţimea A? (5p) b) Care este probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare un cartonaş, pe acesta să fie scris un număr raţional? (5p) c) Care este probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare un cartonaş, pe acesta să fie scris un număr pătrat perfect? (5p) D

2. În exteriorul triunghiului ABC ascuţitunghic se construiesc triunghiurile echilaterale ABD şi ACE.

A

E

Fie I punctul de intersecţie a dreptelor AB şi CD, iar O punctul de intersecţie a dreptelor EB şi CD.

a) Desenaţi pe figură punctele I şi O.

b) Demonstraţi că ∆DAC ≡ ∆BAE şi [ BE ] ≡ [ DC ].

c) În cazul particular AB = AC = 10 cm şi BC = 12 cm, aflaţi lungimile înălţimilor

(5p)

C

B

triunghiului ABC.

Testul 13

(5p) (5p)

(Autor: prof. Marinela Georgescu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă x 2 = 4 şi x Î atunci x este egal cu ..........

(5p)

2. Dacă 8 kg mere costă 248 lei, atunci 2 kg mere costă .......... lei.

(5p)

3. După o ieftinire cu 25% preţul unui obiect devine 870 lei. Preţul iniţial al obiectului a fost de ........... lei.

4. Un trapez are linia mijlocie de lungime egală cu 80 cm, iar aria sa egală cu 1680 Înălţimea trapezului are lungimea egală cu ..........cm.

2. Recapitularea materiei din clasele V – VII şi a VIII-a semestrul I

(5p) cm2. (5p) 71

5. Se consideră prisma dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral.

Se ştie că AB = 8 cm şi AA' = 3 3 cm.

Distanţa de la A' la BC este egală cu .......... cm.

(5p)

6. În figura alăturată sunt reprezentate temperaturile înregistrate în zilele de miercuri, joi, vineri şi sâmbătă ale

Temperatura (ºC)

primei săptămâni din

15 º

anul 2012. Temperatura

medie pentru zilele de

miercuri, joi şi vineri

este de .......... ºC. (5p)

10º 5º Miercuri Joi Vineri Sâmbătă ziua

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, prisma regulată dreaptă triunghiulară ABCDEF. (5p) ìï ü 13 2. Se consideră mulţimea A = í x Î  | x < ïý . Enumeraţi elementele mulţimii A Ç * . (5p) ïïî 4 ïïþ 3. La sfertul numărului x se adună jumătatea acestuia. Din această sumă se scade 1,25 şi se obţine 5,5. Determinaţi numărul x. (5p) 4. Se consideră expresia E ( x) =

a) Simplificaţi E(x).

x 2 + 10 x + 25 x 2 - 25

, x Î  \ {±5} . (5p)

-1

b) Rezolvaţi ecuaţia E ( x) = ( x - 5) . (5p) 5. Arătaţi că numărul N = ( x + 5) 2 - (2 x + 10)( x - 5) + (5 - x) 2 este pătratul unui număr real oricare ar fi x Î .

(10p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un vas în formă de prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătrat şi muchia bazei de lungime egală cu 5 cm şi înălţime de 12 cm, conţine apă până la o treime din înălţime. a) Calculaţi tangenta unghiului format de diagonala [D'B] a prismei şi planul (ABCD). (5p) b) Calculaţi perimetrul triunghiului D'AC. (5p) c) La ce înălţime se va ridica apa, dacă vasul, închis etanş, se va aşeza astfel încât baza să aibă dimensiunile 5 cm şi 12 cm? (5p) A

2. 72

Figura alăturată, reprezintă schiţa unui spaţiu comercial de forma unui romb ABCD. În interiorul acestuia se află un spaţiu destinat vânzării produselor alimentare reprezentat în figură de pătratul BEDF, iar punctele E şi F aparţin dreptei AC. B Se ştie că AC = 48 m şi BD = 14 m. a) Calculaţi aria întregului spaţiu comercial. (5p) b) Calculaţi aria spaţiului în care nu se vând produse alimentare. (5p) c) Calculaţi perimetrul spaţiului comercial ABCD. (5p)

E D

F C


Testul 14

(Autor: prof. Doina Moldoveanu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Mulţimea divizorilor întregi ai numărului 12 este .......... (5p) 2. Descompunerea în factori primi a numărului 20 este .......... (5p) 3. Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 şi 20 este .......... (5p) 4. O sobă consumă 15 kg de lemne pe zi de iarnă. Cantitatea de 750 kg de lemne ajunge pentru .......... zile (5p) 5. Un atlet a alergat într-o zi 12 km, a doua zi 14,2 km, a treia zi 16,8 km şi a patra zi 18 km. Distanţa medie parcursă pe zi de către atlet este de .......... km (5p) 6. Oana avea de rezolvat în weekend 12 exerciţii la matematică. Dacă a rezolvat sâmbătă 75% din temă, pentru duminică i-au rămas .......... exerciţii. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. La un magazin se fac două oferte la acelaşi produs: i) La 5 kg de zahăr cumpărat primiţi 1 kg în plus. ii) La fiecare două kilograme de zahăr cumpărat, aveţi o reducere de 10%. Care ofertă este mai avantajoasă? (5p) 2. Unghiurile AOB şi AOC sunt adiacente, (OD este bisectoarea unghiului BOC. Cunoscând m(AOC) = 14° şi m(COD) = 22°, calculaţi: a) m(BOD). (5p) b) m(AOB). (5p) 3. Masa individuală a elevilor are blatul de lemn de formă dreptunghiulară cu lungimea de 80 cm şi lăţimea de 65 cm. Calculaţi perimetrul mesei. (5p) 4. Ileana propune Mariei un joc: gândeşte-te la un număr, înmulţeşte-l cu 5, adună cu 8 şi vei obţine acelaşi rezultat ca atunci când înmulţeşti acel număr cu 2, aduni cu 5 şi toată suma o înmulţeşti din nou cu 2. Ce număr a găsit Maria? (5p) 5. Roata stricată a unei biciclete a rămas cu 6 spiţe, deci s-au format 6 unghiuri în jurul unui punct. Dacă măsurile a 5 dintre ele sunt: 80°, 45°, 65°, 70° şi respectiv 60°, cât este măsura celui de-al şaselea unghi? (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O sală de clasă cu lungimea de 10,8 m, lăţimea de 6 m şi înălţimea de 4 m, care are o uşă de 1,80 m înălţime şi 1,20 m lăţime şi trei ferestre dreptunghiulare cu dimensiunile de 2,5 m şi 2 m, se văruieşte (pereţii şi platforma). a) Calculaţi suprafaţa uşii şi suprafaţa unei ferestre. (5p) b) Ştiind că la 1 m2 se folosesc 0,2 kg de var şi că se văruieşte de două ori, aflaţi câte kilograme de var sunt necesare. (5p) c) Dacă pentru un elev sunt necesari 8 m3 de aer, care este numărul maxim de elevi ce pot învăţa în acea clasă? (5p) 2. Un autoturism se deplasează pe o autostradă cu viteză constantă de 120 km/h. Dacă a plecat de la ora 6 şi s-a oprit la ora 11, aflaţi: a) Ce distanţă a parcurs după 2 ore? Dar după 3 ore? (5p) b) Reprezentaţi grafic mişcarea autoturismului. (5p) c) După câte ore a parcurs 540 km? (5p) 2. Recapitularea materiei din clasele V – VII şi a VIII-a semestrul I

73

Testul 15 (Autor: prof. Gina Caba)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 2 · 13 – 52 este egal cu ..........

(5p)

2. Media aritmetică a numerelor 19 şi 91 este ..........

(5p)

3. Fie mulţimile A = {3; 5; 7} şi B = {2; 5; 6} . Mulţimea A ∪ B este egală cu ..........

(5p)

4. Un romb are latura de lungime 12 cm. Perimetrul rombului este egal cu .......... cm.

(5p)

5. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC, având lungimile catetelor AB = 3 cm, AC = 4 cm, în punctul A, se ridică perpendiculara pe planul triunghiului pe care se consideră

punctul V astfel încât AV = 2,9 cm. Distanţa de la V la planul (ABC) este de .......... cm.

(5p)

6. În diagrama alăturată este

prezentată evoluţia salariului

mediu brut pe ţară în perioada

august 2011 – iulie 2012.

Diferenţa dintre cel mai mare şi

cel mai mic venit salarial mediu

lunar a fost de ......... lei.

(5p)

(sursa: Institutul Naţional de Statistică)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Prin punctul O, de intersecţie a diagonalelor pătratului ABCD, se ridică perpendiculara [OV] pe plan şi se ia punctul V, astfel încât VO = 2 3 cm. Construiţi segmentul a cărui

lungime reprezintă d(V, AB).

(5p)

2. Perimetrul şi aria unui triunghi echilateral sunt exprimate prin acelaşi număr real.

Aflaţi lungimea laturii triunghiului.

(5p)

3. Un funcţionar avea salariul de 1200 lei lunar. În anul 2010 veniturile salariale au fost reduse cu 25%, iar în anul următor cu încă 10%.

a) Care a fost salariul lunar net al funcţionarului în anul 2010?

b) Cu ce sumă s-a redus salariul lunar după a doua reducere şi cât câştigă acum funcţionarul?

(5p)

(5p)

4. Un unghi ascuţit al unui trapez isoscel este de 45°, iar bazele au lungimile de 24 cm,

respectiv 18 cm. Calculaţi aria trapezului.

5. Fie numerele 74

x = 23

·3·

54

·

1320

şi y = 2 ·

32

·

53

·

1320. Aflaţi

x . y

(5p) (5p)


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un fermier deţine un teren de formă dreptunghiulară, latura estică având lungimea de 102 m, iar cea sudică de 108 m. El doreşte să planteze arbuşti fructiferi, pe rânduri, respectând condiţiile: • Distanţa dintre rânduri, precum şi de la arbuştii de pe margine la gardul care va împrejmui suprafaţa să fie de 3 m; • Distanţa dintre arbuşti (pe fiecare rând) să fie de 1 m; • Rândurile orientate de la nord la sud. a) Câte rânduri trebuie să proiecteze şi câte plante îi sunt necesare? (Rotunjiţi la sute.) (5p) b) Gardul trebuie să fie înalt de 1,80 m şi din plasă de sârmă (aceasta se vinde numai la role de 50 m). Ce lăţime trebuie să aibă plasa, ştiind că aceasta trebuie îngropată 20 cm în pământ şi câte role trebuie să cumpere? (5p) c) Câţi stâlpi sunt necesari pentru construcţia gardului, ştiind că aceştia se plasează din 3 m în 3 m? (5p) d) Faceţi un calcul estimativ pentru înfiinţarea acestei culturi, ştiind următoarele costuri: 1 plantă: 4,5 lei bucata, 1 rolă de plasă de sârmă: 480 lei, 1 stâlp: 12 lei, iar sistemul de irigaţii costă 9000 lei. (5p) 2. Pentru irigarea unei culturi, un gospodar are nevoie de un sistem de irigare prin picurare. Vânzătorul i-a pus la dispoziţie o schemă ca în figura de mai jos. Cultura gospodarului este pe 8 rânduri, având lungimea de 50 m, distanţa dintre rânduri fiind de 3 m, iar până la sursa de apă sunt 150 m. a) Câţi m de tub şi câţi m de ţeavă polietilenă trebuie să achiziţioneze? (Ţineţi cont de faptul că este necesar un surplus de 10% la materiale pentru eventuale pierderi.) (5p) b) Calculaţi necesarul de componente: filtru pentru nisip, racorduri, dopuri şi cârlige

pentru fixare, conform schemei şi legendei date.

(5p)

ţeavă aducţiune

ţeavă distribuţie

Sursa de apă

Lungime suprafaţă (L)

LEGENDĂ

Lungime tuburi (l)


75

Testul 16 (Autor: prof. Ana Poştaru)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 12 6 : ( −6 3 ) este ..........

(5p)

2. Probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri suma punctelor de pe feţe

să fie un număr prim este ..........

3. Media geometrică a numerelor 4. Un cerc are aria 1,44π

cm2.

(5p) 5 − 1 şi

5 + 1 este ..........

(5p)

Lungimea cercului este .......... π cm.

(5p)

5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este 72 2 cm.

Diagonala unei feţe are lungimea de .......... cm.

(5p)

6. Cheltuielile făcute de o gospodină timp de o săptămână sunt trecute în tabelul de mai jos.

Suma cheltuită în medie pe zi este de .......... lei.

Ziua L Ma săptămânii Suma cheltuită 25 21 (lei) (exprimaţi suma cu două zecimale)

(5p)

Mi

J

V

S

D

16,5

28

12

18,5

20

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată şi haşuraţi bazele.

(5p)

2. Ioana şi Alexandru au împreună 54 de creioane colorate. Dacă Ioana i-ar da lui Alexandru 20 de creioane, acesta ar avea un număr dublu de creioane faţă de Ioana.

Câte creioane are fiecare?

(5p)

3. În cabinetul de biologie se desfăşoară un experiment folosindu-se microscoapele din dotare. Dacă se aşază câte doi copii la un microscop, un copil rămâne neaşezat. Dacă se aşază câte trei copii la un microscop, la un microscop se aşază doar doi copii şi cinci microscoape rămân libere.

a) Câţi copii sunt în clasă?

(5p)

b) Câte microscoape sunt în cabinet?

(5p)

4. Arătaţi că

( x2 + x ) ( x2 + x + 6) + 9

5. Rotunjiţi la zecimi numărul 2 2.

76

este pătrat.

(5p) (5p)


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. Trapezul MATE, din figura alăturată, reprezintă suprafaţa unei camere de mansardă. a) Exprimaţi în funcţie de x aria 2m M A triunghiului SET. (5p)  b) Câţi m2 de parchet sunt necesari S  pentru parchetarea încăperii MATE? (5p)  c) Câţi m de plintă sunt necesari, ştiind x că pe latura [MA] este prevăzută o uşă  cu lăţimea de 1 m? (5p) N  E (exprimaţi printr-un număr întreg) 4m d) Calculaţi aria suprafeţei MATS, pentru x = 2 m. (5p)

      

3m

1.

T

2. În figura alăturată, este reprezentată o parte dintr-un teren de baschet.  , a) Calculaţi lungimea arcului de cerc CD

ştiind că [CD] este un diametru al cercului din care  şi CD = 4 m. (5p) provine arcul CD

 b) Demonstraţi că tangenta în A la arcul CD

(notată a) este perpendiculară pe planul (BOA). (5p)

c) Calculaţi distanţa de la B la dreapta a ştiind că OB = 3,5 m.

B

C

(5p)

O D


a A

77

Testul 17 (Autor: prof. Marinela Canu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Opusul numărului 3 + 1 – 31 este ..........

(5p)

2. Fie y un număr real. Rezultatul calculului 2y : 2 + 2y este egal cu.......... 9 5 3. Numărul natural din mulţimea A = 0, ( 3) ; − ; ; 49 ; −0, 5 este .......... 3 2 4. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A cu AC = 12 cm. Dacă sin B = 0,8, atunci

(5p)

{

}

(5p)

lungimea [BC] este egală cu .......... cm.

5. Punctele A, B, C, D se află pe un cerc în această ordine.

Măsura unghiului ABD este de 35°. Atunci măsura unghiului

ACD este egală cu ..........°.

B

(5p)

„Dreptele AB şi B′C′ sunt coplanare“ este ..........

D

35°

6. Fie cubul ABCDA′B′C′D′. Valoarea de adevăr a propoziţiei:

(5p)

A

C

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Câţi m3 de pietriş sunt necesari pentru a acoperi aleea unui parc lungă de 35 m

şi lată de 2,2 m, dacă pietrişul trebuie să aibă o grosime de 12 cm?

(5p)

2. Un grup de 88 de turişti este condus de un ghid care le cere: „împărţiţi-vă în două grupe, astfel încât o cincime din numărul turiştilor din grupa întâi să fie egală cu o şesime a numărului din grupa a doua“. După câteva minute un turist spune: „40 în grupa întâi,

48 în grupa a doua“. Cum a calculat?

3. Fie

(5p)

E (x) = x3 + 2x2 – x – 2.

a) Descompuneţi E (x) în factori.

(5p)

b) Demonstraţi că E (n)  6, n ∈ *, n 3 . (5p) 8   1 36 4 0  15  21 12 ( ( ) ) ( ) 4. Fie x = −25 : 5 + 5 : −125 − −3 şi y =  +  :  − 11  + 11 . 11 + 3   2  4 − 11 a) Verificaţi dacă x ∈ ( −∞; 368 ) (5p)

b) Aflaţi partea întreagă a numărului y. (Se notează [y]).

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O tablă de oţel în formă de hexagon regulat, cu latura de 60 cm, trebuie vopsită pe ambele părţi.

a) Aflaţi suprafaţa ce trebuie vopsită. (5p) 2 b) Să se calculeze cantitatea de vopsea necesară, dacă pentru 6,5 cm se consumă 1,5 g de vopsea.

78

(5p)


2. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 3 cm, BC = 4 cm, E mijlocul laturii [AD], AC ∩ BD = {O} . De aceeaşi parte a planului (ABCD) se ridică perpendicularele [MB] şi [CP] astfel încât MB = 1 cm şi PC = 5 cm. Se cer:

a) d(P; E);

(5p)

b) d(P; AD);

(5p)

c) poziţia planelor (MAB) şi (PDC);

(5p)

d) m ((MA, DC)); m ((MP, AD)).

(5p)

P

M

A

D

B

C

Testul 18 (Autor: prof. Nadia Bărbieru)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia ecuaţiei – x + 4 = 7 este egală cu .......... 2. Fie mulţimea A = {4; 9; 8} şi mulţimea

(5p)

B = {32, x, 23}.

Ştiind că A = B atunci valoarea

lui x este egală cu ..........

(5p)

3. Dacă x + y = 30 şi y + z = 15 atunci 2x + 7y + 5z este egală cu ..........

(5p)

4. Un pătrat are latura de 8 cm. Atunci raza cercului circumscris pătratului este egală cu ... (5p) 5. Fie ABCDA'B'C'D' cub. Măsura unghiului dintre dreptele AD' şi D'C este de ..........°.

(5p)

6. Figura de mai jos reprezintă graficul deplasării unui autoturism pe parcursul a 7 ore.

În acest interval de timp autoturismul a parcurs .......... km.

(5p)

Distanţa (km) 365 300 210 150 100 1

2

3

4

5

6

7

Timpul în ore 2. Recapitularea materiei din clasele V – VII şi a VIII-a semestrul I

79

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un tetraedru regulat MNPQ.

(5p)

2. Un copil şi-a cumpărat 4 pachete de biscuiţi şi 5 pachete de napolitane folosind în total suma de 19 lei. Ştiind că pachetul de biscuiţi costă 2,5 lei, aflaţi care este preţul

pachetului de napolitane. (5p) 1 3. O persoană a cheltuit dintr-o sumă de bani în prima zi, a doua zi a cheltuit 20% din sumă 4 2 iar cea de-a treia zi a cheltuit din sumă rămânând cu 675 lei. 5 a) Ce sumă de bani a avut iniţial persoana? (5p)

b) Verificaţi dacă cu suma rămasă de bani persoana îşi poate achiziţiona un televizor care

costă cu 224 lei mai puţin, decât suma de bani pe care a cheltuit-o în cea de-a doua zi. (5p)

4. Fie funcţia f :  → , f ( x ) = ax + b. Determinaţi a şi b ştiind că reprezentarea grafică a funcţiei trece prin punctele A (0; – 1) şi prin punctul B (– 2; – 5). 5. Arătaţi că numărul A = 3

(

−1

3 − 2 5 ) + 3 ( 2 − 3 ) − 180 este număr natural. 2

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O incintă are forma unui cub ABCDA'B'C'D' cu muchia de 8 m.

a) Calculaţi distanţa de la punctul D' la dreapta AC.

(5p)

b) Aflaţi aria triunghiului BB'D'.

(5p)

c) Dacă pereţii laterali ai incintei se zugrăvesc cu vopsea lavabilă, aflaţi numărul de cutii

necesare, ştiind că o cutie de vopsea este necesară pentru zugrăvirea a 40 m2.

(5p)

2. Figura alăturată reprezintă schiţa unui teren de joacă având lungimea AB = 28 m şi lăţimea AD = 18 m, iar în cadrul terenului este constituită o piscină de forma unui semicerc de

diametru [BC]. a) Dacă piscina este înconjurată de un gard,

aflaţi lungimea gardului. (5p) b) Ştiind că terenul de joacă este acoperit cu gazon,

aflaţi suprafaţa gazonului. (5p) c) Suprafaţa ce reprezintă fundul bazinului este D C placată cu gresie. Plăcile de gresie se află în cutii de 20 de bucăţi, iar o placă de gresie are forma unui pătrat de latură 25 cm. Ştiind că pentru

A

B

placare a fost necesară achiziţionarea a 110 cutii, aflaţi cât la sută reprezintă pierderile. (5p)

80


Testul 19 (Autor: prof. Florentina Enea)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Restul împărţirii numărului 2500 la 300 este egal cu ..........

(5p)

2. Cel mai mare număr întreg mai mic decât – 5,25 este .......... 12 3. este număr natural dacă x ∈ .......... x 4. În paralelogramul NMPQ, măsura unghiului P este de 48° 30' 10". Atunci măsura unghiului N este .....°.....′.....″. 5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este egală cu 72 cm. Lungimea diagonalei cubului este de ..........cm. 6. Dacă ABCDA'B'C'D' este cub atunci m (C'BD) = ..........°.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. 2.

Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază ABC. (5p) Fie expresia E (x, y) = x2 + 4y2 + 6x + 12y + 18. a) Calculaţi E (2; 0). (5p) b) Aflaţi numerele reale x şi y, ştiind că E (x, y) = 0. (5p)

3. Fie m = 3 − 2 + 1 − 2 şi n = (1 + 2 ) − (1 − 2 ) . Determinaţi media aritmetică şi media geometrică a celor două numere. 2

2

(5p)

4. Determinaţi mulţimea soluţiilor reale, scrisă sub formă de interval, a inecuaţiei x + 2 < 1 . (5p) 5. Determinaţi perimetrul dreptunghiului de dimensiuni x şi y ştiind că x2 + y2 = 25 şi xy = 12. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În trapezul isoscel ABCD (AB  CD) cu măsura unghiului A de 60° şi laturile neparalele congruente cu baza mică [CD], arătaţi că: a) AC ⊥ BC. (5p) b) Dacă punctul M este mijlocul laturii [AB], atunci DM ⊥ AC. (5p) { } c) Dacă AB = 8 cm, determinaţi perimetrul triunghiului ABP, unde P = AD ∩ BC . (5p) 2. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc muchiile AB = 2 3 cm, BC = 2 6 cm, AA′ = 3 2 cm. Punctele M şi N sunt mijloacele muchiilor

[B'C'], respectiv [A'D'].

a) Demonstraţi că planele (AA'M) şi (CC'N) sunt paralele. b) Determinaţi măsura unghiului dintre dreptele AM şi CN. c) Determinaţi distanţa de la B la AM.


(5p) (5p) (5p) 81

Testul 20 (Autor: prof. Adrian Ciupitu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului ( 24 3 + 8 12 ) : ( 4 3 ) este egal cu .......... 2. Rezultatul calculului ( 24

(5p)

12 ) : 4 ⋅

3 +8 3 este egal cu .......... (5p) 3. Partea întreagă a numărului – 0,25 este .......... (5p) 4. Suma lungimilor muchiilor unui tetraedru regulat, de muchie 5 cm este egală cu .......cm.(5p) 5. Dacă 3x + 8 = y şi x = – 1, atunci y = .......... (5p) 6. Diagonala cubului de muchie 2 3 cm este egală cu ..........cm.

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. ab 3 = . 1. Determinaţi numărul natural ab , scris în baza 10 de numeraţie, a ≠ b, dacă ba 8 2. Aflaţi numerele care, împărţite la 4, dau câtul 10 şi restul diferit de zero. 3. Pe planul triunghiului isoscel ABC, cu AB = AC = 5 cm şi BC = 8 cm, se ridică 4. 5.

(5p) (5p)

perpendiculara [AM], AM = 3 cm. Calculaţi: a) Distanta de la M la BC. b) Aria triunghiului MBC. Rezolvaţi în  ecuaţia |2x + 1| = 7. Trapezul ABCD, de baze (AB) şi (CD), şi dreptunghiul CDEF se găsesc plane diferite. Arătaţi că dreptele BE şi AF sunt concurente.

(5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se consideră un trapez isoscel cu bazele 4 2 şi 8 2 şi A diagonalele perpendiculare. Calculaţi: a) Înălţimea trapezului. (5p) b) Lungimea liniei mijlocii a trapezului. (5p) c) Aria trapezului. (5p) d) Lungimea înălţimii corespunzătoare bazei triunghiului D isoscel format din prelungirea laturilor neparalele ale trapezului cu baza mare a trapezului. (5p) H 2. Se consideră prisma patrulateră regulată ABCDEFGH cu lungimea laturii bazei de 6 2 cm şi muchia laterală de E lungime egală cu 6 3 cm. a) Aflaţi distanţa de la E la AD. (5p) D b) Determinaţi măsura unghiului format de planele (EBD) şi (GBD). (5p) A

82

4 2

B

O

C

8 2

G F

C B


Testul 21 (Autor: prof. Costică Lupu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 2 8 − 3 18 + 5 50 este egal cu..........

(5p)

2. Dacă 3x – 2 = 0, atunci ( 2 x + 3) ⋅ 9 x + 5 + 3 x ⋅ 9 x + 12 x + 13 = ..........

(5p)

2

2

3. Suma

S=

1 2 +1

+

1 3+ 2

+

1 4+ 3

+ ... +

1 121 + 120

este este egală cu..........

(5p)

4. Laturile unui triunghi sunt de 4 cm şi 5 cm, iar unghiul cuprins între ele de 30°.

Aria triunghiului este .......... cm2.

(5p)

5. Diagonalele unui romb sunt de 6 cm şi 8 cm. Perimetrul rombului este de ..........

(5p)

6. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt de 15 cm şi 20 cm.

Înălţimea corespunzătoare unghiului drept este de ..........

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie funcţia f :  → , care verifică relaţia: f (x – 1) = 3x + 4 – f (1), oricare ar fi x ∈ .

a) Calculaţi f (1) + f (– 1).

(5p)

b) Determinaţi funcţia f.

(5p)

c) Rezolvaţi în inecuaţia: f (x) + 5 ≤ 12.

(5p)

2. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 2a şi BC = a. Fie P, Q, R mijloacele laturilor

[AB], [AD] şi [BC]. Demonstraţi că:

a) Triunghiul PQD este congruent cu triunghiul PRC.

(5p)

b) [DP este bisectoarea unghiului ADC.

(5p)

c) Precizaţi natura triunghiului PDC.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D' 1. Fie cubul ABCDA'B'C'D' din figura alăturată.

a) Scrieţi trei drepte paralele cu planul (ADD').

b) Precizaţi două drepte perpendiculare

pe planul (ACC').

(5p)

A'

B' D

(5p)

2. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu

C'

A

C B

AB = AA' = 8 3 cm şi BC = 8 cm.

a) Determinaţi măsura unghiului dintre dreptele AB şi D'C.

(5p)

b) Aflaţi lungimea diagonalei [AC'].

(5p)


83

3. Piramida triunghiulară VABC are baza ABC triunghi echilateral, iar feţele laterale triunghiuri dreptunghice isoscele şi muchiile laterale de lungime 6 cm. Calculaţi:

a) aria bazei;

(5p)

b) aria unei feţe laterale.

(5p)

Testul 22 (Autor: prof. Marilena Faiciuc)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Un număr din  \  este ..........

(5p)

2. Rezultatul calculului 2 3 − 3 2 + 12 − 18 este numărul natural ..........

(5p)

3. Mulţimea {x ∈  | x < 3} scrisă sub formă de interval este ..........

(5p)

4. Un tetraedru are un număr de .......... vârfuri.

(5p)

5. Fie ABCD un paralelogram situat în planul α, AC ∩ BD = {O} şi un punct V ∉ α.

Intersecţia planelor (VAC) şi (VBD) este dreapta ..........

(5p)

6. În cubul ABCDA'B'C'D', măsura unghiului format de AB' şi CD' este egală cu .........°.

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi dreptunghic ABC inclus în planul α şi un punct D ∉ α.

(5p)

2. Stabiliţi dacă ( 2 + 8 − 2 18 ) ( 4 + 50 − 2 ) = 28. 1 1  x  x = 2 x + 3 . 3. Dacă x ∈  \ {−2; 0; 2} , arătaţi că  − − 2 : 2  x − 2 2x + 4 x − 4  2x − 8 4. Calculaţi

(

2+ 3 − 2− 3 −1

5. Stabiliţi dacă ( 5 2 − 2 5 ) ⋅

)

2

(5p) (5p)

.

(5p) 30

5 2+2 5

este număr natural.

(5p)

6. Aflaţi x ∈  astfel încât −2 x + 1 = 5.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Picioarele unei mese de călcat, (BC) şi (AD), au

d1

d2 B

aceeaşi lungime şi se deschid astfel încât

triunghiul AOB este dreptunghic isoscel,

AB ⊥ d1, AB ⊥ d2, CD ⊥ d3, CD ⊥ d4

(d1, d2, d3, d4 sunt dreptele suport ale

tijelor de susţinere).

a) Stabiliţi de ce planul mesei (ce conţine AB, d1 şi d2) este paralel cu podeaua.

(5p)

b) Dacă AB = 40 cm şi CO = 2 BO, calculaţi CD şi AD.

(5p)

84

A

O d4

C

d3

D


2. Pe planul triunghiului ABC, cu AC = 20, BC = 15 şi m(C) = 90°, se ridică perpendicularele (AA'), (BB'), (CC') astfel încât AA' = CC' = 16 şi BB' = 26.

a) Arătaţi că CC'  (ABB') şi că AC ⊥ (BCC').

(5p)

b) Calculaţi perimetrul triunghiului A'B'C'; A'C' ⊥ C'B',

(5p)

c) Calculaţi distanţa de la A' la BC.

(5p)

d) Calculaţi distanţa de la C' la AB.

(5p)

Testul 23 (Autor: prof. Constantin Apostol)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă media aritmetică a numerelor 7 şi x este egală cu media geometrică

a aceloraşi numere, atunci x = ..........

2. În triunghiul ABC are loc relaţia:

AC2

(5p) =

triunghiului sunt ........ şi .........

AB2

+

BC2. Atunci

laturile perpendiculare ale

x 3. Dacă numerele 3x şi 5y sunt proporţionale cu 7 şi 7, atunci = .......... y 4. Media geometrică a pătratelor numerelor 2 3 şi 3 2 este egală cu ..........

(5p) (5p) (5p)

5. O piramidă are, în total, 30 de vârfuri, muchii şi feţe. Atunci:

▪ numărul de vârfuri este egal cu ..........

▪ numărul de muchii este egal cu ..........

▪ numărul de feţe este egal cu ..........

(5p)

6. Pentru ca să putem restrânge în pătratul unei diferenţe de două numere reale,

la expresia 9m2 + 3m + 1, trebuie să adunăm ..........

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1 , ştiind că a2 – 3a + 1 = 0. a2 2. Determinaţi măsurile unghiurilor unui triunghi, ştiind că trei dintre unghiurile sale 1. Calculaţi a 2 +

(5p)

exterioare au măsurile proporţionale cu numerele 14; 14 şi 11 şi suma măsurilor

celorlalte trei, egală cu 330°.

3. Rezolvaţi în  ×  ecuaţia:

x2 – y2 + 4x – y + 3 = 0.

(10p) (5p)

4. Se dă numărul impar n. Arătaţi că există o singură pereche de numere

naturale consecutive (a, b), pentru care a2 – b2 = n.

(5p)

5. Arătaţi că orice triunghi, care are două laturi proporţionale cu numerele 2 6 şi 3 2 ,

iar unghiul dintre ele are măsura de 30°, este dreptunghic.


(5p) 85

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Determinaţi toate numerele naturale nenule, care împărţite la 17 dau câtul egal cu restul şi,

împărţite la 23, dau, de asemenea, câtul egal cu restul.

2. Fie numerele reale pozitive a, b, c, astfel încât

(5p)

b+c 3 +1 a+c = = 3. şi a 2 b

a+b . c b) Arătaţi că a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi, ale cărui unghiuri

pot fi determinate.

a) Determinaţi valoarea raportului

(5p) (10p)

3. a) Demonstraţi că dacă un număr natural nenul poate fi scris ca produs de trei numere

consecutive, atunci acesta poate fi scris şi ca sumă de trei numere consecutive. (5p) b) Demonstraţi că dacă un număr natural nenul poate fi scris ca produs de patru numere

consecutive, acesta nu poate fi scris ca sumă de patru numere consecutive.

Testul 24 (Autor: prof. Romică Zăbrăuţanu)

(5p)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 2 3 şi mai mare este .......... 5 7 2. Media aritmetică a numerelor a = 2 3 − 3 2 + 1 şi b = 5 − 12 + 18 este .......... 1. Dintre fracţiile

(5p) (5p)

3. Dacă suplementul unui unghi este egal cu dublul măsurii sale, atunci măsura unghiului este ..........° a 3 7 a − 3b 4. Ştiind că = , atunci raportul este egal cu .......... b 4 5a + 2b 5. Partea întreagă a numărului – 23,13 este ..........

(5p)

6. Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au .......... comună.

(5p)

(5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Determinaţi măsura unghiului format de dreptele AB cu D'C în cubul ABCDA'B'C'D'. 2. Descompuneţi în produs de factori ireductibili expresia

x4 + 2x2 + 9.

(5p) (5p)

3. Un segment de dreaptă are lungimea de 2 3 cm şi face cu un plan α un unghi de 30°.

Aflaţi lungimea proiecţiei segmentului pe plan.  3x − 1  B = { x ∈  4. Fie mulţimile A =  x ∈ 1 ≤ < 3 şi 2   a) Determinaţi A şi B.

(5p) x − 1 ≤ 1} .

b) Determinaţi A ∩ B .

(5p)

5. Diagonala unui cub este 6 3 cm. Aflaţi aria totală a cubului. 86

(5p) (5p)


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se consideră expresia E(x) = x2 – (m + 2)x + 6. a) Să se determine m ∈ , astfel încât E(– 1) = 12. E ( x) b) Pentru m = 3 simplificaţi . x2 − 4 x−3 c) Determinaţi x ∈  astfel încât ∈ , x ≠ −2. x+2 2. Dreptunghiurile ABCD şi ABC'D' sunt situate în plane diferite. Fie O şi O' punctele de

(5p) (5p) (5p)

intersecţie a diagonalelor celor două dreptunghiuri. Demonstraţi că:

a) CD  (ABC');

(5p)

b) CD  C'D';

(5p)

c) OO'  (DAD').

(5p)

Testul 25 (Autor: prof. Marius Farcaş)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 12012 + 02012 + 20121 – 20110 este egal cu ..........

(5p)

2. Găsiţi o regulă de scriere a şirului: 0; 1; 4; 9; 16; ... şi scrieţi termenul următor ..........

(5p)

3. Cu ajutorul cifrelor 0; 1 şi 4 se pot forma .......... numere de 3 cifre.

(5p)

4. Un tetraedru regulat cu latura de 4 cm are desfăşurarea plană un triunghi echilateral

cu latura de .......... cm.

(5p)

5. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = BC = 8 cm şi AA′ = 8 2 cm.

Lungimea diagonalei [AC'] este egală cu .......... cm.

(5p)

6. În tabelul următor sunt prezentate rezultatele unei competiţii. Echipa 1 2 3 4 5

Nr. puncte

Nr. victorii 2 3 2 0 1

Nr. egaluri 1 0 0 2 1

Nr. înfrângeri 1 1 2 2 2

Dacă pentru o victorie se acordă 3p, pentru un egal 1p şi pentru o înfrângere 0p,

echipa de pe primul loc este ..........


(5p)

87

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. 2. 3. 4. 5.

Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH. Se consideră mulţimea A = [– 3; 5). Enumeraţi elementele mulţimii A ∩ N . Media aritmetică a patru numere este 4,5, iar media aritmetică a primelor două este 6. Aflaţi media aritmetică a ultimelor două. Numerele reale x şi y verifică relaţiile x2 + y2 = 85 şi x + y = 13. a) Calculaţi valoarea produsului xy. b) Dacă x > y, calculaţi x – y. Arătaţi că numărul 2012  1  ( )−2012 este natural. a= + (5 + 2 6 ) ⋅ 5+ 2 6 2012  ( 5 − 2 6 ) 

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

Alex şi tatăl lui au construit o cuşcă pentru iepuri, ca în desenul alăturat (cuşca este fără fund pentru a permite iepurilor să mănânce iarba). Dimensiunile cuştii sunt: 1 m lungimea, 80 cm lăţimea şi 60 cm înălţimea. Scheletul metalic este construit din ţeavă, iar feţele laterale şi cea superioară au fost acoperite cu o plasă de sârmă. a) Dacă pierderile sunt de 20%, care este lungimea ţevii necesară construcţiei? b) Care este aria plasei ce acoperă cuşca? c) Într-o zi iepurii mănâncă iarba de pe 2 m2. De câte ori trebuie mutată cuşca în timpul a 10 zile?

88

15 m

2.

10 m

Un teren de sport are dimensiunile din figură şi 40 m este vopsit în două culori astfel: cercul din centru, precum şi cele două semicercuri cu vopsea galbenă, iar restul cu vopsea albastră. 4m a) Care este aria terenului? (5p) b) Dacă pentru vopsirea unui metru pătrat de teren este necesară o cantitate de 200 ml de vopsea, câte cutii cu capacitatea de 0,5l de vopsea galbenă sunt necesare pentru vopsirea terenului? (Se consideră π  3,14) (5p) c) Câte cutii de vopsea albastră, cu capacitatea de 2l, sunt necesare pentru vopsirea terenului? (5p) 10 m

1.

(5p) (5p) (5p)


Testul 26 (Autor: prof. Marinela Georgescu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă 2 · (x + 3) = 10, atunci numărul x este egal cu ..........

(5p)

2. Dacă 4 muncitori termină o lucrare în 5 ore atunci 2 muncitori vor termina lucrarea

în .......... ore.

(5p)

3. După o majorare cu 20% un stilou costă 54 lei. Preţul iniţial al stiloului a fost de ..... lei. (5p) 4. Un paralelogram are dimensiunile de 6 cm şi 10 cm. Măsura unghiului ascuţit al

paralelogramului este egală cu 30°. Aria paralelogramului este egală cu .......... cm 2. D'

5. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' din figura alăturată.

Măsura unghiului dintre dreptele D'A şi A'B este egală cu .......... º. (5p) A' elevii unei clase la testul de matematică

NOTA SUB 5 6 7 8 9 10 NR. ELEVI 2

C'

B' D

6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute de

(5p)

A

C B

3 7 4 6 8

Numărul elevilor care au obţinut note cel puţin egale cu 7 este egal cu ..........

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată care are baza ABC şi vârful V. (5p) 2. Se consideră mulţimea A = {x Î  / |x − 2| ≤ 3}. Enumeraţi elementele mulţimii A Ç . (5p) 3. Numărul întreg n se adună cu dublul numărului 4,5. Suma obţinută se înmulţeşte cu 2,(3) şi

se obţine rezultatul 14. Determinaţi numărul necunoscut.

(5p)

4. Se consideră funcţia f :  → . f (x) = 3x − 2.

a) Reprezentaţi grafic funcţia f. b) Determinaţi numărul real m pentru care punctul A (m; n) aparţine reprezentării

(5p)

grafice a funcţiei f.

(5p)

2 æ1- 6 x ö÷2 æ 1ö 5. Se consideră numărul real a = çç2 x - ÷÷÷ + ( 3 + 1) 2 × (1- 3 ) 2 - çç . çè 3 ÷÷ø çè 3ø Determinaţi numărul întreg negativ x, astfel încât x 2 = a.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un vas în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 3 m, 4 m şi 12 m, este plin cu apă. Se goleşte toată apa din acest vas într-un vas cubic cu lungimea muchiei de 6 m. a) Calculaţi câţi litri de apă sunt în vasul paralelipipedic.

(5p)

b) Calculaţi aria laterală a vasului cubic.

(5p)

c) Calculaţi înălţimea la care se ridică apa în vasul cubic.

(5p)


89

2. Figura alăturată reprezintă schiţa unei grădini în formă de

D

C

P

pătrat în interiorul căreia se află un rond de flori, circular şi tangent laturilor (AB), (BC), (CD) şi (DA) în punctele M, N, P şi Q. Se ştie că AB = 4 m (3,14 < π < 3,15).

a) Calculaţi aria rondului. (5p) b) Verificaţi dacă dublul ariei porţiunii gri este mai

mare decât aria rondului. (10p) c) Arătaţi că, oriunde am planta 2 copaci în zona gri a

grădinii, distanţa dintre aceştia este mai mică decât 6 m.

Q

N

A

B

M

Testul 27 (Autor: prof. Dana Radu)

(5p)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numerele întregi care se află în intervalul [−1,2;

3 ] sunt ..........

(5p)

2. Primele două zecimale exacte ale numărului −2,13 + 1,98 sunt ........... 3. Aria unui pătrat cu lungimea diagonalei de 8 cm este ..........

cm 2.

4. În figura alăturată, triunghiul ABC este isoscel,

m(A) = 20º, iar triunghiurile ABD şi ACE

sunt echilaterale.

Măsura unghiului format de dreptele

BA şi AE este ..........º.

cu 3% din 300 este ..........

(5p)

A

E

D

(5p)

5. Numărul cu 8 mai mare decât numărul egal

(5p)

C D'

B

(5p)

6. Fie cubul ABCDA'B'C'D'.

A'

Măsura unghiului format

de dreptele BC' şi A'B este .......... º.

(5p)

C' B'

D A

C B

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un burete conţine 99% apă şi cântăreşte 2 kg. Cât cântăreşte buretele uscat?

(5p)

2. Determinaţi a, b Î  ştiind că a 5 + 3b + 1 = 3 5 - 3a + 2b + 1.

(5p)

90


3. În figura alăturată, ABCD este un romb cu

M

lungimea laturii de 6 cm şi măsura unghiului A de 60º. Pe perpendiculara în A pe planul

D

rombului ABCD se consideră punctul M astfel

C

încât AM = 8 cm.

a) Completaţi figura cu diagonala [AC] şi

centrul O al rombului ABCD. (5p) b) Calculaţi:

i) distanţa de la A la BC (AE ^ BC, E Î BC);

ii) distanţa de la M la BC;

iii) distanţa de la M la BD;

(1p)

iv) distanţa de la C la planul (MAB).

(1p)

A

60º

B

(2p)

E

(1p)

a +b ³ ab . 4. Arătaţi că oricare ar fi numerele reale nenegative a şi b, avem: 2 5. Care este soluţia ecuaţiei: 11( x - 4) = 15( x 2 -16), x Î .

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O rochie costă 600 lei. Rochia se ieftineşte cu 20% şi apoi se scumpeşte cu 15%.

a) Aflaţi cât costă rochia după ieftinire.

(5p)

b) Aflaţi cât costă rochia după scumpire.

(5p)

c) Aflaţi cu cât la sută trebuie modificat preţul final pentru a fi egal cu cel iniţial.

(5p)

2. În figura alăturată, ABCD este paralelogram şi a, b, c, d

patru drepte perpendiculare pe planul paralelogramului

care trec prin punctele A, C, B, respectiv D.

Un plan α intersectează dreptele a, b, c, d, în

punctele A', B', C', D'.

d D a

a) Completaţi figura conform enunţului cu punctul B' şi

centrul O al paralelogramului ABCD.

b) Arătaţi că planele ADD'A' şi BCC'B' sunt paralele. (5p)

c) Arătaţi că A'B'C'D' este paralelogram.

A

(5p)

c C b B

C'

D'

(5p) A'


91

Testul 28 (Autor: prof. Doina Moldoveanu)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. 2. 3. 4.

Calculând 23 + 2 · 3 obţinem .......... (5p) 2 Aria unui pătrat cu latura de 3 3 este .......... m . (5p) Gigel a invitat câţiva prieteni la joacă şi a cumpărat o sticlă de 2 litri cu suc de portocale. Dacă dă fiecăruia câte un pahar de 200 ml cu suc, înseamnă că a invitat .......... prieteni. (5p) Toţi elevii unei clase au susţinut teza la matematică. Rezultatele obţinute sunt reprezentate în tabelul alăturat: Număr elevi Nota obţinută

5. 6.

1 3

2 4

2 5

7 6

4 7

7 8

2 9

2 10

În clasă erau .......... elevi. (5p) Un unghi drept s-a împărţit prin două semidrepte interioare care pornesc din vârful său în trei unghiuri congruente. Măsura unui astfel de unghi este de .......... °. (5p) Din 45 de probleme, numai 36 sunt rezolvate corect. Probabilitatea ca profesorul să găsească o problemă rezolvată corect este .......... (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. 2. 3. 4.

Mama a cumpărat 5 kg de cartofi cu 1,50 lei / kg, 4 kg de varză cu 1,20 lei / kg şi 2 kg de carne cu 15 lei / kg. Ce rest a primit de la casă la o bancnotă de 50 lei? O bluză costă 140 lei. Cât va costa bluza după o reducere de 25%? La decolare un avion urmează o traiectorie care face cu planul pământului un unghi de 30°. Menţinându-şi direcţia, după parcurgerea a 2 km, la ce înălţime faţă de pământ va fi situat avionul? Alcătuiţi un desen corespunzător. Figura de mai jos reprezintă o piesă de puzzle, cu dimensiunile indicate în cm. Ştiind că este formată numai din segmente orizontale şi verticale, aflaţi: a) Perimetrul figurii. b) Aria figurii din care provine piesa de puzzle.

(5p) (5p)

(5p)

(5p) (5p)

2

4,5 5. Bunicul avea o suprafaţă de teren de 2000 m2 şi a împărţit-o celor 5 nepoţi ai săi în mod egal, fiecare parcelă având formă de pătrat. Calculaţi lungimea laturii unei astfel de parcele. (5p) 92


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un elev a cumpărat 4 creioane şi 2 stilouri şi a plătit 36 lei. Un alt elev a cumpărat 6 creioane şi 1 stilou (identice cu primele) şi a plătit 30 lei. a) Cât costă un creion şi cât costă un stilou? b) Care este numărul maxim de creioane pe care le poate cumpăra cu 81 lei, ştiind că din toată suma cumpără creioane şi stilouri identice cu primele? 2. Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate cu muchia bazei de 4 m şi muchia 41 laterală de m. Cortul se închide cu un fermoar care porneşte din vârf şi ajunge în 2 mijlocul unei laturi a bazei. a) Calculaţi lungimea fermoarului. b) Calculaţi înălţimea cortului. c) Calculaţi volumul cortului. d) Unde trebuie instalat un bec pentru ca toate feţele laterale şi baza cortului să fie la fel de luminate?


(5p) (5p)

(5p) (5p) (5p) (5p)

93

Testul 29

(Autor: prof. Gina Caba)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.

(

)

1. Rezultatul calculului 3 + 2 - 4 + 2 este egal cu ..........

(5p)

2. Fie mulţimile A = {1; 2; 3; 4; 5} şi B = {–2; 0; 2}. Mulţimea A ∩ B = {..........}.

(5p)

3. Se dau numerele: –7; +8; –2,3; 0. Opusele numerelor date sunt ..........

(5p)

4. Diagonala unui pătrat este de 3 2 cm. Latura pătratului este egală cu ..........cm.

(5p) 3 dm

5. Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt 2 dm, 3 dm, 4 dm. Aria totală a paralelipipedului este egală cu ..........dm2.

(5p)

4 dm

2

dm

6. Un fermier a recoltat căpşuni, în ultima săptămână a lunii mai, conform graficului de mai jos. În acea săptămână fermierul a recoltat ..........kg căpşuni. kg 500 400 300 200 100

(5p)

zilele săptămânii Luni

Marţi Miercuri

Joi

Vineri Sâmbătă Duminică

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. s 1. Desenaţi, pe foaia de examen, simetrica figurii faţă de dreapta s. (5p)

2. Într-un coş sunt 15 mere, iar într-o lădiţă sunt de trei ori mai multe mere. Cu câte mere sunt mai puţine în coş decât în lădiţă?

(5p)

3. Daniel îi spune Mariei: „ Dă-mi zece lei ca să avem sume de bani egale“. Maria îi spune lui Daniel: „ Dă-mi tu 30 de lei ca să am eu de două ori mai mult decât tine“. a) Care este diferenţa de bani dintre cei doi copii?

(5p)

b) Ce sume de bani aveau cei doi copii?

(5p)

4. Se dau numerele x = 3 + 2 şi y =

2 + 3

-1

( 3)

. Stabiliţi dacă (x – 1)2 = 6y.

5. Arătaţi că diferenţa pătratelor a două numere întregi impare este multiplu de 8. 94

(5p) (5p)


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un parc are forma unui pătrat cu latura de 120 m. El este

traversat de două alei perpendiculare având lăţimea x m.

a) Arătaţi că aria suprafeţei celor două alei este x(240 – x) m2.

120 m

(5p)

xm

b) Exprimaţi aria spaţiului verde în funcţie de x. (5p)

c) În cazul x = 4, aflaţi cantitatea de sămânţă de iarbă

necesară pentru întregul parc, ştiind că pentru 100 m2 de

se utilizează 2 kg de sămânţă.

d) Pentru pavarea unei singure alei, administraţia parcului a calculat un necesar de 12 000

dale de beton de formă dreptunghiulară având fiecare lungimea de 20 cm şi lăţimea 15 cm.

Care este lăţimea unei alei şi câte dale sunt necesare în total pentru pavarea ambelor alei? (5p)

xm

120 m

(5p)

2. Doi stâlpi, având înălţimile de 10 m, respectiv 15 m

au fost fixaţi vertical faţă de sol, la distanţa de 12 m

unul faţă de celălalt.

a) Aflaţi distanţa dintre vârfurile celor doi stâlpi.

b) La ce distanţă faţă de sol se intersectează firele care unesc vârful unui stâlp, respectiv cu baza celui de-al doilea stâlp?

Testul 30

(5p)

15 m

10 m

xm

(5p)

12 m



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului –2,8 · 100 este egal cu ..........

(5p)

2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 20 este ..........

(5p)

3. Se aruncă un zar. Probabilitatea să apară faţa cu 3 puncte este .........

(5p)

4. Lungimea diagonalei unui cub cu latura de 4 cm este de ..........cm.

(5p)

5. Aria totală a unui tetraedru regulat cu latura de 10 cm este egală cu .........cm2.

(5p)

6. În tabelul de mai jos este prezentată distribuţia familiilor dintr-un sat, după numărul copiilor. Conform tabelului, în sat sunt .......... copii. Număr copii Număr familii

0 7

3. Recapitulare finală

1 17

(5p) 2 23

3 16

4 13

5 10

6 5 95

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată ABCA'B'C'.

(5p)

2. Din două localităţi, situate la 180 km una faţă de cealaltă, pornesc simultan două automobile care se întâlnesc după 2 ore. Care au fost vitezele automobilelor, ştiind că unul se deplasează cu 10 km/h mai repede decât celălalt?

(5p)

3. Un elev are la dispoziţie plăci dreptunghiulare cu lungimea de 30 cm şi lăţimea de 20 cm. a) Aflaţi numărul minim de plăci dreptunghiulare necesare elevului pentru a construi un pătrat.

5p)

b) Calculaţi lungimea laturii unui pătrat construit cu 24 dintre plăcile pe care le are la dispoziţie elevul.

(5p)

4. Se consideră funcţia f :  → , f(x) = ax – a, unde a este număr real. Punctul A(2; –3) este situat pe dreapta care reprezintă graficul funcţiei f. Arătaţi că a = –3 şi reprezentaţi grafic funcţia.

(

5. Arătaţi că (1 + x ) 1 + x

2

(5p) 1- x16 = , pentru orice x ≠ 1, apoi folosiţi rezultatul 1- x

)(1 + x )(1 + x ) 4

8

pentru a calcula 1,1 · 1,01 · 1,0001 · 1,00000001.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 7

1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic

D

în A, având AB = 4 cm, AD = 4 cm, CD = 7 cm. Fie M un punct pe baza (CD) şi MD = x cm.

M

C

4

a) Calculaţi, în funcţie de x, aria trapezului ABMD. (5p) b) Determinaţi poziţia punctului M astfel încât AABMD = ABCM .

x

A

B

4

(5p)

2. Pentru a afla volumul unui corp de formă neregulată, Ioana îl scufundă într-un vas cu apă având formă de cub. Se ştie că latura cubului este de 15 cm şi apa în vas se ridică cu 7 cm.

15

a) Cum trebuie să procedeze Ioana pentru a calcula corect volumul corpului de formă neregulată? b) Aflaţi volumul corpului.

(5p) (5p)

7 15 15

c) Câţi litri de apă ar putea turna Ioana în vas, după introducerea corpului de formă neregulată?

(5p)

d) Înălţimea corpului este neapărat egală cu înălţimea cu care se ridică apa în vas? 96

(5p)


Testul 31




4 æç 8 ö÷ : ç- ÷ este egal cu .......... 3 çè 5 ÷ø

(5p)

2. Media geometrică a numerelor 8 şi 18 este egală cu ..........

(5p)

3. Aruncăm un zar care are feţele numerotate cu cifre de la 1 la 6. Probabilitatea ca pe faţa de sus a zarului să apară un număr impar este ..........

(5p)

4. În figura alăturată, cele două discuri au acelaşi centru O. Diametrul discului mare este 8 cm, iar diametrul discului mic este de 6 cm. Aria porţiunii haşurate este egală cu

..........cm2.

O

(5p)

5. Pentru a vopsi o faţă a unui cub ne trebuie 0,25 kg de vopsea. Pentru a vopsi întregul cub avem nevoie de ..........kg vopsea. 6. La un liceu cu 500 de elevi, repartizarea pe specializări

18%

este prezentată în diagrama alăturată. Numărul elevilor care învaţă la profilul ştiinţe ale naturii este ..........

(5p)

filologie

(5p)

ştiinţe ale naturii

matematică informatică

45% 22%

ştiinţe sociale

1

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

3

1. Desenaţi, pe foaia de examen, corpul geometric a cărei (5p)

3 3

1

desfăşurare este prezentată alăturat.

3

3 1 2. Măsura unui unghi este de 3 ori mai mare decât măsura complementului său. Aflaţi măsurile celor două unghiuri. (5p) 3. La un concurs participă 36 de fete şi 45 de băieţi. Toţi participanţii sunt grupaţi în echipe cu acelaşi număr de copii, iar fiecare echipă are acelaşi număr de fete. a) Arătaţi că nu se pot forma 5 echipe. (5p) b) Care este numărul maxim de echipe care se pot forma? Dar numărul minim? (5p) 4. Se consideră funcţia f :  → , f(x) = 2x – 1. Reprezentaţi grafic funcţia, apoi rezolvaţi ecuaţia f(x) = x2. (5p) 5. Dacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi şi (a + b – c)(a – b + c) + (a + b + c)(a – b – c) = 0, arătaţi că triunghiul este dreptunghic. (5p)


97

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pentru a-şi pardosi baia, Maria alege un model cu gresie albă sub formă de octogon şi gresie verde sub formă de pătrate (ca în figura alăturată). Ea ştie că plăcile albe au fost obţinute din pătrate cu latura de 10 cm. Vânzătorul îi spune că aria unei plăci verzi este de 6 ori mai mică decât aria 10 cm unei plăci albe. a) Ajutaţi-o pe Maria să calculeze dimensiunea plăcilor verzi. (5p) 10 cm b) Câte plăci albe îi sunt necesare pentru a-şi pardosi baia, ştiind că aceasta are forma unui dreptunghi cu dimensiunile de 3 m şi 4 m? (5p) c) Care este numărul minim de plăci verzi pe care trebuie să le cumpere Maria? (5p) d) Plăcile albe se vând în cutii a câte 20 bucăţi, iar cele verzi în cutii a câte 100 bucăţi. Câte cutii din fiecare fel trebuie să cumpere, ţinând cont că are nevoie de câte o cutie în plus pentru eventuale pierderi? (5p) 2. O piramidă patrulateră regulată este aşezată pe un cub cu latura l. a) Aflaţi înălţimea piramidei, în funcţie de l, astfel încât volumele celor două corpuri să fie egale. (5p) b) În cazul l = 2 m şi înălţimea aflată la punctul a), aflaţi cantitatea de vopsea necesară pentru vopsirea corpului nou obţinut, ştiind că pentru acoperirea unei suprafeţe de 1 m2 trebuie 200 ml vopsea. (5p)

Testul 32



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 0, (3)+

2 este egal cu .......... 3

(5p)

2. Un obiect care costa 120 lei s-a ieftinit cu 15%. Obiectul s-a ieftinit cu .........lei. (5p) 3. Într-o urnă sunt 10 bile roşii şi 15 bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila extrasă să fie roşie este ........... (5p) 4. Lungimea unui cerc de rază 7 cm este egală cu ..........cm. (5p) 5. O piramidă patrulateră regulată are înălţimea de 5 cm şi latura bazei de 6 cm. Volumul piramidei este egal cu ..........cm3. (5p) nr. elevi 6. Diagrama alăturată reprezintă mediile obţinute la 7 matematică de elevii clasei a VIII-a C la 6 5 sfârşitul semestrului I. Numărul elevilor care 4 au obţinut media 9 este .......... (5p) 3 2 1 nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

98


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră cu toate muchiile congruente. (5p) 2. O persoană depune o sumă de bani la banca X unde dobânda este de 5% pe an şi o altă sumă de bani la banca Y, unde dobânda este de 6% pe an. A câştigat 720 de lei după primul an din dobânzi. Dacă ar fi inversat sumele depuse la cele două bănci ar fi câştigat 710 lei după primul an. Ce sume de bani a depus persoana? (5p) 3. Bunica are un coş cu ouă. Numărul lor este mai mare decât 70 şi mai mic decât 150. Dacă numără toate ouăle din coş 3 câte 3, sau 4 câte 4, sau 5 câte 5, de fiecare dată rămâne un ou. a) Calculaţi cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 4 şi 5. (5p) b) Câte ouă are bunica în coş? (5p) 4. Fie x şi y două numere naturale nenule. Raportul dintre x şi y este egal cu 0,25, iar media aritmetică a celor două numere este 50. Aflaţi cele două numere. (5p) 2 2 4 4 (5p) 5. Ştiind că x + y = 3 şi xy = 2, calculaţi x + y şi x + y . SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată ABCD este trapez ED ⊥ CD , FC ⊥ CD E F şi DE = CF = înălţimea trapezului ABCD. Aria trapezului ABCD este 360 cm2, DC = 14 cm, DE = 12 cm. a) Stabiliţi natura patrulaterului ABFE. (5p) C D b) Calculaţi perimetrul figurii CDEF. (5p) c) Aflaţi suma ariilor triunghiurilor EAD şi FCB. (5p) d) Ce procent din aria trapezului ABFE reprezintă aria trapezului ABCD? (5p) A 2. O cioară vrea să bea apă dintr-un vas, dar nivelul apei este prea scăzut. Pentru a-şi satisface setea, cioara pune pietricele în vas iar nivelul apei creşte până la marginea vasului. Ştim că vasul are forma unei prisme patrulatere regulate cu latura bazei de 20 cm şi înălţimea 150% din latura bazei. Iniţial, nivelul apei era de 10 cm. a) Ce volum de pietricele a pus cioara în vas? (5p) b) Câţi litri de apă erau în vas? (5p)

Testul 33


B


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 50% din 2010 este egal cu ..........  10  2. Fie mulţimea A =  x ∈ ∈  . Atunci A = {..........}. x  

(5p) (5p)

3. Aruncăm un zar care are feţele numerotate cu cifre de la 1 la 6. Probabilitatea ca pe faţa de sus a zarului să apară cifra 7 este egală cu .......... (5p) 3. Recapitulare finală

99

4. Hexagonul regulat ABCDEF are AD = 6 cm. Aria hexagonului este egală cu ..........cm2. (5p) 5. Un cub are muchia de 5 m. Volumul cubului este egal cu ..........cm3. (5p) 6. Distanţele de la domiciliu la şcoală pentru elevii şcolii din comuna Cucuieţi sunt înregistrate în tabelul următor. Numărul elevilor şcolii este .......... (5p) distanţa număr de elevi

0 – 1 km 75

1 – 2 km 50

2 – 3 km 30

3 – 5 km 17

5 – 10 km 3

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, corpul geometric a cărei desfăşurare este prezentată în figura alăturată. (5p)

2 1

4

1

4

2. Două trenuri pleacă din aceeaşi gară, în aceeaşi direcţie şi acelaşi sens. Primul tren pleacă cu o oră înaintea celuilalt şi circulă cu viteza de 45 km/h. După cât timp al doilea tren îl va ajunge pe primul, ştiind că acesta se deplasează cu viteza de 60 km/h? (5p) 3. Fiecare dintre cei 160 de elevi ai clasei a VIII-a ai unei şcoli practică cel puţin un sport de echipă. Dintre aceştia 92 joacă baschet şi 125 handbal. a) Câţi elevi practică ambele sporturi? (5p) b) Câţi elevi practică numai handbal? (5p) 2  1  x+2 7−x 1 + ⋅ 4. Fie expresia E ( x) = x −  , unde x є  \ {–2; 1; 3}.  : x − x − x − x − 1) 3 1 3 2( P   Arătaţi că E(x) = x + 2. (5p) M b 5. Care este natura triunghiului MNP din figura a alăturată? (5p) b N a

100

0m

2,5

2,55 m

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată am construit cercul de diametru [AB] şi semicercuri de diametre [AM] şi [MB]. Cunoaştem AB = 6 cm, M є [AB] şi AM = 2x cm. B A x x M O O1 2 a) Calculaţi aria suprafeţei marcate cu punctuleţe în cazul x = 1,5 cm. (5p) b) Calculaţi, în funcţie de x, aria suprafeţei haşurate. (5p) c) Aflaţi valoarea minimă, respectiv maximă, a ariei suprafeţei haşurate. (5p) 2 d) Pentru ce valoare a lui x, aria suprafeţei haşurate este de 20 cm ? (5p) 2. Georgel vrea să-şi instaleze în camera sa un dulap 0,6 nedemontabil procedând ca în desenul alăturat. 0m Înălţimea camerei este de 2,55 cm, iar dulapul este înalt de 2,50 m, lat de 0,60 m şi îngust de 0,50 m. a) Va reuşi Georgel, să ridice dulapul, procedând ca în desen? (5p) b) Are şanse, totuşi, să instaleze dulapul sau trebuie să cumpere altul? (5p) Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

Testul 34



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 20 – 10 : 2 este egal cu .......... (5p) 2. Dacă 3 · |x| = 0, atunci x este egal cu .......... (5p) 3. Un cub are muchia de 6 cm. Diagonala cubului este de ..........cm. (5p) 4. Un triunghi are baza de 10 cm şi înălţimea corespunzătoare ei de 8 cm. Aria triunghiului este .......... cm2. (5p) 5. Lungimea unui dreptunghi este de 10 cm, iar lăţimea cu 2 cm mai mică. Perimetrul dreptunghiului este ..........cm. (5p) 6. Conform tabelului alăturat, avem o relaţie între 1 2 3 7 l latura şi aria unui pătrat. Corespunzător laturii de 1 4 9 ? A 7 cm, aria va fi ..........cm2. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH. (5p) 2. În clasa a VIII-a A sunt 14 fete şi 12 băieţi. În clasa a VIII-a B sunt cu 4 fete mai puţin şi cu 2 băieţi mai mult decât în clasa a VIII-a A. Câţi elevi sunt în clasa a VIII-a B? (5p) 3. Într-un bloc sunt apartamente cu 2 şi 3 camere, în total 35 de camere. a) Verificaţi dacă în bloc pot fi 5 apartamente cu 3 camere. (5p) b) Se poate să avem acelaşi număr de apartamente cu 2 respectiv 3 camere în acest bloc?(5p) 4. Se consideră funcţia f :  → , f(x) = 2x – 1. Determinaţi a, b є , ştiind că punctele A(3, a) şi B(b, 1) aparţin graficului funcţiei f. (5p) (5p) 5. Arătaţi că: x5 – 5x3 + 4x = x(x – 2)(x – 1)(x + 1)(x + 2). SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată avem un trapez isoscel ABCD cu AB = 24 cm, D C CD = 8 cm şi CE = DF = x cm. a) Exprimaţi, în funcţie de x, aria patrulaterului DFEC.(5p) b) Aflaţi înălţimea trapezului, ştiind că perimetrul E F A său este de 52 cm. (5p) c) Cât la sută din aria trapezului ABCD reprezintă aria dreptunghiului DFEC? 2. Figura alăturată reprezintă o prismă patrulateră regulată cu înălţimea OO' = 12 cm şi baze (ABCD), (A'B'C'D'), AB = 32 cm. a) Calculaţi aria laterală a piramidei O'ABCD. (5p) b) Verificaţi dacă raportul dintre volumul piramidei 1 O'ABCD şi volumul prismei este . (5p) 3


B

(5p) C'

D' O' A'

B' D

C M

O A

B

101

Testul 35



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 6 + 24 : 3 este egal cu .......... 2. Ce element al mulţimii {1, 2, 3} este soluţie a ecuaţiei 2x – 4 = 0? 3. Aria unei feţe a unui cub este 9 cm2. Muchia cubului are lungimea egală cu ..........cm. 4. Dacă lungimea unui dreptunghi este 8 cm şi lăţimea 4 cm, atunci perimetrul dreptunghiului este egal cu ..........cm. 5. Raza unui cerc este de 3 cm. Aria discului este egală cu .........cm2. 6. Într-un şir de 5 numere naturale impare consecutive al doilea termen este 41. Suma celor 5 numere este ..........

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată ABCA'B'C'. (5p) 2. Într-o cămară sunt trei lăzi cu mere, fiecare având câte 20 de kg şi 4 lăzi cu pere, în fiecare fiind 15 kg. Ce cantitate de fructe se află în cele 7 lăzi? (5p) 3. La cercul de matematică au fost propuse mai multe probleme. Pentru fiecare soluţie corectă se acordă 5 puncte, iar pentru o soluţie eronată se scad 20 de puncte. Pentru 40 de probleme un elev a primit 50 de puncte. a) Câte probleme a rezolvat corect? (5p) b) Câte probleme a rezolvat greşit? (5p) 4. Fie f, g :  → , unde f(x) = x + 2 şi g(x) = –x + 4. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentărilor grafice ale funcţiilor. (5p) 5. Arătaţi că

x 2 + 3x + 2 x2 − 4

=

x +1 , pentru orice x є  \ {–2; 2}. x−2

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D

C

1. În figura alăturată avem un trapez isoscel ortodiagonal (AC este perpendiculară pe BD), cu AB = 12 cm, CD = 6 cm. O a) Aflaţi înălţimea trapezului. (5p) b) Arătaţi că AAOD = ABOC . (5p) B c) Cât la sută din aria triunghiului AOB reprezintă A aria triunghiului AOD? (5p) 2. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu înălţimea VO = 4 cm şi muchia laterală de 5 cm, unde AC ∩ BD = {O}. a) Calculaţi volumul piramidei. (5p) b) Calculaţi distanţa de la punctul A la planul (VBC). (5p) c) Arătaţi că BD ⊥ (VAC ) . (5p) 102


Testul 36



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1515 : 15 – 1 este .......... (5p) 2. Fie mulţimile A = {1; 2} şi B = {x – 1; 2}. Mulţimile A şi B sunt egale, atunci când x este egal cu ......... (5p) 3. Probabilitatea ca aruncând un zar să obţinem un număr par este .......... (5p) 4. Perimetrul unui hexagon regulat este de 24 cm. Atunci latura sa x are lungimea de .....cm.(5p) 5. Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt de 3 cm, 4 cm şi 5 cm. Volumul paralelipipedului este egal cu ..........cm3. (5p) 6. Un dispozitiv îşi dublează săritura după fiecare salt. La primul salt el realizează 1,5 cm. La al patrulea salt lungimea parcursă de dispozitiv este de ..........cm. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază (ABC). (5p) 2. La un trial au participat 120 de sportivi. După prima probă au rămas jumătate dintre ei. După următoarea probă au mai fost eliminaţi un sfert din cei rămaşi. Ştiind că la ultima probă au părăsit competiţia încă 21 de sportivi, câţi dintre aceştia au rămas în final? (5p) 3. Se dă relaţia: 2x + 5y = 20, unde x şi y sunt numere naturale. a) Poate fi y un număr natural impar? (5p) b) Care este maximul sumei 4x + 7y? (5p) 4. Se consideră f :  → , f(x) = 3x – 2. Să se determine m є , ştiind că punctul A(m, 2m + 3) aparţine graficului funcţiei f. (5p) 2 5. Arătaţi că: x − 4 = x − 5 x + 4 , pentru orice x є  \ {–1; 1}. x +1 x2 − 1

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic cu AB || CD, AD ^ AB , AB = 10 cm, CD = 6 cm şi măsura unghiului B de 45°. C D a) Să se afle perimetrul trapezului ABCD. (5p) b) Să se afle aria trapezului ABCD. (5p) c) Cât la sută din aria trapezului reprezintă aria triunghiului ADC? (5p) A 2. Cubul ABCDA'B'C'D' are diagonala egală cu 6 3 cm. Calculaţi: a) volumul cubului; b) distanţa de la punctul A' la diagonala BD; c) distanţa de la punctul B' la planul (A'BC'). 3. Recapitulare finală

B (5p) (5p) (5p) 103

Testul 37



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 2323 : 23 – 100 este .......... (5p) 2. Fie mulţimile A = {x є  | x < 2} şi B = {2; 3}. Mulţimea A ∪ B este {..........}. (5p) 3. Într-o urnă avem 2 bile roşii, 4 albe şi 6 negre. Probabilitatea ca o bilă albă să fie extrasă este egală cu ......... (5p) 4. Un romb are diagonalele de 12 cm şi 10 cm. Aria rombului este egală cu ......... cm2. (5p) 5. Aria laterală a unui cub este 100 cm2. Muchia acestui cub are lungimea de ..........cm. (5p) 6. Timp de o săptămână s-au înregistrat următoarele temperaturi: 2 zile temperaturi de 26°C, 4 zile temperaturi de 24°C şi o zi temperatura de 27°C. Temperatura medie în săptămâna respectivă a fost de ..........°C. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă hexagonală regulată de vârf S şi baza ABCDEF.(5p) 2. La proba scrisă la matematică, la clasa a VIII-a, un elev a obţinut la subiectul I: 30 puncte, la subiectul al II-lea: 25 puncte şi la subiectul al III-lea: 23 puncte. Câte puncte a obţinut în total elevul, ştiind că se acordă 10 puncte din oficiu? (5p) 3. Pentru a realiza un canal colector pe o lungime de 1,56 km sunt folosite conducte, unele cu lungimea de 3,75 m, iar altele de 4,25 m. S-au folosit un număr de 400 de conducte. a) Câte conducte sunt de fiecare fel? (5p) b) Verificaţi dacă pot fi 240 de conducte cu lungimea de 3,75 m şi 160 de conducte de 4,25 m pentru aceeaşi lungime de 1,56 km. (5p) 4. Fie f, g :  → , unde f(x) = x – 2 şi g(x) = 3. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentărilor grafice a celor două funcţii. (5p) 5. Arătaţi că: 9(2x + 1)2 – 4(x – 2)2 = (4x + 7)(8x – 1), pentru orice x număr real. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D

1. În figura alăturată ABCD este un dreptunghi. Se ştie că BC = 6 cm, m(  MCB) = m(  ABN) = 30°, DN = 4 3 cm. a) Calculaţi perimetrul dreptunghiului ABCD. (5p) A b) Aflaţi aria trapezului MBCN. (5p) c) Determinaţi aria pentagonului MPNDA, unde {P} = CM ∩ NB.

N

C

M

2. În prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', se dă: AB = 12 cm şi AA' = 6 cm. Aflaţi: a) aria totală a prismei; b) distanţa de la punctul A' la dreapta BC; c) măsura unghiului diedru dintre planele (A'BC) şi (ABC). 104

B

(5p)

(5p) (5p) (5p)


Testul 38



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 8 · 9 – 36 : 2 este egal cu ......... 2. Fie mulţimile A = {x + 3; 5} şi B = {5; 9}. A = B dacă x este egal cu .......... 3. Media aritmetică a 5 numere este 3,6. Suma celor 5 numere este .......... 4. Linia mijlocie a unui trapez este de 18 cm, iar înălţimea sa are 5 cm. Aria trapezului este egală cu ..........cm2. 5. Dacă muchia unui tetraedru regulat este 12 cm, atunci suma tuturor muchiilor sale este egală cu ..........cm. 6. Folosind o sticlă de 500 ml, vrem să umplem un vas paralelipipedic cu dimensiunile de 6 dm, 5 dm şi 4 dm. Sticla trebuie golită în vas de .......... ori. SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă hexagonală regulată ABCDEFA'B'C'D'E'F'. 2. După ce a parcurs 42,5 km, un turist constată că mai are încă 18,5 km până la jumătatea drumului. Aflaţi lungimea drumului. 3. Într-o clasă sunt 25 de elevi. Numărul băieţilor este cu 1 mai mare decât dublul numărului de fete. a) Câte fete şi câţi băieţi sunt în clasă? b) Dovediţi că sunt cel puţin două fete născute în aceeaşi zi a unei săptămâni.  2   1  4. Fie f :  →  unde f(x) = 3 – 2x. Punctele A  − ; 4  ; B(2; –1) şi C  ,3 2  sunt   2   2  coliniare? 1 1 2 5. Să se arate că: 2 , oricare ar fi x є  \ {–1; 0; 1}. + 2 = 2 x + x x − x x −1

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

(5p) (5p)

(5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. B 1. În figura alăturată, AB şi AC sunt tangente la cercul C (O, 6 cm), iar m(  OAC) = 30°. Aflaţi: O A a) AO; (5p) b) AB ; (5p) C c) AABOC. (5p) 2. Fie ABCA'B'C' un trunchi de piramidă triunghiulară regulată cu AB = 12 3 cm, A′B ′ = 6 3 cm şi măsura unghiului dintre o faţă laterală şi planul (ABC) este de 60°. Calculaţi: a) aria laterală a trunchiului de piramidă; (5p) b) volumul piramidei din care face parte trunchiul de piramidă; (5p) c) distanţa de la punctul O' la planul (VA'B'), unde O' este centrul feţei (A'B'C') şi V este vârful piramidei din care face parte trunchiul de piramidă. (5p)


105

Testul 39



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 42 : 23 + 5 este egal cu ..........

(5p)

2. Mulţimea divizorilor naturali ai lui 6 este D6 = {..........}.

(5p)

3. Într-un sac sunt 5 mingi roşii şi 7 mingi galbene. George scoate o minge roşie, apoi fără a se uita mai scoate una. Probabilitatea ca şi cea de-a doua minge să fie tot roşie este .........

(5p)

4. Lungimea laturii unui triunghi echilateral este de 4 cm. Perimetrul este egal cu .......cm. (5p) 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 3 cm, 4 cm şi 12 cm. Lungimea diagonalei paralelipipedului este egală cu ..........cm.

(5p)

numărul de elevi

6. Vlad a întocmit un grafic cu înălţimile elevilor din clasa sa:

6 5 4 3 2 1 1,20 1,22

1,24

1,27

1,30

înălţimea (în m)

1,32 1,33

Conform graficului, înălţimea medie a elevilor clasei este de .........m.

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi pe foaia de examen un cub ABCDEFGH.

(5p)

2. Maria a citit luni 38 de pagini, iar marţi cu 15 pagini mai mult decât luni şi a terminat cartea. Câte pagini are cartea?

(5p)

3. Elevii participanţi la etapa judeţeană a Olimpiadei de Matematică pot fi repartizaţi câte 12, 15 sau 18 într-o sală de clasă. a) Arătaţi că elevii pot fi repartizaţi şi câte 20 într-o sală de clasă.

(5p)

b) Aflaţi numărul elevilor participanţi, ştiind că este mai mic decât 200.

(5p)

4. Fie funcţia f :  → , f(x) = 2x – 5. Aflaţi valorile parametrilor reali m şi n astfel încât punctele M(m; 3) şi N(2n – 1; 2n + 3) să aparţină reprezentării grafice a funcţiei f. 5. Calculaţi 106

x2 + 6 x + 8 x2 + 2 x − 3 ⋅ , x ∈  − {−4; − 3; − 2; 1}. . x 2 + 7 x + 12 x 2 + x − 2

(5p) (5p)


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A B 1. Călin a primit de ziua lui un joc cu un soldat care se P deplasează pe traseul ABCDEA, ca în figură. În fiecare S1 R S2 C punct în care îşi schimbă direcţia, soldatul staţionează a secunde, iar în punctele P, Q şi R, unde are loc câte o Q luptă, soldatul staţionează b secunde. E D Distanţele AB, BC, CD, DE şi EA sunt egale cu 4 dm. Soldatul parcurge 2 cm într-o secundă. a) Exprimaţi în funcţie de a şi b timpul necesar parcurgerii distanţelor AC şi AE. (5p) b) Dacă de la plecarea din A până la sosirea în C trec 52 de secunde, iar de la plecarea din A până la sosirea în E trec 1 minut şi 46 secunde, aflaţi a şi b. (5p) c) Suprafaţa S1 este împărţită în pătrate cu latura de 5 cm iar suprafaţa S2 este împărţită în triunghiuri echilaterale cu latura tot de 5 cm. În fiecare astfel de pătrat se află un copac iar în fiecare triunghi este o floare. Câţi copaci şi câte flori sunt? (10p) 2. Filip a primit un set de piese din lemn. Iniţial acestea erau aşezate într-o cutie sub formă de cub cu latura de 4 dm şi ocupau întreaga cutie, fără a exista goluri între ele. Piesele au forme de cuburi mari cu latura de 10 cm, cuburi mici cu latura de 8 cm şi paralelipipede dreptunghice cu dimensiunile de 8 cm, 6 cm şi 5 cm. Din toate cuburile mari, Filip a făcut 4 cuburi cu latura de 20 cm. Dacă ar mai fi avut două cuburi mici, Filip ar fi putut face din acestea un cub cu latura de 24 cm. a) Câte piese de fiecare fel sunt în set? (5p) b) Tatăl lui Filip vrea să vopsească piesele. Pentru a vopsi 1 dm2, îi trebuie 5 ml de vopsea. Câte cutii de 0,5 l vopsea sunt necesare pentru a vopsi toate piesele? (5p)

Testul 40



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului:

1 1 1 + ⋅ este egal cu .......... 6 2 3

(5p)

2. Numerele naturale prime cuprinse între 30 şi 40 sunt .......... 3. Un elev are la matematică notele 10, 8, 9, 8, 10, iar la teză nota 7. Media la matematică pe semestrul I este .......... 4. În pătratul ABCD măsura unghiului ACD este de ..........°. 5. Un cub are latura de 4 cm. Aria totală a cubului este de ..........cm2. 6. În tabelul următor este prezentată o situaţie cu numărul de apartamente şi numărul de camere ale fiecărui apartament dintr-un bloc. Conform tabelului, numărul camerelor din bloc este de .......... Nr. camere Nr. de apartamente 3. Recapitulare finală

1 cameră 4

2 camere 6

3 camere 6

(5p) (5p) (5p) (5p)

(5p)

4 camere 4 107

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trunchi de piramidă triunghiulară regulată ABCA'B'C'. (5p) 2. Aflaţi măsurile a două unghiuri complementare, ştiind că măsura unuia este cu 20° mai mare decât o pătrime din măsura celuilalt. (5p) 3. Un pomicultor a cules într-o zi 59 kg vişine şi 67 kg cireşe. După ce le aşază în lădiţe, rămân 3 kg de vişine şi 4 kg de cireşe. Ştiind că într-o lădiţă încape aceeaşi cantitate de cireşe sau de vişine, aflaţi această cantitate. (5p) 4. Fie funcţia f :  → , f(x) = (2a + 1)x + b – 2. Aflaţi valorile reale ale lui a şi b astfel încât punctele M(2; –2) şi N(–1; 1) să aparţină graficului funcţiei f. (10p) 5. Calculaţi:

2x −1 3 − x 4 . + − 2 x+2 x−2 x −4

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A

1

N

2

B

1. Pe o masă de biliard, o bilă aflată în punctul M M este lovită şi urmează traiectoria MNPQM. În fiecare punct în care bila loveşte manta unghiul făcut de mantă cu traiectoria înainte de ciocnire P este congruent cu unghiul făcut de mantă cu traiectoria după ciocnire (exemplu:  N1 ≡  N2). D C Q a) Dacă m(  ANM) = x, exprimaţi în funcţie de x măsurile unghiurilor:  MNP,  NPQ,  PQM,  QMN. (5p) b) Arătaţi că lungimea traiectoriei M - N - P este egală cu lungimea traiectoriei P - Q - M. 5p) c) Dimensiunile mesei sunt AB = 1,5 m şi BC = 1,2 m iar bila se află în M astfel încât AM = 40 cm. Aflaţi poziţia punctului N unde bila trebuie să ciocnească manta, astfel încât după ce trece şi prin punctele P şi Q să ajungă înapoi în M. (5p) d) Cu dimensiunile de la punctul c), aflaţi aria suprafeţei MNPQ. (5p) 2. Pentru amenajarea unui parc, primăria a dat comandă de 50 de piese de forma celei din figura alăturată. Piesa are forma unui paralelipiped 60 cm dreptunghic cu dimensiunile indicate, iar în interior este săpat un paralelipiped dreptunghic. 80 cm Grosimea pereţilor, atât cei laterali cât şi cel de dedesubt, este de 10 cm. 1m a) Aflaţi cât cântăreşte piesa, dacă 1 dm3 din materialul din care este realizată aceasta cântăreşte 3 kg. (5p) b) Piesa este umplută cu pământ. Aflaţi volumul pământului necesar pentru toate piesele.(5p)

108


Testul 41




lei

1. Rezultatul calculului 2 3 ⋅ 3 2 − 5 6 este egal cu ........... (5p) 2. Enumerând elementele mulţimii A = {x є * | x este pătrat perfect, x < 30}, obţinem A = {..........}. (5p) 3. Suma de 2 000 de lei este împărţită la doi muncitori proporţional cu numărul de zile lucrate. Primul muncitor a lucrat 9 zile, iar al doilea 16. Suma de bani primită de primul muncitor este de .......... lei. (5p) 4. Triunghiul isoscel ABC ([AB] = [AC]) are m(  A) = 80°. Unghiul B al triunghiului are măsura de ..........°. (5p) 5. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 6 cm şi înălţimea de 5 cm. Volumul piramidei este egal cu ..........cm3. (5p) 6. Evoluţia cursului leu-euro în timpul unei săptămâni este prezentată prin următorul grafic: 4,27 4,26 4,25 4,24 4,23 4,22 4,21

zilele săptămânii Luni Marţi Miercuri Joi Vineri

Cea mai mare creştere a valorii euro faţă de leu a fost înregistrată în ziua de ..........

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă hexagonală regulată de vârf V şi bază ABCDEF. (5p) 2. După ce a parcurs o treime din drum, un călător constată că mai are de parcurs 5 km până la jumătatea traseului. Care este lungimea traseului? (5p) 3. Bunicul are 24 lei şi doreşte să cumpere mere şi portocale pentru nepoţii săi. Un kilogram de mere costă 2 lei, iar un kilogram de portocale costă 3 lei. a) Ce variante are bunicul astfel încât să cheltuiască toţi banii şi să cumpere un număr întreg de kg de fructe de fiecare fel? (5p) b) Dacă bunicul a cumpărat 10 kg de fructe, câte kg de mere şi câte kg de portocale va duce nepoţilor? (5p) 4. Verificaţi dacă punctele A 2; 4 , B - 2; 0 , C -2 2; - 2 reprezentate într-un sistem de coordonate xOy sunt coliniare. (5p) 5. Fie x, y є , x > y > 0 şi x2 + y2 = 10, x · y = 4. Calculaţi x + y şi x – y. (5p)

(


) (

) (

)

109

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un agricultor are un teren în formă de trapez ABCD, AB || CD. a) Cu ajutorul unei drepte, împărţiţi terenul în două loturi cu aceeaşi arie. A

(5p)

A B figura 2 H G F E J I C C D M N D b) Agricultorul face următoarele măsurători (figura 1): AM = 12 m, DM = 9 m, MN = 20 m, NC = 16 m. Terenul trebuie împrejmuit cu panouri având lungimea de 6 m şi înălţimea de 1,8 m; fiecare panou costă 250 lei. Aflaţi cât costă gardul. (5p) c) Pentru o anumită cultură, agricultorul împarte terenul în dreptunghiuri cu lăţimea de 3 m ca în figura 2. Aflaţi aria suprafeţei cultivate. (5p) 2. Un stadion este în formă de trunchi de piramidă C' D' patrulateră regulată. Pătratul ABCD are latura AB = 72 m, M iar pătratul A'B'C'D' are latura A'B' = 240 m. B' A' Un spectator situat pe ultimul rând în punctul M, D C P d mijlocul lui (A'D'), se află la înălţimea de h = 35 m faţă N de pământ. A B a) Care este distanţa de la spectatorul situat în punctul M la portarul situat în punctul N, mijlocul lui (AD)? (5p) b) Calculaţi distanţa de la spectatorul situat în punctul M la dreapta d, care desemnează mijlocul terenului. (5p) c) Pentru a moderniza stadionul, administratorul doreşte schimbarea scaunelor şi din acest motiv trebuie să calculeze suprafaţa tribunelor. Ce suprafaţă au acestea? (5p)

Testul 42

B

figura 1



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 1,2 · 1,3 + 5 este egal cu ..........

(5p)

4 , a є *, sunt ......... a

(5p)

2. Fracţiile supraunitare de forma

3. În sezonul reducerilor, preţul unui palton care era de 324 lei se reduce cu 25%. Preţul după reducere va fi de ..........lei. (5p) 4. Trapezul ABCD, AB || CD are lungimile bazelor de 8 cm şi 14 cm. Lungimea liniei mijlocii este egală cu ..........cm. (5p) 32 3 + 120 5. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de 8 cm şi aria totală de cm2. Înălţimea prismei este egală cu ..........cm. (5p)

(

110

)


6. Toţi elevii unei clase practică unul dintre sporturile: fotbal, handbal, volei, tenis şi baschet, după cum indică diagrama. Dacă în clasă sunt 5 elevi care joacă handbal, atunci în clasă sunt ..........elevi. (5p)

fotbal 40%

handbal

20%

16%

16% 8%

baschet tenis

volei

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D'. (5p) 2. Un teren de formă dreptunghiulară este înconjurat cu 112 m de gard. Ştiind că lungimea este cu 20 m mai mare decât dublul lăţimii, aflaţi lungimea şi lăţimea terenului. (5p) 3. Anul acesta numărul elevilor din şcoala noastră a scăzut cu 5% faţă de anul trecut, dar procentul fetelor a crescut de la 50% la 60% din numărul elevilor. a) Dacă anul trecut în şcoală erau 1200 elevi, câţi elevi sunt anul acesta? (5p) b) Câte fete sunt anul acesta în şcoală, dacă anul trecut erau 600? (5p) 4. Fie funcţiile f :  → , f(x) = x – 2 şi g :  → , g(x) = f(2x + 1). Aflaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii. (5p) 5. Aflaţi numerele reale x şi y care verifică egalitatea: 2x2 + 4y2 + 4xy – 8x + 16 = 0. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Într-o competiţie sportivă sunt înscrise 5 echipe de fotbal. Fiecare echipă joacă câte un meci cu fiecare din celelalte echipe. Pentru o victorie se dau 3 puncte echipei câştigătoare şi 0 puncte echipei învinse, iar pentru un meci egal se dă câte un punct fiecărei echipe. a) Aflaţi câte meciuri s-au jucat în competiţie. (5p) b) La final s-a înregistrat următorul clasament: Echipa I: 10p; Echipa II: 8p; Echipa III: 5p; Echipa IV: 2p; Echipa V: 1 p. Precizaţi care meciuri s-au încheiat cu o victorie şi cine a câştigat, precum şi ce meciuri s-au încheiat la egalitate. (5p) c) Stabiliţi dacă la finalul competiţiei, se poate întâmpla ca în clasament, fiecare două echipe vecine să fie despărţite de exact două puncte. (5p) 2. Un constructor de jucării are o piesă în formă de G H tetraedru regulat DBGE cu latura de 8 cm şi doreşte să construiască patru piramide triunghiulare regulate E F AEDB, CGDB, FEBG şi HEDG, care împreună cu tetraedrul să formeze un cub. C D a) Cât trebuie să fie muchia laterală a piramidelor? (5p) b) Aflaţi lungimea înălţimii care pleacă din A spre faţa A B (EDB) în piramida AEDB. (5p) c) Aflaţi suma ariilor feţelor laterale ale celor 4 piramide triunghiulare. (5p)


111

Testul 43




(lei)

1. Rezultatul calculului (–2) · (–3) + (–5) este egal cu .......... (5p) 2. Mulţimea divizorilor întregi ai lui 11 este D11 = {..........}. (5p) 3. La sfârşitul unei lucrări, doi muncitori au primit o primă de 500 de lei împărţită invers proporţional cu numărul pieselor defecte predate de fiecare. Dacă primul a avut 3 piese defecte, iar al doilea doar una, suma de bani primită de primul este de ...........lei. (5p) 4. În dreptunghiul ABCD, O este punctul de intersecţie a diagonalelor. Dacă AC are lungimea de 10 cm, atunci lungimea lui OB este egală cu ..........cm. (5p) 5. Un tetraedru regulat are aria totală de 81 3 cm2. Muchia tetraedrului are lungimea egală cu ..........cm. (5p) 6. În graficul următor este prezentată evoluţia cursului euro-leu şi dolar-leu în prima săptămână a lunii septembrie. curs EURO Diferenţa dintre valoarea unui euro şi valoarea unui dolar în ziua de marţi este de ..........lei. (5p) curs USD

luni

marţi

miercuri

joi

vineri

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH. (5p) 2. Toţi cei 18 băieţi ai unei clase se întâlnesc o dată pe săptămână pentru a juca fotbal (în ziua de luni) sau baschet (joia). Numărul băieţilor care joacă fotbal este de 2 ori mai mare decât al celor care joacă baschet, dar sunt 3 băieţi care joacă şi baschet şi fotbal. Câţi băieţi din această clasă se întâlnesc în ziua de luni la fotbal? (5p) 3. La festivitatea de deschidere a unei competiţii sportive, dacă se aşază participanţii în coloane de câte 5, 7 sau 10, rămâne de fiecare dată ultima coloană cu 4 sportivi. a) Verificaţi dacă numărul participanţilor la competiţie poate fi 214. (5p) b) În final, participanţii au fost aşezaţi în coloane de câte 12 sportivi şi formaţia a fost completă. Aflaţi numărul participanţilor, ştiind că este mai mic de 500. (5p) 4. Reprezentarea grafică a funcţiei liniare f intersectează axele de coordonate OX şi OY în punctele A, respectiv B. Abscisa punctului A este egală cu triplul ordonatei punctului B. Triunghiul determinat de axa OX, axa OY şi Gf se află în cadranul I şi are aria de 6u2. Determinaţi funcţia f. (5p) 112


5. Aflaţi numerele raţionale x şi y care verifică egalitatea: x 2

( 2 +1)- y = 8 +

2(1- y ) .(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pentru un depozit în euro, o bancă comercială percepe următoarele comisioane: comision de deschidere cont de 20 de euro, care se încasează la deschiderea contului, comision de administrare cont de 0,2% pe lună din suma aflată în cont, impozit de 1% din dobândă şi acordă o dobândă de 6% pe an. Dobânda se calculează şi se acordă la fiecare 3 luni. Tot atunci se calculează şi se încasează comisionul de administrare a contului pentru fiecare din cele 3 luni şi se reţine impozitul pe dobândă. a) O persoană are 10 020 euro şi îşi deschide un cont pentru 3 luni. Ce sumă va lua de la bancă după această perioadă?

(5p)

b) Care este suma minimă pe care o persoană trebuie să o depună la bancă pentru ca după 3 luni să nu scoată mai puţin decât a depus?

(5p)

c) Ce perioadă (multiplu de 3 luni) trebuie să ţină la bancă o persoană suma de 820 euro (din care plăteşte comisionul de deschidere cont) pentru a avea profit?

(5p)

2. Marcel şi-a construit în grădină o piramidă ornamentală formată din trei bare de lemn

S

SA = SB = SC = 2 m. Pentru stabilitate a fixat punctele de sprijin A, B şi C la distanţe de 2 m, două câte două. În punctul S a legat o sfoară de care este prins

C

A

un ghiveci cu flori.

M

Lungimea sforii din S până la coş este de 1 m, iar înălţimea ghiveciului este de 20 cm.

B

a) Dacă ar dori să acopere feţele SAB, SAC şi SBC cu sticlă, care este suprafaţa acestora? (5p) b) La ce înălţime faţă de sol se află coşul?

(5p)

c) La un moment al zilei punctul S are umbra în punctul M, mijlocul lui (BC). Calculaţi lungimea umbrei sforii.


(5p)

113

Testul 44

(Autor: prof. Ana Poştaru)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 22 + 12 : 4 este egal cu ..........

(5p)

2. Dintre numerele −4,3 şi 4,3 mai mic este .......... . 3 2 6 3. Numărul x din proporţia este .......... = x 2

(5p) (5p)

4. Perimetrul unui romb cu latura de 4 dm este egal cu ..........dm. 5. O prismă triunghiulară regulată dreaptă cu volumul de 30

cm3

(5p)

şi aria bazei de 10

cm2

înălţimea egală cu ..........cm.

ºC 6. În cele şapte zile ale unei 3 săptămâni au fost măsurate, la aceeaşi oră, 2 1 temperaturile şi notate în graficul alăturat. 0 −1 Conform graficului, temperatura −2 medie a săptămânii este de ..........ºC −3

are (5p)

l

ma

m

j

v

s

d

zilele săptămânii

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V şi baza (MAC). (5p) 2. Un produs costă 10 lei şi se ieftineşte cu 10%. Cât va costa după ieftinire?

(5p

3. Corina doreşte să-şi aranjeze cărţile pe rafturile bibliotecii sale. Dacă pune 30 de cărţi pe un raft, îi rămân 5 cărţi, iar dacă pune 40 de cărţi pe un raft îi rămân tot 5 cărţi.

(5p)

a) Poate Corina să aibă 65 de cărţi?

(5p)

b) Care este numărul cărţilor Corinei, dacă acesta este cuprins între 350 şi 400?

(5p)

4. Fie ecuaţia x − 3 = 5 . Verificaţi care din numerele: 8; 5; −2 sunt soluţii pentru ecuaţia dată. 5. Arătaţi că 4x2 + 4x + 3 > 0, pentru orice x Î .

(5p) (5p)

5m

x

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 10 m 1. Desenul alăturat reprezintă un parc; partea haşurată reprezintă A2 aleile, iar partea punctată spaţiul verde. a) Exprimaţi în funcţie de x A1 aria destinată spaţiului verde. (5p) b) Care este valoarea lui x astfel încât aria suprafeţei destinată spaţiului verde x să fie egală cu aria suprafeţei aleilor? (5p) c) Pentru împrejmuirea spaţiului verde se folosesc module din lemn cu lungimea de 80 cm. Calculaţi de câte module este nevoie, ştiind că x = 1,4 m. (5p) d) Calculaţi suma necesară pentru împrejmuirea întregului teren cu un gard, ştiind că x = 2 m şi preţul unui metru de gard este de 67 lei. (5p) 114


E

2. Pentru confecţionarea unui panou publicitar se foloseşte un cadru metalic format din pătratul ABCD şi

B

A

triunghiul dreptunghic isoscel BEC, m(E) = 90º, situate în plane perpendiculare. Ştiind că lungimea laturii pătratului este de 4 m şi pentru susţinere se unesc şi punctele E cu D şi E cu A, calculaţi:

C

D

a) Câţi metri de cadru metalic se folosesc la confecţionarea panoului? Aproximaţi rezultatul prin adaos la unităţi.

(5p)

b) Câţi metri pătraţi de pânză sunt necesari pentru „îmbrăcarea“ suprafeţelor (EDA) şi (EBC), ştiind că 1,5 m2 se pierd la tăierea şi montarea acesteia?

Testul 45


(5p) (Bareme la pagina 243)

SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul raţional care este soluţie a ecuaţiei −4 x + 1 = 5 este egal cu ..........

(5p)

2. Mulţimea divizorilor întregi ai lui 6 este D6 = {...............}.

(5p)

3. Media geometrică (proporţională) a numerelor 2 şi 8 este egală cu ......... 4. Aria unui trapez cu lungimea liniei mijlocii de 10 cm şi a înălţimii de 4 cm este de

(5p) .........cm2.

5. Un paralelipiped dreptunghic are în total un număr de ......... muchii.

(5p) (5p)

6. Partea haşurată reprezintă numărul elevilor unei clase, care au ochii căprui, partea punctată, a celor cu ochii verzi, iar cea nemarcată a celor cu ochii albaştri. Din numărul total de elevi, un procent de ......... au ochii albaştri.

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub, notat ABCDA'B'C'D'.

(5p)

2. Maria are 8 ani, iar mama ei, de patru ori mai mult. Ce vârstă avea mama Mariei, atunci când s-a născut Maria?

(5p)

3. Un grup de elevi doresc să cumpere un cadou unui coleg, cu ocazia zilei de naştere. Dacă fiecare elev pune 10 lei, mai trebuie 6 lei, iar dacă fiecare elev pune 11 lei, rămân 6 lei. a) Câţi elevi sunt în grup?

(5p)

b) Care este preţul cadoului?

(5p)

4. Un caiet costă 1,2 lei şi un pix costă 2 lei. Marius are 8 lei. Verificaţi dacă poate cumpăra cu aceşti bani 2 caiete şi 3 pixuri. Dar 3 caiete şi 2 pixuri? (5p) 5. Fie E(x) = 3x2 − 2x − 4. Arătaţi că E( 2 ) < 0.


(5p)

115

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pentru confecţionarea unor ornamente, se foloseşte o coală color pătrată cu latura de 50 cm, din care se decupează un disc de diametru maxim (desenat punctat pe figură). Concentric cu primul disc se desenează al doilea disc cu raza de 10 cm.

a) Care este deschiderea compasului la construcţia primului cerc? (5p)

b) Ce suprafaţă din coala color se pierde în urma decupării primului disc?

50 cm

(5p)

c) Calculaţi câţi metri de şnur cu mărgele se folosesc pentru a fi lipiţi pe circumferinţa celor două discuri (pentru calcule se foloseşte π = 3,14). 2. Laura doreşte să construiasă în curte un bazin pentru broscuţele ţestoase Kiki şi Riki,

(5p)

sub forma unui cilindru cu diametrul de 2 m şi adâncimea de 1 m. a) Calculaţi volumul bazinului şi verificaţi dacă se pot pune în bazin 4000 l de apă. b) Ştiind că ţestoasele au nevoie de minim 1000 l de apă, calculaţi dacă este suficient

(5p)

să se pună apă până la jumătatea bazinului. (5p) c) Pentru izolarea bazinului se cumpără folie cu lăţimea de 1,20 m, iar de pe rola de folie se taie doar un număr întreg de metri. Calculaţi câţi metri de folie trebuie cumpăraţi, ştiind că pierderile sunt de 5%?

Testul 46

(5p)



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 2 6 (5p) = este egal cu ......... . x 9 2. Cel mai mic multiplu comun pentru numerele 12 şi 15 este ......... . (5p) 3. Într-o clasă sunt 30 de elevi dintre care 20% sunt fete. Numărul fetelor este ......... . (5p) 4. Un dreptunghi are lungimea de 14 cm şi perimetrul de 36 cm. Lăţimea dreptunghiului este ........ (5p) 5. Un cub are un număr de ......... feţe. (5p) 1. Numărul x din proporţia

6. Rezultatele testului la biologie sunt notate în tabelul de mai jos. Media clasei este egală cu ........(5p) nr. de elevi 2 3 5 2 4 3 1 nota

10 9

8

7

6

5

4

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH, una dintre baze fiind ABCD. (5p) 2. Ioana şi-a cumpărat 4 caiete cu 2 lei caietul. Ce rest a primit dacă a plătit la casă cu o bancnotă de 10 lei? (5p) 3. Un elev citeşte dintr-o carte în 4 zile în felul următor: începând cu ziua a doua, citeşte dublul numărului de pagini citite în ziua precedentă. a) Câte pagini a citit în cele 4 zile, dacă a doua zi a citit 28 de pagini? (5p) b) Câte pagini are cartea ştiind că numărul acestora trebuie să fie multiplu de 16, mai mic decât 240? (5p) 116


 4  4. Fie mulţimea A = − ; 2; −3;0;5π ;10  . Specificaţi care dintre elementele mulţimii A 5   sunt numere raţionale. (5p) 5. Fie f :  → , f(x) = 2x − 1, g :  →, g(x) = −3x şi h:  → , h(x) = 4. Verificaţi care dintre reprezentările grafice ale funcţiilor de mai sus conţin originea sistemului de axe. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. C 1. Curtea lui Cristi are formă dreptunghiulară, D AD = 6 m şi a fost amenajată în felul următor: bazin de apă sub formă de semicerc cu diametrul EF = 6 m, gazon pe porţiunea haşurată (AE = FB = 3 m), în spaţiul rămas punându-se pietriş şi două bănci. A B 3m E 6m F 3m (Pentru calcule se ia π = 3,14.) a) Calculaţi aria suprafaţei alocate bazinului. (5p) 2 b) Aflaţi preţul plătit pentru semănarea gazonului, ştiind că pentru 1 m costul este de 20 lei. (5p) c) Calculaţi aria suprafeţei amenajate cu pietriş. (5p) d) Câţi metri de gărduleţ decorativ trebuie cumpărat pentru împrejmuirea bazinului, ştiind că nu se vând decât număr întreg de metri? (5p) 2. Pentru amenajarea unei minisere, Miruna îşi cumpără un vas de sticlă în formă de prismă hexagonală regulată dreaptă, cu latura bazei de 40 cm şi muchia laterală de 30 cm. a) Calculaţi suprafaţa pe care Miruna o are la dispoziţie, pentru fixarea plantelor. (5p) b) La achiziţionarea plantelor, Miruna este sfătuită ca pentru fiecare plantă să asigure un volum de cel puţin 2000 cm3 de aer. Care este numărul maxim de plante pe care le poate achiziţiona?

Testul 47



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 13 1. Fie fracţia . În urma scoaterii întregului din fracţie se obţine ......... . 5 2. Dintre numerele 2 3 şi 2 5 , mai mic este ......... . 3. Media aritmetică a numerelor 14 şi 4 este ......... . 4. Dacă perimetrul unui pătrat este 24 cm, atunci aria acestuia este de ......... cm2. 5. O piramidă patrulateră regulată care are lungimea înălţimii de 9 cm şi lungimea laturii bazei de 5 cm, are volumul de ......... cm3. 6. În tabelul de mai jos sunt notate cele opt familii ce locuiesc într-un bloc şi numărul de copii ai fiecărei familii. Numărul familiilor care au cel puţin doi copii este ........ . F 1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 familia nr. de copii

2

−

3

(5p)

1

2

−

−

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

4

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată dreaptă cu bazele notate DANI şi RELU.

(5p)


117

2. Alexandra are 54 lei şi mai primeşte de la mama sa 40 lei. Câte CD-uri, cu 29 lei bucata, poate să-şi cumpere Alexandra cu suma pe care o deţine? (5p) 3. Un automobil parcurge un traseu în trei zile în felul următor: în prima zi 30% din traseu, a doua zi 50 % din traseu, iar a treia zi restul de 52 km. a) Ce procent din drum a parcurs a treia zi? (5p) b) Care este lungimea drumului? (5p) 4. Un elev are la fizică notele: 6; 6; 9. Verificaţi dacă o notă de 9 l-ar ajuta pentru mărirea mediei. (La această disciplină, elevul nu dă teză). 2 x −1 5. Arătaţi că fracţia x + 2 x − 3 , în urma simplificării, devine , unde x Î  \ {−3}. 2 x+3 x + 6x + 9

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. B A 1. Grădina bunicilor are forma din figura alăturată,

30 cm

ABCDE, partea haşurată fiind destinată unui foişor x pentru depozitarea diverselor obiecte de grădinărit, restul (ABDE) pentru cultura de legume. C a) Dacă BC = x, exprimaţi perimetrul grădinii ABCDE. (5p) b) Pentru x = 40 m, calculaţi aria suprafeţei destinate E D efectiv culturii, ştiind că 10% din suprafaţă este ocupată de cărări (alei). (5p) 2 c) Dacă pe 40% din suprafaţa destinată culturii se seamănă ardei, iar pe 1 m se investesc 10 lei şi se obţin 16 lei, calculaţi profitul obţinut pe cultura de ardei. (5p) 2. Nemulţumit de oferta din magazine, Andrei se hotărăşte să îşi construiască un acvariu mai mare, sub forma unui paralelipiped drept cu L = 60 cm, l = 40 cm şi h = 30 cm, ca în figura alăturată. a) La confecţionarea capacului, dimensiunile cm 0 4 acestuia trebuie să fie cu un centimetru mai mari 60 cm (ca să nu cadă în acvariu!). Calculaţi aria capacului. b) Calculaţi volumul paralelipipedului. c) Calculaţi nivelul la care se ridică apa în acvariu, dacă se pun 60 l de apă.

Testul 48


(5p) (5p)

(5p)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. 20% din 100 este egal cu ......... . (5p) 2. Multiplii lui 7, mai mici decât 20 sunt ......... . (5p) 3. Numerele naturale care verifică 3 x + 1 ≤ 7 sunt ......... . (5p) 4. Un triunghi dreptunghic are măsura unuia din unghiurile ascuţite de 40º. Măsura celuilalt unghi ascuţit este egală cu ......... . (5p) 2 5. Aria laterală a unei prisme patrulatere regulate drepte este de 20 cm . Aria unei feţe laterale este egală cu ......... cm2. (5p) 118


6. În tabelul alăturat sunt prezentate încasările unui vânzător de produse lactate în 5 zile lucrătoare.

ziua încasări (lei)

I

II

III

IV

V

120

100

140

90

115

Cât a încasat în medie pe zi?

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cub şi haşuraţi bazele.

(5p)

2. Într-o clasă sunt 15 băieţi. Numărul fetelor reprezintă 60% din numărul băieţilor. Câţi elevi sunt în clasă?

(5p)

3. Un elev are la matematică, la oral, notele 6; 7; 7; 9 şi în teză nota 8. a) Calculaţi media semestrială a elevului.

(5p)

b) Verificaţi dacă încă o notă de 8 la oral i-ar mări acestuia media.

(5p)

4. Verificaţi care dintre numerele −3; 0; 4; 1,5 sunt soluţii ale inecuaţiei 3x − 2 > 1.

(5p)

5. Arătaţi că intersecţia reprezentărilor grafice ale funcţiilor f :  →  , f(x) = x − 1 şi g :  →  , g(x) = 2x − 3 este punctul de coordonate (2; 1).

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Familia Ionescu doreşte să-şi renoveze căsuţa de vacanţă, aceasta fiind reprezentată în desenul alăturat printr-un paralelipiped dreptunghic, iar acoperişul printr-o prismă a) Calculaţi aria suprafeţei ce trebuie zugrăvită ştiind că dimensiunile uşii sunt 2,2 m şi 2 m, iar cele trei

3m

triunghiulară regulată dreaptă.

geamuri identice au dimensiunile de 1,2 m şi 1,5 m. (10p)

8m

4m b) Care este costul zugrăvitului dacă pentru 1 m2 se plătesc 35 lei?

(5p)

c) Calculaţi de câte ţigle este nevoie pentru schimbarea acoperişului ştiind că pe 1 m2 intră, în medie, 24 de bucăţi. (Suprafeţele haşurate sunt placate cu lemn.)

(5p)

d) Pentru cumpărarea unui cazan de încălzire centrală trebuie să se cunoască volumul spaţiului încălzit. Calculaţi acest volum, ştiind că o încăpere a casei, având formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 1,5 m; 2 m şi 2,5 m, nu este încălzită.

(5p)

e) Calculaţi câte bucăţi de grinzi sunt necesare la acoperiş pentru a le înlocui pe cele vechi, ştiind că ele se vând la bucăţi de 4,5 m liniari (grinzile ce trebuie înlocuite la acoperiş reprezintă toate muchiile prismei).


(5p)

119

Testul 49



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 330 : 33 : 10 · 2 este .......... .

(5p)

2. Din vânzarea a 350 kg de mere de acelaşi fel s-au obţinut 700 lei. Preţul unui kilogram de mere este egal cu .......... lei.

(5p)

3. Soluţia reală a ecuaţiei 7 – x = 4 este x = .......... 4. Rezultatul calculului

2 ⋅ 3 : 6 este egal cu .......... .

(5p) B 10%

(5p)

5. Diagrama reprezintă procentele corespunzătoare situaţiilor A, B, C. Situaţiei D îi corespunde ..........%. 6. Aria unei feţe a unui cub este de 9 este egală cu

..........dm2.

dm2. Aria

(5p)

totală a cubului

A 30%

(5p)

C

40%

D

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Câte case sunt pe partea dreaptă a unei străzi dacă numerele sunt de la 2 la 48, fiecare casă are un număr şi nu sunt numere dublate (spre exemplu, nu există numărul 8 bis)? 2. Aflaţi elementele mulţimii: A = {x Î  | −3 < x + 2 ≤ 4}.

(5p) (5p)

3. Calculaţi preţul mediu pentru un kilogram de fursecuri dacă se amestecă două kilograme de fursecuri care costă 10 lei kilogramul cu trei kilograme de fursecuri care costă 12 lei /kg?

(5p)

Verificaţi care dintre elementele mulţimii {2; 3; 5} este soluţie pentru ecuaţia x2 − 7x + 10 = 0.

(5p)

a) măsura unghiului ADC şi măsura unghiului CMB;

(5p)

b) perimetrul patrulaterului AMCD.

(5p)

4. 5. Un trapez isoscel ABCD are bazele AB = 12 cm şi DC = 6 cm, iar m(DAB) = 60º. Dacă M este mijlocul segmentului [AB], calculaţi:

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Măsurile unghiurilor A, B, C, D ale patrulaterului convex ABCD sunt direct proporţionale cu numerele 1, 2, 5 şi 4. Dacă M este mijlocul segmentului [AB], unde AB = 12 cm şi CM ||AD, aflaţi: a) măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD;

(5p)

b) dacă m(A) = 30º, m(B) = 60º şi m(C) = 150º, calculaţi aria triunghiului MBC;

(5p)

c) în aceleaşi condiţii, calculaţi aria patrulaterului DCMN, unde N Î (AD), MN ^ AD.

(5p)

2. Cutia de lapte pe care o primesc elevii la şcoală are forma unui tetraedru regulat ABCD cu latura de 8 2 cm. a) Desenaţi tetraedrul regulat ABCD.

(5p)

b) Calculaţi aria totală a cutiei, precum şi suprafaţa cartonului folosit pentru confecţionarea ei, ştiind că la îmbinare se foloseşte 10% din suprafaţa totală a cutiei. c) Calculaţi volumul cutiei precum şi cantitatea de lapte din ea când este plină. 120

(5p) (5p)


Testul 50



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 250 mai mic decât 700 este .......... . (5p) 2. Scris cu cifre, numărul două sute trei mii este .......... . (5p) 3. Un lot agricol în formă de dreptunghi are dimensiunile de 200 m, respectiv 400 m. Exprimată în m2, aria sa este egală cu .......... . (5p) 4. Dacă măsura unui unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic este de 40º, măsura celuilalt unghi ascuţit este de ..........º . (5p) 5. Rezultatul calculului 7 · (8 − 2) este egal cu .......... . (5p) 6. O maşină, care merge cu viteza constantă de 80 km/h, va străbate în două ore şi jumătate ..........km.

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' . (5p) 2. Un produs costă 200 lei. Cât va costa acest produs după o scumpire cu 15%? (5p) 3. Dacă la suma de bani pe care o are fiecare elev dintr-o clasă se adaugă încă 2 lei, se obţine relaţia funcţională dată de formula f(x) = x + 2. Reprezentaţi grafic această funcţie ştiind că suma cea mai mică pe care o avea unul dintre elevi era de 1 leu, iar cea mai mare era de 7 lei. (5p) 4. a) Efectuaţi înmulţirea (3x − y) · (y + 3x). (5p) x+6 b) Rezolvaţi, în mulţimea numerelor naturale, inecuaţia x − 2 ≤ . (5p) 3 5. Secţiunea diagonală într-un paralelipiped dreptunghic este un pătrat cu latura de 6 cm. Calculaţi volumul paralelipipedului dacă baza este tot pătrat.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În centrul O al dreptunghiului MATE cu AT = a şi m(AOT) = 60º, se ridică perpendiculara a 3 OD = pe planul său. 2 a) Calculaţi distanţa de la D la A. (5p) b) Aflaţi măsura unghiului format de planul (DAT) cu planul dreptunghiului.

(5p)

c) Arătaţi că planul (SET) este perpendicular pe planul (DON), unde N este mijlocul segmentului [MA], iar S un punct oarecare din spaţiu, S Ï ET.

(5p)

d) Demonstraţi că planele (NOB) şi (MED) sunt paralele, B fiind mijlocul lui [DT]. 2. Figura alăturată reprezintă o prăjitură tăiată în 10 felii egale în formă de paralelipiped dreptunghic. Suprafaţa unei felii are dimensiunile de 10 cm şi respectiv 6 cm.

(5p)

Dacă o felie de prăjitură cântăreşte 210 g, folosind relaţia 1 dm3 = 1 kg, aflaţi: a) volumul prăjiturii; b) înălţimea prăjiturii; 3. Recapitulare finală

(5p) (5p) 121

Testul 51



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia reală a ecuaţiei x − 7 = 0 este .......... .

(5p)

2. Un elev are 12 creioane colorate, iar colegul său are cu 8 creioane mai puţin. Colegul său are .......... creioane.

(5p)

3. Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Perimetrul său este egal cu .......... cm.

(5p)

4. De la ora 10 şi 10 minute, până la ora 11 trec ..........minute.

(5p)

5. Un autoturism parcurge o distanţă în 2 ore. Dacă păstrează aceeaşi viteză şi nu se opreşte din drum, parcurge o distanţă de trei ori mai mare decât prima în .......... ore.

(5p)

6. Dacă un elev de gimnaziu are, la chimie, pe semestrul întâi, notele: 7, 8, 10, 7, atunci media semestrială va fi .......... .

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi şi notaţi o piramidă triunghiulară regulată de vârf T şi bază EZA.

(5p)

2. Citind oferta „cumperi un produs, al doilea îl plăteşti la jumătate de preţ“ şi ştiind că reducerea se aplică produsului mai ieftin, cât va plăti o persoană care vrea să cumpere un produs de 160 lei şi unul de 120 lei?

(5p)

3. Mama cumpără copiilor săi 40 de napolitane, iar bunica le cumpără 28 de batoane de ciocolată. Ştiind că aceste dulciuri se împart în mod egal copiilor, câţi copii pot fi în acea familie? 4. Un dreptunghi ABCD are laturile AB = 4 cm şi BC = 6 cm. Calculaţi aria şi perimetrul

(5p)

dreptunghiului.

(5p)

5. Se consideră funcţia f :  → , f(x) = (a + 1) · x + 5, unde a este un număr real. a) Aflaţi valorile lui a pentru care punctul A(a; 25) aparţine graficului funcţiei f.

(5p)

b) Pentru a = 4, reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de axe perpendiculare xOy. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul echilateral ABC, punctele M şi P sunt mijloacele laturilor[AB], respectiv [AC]. Dacă AB = 4 cm, calculaţi: a) aria triunghiului ABC;

(5p)

b) aria triunghiului BMP.

(5p)

2. În cubul ABCDA'B'C'D', punctul M este mijlocul segmentului [BC] şi A'M = 9 cm. a) Arătaţi că lungimea segmentului [AB] este egală cu 6 cm. b) Calculaţi aria totală a piramidei triunghiulare regulate A'C'BD.

(5p)

(5p)

c) Fie P mijlocul segmentului [A'B']. Demonstraţi că dreapta D'P este perpendiculară pe planul (AA'M).

(5p)

d) Stabiliţi poziţia dreptelor MQ şi PN, unde M şi P sunt punctele folosite anterior, iar N şi Q sunt mijloacele segmentelor [DC], respectiv [A'D']. 122

(5p)


Testul 52



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. A treia parte dintr-o oră are .......... minute.

(5p)

2. Se consideră funcţia f :  → , f(x) = 2x + 3. Valoarea funcţiei pentru x = 2 este .......... . (5p) a 3 3. Valoarea numărului a din proporţia = este .......... . (5p) 6 2 4. Scris ca produs de două numere naturale, numărul 115 este egal cu .......... . (5p) 5. Latura unui lot agricol în formă de pătrat este de 200 m. Gardul care va înconjura acest teren va avea o lungime de .......... m.

(5p)

6. Cel mai mic număr natural nenul care se poate împărţi exact la 2 şi la 15 este .......... . (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cerc de centru O şi rază r, diametrul [AB], raza [OC] şi o coardă MN < AB. 2. Într-o cutie sunt 24 bile albe şi negre. Dacă probabilitatea de a extrage o bilă albă este

(5p) 1 , 6

câte bile albe sunt în cutie?

(5p)

3. Suma vârstelor a doi fraţi este 19. Peste câţi ani suma vârstelor lor va fi 29?

(5p)

4. Perimetrul unui lot de pământ este de 1232 m. Câţi lei va costa gardul care înconjoară terenul, dacă se folosesc două rânduri de sârmă şi un metru liniar de sârmă costă 0,20 lei?(5p) 5. Fie expresia E(x) = x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1, unde x este număr real. a) Calculaţi valoarea expresiei E(x) pentru x = 1.

b) Fie N = x4 − 2x3 + x2. Arătaţi că N ≥ 0 pentru orice x număr real.

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Numărul a reprezintă 60% din numărul b.

a) Demonstraţi că a şi b sunt invers proporţionale cu numerele 5 şi respectiv 3.

(5p)

b) Aflaţi a şi b, ştiind că 2a + 5b = 310.

(5p)

2. Fie prisma dreaptă ABCA'B'C', cu baza ABC triunghi echilateral. Latura bazei are lungimea de 24 cm şi înălţimea prismei are lungimea de 12 cm. a) Desenaţi prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral ABCA'B'C'.

(5p)

b) Calculaţi aria totală a prismei.

(5p)

c) Calculaţi distanţa de la punctul A la planul (A'BC).

(5p)

d) Calculaţi valoarea sinusului măsurii unghiului format de dreptele AB' şi A'C.

(5p)


123

Testul 53



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Calculând (0,42 + 1,78) : 2 se obţine .......... . (5p) 2. Un sfert din suma 784 lei reprezintă .......... lei. (5p) 3. Dacă o pâine costă 1,50 lei, patru pâini de acelaşi fel vor costa .......... lei. (5p) 4. Calculând 1,5% din 200 se obţine .......... . (5p) 5. Curtea şcolii are formă de dreptunghi. Dacă lungimea este de 50 m şi lăţimea este de 30 m, lungimea gardului care o înconjoară este de .......... m. (5p) 6. La teză se pot lua note de la 1 la 10. Probabilitatea ca un elev să nu ia mai puţin de nota 8 este .......... .

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic notat ALGEBRIC şi puneţi în evidenţă pe desen o secţiune diagonală. (5p) 2. a) Arătaţi că (2x − 1)(3 + x) = 2x2 + 5x − 3. (5p) 2 2 2 b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2(x − 2) −3(x + 1) = −3x −19x + 8. (5p) 3. Un autoturism parcurge o distanţă de 150 km în două ore. Cu ce viteză medie a mers? 4. În desenul alăturat este reprezentat graficul unei funcţii liniare f. a) Determinaţi funcţia f.

(5p)

b) Care este valoarea funcţiei pentru x = 3?

(5p)

5. Un frigider costa 1500 lei. După o reducere de preţ, frigiderul se vinde cu 1200 lei. Cu câte procente s-a redus preţul frigiderului? (5p)

6 5 4 3 2 1

(5p) B

A 1 2 3 4 5

0

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În trapezul dreptunghic ABCD, AD || BC, AD < BC şi m(A) = 90º, perpendiculara d pe latura [DC] în mijlocul ei E, intersectează pe BC în punctul F, care este mijlocul lui [BC], DC = 20 cm, AD = 9 cm, AB = 12 cm.

a) Arătaţi că BD ^ DC. b) Calculaţi aria trapezului ABCD.

(5p)

c) Calculaţi aria triunghiului FCE.

(5p)

a) aria laterală a piesei;

(5p)

b) volumul piesei;

(5p)

c) masa piesei dacă densitatea oţelului este

124

70 cm

50 cm

70

cm

(5p)

100 cm

70

Respectând dimensiunile indicate, calculaţi:

cm

cm 20 0

2. În figura alăturată este reprezentată o piesă din oţel.

ρ = 7,8 t/m3 şi m =  ⋅ρ .

(5p)


Testul 54 (Autor: prof. Nadia Bărbieru)



Numărul de probleme

1. Rezultatul calculului 3 · (–4) + 2 este egal .......... (5p) 2. Complementul unghiului 34°15' este egal cu ........... (5p) 3. Un triunghi echilateral cu latura de 8 cm are înălţimea egală cu .......... cm. (5p) 4. Aria totală a unui cub este de 192 cm2. Latura cubului este egală cu .......... cm. (5p) 5. Soluţia ecuaţiei 4x – 8 = 12 este egală cu .......... (5p) 6. Un grup de prieteni au rezolvat fiecare un număr de probleme de matematică. Numărul de probleme este trecut în graficul de mai jos. În total au rezolvat .......... probleme. (5p) 10 8 7 5 3 Ana

Ioana

Alex

Dana

Doru

Grupul de prieteni

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă triunghiulară regulată MNPM'N'P'. (5p) 2. Dorel are într-un clasor 252 de timbre. Dintre acestea o treime i le dă colegei sale Irina. Câte timbre îi mai rămân lui Dorel? (5p) 3. Trei numere sunt direct proporţionale cu 2, 3 şi respectiv 5 şi diferenţa dintre numărul cel mai mare şi cel mai mic este 36. a) Aflaţi numărul mijlociu. (5p) b) Ce procent reprezintă numărul cel mic din cel mare? (5p) 4. Se consideră ecuaţia (x + 2)2 – 9 = 0. Verificaţi dacă x = 1 şi x = –5 sunt soluţiile acestei ecuaţii. (5p) 5. Arătaţi că: x2 + 6x + 9 – y2 = (x + 3 – y)(x + 3 + y), pentru orice y număr real. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat un teren ABC, în care avem: m(  A) = 90°, AC = 6 3 m, AB = x (x este o distanţă exprimată în metri).

A

C

x

O R


B

125

a) Exprimaţi, în funcţie de x, aria suprafeţei ABC. (5p) b) Dacă O este mijlocul laturii [BC], arătaţi că suprafaţa terenului AOC este egală 3x 3 cu . (5p) 2 c) Aflaţi x ştiind că triunghiul AOB are toate laturile egale. (5p) d) Dacă x = 6 şi notăm cu R piciorul perpendicularei din A pe BC, atunci aflaţi de câte ori este mai mare suprafaţa lui ARC faţă de suprafaţa lui ABR. (5p) C 2. Figura alăturată reprezintă un bazin care are M O forma unei piramide triunghiulare regulate ABCD D B în care înălţimea bazinului este AO = 4 dm, iar înălţimea unei feţe laterale a bazinului este AM = 5 dm. a) Aflaţi suprafaţa totală a piramidei. (5p) b) Dacă bazinul se umple cu apă, atunci încap în el 61l de apă? Justificaţi.(5p) A

Testul 55



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Fie x = 2 + 3 şi y = 3 . Atunci x – y este egal cu .......... 2. 12 % din 25 este egal cu .......... 3. Un triunghi are două unghiuri de 80° şi 45°. Cel de-al treilea are măsura de .......... 4. Dacă MN = 8 cm şi măsura unghiului format de dreapta MN cu planul α este de 60°, atunci lungimea proiecţiei segmentului MN pe planul α este egală cu ..........cm. 81x 2 − 64 y 2 5. După simplificare, fracţia devine .......... 9x − 8 y 6. 250 de elevi fac parte dintr-un club sportiv. Numărul de elevi care au performanţe în acest an este reprezentat în diagrama alăturată. Conform diagramei numărul celor care nu au obţinut performanţe sportive în ultimul an este ........... (5p)

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

12 elevi baschet

nu au performanţe

4 elevi înot 52 elevi atletism

12 elevi gimnastică

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă patrulateră regulată VABCD. (5p) 2. Un vânzător vinde o ladă cu mere care conţine 40 kg şi încă o lădiţă care are de 5 ori mai puţin. Câte kg de mere vinde vânzătorul? (5p) 3. Aflaţi toate numerele naturale mai mici decât 1100 care împărţite cu 24; 30 şi 18 dau de fiecare dată restul 7. a) Verificaţi dacă numărul 1087 îndeplineşte condiţiile date. (5p) b) Determinaţi numerele care au această proprietate. (5p) 126


4. Determinaţi funcţia f :  → , f(x) = ax + b unde a, b є , care trece prin punctele A(–2; –4) şi B(1, 5). 5. Arătaţi că x3 + 2x2 – x – 2 = (x + 2)(x – 1)(x + 1), pentru orice x număr real.

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O cameră avea forma unui dreptunghi ABCD cu AB = 10 m B E A AD = 7 m. Se măresc dimensiunile camerei cu BE = DG = x m. D C a) Care este perimetrul noii camere formate AEFG F G (în funcţie de x)? (5p) b) Determinaţi suprafaţa pardoselii AEFG. (5p) c) Aflaţi valoarea lui x ştiind că distanţa GE = 15 m. (5p) d) Se consideră BE = 2 m. O persoană doreşte să cumpere vopsea albă pentru suprafaţa pardoselii ABCD şi vopsea crem pentru pardoseala BEFGDC. Care este preţul pe care îl va da persoana pe vopsea ştiind că 1 l de vopsea costă 11 lei şi se ocupă o suprafaţă de 10 m2. (5p) 2. Figura alăturată reprezintă schematic un depozit sub forma unui paralelipiped C' dreptunghic ABCDA'B'CD'. Unghiul dintre dreapta D'B D' şi planul (ABC) are măsura de 30°, BC = 5 m, 10 A' B' iar înălţimea DD' = 10 m. a) Aflaţi aria totală a paralelipipedului dreptunghic. (5p) D C b) Verificaţi dacă distanţa de la C la dreapta 30° 5 AC' este de 5 3 m. (5p) A B

Testul 56



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1 este egal cu .......... 3 2. Fie mulţimile A = {2, 5, 8, 10} şi B = {10, 2, 8}. Mulţimea A \ B este egală cu ......... 3. Cel mai mic număr întreg par de trei cifre este ........... 4. Lungimea unui cerc este de 12π cm. Atunci raza cercului este egală cu .......... cm. 5. Diagonala unui cub este de 15 6 cm. Atunci latura cubului este egală cu .......... cm. 6. În figura alăturată este reprezentat graficul unei funcţii y liniare. Conform reprezentării grafice, punctul C are ) ;2 coordonatele .......... (5p) –1 1. Rezultatul calculului (−1 − 3 − 5 + 2 + 4 + 6 ) :

B(

A(–3; 0)


(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

C

O

x

127

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'.

(5p)

2. Fetele care fac parte din clasa a VIII-a C sunt 7, iar băieţi sunt de trei ori mai mulţi decât fetele. Câţi elevi are clasa a VIII-a C?

(5p)

3. Preţul unei bluze este de 25 lei. După o ieftinire cu 20%, urmată de o scumpire, noul preţ este de 23 lei. a) Aflaţi cât costă bluza după ieftinire.

(5p)

b) Determinaţi procentul de scumpire a bluzei. 1 4. Se consideră funcţia f :  → , f ( x) = x − 4 . Determinaţi a, ştiind că A(a; 2a – 13) 2 aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei.

(5p)

5. Se consideră numerele: x = 4 − 2 3 şi y = 4 + 2 3 . Arătaţi că (x + y)2 = 12.

(5p)

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat schematic un teren

C

B

agricol ABCD, trapez isoscel cu: AB = BC = CD = 10 dam, AD = 22 dam, CN ⊥ AD , CN = 8 dam, MN = x. a) Determinaţi, în funcţie de x, suprafaţa terenului CMD. (5p) b) Arătaţi că suprafaţa ABCN este de 104 dam2.

(5p)

A

M

D

N

c) Aflaţi x, ştiind că ABCM este romb.

(5p)

d) Dacă terenul va fi înconjurat cu un gard de sârmă, acesta fiind susţinut de stâlpi de lemn care se află la distanţa de 2 m unul faţă de celălalt. Aflaţi cât costă investiţia, ştiind că sârma se vinde cu preţul de 5,5 lei/m, iar costul unui stâlp este de 12 lei.

(5p)

2. În figura alăturată este reprezentat schematic un cort. V

VABCD piramidă patrulateră regulată cu VAC triunghi echilateral VA = 6 2 m. a) Calculaţi suprafaţa laterală a cortului.

P

(5p)

b) Dacă P este mijlocul [AV], aflaţi distanţa de la P la planul (VBD).

128

D

C O

(5p)

A

B


Testul 57



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 32 : 4 + 6 este egal cu ..........

(5p)

2. Inversul numărului 7 este ..........

(5p)

3. 6 robinete umplu un bazin în 2 ore. Dacă se închid două robinete, atunci cele 4 robinete rămase umplu acelaşi bazin în ..........

(5p)

4. Dacă lungimea unui dreptunghi este de 10 cm şi lăţimea de 2 cm, atunci aria dreptunghiului este egală cu ..........cm2.

(5p)

5. Volumul unei piramide patrulatere cu latura bazei de 12 cm şi înălţimea de 9 cm este egală cu ..........cm3.

(5p)

6. Mediile generale ale unei clase de elevi sunt reprezentate în graficul de mai jos. Câţi elevi au

număr de elevi

media generală mai mare sau egală cu 8?

(5p)

9 7 5 2 6-6,99

7-7,99 8-8,99

media generală

9-9,99

10

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D'.

(5p)

2. În două depozite de află 500 t de porumb. Ştiind că în primul depozit se află de 4 ori mai mult porumb decât în cel de-al doilea, aflaţi cantitatea de porumb din depozite.

(5p)

3. Suma a două numere naturale este 48, iar cel mai mare divizor comun al celor două numere este 6. a) Aflaţi cele două numere care îndeplinesc condiţiile.

(5p)

b) Verificaţi dacă raportul celor două numere poate fi 7.

(5p)

4. Fie funcţia f : {–2; 0; 1; 5} → , f(x) = |x – 2|. Reprezentaţi grafic funcţia.

(5p)

5. Arătaţi că

(x − 3)2 + 2 (x − 3) + 1 2

x −4


=

x−2 , pentru x ∈  − {±2} . x+2

(5p)

129

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat schematic un teren

E

A

C

agricol de forma ABCD şi o suprafaţă de păşune ADC. Ştim că AC = 200 dam şi DB = 40 dam, iar ED = x. a) Aflaţi, în funcţie de x, suprafaţa păşunii ACD.

(5p)

b) Determinaţi suprafaţa terenului agricol ABCDA.

(5p)

D

c) Dacă E este mijlocul lui (AC), iar m(  EAD) = 60°, determinaţi valoarea lui x.

B

(5p)

d) Ştiind că pe terenul agricol se cultivă grâu, iar recolta de grâu a fost de 3000 kg/ha, aflaţi câte tone de grâu s-au recoltat.

(5p)

2. Un foraj marin este ilustrat schematic în figura de mai

B

jos. VABCD este o piramidă patrulateră regulată iar (MNP) || (ABC). Dacă AC = 30 8 m; MP = 10 8 m,

A

D

iar O'O = 18 m. a) Determinaţi aria trapezului ACPM.

N

(5p)

cu ciment.

Testul 58

O'

M

b) Aflaţi volumul VMNPQ, ştiind că acesta va fi umplut

C

O

P

Q

(5p)

V



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: (–2)0 + (–1)3 · 5 este egal cu..........

(5p)

2. Media aritmetică a numerelor a = 8 − 3 şi b = 6 + 3 este ..........

(5p)

3. Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei x + 1 < 5x – 3 este ..........

(5p)

4. Suplementul unghiului de 70° este egal cu .......... 5. Volumul unui cub este egal cu 216

cm3. Aria

(5p)

totală a cubului este egală cu ..........

cm2.

(5p)

6. Într-un depozit s-a adus marfă, astfel încât depozitul a fost plin. Conform diagramei, procentul de smochine din cantitatea de marfă reprezintă ..........%

(5p)

28% pere

42% mere

ne 26% sm portocale hi

oc

Cantitatea de marfă

130


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi cubul ABCDA'B'C'D'. 2 2. Un turist parcurge un drum în două etape. În prima etapă a parcurs din drum, iar în 3 ultima etapă a parcurs 150 km. Aflaţi lungimea drumului.

(5p) (5p)

3. a) Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că: 3a + 2b = 5b − a + 27 .

{

b) Fie mulţimea A = − 27;

3

256; 0, 4; 2 ;

(5p)

}

5; 8, 4(3) .

Aflaţi elementele mulţimii B = {x | x є A, x є  – }. 1 4. Fie funcţia f :  → , f ( x) = 2 x − . Calculaţi f(1) + f(2) + f(3) + ....+ f(10). 5

(5p)

5. Arătaţi că x4 – 256 = (x – 4)(x + 4)(x2 + 16).

(5p)

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un triunghi este reprezentat în figura alăturată. A

Avem: BC = 8 cm, m(  BAC) = 90°, m(  ABC) = 60°, AD ⊥ BC . a) Aflaţi lungimile laturilor AB şi AC.

(5p)

b) Calculaţi distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

(5p)

c) Dacă DE || AB, E є (AC), aflaţi CE.

(5p)

B

C

D

d) Aflaţi raportul dintre aria suprafaţei ADC şi aria suprafeţei ABC. (5p) A'

2. În figura alăturată, ABCA'B'C' este un trunchi de piramidă

M' O' B'

triunghiulară regulată cu O ′C ′ = 2 3 dam, OC = 3 3 dam, CC ′ = 7 3 dam. a) Aflaţi suprafaţa laterală a trunchiului.

(5p)

b) Calculaţi volumul ABCA'B'C'.

(5p)

C'

A O

M

C

B


131

Testul 59



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: (216 : 2 – 23) · 4 este egal cu .......... (5p) 2. După o reducere cu 10%, preţul unei cărţi a devenit 27 lei. Preţul iniţial a fost .........lei. (5p) 3. Fie mulţimile A = {1; 4; 7} şi B = {0; 4; 7}. Mulţimea A ∩ B = {.........}. (5p) 4. Un cerc are diametrul de 20 cm. Lungimea cercului este egală cu ..........cm. (5p) 5. Un zar are muchia de 8 mm. Aria laterală a zarului este egală cu .......... mm2. (5p) 6. Un canal plin cu apă este mărginit de dreptele paralele d şi d'. Acest canal este traversat de un pod p ca în figura de mai jos. Valoarea de adevăr a propoziţiei: „Unghiurile 1 şi 7 sunt congruente“ este ......... (5p) 1 7

d d'

p

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază ABC. (5p) 2. Ce notă trebuie să obţină un elev la istorie, dacă el are deja o notă de 5 şi una de 6 şi doreşte să aibă media 7? (5p) 3. Pentru a face înconjurul unei grădini pătrate, o persoană are nevoie de 12 minute. Aceasta face 100 de paşi pe minut. Lungimea unui pas este egală cu 50 cm. a) Aflaţi perimetrul grădinii. (5p) b) Care este suprafaţa grădinii? (5p) x4 − 5x2 + 4 reprezintă un număr natural, oricare ar fi x natural mai 4. Arătaţi că raportul x3 − 2 x 2 − x + 2 mare decât 2. (5p) 5. Fie f :  → , f(x) = –3x + 4. Aflaţi punctul de pe grafic ale cărui coordonate sunt numere opuse. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. . 1. Se consideră trapezul isoscel ABCD, AB || CD, [AD] ≡ [DC] ≡ [CB], CB = 5 cm, m(  A) = 60° a) Arătaţi că AC ⊥ BC . b) Dacă M este mijlocul laturii [AB], arătaţi că ADCM este romb şi DM ⊥ AC . c) Dacă AD ∩ BC = {P}, calculaţi perimetrul triunghiului PAB. 2. Dintr-o prismă de metal, triunghiulară regulată, cu latura bazei de 3 dm şi înălţimea de 6 dm, se scoate o piramidă cu aceeaşi bază şi aceeaşi înălţime cu prisma. Din metalul rămas se toarnă, prin topire, o nouă prismă triunghiulară regulată cu înălţimea de 1 dm. a) Aflaţi volumul prismei de metal. (5p) b) Calculaţi volumul piramidei care se scoate. (5p) c) Determinaţi lungimea laturii bazei prismei noi obţinute. (5p) 132


Testul 60




(

)

1. Rezultatul calculului: 18 - 50 : (2 2 ) este egal cu .......... 2. 3 dm3 = ..........l. 6a a 3. Dacă = 9 , atunci are valoarea .......... 2b − a b 4. Un triunghi isoscel ABC are m(  ABC) = 30° şi [AB] ≡ [AC]. Măsura unghiului BAC este egală cu ..........°. 5. Rezultatul calculului: 18 - 50 : 2 2 este egal cu .......... C D 6. Într-o grădină, terenul este împărţit în 2 parcele: una în formă de pătrat ABCD cu AB = 10 m şi alta de forma unui triunghi dreptunghic isoscel ADE, ca în figura alăturată. Aria terenului EBCD este egală cu ..........m2. (5p) E B A

(

)

(5p) (5p) (5p)

(5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Suma a două numere naturale este 95. Împărţindu-l pe unul dintre ele la celălalt obţinem câtul 3 şi restul 15. Aflaţi cele 2 numere. (5p) 2 2. Fie A = {x | x є  şi |x| ≤ 3} şi B = {x | x є R, x – 1 = 0}. Determinaţi elementele mulţimii A ∩ B. (5p) 3. 8 caiete şi 6 pixuri costă 52 lei iar 7 caiete şi 14 pixuri costă 63 lei. Cât costă un caiet şi cât costă un pix? 4. Cinci muncitori termină o lucrare în 2 ore şi 48 minute. Câţi muncitori trebuie să lucreze pentru a termina aceeaşi lucrare în 1 oră şi 45 minute? (5p) 5. Se dă funcţia f :  → , f(x) = 3x – 5. Să se determine a є , astfel încât punctul M(a; a – 2) є Gf . (5p) x−2 , unde x є  \ {±3}. 3 x −9 Rezolvaţi ecuaţia E(x) = 5.

6. Se dă expresia E ( x) =

2x + 6 2

⋅ (2 x − 6 ) +

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O sală de conferinţe de formă dreptunghiulară cu lungimea de 24 m şi lăţimea de 15 m se parchetează cu parchet având forma de dreptunghi, cu dimensiunile de 25 cm şi 8 cm. Aflaţi: a) aria podelei sălii de conferinţe; (5p) b) câte bucăţi de parchet sunt necesare pentru acoperirea podelei întregii săli? (5p) c) cu câţi dm2 trebuie mărită aria sălii pentru a se obţine aria unui pătrat cu latura de 19 m? (5p) 3. Recapitulare finală

133

2. Acoperişul unui turn este de forma unui tetraedru regulat ABCD cu aria totală egală cu 36 3 cm2. a) Arătaţi că înălţimea AO a acoperişului are lungimea egală cu 2 6 cm. (5p) b) Calculaţi volumul acoperişului. (5p) c) Calculaţi distanţa de la mijlocul M al laturii [CD] la faţa (ABC). (5p)

A

B

D M C

Testul 61



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Fie numărul n = 33 – 32 · 0,(3). Valoarea lui „n“ este ..........

(5p)

2. Se dă fracţia 4 x . Fracţia este număr natural dacă x є {.........}. 6

(5p)

3. Într-un coş sunt 60 de mere dintre care 10 sunt stricate. Probabilitatea ca luând la întâmplare un măr, acesta să fie bun, este egală cu .......... (5p) 4. Un gard de forma unui pătrat are 16 m. Diagonala pătratului este egală cu .........m. (5p) 5. Pentru a vopsi o faţă a unui cub este necesar un kg de vopsea. Pentru a vopsi întregul cub este nevoie de ..........kg de vopsea. (5p) 6. Triunghiul ABC oarecare are aria egală cu 80 cm2. Fie D simetricul lui B faţă de dreapta AC. Aria patrulaterului ABCD este egală cu .........cm2. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi pe foaia de examen, o bară în formă de prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D'. (5p) 80 5 10 5 0 104 2. Fie x = (– 3) : 27 + 3 : (–9) + (–5) . Verificaţi dacă x є (2 ; ∞). (5p) 3. Mai multe persoane vor să cumpere un obiect. Dacă fiecare persoană contribuie cu câte 25 lei, nu ajung 50 lei, iar dacă fiecare persoană dă câte 35 lei, sunt în plus 40 lei. (5p) a) Câte persoane sunt? (5p) b) Cât costă obiectul? (5p) 3 . 2 a) Aflaţi m є  astfel încât reprezentarea grafică a funcţiei trece prin A(1; 4). b) Pentru m = 1, calculaţi aria cuprinsă între graficul funcţiei şi axele de coordonate.

4. Fie funcţia f :  → , f ( x) = (3m − 2) ⋅ x +

134

(5p) (5p)


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un bidon cu 10 l de vopsea este suficient pentru a vopsi o suprafaţă de 50 m2. Câtă vopsea este necesară pentru a vopsi lambriului unei clase, ştiind că lungimea clasei este de 8,50 m, lăţimea de 6 m, iar înălţimea lambriului este 1,20 m? (Nu luăm în considerare golurile ferestrelor şi uşa). (10p) 2. Pentru construcţia unei clădiri se folosesc cărămizi cu dimensiunile de: 6 cm, 12 cm şi 24 cm. Întreaga clădire are 46 m3 de zidărie, iar într-un metru cub de zidărie intră 440 de cărămizi. a) Câte cărămizi sunt necesare? (5p) b) Care este volumul cărămizilor? (5p) c) Câţi metri cubi de mortar se folosesc pentru construcţia clădirii? (5p) d) Cât la sută din volumul zidului reprezintă mortarul la metrul cub de zidărie? (5p)

Testul 62



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. ì 9 9ü 1. Fie mulţimea A = ïí2, (3); -1, 75; ; 7; - 3; ïý . Elementele din mulţimea A care au ïîï 4 10 ïþï valoare absolută mai mică decât 2 sunt.......... (5p) 2. 3 dintr-o oră reprezintă ..........minute. (5p) 4 3. Într-o clasă sunt 40 de elevi din care 55% sunt fete. Numărul băieţilor din clasă este egal cu .......... (5p) 4. Unghiul dintre acele unui ceasornic ce arată ora 3 şi 30 de minute, are măsura de .........°. (5p) 5. O cutie are forma de prismă dreaptă cu baza pătrat. Latura bazei este 2 dm, iar muchia laterală 5 dm. Volumul cutiei este egal cu ..........dm3. (5p) 6. Un triunghi isoscel ABC are laturile egale AB şi AC cu lungimile de 10 cm, iar baza BC este de 16 cm. Înălţimea (AD) a triunghiului are lungimea egală cu ..........cm. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi pe foaia de examen, un rezervor de forma unui paralelipiped dreptunghic. (5p) 2. Poetul Mihai Eminescu a trăit 39 de ani şi 5 luni. Ştiind că a murit la 15 iunie 1889, aflaţi la ce dată s-a născut poetul. 3. Într-un club sportiv sunt mai puţin de 200 de copii. Dacă se împart în echipe de câte 6, de câte 7 sau de câte 8 copii, rămâne de fiecare dată o echipă incompletă de câte 3 copii. Câţi copii sunt în acel club sportiv? (5p)


135

4. O bucată de sfoară trebuie tăiată în două părţi ale căror lungimi să fie în raportul

5 , iar 3

5 prima parte trebuie să fie cu 5 cm mai lungă decât din toată bucata de sfoară. Aflaţi 9 lungimile celor două părţi. 5. Un trapez isoscel are baza mare egală cu x + 12, latura neparalelă egală cu x – 1 şi perimetrul egal cu 4x + 12. Aflaţi baza mică a trapezului (exprimată cu ajutorul lui x).

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Piciorul unui munte este la 900 de m deasupra nivelului mării şi vârful muntelui la 1500 m. Un teleski care porneşte de la piciorul muntelui până la vârful lui are o lungime de 800 m. La 300 m de la vârful muntelui se află o cabană. La ce înălţime deasupra nivelului mării este situată cabana? (10p) 2. Pe un teren în formă de triunghi dreptunghic cu cateta AB = 30 m şi ipotenuza BC = 34 m se marchează un dreptunghi DEFA, înscris în acest teren (D є [AB], E є [BC], F є [AC]). Perimetrul dreptunghiului este 34,8 m. Pe acest contur DEFA se sapă o piscină în formă de paralelipiped dreptunghic având adâncimea de 7,5 m. Aflaţi: a) lungimea catetei [AC]; (5p) b) dimensiunile dreptunghiului DEFA; (5p) c) aria bazei piscinei; (5p) d) volumul piscinei exprimat în l. (5p)

Testul 63



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă x = 2 + 3 atunci x +

1 este egal cu .......... x

(5p)

2. Ultima cifră a produsului 1 · 2 · 3 · 4 · .... · 99 este egală cu ..........

(5p)

3. Soluţia reală a ecuaţiei 4x + 7 = 27 este ..........

(5p)

4. O placă dreptunghiulară este de două ori mai lungă decât lată. Perimetrul este egal cu 24 m. Aria plăcii este egală cu .......... m2.

(5p)

5. Un vas de forma unui paralelipiped cu baza pătrat, a cărui arie este 400 dm2 are înălţimea de 2 ori mai mare decât perimetrul bazei. Volumul vasului este egal cu ..........m3.

(5p)

6. O busolă are acul magnetic de forma unui romb cu diagonalele de 30 mm şi 16 mm. Perimetrul rombului este egal cu .......... mm.

136

(5p)


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată cu vârful V în jos şi baza ABCD. 2. Suma numerelor ce reprezintă vârstele a doi fraţi este 21. Peste câţi ani suma vârstelor lor va fi 29? 3. a) Dacă a + b = 5, calculaţi a2 + a + 2ab + b + b2. b) Ştiind că x2 – y2 = 70 şi x – y = 5, aflaţi media aritmetică a numerelor x şi y.

(5p) (5p) (5p)

1 4. Trei ingineri au executat un proiect astfel: primul 40% din proiect, al doilea din rest plus 3 5% din tot proiectul, iar al treilea restul proiectului. (5p) a) Cât la sută din proiect a executat al treilea inginer? (5p) b) Ce sumă de bani a primit fiecare inginer, dacă întregul proiect a costat 4 000 lei? (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un panou publicitar este dreptunghiular, are lungimea de 9 ori mai mare decât lăţimea şi perimetrul de 20 m. Aflaţi: a) dimensiunile dreptunghiului; (5p) b) câte cutii de vopsea sunt necesare pentru a vopsi panoul, dacă la 60 dm2 se consumă o cutie? (5p) c) perimetrul unui pătrat echivalent cu dreptunghiul. (5p) 2. a) O masă de biliard se sprijină pe 4 picioare egale ce au forma unor prisme drepte cu bazele triunghiuri echilaterale. Latura bazei este de 6 cm, iar înălţimea piciorului de 8 dm. Să se afle volumul lemnului folosit la construcţia picioarelor. (5p) b) Masa de biliard are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 2 m şi lăţimea de 1,5 m. Aflaţi câţi m2 de material sunt necesari pentru a acoperi tăblia mesei. (5p) c) Ştiind că 1 m2 de material costă 35 lei, calculaţi preţul materialului folosit la acoperirea mesei. (5p)


137

Testul 64



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 225 : 15 + 25 este egal cu .......... .

(5p)

2. A 2009-a zecimală a numărului 1,(16) este .......... .

(5p)

3. Media geometrică a numerelor a = 2 2 −

7 şi b = 2 2 +

7 este .......... .

(5p)

4. Desenaţi un trapez dreptunghic. Dacă lungimile bazelor sunt egale cu 4 şi respectiv 6 cm, atunci lungimea liniei mijlocii a trapezului este egală cu ..........cm . 5. Un cub are volumul de 8

cm3.

Lungimea diagonalei cubului este egală cu .......... cm.

(5p) (5p)

6. Suma a două numere este 66 7 şi unul dintre ele este 10% din celălalt număr. Media geometrică a celor două numere este egală cu .......... .

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Două CD-uri şi un stick costă 84 lei, iar 1 CD şi 2 stick-uri costă 117 lei. Care este costul fiecărui obiect?

(5p)

2. Tatăl şi fiul au împreună 48 de ani. Ce vârstă are fiecare, dacă tatăl este de 3 ori mai în vârstă decât fiul?

(5p)

3. Se consideră funcţiile: f :  → , f(x) = x + 1 şi g :  → , g(x) = −x + 2. a) Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii.

(5p)

b) Aflaţi valoarea sumei S = f(1) + f(2) + ... + f(2012) + g(1) + g(2) + ... + g(2012). 4. Calculaţi numerele naturale a, b, c, ştiind că sunt direct proporţionale cu numerele 2, 3, 5

(5p)

şi că 2a + 5b + 7 c = 108.

(5p)

5. Calculaţi partea întreagă a lui E(0), dacă E(x) = (x −2 3

)2

+ | 3 − 1 − x|.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O piramidă patrulateră regulată VABCD are latura bazei de 12 cm şi înălţimea VO de 8 cm. a) Calculaţi aria laterală a piramidei.

(5p)

b) Întoarcem piramida cu vârful în jos şi o umplem cu apă. Câţi mililitri de apă încap?

(5p)

c) La ce distanţă faţă de bază trebuie să vărsăm apa astfel încât volumul apei rămase să fie jumătate din volumul piramidei pline? d) Aflaţi valoarea sinusului unghiului diedru determinat de planele (VAB) şi (ABC).

(5p) (5p)

2. Familia Ionescu doreşte să construiască un cort de forma unui paralelipiped dreptunghic având lungimea de 4 m, lăţimea de 3 m şi înălţimea de 2,5 m. a) Calculaţi lungimea fierului beton necesar construirii cadrului metalic al cortului dacă la partea de deasupra se mai sudează două bare ce unesc mijloacele lungimilor şi respectiv lăţimilor.

(5p)

b) Aflaţi câţi m2 de pânză sunt necesari pentru acoperirea cadrului metalic, dacă la coasere se pierde 10% din suprafaţa pânzei. 138

(5p)


Testul 65



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Media geometrică a numerelor 4 şi 9 este .......... . 7 2. Scrisă sub formă de număr zecimal, fracţia este.......... . 4

(5p)

3. Dacă |2x + 3y − 5| + ( x − 2 y + 3) 2 ≤ 0, atunci perechea (x, y) este .......... .

(5p)

(5p)

4. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 bile roşii. Probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare o bilă, aceasta să fie roşie este .............. .

(5p)

5. Volumul unui paralelipiped dreptunghic care are dimensiunile (în cm) proporţionale cu numerele 2, 4, 6 şi diagonala de 4 14 cm este egal cu .......... .

(5p)

6. Un obiect costă 500 lei. Preţul obiectului, după o scumpire cu 10% şi apoi o reducere cu 20%, va fi ..........lei .

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. x +1 1. Aflaţi valorile întregi ale lui x pentru care fracţia Î  − {1}. x −1 2. Determinaţi cel mai mic număr natural, diferit de zero, care împărţit la 24 dă restul 10,

(5p)

împărţit la 40 dă restul 26 şi împărţit la 50 dă restul 36.

(5p)

3. Se consideră funcţiile: f :  → , f(x) = 2x − 1 şi g :  → , g(x) = −2x + 3. a) Aflaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii.

(5p)

b) Calculaţi suma S = f(1) + f(2) + ... + f(2012) + g(1) + g(2) + ... + g(2012).

(5p)

4. Produsul a două numere este 1242. Dacă din primul număr se scade 6 atunci produsul se micşorează cu 324. Aflaţi numerele.

(5p)

5. Calculaţi partea întreagă a lui E(0), dacă E(x) = (x + 2 3 )2 + | 3 −1 + x|.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă triunghiulară regulată VABC de bază (ABC), iar M este mijlocul laturii (BC). a) Realizaţi desenul piramidei şi al segmentului [VM].

(5p)

b) Ştiind că latura bazei este de 12 cm, iar perimetrul unei feţe laterale de 32 cm, calculaţi aria laterală a piramidei. c) Calculaţi înălţimea piramidei.

(5p)

(5p)

d) Aflaţi volumul piramidei.

(5p)

2. O cutie fără capac, din tablă, având forma unui paralelipiped dreptunghic, se desfăşoară după un dreptunghi cu lungimea de 36 cm şi lăţimea de 4 cm şi un altul lipit cu dimensiunile de 12 cm, respectiv 6 cm. a) Aflaţi suprafaţa cutiei fără capac.

(5p)

b) Calculaţi volumul cutiei.

(5p)


139

Testul 66



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 20 1. Soluţia reală a ecuaţiei 1,(3)x + 4 = este .......... . 3 9 2. Scris sub formă de număr zecimal, fracţia este .......... . 4 3. Cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 63 şi 72 este .......... .

(5p) (5p) (5p)

4. 20 de robinete umplu un bazin în 12 ore. 15 robinete umplu acelaşi bazin în .......... ore. (5p) 5. Un cub are aria totală egală cu 1176 cm2. Latura cubului are lungimea egală cu .......... cm. (5p) 6. Radu este cu 4 ani mai mare decât Mircea, iar suma vârstelor celor doi copii este 32 ani. Vârsta lui Radu este de .......... ani. SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 2 x + 3 y = 7 1. Rezolvaţi sistemul de ecuaţii  . 3 x − y = 5 2. Să se rezolve ecuaţia

1 1 1  1      x − 3  − 3 − 3 − 3 = 0 . 2  2  2  2   

(5p)

(5p) (5p)

3. Se consideră funcţia f :  → , f(x) = 2x + 1. a) Determinaţi coordonatele punctelor A, B de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei cu axele Ox respectiv Oy.

(5p)

b) Aflaţi valoarea sumei S = f(−2012) + f(−2011) + ... + f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(2011) + f(2012). (5p) 4. Într-o magazie sunt 930 kg de pere şi 1170 kg de mere. În fiecare zi se scot câte 30 kg de pere şi 30 kg de mere. După câte zile cantitatea de pere din magazie va fi cât trei sferturi din cantitatea de mere? 5. Aflaţi lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de: 9 cm, 12 cm şi 15 cm.

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD şi centrul bazei O. a) Realizaţi desenul piramidei şi fixaţi centrul bazei O. (5p) b) Ştiind că latura bazei este de 16 cm, iar aria secţiunii ce trece prin mijloacele a două laturi opuse ale bazei şi vârful V este 48 cm2, calculaţi aria laterală a piramidei. (5p) c) Aflaţi volumul piramidei. (5p) d) Calculaţi distanţa de la centrul bazei O la planul (VBC). (5p) 2. În cubul ABCDA'B'C'D', se consideră punctele: M mijlocul segmentului (A'D') şi P mijlocul segmentului (DC). a) Aflaţi lungimea muchiei cubului, ştiind că MP =5 6 cm. (5p) b) Dacă N este mijlocul muchiei AD, calculaţi volumul corpului rămas după eliminarea piramidei MNDD'P. 140

(5p) Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

Testul 67



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia ecuaţiei 3x − 1 = 2 este .......... .

(5p)

2. Numărul soluţiilor naturale ale inecuaţiei 3x < 17 este.......... .

(5p)

3. Aria totală unui tetraedru regulat cu muchia de 6 cm este egală cu .......... .

(5p)

4. Rombul cu diagonalele de 6 cm şi 10 cm are aria egală cu .......... .

(5p)

5. Punctul de coordonate egale ce aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei f :  → , f(x) = 4x − 6 este .......... .

(5p)

6. Diferenţa a două numere este cât a cincea parte din numărul mic. Raportul celor două numere este .......... .

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. n 2 + 4(n + 1) este număr natural pentru orice n Î .

(5p)

2. Calculaţi media geometrică a numerelor 5 − 2 6 şi 5 + 2 6 .

(5p)

1. Arătaţi că

3. În triunghiul dreptunghic ABC, m(A) = 90º şi AD ⊥ BC, iar BD = 4 cm, DC = 9 cm. a) Calculaţi lungimea înălţimii AD.

(5p)

b) Calculaţi sin(m(B)).

(5p)

4. Într-o clasă numărul fetelor este de 3 ori mai mic decât numărul băieţilor. Dacă pleacă 4 băieţi şi vine o fată, numărul băieţilor va fi de 2 ori mai mare decât al fetelor. Câţi băieţi şi câte fete sunt în clasă? 5. Câţi litri de apă încap într-un vas cubic cu muchia de lungime 2 m?

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza (ABCD) şi centrul bazei O. a) Realizaţi desenul de piramidei şi fixaţi centrul bazei O.

(5p)

b) Ştiind că latura bazei are lungimea 16 cm şi muchia laterală face cu planul bazei un unghi de 60º, calculaţi înălţimea piramidei.

(5p)

c) Aflaţi volumul piramidei.

(5p)

d) Calculaţi distanţa de la punctul O la muchia VA.

(5p)

2. Ştiind că latura cubului are lungimea 12 cm, aflaţi: a) lungimea diagonalei cubului;

(5p)

b) sinusul unghiului dintre diagonala cubului şi planul bazei.

(5p)


141

Testul 68



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x(x + 5) = 0 este .......... .

(5p)

2. Cel mai mare număr natural care verifică inegalitatea 3x − 4 < 17 este .......... .

(5p)

3. Diagonala cubului cu muchia de 3 dm are lungimea egală cu .......... cm.

(5p)

4. Aria totală a tetraedrului regulat cu muchia de 2 cm este egală cu

.........cm2.

5. Numărul real m pentru care ecuaţia 2x − 3 = mx, x Î , are soluţia 1 este .......... . −2 −3 6. Dintre numerele şi mai mic este numărul .......... . 3 2

(5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.  1  1 47 + − 1. Fie E(n) =   ·7, n Î . Demonstraţi că E(2) este natural. (5p) n + 3 7(6 n + 5)   n +1 2. Fie expresia E(x) = 2x − 1, x Î . Aflaţi soluţia negativă a ecuaţiei |E(x)| = 5.

(5p)

3. În triunghiul dreptunghic ABC, m(A) = 90º, ipotenuza BC = 28 cm şi raportul 3 catetelor este . 4 a) Calculaţi lungimile catetelor.

(5p)

b) Dacă M este mijlocul lui [BC], calculaţi valoarea sin (m(AMB)).

(5p)

4. Mihai are cu 80 lei mai mult decât Alexia. Dacă Mihai cheltuieşte un sfert din suma sa, iar Alexia o jumătate din suma sa, băiatul are tot cu 80 lei mai mult decât fata. Ce sumă are fiecare copil?

(5p)

5. Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului ABC, ştiind că sunt direct proporţionale cu numerele 1, 2 şi 6.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o prismă dreaptă cu baza un triunghi echilateral ABC, a cărei secţiune ce conţine axa centrelor bazelor şi o muchie laterală de 4 cm este un dreptunghi de arie 12 3 cm2. a) Realizaţi desenul prismei.

(5p)

b) Calculaţi aria laterală a prismei.

(5p)

c) Aflaţi volumul prismei.

(5p)

d) Determinaţi valoarea tangentei unghiului determinat de o diagonală a secţiunii şi planul (ABC).

(5p)

2. În triunghiul ABC, cu m(A) = 90º şi m(C) = 30º, construim înălţimea AD, D Î BC. a) Demonstraţi că BC = 4BD.

(5p)

b) Dacă BD = 4 cm, calculaţi aria triunghiului ABC.

(5p)

142


Testul 69



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Cel mai mare număr par de 3 cifre este .......... (5p) 2. Un divizor al numărului 18 este .......... (5p) 3 3. Efectuând 3 obţinem .......... (5p) 4. Perimetrul unui pătrat este 16 cm. Atunci latura pătratului este egală cu ..........cm. (5p) 5. Dintre următoarele două numere: 3,12 şi 3,2 este mai mare .......... (5p) 6. Aria laterală a unui paralelipiped dreptunghic cu laturile bazei de 6 cm şi 8 cm şi înălţimea de 5 cm este egală cu ..........cm. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un tetraedru regulat. (5p) 2. La un magazin, din cele 72 kg de banane, s-a vândut în prima zi o treime din cantitate, iar a doua zi jumătate din cantitatea rămasă. Aflaţi câte kg de banane au rămas în magazin. (5p) 3. Dacă elevii unei clase se grupează în rânduri de câte 6 elevi atunci nu rămâne niciun elev negrupat. La fel, dacă se grupează câte 8 elevi pe un rând, nu rămâne niciun elev negrupat. a) Verificaţi dacă în clasă pot fi 32 de elevi. (5p) b) Aflaţi câţi elevi sunt în clasă, ştiind că numărul acestora este mai mic decât 40. (5p) 4. Un produs care a fost ieftinit cu 20% costă acum 120 lei. Aflaţi preţul produsului înainte de ieftinire. (5p) 2 5. Arătaţi că (2x – 3) – 16 = (2x – 7)(2x + 1), pentru orice x număr real. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. C 1. O grădină de formă dreptunghiulară ABCD are D lungimea de 12 m şi lăţimea de 6 m. a) Dacă se construieşte un gard care împrejmuieşte P N grădina format din 5 rânduri de sârmă, aflaţi A lungimea sârmei necesare. M B b) Calculaţi distanţa cea mai mare dintre două puncte ale grădinii. c) Dacă se construieşte o magazie de forma unui pătrat MBNP în colţul grădinii cu latura MB = 1 m, calculaţi aria suprafeţei rămase pentru cultivat. d) Dacă, după construirea magaziei, suprafaţa rămasă a grădinii se împarte în suprafeţele AMPD şi DCNP, calculaţi ariile celor două suprafeţe. 2. Un bloc turn are forma paralelipipedului dreptunghic ABCDA'B'C'D' D' C' cu dimensiunile AB = 16 m, BC = 10 m, AA' = 30 m. A' a) Calculaţi distanţa de la D' la AC. B' b) Dacă trebuie izolat acoperişul blocului şi se ştie că un muncitor izolează 1 m2 în 2 ore, aflaţi câţi muncitori trebuie angajaţi D C pentru a termina izolarea blocului în 5 zile, dacă toţi au acelaşi ritm de lucru şi lucrează 8 ore pe zi. A B 3. Recapitulare finală

143

Testul 70



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 2 + 12 · 5 este ..........

(5p)

2. Un multiplu al numărului 12 este .......... 4 2 3. Numărul natural exprimat din egalitatea = este .......... x 5

(5p) (5p)

4. Volumul cubului cu latura de 3 m este egal cu ..........m3.

(5p)

5. 320 m = ..........dm. (5p) 6. La teza la matematică notele unei clase au fost: 2 note de 4; 3 note de 5; 4 note de 6; 6 note de 7; 5 note de 8; 3 note de 9 şi 2 note de 10. Media notelor obţinute de elevi la teză este ......... SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată. 2. Un agricultor are 30 kg de miere pe care le pune în borcane de câte 500 g fiecare. Aflaţi de câte borcane are nevoie pentru a pune întreaga cantitate în borcane. 3. Fie f :  → , f(x) = 2x – 5. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. b) Determinaţi coordonatele punctului de pe reprezentarea grafică a cărei ordonată este egală cu triplul abscisei. 4. Fie E(x, y) = x2 + y2 – 6x + 4y + 13. a) Calculaţi valoarea expresiei pentru x = 2 şi y = 3 2 . b) Arătaţi că E(x) ≥ 0 pentru orice x şi y numere reale.

(5p (5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, este reprezentată o pârtie pe care C D schiorii pornesc din C şi ajung în B. Se ştie că m(  CAB) = 90°, AB = 100 m şi AC = 20 m. a) Arătaţi că lungimea pârtiei (BC) este mai mică A B de 102 m. (5p) E b) Calculaţi tangenta m(  CBA). (5p) c) Câţi m are înălţimea (DE) la care se găseşte un schior care a parcurs o cincime din lungimea pârtiei? (5p) D' C' 2. Trebuie săpat un şanţ în formă de paralelipiped dreptunghic lung de 20 m, adânc de 1,5 m şi A' B' C D lat de 1 m. B a) Care este volumul şanţului? (5p) A b) S-a calculat că o echipă de 3 muncitori ar finaliza lucrarea în 30 de ore. După 10 ore rămân doar 2 muncitori. Aflaţi după câte ore aceşti 2 muncitori vor termina lucrarea dacă păstrează acelaşi ritm de lucru? (5p) c) Câţi cm ar mai trebui săpaţi în adâncime pentru ca volumul să fie de 40 m3? 144

(5p)


Testul 71



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1 1 5 + − este egal cu .......... 2 3 6

(5p)

2. Scrisă ca interval, mulţimea {x є  s 1 ≤ x P 5} este ...........

(5p)

3. Media geometrică a numerelor 4 şi 9 este ..........

(5p)


4. Aria totală a unui cub cu latura de 4 cm este egală cu .......... (5p) 5. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 12 cm, 16 cm şi 15 cm are lungimea egală cu .......... cm.

(5p)

6. Soluţia ecuaţiei 36 : x = 12 este ...........

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic. (5p) 2. Pentru o serbare se cumpără 2 kg de bomboane cu preţul de 15 lei kilogramul şi 3 kg cu 10 lei kilogramul. Aflaţi preţul mediu al unui kg de bomboane. (5p) 3. Într-un bloc sunt 55 de apartamente, unele cu 2 camere şi altele cu 3 camere, în total 145 de camere. a) Stabiliţi dacă în bloc pot fi 20 de apartamente cu 3 camere.

(5p)

b) Calculaţi câte apartamente sunt cu 2 camere şi câte cu 3 camere.

(5p)

(

2

)

(

2

)

4. Calculaţi 3 - 5 + 2 - 5 . 5. Determinaţi valoarea lui x є  pentru care egalitatea (x – 3)2 = (x – 2)(x – 5) este

(5p)

adevărată.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie rombul ABCD, cu AB = 6 m şi m(rBAD) = 60°. A a) Calculaţi lungimea diagonalei (AC).

(5p)

b) Calculaţi distanţa de la B la CD. (5p) c) Dacă paralela prin A la BD intersectează dreapta CD în

B

punctul M, calculaţi lungimea segmentului (AM). (5p) 2. O piesă are forma unei piramide patrulatere regulate VABCD cu latura bazei AB = 12 cm şi muchia laterală VA = 2 34 cm.

O

D

C V

a) Calculaţi lungimea înălţimii piramidei. (5p) b) Arătaţi că (VAC ) ^ (VBD) (5p) c) Calculaţi distanţa de la punctul de intersecţie a diagonalelor bazei la o faţă laterală.

D

(5p) A


C

B

145



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 12 – 5 · 3 este .......... (5p) 2. Scris ca putere cu baza 2 numărul 16 este egal cu .......... (5p) 3. Un produs are preţul de 150 lei. După o reducere de 10% acesta va costa .........lei. (5p) 4. Apotema unui triunghi echilateral cu latura de 2 3 cm este egală cu ..........cm. (5p) 5. Pe planul pătratului ABCD cu latura AB = 4 cm se ridică perpendiculara AM ^ ( ABC ) cu AM = 1 cm. Distanţa de la M la BD este egală cu ..........cm. (5p) 6. Volumul unei piramide triunghiulare regulate cu latura bazei de 5 cm şi înălţimea de 12 cm este egal cu ........... cm3. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un trapez isoscel ABCD. (5p) 4 2. Un elev a citit 160 de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezintă din totalul numărului de 5 pagini. Aflaţi câte pagini are cartea. (5p) 3. Fie expresia E ( x) =

x−3 2

x − 5x + 6

, unde x є  \ {2; 3}.

a) Calculaţi E(–1) + E(1).

(5p)

1 . x−2

(5p)

c) Aflaţi x є , pentru care E(x) є .

(5p)

b) Arătaţi că E ( x) =

4. Calculaţi

( 2-

3+ 5

) + 126 + 2

10 15 + 10

.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A 1. Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC = 13 cm şi BC = 10 cm, iar MNPQ este un pătrat cu M, N є (BC) P є (AC) şi Q є (AB). P Q a) Calculaţi aria triunghiului ABC. (5p) b) Dacă MN = x cm, exprimaţi aria triunghiului PNC în funcţie de x. (5p) B M N C c) Determinaţi valoarea lui x. (5p) 2. Un cort are forma unei piramide patrulatere VABCD cu latura bazei AB = 24 dm şi V înălţimea VO = 16 dm. a) Calculaţi aria suprafeţei laterale a piramidei. (5p) b) Calculaţi tangenta măsurii unghiului diedru D C format de o faţă laterală cu planul bazei. (5p) c) Calculaţi sinusul unghiului format de VA cu planul (VBD). (5p) O A B 146




SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 3,5 · 6 este .......... 2. Dintre 5 2 şi 7 mai mare este numărul ......... 3. Dacă A = {1, 2, 8, 9} şi B = {1, 2, 3, 5} atunci A ∪ B = .......... 4. Aria unui cerc cu raza de 5 cm este egală cu ........... cm2. 5. Lungimea diagonalei unui cub cu latura de 6 cm este egală cu ..........cm. 6. Volumul unui tetraedru regulat cu latura de 3 m este egal cu ..........m3.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată.

(5p)

2. Pentru o intrare la o piscină, un elev trebuie să plătească 7 lei, iar un abonament pentru o lună costă 50 lei. Un elev vrea să meargă la piscină într-o lună de 8 ori. Este rentabil să-şi facă abonament? Justificaţi răspunsul. (5p) 3. Un turist parcurge 320 km în 3 zile astfel: în prima zi parcurge 20% din drum, a doua zi 50% din cât a rămas şi în a treia zi restul drumului. a) Aflaţi câţi km a parcurs în prima zi. (5p) b) Aflaţi câţi km a parcurs în a treia zi. (5p) 4. Fie funcţia f :  → , f(x) = 2x – 4. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. (5p) b) Aflaţi a є , pentru care f(a) = 4a – 12. (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. N C D 1. O curte are forma unui dreptunghi ABCD cu AB = 24 m, AD = 15 m, MB = 10 m, unde M M є (BC) reprezintă ieşirea din curte, iar AM ∩ DC = {N } . A B a) Calculaţi distanţa d(A, M). (5p) b) Calculaţi distanţa pe care o parcurge un copil pe o bicicletă, dacă porneşte din A, trece prin M şi ajunge în punctul N. (5p) c) Aflaţi ce procent din aria dreptunghiului ABCD reprezintă aria triunghiului AMB. (5p) 2. O piscină în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea de 50 m, lăţimea de 20 m şi adâncimea de 3 m. a) Calculaţi volumul bazinului. (5p) b) Dacă bazinul se umple cu apă până la înălţimea de 2,5 m, calculaţi câţi litri de apă intră în bazin. (5p) c) Dacă bazinul se umple prin 10 robinete prin care curg 250 l pe minut din fiecare, aflaţi în cât timp (exprimat în ore şi minute) se va umple bazinul până la înălţimea de 2,5 m. (5p) 3. Recapitulare finală

147



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 8 + 64 : 8 este egal cu .......... æ 1ù 2. Cel mai mare număr întreg din intervalul çç-¥; - ú este .......... çè 2 ûú

(5p) (5p)

3. 40% din 50 este egal cu .......... (5p)   4. Într-un cerc BC este diametru. Punctul A se află pe cerc astfel încât arcele AB şi AC sunt congruente. Dacă raza cercului este de 5 cm, atunci lungimea coardei AB este egală cu ..........cm. (5p) 5. Un tetraedru regulat are muchia de 4 cm. Aria totală este egală cu ..........cm2. (5p) 6. În figura de mai jos, în sistemul de axe XOY sunt reprezentate punctele A şi B. Lungimea segmentului (AB) este egală cu .......... (5p) y

B

4 3 2 1

A

O

6 x 1 2 3 4 5 SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH. (5p) 2. Un biciclist parcurge într-o zi 72 de km, iar a doua zi de două ori mai puţin. Ce distanţă a parcurs în cele două zile? (5p) 3. Într-un coş sunt mai multe nuci. Dacă nucile se împart în mod egal unui grup de 4, 5 sau 6 copii, în coş rămân de fiecare dată 3 nuci. a) Verificaţi dacă pot fi 183 de nuci. (5p) b) Care poate fi cel mai mic număr de nuci din coş înainte ca acestea să fie împărţite copiilor? (5p) 4. Se consideră funcţia f : (2; + ∞) → , f(x) = x – 2. Verificaţi dacă punctele M(2; 0) şi N(3; 1) aparţin reprezentării geometrice a graficului funcţiei. (5p) 3 5. Arătaţi că (a – 2) – a + 2 = (a – 1)(a – 2)(a – 3), pentru orice a, număr real. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic cu AB = 6 cm, BC = 9 cm, CD = 12 cm, iar punctul M є (BC). N a) Dacă BM = x, exprimaţi în funcţie de x, aria triunghiului ABM. (5p) b) Aflaţi BM = x , astfel încât AABM = ADMC. (5p) D 148

B

M C


c) Ştiind că BM = x = 6 cm, arătaţi că aria triunghiului AMN, unde N este mijlocul segmentului [AD] este egală cu 22 1 cm2. 2 d) Fie P mijlocul segmentului (DC). Demonstraţi că ABPD este paralelogram, iar aria S trapezului este egală cu trei ori aria triunghiului APD. 2. În figura alăturată, SABCD este o piramidă patrulateră regulată cu SA = 3 6 dm şi latura bazei AB = 6 dm. a) Aflaţi volumul piramidei SABCD. (5p) D b) Calculaţi distanţa de la punctul A la faţa laterală (SBC). (5p) O A B


(5p)

C


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 9 · 7 – 7 este egal cu .......... 2. Se consideră mulţimea A = {x є  s 2 ≤ x < 11}. Numărul elementelor mulţimii A este egal cu .......... 3. Media aritmetică a două numere este 25. Suma celor două numere este egală cu .......... 4. Un romb are perimetrul egal cu 48 cm. Lungimea unei laturi este egală cu ..........cm. 5. Diagonala unui cub este egală cu 4 3 cm. Volumul cubului este egal cu .........cm3. 6. Se consideră un disc. Porţiunea haşurată reprezintă din întregul disc un procent de ..........%. A B

(5p)

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

45° O

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic.

(5p)

2 din cele 18 ouă de care dispune la prepararea unui tort şi alte două ouă 3 pentru omletă. Câte ouă îi rămân? (5p) 3. Trei numere sunt direct proporţionale cu 6, 7 şi 15. a) Exprimaţi raportul dintre cel mai mic şi cel mai mare număr sub formă zecimală. (5p) b) Aflaţi cele trei numere dacă, împărţind numărul cel mai mare la cel mai mic obţinem câtul 2 şi restul 6. (5p) 4. Se consideră f :  → , f(x) = 2x – 3a. Aflaţi a є , astfel încât punctul M(1; 5), să aparţină graficului funcţiei.

2. Mama foloseşte

5. Arătaţi că

3x + 6 2

x + x−2

=


3 , pentru x є  \ {–2; 1}. x −1

(5p)

149

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, patrulaterul ABCD este trapez 10 A B AB || CD, AB = BC = AD = 10 cm şi AC ⊥ AD a) Arătaţi că AC este bisectoarea unghiului BCD. b) Calculaţi unghiurile trapezului. c) Fie BE || AD, E є (CD). Demonstraţi că ABED este romb. d) Calculaţi perimetrul şi aria trapezului ABCD.

(5p) (5p)

10

10

(5p) (5p) D

C

H

2. În figura alăturată, ABCDEFGH este prismă patrulateră regulată cu lungimea laturii bazei de 2 2 dm şi muchia laterală de lungime egală cu 2 3 dm. a) Determinaţi măsura unghiului format de planele (ACF) şi (ACH). (5p) b) Verificaţi dacă într-un vas cu dimensiunile prismei ABCDEFGH încap 32 de litri de apă. (5p)

E

G F

D B

A


C


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 16 – 16 : 4 este egal cu .......... ì ü 3 2. Se consideră mulţimea A = ïí 9; - 16; ; 14 ïý. Mulţimea A ∩  = {..........} ïîï ïïþ 5 3. Dacă 5% din numărul a reprezintă 0,5, atunci valoarea lui a este .......... 4. Perimetrul unui pătrat este egal cu 20 cm. Aria pătratului este egală cu .........cm2. 5. O prismă patrulateră regulată are înălţimea de 8 cm şi latura bazei de 4 cm. Volumul este egal cu ..........cm3. 6. În figura de mai jos, este reprezentat graficul funcţiei f : D → . Mulţimea D are elementele: {..........}.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

y

3 2 –1

1 O

–1 150

1

2

3

4

5

x


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen o piramidă patrulateră regulată, SABCD, de vârf S. 2. Dorina are cu 54 de nuci mai multe decât Andreea, ceea ce înseamnă că are de 7 ori mai multe nuci decât aceasta. Câte nuci are fiecare? 3. După două scumpiri succesive, una de 5%, cealaltă de 4%, un obiect costă 546 lei. a) Aflaţi preţul iniţial al obiectului. b) Dacă preţul iniţial a fost 500 lei, aflaţi preţul după prima scumpire. 4. Determinaţi funcţia liniară f :  → , f(x) = ax + b, dacă punctele A(2; 3) şi B(–1; – 3) aparţin reprezentării grafice a funcţiei f. 5. Arătaţi că E(y) = (y2 – 3)2 – 2(y2 – 3) + 1 se poate scrie ca un produs de pătrate perfecte.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic cu AB || DC, m(  B) = 90°. Ştim că AB = 3 cm, BC = 8 cm, DC = 5 3 cm şi M є (BC). a) Să se afle BM = x, astfel încât triunghiul AMD să fie dreptunghic în M. (5p) b) Pentru x = 3, aflaţi AAMD. (5p) D c) Pentru x = 3, calculaţi tg(m(  MDC)). (5p) A d) Exprimaţi sub forma unui număr zecimal raportul ABCD , pentru x = 3. AAMD 2. Prisma triunghiulară regulată ABCDEF are latura bazei AB = 4 3 cm, iar înălţimea 3 3 cm. Calculaţi: a) volumul prismei; (5p) b) distanţa de la punctul A la planul (BCD). (5p)


M C (5p) C

B

A E

B

F

D

151



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 22 · 32 – 16 este egal cu .......... 2. Valorile naturale ale lui x pentru care 2x – 4 ≤ 0 sunt .......... 3. Dacă

(5p) (5p)

y 2 = , atunci numărul y este egal cu .......... 9 3

(5p)

4. Aria unui dreptunghi este egală cu 42 cm2 iar lungimea sa este de 7 cm. Lăţimea este egală cu ..........cm. (5p) 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 2, 3 respectiv 5 cm. Volumul este egal cu ...........cm3. (5p) 6. Figura alăturată reprezintă graficul unui drum km pe care-l face un elev de la şcoală până 1 A acasă: O (şcoala) şi A (acasă). Distanţa parcursă a fost de ..........m. (5p) D 0,5 B O

C

10 14

20 23

30

minute

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată VABC de vârf V şi bază (ABC). (5p) 2. Doi fraţi au economisit pentru vacanţă 200 lei. Cât a economisit fiecare, dacă suma unuia este cu 20 de lei mai mare decât a celuilalt? (5p) 3. Fiul şi tatăl au vârsta de 16 ani, respectiv 40 de ani. a) Cu câţi ani în urmă tatăl a fost de trei ori mai în vârstă decât fiul? (5p) b) Peste câţi ani tatăl va fi de două ori mai în vârstă decât fiul? (5p) 4. Arătaţi că produsul numerelor a = 27 − 75 şi b = 12 − 48 este un număr întreg. (5p)

(

)

5. Rezolvaţi inecuaţia: 1- 2 x + 2 £ 2 2 în  –  (mulţimea numerelor întregi negative). (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În dreptunghiul ABCD cu AB = 10 cm şi AC = 20 cm, se duce BM ⊥ AC şi se prelungeşte astfel încât BM ∩ AD = {N}. a) Calculaţi aria dreptunghiului. (5p) b) Aflaţi raportul

AM MC

c) Calculaţi MN. d) Arătaţi că AADC = 12 · AAMN 152

(5p)

A

N

D

M B

C

(5p) (5p) Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

S

2. O piramidă triunghiulară regulată SABC are latura bazei AB = 6 cm şi înălţimea SO = 3 cm. a) Calculaţi aria laterală şi volumul piramidei. (5p) b) Arătaţi că SB ⊥ AC . (5p)

A O

B


C



3 10 este egal cu .......... + 13 13

(5p)

2. Numărul a 2a este divizibil cu 5. Valoarea cifrei a este egală cu ........... 3. Produsul dintre un număr şi inversul lui este egal cu .......... 4. Aria rombului cu diagonalele de 6 cm şi 8 cm este egală cu ..........cm2. 5. O prismă triunghiulară are toate feţele laterale pătrate egale cu latura de 6 cm. Volumul prismei este egal cu ..........cm3. 6. Dacă 7 = a , a > 0, atunci a este egal cu ..........

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' de bază (ABCD). (5p) 2. Calculaţi suma elementelor mulţimii [–3; 4) ∩ . (5p) 3. Calculaţi aria unui trapez cu bazele de 10 cm, 3 2 cm şi înălţimea de 10 - 3 2 cm. (5p) 4. Pentru a confecţiona 4 bluze şi 2 rochii, un croitor are nevoie de 14 m de pânză, iar pentru a confecţiona 2 bluze şi 3 rochii, de acelaşi fel, are nevoie de 13 m de pânză. a) Aflaţi câţi metri de pânză îi trebuie croitorului pentru a confecţiona o bluză, respectiv pentru o rochie (5p) b) Câţi metri îi sunt necesari pentru a confecţiona 3 bluze şi 4 rochii de acelaşi fel? (5p)

(

5. Se dă expresia: F ( x) =

)

x−2 4− x x−4 1 − + , x є  \ {2}. Arătaţi că F ( x) = x − 1 . x−2 2− x 2 2

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se dă dreptunghiul ABCD. Dimensiunile dreptunghiului sunt egale cu x + 3 m, x - 3 m, iar diagonala AC = 14 m. a) Aflaţi valoarea lui x. b) Pentru x = 2, calculaţi perimetrul şi aria dreptunghiului. c) Calculaţi distanţa de la B la diagonala AC. d) Calculaţi aria discului cu diametrul egal cu AC. 2. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc AB = 8 cm, BC = 8 3 cm, iar triunghiul ACC' este isoscel. Calculaţi: a) diagonala paralelipipedului; b) aria totală şi volumul.

(

)


(

(5p)

)

(5p) (5p) (5p) (5p)

(5p) (5p) 153



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 5 + 65 : 5 este egal cu ........... 2. Fie mulţimile A = {–3; –1; 0; 1; 3} şi B = {–1; 1; 2}. Mulţimea A ∪ B = {.........} 3. Se aruncă un zar. Probabilitatea să iasă numărul 5 este egală cu .......... 4. Lungimea unui cerc este de 10p m. Lungimea diametrului cercului este de ..........m. 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 6, 8 şi respectiv 10 cm. Lungimea diagonalei paralelipipedului este de ..........cm. 6. Într-o clasă de 25 elevi, la teza de la matematică s-au obţinut următoarele rezultate: 4 note de 4, 5 note de 5, 3 note de 6, 5 note de 7, 3 note de 8, 4 note de 9 şi o notă de 10. Media clasei este ......... SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen un tetraedru ABCD. 2. O trotinetă costă 55 lei şi o bicicletă cu 40% mai mult. Care este costul bicicletei? 1 şi suma lor tot atât. Aflaţi: 4 a) media aritmetică a numerelor b) media geometrică a celor două numere. 4. Se consieră funcţia f :  → , f(x) = 2x + 1. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei cu axa Ox.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

(5p) (5p) (5p)

3. Raportul a două numere este

5. Simplificaţi fracţia

1 − 2 x − 3x 1 − 9x

2

2

 1 , x є  \ ±  .  3

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie triunghiul ABC, m(  A) = 90°; m(  B) = 60°; BC = 8 cm şi AD ⊥ BC , D є (BC), ca în figura alăturată. B a) Calculaţi lungimea catetelor şi a înălţimii AD. (5p) D b) Calculaţi distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului ABC. (5p) c) Dacă DE || AB, E є (AC), aflaţi EC. (5p) d) Aflaţi raportul dintre aria (ABD) şi aria (ABC). (5p) A 2. O piramidă patrulateră regulată VABCD are latura V bazei de 12 cm şi apotema de 10 cm. a) Calculaţi volumul piramidei. (5p) b) Verificaţi dacă, într-un vas confecţionat sub formă D C de trunchi de piramidă dintr-un corp cu dimensiunile piramidei VABCD, prin secţionarea cu un plan paralel M O cu baza, situat la un sfert din înălţime faţă de bază, A B ar încăpea jumătate de litru de apă. (5p) 154

5p) (5p) (5p) (5p)

C




SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 252 − 152 este egal cu .......... (5p) 2. Fie mulţimea A = {x є  | –2 < x + 1 ≤ 3}. Elementele mulţimii A sunt.......... (5p) 3. Probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea cifrelor, acesta să fie prim este......... (5p) 4. Un paralelogram cu diagonalele de 2 2 cm, respectiv 3 cm şi măsura unghiului dintre ele de 45° are aria egală cu ..........cm2. (5p) 5. Un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm are aria totală egală cu ..........cm2. (5p) 6. În figura alăturată, punctele D, E şi F, G împart laturile M (MN ) respectiv (MP) în trei segmente congruente. F D Dacă GE = 4 cm, atunci NP = ..........cm. (5p) G E N SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată. 2. Dacă suma a două numere naturale consecutive este 29, determinaţi produsul lor. 3. După două scumpiri succesive una cu 5%, cealaltă cu 4% un produs costă 546 lei. a) Aflaţi preţul iniţial al produsului. b) Cu ce procent din preţul iniţial s-a mărit preţul preţul produsului, după cele 2 scumpiri. 4. Se consideră funcţiile f, g :  → , f(x) = x + 2, g(x) = –2x – 7. Determinaţi punctul de intersecţie a reprezentărilor grafice ale celor două funcţii.

P

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

 x − 1  2 x − 1  3x + 3 + 1 ⋅ , x є  \ {–1}. Determinaţi x є  pentru 5. Fie expresia E ( x) =   − 2⋅ x + 1  4  x + 1  care E(x) є .

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic în A, având bazele (AD) şi respectiv (BC) de lungimi D A 12 m şi 16 m şi m(  C) = 60°. a) Determinaţi perimetrul trapezului. (5p) b) Dacă ABCD reprezintă suprafaţa unui apartament, determinaţi câţi m2 de parchet sunt necesari pentru parchetarea întregului apartament. (5p) B c) Dacă 1 m2 de parchet costă 30 lei, verificaţi dacă 2900 lei sunt suficienţi pentru cumpărarea parchetului necesar. (5p)


C

155

2. O piramidă triunghiulară regulată are măsura unghiului format de muchia laterală cu planul bazei egal cu 60° iar lungimea înălţimii (VO) a piramidei egală cu 12 cm. a) Arătaţi că AB = 12 cm. (5p) b) Calculaţi d(O; VBC). (5p) c) La ce distanţă de vârf trebuie secţionată piramida cu un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale acelor două corpuri formate să fie egale? (5p)

V

A

60°

C O B




1 − 0, 2 este egal cu .......... 5

(5p)

2. Un divizor propriu al numărului 28 este .......... 3. Dacă a = 4 şi b + c = 19, atunci suma ab + ac este egală cu .......... 4. Un triunghi dreptunghic are catetele de 9 şi respectiv 12 cm. Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu ..........cm. 5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este egală cu 120 cm. Aria cubului este .........cm2. 6. În figura alăturată sunt reprezentate notele obţinute 20% note de cei 25 elevi ai unei clase la evaluarea naţională, între 5 şi 7 pe tranşe de note. Numărul elevilor care au obţinut 20% note sub 5 note între 7 şi 10 este ......... (5p) note între

(5p) (5p) (5p) (5p)

7 şi 10

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă patrulateră regulată SABCD. (5p) 2. Suma a două numere naturale este 12, iar suma inverselor lor este 0,6. Aflaţi numerele. (5p) 3. Aflaţi cel mai mic număr de mere care împărţit la cinci copii dă restul 3, împărţit la 6 copii dă restul 4 şi împărţit la 8 copii dă restul 6. (5p) 4. Determinaţi aria suprafeţei determinată de axele de coordonate şi reprezentarea grafică a funcţiei f :  → , f(x) = x + 2. (5p) n 2 + 4n + 3 este număr natural, oricare ar fi n număr natural. n+3 æ x + 2 ö÷2 x 2 - 4 x + 3 x 2 + 4 x + 4 x -1 × = : b) Arătaţi că çç , oricare ar fi çè x - 3 ÷÷ø x 2 + 4 x + 3 x +1 x2 - 9

5. a) Arătaţi că

x є  \ {–3; –2; –1; 3}. 156

(5p)

(5p)


SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic în A având bazele (AD) şi (BC) de 3 cm, respectiv, 8 cm D şi m(  DMC) = 90°, unde M este mijlocul laturii [AB]. A a) Dacă AB = 2x, exprimaţi MD şi MC în funcţie de x.(5p) b) Construiţi DE ⊥ BC şi exprimaţi CD în funcţie de x în două moduri, determinând x. (5p) B c) Calculaţi perimetrul trapezului. (5p) d) Determinaţi aria trapezului. (5p) 2. Cubul ABCDA'B'C'D' are muchia de 4 cm. a) Calculaţi măsura unghiului format de dreptele CD şi A'C'. (5p) b) Calculaţi d(B,(A'C'D)). (5p)

C

D'

A'

C'

B' D

A

C

B



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 84 mai mic decât 143 este egal cu .......... 2. Dintre numerele a =

(5p)

14 şi b = 7,45 mai mic este numărul.......... 2

(5p)

3. Un sfert de oră are ..........minute. (5p) 4. Un pătrat are lungimea diagonalei de 6 cm. Aria pătratului este egală cu ..........cm2. (5p) 5. O prismă dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura de 6 cm şi înălţimea de 10 cm. Aria laterală a prismei este egală cu ..........cm2. (5p) 6. Imaginea funcţiei f : {0; 1; 3} → , a cărei reprezentare y grafică este dată în figura alăturată, este mulţimea{..........}. (5p) 2

1 0 –1

1

3

x

–2 SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ALGEBRIC. 2. Perimetrul unui triunghi este egal cu 72 dm, iar lungimile laturilor lui sunt direct proporţionale cu numerele 6, 8 şi 10. Aflaţi aria triunghiului. 3. Recapitulare finală

(5p) (5p) 157

3. Dovediţi că numărul: é a) p = êê 1 + 2 ë

(

)+ 2

ù 3 - 2 2 ú × 32 este pătrat perfect. ú û

(5p)

b) q = (1 + 3 + 5 + ......+ 219) · 110 este cub perfect. 4. Fie funcţia f :  → , f(x) = 2x + 3. Determinaţi distanţa de la punctul P(3; 0) la Gf. 5. Aflaţi valorile reale ale numerelor x şi y pentru care expresia

(5p) (5p)

E ( x) = x 2 − 6 x + 9 + 9 y 2 + 6 y + 10 are valoare minimă.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A 1. Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu BC = 36 cm şi AB = AC = 30 cm. Aflaţi: a) aria triunghiului şi lungimea înălţimii din B; (5p) b) cos(m(  BAC)); (5p) c) lungimea cercului circumscris triunghiului ABC ; (5p) B d) distanţa de la centrul cercului circumscris triunghiului ABC la dreapta AB.

C (5p)

2. Fie ABCA'B'C' o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral şi BA' ∩ AB' = {O}, BC ∩ CB' = {O'}, AA' = 6 cm şi AB = 8 cm. a) Calculaţi d(B, OO'). (5p) b) Aflaţi aria totală a prismei. (5p)

C'

A' B'

A

O'

O

C B



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Restul împărţirii numărului 406 la 9 este .......... 2. Valoarea expresiei 4x3 – 2x2 + 8x – 90 pentru x = 2 este .......... 3. Cel mai mare număr de trei cifre care împărţit la 9 dă câtul 45 este .......... 4. Un trapez isoscel are baza mică de 7 cm, baza mare de 15 cm şi un unghi ascuţit de 45°. Aria trapezului este egală cu ..........cm2. 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 5, 4 şi respectiv 10 cm. Aria paralelipipedului este egală cu .........cm2. y 6. Funcţia al cărui grafic este reprezentat în figura A(0; 2) alăturată este f :  → , f(x) = ..........

158

O

B(2; 0)

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

x


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cub ABCDA'B'C'D'. (5p) 2. Rezolvaţi inecuaţia 2 x − 4 > x 5 − 2 5 . (5p) 3. Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că 2a + 6b = 3b − 2a + 8 . (5p) 4. Fie funcţia f :  → , f(x) = –2x + 5. a) Determinaţi tangenta măsurii unghiului pe care îl face reprezentarea grafică a funcţiei cu axa Ox. (5p) 6 f ( x) + 18 b) Aflaţi x є  astfel încât 2 є , x ∈  − {1; 4} . (5p) f ( x) − 9 2

2

5. Arătaţi că numărul (ab) - (ba) este divizibil cu 9, unde ab reprezintă un număr scris în baza 10, cu a ≠ 0 şi b ≠ 0. (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul ABC, AD ⊥ BC , iar M, N şi P sunt mijloacele laturilor [AB], [BC] şi respectiv [AC]. A a) Demonstraţi că DNPM este trapez isoscel. (5p) b) Dacă AB = 30 cm, BC = 50 cm, AC = 40 cm, P stabiliţi natura triunghiului ABC şi calculaţi M perimetrul trapezului. (5p) c) Calculaţi aria trapezului. (5p) B D d) Demonstraţi că  MDP ≡  BAC. (5p) N 2. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', O mijlocul segmentului BD şi M mijlocul segmentului AB. a) Demonstraţi că OM ⊥ A′B . b) Dacă paralelipipedul de dimensiuni a, b şi c îşi măreşte dimensiunea a cu x > 0, dimensiunea b cu 2x, iar dimensiunea c se micşorează cu 3x astfel încât aria totală rămâne neschimbată, arătaţi că noul paralelipiped nu poate fi cub.


C

(5p)

(5p)

159




64 : 4 + 16 este egal cu ..........

ì ü 7 2. Fie mulţimea A = ïí-8; 1; ; 2; 0ïý. Mulţimea A ∩  = {..........} ïîï ïïþ 2 2 1 3. Cel mai mare dintre numerele şi este .......... 3 2

(5p) (5p) (5p)

4. Latura unui triunghi echilateral are lungimea de 8 cm. Lungimea fiecărei linii mijlocii a triunghiului este egală cu ..........cm. (5p) 2 5. Aria laterală a unui cub este egală cu 36 cm . Muchia acestui cub are lungimea egală cu ...........cm. (5p) 6. Toţi cei 30 de elevi ai clasei a V-a B au participat la 4 concursuri pe discipline organizate în şcoală, 10% fiecare elev participând numai la un concurs. Astfel, 40% conform diagramei au participat 40% la matematică, 20% 20% la biologie, 10% la geografie şi restul la concursul sportiv. Numărul elevilor care au participat la concursul sportiv este de .......... (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen un cub ABCDA'B'C'D'. (5p) 2. Preţul unei cărţi este 27 lei iar preţul unui caiet este de 3 ori mai mic. Ştefania cumpără o carte şi un caiet. Câţi lei a plătit? (5p) 3. Un grup de copii a primit cărţi. Unul dintre ei a primit 4 cărţi iar ceilalţi câte 6 cărţi fiecare. Ştiind că, dacă fiecare copil ar fi primit câte 4 cărţi, ar fi rămas 28 nedistribuite, aflaţi: a) Câţi copii sunt în grup? (5p) b) Câte cărţi au fost în total? (5p) 4. Fie funcţia f :  → , f(x) = ax – 3; a є . Determinaţi numărul real a ştiind că M(2; 17) aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei f. (5p) 5. Arătaţi că (1 + x)3 · (1 – x)2 = 1 + x – 2x2 – 2x3 + x4 + x5, pentru orice x număr real. (5p)

200 m

F

100 m

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. x 1. În figura alăturată sunt ilustrate schematic două G parcele de teren agricol: ABCD şi BEFG, fiecare D C având formă de dreptunghi. Se ştie că AB = 500 m, AD = 100 m, EF = 200 m, GF = x (x este o distanţă exprimată în metri). A B 500 m

E

a) Exprimaţi, în funcţie de x, perimetrul terenului agricol format din cele două parcele. (5p) 160


b) Determinaţi x astfel încât ariile suprafeţelor celor două parcele să fie egale. c) Pentru x = 2,5 hm, aflaţi aria (în

hm2)

a parcelei BEFG.

(5p) (5p)

d) Se consideră x = 250 m. Parcela ABCD va fi însămânţată cu grâu, iar BEFG va fi însămânţată cu porumb. Pentru sămânţa de grâu, magazinul acordă o reducere de 5%, în cazul în care cantitatea cumpărată este mai mare de 1000 de kg. Se ştie că pentru 1 ha cultivat cu grâu sunt necesare 250 kg sămânţă, preţul grâului fiind 1,5 lei/kg, iar pentru

a) Câţi litri de apă încap în acvariu? b) Câţi

m2

(5p)

0,1 dm 4 dm

10 000 m2 cultivaţi cu porumb trebuie 17 kg sămânţă de porumb, preţul fiind 10 lei/kg. Cât costă în total sămânţa pentru cele două parcele? (5p) 2. Figura alăturată reprezintă schema unui acvariu (fără capac) confecţionat din geam cu grosimea de 0,1 dm. Acvariul are forma unui paralelipiped dreptunghic. Se ştie că pentru bază s-a folosit o bucată de geam cu dimensiunile de 6 dm şi 3 dm, iar perpendicular pe aceasta s-au lipit pereţii laterali conform desenului. m Preţul unui m2 de geam este 45 lei. 3d 6 dm

de geam au fost necesari şi cât a costat, ştiind că au fost pierderi de 11,6%?


(5p)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 6 – 6 · (–2) este egal cu .......... 2. Cel mai mare divizor comun al numerelor 40 şi 60 este ..........

(5p) (5p)

 2  3. Fie mulţimea A = 1; ; 2; − 2; π; 3 . Probabilitatea ca la extragerea unui element din A 5  

Număr răspunsuri corecte

acesta să fie număr raţional este egală cu .......... (5p) 4. Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral este de 4 cm. Înălţimea triunghiului are lungimea egală cu ..........cm. (5p) 2 5. Aria totală a unui tetraedru regulat cu muchia de 9 cm este .........cm . (5p) 6. Elevii clasei a IX- a A au participat, în cadrul unui proiect educativ la un concurs. Ei au vizitat 5 muzee (A, B, M, S, T) şi apoi au completat un chestionar onnline cu 50 de întrebări referitoare la cunoştinţele acumulate în urma vizitei la cele 5 muzee (câte 10 întrebări despre fiecare muzeu). Muzeu Pentru fiecare răspuns corect au primit 5 puncte iar pentru fiecare răspuns greşit au fost penalizaţi cu 2 puncte. A B M S T În graficul alăturat sunt reprezentate rezultatele obţinute. Clasa a IX-a A a obţinut un punctaj final de .......... puncte. (5p) 3. Recapitulare finală

161

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă dreaptă cu baza pătrat. (5p) 2. Într-un magazin, cutii cu obiecte de acelaşi fel sunt aşezate pe 3 rafturi. Pe primul raft sunt 24 de cutii, pe al doilea cu 11 mai putin decât pe primul iar pe al treilea sunt 33 de cutii. Câte cutii se află în total pe cele trei rafturi? (5p) 3. În clasa a VIII-a B numărul de băieţi este egal cu 40% din numărul elevilor clasei. a) Verificaţi dacă în clasă pot fi 35 de elevi.

(5p)

b) Cât la sută din numărul băieţilor reprezintă fetele? 4. Se consideră funcţia f :  → , f(x) = 2x – 4. Reprezentaţi grafic funcţia f.

(5p) (5p)

5. Arătaţi că, oricare ar fi x є  \ {–2}, avem egalitatea

x2 + 5x + 6 x2 + 4 x + 4

=

x+3 . x+2

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrat schematic D' C' un teren cu gazon sintetic, pentru fotbal, al unui C D club sportiv, reprezentat prin dreptunghiul ABCD cu dimensiunile AB = 55 m , şi AD = 100 m, iar porţiunea haşurată reprezintă pista pentru atletism x din jurul terenului, lăţimea acesteia fiind de lungime x (x este o distanţă exprimată în metri). a) Exprimaţi în funcţie de x, aria porţiunii haşurate. (5p)

B

A

b) Pentru ce valoare a lui x, perimetrul

B'

A'

dreptunghiului A'B'C'D' este egal cu 350 m?

(5p)

c) Pentru x = 5 m, calculaţi aria porţiunii haşurate.

(5p)

d) Ştiind că fiecare metru pătrat construit al terenului de fotbal costă 24 de euro (incluzând gazonul sintetic, granulele de cauciuc reciclabil, nisipul) şi că pentru această lucrare clubul a obţinut o sponsorizare de 21% din sumă, aflaţi câţi euro mai sunt necesari pentru a achita lucrarea.

(5p)

2. Figura alăturată reprezintă schematic bazinul (cu capac) în care se face dezinfecţia termică a substratului de cultură la ciupercile Pleurotus. Acesta este în formă de prismă ABCDA'B'C'D' dreaptă cu baza pătrat cu latura AB = 3 m.

D' A'

a) Calculaţi aria (în m2) a capacului.

(5p)

0,5 m

b) Calculaţi volumul (în m3) al bazinului.

(5p)

A

162

B''

A''

C'

D

B' 3m

C 3m

B




SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1,3 +

12 este egal cu .......... 5

(5p)

1 7    2. Fie mulţimile A = −2; 4; 6; ; 3  şi B = 2; 6; 3;  . Mulţimea B \ A = {.........} (5p) 2 2    3. Aproximarea cu o zecime prin lipsă a numărului

1+ 5 este egală cu .......... 2

(5p)

BC = .......... EF

(5p)

4. Dacă ∆ABC ∼ ∆DEF , iar AB = 8 cm şi DE = 5 cm, atunci

5. Aria laterală a unei prisme drepte cu baza triunghi echilateral este egală cu 150 cm2, iar înălţimea prismei este egală cu 10 cm. Latura bazei are lungimea egală cu ..........cm.

(5p)

6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute de elevii clasei a VIII-a C la teza de matematică. Media aritmetică ponderată obţinută de clasa a VIII-a C este .......... Nota Nr. elevi

4 0

5 3

6 2

7 4

8 4

9 8

(5p) 10 9

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen o piramidă triunghiulară regulată.

(5p)

2. Aflaţi cu câţi ani în urmă vârsta tatălui era de trei ori mai mare decât vârsta fiului, dacă în prezent tatăl are 38 de ani iar fiul are 14 ani? (5p) 4 3. Raportul dintre numerele naturale x şi y este . Media geometrică a celor două numere 9 este 48. a) Aflaţi x şi y.

(5p)

b) Calculaţi media aritmetică a celor două numere. f (0) + f (1) + f (2) + ...... + f (19) 4. Fie funcţia f :  → , f(x) = x + 1. Calculaţi n = 20

(5p)

şi f(s) unde s =

0 + 1 + 2 + ....... + 19 . 20

5. Fie expresia E ( x) =

x −1 6 2 ⋅ : , x є * \ {1; –4}. Arătaţi că E(x) = x + 4. 3 x2 − x x2 + 4 x


(5p) (5p)

163

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. S A 1. Într-un parc din oraş s-a amenajat o porţiune

R

dreptunghiulară PQRS, ilustrată grafic în figura alăturată. Astfel: ►

s-a plantat gazon (partea haşurată);

►

s-au pavat două alei (reprezentate cu gri pe figură);

►

s-a delimitat spaţiul de joacă adică o porţiune în formă

N

O

circulară (centrul cercului din care provine fiind la jumătatea

C

distanţei dintre centrul O al dreptunghiului ARBH şi punctul H); ►

s-au plantat arbuşti ornamentali în punctele de pe

P

cerc H, M, C şi N.

H

B Q

M

Se ştie că AR = 12 m şi BR = 16 m. a) Arătaţi că punctul M se află la jumătatea distanţei dintre H şi B, iar N la jumătatea distanţei dintre A şi H. b) Arătaţi că aria spaţiului de joacă este mai mică de 79

m2.

(5p)

(5p)

c) Calculaţi distanţa dintre arbuştii ornamentali H şi C.

(5p)

d) Dacă pentru spaţiul de joacă s-au achiziţionat 4 leagăne şi 3 balansoare la preţul de 400 de lei bucata, respectiv 500 de lei bucata, iar magazinul a făcut o reducere de 15%, calculaţi câţi lei s-au plătit în total. 2. Figura alăturată reprezintă schematic bazinul de înot al şcolii. ABCDA'B'C'D' este un paralelipiped dreptunghic cu înălţimea AA' = 3 m, AB = 30 m

câţi

m2

de gresie sunt necesari?

C'

D' B'

A' D

şi BC = 10 m. a) Dacă feţele laterale şi baza sunt placate cu gresie,

(5p)

A

C B

(5p)

b) Calculaţi volumul apei din bazin, ştiind că bazinul conţine apă până la înălţimea de 2,5 m.

164

(5p)





(

1. Rezultatul calculului 2 - 3

2

) +4

3 este egal cu ..........

(5p)

2. Dintre numerele –17 şi −12 2 mai mare este ..........

(5p)

3. Dacă 76 x 3 atunci x є {..........}.

(5p)

4. Punctele A şi B aparţin cercului de centru O şi rază 3 cm. Dacă lungimea coardei AB este egală cu 3 cm, atunci perimetrul triunghiului AOB este egal cu .........cm.

(5p)

5. Diagonala unui cub are lungimea egală cu 4 6 cm. Muchia acestui cub este de ........cm.(5p) 6. Tabelul de mai jos prezintă cheltuielile efectuate în anul precedent de societatea agricolă „FLORA“ pentru un hectar (hm2) de teren cultivat cu rapiţă. Costul total pentru cultura de rapiţă din anul precedent dacă au fost cultivate 50 de hectare cu rapiţă este ..........lei. Cheltuieli (în lei) pe 1 ha Lucrări mecanice Materiale Arat

Discuit

Semănat

Recoltat

Tratamente fito-sanitare

Transport tehnologic

Sămânţa

Insecticide

Fungicide

200

102

90

128

34

30

425

18

45

(5p)

Aprovizionare

Forţa de muncă

98

30

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic.

(5p)

2. Dacă 4 muncitori execută o lucrare în 6 zile, aflaţi în câte zile termină aceeaşi lucrare 8 muncitori.

(5p)

3. Într-o şcoală sunt 170 de elevi. Fiecare elev ştie cel puţin una din limbile străine engleză şi franceză. Ştiind că 150 ştiu limba engleză şi 100 ştiu limba franceză, aflaţi: a) numărul elevilor care ştiu numai limba engleză;

(5p)

b) numărul elevilor care ştiu ambele limbi străine.

(5p)

4. Fie funcţiile f :  → , f(x) = x + 2 şi g :  → , g(x) = 2x + 3. Punctul M(a; b) aparţine reprezentărilor grafice ale celor două funcţii. Aflaţi a şi b. 5. Arătaţi că

(x2

+

3x)(x2

+ 3x + 10) + 25 este pătratul unui număr real, oricare ar fi x є .


(5p) (5p)

165

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrat schematic decorul pentru piesa de teatru „Vizită“ de I.L.Caragiale, 5m

reprezentând un perete în formă de dreptunghi

Porţiunea plină a peretelui este acoperită cu tapet.

fereastră

240 cm

uşă

x (x este o distanţă exprimată în metri).

120 cm

a) Calculaţi x astfel încât aria porţiunii pe care se x

aplică tapetul să fie egală cu 14,64 m2. (5p)

3,6 m

fiind decupate, iar lăţimea uşii având lungimea

120 cm

cu dimensiunile din figură, uşa şi fereastra

3,6 m

b) Pentru x = 0,8 m, calculaţi suma care s-a plătit la achiziţionarea tapetului ştiind că preţul unui metru pătrat de tapet este 25 lei.

(5p)

c) În cazul în care înălţimea uşii ar fi egală cu 2 m şi aria peretelui (fără fereastră şi uşă) ar fi egală cu 14,64 m2, calculaţi lăţimea uşii.

(5p)

d) Calculaţi valoarea raportului dintre aria ferestrei şi aria uşii, dacă x = 0,8 m.

(5p)

2. În figura alăturată este reprezentat schematic un

D'

pavilion destinat Târgului Educaţional. ABCEA'B'C'E' este un paralelipiped dreptunghic

D

iar CDEC'D'E' este o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral. AB = 6 m; BB' = 10 m; B'C' = 6 m şi DE = 6 m.

C'

E'

E

C

A

B

A'

B'

a) Calculaţi distanţa de la D la baza (ABB') (înălţimea cortului).

(5p)

b) Calculaţi câţi m2 de prelată sunt necesari pentru a confecţiona pavilionul (feţe laterale şi acoperiş). Rezultatul se va aproxima prin adaos la cel mai apropiat număr întreg.

166

(5p)





1 2 3

+

1 2+ 3

{

este ..........

2. Fie mulţimea A = x Î  / 2 £ x < 20

(5p)

} . Numerele naturale din mulţimea A sunt........

3. Dacă a şi b sunt numere reale pozitive şi a ≠ 1 iar

(5p)

175 = a b , atunci a + b este

egal cu ..........

(5p)

4. Punctele A, B şi C aparţin cercului de centru O şi rază 6, iar m(  ACB) = 45°. Măsura unghiului AOB este egală cu ..........grade. 5. Aria totală a unei piramide patrulatere regulate este egală cu 96 este egală cu 60

dm2.

dm2

(5p)

iar aria laterală a sa

Volumul piramidei este egal cu ..........litri.

(5p)

6. În graficul alăturat sunt prezentate valorile temperaturilor măsurate la ora 1400 în fiecare aritmetică a temperaturilor din săptămâna respectivă este egală cu ............°C.

(5p)

Temperatura

zi a unei săptămâni din luna decembrie. Media

5 4 3 2 1

–1 –2

°C

6

2 3 1

4 5

ziua

7

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral.

(5p)

2. Daniel şi sora lui au în total 52 de mere. Daniel îi dă surorii lui 10 mere şi astfel ei au acelaşi număr de mere. Calculaţi numărul merelor pe care le-a avut Daniel.

(5p)

3. Pentru serbarea de Crăciun s-au primit 300 de portocale, 120 de napolitane şi 150 de tablete de ciocolată. Acestea vor fi distribuite copiilor în pachete cu acelaşi conţinut (fiecare pachet având portocale, napolitane şi ciocolată). a) Verificaţi dacă pot fi făcute 15 pachete cu acelaşi conţinut.

(5p)

b) Aflaţi cel mai mare număr de pachete care se pot face cu acelaşi conţinut.

(5p)

4. Fie funcţia f : {7; 1} → {4; 2}. Ştim că pentru a < b avem f(a) > f(b). Reprezentaţi grafic funcţia f.

(5p)

– a este divizibil cu 3, oricare ar fi a є .

(5p)

5. Arătaţi că numărul n =


a3

167

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrată schematic grădina unei pensiuni agroturistice în care

D 2 S

au fost cultivate flori şi gazon. Grădina are

gazon

3

(5p)

alee

gazon

lalele

exprimate în metri. b) Câţi m2 sunt cultivaţi cu flori?

alee

şi AD = 5 m. Cele două alei au fost pavate

(5p)

crizanteme

trandafiri

cu gresie iar dimensiunile din figură sunt

3

A

T 2 C

3

gazon

forma dreptunghiului ABCD în care AB = 12 m

a) Câţi m2 sunt cultivaţi cu gazon?

P1Q 1R

ghiocei

H 1F

E 1G

3

B

c) Cât costă gresia necesară acoperirii celor două alei dacă un metru pătrat costă 28 lei? (5p) d) În cazul în care AD = x (x este o distanţă exprimată în metri şi x > 0), arătaţi că valoarea raportului dintre aria suprafeţei cultivate cu flori şi a celei cultivate cu gazon este constantă.

(5p)

Q

2. Figura alăturată reprezintă schematic o vază din

P

D

sticlă în care apa poate ocupa numai forma unui cub ABCDA'B'C'D'. Corpul SMNPQ este o piramidă patrulateră regulată cu înălţimea SO = 40 cm,

M

latura bazei MN = 60 cm, iar punctele A, B, C, D aparţin bazei (MNPQ) şi A', B', C', D' aparţin muchiilor

C

A

B D'

O'

N

C'

B'

A'

laterale ale piramidei astfel încât AA' || SO. a) Calculaţi aria laterală a piramidei SMNPQ.

(5p)

b) Calculaţi volumul maxim (în litri) de apă pe care îl poate conţine vaza.

168

S

(5p)




SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 10,01 mai mare decât 10,10 este .......... 2. Soluţia reală a ecuaţiei 2 – (x – 3) = 3 este ..........

(5p) (5p)

a 3a 2b , valoarea raportului este .......... = b 5 7

(5p)

4. Soluţia întreagă a ecuaţiei x 2 − 9 + 3 − x = 0 este ..........

(5p)

5. Aria paralelogramului ABCD, cu AB = 15 3 cm, AD = 10 3 cm şi m(  A) = 60°, este egală cu .......... 6. Produsul 2a este cu 3 mai mic decât a. Numărul a este ..........

(5p) (5p)

3. Ştiind că

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi linia mijlocie, (MN), a trapezului ABCD, cu AD || BC. (5p) 2. Determinaţi numerele pozitive x, y, z ştiind că sunt direct proporţionale cu 3, 2 şi 5, iar suma pătratelor lor este egală cu 76. (5p) 3. Arătaţi că suma S = 2 + 22 + 23 + ....+ 212 se divide cu 21. (5p) 4. Se dă expresia E(n) = 220 · 2n + 1 · 32n + 1 + 318 · 22n + 1 · 3n + 1; arătaţi că E(1) este şi pătrat perfect şi cub perfect. (5p) 5. Demonstraţi că orice triunghi care are două laturi proporţionale cu 2 şi 3 , iar unghiul dintre ele de 30°, este dreptunghic. (5p) 6. Rezolvaţi în  ecuaţia (3x – 5)(5x – 5)(7x – 5) = 0. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În trapezul isoscel ABCD, cu AB || DC, au loc egalităţile: AB + DC = AC = 3 3 . a) Calculaţi înălţimea trapezului. b) Calculaţi aria trapezului.

(5p) (5p)

2. Se dă piramida patrulateră regulată VABCD. Ştiind că apotema piramidei este de două ori mai mare decât apotema bazei, iar latura bazei are lungimea de 6 cm, calculaţi: a) aria totală a piramidei; (5p) b) volumul piramidei; (5p) c) distanţa de la punctul O la planul (VBC), unde {O} = AC ∩ BD; (5p) d) cosinusul măsurii unghiului planelor (VAD) şi (VBC). (5p)


169



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia negativă a ecuaţiei

2 x = este .......... x 2

2. Numărul a (de o cifră) pentru care 56a se divide cu 9 este .......... 3. Lungimea unui cerc este de 6 p cm. Diametrul cercului are lungimea de .........cm. 4. A treia cifră a câtului împărţirii 0,0721 : 7 este .......... 5. Calculând suma 6. Ştiind că

2

2

(1- 2 ) + (2 - 2 )

(5p) (5p) (5p) (5p)

obţinem ..........

(5p)

a 3 5 = = , atunci, dintre numerele a şi b, mai mare este .......... 3 b 7

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi ABC şi puneţi în evidenţă centrul său de greutate, G. (5p) 2. Determinaţi cea mai mică valoare n є * pentru care numărul 18 · 3n + 21 · 3n +1 este şi pătrat perfect şi cub perfect. (5p) 3. Calculaţi măsurile unghiurilor  A şi  B din triunghiul ABC, ştiind că m(  C) = 30°, AC = 2 6 cm şi BC = 3 2 cm. 4. Rezolvaţi în  ecuaţia:

x+2 x+3 x+4 x + 2009 + + + ..... + = 2008. 3 4 5 2010

(5p)

5. Din vârful A al triunghiului ABC, cu aria 24 cm2 şi în care BC = 8 cm, se duce perpendiculara pe bisectoarea unghiului B. Calculaţi distanţa de la piciorul acestei perpendiculare la dreapta BC. (5p) 6. Se dă numărul real P(x) = 2x2 + 3x – 7. Aflaţi valorile întregi ale lui a, pentru care P(a) este divizibil cu 5. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se dă un pătrat cu latura de 1 cm. a) Construiţi un triunghi cu vârfurile pe laturile pătratului, având centrul de greutate în centrul pătratului. (5p) b) Este adevărat că un vârf al triunghiului este mijlocul unei laturi a pătratului? (5p) c) Calculaţi aria acestui triunghi. (5p) d) Acest triunghi poate fi isoscel? (5p) e) Poate fi acest triunghi echilateral? (5p) 2. În tetraedrul regulat VABC, M şi N sunt mijloacele muchiilor (VA), respectiv (BC), acestea având lungimea de a cm. Determinaţi lungimea segmentului (MN). (5p) 170




SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Efectuând calculul (53 · 22) : (5 · 2) obţinem .........

(5p)

x2 − 1 = 3 , x ≠ 1, atunci x este egal cu .......... x −1

(5p)

2. Dacă

3. O fracţie ordinară din care provine fracţia zecimală periodică 0,(3) este .......... 4. O diagonală a unui pătrat este 3 2 cm. Aria acestui pătrat este egală cu ...........

(5p) (5p)

1 1 = 3 , atunci suma x 2 + 2 este egală cu .......... x x

(5p)

6. Dintre numerele 0,(5) şi 0,(51), mai mare este ..........

(5p)

5. Dacă x +

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi dreptunghic şi puneţi în evidenţă proiecţiile catetelor pe ipotenuză. (5p) 1 2. Precizaţi care sunt valorile lui x pentru care A(x) este definită: A( x) = x + 4 + 2 (5p) x −9 x+2 x−2 = , x ∈  − {±3}. 3. Rezolvaţi în  ecuaţia (5p) x−3 x+3 4. Determinaţi aria bazei unui tetraedru regulat, ştiind că aria desfăşurării sale este egală cu 72 cm2. 5. Se dă funcţia f :  → , astfel încât f(x + 1) = 2x + 2. a) Calculaţi f(2). b) Precizaţi dacă punctul A(2; 4) aparţine graficului acestei funcţii.

(5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul ABC cunoaştem AB = 12 cm, m(  A) = 75° şi 4m(  C) = 3m(  B). a) Aflaţi măsurile unghiurilor B şi C. b) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC. c) Aflaţi aria triunghiului ABC. 2. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' în care AB = 36 2 cm şi BC = BB ′ = 12 3 cm. Calculaţi: a) lungimea diagonalei (AC'); b) sinusul măsurii unghiului format de diagonala (AC') cu faţa (BCC'B'); c) cosinusul măsurii unghiului dintre diagonala (AC') şi diagonala (BD').


(5p) (5p) (5p)

(5p) (5p) (5p)

171



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1 1 = 2 , atunci suma x3 + este egală cu ........... x x3 2 y 2 2. Ştiind că = = , atunci, dintre numerele x şi y, mai mare este ........... x 3 3 2 a −9 = 7 , a ≠ – 3, atunci a este egal cu ........... 3. Dacă a+3 x 4. Valoarea raportului , unde x = 3 2 şi y = 2 + 8 , este egală cu .......... y 1. Dacă x +

5. Împărţind în , numărul 2 la numărul 3, obţinem restul egal cu .......... 6. Efectuând adunarea (–2)2 + (–2)3 + (–2)4, obţinem suma .......... SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' şi puneţi în evidenţă diagonala (BD'). x − 3 x −1 = , x ∈  − {1; 3} . 2. Rezolvaţi, în mulţimea , ecuaţia x −1 x − 3

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

(5p) (5p)

3. Se dă triunghiul ABC, în care I este centrul cercului înscris în triunghi. Calculaţi m(  BIC), ştiind că m(  BAC) = 70°. (5p) 4. Arătaţi că a şi b sunt numere inverse, unde a = 3 − 5 + 9 − 4 5 şi (5p) b= 7 − 1 − 11 − 4 7 . 5. Arătaţi că toate ecuaţiile de gradul al II-lea cu coeficienţii diferiţi din mulţimea {2; 1; –3}, au o rădăcină comună. (5p) 6. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Pe semidreptele (BA şi (CD se iau punctele M, respectiv N, astfel încât BM = BD şi CN = CA. Să se arate că MN || BC. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un dreptunghi este împărţit de o dreaptă paralelă cu una dintre laturi, în două dreptunghiuri cu ariile de 12 cm2 şi, respectiv, 36 cm2. Determinaţi dimensiunile dreptunghiului iniţial, ştiind că unul dintre cele două dreptunghiuri este pătrat. (5p) 2. a) Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului ABC, ştiind că suplementele unghiurilor A şi B sunt proporţionale cu 8 şi 7, iar suplementele unghiurilor B şi C sunt proporţionale cu 14 şi 15. (5p) b) Determinaţi rapoartele constante ale măsurii unghiului C. (5p) 3. a) Dacă 3 x = 3, a , care este cel mai mic număr cu care poate fi egal x? Dar cel mai mare?(5p) b) Dacă 7 x = 9, b , care este cel mai mic număr cu care poate fi egal x? Dar cel mai mare?(5p) c) Aflaţi x când a) şi b) au loc în acelaşi timp. (5p) 172




SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă împărţim numărul 20a – 16 la –4, câtul este egal cu ........... 2. Soluţia reală a ecuaţiei 0,4 – x = –1,6 este ........... 3. Dacă complementul unghiului A are măsura egală cu 72°, atunci suplementul unghiului A are măsura egală cu .......... 4. Ştiind că a = 3 + 32 + 33, numărul divizorilor naturali ai lui a este egal cu .......... 5. Dacă

2x 1 x este egal cu ........... = , atunci 3y 2 y

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi ABC şi puneţi în evidenţă punctul G, centrul de greutate al triunghiului. 9 + 12n + 4n 2 3 2. Simplificaţi raportul , n ∈  − ± . 2 2 4n − 9

{ }

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

(5p) (5p)

3. Punctele A, B, C şi D sunt într-un plan, iar M este în afara planului şi au loc egalităţile MA = MB = MC = MD. Arătaţi că există un cerc care să conţină punctele A, B, C, D. (5p) 4. Se dă funcţia f :  → , f(x) = mx + 2. Determinaţi pentru ce valoare a lui m, reprezentarea grafică a funcţiei conţine punctul M(2m; 10). (5p) 5. Cele trei dimensiuni ale unui paralelipiped dreptunghic sunt direct proporţionale cu numerele 5, 3 şi 2. Calculaţi volumul acestui paralelipiped, ştiind că o diagonală a sa are lungimea egală cu 342 cm. (5p) 6. Determinaţi cifrele x şi y, astfel încât numărul 3 x5 y să se dividă cu 15. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Arătaţi că dacă piramida VABCD, cu baza ABCD pătrat, muchiile laterale sunt congruente, atunci înălţimea piramidei are piciorul în centrul pătratului. (5p) 2. Determinaţi numerele pozitive a şi b, ştiind că sunt direct proporţionale cu b – 6 şi a, respectiv invers proporţionale cu a + 12 şi b. (5p) 3. Arătaţi că media aritmetică a numerelor x = 19 + 6 2 − 2 3 şi y = 13 − 4 3 − 3 2 este un număr raţional. (5p) 4. Fie triunghiul ascuţitunghic ABC. Pe semidreapta (AC se consideră punctul D, astfel încât BA = BD, iar pe semidreapta (AB se consideră punctul E, astfel încât CA = CE. Notăm cu M, mijlocul segmentului (AD) şi cu N, mijlocul segmentului (AE). Dacă {P} = BM ∩ CN, arătaţi că AP ⊥ BC . (5p) 2n 2 − 4n + 3 5. Arătaţi că pentru nicio valoare întreagă a lui n, raportul nu este număr n 2 − 3n întreg, n ∈  − {0, 3} . (5p) 6. Într-un triunghi, un unghi are măsura de n°, iar laturile au lungimile de 3 cm, 3k1 cm şi 3k2 cm, unde k1, k2 є *. Aflaţi măsurile celorlalte unghiuri ale triunghiului. (5p) 3. Recapitulare finală

173



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numerele întregi care se află în intervalul éê- 3; 3 ùú sunt .......... ë û 2. Media aritmetică a numerelor 5, 8 şi 8 este .......... 3. Aria unui pătrat cu lungimea diagonalei de 4 cm este ........... 4. Un obiect costă 45 lei. După o scumpire cu 10% el va costa.......... 5. Fie ABCD un tetraedru regulat cu lungimea muchiei egală cu 12 cm. Aria totală a tetraedrului este egală cu ..........cm2. 6. Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu muchia egală cu 6 cm. Distanţa de la A' la BC este egală cu ..........cm.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O rochie costă 600 de lei. Rochia se ieftineşte cu 20% şi apoi se scumpeşte cu 15%. a) Aflaţi cât costă rochia după scumpire. (5p) b) Aflaţi cât costă rochia după ieftinire. (5p) c) Aflaţi cu cât la sută trebuie modificat preţul final pentru a costa la fel cu cel iniţial. (5p) 2. Stabiliţi dacă următoarele numere sunt raţionale: a = 1 + 3 + 5 + .... + 2011 , b = 25n + 23 , unde n є . (5p) a 5 + b + 7 = 3 5 − 3 a + 2 b + 1 3. Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că . (5p) 4. În triunghiul ABC, m(  A) = 90°, m(  B) = 60°, AB = 40 cm, iar D este proiecţia punctului A pe BC. Calculaţi: a) lungimea segmentului (BC); (5p) b) lungimea segmentului (AD). (5p) 5. În patrulaterul ABCD, AB || CD, AB = 10 cm şi CD = 6 cm. Dacă M, N, P, Q sunt respectiv mijloacele segmentelor (AD), (BC), (AC) şi (BD): Calculaţi: a) lungimea segmentului (MN); (5p) b) lungimea segmentului (PQ). (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie VABC o piramidă triunghiulară. Un plan α paralel cu dreptele VB şi AC intersectează muchiile VA, AB, BC, VC, în punctele M, N, P respectiv Q. a) Arătaţi că MN || VB. (5p) b) Arătaţi că MNPQ este paralelogram. (5p) c) Dacă VM = 5 cm, AM = 2 cm, VB = 14 cm, AC = 35 cm, calculaţi perimetrul patrulaterului MNPQ. (5p) 2. Fie ABCD un paralelogram şi a, b, c, d patru drepte perpendiculare pe planul paralelogramului care trec prin punctele A, B, C respectiv D. Un plan α intersectează dreptele a, b, c, d în punctele A', B', C', D'. Arătaţi că: a) Planele ADD'A' şi BCC'B' sunt paralele. (5p) b) A'B'C'D' este paralelogram. (5p) c) Dacă AA' = 8 cm, BB' = 6 cm, CC' = 7 cm, m(  A) = 90°, AB = 6 cm, BC = 10 cm, calculaţi distanţa de la D la D'. (5p) 174




SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului (5 + 9)2 – 52 – 92 este .......... (5p) 2. Numărul divizorilor întregi ai lui –38 este .......... (5p) 3. Restul împărţirii numărului 13 la 46 este ........... (5p) 4. Se aruncă două zaruri. Probabilitatea ca suma punctelor obţinute pe cele două zaruri să fie un număr natural pătrat perfect este .......... (5p) 5. Aria unui trapez care are lungimile laturilor egale cu 4 cm, 4cm, 4 cm, 8 cm este egală cu ..........cm2. (5p) 6. O prismă regulată are 18 muchii toate de lungime egală cu 4 cm. Perimetrul bazei prismei este ..........cm. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Simplificaţi fracţia

4 x2 + 5x − 9 2

−8 x + 13 x − 5

{ }

, x ∈  − 1:

5 . 8

2. Aflaţi preţul iniţial al unui obiect, care după două scumpiri succesive cu 20% costă 288 lei. 2 3. Fie f :  → , f(x) = x + 2 . 3

(5p)

(5p) (5p)

a) Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficului lui f cu axa absciselor. (5p) b) Reprezentaţi grafic funcţia f. (5p) 4. Fie ABC un triunghi dreptunghic în A iar D piciorul înălţimii duse din A pe BC. Ştiind că BD = 9 cm şi AC = 20 cm. Aflaţi: a) Perimetrul şi aria triunghiului ABC. (5p) b) Distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului ABC. (5p) 5. În triunghiul ABC (AB = AC) fie puncul E є AC astfel încât m(  ABE) = m(  CBE). Ştiind că m(  C) = 72°, arătaţi că BC2 = AB · EC. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie O, A, B, C patru puncte necoplanare astfel încât OA ⊥ OB ⊥ OC ⊥ OA . a) Să se arate că OB este perpendiculară pe AC. (5p) b) Arătaţi că proiecţia lui O pe planul (ABC) este ortocentrul triunghiului ABC. (5p) c) Dacă OA = a, OB = b şi OC = c arătaţi că lungimea segmentului [OH], unde H este abc proiecţia lui O pe planul ABC este egală cu OH = . (5p) 2 2 a b + b2c2 + c2 a 2 2. O piramidă patrulateră regulată are apotema bazei egală cu 3 2 cm şi înălţimea egală cu 3 2 cm. Calculaţi: a) aria totală şi volumul piramidei; (5p) b) măsura unghiului format de două feţe laterale opuse; (5p) c) la ce distanţă de bază trebuie dus un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale corpurilor formate să fie egale? (5p) 3. Recapitulare finală

175



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului –42 + 33 este .......... 1 ïì ïü 2. Mulţimea í 8; - 6; 0; - 2; - 8 ; 9, 7(65); 36 ý - ( - ) = este egală cu .......... ïîï ïïþ 3 3. Cel mai mic număr natural care împărţit la 15 dă restul 3 este ........... 4. Dacă 5 saci cu grâu cântăresc 200 kg, în câţi saci de acelaşi fel au loc 560 kg de grâu? 5. Perimetrul unui romb cu lungimea laturii egală cu 3 cm este ...........cm. 6. Un bazin sub forma unui paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 3 m, 8 m, 50 m. Câţi litri de apă încap în acest bazin?

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Aflaţi două numere naturale, ştiind că unul este de 8 ori mai mare decât celălalt, iar diferenţa lor este 287. (5p) 2. Fie f :  → , f(x) = 2x – 3. Determinaţi punctul de pe reprezentarea geometrică a graficului funcţiei f care are abscisa egală cu ordonata. (5p) 3. Fie a, b, c trei numere naturale direct proporţionale cu 6, 12, 18. Aflaţi cele mai mici numere a, b, c. (5p) 4. Paralelogramul ABCD are m(  B) = 120°, AB = 16 cm, AD = 8 cm. a) Aflaţi aria paralelogramului ABCD. (5p) b) Calculaţi

AMBC , unde M este mijlocul lui [CD]. AABMD

(5p)

5. Hexagonul regulat ABCDEF are lungimea laturii egală cu 10 cm. Aria triunghiului ACE este ...........cm2. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie ABCDA'B'C'D' o prismă regulată cu baza ABCD, lungimea muchiei AB = 5 cm iar A'B = 10 cm. Să se calculeze: a) aria totală şi volumul prismei; b) măsura unghiului format de D'C cu planul (ABC); c) suma distanţelor unui punct M din interiorul prismei la feţele prismei. 2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 8 cm şi 16 cm, iar apotema trunchiului de 4 2 cm. Calculaţi: a) suprafaţa laterală şi volumul trunchiului; b) măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei mari; c) aria secţiunii obţinute prin intersectarea trunchiului de piramidă patrulateră regulată dat cu un plan paralel cu bazele dus prin mijlocul înălţimii acestuia. 176

(5p) (5p) (5p)

(5p) (5p) (5p)




SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului –52 + 5 · 12 : (–2) este ........... (5p) 2. Numărul de 4 ori mai mare decât 28 este .......... (5p) 3. C.m.m.m.c. al numerelor 24 şi 36 este ........... (5p) 4. Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 5 cm, 12 cm, 13 cm este egală cu ...........cm. (5p) 5. Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu lungimea catetei de 3 cm este egală cu ...........cm. (5p) 2 6. Aria unui cerc cu raza de 4 cm este egală cu .......... cm . (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Calculaţi −32 + 5 :| −1| − | −3 | ⋅ 7 + 841 . 5  x+ y =3 2. Rezolvaţi în  x :  2  x − 2 = y − 5 3. Fie f :  → , f(x) = ax + b. a) Determinaţi funcţia f al cărei grafic trece prin punctele A(2; 2) şi B(–3; –3); b) Stabiliţi dacă punctul M(–1; 34) aparţine graficului funcţiei f determinate anterior. 4. Arătaţi că triunghiul care are lungimile laturilor proporţionale cu 4, 3, 5 este dreptunghic. 5. Arătaţi că într-un trapez laturile neparalele determină, pe dreapta paralelă cu bazele care trece prin punctul de intersecţie a diagonalelor trapezului, două segmente congruente. (5p)

(5p) (5p)

(5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Trapezul ABCD are AB || CD, măsura unghiului A este de 90°, AD = AB = 4 cm şi DC = 8 cm. În punctul A se ridică perpendiculara AM pe planul trapezului. Dacă AM = 4 cm, calculaţi: a) Distanţa de la punctul M la DC, respectiv BD. (5p) b) Aria triunghiului MBD. (5p) c) Volumul unei prisme triunghiulare regulate cu înălţimea egală cu AM şi baza echivalentă ABCD. (5p) 2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 9 cm, AD = 15 cm şi AA' = 20 cm. a) Calculaţi suprafaţa laterală, volumul şi diagonala paralelipipedului. (5p) b) Care este sinusul măsurii unghiului format de diagonala BD' şi planul (ABC)? (5p) c) Calculaţi distanţa de la punctul B' la diagonala (AD'). (5p) 3. Recapitulare finală

177



SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Calculaţi: –3 + 5 – 8 + 6 + (–54) – (–8) 2. Un obiect costă 20 lei. După o ieftinire cu 30% el va costa .......... 3. Media aritmetică a numerelor

2

2

( 5 - 3) şi ( 5 + 3) este ...........

(5p) (5p) (5p)

4. Aria unui romb cu lungimile diagonalelor 4 cm şi 8 cm este egală cu ......... cm2. (5p) 5. Aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu lungimile muchiilor egale cu 4 cm, 5 cm şi 6 cm este egală cu ..........cm2. (5p) 6. Volumul unui cub cu muchia egală cu 4 cm este egal cu ........... (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Aflaţi x є , astfel încât numerele 2x, 6x – 8 şi 16 – 2x, să fie lungimile laturilor unui triunghi. (5p) 2 2 2. Găsiţi x, y є  astfel încât: x + y + 2y + 5 = 4 · (x – y – 2). (5p) 3. Pentru plata unei lucrări efectuate de trei muncitori sumele au fost atribuite proporţional cu numărul de ore lucrat de fiecare muncitor. Ştiind că al doilea muncitor a lucrat de două ori mai multe ore decât primul şi de trei ori mai puţine ore decât al treilea, aflaţi ce sumă de bani a primit fiecare muncitor, ştiind că împreună au primit 7200 lei. (5p) 4. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC şi M mijlocul laturii [BC]. Ştiind că AABC = 15 cm2, calculaţi: a) AABG ; (5p) b) raportul dintre aria triunghiului MGC şi ABM. (5p) 5. În triunghiul ABC fie M, N puncte pe laturile [AB], respectiv [AC], astfel încât MN || BC. Ştiind că

AM = 3 şi AC = 16 cm, calculaţi NC. MB

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O piramidă patrulateră regulată VABCD are apotema egală cu a iar unghiul format de două feţe laterale opuse de măsură 60°. Calculaţi: a) aria totală a piramidei VABCD; (5p) b) volumul piramidei VABCD; (5p) c) distanţa de la O la planul (VBC). (5p) 2. Fie ABDA'B'D' o prismă triunghiulară regulată cu feţele laterale pătrate cu latura de 6 cm. Fie C simetricul lui A faţă de BD. Calculaţi: a) aria totală şi volumul prismei ABDA'B'D'; (5p) b) distanţa de la A' la dreapta BD; (5p) c) tangenta măsurii unghiului format de dreapta A'C cu planul (ABD). (5p) 178


Testul 99 (sesiune specială 2010)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 624 : 3 este egal cu .......... 2 2. Inversul numărului este egal cu .......... 3

(5p) (5p)

3. Fie mulţimea A = {x Î  |0 £ x £ 3}. Scrisă sub formă de interval mulţimea A este egală cu .......... (5p) 4. Un romb ABCD are diagonalele AC = 5 cm şi BD = 4 cm. Aria rombului este egală cu ........... cm2. (5p) 5. O prismă dreaptă ABCA'B'C' are ca baze triunghiurile echilaterale ABC şi A’B’C’. Dacă AB = AA' = 4 m, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală cu .............. m. (5p) 6. În graficul de mai jos, diferenţa dintre temperatura cea mai mare şi cea mai mică este egală cu .......... ºC. 35 30 25 20 15 10 5 0 −5 −10

ian.

feb.

mar.

apr.

mai.

iun.

iul.

aug.

sep.

oct.

(5p)

noi.

dec.

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf S şi bază ABC. (5p) 2. Media aritmetică a două numere naturale este 17,50 şi unul dintre ele este 7. Determinaţi al doilea număr.

(5p)

3. Preţul unui telefon mobil a scăzut cu 10% şi, după o săptămână, noul preţ a scăzut cu încă 10%. După cele două modificări de preţ, telefonul costă 81 de lei.

a) Arătaţi că preţul iniţial al telefonului a fost de 100 de lei.

(5p)

b) Cu ce procent din preţul iniţial s-a micşorat preţul produsului după cele două ieftiniri? (5p)

4. Determinaţi valoarea numărului real a, ştiind că punctul A (2; a) aparţine graficului funcţiei f :  → , f (x) = (2 − a) · x + 2. 5. Simplificaţi raportul

x 2 - 2 x -15 x 2 -10 x + 25

4. Variante date la examene

cu x − 5, unde x Î  \ {5}.

(5p) (5p) 179

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D

1. Figura 1 reprezintă schiţa unui cort în formă de prismă dreaptă care are ca baze triunghiurile echilaterale ABC şi DEF. Se ştie că BC = 2 m şi CF = 3 m.

a) Calculaţi distanţa de la punctul A la planul (BCE). (5p)

b) Calculaţi volumul cortului.

c) Verificaţi dacă, pentru confecţionarea cortului,

A

(5p)

E

F

sunt suficienţi 22 m2 de pânză specială (toate feţele cortului sunt din pânză, inclusiv podeaua).

B

(5p)

C

Figura 1

2. Figura 2 reprezintă schiţa unui teren al cărui arie A este de 8 hectare.

P

D

a) Exprimaţi aria terenului în m2.

Pe acest teren, se sapă un şanţ [BP] pentru

canalizare (P Î AD). Unghiurile ABP şi PBC

sunt congruente. Valoarea raportului dintre aria

triunghiului ABP şi aria dreptunghiului ABCD este 0,25.

(5p)

b) Arătaţi că BC = 2AB.

(5p)

c) Calculaţi lungimea, exprimată în metri, a şanţului [BP] şi aproximaţi rezultatul

cu cel mai apropiat număr natural.

B

C

Figura 2

(5p)

Testul 100 (variantă dată la examen, mai 2010)


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. Rezultatul calculului 2 + 4 : 2 este egal cu ..........

(5p)

2. Media aritmetică a numerelor 2 şi 8 este egală cu ..........

(5p)

3. Dacă A = {1; 2; 3} şi B = {3; 4}, atunci mulţimea A Ç B este egală cu {..........}. 4. Un triunghi echilateral are latura de 4 m. Aria triunghiului este egală cu .......

(5p)

m2.

(5p)

5. O prismă dreaptă are ca baze triunghiurile echilaterale ABC, respectiv A'B'C'.

Măsura unghiului dintre dreptele AB şi B'C’ este egală cu ..... º.

vehicul pe parcursul a 5 ore. În această perioadă,

vehiculul staţionează timp de .......... ore. (5p)

Distanţa parcursă în km

6. Figura alăturată reprezintă graficul deplasării unui

(5p)

50 40 30 20 Timpul în ore

10 1

180

2

3

4

5


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf S şi bază ABC. (5p) 2. Un elev cumpără 10 cărţi, de literatură şi de matematică. El plăteşte 9 lei pentru o carte de literatută şi 7 lei pentru o carte de matematică, cheltuind astfel 76 lei. Câte cărţi de matematică a cumpărat elevul?

(5p)

3. O persoană are o sumă S de bani. În prima zi cheltuieşte 30% din suma S, a doua zi

1 din suma S. 4 a) În ce zi cheltuieşte cel mai puţin persoana respectivă?

(5p)

b) Persoanei îi rămân 100 de lei după cele 3 zile. Determinaţi valoarea sumei S.

(5p)

cheltuieşte 40% din suma S, iar a treia zi cheltuieşte

4. Reprezentaţi grafic funcţia f :  → , f (x) = −x + 1. 5. Arătaţi că numărul p =

(5p)

2

( 5 + 2 ) - 2 ( 5 + 2 )- 5 ( 2 - 2 5 ) este natural.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D'

1. Figura 1 reprezintă schiţa unui bazin în formă de paralelipiped dreptunghic

A'

ABCDA'B'C'D'. Baza ABCD are

B' C

D

AB = 12 m şi BC = 4 m, iar înălţimea paralelipipedului este AA' = 3 m.

C'

A

B

Figura 1

a) Calculaţi distanţa dintre punctele A şi C'.

b) Calculaţi aria laterală a bazinului.

(5p)

c) În bazin se află 96000 litri de apă. Calculaţi înălţimea la care se ridică apa în bazin.

(5p)

2. Figura 2 reprezintă schiţa unui patinoar format dintr-un dreptunghi MNPQ care are lungimea MN de 40 m şi lăţimea de 30 m şi din două semicercuri de diametre [MQ], respectiv [NP].

a) Patinoarul este înconjurat de un gard.

A

Q B M

(5p)

P C

Figura 2

N

Calculaţi lungimea gardului care înconjoară patinoarul.

(5p)

b) Verificaţi dacă aria patinoarului este mai mică decât 2000 m2. (3,14 < p < 3,15)

(5p)

c) Un patinator parcurge distanţele AB, BC şi CA. Punctele B şi C sunt mijloacele segmentelor [MQ], respectiv [NP] şi A este mijlocul segmentului [PQ].

Calculaţi valoarea sinusului unghiului ABC.


(5p)

181

Testul 101 (variantă dată la examen, iunie 2011)


• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 2 ore. SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. Rezultatul calculului 6 + 16 : 4 este egal cu ..........

(5p)

2. Într-o urnă sunt 7 bile albe şi 3 bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila

extrasă să fie albastră este egală cu ..........

(5p)

3. Trei kilograme de mere costă 7,5 lei. Patru kilograme de mere de aceeaşi calitate

costă .......... lei.

3 4. Un dreptunghi are lungimea de 8 cm şi lăţimea egală cu din lungime. 4 Lăţimea dreptunghiului este de .......... cm.

(5p) (5p)

5. În figura 1 este reprezentată o prismă triunghiulară dreaptă ABCA'B'C' care are

toate feţele laterale pătrate. Măsura unghiului dintre dreptele AB' şi CC'

este egală cu .......... °.

C'

B'

(5p)

A'

C

B

A Figura 1 6. În tabelul de mai jos este prezentată repartiţia elevilor unei şcoli după notele obţinute

la un concurs. Note mai mici decât 5 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 9,99 Nr. de elevi 8 12 25 20 15 8

Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mică decât 7 este egal cu ..........

10 2 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V

şi bază ABC.

(5p)

2. Determinaţi perechile de numere naturale (a, b) pentru care are loc egalitatea 3 a −1 = . 2 b +1 3. Preţul unui televizor s-a mărit cu 10%. După un timp, noul preţ al televizorului

s-a micşorat cu 10%. După aceste două modificări televizorul costă 1980 lei.

Determinaţi preţul iniţial al televizorului.

182

(5p)

(5p)


4. Se consideră funcţia f :  → , f (x) = – x + 2.

a) Reprezentaţi grafic funcţia f.

b) Determinaţi coordonatele punctului care are abscisa egală cu ordonata şi aparţine graficului

(5p)

funcţiei f.

(5p)

5. Arătaţi că numărul a = ( 3 + 2 ) ⋅ ( 5 − 6 ) + ( 2 − 1) − 3 3 este natural. 2

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Prisma patrulateră dreaptă ABCDA'B'C'D' cu bazele pătrate (figura 2), reprezintă

schematic un suport pentru umbrele. Segmentul [AP] reprezintă o umbrelă care se

sprijină în punctul C'. Se ştie că AB = 30 cm, AC = CC' şi AP = 90 cm.

a) Calculaţi înălţimea suportului.

(5p)

b) Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta AP şi planul (ABC).

(5p)

c) Determinaţi distanţa de la punctul P la planul (ABC).

(5p)

D' A'

B'

P

C'

C

D B

A

Figura 2 2. Figura 3 reprezintă schiţa unei grădini dreptunghiulare în care sunt plantate flori

în trei zone, una în formă de cerc şi două în formă de semicerc, care intersectează

laturile [AD] şi [BC] doar în punctele A, B, C, D, E şi F. Zona circulară intersectează

cele două zone semicirculare doar în punctele M şi N. Se ştie că AB = 16 m.

a) O albină aşezată pe o floare situată în mijlocul diametrului [AB] zboară în linie

dreaptă, mai întâi până la o floare situată în punctul M, apoi mai departe, tot în linie

dreaptă, până la o floare situată în punctul D. Calculaţi distanţa parcursă de albină.

b) Calculaţi aria suprafeţei din

grădină plantată cu flori.

c) Arătaţi că aria suprafeţei reprezentată

de porţiunea haşurată este mai mică

decât 111 m2. (3,14 < π < 3,15) (5p)

(5p)

M

B 4. Variante date la examene

E

A

(5p) D

N

F Figura 3

C 183



• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 2 ore. SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 12 + 12 : 4 este egal cu .............

(5p)

2. Media aritmetică a numerelor 7 şi 23 este egală cu .............

(5p)

3. Se consideră mulţimea A = {x ∈  | 2x ≤ 4}. Mulţimea A este egală cu intervalul ...........(5p) 4. Perimetrul unui romb cu latura de 4 cm este egal cu ............. cm.

(5p)

5. În figura 1 este reprezentat cubul ABCDEFGH cu muchia de 5 cm. Aria totală a cubului este egală cu ............. cm2.

H

(5p)

G

E

F

D

C

A

B Figura 1

6. În diagrama de mai jos sunt reprezentate rezultatele obţinute de elevii unei clase la un test. Numărul elevilor din clasă care au obţinut la test cel puţin nota 8 este egal cu ............. (5p) Numărul elevilor care au obţinut nota n

7 6 5 4 3 2 1 4

184

5

6

7

8

9

10

Nota n obţinută la test


SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf V şi bază ABCD. (5p) 2. Se consideră numerele a = două numere.

4 şi b = 15 : 3 + 1 . Calculaţi media geometrică a celor 5 +1 (5p)

3. Într-o clasă sunt 26 de elevi. Dacă din clasă ar pleca două fete şi trei băieţi, atunci numărul fetelor ar fi egal cu dublul numărului băieţilor. Determinaţi numărul fetelor din clasă.

(5p)

4. Se consideră funcţia f :  → , f ( x ) = −2 x + 3.

a) Reprezentaţi grafic funcţia f în sistemul de coordonate xOy.

b) Determinaţi numărul real a pentru care punctul A (a, –a) aparţine graficului funcţiei f. (5p)

(5p)

x −1  2− x , unde x este număr real, : x + 1  ( 2 x + 1)2 − ( x + 2 )2  x ≠ 1 şi x ≠ –1. Arătaţi că E ( x ) = 9 , pentru orice x număr real, x ≠ 1 şi x ≠ –1. (5p)

5. Se consideră expresia E ( x ) =  1 +

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O vază are forma unei prisme drepte cu baza pătrat. Înălţimea vazei este de 40 cm, iar latura bazei este de 10 cm. În vază se toarnă trei litri de apă.

a) Calculaţi aria laterală a vazei.

(5p)

b) Determinaţi înălţimea la care se ridică apa în vază.

(5p)

c) În vază se introduc patru cuburi din piatră, fiecare cub având muchia de 4 cm. Determinaţi cu câţi centimetri creşte nivelul apei din vază, după introducerea celor patru cuburi din piatră. (5p)

2. În figura 2 este reprezentată schematic o placă de gresie în formă de dreptunghi, cu AB = 28 cm, şi BC = 21 cm.

D

A

E

C

B

Figura 2

a) Calculaţi lungimea segmentului (DB).

(5p)

b) Determinaţi aria triunghiului EAB, unde E este mijlocul laturii (CD).

(5p)

c) Arătaţi că sinusul unghiului AEB este egal cu


12 . 13

(5p) 185



• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 2 ore. SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 4 × 4 + 10 este egal cu ............. a 5 2. Dacă = , atunci numărul a este egal cu ............. 6 2 3. Cel mai mare număr natural care aparţine intervalului (3,9] este numărul ...........

(5p)

4. Perimetrul unui pătrat cu latura de 8 cm este egal cu ............. cm.

(5p)

(5p) (5p)

5. În figura 1 este reprezentat un cub ABCDEFGH cu latura de 3 cm. Volumul cubului este egal cu ............. cm3.

H

(5p)

G

E

F

D

C

A

B Figura 1

6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute la un test de elevii unei clase.

Notă Număr de elevi

1 0

2 1

3 3

4 1

5 4

6 5

7 6

8 5

La acest test, nota 8 a fost obţinută de un număr de ............. elevi.

9 4

10 1 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful S şi baza ABC. (5p) 2. Arătaţi că

2 + 8 − 3 2 = 0 .

(5p)

3. Ana şi Bogdan au împreună 7 mere, iar Ana şi Călin au împreună 8 mere. Determinaţi câte mere are Ana, ştiind că, împreună, cei trei copii au 12 mere. 4. Se consideră funcţia f :  → , f ( x ) = x + 2. a) Calculaţi f ( 0 ) + f ( −2 ) .

b) Reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de coordonate xOy.

186

(5p) (5p) (5p)


x  2  1 , unde x este număr real, − 2 : (  x − 2 x − 4  x − 2) ( x + 2)

5. Se consideră expresia E ( x ) = 

x ≠ – 2 şi x ≠ 2. Arătaţi că E (x) = 1, pentru orice număr real x, x ≠ – 2 şi x ≠ 2.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura 2 este reprezentat un loc de joacă în formă de dreptunghi ABCD, cu AD = 20 m şi diagonala BD = 40 m. D

C

A

B

Figura 2

a) Arătaţi că AB = 20 3 m .

b) Verificaţi dacă unghiul dintre diagonalele dreptunghiului ABCD are măsura egală cu 60°.(5p)

c) Arătaţi că aria suprafeţei locului de joacă este mai mică decât 700 m2. Se consideră cunoscut

(5p)

faptul că 1, 73 < 3 < 1, 74 .

(5p)

2. În figura 3 este reprezentat schematic un stup de albine în formă de paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Dimensiunile stupului sunt AB = 4 dm, BC = 6 dm şi AA' = 8 dm. H G E

F

D A

C B

Figura 3

a) Calculaţi perimetrul dreptunghiului ABCD.

(5p)

b) Determinaţi aria totală a paralelipipedului ABCDA'B'C'D'.

(5p)

c) Arătaţi că PQ = 13 dm, unde {P} = AB' ∩ A'B şi {Q} = BC' ∩ B'C.

(5p)


187

BAREME DE EVALUARE ŞI DE NOTARE SUBIECTUL I • Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte. • Nu se acordă punctaje intermediare.

SUBIECTUL al II-lea şi SUBIECTUL al III-lea • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Total 100 puncte din care 10 sunt din oficiu. • Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.

Testul 1 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 2

2. 6

3. 41

4. 54 cm

5. 25 π

6. 0°

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.

Desenează corect.

(5p)

2.

10 (10 x + y − 10 y − x ) = 10 ( 9 x − 9 y ) = 90 ( x − y )  15

(2p)

3.

4.

188

(3p)

a) n = nr. elevilor

n = 4c1 + 2 ⇒ n − 2 ∈ 4 n = 6c2 + 2 ⇒ n − 2 ∈ 6 ⇒ n = 9c3 + 2 ⇒ n − 2 ∈ 9 [ 4; 6; 9] = 36

(4p)

⇒ n − 2 ∈ 36 ⇒ n = 38.

(1p)

b) [4; 6; 9] = 36 ⇒ 36 copii

(5p)

– 3 ≤ 2x – 1 < 5 | + 1

(1p)

– 2 ≤ 2x < 6

(1p)

| : 2

– 1 ≤ x < 3

(1p)

A = {0; 1; 2}

(1p)

Suma elementelor este 3.


5. 1, 44 = 1, 2 ∈ .

6

(1p)

1 = 4

Numerele iraţionale ale mulţimii A sunt

25 5 = ∈ 4 2

1, 44 ; − π;

(1p)

3 . 2

(3p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1.

a) Pfigurii = l  + lBC  + lCD  + DA = πr + πR + πr + 2 R; cum R = 2r AB ⇒ Pfigurii = πr + 2r π + πr + 4r = 4πr + 4r = 4r ( π + 1) m b) Afig. colorată =

(2p) (3p)

πR 2 π 2 2 = ⋅ 4 r = 2πr 2 = 20π = 20 ⋅ 3,14 = 62, 8 m 2 2 12

(5p)

c) AABCD = AB ⋅ BC = 2r ⋅ 4r = 8r 2 = 8 ⋅12 m 2 = 96 m 2 d) 1 kg x kg x= 2.

96 = 3, 2 kg 30

(5p)

m2

30 96 m2

(2p)

(3p)

a) CD = 3 m; AD = 2 CD ⇒ AD = 6 m ADCE = dreptunghi ⇒ CE = 6 m În triunghiul CEB; m (  E ) = 90°; m (  B ) = 45° ⇒ triunghiul CEB este dreptunghic isoscel ⇒ CE = EB = 6 m. ( CD + AB ) ⋅ AD 12 ⋅ 6 3 = = 36 m 2 AABCD = 2 21

(1p) (1p) (1p) (1p) (1p)

b) Notăm cu x cantitatea cumpărată 10 100 ) x− ⋅ x = 36 100

(2p)

4

90 100 ⋅ 36 ⋅ x = 36 ⇒ x = = 40. 100 1 90 Trebuie să cumpere 40 m2 de gresie.

(2p) (1p)

Testul 2 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. –3

3n + 1

2.

(5p)

(5p)

3. {– 12, – 6, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}

4. 6

5. 24

6. 13 sept. 2012

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

Răspunsuri, rezolvări, bareme

189


Desenează corect unghiul.

(2p) 30°

Desenează corect laturile congruente. (3p) 2.

3.

14 · 3 = 42 ani reprezintă triplul vârstei actuale 42 – 14 = 28 Răspuns: peste 28 de ani.

(2p) (3p)

a)

numărul numerelor prime mai mici decât 50 numărul total al bilelor ▪ Sunt 15 numere prime 15 3 = ▪ . 10 10 ▪ P (număr prim) =

(2p) (2p) (1p)

b)

numărul pătratelor perfecte mai mici decât 50 numărul total al bilelor ▪ Sunt 7 pătrate perfecte mai mici decât 50 7 ▪ 50 ▪ P (număr pătrat perfect) =

4.

(1p) (2p)

Scriem ca pătrate perfecte: 4 − 2 3 = 3 − 2 3 + 1 = ( 3 − 1) ; 4 + 2 3 = 3 + 2 3 + 1 = ( 3 + 1) 2

(

A= 5.

(2p)

2n +1 ⋅ 3n n

n +1

2 ⋅3

3 − 1) + 2

=

(

2 ⋅ 2n ⋅ 3n 2n ⋅ 3n ⋅ 3

3 + 1) − 6 3 = 2

=

3 −1 +

2

3 + 1 − 6 3 = −4 3 < 0

2 3

(2p) (3p) (5p)


190

a) ▪ Ipotenuza triunghiului dreptunghic având catetele de 3 m şi respectiv 4 m are lungimea de 5 m (se află aplicând teorema lui Pitagora). ▪ Perimetrul terenului în formă de pentagon este egal cu 4 + 3 + 4 + 3 + 5 = 19 m. ▪ Gardul are 6 rânduri de sârmă, deci necesarul este 6 · 19 = 114 m.

(2p) (2p) (1p)

b) 3⋅ 4 ▪ Suprafaţa celor două parcele în formă de triunghi dreptunghic este 2 ⋅ = 12 m 2 . 2 ▪ Necesarul:12m 2 ⋅ 0, 025 kg/m 2 = 0, 3 kg gazon. ▪ 0, 3 ⋅ 32 = 9, 6 lei a costat gazonul.

(2p (1p)

c) ▪ Pe primul rond se plantează 8 · 3 = 24 tufe, pe al doilea 6 · 3 tufe, pe al treilea 4 · 3 tufe, iar pe rondul central 2 · 3 tufe. ▪ Necesarul este 24 + 18 + 12 + 6 = 60 tufe de trandafiri. ▪ 1 tufă costă 10 : 3 lei, deci 60 tufe vor costa 200 lei.

(3p) (1p) (1p)

(2p)


2.

a) ▪ Înălţimea triunghiului echilateral este 18 cm. 18 3 18 36 ▪ sin 60° = ⇔ = ⇒l = ⇒ l = 12 3 cm. l l 2 3

(2p) (3p)

b) ap = 6 cm.

(5p)

c) ▪ A∆ = ▪ A∆ =

l2 3 4

(12 3 )2 ⋅

▪ A discului ▪

(1p)

3 144 ⋅ 3 ⋅ 3 = = 108 3 cm 2 4 4 = πR 2 = 144π cm 2

(1p) (1p)

A∆ 108 3 3 3 = = A disc 144π 4π

(2p)


2. 2,34

3.

2 3

(5p) (5p) SUBIECTUL II (30 puncte) 1.

(5p)

12 muncitori 1 muncitor 18 muncitori

4. 36 cm

5. 17 m

6. 2008

(5p)

(5p)

(5p)

15 zile 15 · 12 zile 15 ⋅12 zile 18

Răspuns: 10 zile 2.

3.

(2p) (1p)

50 ⋅ 120 = 60 lei (creşterea); 120 + 60 = 180 lei (preţ după creştere); 100 50 ⋅ 180 = 90 lei (scăderea); 100

(2p) (2p)

180 – 90 = 90 lei (preţ final)

(1p)

1 ; y = 10 ⇒ x < y 9

(5p)

91 10 ; Mg = 18 3

(5p)

a) x =

b) M a =

4.

(1p) (1p)

a2 = 2 − 3 + 2 ⇒ (a − 6 )

1000

(2 −

3 ) ( 2 + 3 ) + 2 + 3 ⇒ a2 = 6 ⇒ a = 6 ( a > 0) ⇒

(10p)

=0


191


a) ∆MAD ≡ ∆NAD ( LUL ) ⇒ DM = DN ⇒ triunghiul DMN isoscel

(5p)

 M ≡  N ( triunghiul DMN isoscel )   ULU b) [ AM ] ≡ [ AN ] ipoteza  ⇒ ∆ ABM ≡ ∆ AEN   MAB ≡  EAN ( acelasii complement ) 

(5p)

c)

∆ ABM ≡ ∆ AEN ⇒ [ AB ] ≡ [ AE ] ⇒ triunghiul ABE isoscel   ⇒ AP ⊥ BE (5p) Notam AD ∩ BE = {P} ; ( AP − bisectoare  d)

MN ⊥ AD   ⇒ MN  BE BE ⊥ AD 

a)

PM ⊥ AB   ⇒ MP ⊥ DC AB  DC 

2.

(5p)

⇒ m (  M ) = m (  P ) = m (  N ) = 90° ⇒ MQNP este dreptunghic

(5p)

b)

PABCD = 2 ⋅ (10 + 6 ) = 32 m (a parcurs Mihai)

AQPD – trapez isoscel (AQ || DP şi AD = MN = PQ) BQ = DP DP + AQ = BQ + AQ = AB = 10 m PAQPD = AQ + QP + PD + DA = 2 · 6 + (AQ + DP) = = 12 + 10 = 22 m (a parcurs Andrei)

(5p)

Testul 4 SUBIECTUL I (30 puncte) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

– 27

3− 7 2

x ∈ {2; 5; 8}

48

14

15

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) Q

1.

P

Desenează corect.

M

2. 192

62,5 : 12,5 = 5 cutii

(5p)

N (5p)


3.

a) a2 = 3; a3 = 6; a4 = 9; a5 = 12; a6 = 15; a7 = 18; a8 = 21; a9 = 24; a10 = 27 a1 + a2 + ... +a10 = 137; Suma numerelor impare este: a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 75; Suma numerelor pare este: a1 + a3 + ... + a9 = 62 b)

4. 5.

(2p) (1p) (1p) (1p)

P ⋅ 75 = 62 ⇒ P% = 82, ( 6 ) % 100

A=

(5p)

324 + 576 900 + 2 ⋅ 675 − 576 = + 2 ⋅ 100 = 3 + 2 ⋅10 = 23 ∈ . 36 + 64 100

(5p)

4 x3 − 24 x 2 + 36 x =

= 4 x ( x2 − 6 x + 9) = 2 = 4 x ( x − 3)

(2p) (3p)


a) m (  DAC ) = 30°  AD ⇒  ⇒ CD = 2 m (  ACD ) = 90°

B

C

⇒ AD = 12 dam ⇒ CA = 6 3 dam. 30° Fie CQ ⊥ AD ⇒ CQ = CA = 3 3 dam; A 2 AQ 3 cos 30° = ⇒ AQ = 3 6 3 ⋅ = 9 dam ⇒ QD = 3 dam AC 2 ABCD = trapez isoscel ⇒ PQ = BC = AD – QD · 2 PQ = 12 – 3 · 2 = 6 dam ⇒ AB = BC = CD = 6 dam PABCD = AB + BC + CD + AD = 6 · 3 + 12 = 30 dam b) AABCD =

( AD + BC ) ⋅ CQ (12 + 6 ) ⋅ 3 3 = = 27 3 dam 2 2 2

(1p) D (1p) (1p) (1p) (1p) (5p)

c) AABC = AABCD − AACD (2p) AACD = 2.

6 3 ⋅6 = 18 3 dam 2 ⇒ AABC = 27 3 − 18 3 = 9 3 dam 2 2

(3p)

a) AC = 100 + 300 = 20 m. Aplicăm teorema catetei în ∆ABC ⇒ AB2 = AM · AC ⇒ AM = 5 cm ⇒ MC = 15 m; BM = AM ⋅ MC = 5 3 m (2p) ∆ BMC ~ ∆ NMA ⇒ BM =

BM MC 15 5 3 25 3 5 3 m = ⇒ = ⇒ MN = = MN MA 5 MN 15 2

AM ⋅ MC = 5 3 m

(2p) (1p)

3

b) sin ( m (  MBC ) ) = MC = 15 = 15 3 = 3 ⇒ m (  MBC ) = 60° BC 10 3 2 10 2 ⋅ 3 Răspunsuri, rezolvări, bareme

(5p) 193

c) AAMN = AADC

AM ⋅ MN 5 3 1 25 3 2 = 5⋅ ⋅ = m 2 3 2 6

25 3 A AD ⋅ DC 10 ⋅10 3 1 = = = 50 3 m2 ; AMN = 6 = 2 2 AADC 50 3 12

(5p)


2. 23

(5p) (5p) SUBIECTUL II (30 puncte)

3. –5

4. 8

5. 12

6. mai 2010

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

1.

Desenează corect.

(5p)

2.

1 1 1 6 + + = =1 2 3 6 6

(5p)

3.

a) B = {– 1; – 9; 10; 4}; A ∩ B = {– 9; 4}

(5p)

b) x, y ∈  ⇒ 2x – 1 = 7 şi 5y = 10 ⇒ x = 4 şi y = 2

(5p)

4. 5.

3x < 7 ⇔ x <

7 , x ∈ ⇒ x ∈ {0; 1; 2} 3

(5p)

p = 25 + 3 − 2 3 − 2 3 = 5 − 3 + 2 3 − 2 3 = 2 ∈ deoarece 3 = 9 < 12 = 2 3 ⇒ 3 − 2 3 = −3 + 2 3

(5p)


BM BN  BN BP  R. T. Th =  =  BA BC  a)  ⇒ BC BD  ⇒ NP  CD T. Th BM BP  ∆ BCD  ∆ ADC : MP  AD ⇒ = BA BD  T. Th

∆ ABC : MN  AC ⇒

CN DP = ⇒ BC BD CN BP DP BP DP + BP BD ⇒ + = + = = =1 BD BC BD BD BD BD

b) ∆ BCD, NP  CD ( din a ) ⇒

2.

(5p)

R.T . P.

a) 22 + ( 2 3 ) = 42 ⇔ 4 + 12 = 16 ⇒ AB 2 + AC 2 = BC 2 ⇒ m (  A ) = 90° ⇒ 2

⇒ triunghiul ABC dreptunghic în A. b) d ( A, BC ) = 194

(5p)

AB ⋅ AC = 3 BC

(5p) (5p)


AB   c) sin 2 B + sin 2 C = sin 2 B + cos 2 B = 1;  am folosit sin C = = cos B  BC   d)

(5p)

T . P.

Triunghiul ABM dreptunghic în A ⇒ BM 2 = AB 2 + AM 2 = 4 + 3 = 7 ⇒ BM = 7 (5p)

Testul 6 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 90 (5p)

2. 100 (5p)

3. 1 (5p)

4. 45°44´ (5p)

5. 948 (5p)

6. grâu (5p)


125% · x = 15 ⇒ x = 12 (lei)

(5p)

2.

5 ∈  ⇒ x − 4 ∈ D5 = {±1 ± 5} ⇒ x ∈ {3; 5; 9} . x−4 in 

(5p)

3.

2 b) ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 = 2 − 3 − 2 + 2 + 3 = 2

(5p)

4.

A = 144 cm 2 ⇒ A = l 2 = 144 ⇒ l  = 12 ⇒ d = 12 2 cm

(5p)

5.

Latura romb = 6 cm, P = 24 cm, A = 18 3 cm 2

(5p)


a)

x y z = = = k ⇒ x = 2k ; y = 5 ⋅ k ; z = 9k 2 5 9 2 p p % ⋅ y = x ⇒ p % ⋅ 5k = 2 k ⇒ = ⇒ p % = 40% 100 5

(2p) (3p)

b) 2 ⋅ 2k + 3 ⋅ 5k + 4 ⋅ 9k = 275 ⇒ 55 ⋅ k = 275 ⇒ k = 5 ⇒ x = 10; y = 25; z = 45 2.

a) AB = BC ⇒ triunghiul ABC isoscel ⇒  BAC ≡  BCA

(5p) (1)

iar  BAC ≡  ACD (alterne interne) (2) Din (1) şi (2) ⇒ (AC este bisectoarea unghiului BCD b) Notăm  BCA =  ACD = x°  ADC =  BCD = 2x° Din triunghiul ADC (m ( A) = 90°) avem: 2x° + x° = 90° x° = 30. Deci: m (  D ) = m (  C ) = 60° şi m (  A ) = m (  B ) = 120° (5p)


(5p) A 2x D E

T

x

B x C

195

T 30°

c) Din triunghiul ADC (m ( A) = 90°), m (  ACD ) = 30° ⇒ DC = 24 cm. PABCD = 60 cm. TP

Din triunghiul ADE (m ( E) = 90°), ⇒ AE = 6 3 cm (înălţime); A = 108 3 cm 2 (5p) d) Fie AT ⊥ BC, AT = d(A; BC) = 6 3 cm

(5p)

Testul 7 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 0,(40)

2. 18,9

(5p) (5p) SUBIECTUL II (30 puncte) 1. 2.

3. – 1 sau 1

4. 4 cm

5. 2 sau 6

(5p)

(5p)

(5p)

Desenează triunghiul şi pune corect în evidenţă toate unghiurile exterioare. A=

şi consecutive.

4.

(5p)

a (a + 3) (a + 1)(a + 2) a 2 + 3a a 2 + 3a + 2 a 2 + 3a  a 2 + 3a  ⋅ = ⋅ = ⋅ + 1 2 2 2 2 2  2 

Dacă a este par sau impar, numerele 3.

6. martie 2012 (5p)

a 2 + 3a a 2 + 3a şi + 1 sunt naturale 2 2

În triunghiul isoscel ABD, (BM) este mediană, deci, şi înălţime BM ⊥ AC În triunghiul isoscel ACE, (CN) este mediană, deci, şi înălţime CN ⊥ AB. În triunghiul ABC, P este ortocentru, deci, dreapta AP include a treia înălţime AP ⊥ BC. a = 3− 5 + 4− 4 5 +5 = 3− 5 +

(2 −

(10p)

(10p)

5) = 3− 5 + 2 − 5 = 2

= 3− 5 + 5 − 2 = 1 =1

b= =

7 −1− 4 − 4 7 + 7 = 7 −1− 2 − 7 =

7 −1−

(2 −

7) = 2

7 −1− 7 + 2 = 1 = 1

2a − b 1 = care este număr raţional. a + 2b 3 SUBIECTUL III (30 puncte) Rezultă

1.

2.

a b c 3a 2b 2c 3a + 2b + 2c 17 = = ⇒ = = = = = 1 . Rezultă 3 2 2 9 4 4 17 17 3a = 9 ⇔ a = 3; 2b = 4 ⇔ b = 2; 2c = 4 ⇔ c = 2

(10p)

a) Din egalitatea dată, deducem că x + y ≠ 0, y + z ≠ 0, z + x ≠ 0. 0 y z y y Dacă x = 0, egalitatea dată devine: + + =2⇔ +1 = 2 ⇔ =1⇒ 0+ y y+ z z +0 y+z y+z y = y + z, de unde z = 0, rezultă z + x = 0, ceea ce este fals, căci, z + x ≠ 0. Deci x ≠ 0. Analog demonstrăm că y ≠ 0 şi z ≠ 0, deci xyz ≠ 0.

196

(5p)

(5p)


b) Din egalitatea dată, obţinem: ⇔ 1− 3.

4.

x+ y− y y+z−z z+x−x + + =2⇔ x+ y y+z z+x

y z x y z x +1− +1− =2⇔ + + = 1. x+ y y+z z+x x+ y y+z z+x

(5p)

Dacă B' este punctul diametral opus lui B ⇒ m (  BB ′D ) = m (  BAD ) = 60° BD Din triunghiul BB'D, dreptunghic în D ⇒ sin 60° = ⇒ BD = BB ′ ⋅ sin 60° ⇒ BB ′ 3 ⇒ BD = 2 6 ⋅ = 3 2 cm. 2

(5p)

Din asemănarea ∆ABC ~ ∆CDB, deducem următoarele congruenţe de unghiuri:  BAC ≡  BCD,  ABC ≡  CDB,  ACB ≡  ABC , de unde rezultă că triunghiul BCD este isoscel cu ( CB ) ≡ ( CD ) , deci şi triunghiul ABC este isoscel, având ( AB ) ≡ ( AC ) . În plus, notând m (  BAC ) = x, obţinem m (  ACB ) = m (  ABC ) = 2 x. Avem deci, x + 2x + 2x = 180° ⇔ 5x = 180°⇔ x = 36° ⇒ m (  BAC ) = 36°, m (  ABC ) = m (  ACB ) = 72°.

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

– 14

–1

3 5

40°

50 3

(5p)

(5p)

(5p)

25 (5p)


Q

P (5p)

M 2.

3.

N

Fie x, y, z cantităţile pe care le primeşte fiecare cantină: x y z = = = k x + y + z = 5500 100 200 250 x = 100 k, y = 200 k, z = 250 k ⇒ 550 k = 5500 ⇒ k = 10 ⇒ cantinele vor primi 1000 kg, 2000 kg respectiv 2500 kg.

(5p)

x 2x pagini ⇒ rămân de citit pagini. 3 3 1 2x x 2x  x  x A doua zi citeşte ⋅ + 10 = + 10 ⇒ rest −  + 10  = − 10. 3 2 3 3 3  3 x A treia zi citeşte − 10 = 60 ⇒ x = 210 (pagini) (5p) 3 Fie x numărul total de pagini. În prima zi citeşte


197

4.

Folosim regula de trei simplă pentru partea de bazin care rămâne de umplut după ce un robinet s-a defectat. 4 robinete 3 ore (partea rămasă de umplut) 3 robinete x x=

5.

3⋅ 4 = 4 (ore) 3

(5p)

Fie n numărul elevilor. n = 2 ⋅ C1 + 1 n − 1 = 2 ⋅ C1 n = 3 ⋅ C2 + 1 ⇒ n − 1 = 3 ⋅ C2 ⇒ n − 1 este multiplu comun al numerelor 2, 3, 5. n = 5 ⋅ C3 + 1 n − 1 = 5 ⋅ C3 Deoarece c.m.m.m.c. al numerelor 2, 3 şi 5 este 30 ⇒ n – 1 = 30 ⇒ n = 31 (elevi)

3a = 14 – 2b, deci a este număr par şi a ≤ 4. Pentru a = 0, rezultă b = 7, pentru a = 2, obţinem b = 4, iar pentru a = 4, deducem b = 3. SUBIECTUL III (30 puncte) 6.

1.

(5p) (2p) (3p)

a) Dacă O este centrul cercului, triunghiurile OAB, BOC, COD, DOE, EOF şi FOA' sunt echilaterale, unde A' este punctul care urmează să fie marcat pe cerc după punctul F ⇒ în jurul punctului O sunt 6 · 60° = 360° ⇒ A = A'. (5p) C

b) triunghiul ACE este echilateral 6 3 AC = 2 ⋅ = 6 3 (cm) 2 Aria triunghiului ACE este

B O

D

(6 3 )

2

⋅ 3

4

= 27 3 (cm2)

A

(5p) E

F

c) DCOE este romb ⇒ CE ⊥ DO   ⇒ CE  BF fiind perpendiculare pe aceeaşi dreaptă. (5p) BOFA este romb ⇒ BF ⊥ OA  2.

S

a) AFCD este paralelogram ⇒ AF = 5 şi CF = 6 FB = AB – AF = 15 – 5 = 10 FC2 + CB2 = FB2 din reciproca teoremei lui Pitagora, m (  FCB ) = 90°

D (5p)

6

5 5

A b) Dacă CE ⊥ AB, E ∈ (AB) ⇒ [CE] este înălţime în triunghiul FCB (15 + 5 ) ⋅ 4, 8 6 ⋅8 = 48 cm2 ⇒ CE = = 4, 8 cm. Aria trapezului ABCD este 2 10 2

c) ∆BCF ~ ∆BSA ⇒

198

C

6 8 F 10 B 15 E (5p)

2

ABCF  BF  4 9 ⋅ 24 2 = = 54 (cm2)  =   = ; ABSA = 9 4 ABSA  BA  3

(5p)



2.

3.

4.

5.

6.

7 12 (5p)

x=1 y=3

9 25 (5p)

24 3

15

(5p)

(5p)

24,8 (5p)

(5p)


2.

x y z = = = k , de unde înlocuind în ultima relaţie obţinem k = 12, 2 4 6 de unde x = 24, y = 48, z = 72. Pentru ca numărul a 62 − 2 ⋅13a să fie raţional trebuie ca a 62 − 2 ⋅13a să fie pătrat perfect. Descompunând relaţia dată avem a 62 − 2 ⋅13a = 7 2 ⋅ 2 ( a − 2 ) , de unde a = 4.

3.

Numărul a = 32 n + 2 ⋅ 42 n + 3 − 22 n +1 ⋅ 62 n + 3 devine a = (12n +1 )

(5p) 2

deci este pătrat perfect. 4.

(5p)

(5p)

a) m (  ADC ) = 90°, m (  DBC ) = 65°, m (  ABD ) = 30°.

(5p)

b)

2 ⋅ 2 sin 120° = 3. (5p) 2 Construim proiecţiile bazei mici pe baza mare. Notând proiecţiile laturilor neparalele pe bază cu x şi y obţinem sistemul:  x + y = 8 , cu soluţia x = 0 şi y = 8 ceea ce arată  2 2 36 − x = 100 − y Aria triunghiului BOD, A =

5.

că trapezul ABCD (AB  CD) este dreptunghic.

(5p)


2.

2 2 a) Lungimea segmentului [AB] este AB = ( 8 − 0 ) + ( 0 + 6 ) = 10.

(5p)

b) Coordonatele punctului M, mijlocul segmentului [AB] sunt x = 4 şi y = – 3

(5p)

a) Din ipoteză AB = AC, iar [AI] mediană, I ∈ BC, implică [BI] ≡ [IC] şi [ID] ≡ [AI], deci ABCD romb. Cum m (  A ) = 90°, deducem ABCD pătrat.

(5p)

b) Segmentele determinate de mijloacele laturilor oricărui pătrat sunt paralele cu diagonalele pătratului şi egale cu jumătate din lungimea lor. Cum diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare, deducem că mijloacele laturilor formează de asemenea un pătrat.

(5p)


199

3.

a) Verificăm relaţia lui Pitagora 7 2 + 242 = 252 , deducem că triunghiul ABC c ⋅c este dreptunghic şi aria A = 1 2 este de 84 cm2. 2

(5p)

b) AB ⋅ AC 168 Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii [BC] este AD = = . BC 25

(5p)


2. 1 (5p)

3. 28 (5p)

4. 0 (5p)

5. ortocentru (5p)

6. 54,6% (5p)


AC şi BD sunt axele de simetrie.

(5p)

2.

a b−c = ⇒ a 2 = b 2 − c 2 Reciproca Teoremei lui Pitagora b+c a

(5p)

3.

1

(5p)

4. 5.

 x, x ≥ 0 x x = ⇒ = 1 ⇔ x > 0. x x − , < 0 x 

(5p)

a) 2a = b + 7

(5p)

b) 3x =

y 5

(5p)


a)

n 2 + 17 = p ⇔ p 2 = n 2 + 17 ⇔ p 2 − n 2 = 17 ⇔ ( p − n ) ( p + n ) = 1 ⋅17

 p −n =1 p = 9 ⇔ .   p + n = 17 n = 8 b)

a+ b a b +b c

=

(5p)

a+ b 2

a b + ab

1 = 0, (1242857 ) . 7 603 : 6 ⇒ C = 100 şi R = 3 A 603-a zecimală este 2.

2

=

a+ b

ab ( a + b )

=

1 ab

(5p)

c)

200


2.

D

a) AB tg ( m (  ACB ) ) = = 2 ⇒ AB = 2 BC BC P = 2 ( AB + BC ) = 12 ⇒ BC = 2 cm şi AB = 4 cm.

C O

A = AB · BC = 8 cm2

(5p)

A

B

b) ABOC =

1 AABCD = 2 cm 2 4

(5p)

c) ∆ ABC : m (  B ) = 90°, AC =

AB 2 + BC 2 = 2 5

OB = OC = 5 cm. ABOC =

OB ⋅ OC ⋅ sin ( m (  BOC ) ) 2

⇒2=

5 ⋅ sin ( m (  BOC ) )

cos ( m (  BOC ) ) = 1 − sin 2 ( m (  BOC ) )

2

(5p) ⇔ sin ( m (  BOC ) ) =

4 5

16 3 = 1− = 25 5

(5p)


2.

4.

5.

6.

61

3. 4,25

2160

12

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

600 (5p)


Desenează corect.

(5p)

2.

A = {a, c, e, b} , B = {a, c, e, d , f }

(5p)

3.

Notăm cu a numărul cărţilor de pe primul raft şi cu b numărul cărţilor de pe al doilea raft, în aşezarea iniţială. (a − 10) ⋅ 2 = b + 10 a = 50 (5p) Obţinem sistemul  ⇒ a + 10 = b − 10 b = 70

4.

a)

10826 = 104

b) 42. 5.

(5p) (5p)

32 12 4 60 25 25 Obţinem: ( 22 ) ⋅ ( 23 ) − ( 55 ) + ( 33 ) : ( 32 )  :  2100 − 570 : ( 52 ) + 3120 ⋅ 310  =

( 2100 − 520 + 3130 ) : ( 2100 − 520 + 3130 ) = 1


201


2.

a) Obţinem: 10 · 2 + 10 – 10 = 20.

(5p)

b) Obţinem: (a · 2 – 10 + 10) · 2 = 20, de unde a = 5.

(5p)

c) Verde. verde, verde, roşu, roşu, roşu, albastru, albastru, albastru. Obţinem (2 + 10 + 10 + 10) · 2 · 2 · 2 – 10 – 10 – 10 = 226.

(5p)

a) Notăm cu D punctul de intersecţie a dreptei AB cu cercul C1 şi cu E punctul de intersecţie a dreptei AB cu cercul C2. Segmentul [DE] are lungimea DE = 3R = 3 · 5m = 15 m.

(5p)

b) AB = AC = BC = R = 5 m, deci PABC = 15 m

(5p)

c) Fie C1  C2 = {C, M}, C2  C3 = {A, N} şi C3  C1 = {P, B}. Pe cercul C1 punctele P,  C, B, M împart cercul în trei arce cu măsura de 60° fiecare, deci arcul exterior PM   este un semicerc. La fel arcele PN şi MN . Perimetrul exterior al piscinei este 3 ⋅

2πR = 3πR = 15π  46, 5 2

.

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

2 21 (5p)

100%

3 cm

–1,42

2 cm

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

2008 (5p)

−

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. 2.

Desenează corect. (5p) Singurul număr raţional care înmulţit cu un număr iraţional dă ca rezultat un număr raţional este zero. Deci

3. 4. 5.

2a = b, unde a, b ∈  ⇒ a = b = 0.

(5p)

2.

(5p)

b = 3a Exprimăm numerele b şi c în funcţie de a:  c = 13a Atunci a + b + c = 340 ⇒ a + 3a + 13a = 340 ⇒ a = 20, b = 60, c = 260.

(5p)

a) Reprezintă corect punctele în sistemul de axe ortogonale. b) Coordonatele mijlocului segmentului [AB] sunt (0; 4).

(5p)


a) 101.

(5p)

b) Avem A ∩  = {0;1; 2;...;10} , deci p =

202

11 . 101

(5p)


c) 2.

4 101

(5p)

a) Desenează corect.

(5p)

[ DA] ≡ [ AB ]  b) [ AC ] ≡ [ AE ] ⇒ ∆DAC ≡ ∆BAE ⇒ [ BE ] ≡ [CD ] DAC ≡ BAE 

(5p)

c) Fie AD ⊥ BC, D ∈(BC) şi BE ⊥ AC, E ∈(AC). AD = 8 cm. BE · AC = AD · BC ⇒ BE = 9,6 cm.

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

2 (5p)

62 (5p)

1160 (5p)

21 (5p)

5 3 (5p)

10 (5p)


Desenează corect.

(5p)

2.

{1; 2; 3}

(5p)

3.

x = 9

(5p)

4.

5.

x +5 ; x -5

(5p)

b) x = − 4

(5p)

a)

N=

10 2

(5p)


2.

a)

6 2 5

(5p)

b) 26 + 5 2 cm

(5p)

c) Vapă = 100 cm3, 5 · 12 · x = 100, x =1,(6) cm

(5p)

a) 336 m 2

(5p)

b) 238 m 2

(5p)

c) 100 m

(5p)


203

Testul 14 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. − 250

2.

3.

4.

5.

6.

10 3

1 3

50

15,25

3

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

−


Varianta i).

(5p)

2.

a) 22

(5p)

b) 30

(5p)

3.

290

(5p)

4.

2

(5p)

5.

40

(5p)


a) Aria uşii = 2,16 m2 Aria ferestrei = 5 m2

(3p) (2p)

b) Asuprafeţei văruite =Al − 3 Af − Au + Atavan Al = 134,4 m2 Atavan = Abazei = 64,8 m2 Asuprafeţei văruite = 182,04 m2 Cantitatea de var = 72,826 kg

(1p) (1p) (1p) (1p) (1p)

c) V = 259,2 m 3

(3p)

259,2 2.

204

m3 :

8

m3 = 32,4,

rezultă 32 elevi.

(3p)

a) 240 km/oră 360 km/oră

(3p) (2p)

b) reprezentarea corectă a unui punct al graficului reprezentarea corectă a altui punct al graficului finalizare: reprezentarea grafică este un segment.

(2p) (2p) (1p)

c) t = 4,5 h = 4 ore şi 30 minute

(5p)



2. 55

3. {2; 3; 5; 6; 7}

4. 48

5. 2,9

6. 204 lei

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


● ● ● ●

2.

Desenează corect pătratul ABCD în spaţiu V şi diagonalele. (1p) Ridică perpendiculara în punctul O şi consideră punctul V. (1p) D Duce OM ⊥ AB şi arată că M este mijlocul O segmentului [AB]. (1p) A M Aplică teorema celor trei perpendiculare: VO ⊥ ( ABC )   OM ⊥ AB (2p)  ⇒ VM ⊥ AB ⇒ d (V , AB ) = VM  OM , AB ⊂ ( ABC ) 

B

Notăm cu x lungimea laturii triunghiului echilateral. P∆echilateral = A∆echilateral ⇔ 3x =

3.

C

(1p) (1p)

x 2 3 :x ≠ 0 x 3 ⇔ 3= ⇔x=4 3 4 4

(3p)

a) În 2010 salariatul câştiga: 75 x − 25% x = 75% x = ⋅1200 = 900 lei lunar. 100

(5p)

b) În 2011, reducerea a fost: 10 10% ⋅ 900 = ⋅ 900 = 90 lei 100 Acum salariatul are un venit de 900 – 90 = 810 lei lunar. 4.

(1p)

EF = 18 cm ⇒ DE = CF = 3 cm Triunghiul AED este dreptunghic isoscel ⇒ AE = DE = 3 cm ( AB + CD ) ⋅ AE = Atrapez = 2 (18 + 24 ) ⋅ 3 = 63 cm 2 . = 2

5.

(4p)

x 23 ⋅ 3 ⋅ 54 ⋅1320 22 ⋅ 5 20 = = = y 2 ⋅ 32 ⋅ 53 ⋅1320 3 3


(1p) (2p)

(2p)

A

D

45° 3 E

18

B

F

3

C (5p) 205


2.

a) ● Lungimea unui rând trebuie să fie 102 – 2 · 3 = 96 m. (1p) ● Se vor planta 97 de arbuşti pe fiecare rând. (1p) ● Vor fi 108 : 3 – 1 = 35 rânduri. (1p) ● Numărul de plante necesar (teoretic) 35 · 97 = 3395. (1p) ● Rotunjind, deducem că trebuie să cumpere 3400 de arbuşti. (1p)

N 108

102 E 3 m 3 m 3 m 3 m

3 m

S

b) ● Plasa de sârmă trebuie să aibă lăţimea 1,80 + 0,20 = 2 m. ● Perimetrul terenului este P = 2 (102 + 108) = 420 m. ● 420 : 50 = 8,4, deci trebuie să cumpere 9 role.

(2p) (2p) (1p)

c) Sunt necesari 140 de stâlpi.

(5p)

d) Costul total al investiţiei: 3400 · 4,5 + 9 · 480 + 140 · 12 + 9000 = 30 300 lei.

(5p)

a) Necesarul teoretic ar fi: 8 · 50 = 400 m tub de picurare. Ţeava care distribuie apa la tuburi trebuie să aibă 8 · 3 = 24 m, iar cea care aduce apa de la sursă la ţeava de distribuţie are lungimea de 150 m. Practic, gospodarul trebuie să achiziţioneze: 10   400 1 + (2p)  = 440 m tub de picurare  100  24 · (1 + 10%) = 26,4  26 m ţeavă pentru distribuirea apei la tuburi (2p) şi 150 · 1,1 = 165 m ţeavă aducţiune apă de la sursă (1p) b) Mai sunt necesare; 1 filtru pentru nisip, 8 racorduri, 8 dopuri şi 8 cârlige.

(5p)

Testul 16 SUBIECTUL I (30 puncte)

206

1.

2.

3.

4.

5.

6.

−2 2

4 9

2

2,4π cm

12

20,14

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)



Desenează corect.

(5p)

2.

i + a = 54   ⇒ i = 38; a = 16 ( ) 2 i − 20 = a + 20 

(5p)

3.

Notăm cu e numărul de elevi şi cu m numărul de microscoape. 2m + 1 = e   e−2  ⇒ m = 17, e = 35 6+ = m 3 

(5p)

4.

Notăm x 2 + x = t ⇒ t ( t + 6 ) + 9 = t 2 + 6t + 9 = ( t + 3) = ( x 2 + x + 3) pătrat.

(5p)

5.

2 2 = 8 = 2, 82; rotunjirea la zecimi 2,8.

(5p)

2

2


2.

a) 4⋅ x = 2 x ( m2 ) ASET = 2 b) ( MA + TE ) ⋅ ME ( 2 + 4 ) ⋅ 3 = = 9 ( m2 ) AMATE = 2 2 c) PMATE − 1m = ( 9 + 13 ) − 1 = ( 8 + 13 ) m ∆ANT ; m (  N ) = 90° ⇒ AT 2 = AN 2 + NT 2 = 9 + 4 = 13 ⇒ AT = 13 m 3 < 13 < 4 | +8

(5p)

(5p)

11 < 13 + 8 < 12 ⇒ cumpără 12 m.

(5p)

d) AMATS = AMATE − ASET = 9 − 4 = 5 ( m 2 )

(5p)

a) 2πR πCD LCD = πR = = 2π ( m )  = 2 2 b)  BO ⊥ ( CAD )   ⇒ a ⊥ BO  a ⊂ ( CAD )   a ⊥ ( BO; OA ) ⇒ Dar a ⊥ OA ( pr. cercului )  a ⊥ ( BOA ) OA − raza 

(5p)

(5p)

c)

BO ⊥ ( CAD )   T 3⊥ OA ⊥ a  ⇒ BA ⊥ a ⇒ d ( B; a ) = BA OA, a ⊂ ( CAD )  T . P.

∆BOA m ( O ) = 90° ⇒ AB 2 = BO 2 + OA2 2

7 AB 2 =   + 2

4)

4=

49 + 16 65 65 = ⇒ AB = m 4 4 2


(5p) 207


2.

+ 27

3y

(5p)

(5p)

3. 49 = 7

4.

5.

6.

BC = 15 cm

35°

F

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


V = 35 · 2,2 · 0,12 = 9,24 m3

2.

x = numărul turiştilor din prima grupă, rezultă că în a doua grupă sunt 88 – x turişti. (2p) 1 88 − x (3p) ⋅x = ⇒ x = 40 5 6

3.

a)

(5p)

E ( x ) = x ( x 2 − 1) + 2 ( x 2 − 1) = ( x 2 − 1) ( x + 2 ) = ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 )

(5p)

b) E ( n ) = ( n − 1) ( n + 1) ( n + 2 ) , n ∈ , n  3 ( n + 1) ( n + 2 ) − produs de 2 nr. consecutive ⇒ E ( n ) 2   pt. n = 3k + 1 ⇒ E ( n ) = 3k ⋅ ( 3k + 2 ) ( 3k + 3) ⇒ E ( n ) 3  pt. n = 3k + 2 ⇒ E ( n ) = ( 3k + 1) ⋅ ( 3k + 3) ⋅ ( 3k + 4 )  ⇒ E ( n ) 6, n ∈ * , n  3 (5p) E ( n ) = 3 ⋅ ( 3k + 1) ⋅ ( k + 1) ⋅ ( 3k + 4 ) ⇒ E ( n ) 3   ( 2, 3) = 1 4.

a) x = 572 : 521 + 512 : 512 − 1 = 551 + 1 − 1 = 551  15 ( 4 + 11 ) 8 ( 11 − 3)   11  y= + :−  + 11 11 − 9   2   16 − 11  15 3 ( 4 + 11 ) 8 4 ( 11 − 3)   2   ⋅  − y =  +  + 11 5 2    11   2  y = ( 12 + 3 11 + 4 11 − 12 ) ⋅  −  + 11  11  2   y = 7 11 ⋅  −  + 11 = −14 + 11  11   Comparăm x = 551 cu 368. Avem: 551 > 368

( 53 )17

> ( 34 )

17

125 > 81 ⇒ x > 3 ⇒ x ∉ ( −∞, 3 17

17

68

68

)

b) y = −14 + 11  −14 + 3, 31 = −10, 69 ⇒ [ y ] = −11 208

(5p)

(5p)



a) A = 6⋅

l2 3 = 5400 3 cm 2 , deci suprafaţa de vopsit este de aproximativ 1,87 m2 (5p) 4

b)

6,5 cm2 18706,14 cm2 x= 2.

1,5 g vopsea x

18706,14 ⋅1, 5 = 4316, 8 g  4, 32 kg vopsea 6, 5

(5p)

a) T . P. PC ⊥ ( ABCD )  2 2 2  ⇒ PC ⊥ CE ⇒ PE = PC + CE  2 CE ⊂ ( ABCD )   ⇒ PE = 25 + 7 = 32  PE = 4 2 cm CE 2 = DE 2 + CD 2 = 4 + 3 = 7 

(5p)

b)

PC ⊥ ( ABCD )   CD ⊥ AD  ⇒ PD ⊥ AD ⇒ d ( P, AD ) = PD CD, AD ⊂ ( ABCD ) 

(5p)

c)  MB ⊥ ( ABCD )   ⇒ MB  PC  PC ⊥ ( ABCD )  AB  CD  ⇒ (MAB)  (PCD) MB ∩ AB = {B} , în ( MAB )   PC ∩ CD = {C} , în ( PCD ) 

(5p)

d) DC  AB ⇒ (  MA, DC ) = (  MA, AB ) =  MAB ∆MAB  MA = 1 + 3 = 2 ⇒ m ( B ) = 90° MB = 1 cm

cm  R.T .30°   ⇒ 

P

m ( MAB ) = 30°

Ducem MQ ⊥ PC  MQ  BC  ⇒  ⇒ MQ  AD ⇒ BC ⊥ PC  BC  AD 

M

Q E

A

m ( ( MP, AD )) = m ( ( MP, MQ )) = m(PMQ) B

D

O

C PQ = PC − CQ = 5 − 1 = 4 cm   ⇒ ∆MPQ dreptunghic isoscel ⇒ m ( PMQ ) = 45° (5p) MQ = BC = 4 cm  SUBIECTUL I (30 puncte)

Testul 18

1.

2.

3.

4.

5.

6.

–3

4

135

4 2

60°

365

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


209

SUBIECTUL II (30 puncte) Q

1.

M

2. 3.

4.

5.

P

(5p)

N 4 · 2,5 + 5 · a = 19 ⇒ 5a = 9 ⇒ a = 1,8 lei

(5p)

a) 1 2 x + 20% ⋅ x + ⋅ x + 675 = x ⇒ 20% ⋅ x + 25% ⋅ x + 40% ⋅ x + 675 = x ⇒ 4 5 x = 4500 lei

(5p)

b) 20% · 4500 = 900 lei 900 – 224 = 676 lei, preţul televizorului ⇒ persoana nu poate cumpăra televizorul. f(0) = – 1 ⇒ b = – 1 f(– 2) = – 2a + b = – 5 ⇒ – 2a – 1 = – 5 ⇒ – 2a = – 4 ⇒ a = 2 ⇒ ⇒ f(x) = 2x – 1 A=3

(

2

3

−1

3 − 2 5 ) + 3 ( 2 − 3 ) − 180 = 3 ⋅ 3 − 2 5 +

2− 3

(5p)

(5p) −6 5 =

= 3(2 5 − 3 ) + 3(2 + 3 ) − 6 5 = 6 5 − 3 3 + 6 + 3 3 − 6 5 = 6 ∈

(5p)


D'

a)

DD ′ ⊥ ( ABC )   DB ⊥ AC  ⇒ D ′O ⊥ AC ⇒ d ( D ′, AC ) = D ′O DO, AC ⊂ ( ABC )  DO =

DB 8 2 = = 4 2 ⇒ D ′O = 4 6 m 2 2

C'

A'

B' D

(5p) A

O

C B

b) BB ′ ⊥ B ′A′   BB ′ ⊥ B ′C ′  ⇒ BB ′ ⊥ B ′D′ A′B ′, B ′C ′ ⊂ ( A′B ′C ′ ) 

B ′D ′ = 8 2  2  ⇒ ABB′D′ = 32 2 m ′ BB = 8 

c) Al = 4 ⋅ AABB′A′ = 4 ⋅ 64 = 256 m 2 256 : 40 = 6,4 ⇒ sunt necesare 7 cutii cu vopsea. 210

(5p)

(5p)


2.

a) A

D

18 B

BC = 2R ⇒ R = 9 m 2πR Pgard = + BC 2 Pgard = (9π + 18) m

C

28

(5p)

b) AABCD = 18 · 28 = 504 m2 πR 2 Apiscinei =  127,17 m 2 2 Agazon = AABCD – Apiscinei  376,83 m2

(5p)

c) 25 · 25 = 625 cm2 = 0,0625 m2 – suprafaţa unei plăci 20 · 0,0625 = 1,25 m2 / cutie 127,17 : 1,25 = 101,736 ⇒ Trebuie cumpărate 102 cutii 1,25 · 110 = 137,5 m2 137,5 – 127,17 = 10,33 m2 p ⋅127,17 = 10, 33 ⇒ p %  8,12% 100

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

100

–6

x ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12}

131°29'50"

6 3

60°

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


a) E (2,0) = 22 + 4 · 02 + 6 · 2 + 12 · 0 + 18 = 34

(5p)

b) 2 2 2 E ( x, y ) = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 32 + ( 2 y ) + 2 ⋅ 24 ⋅ 3 + 32 = ( x + 3) + ( 2 y + 3)  x = −3  x+3= 0  E ( x, y ) = 0 ⇔  ⇔ 3 2 y + 3 = 0  y = − 2 3.

(5p)

m = 3 − 2 − 1 + 2 = 2 ( am folosit faptul cã 1 = 1 < 2 ) ;

n = 1 + 2 + 1 − 2 = 1 + 2 − ( −1 + 2 ) = 1 + 2 + 1 − 2 = 2 ⇒ ⇒ ma =

m+n = 2; mg = m ⋅ n = 2 2


(5p)

211

+ ( −2 )

4.

−1 < x + 2 < 1 ⇔ − 3 < x < −1 ⇔ x ∈ ( −3; −1)

5.

( x + y )2 = x 2 + y 2 + 2 xy ⇔ ( x + y )2 = 49 ⇔ x + y = 7 ⇒ P = 14

(5p)

(5p)


a)

[ AD ] ≡ [ DC ] ⇒ ∆ADC = isoscel ⇒ DAC ≡ DCA  ⇒ DAC ≡ CAB ⇒ DC  AB ( def.) ⇒ DCA ≡ CAB ( alterne interne ) 

⇒ (AC – bisectoare DAC ⇒ m(DAC) = 30° = m(DCA) ABCD – trapez isoscel ⇒ m(DAB) = m(CBA) = 60° şi m(ADC) = m(DCB) = 120° ⇒ m(ACB) = m(DCB) – m(DCA) = 90 ⇒ ⇒ AC ⊥ BC

(5p)

b) AB ⇒ CM = AM ⇒ ∆ACM – isoscel ⇒ În triunghiul ABC, [CM ] mediană ⇒ CM = 2 m(ACM) = 30° ⇒ DAC ≡ ACM ⇒ AD  CM; DC  AM ⇒ ADCM paralelogram; [AD] ≡ [DC] ⇒ ADCM este romb ⇒ DM ⊥ AC (5p)

2.

c) În triunghiul ABP: m(A) = m(B) = 60° ⇒ triunghiul ABP echilateral ⇒ PABP = 24 cm.

(5p)

a) CC'  AA'; justificăm A'MC'N – paralelogram A'M  C'N AA′ ∩ A′M = { A′} , CC ′ ∩ C ′N = {C ′} ⇒ ( AA′M )  ( CC ′N ) .

(5p)

b) Construim Q mijlocul segmentului [BC] şi demonstrăm că AQMA' – dreptunghi; Justificăm CN  A'Q ⇒ m((AM,CN)) = m((AM, A'Q)); Determinăm AQ = 3 2 în triunghiul ABQ – dreptunghic în B ⇒ AQ = AA' ⇒ AQMA' – pătrat m((AM, A'Q)) = 90° = m((AM,CN))

(5p)

c) d(B, AM) este egală cu lungimea înălţimii în triunghiul ABM dreptunghic în B ⇒ d ( B, AM ) =

AB ⋅ BM 2 6 ⋅ 2 3 = =2 2 AM 6

(5p)


212

1.

2.

3.

4.

5.

6.

10

30

–1

20 cm

5

6 cm

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)



10a + b 3 = ⇒ 7 a = 2 ⋅ b ⇒ a = 2 şi b = 7, (7; 2) = 1, ab = 27 10b + a 8

2.

a : 4 = 10q + r, unde r < 4, r ≠ 0 ⇒ r ∈ {1; 2; 3} Numerele sunt: 41, 42 şi 43.

3.

(5p)

(5p) M

a)

MA ⊥ ( ABC )   T 3⊥ AD ⊥ BC  ⇒ MD ⊥ BC AD, BC ⊂ ( ABC ) 

TP

⇒ MD = 2 3 cm

3

A

[AD] – înălţime, AD = 3 cm. Din triunghiul MAD (m(A) = 90°)

5

5

B

(5p)

D 8

C

BC ⋅ MD = 8 3 cm 2 2 Avem: 2x + 1 = 7 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 sau 2x + 1 = – 7 ⇒ 2x = – 8 ⇒ x = – 4. Deducem x ∈ {– 4; 3} b) A∆MBC =

4. 5.

E

EF  DC   ⇒ EF  AB ⇒ ( EF ; AB ) ⇒ EB ∩ FA = {T } DC  AB 

(5p) (5p) F

D

C

A

(5p)

B


a) Trapez isoscel ortodiagonal ⇒ i =

b+B = 6 2 = linia mijlocie 2

(5p)

b) MN este linie mijlocie = 6 2 c)

(5p)

A = MN · i = 72 cm2

(5p)

d) Fie AD ∩ BC = {S } . În triunghiul SDC, [AB] linie mijlocie, deci înălţimea triunghiului SDC va fi de două ori înălţimea trapezului, deci 12 2 cm. 2.

a) AC ∩ BD = {O} şi AC ⊥ BD. Distanţa de la E la BD va fi EO (T. 3 ⊥). Avem: AC = 12 cm, AO = 6 cm, iar EO = 12 cm.

(5p)

H

G

E

F

(5p) D A


O

C B 213

b) ( EBD ) ∩ ( GBD ) = BD   EO ⊥ BD  ⇒ [( EBD ) ; ( GBD )] = ( EO; GO )  GO ⊥ BD  triunghiul EOG echilateral ⇒ m [  ( EBD ) ; ( GBD )] = 60°

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

20 2

23

10

5

20

12

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


a) Pentru x = 0 obţinem f (1) + f (– 1) = 4.

(5p)

b) Pentru x = 2 deducem f (1) = 5 de unde trecând x → x + 1, rezultă f (x) = 3x + 2 (5p) 2.

c) Soluţiile naturale ale inecuaţiei f (x) + 5 ≤ 12 aparţin mulţimii {0; 1}.

(5p)

a) Deoarece P, Q, R mijloacele laturilor [AB], [AD] şi [BC], avem a [AQ] ≡ [QD] ≡ [BR] ≡ [RC] ⇒ AQ = , 2 AP ≡ PB = a şi m(A) = m(B) = 90° deci ∆PQD = ∆PRC.

(5p)

b) Dacă S este mijlocul laturii [DC], patrulaterul APSD este pătrat deci [DP este bisectoarea unghiului ADC.

(5p)

c) ∆APD = ∆BPC, de unde [DP] ≡ [PC], deci triunghiul PDC este isoscel.

(5p)


2.

3.

214

a) BC  AD, AD ⊂ ( ADD ′ ) . Analog BB' şi CC' sunt paralele cu planul (ADD').

(5p)

b) BD ⊥ AC, AC ⊂ ( ACC ′ ) . Analog B'D' ⊥ A'C', A′C ′ ⊂ ( ACC ′ ) .

(5p)

a) AB  CD, deci unghiului format de dreptele AB şi D'C este DCD' şi are măsura egală cu 45°. (5p) b) Lungimea diagonalei paralelipipedului AC ′ = 8 7 cm.

(5p)

a) Latura bazei AB = 6 2 de unde aria bazei A∆ABC = 18 3 cm2.

(5p)

b) Aria unei feţe laterale este 18 cm2.

(5p)



2.

3.

4.

5.

6.

2 , de exemplu

0

(– ∞; 3)

4

VO

90°

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) D

1. A α B 2. 3.

C

(5p)

(2 + 2

2 − 6 2 ) ( 2 + 5 2 − 2 ) = ( 2 − 4 2 ) ( 2 + 4 2 ) = 4 − 32 = −28 deci nu este egal cu 28  2 x+4 ) x −  x−2 

x−2 )

2)  1 1 x − = : 2 ( ) ( ) ( ) 2 x+2 x − 2 x + 2  2 ( x − 4)

1

2 ⋅ ( x − 2) ( x + 2) 2 x2 + 4 x − x + 2 − 2 2 ( x − 2) ( x + 2) 2 x 2 + 3x ⋅ = ⋅ 2 ( x − 2) ( x + 2) x ( ) ( ) x 2 x−2 ⋅ x+2 1

(

2+ 3

)

2

5.

1

⋅

(2 +

5 2 −2 5 5 2 +2 5 6.

(

2− 3

)

2

=

3)(2 − 3) + 2 − 3 = 4 − 2 4 − 3 = 4 − 2 = 2

30

= (5p)

− 2⋅ 2 + 3 ⋅ 2 − 3 +

= 2+ 3−2

1

1

x ( 2 x + 3) = = 2x + 3 x 4.

(5p)

=

30 = 1∈ 50 − 20

– 2x + 1 = 5 sau – 2x + 1 = – 5 de unde x ∈ {–2; 3}

(5p) (5p) (5p)


a) Fie α planul podelei şi β planul mesei de călcat. ( AOB ) ∩ a = CD  ⇒ AB  CD  ( AOB ) ∩ β = AB   α  β deoarece unul dintre plane conţine d1  d3  două drepte concurente, paralele cu celălalt plan.


(5p) 215

b) ∆AOB ~ ∆DOC (T.F.A.) ⇒ ⇒

1 AB = ⇒ CD = 80 cm 2 CD

AO BO AB = = DO CO CD

În triunghiul AOB ⇒ 2 AO 2 = 1600 ⇒ AO = 20 2 OD = 40 2 ⇒ AD = 60 2 2.

(5p) B'

a) CC ′  BB ′   ⇒ CC ′  ( ABB ′ ) BB ′ ⊂ ( ABB ′ ) 

A'

AC ⊥ BC   ⇒ AC ⊥ ( BCC ′ ) AC ⊥ CC ′

20 C' (5p)

16 C

b) ACC'A' dreptunghi ⇒ A'C' = AC = 20

26

16 A

25

20

B

15

B'

T . P.

C' D 400 + 225 = 625 ⇒ AB = 25 În ∆ABC ⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ AB2 = BCC'B' trapez dreptunghic B'D = 10 C B 2 Fie C'D ⊥ BB' ⇒ în ∆B'C'D, BC = C'D2 + B'D2 B'C' 2 = 225 + 100 ⇒ B'C' = 325 = 5 13 Analog în trapezul dreptunghic ABB'A' ⇒ A′B ′ = 625 + 100 = 725 = 5 29 P∆A′B′C ′ = 20 + 5 13 + 5 29 (5p) c) AA′ ⊥ ( ABC )  T .3⊥  ⇒ A′C ⊥ BC ⇒ d ( A′, BC ) = A′C AC ⊥ BC  În triunghiul A'AC, m(A) = 90° ⇒ A'C2 = 400 + 256 = 656 A′C = 656 = 4 41 (5p) d) Fie CD ⊥ AB, D ∈ (AB) C ′C ⊥ ( ABC )   ⇒ C ′D ⊥ AB ⇒ d ( C ′, AB ) = C ′D CD ⊥ AB  AD =

20 ⋅15 = 12 ⇒ C ′D = 256 + 144 = 20 25

(5p)


216

1.

2.

3.

7

AB şi BC

(5p)

(5p)

5 3 (5p)

4.

5.

6.

6 6

v = f = 8 m = 14

– 9m

(5p)

(5p)

(5p)



Evident, a ≠ 0 ⇒ a 2 − 3a + 1 = 0 |: a ⇒ a − 3 +

1 1 = 0 ⇔ a+ =3⇒ a a

2

1 1 1  ⇒  a +  = 9 ⇔ a2 + 2 + 2 = 9 ⇔ a2 + 2 = 7 a  a a 2.

Fie ABC triunghiul ale cărui unghiuri exterioare sunt 180° – A, 180° – A, 180° – B, 180° – B, 180° – C, 180° – C, unde A, B, C sunt măsurile unghiurilor triunghiului. Vom deosebi cazurile: I) II)

3.

(5p)

180° − A 180° − A 180° − B şi (180° – B) + (180° – C) + (180° – C) = 330°, = = 14 14 11 540° − ( 2 A + B ) 180° − A 180° − A 180° − B = = = . Din a doua condiţie, deducem: 39 14 14 11 540° − ( B + 2C ) = 330° ⇔ B + 2C = 210°. Dar (2A + B) + (B + 2C) = 2A + 2B + 2C = 360°, deci 2A + B = 360° – 210° = 150° ⇒ 540° − 150° 390° 180° − A 180° − A 180° − B ⇒ = = 10° ⇒ = = = 10° ⇒ 39 39 14 14 11 180° − B 180° – A = 140° ⇔ A = 40° şi = 10° ⇒ 180° – B = 110° ⇔ B = 70° ⇒ 11 C = 70°. 180° − A 180° − B 180° − C = = , adică triunghiul ABC este isoscel, cu A = B şi 14 14 11 (180° – A) + (180° – B) + (180° – C) = 330° ⇔ 540° – 360° = 330° ⇔ ⇔ 180° = 330°, ceea ce este fals, deci al doilea caz nu poate avea loc. (10p)

1 1 Ecuaţia se scrie, echivalent, astfel: x 2 + 4 x + 4 − 4 − y 2 − y − + + 3 = 0 ⇔ 4 4 2

4.

( x + 2 )2 −  y + 1  = 3 ⇔ ( 2 x − 2 y + 3) ( 2 x + 2 y + 5 ) = 3, unde  2 4 3 = 1 · 3 = 3 · 1 = (– 1) · (– 3) = (– 3) · (– 1). Avem astfel sistemele:  2x − 2 y + 3 = 1 2 x − 2 y + 3 = 3 , cu soluţia (– 1; 0), , cu soluţia (– 1, – 1), I)  II)  2 x + 2 y + 5 = 3 2x + 2 y + 5 = 1  2 x − 2 y + 3 = −1 2 x − 2 y + 3 = −3 , cu soluţia (– 3, – 1) IV)  , cu soluţia (– 3, 0). III)  2 x + 2 y + 5 = −3  2 x + 2 y + 5 = −1 (5p) Fie (a + 1; a) perechea de numere naturale consecutive care verifică datele problemei. Avem, deci, (a + 1)2 – a2 = n, unde n este numărul impar dat ⇒ n −1 ⇒ a 2 + 2a + 1 − a 2 = n ⇔ 2a + 1 = n ⇒ a = care este număr natural. 2  n +1 n −1  ⇒ ( a + 1; a ) =  (5p) ;  , care este unică.  2 2 


217

5.

Fie ABC un triunghi cu laturile (BC) şi (AC) proporţionale cu 2 6 şi 3 2 , BC AC iar m ( ACB ) = 30° ⇒ = = k ⇒ BC = 2k 6 şi AC = 3k 2. 2 6 3 2 3k 2 3k 2 3k 6 Construim AD ⊥ BC (D ∈ BC) ⇒ AD = şi DC = ⋅ 3= ⇒ 2 2 2 3k 6 k 6 ⇒ BD = BC − DC = 2k 6 − = . Am obţinut următorul rezultat: 2 2 k 6 3k 2 În triunghiul ABD, dreptunghic în D, BD = şi AD = , 2 2 adică BD 3 = AD, căci k 6 ⋅ 3 = 3k 2 , deci m(BAD) = 30°; 2 2 dar m(CAD) = 60° ⇒ m(BAC) = 90°

(5p)


Fie n un număr cu proprietatea din enunţ n = 17c1+c1 = 18c1, unde c1 < 17 şi n = 23c2+c2=24c2, unde c2 < 23 ⇒ 18c1 = 23c2 ⇔ 3c1 = 4c2, adică 4|c1 şi 3|c2 ⇒ ⇒ c1 ∈ {4; 8; 12; 16} şi c2 ∈ {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21}. Deducem că numerele care îndeplinesc cerinţele problemei sunt: 18 · 4 = 24 · 3 = 72; 18 · 8 = 24 · 6 = 144; 18 · 12 = 24 · 9 = 216 şi 18 · 16 = 24 · 12 = 288. (5p)

2.

a)

a+c = 3 , explicităm b şi-l substituim în cealaltă egalitate, b a+c +c a+c 3 +1 a+c+c 3 obţinând o relaţie între a şi c: b = ⇒ 3 = ⇒ = a 2 3 a 3

Din egalitatea

3 +1 ⇒ 2a + 2c + 2c 3 = 3a + a 3 ⇔ 2c (1 + 3 ) = a (1 + 3 ) ⇔ a = 2c. 2

=

Substituim a din egalitatea

Deducem că

a+c 2c + c = 3 cu 2c: = 3 ⇒ 3c = b 3 ⇔ b = c 3 b b

a + b 2c + c 3 c ( 2 + 3 ) = = = 2 + 3. c c c

(5p)

b) Observăm că numerele a, b, c, care sunt, respectiv, egale cu 2c, c 3 , c verifică 2 relaţia lui Pitagora: ( 2c ) = ( c 3 ) + c 2 ⇔ 4c 2 = 3c 2 + c 2 , deci numerele a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza a şi catetele b, c, prin urmare m(A) = 90°. În plus, din a = 2c, deducem că m(C) = 30°, deci m(B)=60°. (10p) 2

218


3.

a) Fie n, numărul natural, care poate fi scris ca produs de trei numere consecutive. n Deducem că n este multiplu de 3, adică n = 3k, unde k ∈ * ∈ * şi, deci, putem 3 n  n n  scrie n =  − 1 + +  + 1 , ceea ce pune în evidenţă faptul că n poate fi scris 3  3 3  ca sumă de trei numere consecutive. (5p) b) Fie n, numărul natural, care poate fi scris ca produs de patru numere consecutive. Deducem că n este multiplu de 4, adică, n = 4k, unde k ∈ *. Presupunem că n poate fi scris ca sumă de patru numere consecutive: n = 4k = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6. Dar 4k ≠ 4a + 6, căci 4a + 6 nu este divizibil cu 4. (5p)


2.

3.

4.

5.

6.

3 7 (5p)

3

60°

– 24

drepte

(5p)

(5p)

9 23 (5p)

(5p)

(5p)


m(AB, D'C) = m(AB, A'B) = 45°

(5p)

2.

x4 + 2x2 + 9 = x4 + 6x2 + 9 – 4x2 = (x2 + 3)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 3)(x2 + 2x + 3)

(5p)

3. 4.

pr. AB = AB · cos n ⇒ pr. AB = 2 3 · cos 30° = 2 3 · a)

{

A = x ∈ |1 ≤

3 = 3 cm. 2

(5p)

}

3x − 1 <3 2

3x − 1 < 3 | ⋅2 ⇔ 2 ≤ 3 x − 1 < 6 | + 1 ⇔ 3 x ≤ 7 | : 3 2 1 1 ≤ x < 2 ⇒ A = {1; 2} 3 1≤

B = { x ∈  | x − 1 ≤ 1} x − 1 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x − 1 ≤ 1 | + 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2

5.

B = {0, 1, 2}

(5p)

b) A ∩ B = A

(5p)

d = 6 3 ⇒ l = 6 ⇒ A t = 6l 2 = 216 cm 2

(5p)


219


a) E ( x ) = x 2 − ( m + 2 ) x + 6 2 E ( −1) = ( −1) − ( m + 2 ) ( −1) + 6 = 1 + m + 2 + 6 = m + 9 E ( −1) = 12 ⇒ m + 9 = 12 ⇔ m = 3.

(5p)

b) m = 3 ⇒ E ( x ) = x 2 − 5 x + 6 = x 2 − 2 x − 3x + 6 = = x ( x − 2 ) − 3 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x − 3) E ( x ) ( x − 2 ) ( x − 3) x − 3 = = , x ∈  \ {±2} x2 − 4 ( x − 2) ( x + 2) x + 2

(5p)

c) x + 2 | x − 3 x−3 ∈ ⇒  ⇒ x + 2 | ( x + 2 ) − ( x − 3) ⇒ x + 2 | 5 x + 2 | x + 2 x+2 x + 2 ∈ {−5, − 1, 1, 5} ⇒ x ∈ {−7, − 3, − 1, 3} 2.

(5p) D'

a) CD  AB   ⇒ CD  ( ABC ′ ) AB ⊂ ( ABC ′ ) 

C' O'

(5p) A

B O

D

C

b)

CD  AB   ⇒ CD  C ′D ′ AB  C ′D ′

(5p)

c)

( BO ) = ( OD )  OO ′  DD ′  ⇒ OO ′  ( DAD ′ ) ⇒ ( ) ( BO ′ ) = ( O ′D ′ )  DD ′ ⊂ ADD ′ 

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

2012

25

18

8

16

echipa 2

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


Desenează corect.

(5p)

2.

A ∩ = {0;1; 2; 3; 4}

(5p)

220


3.

( a + b + c + d ) : 4 = 4, 5 ⇒ a + b + c + d = 18 ( a + b ) : 2 = 6 ⇒ a + b = 12 c + d = 18 − 12 = 6 ⇒ ma =

4.

c+d =3 2

(5p)

a) ( x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2 ⇔ 169 = 85 + 2 xy, deci xy = 42

(5p)

b) ( x − y ) = x 2 − 2 xy + y 2 = 85 − 84 = 1 ⇒ x − y = 1

(5p)

2

2

5.

Raţionalizăm fracţia 1

 1  =  5−2 6 

2012

5+ 2 6  =  1  

( 5 − 2 6 )2012 2012 −2012 a = 2 ⋅ (5 + 2 6 ) ⋅ (5 + 2 6 ) = 2∈

2012

(5p)


a) A = L · l = 40 m · 15 m = 600 m2. b) Aria suprafeţei galbene este A = 2 ⋅

(5p) π ⋅ (5 m )

2

+ π ⋅ ( 2 m ) = 29π m 2  91, 06 m 2 . 2

2 Cantitatea de vopsea galbenă este de 91,06 · 0,2 l = 18,212 l. Sunt necesare 37 de cutii cu vopsea galbenă.

2.

(5p)

c) 600 m2 – 91,06 m2 = 508,94 m2; 508,94 · 0,2 l = 101,788 l Sunt necesare 51 de cutii cu vopsea albastră.

(5p)

a) Suma celor 12 muchii este de 9,6 m. Fie x lungimea iniţială a ţevii. x – 20% x = 9,6 m, deci x = 12 m.

(5p)

= 2,96 m2.

b) Aria plasei este Al + Ab

(5p) = 0,8 m2.

c) Aria suprafeţei la care au acces iepurii este Ab Timp de 10 zile iepurii mănâncă 20 m2 de iarbă, deci sunt necesare 20 : 0,8 = 25 mutări.

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

2

10

45

30

60

25

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


Desenează corect.

(5p)

2.

{– 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

(5p)


221

3.

n = – 3

(5p)

4.

a) Reprezintă corect graficul.

(5p)

b) m = 1

(5p)

x = – 2

(5p)

5.


2.

a) 144000 l

(5p)

b) 144 m2

(5p)

c) 4 m

(5p)

a) Arond = 4π m2

(5p)

b)

AABCD = 16 m2

(5p)

c) AC = 4 2 (distanţa maximă dintre cei 2 copaci) 4 2 = 32 6 = 36 (5p)

4 2 < 6m

Testul 27 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. –1; 0; 1; 2 (5p)

2.

3.

4.

5.

6.

15

32

80

17

60

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


20 grame.

(5p)

2.

a = 3, b = – 9.

(5p)

3.


(5p)

b) i) AE = 3 3 , ii) 4. 5.

91 , iii) 6 3 , iv) 3 3

Folosim inegalitatea mediilor.

{

x∈ −

}

49 ;4 15

(5p) (5p) (5p)


222

a) 480 lei

(5p)

b) 552 lei

(5p)

c) 8,69%


2.


(5p)

b) Din AD  BC ; DD ′  CC ′ ⇒ ( ADD ′A′)  ( BCC ′B ′)

(5p)

c) Intersectând planele paralele (ADD'A') şi (BCC'B') cu planul a obţinem dreptele paralele A'D' şi B'C'. Analog se arată că A'B' şi C'D' sunt paralele, deci A'B'C'D' este paralelogram. (5p)


2.

3.

4.

5.

6.

14

27

10

27

30

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

4 5 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. 2.

3.

4.

1,50 lei · 5 + 1,20 lei · 4 + 15 lei · 2 = 42,30 lei (cheltuiţi)

(2p)

50 lei – 42,30 lei = 7,70 lei (rest)

(3p)

25 ⋅140 lei = 35 lei (reducerea) 100 140 lei – 35 lei = 105 lei (preţul final) Desenează corect. Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză. Finalizare: înălţimea este 1 km.

(3p) (2p) (3p)

a) Observă că lungimea liniei frânte este egală cu suma lungimilor segmentelor date. (3p)

5.

(2p)

Perimetrul = (2 cm + 4,5 cm) · 2 = 13 cm

(2p)

b) Aria = 2 cm · 4,5 cm = 9 cm2

(5p)

a) Aria unei parcele pătrate = 2000 m2 : 5 = 400 m2

(2p)

b) Aria pătrat = l2 ⇒ 400 m2 =l2

(2p)

c) Finalizare: l = 20 m

(1p)


a) 4c + 2s = 36 6c + 1s = 30 preţ creion = 3 lei; preţ stilou = 12 lei b) 3c + 12s = 81 81 − 12 s c= , c = 27 − 4 s 3 Finalizare c = 23


(2p) (3p) (2p) (2p) (1p) 223

2.

l2 4 Finalizare: ap = lungime fermoar = 2,5 m

a) a p = m 2 −

(2p)

(3p)

b) h p = a 2p − ab2

Finalizare: hp = 1,5 m

c) V =

(2p) (3p)

Ab ⋅ h p

3 Ab = l2; Ab = 16 m2 Finalizare: V = 8 m3

(2p) (1p) (2p)

d) Fie P ∈ VO şi PN ⊥ VM, PO = PN = X (O centrul bazei, V vârful piramidei şi M mijlocul unei laturi a bazei) VP PN 1, 5 − x x ∆VPN ~ ∆VMO ⇒ = ⇒ = VM OM 2, 5 2 2 2 Finalizare: x = ⇒ PO = m 3 3

224

(2p) (2p) (1p)



2. 2

3. 7; –8; 2,3; 0

4. 3

5. 52

6. 1300

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect simetrica figurii date faţă de dreapta s. 2. În lădiţă sunt 15 · 3 = 45 mere 45 – 15 = 30 Finalizare: În coş sunt cu 30 mere mai puţine decât în lădiţă. 3. a) Fie d suma lui Daniel şi m suma de bani a Mariei. d + 10 = m – 10 m – d = 20 Finalizare: diferenţa este 20 lei.

(5p) (2p) (1p) (2p) (2p) (1p) (1p) (1p)

d + 10 = m − 10 b) Obţinerea sistemului:  m + 30 = 2(d − 30) Rezolvarea sistemului: d = 110, m = 130 Finalizare: Daniel avea 110 lei, iar Maria 130 lei. 4. Membrul stâng al egalităţii: 2 2 2 (x -1) = 3 + 1 = 3 + 2 3 + 1 = 4 + 2 3 .

(

(2p) (2p) (1p)

) ( )

(2p)

Calculul lui y, raţionalizând numitorul: 3/ 2 1 2 3 2+ 3 y= + = + = 3 3 3 3 3 2+ 3 Stabilirea relaţiei: 4 + 2 3 = 6 × Û 2 2+ 3 = 2 2+ 3 3

(

) (

)

(2p) (1p)

5. Fie 2n + 1, 2m + 1, (unde n, m є ), două numere întregi impare (1p) 2 2 (1p) Calculul diferenţei de pătrate: (2n + 1) – (2m + 1) = 4(n – m)(n + m + 1) Se iau cele 4 cazuri: I: n, m pare, II: n, m impare, III: n par, m impar, IV: n impar, m par şi se arată că (n – m)(n + m + 1) este divizibil cu 2, (2p) de unde deducem că 4(n – m)(n + m + 1) este divizibil cu 8. (1p) SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Fiecare alee are forma unui dreptunghi cu lungimea de 120 m şi lăţimea x m, deci are aria 120x m2. Porţiunea comună a celor două alei are aria x2 m2. Finalizare: aria suprafeţei celor două alei este 120x + 120x – x2 = (240x – x2)m2 = x(240 – x) m2. b) Aria spaţiului verde: 1202 – (240x – x2) = 1202 – 2 · 120x + x2 = (120 – x)2 m2 Răspunsuri, rezolvări, bareme

(2p) (1p) (2p) (5p) 225

c) Spaţiul verde are aria 1162 = 13 456 m2 (1p) 100 m2 .................................. 2 kg sămânţă 13 456 m2 ............................. x kg sămânţă (2p) x = (13 456 · 2) : 100 Þ x = 269,12 (1p) Finalizare: necesarul de sămânţă este aproximativ 270 kg. (1p) (1p) d) Aria unei dale: 20 · 15 = 300 cm2 = 0,03 m2 12 000 dale · 0,03 m2 = 360 m2 (aria unei alei) (1p) 120x = 360 Þ x = 3 Lăţimea unei alei este de 3 m. (1p) Trebuie să scădem porţiunea comună a celor două alei, adică 9 m2, echivalentul a 300 dale. (1p) Finalizare: în total sunt necesare 23 700 dale din beton. (1p) 2. a) Diferenţa dintre înălţimile celor doi stâlpi: 5 m. (1p) Aflăm distanţa d dintre vârfurile celor doi stâlpi cu teorema lui Pitagora: (2p) d2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 d = 169 = 13 (1p) Finalizare: distanţa cerută: 13 m. (1p) b) Suntem în cazul unui trapez dreptunghic de baze 10, respectiv 15 şi înălţimea de 12. Cu notaţiile din figură, folosind teorema T. F. A. avem: 13 10 x 12 − y x y x y = ⇔ = 1− = şi (2p) 10 12 10 12 15 12 15 Obţinem ecuaţia: 10 x x x = 1 − ⇔ 3 x = 30 − 2 x ⇔ 5 x = 30 ⇔ x = 6 (2p) 12 – y y 10 15 12 Finalizare: firele se intersectează la distanţa de 6 m faţă de sol. (1p)


2. 60

3.

4.

5.

1 6

4 3

100 3

6. 91

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect prisma ABCA'B'C'. Notează corect. Fie v km/h viteza primului automobil; 2. al doilea automobil se deplasează cu (v + 10) km/h  v

(4p) (1p)  v + 10

(1p)

d 180 km

226


Notează cu d distanţa parcursă de primul automobil, în 2 ore acesta parcurge d = v · 2; deduce că al doilea automobil parcurge în 2 ore: 180 – d = (v + 10) · 2 Obţinerea ecuaţiei 180 – 2v = 2v + 20 ⇔ v = 40 Finalizare: 40 km/h, respectiv 50 km/h 3. a) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 30 şi 20 este 60 (1p) 30 Deci latura pătratului este de 60 cm. (1p) (1p) Aria pătratului: 3600 cm2. 2 30 Aria unei plăci: 600 cm . (1p) 20 20 Numărul plăcilor: 3600 : 600 = 6 (1p) 2 b) Cu 24 plăci se poate pava o suprafaţă de 24 · 600 = 14 400 m . Cum numărul 14 400 este pătrat perfect, deducem că se poate construi un pătrat cu latura de 120 m. 4. A(2; –3) є Gf Þ f(2) = –3 (1p) y Obţinerea ecuaţiei: 2a – a = –3 Þ a = –3 (1p) 2 Reprezentarea grafică a funcţiei: (3p) 0

(

)(

) (

)(

)(

(1p) (1p)

20

(2p) (3p)

x

A

–3

5.

(1p) (1p)

)

1 - x8 1 + x8 1 - x 4 1 + x 4 1 + x8 1- x16 = = = Membrul drept 1- x 1- x 1- x

1- x 2 )(1 + x 2 )(1 + x 4 )(1 + x8 ) (1- x )(1 + x )(1 + x 2 )(1 + x 4 )(1 + x8 ) ( = =

1- x 1- x Simplificare prin 1 – x, (x ≠ 1) şi obţinerea egalităţii. Pentru x = 0,1 aplicând identitatea demonstrată, se obţine 1- 0,116 1- 0,116 = (1 + 0,1) 1 + 0,12 1 + 0,14 1 + 0,18 = 1- 0,1 0,9

(

)(

)(

(3p) (1p)

)

(1p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) 2(x + 4) cm2. b) Aria triunghiului BCM este 2(7 – x) cm2 2 (x + 4 ) = 2 (7 − x ) ⇔ x + 4 = 7 − x ⇔ 2 x = 3 ⇔ x =

(5p) (2p)

3 2

(2p)

Finalizare: DM = 1,5 cm. 2. a) Corpul trebuie scufundat complet în apă, iar aceasta nu trebuie să curgă peste marginile vasului. b) Volumul „apei dezlocuite“, deci al corpului de formă neregulată este 15 · 15 · 7 = 1575 cm3. c) Volumul maxim de apă ce s-ar putea turna după introducerea corpului în cub este (4p) 15 · 15 · 8 = 1800 cm3. 1800 cm3 = 1,8 dm3 = 1,8 l (1p)

(1p) (5p) (5p) 15

15

15

d) Nu; dimensiunile corpului nu au nicio legătură cu înălţimea „apei dezlocuite“. Răspunsuri, rezolvări, bareme

(5p) 227

Testul 31 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. −

5 6

(5p)

2. 12

3.

4. 7π

5. 1,5

6. 75

1 2

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Identifică prisma triunghiulară regulată Desenează corect.

(1p) (4p)

3 13 1

2. Notează cu x măsura unghiului.

x Scrie corect măsura complementului său: . 3 x Ecuaţia x + = 90 . 3 270 135 ⇒x= ⇒ x = 67,5 . Soluţia x = 4 2 Finalizare: 67°30', respectiv 22°30'. 3. a) Nu se pot forma cinci echipe pentru că 36 nu se divide cu 5. b) Numărul echipelor trebuie să dividă atât pe 36 cât şi pe 45. C.m.m.d.c. (36; 45) = 9. Se pot forma maximum 9 echipe (a câte 4 fete şi 5 băieţi) şi minimum 3 echipe (a câte 12 fete şi 15 băieţi) 4. Reprezentarea grafică a funcţiei 2

x 2 = 2 x -1 Û x 2 - 2 x + 1 = 0 Û (x -1) = 0 Þ x = 1 a2

b2

5. Obţinerea relaţiei = + b, c lungimile catetelor.

c2

3

1

3

(1p) (1p) (1p) (1p) (1p) (5p) (1p) (2p) (1p) (1p) (2p) (3p)

şi interpretarea: a lungimea ipotenuzei, (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Maria observă că octogonul se obţine dintr-un pătrat cu latura de 10 cm din care se taie 4 triunghiuri dreptunghice isoscele. Dar cele 4 triunghiuri au suprafaţa egală cu suprafaţa unei plăci verzi sub formă de pătrat. Dacă notează cu x aria unei plăci verzi atunci aria unei plăci albe este 6 x (conform informaţiei de la vânzător) 100 Obţine ecuaţia x + 6 x = 100 ⇒ 7 x = 100 ⇒ x = . 7 10 Lungimea laturii unei plăci verzi este cm. 7 b) 30 · 40 = 1200 plăci albe. 228

(1p) (1p) (1p) (1p) (1p) (5p)


c) 1200 plăci verzi. Comentariu: plăcile verzi cu care se vor pardosi marginile suprafeţei (cele de la perete) se vor tăia în 4 părţi după diagonale. Presupunem situaţia ideală când meşterul face tăieri perfecte şi nu dă niciun rebut. d) 1200 : 20 + 1 = 61 cutii cu plăci octogonale albe 1200 : 100 + 1 = 13 cutii cu plăci pătrate verzi 2. a) Volumul cubului: l3. 2 Volumul piramidei: l ⋅ h 3 l2 ⋅ h 3 = l ⇒ h = 3l . 3

(5p) (2p) (3p) (1p) (1p) (3p)

b) Trebuie să vopsim aria laterală a cubului şi aria laterală a piramidei. Al cub = 4 · 4 = 16 m2. l2 Apotema piramidei este + h 2 = 1 + 36 = 37 m 4 2 ⋅ 37 Al piramidă = 4 ⋅ = 4 37 = 24, 33 m2 2 Suprafaţa laterală a corpului  40,33 m2; 200 ml = 0,2 l. Cantitatea de vopsea: 40,33 · 0,2  8,066 l

(1p) (1p) (1p) (1p)


2. 18

3.

4. 14π

5. 60

6. 3

2 5

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Identifică piramida patrulateră regulată Desenează corect.

(1p) (4p)

3

2. Notează cu x suma depusă la banca X şi cu y suma depusă la banca Y. Prima variantă: 5 ⋅ x + 6 y = 720 100 100 5 6 ⋅y+ x = 710 A doua variantă: 100 100 Rezolvarea sistemului: x = 6000, y = 7000. Finalizare: persoana a depus 13 000 lei repartizată astfel: 6000 lei la banca X şi 7000 lei la banca Y. 3. a) C.m.m.m.c. [3; 4; 5] = 60. b) 121 ouă. Răspunsuri, rezolvări, bareme

3

3 (1p) (1p) (1p) (1p) (1p) (5p) (5p) 229

4.

x x 1 = 0, 25 ⇔ = y y 4 x+ y = 50 2 Rezolvarea sistemului: x = 80, y = 20 5. x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 32 – 2· 2 = 5 x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = 52 – 2 · 4 = 17

(1p) (1p) (3p) (3p) (2p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Justificarea ABFE trapez b) CDEF este dreptunghi (Justificare!) PCDEF = 2 (12 + 14) = 52 cm.

(5p)

F

E

(2p) (3p)

12

D

C

14 12

A G

B

c) AEAD + AFCB = AABFE – AABCD – ACDEF 1 Observăm că AABCD = AABFE Þ AABFE = 720 cm2 2 ACDEF = 12 · 14 = 168 cm2 Află suma ariilor triunghiurilor haşurate: 192 cm2 d) 50% 2. a) Înălţimea prismei: 150% · 20 = 30 cm. Nivelul apei s-a ridicat cu 30 – 10 = 20 cm. Pietricelele ar ocupa volumul unui cub cu latura de 20 cm; V cub = 203 = 8000 cm3 = 8 dm3.

(2p) (1p) (1p) (1p) (5p) (1p) (1p) (5p)

b) V apă = 202 · 10 = 4000 cm3 = 4 dm3 = 4 l.

(5p)


2. {1; 2; 5; 10}

3. 0

(5p)

(5p)

(5p)

4. 27 3 2 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează şi identifică corect dimensiunile.

5. 125

6. 175

(5p)

(5p)

(5p)

1 4

2. Primul tren are un avans de 45 km faţă de al doilea. Într-un timp t ore (până ce al doilea tren îl ajunge pe primul), primul tren parcurge distanţa d, deci d = 45 t iar al doilea tren parcurge distanţa d + 45, deci d + 45 = 60 t 230

2

(1p) (1p) (1p)


Rezolvarea ecuaţiei: 45t + 45 = 60t Þ t = 3 Finalizare: după 3 ore al doilea tren îl ajunge din urmă pe primul. 3. a) 92 + 125 – 160 = 57 elevi practică baschet şi handbal. b) 125 – 57 = 68 elevi practică numai handbal. 1 4. x -1 + 7 - x 2 2( x -1) x + 6 - x2 2 E ( x) = x × = x× = x+2 x -3 x+2 ( x - 3) ( x -1)1 = x-

3x - 2 x + 6 - x 2 2 3( x + 2) - x(2 + x) × = x×2 = x -3 x+2 ( x - 3)( x + 2) -1

= x-

(1p) (1p) (5p) (5p)

(3 - x) ( x + 2)

1 ( x - 3)

1

( x + 2)1

× 2 = x + 1× 2 = x + 2.

(5p)

5. Triunghi dreptunghic isoscel (Justificare)

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) În cazul x = 1,5 cm, punctul M este chiar mijlocul segmentului [AB]. Aria suprafeţei marcate cu punctuleţe este, în acest caz. 2

2

A

2

M

O1

O2

B

π⋅9 π ⋅1,5 π ⋅1,5 81π cm2. (5p) − + = 2 2 2 2 b) Raza cercului de diametru [AB] este de 3 cm, raza semicercului de centru O1 este x cm, iar raza semicercului de centru O2 este (3 – x) cm. (1p) 2 2 2 π⋅9 π ⋅ (3 − x) π⋅ x Aria suprafeţei haşurate este: (3p) − + 2 2 2 Finalizare: 3πx cm2. (1p) c) Valoarea minimă se obţine când M = A, adică pentru x = 0; min = 0 (2p) 2 Valoarea maximă se obţine când M = B, adică pentru x = 3; max = 9π cm (figura haşurată coincide cu cercul de diametru [AB], în acest caz) (3p) d) 3πx = 20 ⇒ x =

20  2,12 ∈ [0;3] 3π

(5p)

2. a) Lungimea diagonalei feţei dulapului este 2,52 + 0, 62 = 6, 61  2,57 > 2,55 (4p) Finalizare: Georgel nu va reuşi să ridice dulapul după primul precedeu deoarece diagonala feţei este mai mare decât înălţimea camerei. (1p) b) Da; trebuie să rotească dulapul aproximativ 90°; diagonala celeilalte feţe a dulapului este:


0m 2,5

(5p)

0m

2,55 m

2,52 + 0,52 = 6,5  2,549 < 2,55

0,5

231


2. 0

(5p)

(5p)

3. 6 3

4. 40

5. 36

6. 49

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 24 3. a) da; pot fi 5 apartamente cu 3 camere şi 10 apartamente cu 2 camere b) 7. 4. a) 5. b) 1. 5. x(x4 – 4x2 – x2 + 4) = x(x2 – 4)(x2 – 1) = x(x – 2)(x + 2)(x – 1)(x + 1).

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) ADFEC = 8x.

(5p)

b) PABCD = AB + CD+ 2BC = 52 Þ BC = 10 cm. AB − CD AF = EB = = 8 cm. 2 2 2 ∆ CEB: m(  E) = 90°, CE = BC − BE = 100 − 64 = 6 cm. c) ADFEC = 8x = 48 cm2. ( AB + CD) ⋅ CE (24 + 8) ⋅ 6 = = 96 cm2. 50%. AABCD = 2 2 2.

(5p) (5p) (2p) (3p)

a) ∆ O'OM: m(  O) = 90°; O ′M = O ′O 2 + OM 2 = 20 cm. Pb ⋅ ap 128 ⋅ 20 = = 1280 cm2. Al = 2 2 b)

(5p)

Ab ⋅ h V piramida 1 = . 3 ⇒ 3 V prisma V prisma = Ab ⋅ h V piramida =

(5p)


2. 2

3. 3

4. 24

9π

6. 215

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 232

5.


2. 120 kg mere şi pere. 3. a) 34 b) 6 4. (1; 3)

(5p) (5p) (5p) (5p) 1

5.

x +1 x 2 + 2 x + x + 2 x (x + 2)+ (x + 2) (x + 1)(x + 2) . = = = 2 (x - 2)(x + 2) x -4 (x - 2)(x + 2) x - 2

(5p)

1

SUBIECTUL III (30 puncte) N

D

∆AOB : m(O) = 90° 1 1 ⇒ OM = ⋅ AB = ⋅12 = 6 cm. 1. a) OM ⊥ AB 2 2 (OA) ≡ (OB ) 1 1 Analog ON = ⋅ CD = ⋅ 6 = 3 cm. 2 2 A∆AOD = A∆ADB − A∆AOB ⇒ A∆AOD = A∆BOC ; A A∆BOC = A∆ACB − A∆AOB

C

O

B

M

MN = OM + ON = 9 cm.

(5p)

AB ⋅ OM 12 ⋅ 6 = = 36 cm2. 2 2 CD ⋅ ON 6 ⋅ 3 = = = 9 cm2. 2 2 ( AB + CD) ⋅ MN 18 ⋅ 9 = = = 81 cm2. 2 2 A − (AAOB + ACOD ) 81 − 45 36 = A∆BOC = ABCD = = = 18 cm2 sau 2 2 2

b) A∆AOB = A∆COD AABCD A∆AOD

AO = AM 2 = 6 2 , OD = DN 2 = 3 2 . AAOD =

OA ⋅ OD 6 2 ⋅ 3 2 = = 18 cm2. 2 2

(5p)

c) p% · 36 = 18 Þ p% = 50%.

(5p)

2. a) În DVOB : m(O ) = 90° OB = VB 2 -VO 2 = 25 -16 = 3 cm. BD = 6 cm.

V

2

( )

AB = 2 = 6 Þ AB = 3 2 cm. Ab = l 2 = 3 2 = 18 cm2. A × h 18 × 4 V= b = = 24 cm3. (5p) 3 3

P D

N A Răspunsuri, rezolvări, bareme

C M

O B

233

18 82 ) = 90°. b) În DVMB : m( M . VM = VB 2 - MB 2 = 25 - = 4 2 d(N, (VBC) = d(N, VM) = NP. 82 24 2 24 41 MN ×VO = VM × NP Þ 3 2 × 4 = × NP Þ NP = = cm. 2 41 82 c)

(5p)

BD ^ AC Þ BD ^ (VAC ) . BD ^ VO

(5p)


2. 2

3.

(5p)

(5p)

(5p)

1 2

4. 4

5. 60

6. 12

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 24. 3. a) Nu, pentru că 5y = 2 · (10 – x), unde x, y numere naturale. b) 40. 5. 4.

(4p) (1p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) EB = AB – CD = 4 cm ∆CEB : m(E ) = 90° ⇒ CE = AD = EB = 4 cm. m(B) = 45°

D

6

C

4

4

(5p) A

E 10

BC = 4 2 cm. PABCD = 4(5 + 2) cm. AD ⋅ DC = 12 cm2. 2 ( AB + CD) ⋅ AD = = 32 cm2. 2

B

b) A∆ADC =

(3p)

AABCD

(2p)

c) p% · 32 = 12 Þ p% = 37,5%. 2. a) d = l 3 = 6 3 ⇒ l = 6 cm. V= 234

45° 4

l3

= 216

(5p) (5p)

cm3. Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

b) A′A ⊥ ( ABC ) ⇒ A′O ⊥ BD ⇒ d( A′, BD) = A′O AO ⊥ BD AC 6 3 AO = = = 3 3 cm. (5p) 2 2 ∆ A'AO: m(  A) = 90°. A′O =

A′A2 + AO 2 = 36 + 27 = 3 7 cm.

(5p)

D'

C' B'

A' P D

C O

A

B

2 6⋅6 ⋅6 6 2 × 3 l 3 Ab ⋅ h 2 = = 18 3cm2. AA¢BC = = = 36 cm3. c) VA′B′B′C ′ = 4 4 3 3 A ⋅ B ′P 18 3 ⋅ B ′P ⇒ 36 = ⇒ B ′P = 2 3 cm. VA′BB′C = A′BC ′ (5p) 3 3

( )


2. {0; 1: 2; 3}

(5p)

(5p)

3. 1 3 (5p)

4. 60

5. 5

6. 25°C

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 30 + 23 + 25 + 10 = 88 puncte. 3. a) 280 conducte de 3,75 m şi 120 conducte de 4,25 m. b) Nu. 4. P(5; 3). 5. [3(2n + 1) – 2(n – 2)][3(2n + 1) + 2(n – 2)]= (6n + 3 – 2n + 4)(6n + 3 + 2n – 4) = = (4n + 7)(8n – 1), pentru orice n real.

(4p) (1p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) m(  MCB) = m (  ABM) = 30° Þ m(  BPC) = 90°. D ∆CPB : m(P ) = 90° ⇒ PB = 3 cm şi CP = 3 3 cm. m(C ) = 30° ∆NPC : m(P ) = 90° ⇒ NC = 6 3 cm. m(N ) = 30° A DC = DN + NC = 10 3 cm. PABCD = 4(5 3 + 3) cm. Răspunsuri, rezolvări, bareme

C

N P M

30° 30°

6 B

(5p) 235

b) În triunghiul BCM: tg 30° = AMBCN =

(6

MB MB 1 ⇒ = ⇒ MB = 2 3 cm. 6 6 3

3 + 2 3 )⋅ 6 = 24 3 cm2. 2

(5p)

æ 27 c) AAMPND = AABCD - (AMBC + ANPC ) = 60 3 - ççç6 3 + çè 2 2.

(

3 ö÷÷ 81 3 cm2. ÷÷ = 2 ø

(5p)

)

a) Atotală = Al + 2Ab = 72 3 + 3 cm2. Al = Pb · h = 36 · 6 = 216 cm2 Ab =

l

2

3 4

= 36 3

(5p) C'

A′A ⊥ ( ABC ) ⇒ A′M ⊥ BC ⇒ d( A′, BC ) = A′M . AM ⊥ BC

b)

A' l 3 = 6 3 cm. 2 ′  A AM : m(  A) = 90°, A′M = A′A2 + AM 2 = 12 cm. m (( A¢ BC ), ( ABC ))= m((A¢ M , AM )) = m(A¢ MA) .(5p) = 30° A

B'

AM =

C M

B


2. 6 (5p)

3. 18 (5p)

4. 90 (5p)

5. 72 (5p)

6. 240 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 122. 3. a) B = 17; F = 8. b) 8 = 7 · 1 + 1. 4. Nu. 5.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

x −1/

x +1/ 1 1 2x 2 + = = 2 , oricare ar fi x є  \ {–1; 0; 1} x( x + 1) x( x − 1) x( x − 1)( x + 1) x − 1

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a)

∆ACO : m(C ) = 90° 1 ⇒ OC = ⋅ OA m(A) = 30° 2 1 6 = ⋅ OA ⇒ OA = 12 cm 2

B

(5p)

A

O

30° C

236


b) AB =

AO 2 − OB 2 = 6 3 cm

c) AABOC = 2 ⋅ AABO = 2 ⋅

(5p)

AB ⋅ BO = 6 3 ⋅ 6 = 36 3 cm2. 2

L 3 l 3 = 6 cm; O ′M ′ = = 3 cm. 6 6 ME = OM – O'M' = 3 cm. M'M = 2 · ME = 6 cm. ( P + Pb ) ⋅ a p Alat = B = 162 3 cm2. 2

2. a) OM =

(5p) V

(5p) A' M'

P

O' B'

A

C

O

E

M

C'

B b) VO = 2 ⋅ OO ′ = 2 ⋅ M ′E = 6 3 cm L2 3 108 3 ⋅ 6 3 = 108 3 cm2 ; VVABC = Abazei = = 648 cm3. 4 3

(5p)

3 3 c) O ′P = VO ′ ⋅ O ′M ′ = 3 3 ⋅ 3 = 3 3 cm. d (V , (VA′B ′ ) ) = O ′P = cm. 2 VM ′ 6 2

(5p)


2. {1; 2; 3; 6}

(5p)

(5p)

3. 4 11 (5p)

4. 12

5. 13

6. 1,27

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 38 + 53 = 91 2. 3.  n 12 ⇒ n  4 a)  ⇒ n  20 n 15 ⇒ n  5 n 12     n 15  ⇒ n [12,15,18] ⇒ n 180  b)  ⇒ n = 180 n 18    n < 200  4. Din M(m, 3) є Gf obţinem f(m) = 3, 2m – 5 = 3, m = 4. Din N(2n – 1, 2n + 3) є Gf obţinem 2 · (2n – 1) – 5 = 2n + 3, n = 5. Răspunsuri, rezolvări, bareme

(4p) (1p) (5p) (5p)

(5p)

(5p) 237

5. Avem

( x + 2)( x + 4) ( x + 3)( x − 1) ⋅ = 1 . ( x + 3)( x + 4) ( x + 2)( x − 1)

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Timpul necesar parcurgerii distanţei AC este: 40 : 2 + a + 20 : 2 + b + 20 : 2 = 40 + a + b secunde, (2p) iar pentru AE: 40 : 2 + a + 20 : 2 + b + 20 : 2 + a + 20 : 2 + b + 20 : 2 + a + 40 : 20 = = 80 + 3a + 2b secunde. (3p) b) Obţinem ecuaţiile a + b = 12 şi 3a + 2b = 26, de unde a = 2s şi b = 10s. (5p) 2 2 c) Aria pătratului ABDE este de 1600 cm , iar aria unui pătrat mic este de 25 cm . (1p) Obţinem 1600 : 25 = 64 pătrate mici, deci 64 copaci. (1p) 25 3 2 2 Aria triunghiului BCD este 400 3 cm , iar aria unui triunghi mic este de cm . (2p) 4 25 3 = 64 triunghiuri mici, deci 64 flori. Obţinem 400 3 : (1p) 4 2. a) Volumul tuturor pieselor este (40 cm)3 = 64 000 cm3. Volumul tuturor cuburilor mari este 4 · (20 cm)3 = 32 000 cm3. Volumul unui cub mare este (10 cm)3 = 1 000 cm3, iar numărul cuburilor este 32 000 : 1 000 = 32. Volumul unui cub mic este (8cm)3 = 512 cm3. Volumul tuturor cuburilor mici este (24 cm)3 – 2 · 512 cm3 = = 12 800 cm3. Numărul cuburilor mici este 12 800 : 512 = 25. Volumul tuturor paralelipipedelor dreptunghice este 64 000 cm3 – 32 000 cm3 – 12 800 cm3 = 19 200 cm3. Volumul unui paralelipiped dreptunghic este 240 cm3, iar numărul acestora este 19 200 : 240 = 80. (5p) b) Aria suprafeţei ce trebuie vopsită este 32 · 600 cm2 + 25 · 384 cm2 + 80 · 236 cm2 = 476,8 dm2. Cantitatea de vopsea este 476,8 · 5 ml = 2,3841. Deci are nevoie de 5 cutii de vopsea. (5p)

Testul 40 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 1 3 (5p)

2. 31; 37

3. 9

4. 45

5. 96

6. 50

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect.

(4p) (1p)

2. m( ÞA) + m(  B) = 90°; m(A) =

1 m(B) + 20° ; m(  B) = 56°; m(  A) = 34°. (5p) 4

3. Fie n cantitatea de cireşe sau vişine ce intră într-o lădiţă. 59 : n = c1 rest 3; 67 : n = c2 rest 4, n > 4, deci 56 = n · c1; 63 = n · c2, n | 56; n| 63 deci n | (56, 63), n > 4 şi obţinem n = 7. (5p) 238


4. f(2a + 1) · 2 + b – 2 = –2; f(–1) = (2a + 1) · (–1) + b – 2 = 1. Obţinem 4a + b = –2 şi 2a + b = 4, deci a = –1, b = 2. (10p) 5. Obţinem

(2 x − 1)( x − 2) + ( x + 2)(3 − x) − 4 ( x − 2) 2 x−2 . = = ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x + 2

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) m(  MNP) = 180° – 2x; m(  NPB) = 90° – x; m(  NPQ) = 2x; m(  PQM) = 180° – 2x; m(  NMQ) = 2x; b) Conform a) MNPQ este paralelogram, deci MN = PQ NP = MQ de unde MN + NP = PQ + QM. c) Pentru ca bila să se întoarcă în M, trebuie ca MNPQ să fie paralelogram, deci ∆ AMN ≡ ∆ CPQ şi AM = CP = 40 cm, BP = 80 cm. ∆AMN ∼ ∆BPN (UU) deci AN AM 1 = = şi AN = 50 cm. NB BP 2 d) AMNPQ = AABCD – AAMN – ABNP – APQC – ADQM = 0,8 m2.

(5p) (5p)

(5p) (5p)

dm3.

2. a) Volumul paralelipipedului exterior este de 10 dm · 8 dm · 6 dm = 480 Paralelipipedul interior (gol) are dimensiunile (10 – 1 – 1) dm, (8 – 1– 1) dm, (6 – 1) dm.Volumul paralelipipedului interior este de 8 dm · 6 dm · 5 dm = 240 dm3. Volumul construcţiei = 480 dm3 – 240 dm3 = 240 dm3. Masa piesei este de 240 · 3 kg = 720 kg. (5p) (5p) b) Volumul pământului este de 50 · 240 dm3 = 12000 dm3 = 12 m3.


2. {1; 4; 9; 16; 25}

3. 720

4. 50

5. 60

6. miercuri

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. Notăm cu x lungimea traseului.

(2p) (3p) 1 1 x + 5 = x, x = 30. Lungimea traseului este de 30 km.(5p) 3 2

3. a) Fie a cantitatea de mere şi b cantitatea de portocale. 2a + 3b = 24, a, b є . Obţinem soluţiile: (0, 8), (3, 6), (6, 4), (9, 2), (12, 0). b) 6 kg mere şi 4 kg portocale. 4. Funcţia liniară care are graficul dreapta AB este f :  → , f ( x) = 2 x + 2 , C є Gf deci C є AB şi A, B, C coliniare.

5. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = 10 + 8 = 18, deci x + y = x + y = 18 = 3 2 . (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 = 10 – 8 = 2, deci x − y = x − y = 2 . Răspunsuri, rezolvări, bareme

(1p) (4p) (5p) (3p) (2p) (2p) (3p) 239

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Dreapta care trece prin mijloacele celor două baze împarte trapezul în două trapeze echivalente. (5p) b) AB = MN = 20 m; în triunghiul dreptunghic ADM obţinem AD = 15 m; în triunghiul (4p) BNC dreptunghic obţinem BC = 20 cm, deci PABCD = 100 m. Sunt necesare 17 panouri, care costă 4250 lei. (1p) c) EF este linie mijlocie în trapezul ABCD, EF = 32,5 m (1p); GH este linie mijlocie în trapezul ABFE, GH = 26,25 m (1p); IJ este linie mijlocie în trapezul EFCD, IJ = 38,75m. (1p), (2p) Aria cultivată este de 352,5 m2. 2. a) PN = (A'B' – AB) : 2 = 84 m; în ∆ MNP dreptunghic obţinem MN = 91 m; (5p) b) Fie PQ ⊥ d , PQ = A'B' : 2 = 120 m. Conform teoremei celor 3 perpendiculare, (5p) MQ ⊥ d şi d(M, d) = MQ. În triunghiul MPQ dreptunghic, MQ = 125 m. c) Alateral =

P + Pb ⋅ a p = 56784 m2. 2

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

6,56

4 4 4 , , 1 2 3

243

11

5

25

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 2 L + 2 l = 112; L = 21 + 20; L = 44 m, l = 12 m. 3. a) 1200 – 5% din 1200 = 1140 (elevi) b) Fie x numărul elevilor de anul trecut; 50% din x = 600, x = 1200; 1200 – 5% din 1200 = 1140; 60% din 1140 = 684. Anul acesta sunt 684 fete. g(x) = (2x + 1) – 2 = 2x – 1; f(x) = g(x); x – 2 = 2x – 1; x = –1; f(–1) = 3 4. Gf ∩ Gg = {M(–1; 3)} 5. Egalitatea este echivalentă cu: (x + 2y)2 + (x – 4)2 = 0, deci x + 2y = 0 şi x – 4 = 0. Obţinem x = 4 şi y = –2.

(4p) (1p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Se joacă 5 · 4 : 2 = 10 meciuri. (5p) b) E1 - E2 - egalitate; E1 - E3 - victorie E1; E1 - E4 - victorie E1; E1 - E5 - victorie E1; E2 - E3 - egalitate; E2 - E4 - victorie E2; E2 - E5 - victorie E2; E3 - E4 - egalitate; E3 - E5 - victorie E3; E4 - E5 - egalitate; (5p) 240


c) Dacă toate meciurile s-ar termina la egalitate, s-ar înregistra cel mai mic număr de puncte 20, iar dacă toate meciurile s-ar termina cu o victorie s-ar înregistra cel mai mare număr de puncte 30. În ipoteza dată punctele din clasament ar putea fi: I: 8 + 6 + 4 + 2 + 0 = 20; II: 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25; III: 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30. În niciuna dintre situaţii nu putem obţine rezultatele pentru clasamentul respectiv. (5p) 2. a) În triunghiul ABD dreptunghic obţinem AB = AD = 4 2 cm. b) Înălţimea piramidei este egală cu

(5p)

4 6 cm. 3

(5p) 2

( ) = 192 cm2.

c) Suma ariilor feţelor laterale este aria laterală a cubului: 6 × 4 2

SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 1 (5p)

2. ±1; ±11 (5p)

(5p)

Testul 43 3. 125 (5p)

4. 5 (5p)

5. 9 (5p)

6. 0,9272 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) 1. Desenează corect. Notează corect. (1p) 2. Notăm cu x numărul băieţilor care joacă numai fotbal şi cu y numărul băieţilor care joacă numai baschet. Obţinem ecuaţiile: x + y + 3 = 18 şi x + 3 = 2(y + 3) cu soluţia x = 11 şi y = 4. Numărul băieţilor care joacă fotbal lunea este 14. (5p) 3. a) Împărţind pe 214 la 5; 7 sau 10, obţinem de fiecare dată restul 4, deci pot fi 214 participanţi. (5p) b) Fie n, numărul de participanţi. n = 5 · c1 + 4; n = 7 · c2 + 4; n = 10 · c3 + 4; deci (n – 4)  5; 7 şi 10. (n – 4)  [5, 7, 10] = 70; n – 4 є {0, 70, 140, 210, 280, 350, 420, 490}, n є {4, 74, 144, 214, 284, 354, 424, 494}. Deoarece n  12, rezultă n = 144. (5p) 4. Fie a abscisa punctului A şi b ordonata punctului B. ab a = 3b; = 6u 2 , obţinem a = 6 şi b = 2. Gf ∩ OX = {A(6; 0)}, Gf ∩ OY = {B(0; 2)}. 2 1 De aici f ( x) = − x + 2 . (5p) 3 5. Ecuaţia este echivalentă cu 2 x − y − 8 = 2 ⋅ (1 − y − x ) , x, y є . Produsul dintre un număr raţional şi un număr iraţional este un număr raţional numai dacă numărul raţional este 0. Obţinem x + y = 1 şi 2x – y = 8, deci x = 3 şi y = –2. (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) 10 202 – 20 = 10 000 (valoarea depozitului). (6% : 12) · 3 = 1,5%; 1,5% din 10 000 = 150 (dobânda pe 3 luni); 0,2% din 10 000 = 20; 20 · 3 = 60 (comisionul de administrare a contului pentru 3 luni). 1% din 150 = 1,5 (impozitul pe dobândă). 10 000 + 150 – 60 – 1,5 = 10 088,5 euro. (5p) Răspunsuri, rezolvări, bareme

241

b) Fie x + 20 euro suma iniţială. Depozitul va avea x euro. 1,5% din x este dobânda primită, 0,6% din x este comisionul de administrare cont; 1% din 1,5% din x este impozitul pe dobândă. Obţinem inecuaţia x + 20 – 20 + 1,5%x – 0,6%x – 1% · 1,5%x ≥ x + 20. Cel mai mic x este aproximativ 2260 euro, deci suma iniţială trebuie să fie minim 2280 euro. (5p) c) Aplicând calculele similare celor de la a) obţinem că după 3 luni are în cont 807 euro, după 6 luni are 814 euro, iar după 9 luni are aproximativ 821 euro, mai mult decât suma depusă. (5p) 2. a) Al = 3 3 m2

(5p)

b) Înălţimea piramidei are lungimea

2 6 m. Înălţimea faţă de sol a coşului este 3

2 6 − 1, 2  0, 4 m. 3 c) Fie N punctul în care coşul este legat de sfoară şi O piciorul înălţimii din S. Construim prin N o paralelă NP la SM, P є AM. 2 , care Aplicăm teorema lui Thales în triunghiul OSM şi obţinem PM = 4 reprezintă umbra sforii.

(5p)

(5p)


2. −4,3

3. 1

4. 16

5. 3

6. 0º

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (4p); Notaţie 1. Desen (3p); 10 lei − 1 leu = 9 lei 2. 10% · 10 lei = 1 leu 3. a) 65 : 30 = 2 rest 5 (2p); 65 : 40 = 1 rest 25 Finalizare: nu poate avea 65 cărţi. b) Notăm cu x numărul cărţilor. x = 30c1 + 5 ⇒ x − 5 = 30c1 ⇒ [30; 40] = 120 x = 40c2 + 5 ⇒ x − 5 = 40c2 x − 5 ∈ M120 Þ x − 5 ∈ {0; 120; 240; 360; 480; ... } Þ x ∈ {5; 125; 365; 485; ... } Finalizare: x = 365 4. x − 3 = 5 ; x = 8 ⇒ 5 = 5 ((Adevărat) A)

242

(1p) (2p) (2p) (1p) (2p) (1p) (1p) (1p) (1p)

x = 5 ⇒ 2 = 5 ((Fals) F)

(1p)

x = −2 ⇒ −2 − 3 = −5 = 5 ((Adevărat) A) Finalizare: x = 8 şi x = −2 sunt soluţii

(1p) (2p)


5. 4x2 + 4x + 3 = 4x2 + 4x + 1 + 2 4x2 + 4x + 3 = (2x + 1)2 + 2 2 (2 x + 1) ≥ 0 ⇒ (2 x + 1)2 + 2 > 0 ⇒ 4 x 2 + 4 x + 3 > 0 2>0

(1p) (1p) (3p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Dimensiunile dreptunghiului ce reprezintă spaţiul verde sunt 5 m şi (10 − x) m. Aspaţiu verde = 5(10 − x) m2 b) Asuprafaţei aleilor = A1 + A2 = x(5 + x) + x(10 − x) Aspaţiu verde. = Asuprafeţei aleilor Þ 50 − 5 x = 5 x + x 2 + 10 x − x 2 50 = 20x Þ x = 2,5 m c) Pspaţiu verde = 2(L + l) = 2(5 m + 8,6 m) = 27,2 m = 2720 cm 2720 : 80 = 34 (număr de module) d) Pparc = 2(L + l) = 2(10 m + 7 m) = 34 m 34 · 67 = 2278 lei (suma necesară) 2. a) Lungimea cadrului metalic este PABCD + EA + EB + EC + ED. ΔBEC: m(E) = 90º Þ EC = EB = 2 2 m. Fie F mijlocul lui (BC) şi G mijlocul lui (AD) EF = 2 m (înălţime în triunghiul dreptunghic EBC) FG = 4 m (pentru că CDGF este dreptunghi) EF ⊥ BC ; EF ⊂ ( EBC ) TP GF ⊥ BC ; GF ⊂ ( ABC ) ⇒ m(EFG ) = 90 ; ∆EFG, m( Fˆ ) = 90 ⇒ EG = 2 5 ( EBC ) ∩ ( ABC ) = BC ( EBC ) ⊥ ( ABC ) = BC

(5p) (2p) (2p) (1p) (3p) (2p) (3p) (2p) (1p)

m

Aplicăm Teorema celor 3 perpendiculare Þ EG ⊥ AD TP ∆EGA, m(Gˆ ) = 90 ⇒ EA = 2 6 m Pr .

(EG) este înălţime şi mediană ⇒ ∆EAD = ∆ isoscel Þ ED = 2 6 m Lungimea cadrului metalic este 4(4 + 2 + 6 ) m  32 m.

(1p) (1p)

EG ⋅ AD 2 5 ⋅ 4 = = 4 5 m2 2 2 A = EB ⋅ EC = 4 m 2 EBC 2 4 5 m 2 + 4 m 2 + 1,5 m 2 = (4 5 + 5,5) m 2  14, 45 m 2

(5p)

b) A EDA =

Testul 45 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. x = –1

2.

3.

D6 = {±1; ±2; ±3; ±6}

(5p)

(5p)

m g = 16 = 4 (5p)


4. 40 cm2

5. 12 muchii

6. 25%

(5p)

(5p)

(5p) 243

SUBIECTUL II (30 puncte) (3p); Notaţie (2p) 1. Desen 2. 24 ani. 3. a) 12 elevi. b) 120 lei. 4. 8,4 > 8 Þ nu poate cumpăra 2 caiete şi trei pixuri 7,6 < 8 Þ poate cumpăra 3 caiete şi 2 pixuri 5. E ( 2) = 2 − 2 2 < 0

(5p) (3p) (2p) (3p) (2p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) R = 25 cm (R = raza cercului mare, r = raza cercului mic) b) Apătrat − Adisc mare = 537,5 cm2 (pierdere la decupare) c) Lcerc mic + Lcerc mare = 219,8 cm = 2,198 m 2. a) V bazin = π R2 · h = 3,14 m3 =3140 dm3 = 3140 l. 4000 l > 3140 l Þ nu încap 4000 l în bazin. b) Vjumătate bazin = π R2 · 0,5 = 1,57 m3 =1570 dm3 = 1570 l 1000 l < 1570 l Þ Este suficientă apă pentru broscuţe. c) Abazin = Al.cil + Ab.cil = 9,42 Þ L = 9,42 m2 : 1,2 m = 7,85 m. Abazin = L · 1,2 m 5 L' = 7,85 m + L'Þ L'  9,21 m. Trebuie cumpăraţi 10 metri. 100

}

SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 2. 60 x=3 (5p) (5p)

3. 6 (5p)

4. l = 4 cm (5p)

5.

244

f (0) = −1 ⇒ O(0;0) ∉ G f g (0) = 0 ⇒ O(0;0) ∈ Gg h(0) = 4 ⇒ O(0;0) ∉ Gh

(2p)

5. 6 feţe (5p)

6. m = 7,2 (5p)

(2p)

pagini a citit.

b) Cartea are 224 pagini. Elementele raţionale din A sunt:

(3p)

Testul 46

SUBIECTUL II (30 puncte) (3p); Notaţie 1. Desen 2. 2 lei · 4 = 8 lei. 10 lei − 8 lei = 2 lei. 3. a) 28 + 14 + 56 + 112 = 140 + 70 = 210 4.

(5p) (5p) (5p) (3p) (2p) (3p) (2p)

(3p) (2p) (5p) (5p)

−4 ; −3;0;10 . 5

(5p) (2p) (2p) (1p)



a) Aapei =

πR 2 EF   = 4,5πm 2 = 14,13m 2 .  Am folosit R = . 2  2 

(5p)

πR ′2 πR 2  AB  − .  Am folosit R ′ =  2 2  2  Agazon = 13,5π m2 ≈ 42,39 m2; 42,39 · 20 = 847,8 lei.

b) Agazon =

c) Apietriş = 72 – 52,52 = 19,48

(3p) (2p)

(m2)

(5p)

d) Lgard = xπR + 2R = 3 · 5,14 = 25,42 m Þse cumpără 16 metri. 2.

a) Abazei = 6 ⋅

(5p)

l2 3 = 2400 3 (l = latura bazei) 4

(5p)

b) Vvasului = Ab · h = 72000 3 cm3 72000 3 : 2000 = 36 3 (plante) ≈ 62,35. Cum numărul de plante este număr întreg Þnumărul maxim de plante este 62. (5p)

Testul 47

SUBIECTUL I (30 puncte) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

3 5 (5p)

2 3

9 (5p)

36 cm2 (5p)

75 cm3 (5p)

4 (5p)

2

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (3p); Notaţie (2p) 1. Desen 2. 3 CD-uri şi îi mai rămâne rest 7 lei. 3. a) 20%. b) 20% · x = 52 Þ x = 260 km (lungimea drumului) 4. m (6; 6; 9) = 7 m (6; 6; 9; 9) = 7,5 Þ media 8, deci o notă de 9 îl ajută. 5.

x 2 + 2 x − 3 ( x + 3)( x − 1) = x2 + 6x + 9 ( x + 3) 2

\( x + 3)

=

x −1 x+3

(5p) (3p) (2p) (2p) (3p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) BCD este un triunghi dreptunghic isoscel cu m(BCD) = 90 T .P.

(din proprietăţile pătratului) ⇒ BD = x 2 Þ DC = x PABCDE = 3 x 2 + 2 x = x(3 2 + 2)

(2p) (1p) (2p)

b) AABDE = 3200 m2 10% · 3200 m2 = 320 m2 (cărări) Aculturi = 3200 m2 − 320 m2 =2880 m2.

(2p) (2p) (1p)


245

40 ⋅ 2880 = 1152 m2 (suprafaţa semănată cu ardei) 100 16 lei − 10 lei = 6 lei (profit pe 1 m2 cultivat cu ardei) 1152 · 6 = 6912 lei (profit în urma culturii de ardei) 2. a) Acapac = (L + 1 cm) · (l + 1 cm) = 2501 cm2 c)

(2p) (1p) (2p) (5p)

b) V paralelipiped = L · l · h = 72000 cm3

(5p)

c) V apă = 60 l = 60 dm3 = 60000 cm3 V apă = 40 cm · 60 cm · x Scrie ecuaţia: 60000 = 2400 · x Þ x = 25 cm

(2p) (2p) (1p)

Testul 48


2. 0; 7; 14 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (3p); 1. Desen

3. 0; 1; 2 (5p)

Notaţie

4. 50º (5p)

5. 5 cm2 (5p)

6. 113 lei (5p)

(2p)

60 ⋅15 = 9 (fete). 100 15 băieţi + 9 fete = 24 elevi. 3. a) msemestru = 7,625 Þ media 8. 2.

(3p) (2p) (2p)

b) msemestru = 7,70 Þ media 8. Nu i-ar mări media. 4. Numerele care verifică sunt: 4 şi 1,5 5. f ( x) = g ( x) ⇒ x = 2; y = f (2) = 1 ⇒ G f ∩ Gg = A(2;1)

(3p) (5p) (3p) (2p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) A laterală a casei = 2(L · h + l · h) = 72 m2 A uşă = 4,4 m2 , Ageam = 1,8 m2, 3 · Ageam = 5,4 m2 A suprafeţei zugrăvite = 72 m2 − 9,8 m2 = 62,2 m2 b) 62,2 · 35 = 2 177 lei (pentru zugrăvit) c) Aacoperiş = 64 m2 64 · 24 = 1536 (numărul de ţigle necesare schimbării) d) V casei = 96 m3 V încăpere neîncălzită = 7,5 m3 V încălzit = 96 m3 − 7,5 m3 = 88,5 m3 e) Cum se vând doar la 4,5 m Þ pentru laturile triunghiurilor ce reprezintă bazele prismei, trebuie 6 grinzi iar pentru muchiile laterale ale prismei, câte două grinzi pentru fiecare Þ 6 grinzi În total sunt necesare 12 grinzi 246

(4p) (3p) (3p) (5p) (3p) (2p) (2p) (2p) (1p) (2p), (2p). (1p).



2. 2 lei

3. 3

4. 1

5. 20%

6. 54 dm2

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (5p) 1. 48 : 2 = 24 case cu numere pare (3p); A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2} (2p). 2. −5 < x ≤ 2 3. 2 · 10 + 3 · 12 = 56 (lei în total plătiţi) (3p); 56 : (2 + 3) (1p); Finalizare: 11,20 lei(1p). 4. Pentru x = 2 Þ 0 = 0 (A) (1p); pentru x = 3 Þ −2 = 0 (F) (1p); pentru x = 5 Þ 0 = 0 (A) (1p); Finalizare: 2 Î S şi 5 Î S (2p); 5. a) m(ADC) = 120º (1p); AM = 6 cm (2p); AMCD paralelogram (1p); m(CMB) = 60º (1p) b) m(B) = 60º (2p); ΔCMB echilateral (1p); CM = 6 cm (1p); Finalizare PAMCD = 24 cm (1p) SUBIECTUL III (30 puncte) 1.

a)

m (A )

m (B )

m (C )

m (D )

360 1 2 5 4 12 Finalizare: m(A) = 30º, m(B) = 60º, m(C) = 150º, m(D) = 120º, =

=

=

=

b) m(A) = m(CMB) = 30º (coresp.) Þ m(MCB) = 90º A MCB =

MC ⋅ BC 2

Finalizare A MCB =

(1p); BC = 9 3 cm2 2

MB = 3 cm (1p); MC = 3 3 2

(2p) (1p) (1p); (1p)

( MC + ND) ⋅ MN 2 fie DP ^ MC, P Î MC, Þ DP = 3 cm

c) DCMN trapez Þ A DCMN =

(3p)

(2p); MN = 3 cm

(1p) (1p)

15 3 2 cm .(1p) 2 2. a) Desenează un tetraedru (3p); Desenează corect un tetraedru regulat (1p); Notează corect. (1p) în ΔDPC: PC = 3 cm Þ MP = 2 3 cm = DN (1p); Finalizare: A DCMN =

b) Atotală = 4 · ABCD (1p); ABCD = Aîmbinărilor = c) V =

l2 3 Þ ABCD = 32 3 cm2 (1p); Atotală = 128 3 cm2 (1p) 4

10 · 128 3 cm2 = 12,8 3 cm2 (1p); Acartonului = 140,8 3 cm2 100

(1p)

16 3 512 3 Abazei ⋅ h (2p); h = cm (1p); Finalizare: V = cm (1p); C = 0,171 l(1p). 3 3 3


247


2. 203000

3. 80000 m2

4. 50º

5. 42

6. 200 km

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) Notează corect (1p) 1. Desenează corect prisma (4p); 2. 15% din 200 lei (2p); Calculat: 30 lei scumpirea (1p); 200 lei + 30 lei = 230 lei preţ final(2p) (2p); 3. f(1) = 3, f(7) = 9 (2p); Reprezentarea corectă a punctelor A(1; 3), B(7; 9) Desenarea corectă a segmentului care reprezintă graficul funcţiei (1p) 4. a) (3x − y) (y + 3x) = (3x − y) (3x + y) (2p); Finalizare: 9x2 − y2 (3p) b) 3x − 6 ≤ x + 6 (2p); 2x ≤ 12 (1p); x ≤ 6 (1p); Finalizare: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (1p) 5. a) Diagonala bazei = 6 cm şi înălţimea paralelipipedului = 6 cm. (1p) (2p) Formula diagonalei bazei: d = l 2 (1p); Finalizare: l = 3 2 cm. (1p); Formula ariei bazei: Abază = l2 b) Formula volumului: V = Abază · h Calcul: Abază = 18 cm2 (2p); Finalizare V =108 cm3 (1p) SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) d(D; A) = DA (1p); ΔAOT echilateral (1p); OA = a Þ EA = 2a (1p); în ΔDOA: DA =

a 7 (2p) 2

b) Justificarea unghiului (1p) Calcularea celeilalte catete sau a ipotenuzei în ΔDOF , unde F mijlocul laturii (AT) (1p) Aflarea unei funcţii trigonometrice a unghiului DFO (2p); Finalizare: 45º. (1p) c) ON este linie mijlocie în ΔEMA (1p); ON || ME; ME ⊥ ET Þ ON ⊥ ET DO ⊥ (MATE) Þ DO ⊥ ET (1p); ET ⊥ (DON) (1p); Finalizare (SET) ⊥ (DON)

(1p); (1p);

d) OB este linie mijlocie în ΔMTD (1p); OB || DM Þ OB || (MED) ON || ME Þ ON || (MED) (1p); Finalizare (NOB) || (MED) 2. a) m = 10 · 210 g = 2100 g = 2,1 kg (3p); 1 dm3 = 1 kg ⇒ V = 2,1 dm3. b) V = Ab · h; Ab = 600 cm3 = 6 dm2 (2p); Finalizare: h = 0,35 dm = 3,5 cm.

(2p); (1p) (2p) (2p)


2. 4 (5p)

3. 30 cm (5p)

4. 50 minute (5p)

5. 6 ore (5p)

6. 8 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect piramida triunghiulară patrulateră regulată (4p); Notează corect (1p) (2p) 2. 120 lei : 2 = 60 lei (al doilea produs) (3p); 160 lei + 60 lei = 220 lei (total) 248


3. 40  a; 28  a (1p); a este divizor comun al numerelor 40 şi 28 a Î {1, 2, 4}. Pot fi 1, 2 sau 4 copii. 4. A = L · l Þ A = 24 cm2 (2p); P = 2(L + l) Þ P = 20 cm

(1p); (3p)

5. a) A(a; 25) Î Gf Þ f(a) = 25 (2p); (a + 1)a + 5 = 25 (2p);

(1p)

(3p)

Finalizare a = 4

b) a = 4 Þ f(x) = 5x + 5 (1p); Aflarea coordonatelor unui punct al graficului; aflarea coordonatelor celui de-al doilea punct al graficului. Reprezentarea corectă în sistemul de axe perpendiculare a punctelor Finalizare: trasarea graficului.

(1p) (1p) (1p) (1p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Formula ariei triunghiului echilateral (2p); b) ABMP =

1 · ABAP (2p); 2

ABAP =

Calculul ariei ΔABC = 4 3 cm2

1 · AABC (2p); 2

Finalizare: ABMP =

(2p)

3 cm2

2. a) Fie a muchia cubului Þ în ΔABM: AM 2 = AB2 + BM 2 (1p); Calculat AM =

(1p)

a 5 (1p) 2

5a 2 (1p); Finalizare: a = 6 Þ AB = 6 cm(1p) 4 b) A'C'BD tetraedru regulat (1p); Latura tetraedrului este l = 6 2 cm (1p); Atotală = 4 · ABDC' (1p); ABDC' = 18 3 cm2 (1p); În ΔA'AM: A'M2 = A'A2 + AM2 (1p); 81 = a2 +

Finalizare: Atotală = 72 3 cm2. 2

(1p)

2

a 9a = 81 ⇒ = 9 ⇒ a 2 = 36 ⇒ a = 6 4 4 c) Fie M' mijlocul segmentului B'C' (1p); D'P ⊥ A'M' (1p); A'M' || AM Þ D'P ⊥ AM (1p); AA' ⊥ (A'B'C') Þ AA' ⊥ D'P (1p); Finalizare: D'P ⊥ (AA'M) (1p) D ′B ′ (1p); d) PQ este linie mijlocie în ΔA'B'D' Þ PQ || D'B'; PQ = 2 BD MN este linie mijlocie în ∆BCD Þ MN || BD; MN = (1p); 2 BD || B'D' Þ PQ || MN şi [BD] ≡ [B'D'] Þ [PQ] ≡ [MN]; (1p) MNQP este paralelogram (1p); Finalizare: MQ şi PN, fiind diagonale, sunt concurente (1p)

Testul 52 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 20 minute (5p)

2. 7 (5p)


3. 9 (5p)

4. 5 · 23 (5p)

5. 800 m (5p)

6. 30 (5p) 249

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează cercul şi notează centrul (2p); Desenează şi notează raza OC (1p); 2. P =

numar cazuri favorabile numar cazuri posibile

(2p);

Desenează şi notează diametrul AB Desenează şi notează coarda MN. 1 x (1p); = 6 24

Finalizare: x = 4

(1p); (1p) (2p)

(2p); (a + x) + (b + x) = 29 (2p); Finalizare: x = 5 (ani)(1p) 3. a + b = 19 4. 1232 m · 2 = 2464 m (sârmă folosită) (2p); 2464 m · 0,20 lei/m (2p) ; Finalizare: 492,80 lei(1p) 5. a) E(1) = 14 −2 · 13 + 2 · 12 − 2 · 1 + 1 (2p); Finalizare: E(1) = 0; (3p) b) N = x2 (x2 − 2x + 1) (2p) ; N = x2 (x − 1)2 (2p); x2 ≥ 0, (x − 1)2 ≥ 0 Þ N ≥ 0 pentru x Î (1p) SUBIECTUL III (30 puncte) 60 · b (2p); a · 100 = b · 60 (1p); a · 5 = b · 3 100 5 > 3 Þ a < b Þ a şi b sunt invers proporţionale cu 5 şi 3

1. a) a =

(1p); (1p)

3b 3b (1p); 2 · + 5b = 310 (1p); 6b + 25b = 1550 (1p); Finalizare: b = 60, a = 30(2p) 5 5 (4p); Notează corect (1p) 2. a) Desenează corect prisma (1p); b) Scrie formula Atotală = Alaterală + 2 · Abazei; Scrie formula Alaterală = Pbazei · h b) a =

l2 3 (1p); 4 Calculează Abazei = 144 3 cm2 (1p); Finalizare: Atotală = (864 + 288 3 ) cm2 (1p); c) Justificarea faptului că H este piciorul perpendicularei din A pe (A'BC) se află pe A'M, M fiind mijlocul (BC) (1p); A′A · AM (1p); AM = 12 3 cm (1p); A'M = 24 cm (1p); AH = 6 3 cm (1p) AH = A′M Calculează Alaterală = 864 cm2 (1p); Scrie formula Abazei =

d) În planul (AA'; BB'), fie A'D || AB', D Î AB Þ sin(m(AB'; A'C)) = sin(m(DA'C)) (2p); AB'A'D este paralelogram Þ DA' =AB' = 12 5 (1p); m(BCD) = 90º, DC = 24 3 (1p); 2 15 Finalizare: sin(m(DA'C)) = (1p) 25

250



2.

3.

4.

5.

6.

1,1

196 lei

6 lei

3

160 m

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

3 10 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează un cilindru circular drept Respectă cerinţa ca secţiunea axială să fie pătrat 2. a) (2x − 1)(3 + x) = 6x + 2x2 − 3 − x 6x + 2x2 − 3 − x = 2x2 + 5x − 3 b) (x − 2)2 = x2 − 4x + 4 (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 Calculează membrul stâng: −x2 − 14x + 5 (1p); Obţine 2x2 + 5x − 3 = 0 1 Finalizare: x1 = , x2 = −3 2 3. D = V · t 150 km = V · 2h Finalizare: V = 75 km/h 4. a) f(x) = ax + b (1p); f(1) = 2 Þ a + b = 2 (1p); f(5) = 6 Þ 5a + b = 6 Rezolvarea sistemului: a = 1, b = 1 (p); Finalizare: f :  → , f(x) = x + 1 b) f(3) = 3 + 1 (3p); f(3) = 4 5. 1 500 lei − 1 200 lei = 300 lei (reducerea) p · 1500 = 300 (2p); Finalizare: p = 20% 100

(3p) (2p) (3p) (2p) (1p) (1p) (1p); (1p) (2p) (2p) (1p) (1p); (1p); (2p) (2p) (1p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) EF este linie mijlocie în ∆ BDC

(2p);

EF || BD, EF ⊥ DC Þ BD ⊥ DC (3p)

b) AABCD = AABD + ABDC (1p) ; ∆ABD: BD =15 cm (1p); AABD = ABDC = c) AFCE =

AB · AD = 54 cm2 (1p) 2

BD · DC = 150 cm2 (1p); Finalizare AABCD = 204 cm2 2

(1p)

BD FE · EC (2p); FE = Þ FE = 7,5 cm (2p); Finalizare: AFCE = 37,5 cm2 (1p) 2 2

2. a) Folosind desfăşurata suprafeţei laterale: Al = Pb · h (2p); Pb = 640 cm. Finalizare: Al = 64 000 cm2. b) V = Ab · h pentru fiecare paralelipiped dreptunghic. Pentru paralelipipedul mare: Ab mare = 10 000 cm2; Vmare = 1 000 000 cm3. (2p) Pentru paralelipipedul mic: Ab mic = 4900 cm2; Vmic = 490 000 cm3 (2p). Finalizare: V = 1 490 000 cm3. Finalizare: m = 11,622 t. c) V = 1,49 m3 (2p); m = 1,49 m3· 7,8 t/m3 (1p). Răspunsuri, rezolvări, bareme

(2p) (1p)

(1p) (2p) 251


2. 55°45'

3.

4. 4 2

5. 5

6. 33

4 3

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desen prismă. 2. 252 : 3 = 84 timbre are Irina. 252 – 84 = 168 timbre mai are Daniel.

(5p) (3p) (2p)

a b c = = = k ; a = 2k, b = 3k, c = 5k; 5k – 2k = 36 Þ 3k = 36 Þ k = 12. 2 3 5 b = 3 · 12 = 36 b) 40% 4. (x + 2)2 – 9 = 0 Þ (x + 2 – 3)(x + 2 + 3) = 0 Þ (x – 1)(x + 5) = 0 x = 1; x = –5 sunt soluţii ale ecuaţiei. 5. x2 + 6x + 9 – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + 3 – y)(x + 3 + y).

3. a)

(4p) (1p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) AABC =

AB ⋅ AC x ⋅ 6 3 = = 3 x 3 m2. 2 2

b) O mijlocul lui [BC] Þ [AO mediană Þ AAOC =

(5p) AABC 3x 3 . ⇒ AAOC = 2 2

(5p)

c) m(  A) = 90° şi [AO mediană Þ BC AO = ⇒ BC = 2 x ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ 4 x 2 = 108 + x 2 ⇒ 3x 2 = 108 ⇒ x = 6 .(5p) 2 1 ⋅ AABC , AABO = AAOC , 2 1 1 3 = AABC + AABC = AABC 4 2 4

d) Dacă x = 6, atunci triunghiul ABO este echilateral Þ AABO = 1 1 AABR = AARO = AABO = AABC Avem AARC = AARO + AAOC 2 4 AARC  3  1  Prin urmare =  AABC  :  AABC  = 3 AABR  4  4  2. a) AO ⊥ ( BCD) ⇒ AO ⊥ OM ; OM ⊂ ( BCD)

OM = AM 2 - OA2 = 25 -16 = 3 dm PB ⋅ a p BC 3 OM = Þ BC = 6 3 dm. Al = = 45 3 dm2; 2 2 BC 2 ⋅ 3 108 3 AB = = = 27 3 dm2. (3p) B 4 4 2 At = Al + AB = 72 3 dm . (2p)

252

(5p) A

D O C

M


AB ⋅ h = 36 3 dm3. 3 Da, pentru că 61 = 3721 < 3888 = 36 3 .

b) VABCD =

(3p) (2p)


2. 3 (5p)

3. 55° (5p)

4. 4 (5p)

5. 9x + 8y (5p)

6. 57 elevi (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 40 : 5 = 8 kg mere în lădiţă Þ 40 + 8 = 48 kg mere. 3. a) 1087 = 45 · 24 + 7 = 36 · 30 + 7 = 60 · 18 + 7, deci îndeplineşte condiţiile date. b) a = 24 · c1 + 7; a = 30 · c2 + 7; a = 18 · c3 + 7 a − 7 = 24 ⋅ c1

(5p) (5p) (5p)

a − 7 = 30 ⋅ c2 ⇒ a − 7 ∈ [24; 30; 18]

a − 7 = 18 ⋅ c3 a – 7 є M360 = {360; 720; 1080} Þ a = 367; 4.

a = 727;

a = 1087.

(5p)

f (−2) = −2a + b = −4 ⇒ 3a = 9 ⇒ a = 3, b = 2 ⇒ f ( x) = 3 x + 2. f (1) = a + b = 5

(5p)

5. x3 + 2x2 – x – 2 = x2 (x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x2 – 1) = (x + 2)(x – 1)(x + 1).

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) PAEFG = 2(10 + x + 7 + x) = 2(17 + 2x) = 34 + 4x.

(5p)

b) AAEFG = (10 + x)(7 + x) = 70 + 17x + x2. GE2

AG2

AE2

152

x)2

(5p) x)2

= + Þ = (10 + + (7 + Þ 225 = 100 + 20x + x2 + 49 + 14x + x2 Þ x2 + 17x – 38 = 0 x2 + 19x – 2x – 38 = 0 Þ (x + 19)(x – 2) = 0 Þ x = 2. d) AABCD = 70 m2. ABEFGD = 12 · 9 – 70 = 108 – 70 = 38 m2. 70 : 10 = 7 kg de vopsea albă. 40: 10 = 4 kg de vopsea crem. 11 · 11 = 121 lei. 2. a) At = 2(AABCD + ABCC'B' + ACDC'D') m(D ′B, ( ABC )) = m(D ′BD) = 30° ⇒ D ′B = 20 m Þ c)

(5p)

A' ⇒ DB = 10 3 m. 2 2 2 Cum m(DAB ) = 90° ⇒ AB = DB − AD ⇒ AB = 5 11 10 ⇒ AABCD = 25 11 m2;

ABCC'B' = 50

(

m2;

ADCC ′D′ = 50 11

)

Þ At = 50 2 + 3 11 m2. Răspunsuri, rezolvări, bareme

cm2

(5p)

D'

C'

Q

B'

D

C 5

A

B

(5p) 253

b) d(C , AC ′) = CQ ⇒ CQ =

AC ⋅ CC ′ AC ′

AC ′ = 100 + 300 = 20 m ⇒ CQ =

10 3 ⋅10 = 5 3 m. 20

(5p)


2. {5}

3. –998

4. 6

5.

6. (0; 2)

15 2

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p) SUBIECTUL II (30 puncte) (5p) 1. Desenează corect. Notează corect. (5p) 2. 3 · 7 = 21 băieţi Þ 21 + 7 = 28 elevi. 3. 80% · 25 = 20 lei după ieftinire. 23 – 20 = 3 lei diferenţa p 2300 = 115 ; 115% – 100% = 15% reprezintă noua scumpire. (5p) 20 = 23 ⇒ p = 100 20 1 1 3a a − 4 ⇒ f (a ) = 2a − 13 ⇒ a − 4 = 2a − 13 ⇒ = 9 ⇒ a = 6 . 2 2 2

4.

f (a) =

5.

(x + y )2 = x 2 + 2 xy + y 2 = 4 − 2

(5p)

3 + 2 16 − 12 + 4 + 2 3 = 8 + 2 4 = 12 .

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 4

1. a) CN ⊥ AD ⇒ ND = 100 − 64 = 6 m. ACMD =

MD ⋅ CN ( x + 6) ⋅ 8 = = 4( x + 6) (5p) 2 2

b) AN = AD – ND = 22 – 6 = 16 m. ( BC + AN ) ⋅ CN (10 + 16) ⋅ 8 = = 26 ⋅ 4 = 104 m2. AABCN = 2 2 c) ABCM - romb Þ BC = AM = 10 Þ MD = 22 – 10 = 12 m; ND = 6 Þ MN = 6 d) PABCD = 10 · 3 + 22 = 52 dam = 520 m. 5,5 · 520 = 2860 lei preţul pentru sârmă. 26 stâlpi · 12 lei = 312 lei. 2860 + 312 = 3172 lei. l 3 6 2⋅ 3 ⇒ VO = = 3 6 m. 2 2 AB AC = l 2 ⇒ AB = 6 m; OM = = 3 m. 2 P VO ⊥ ( ABC ) ⇒ VO ⊥ OM ⇒ VM = 54 + 9 = 63 = 3 7. OM ⊂ ( ABC ) Pb ⋅ a p 6 ⋅ 4 ⋅ 3 7 Al = = = 36 7 m2. (5p) 2 2 A

254

D

(5p)

(5p)

V

2. a) ∆VAC echilateral ⇒ VO =

(5p)

E C M

O B


AO ⊥ DB ⇒ AO ⊥ (VBD) AO ⊥ VO

b)

PE ⊥ VO ⇒ PE  AO ⇒ PE linie mijlocie ⇒ PE = AC = 6 2 ⇒ PE =

1 6 2 ⋅ AC = = 1,5 2 m. 4 4

2.

(5p)

(5p)

(5p)

Testul 57

SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 14

AO 2

1 7

3. 3 ore

4. 20

5. 432 cm3

6. 18 elevi

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. a = 4b; 4b + b = 500 Þ b = 100 t porumb; a = 4 · 100 = 400 t porumb. 6 x + 6 y = 48 a = 6⋅ x Þ (x; y) = 1. x+ y =8 b = 6⋅ y Cazul 1) x = 1; y = 7 Þ a = 6; b = 42 Cazul 2) x = 3; y = 5 Þ a = 18; b = 30

(5p) (5p)

3. a) a + b = 48;

b)

(5p)

b 42 = = 7 . Da, raportul poate fi 7. a 6

4. f(0) = 2; f(–2) = 4; f(1) = 1; f(5) = 3. A(0; 2); B(–2; 4); C(1; 1); D(5; 3)

(5p) y

B

D

(5p) A O

5.

( x − 3) 2 + 2( x − 3) + 1 x2 − 4

=

(x − 3 + 1)2 (x − 2 ) 2 x−2 = = . (x − 2 )(x + 2 ) (x − 2 ) (x + 2 ) x + 2

C 1

5x

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) AACD =

200 ⋅ x = 100 x . 2

b) AABCD =

(5p)

AC ⋅ BD 200 ⋅ 40 = = 4000 dam2 = 400 000 m2 = 40 ha. 2 2

c) m(EAD) = 60° ⇒ ∆ACD echilateral ⇒ ED = Răspunsuri, rezolvări, bareme

l 3 = 100 3 dam. 2

(5p) (5p) 255

d) 40 · 3000 = 120 000 = 120 t grâu. 2. a) AACPM =

( AC + MP )⋅ OO′ 2

(5p) 9

=

80 2 ⋅ 18 = 720 2 m2. 2

AC = 30 8 = 60 2 m; MP = 10 8 = 20 2 m.

(5p)

1

b)

20 2 VO ′ MP VO ′ ⇒ 3VO ′ = VO ′ + 18 ⇒ VO ′ = 9 m. = ⇒ = VO AC VO ′ + 18 60 2 3 400 ⋅ 9 MP = l 2 ⇒ MN = 20 Þ AMNPQ = 400 m2; VVMNPQ = = 1200 m3. 3

Testul 58

SUBIECTUL I (30 puncte) 1. –4 (5p)

2. 7 (5p)

3. x є (1; +∞) (5p)

4. 110° (5p)

5. 216 (5p)

6. 4% (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2.

(5p)

1 ⋅ x = 150 km Þ x = 450 km. 3

3. a)

3(a − 3) + a − 3b = 0 3 ∉

{

⇒

(5p)

a=3 a −3 = 0 ⇒ b =1 a − 3b = 0

(5p)

}

b) B = - 27; 5 4.

(5p)

(5p)

1 1 1 f (1) = 2 − ; f (2) = 2 ⋅ 2 − , ..., f (10) = 2 ⋅10 − 5 5 5 1 1 1 1 f (1) + f (2) + .... + f (10) = 2 − + 2 ⋅ 2 − + .... + 2 ⋅10 − = 2(1 + 2 + 3 + .... + 10) − 10 ⋅ = 5 5 5 5 10 ⋅11 = 2⋅ − 2 = 110 − 2 = 108. (5p) 2

5. x4 – 256 = x2 – 162 = (x2 – 16)(x2 + 16) = (x – 4)(x + 4)(x2 + 16).

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) BC = 4 m; AC = 64 − 16 = 4 3 . 2 b) Centrul cercului circumscris este O - mijlocul ipotenuzei BC (5p) BO = = 4 m. 2 AB = BO = 4 m ∆ABO − echilateral BO ⇒ ⇒ DO = = 2 m. m(ABO) = 60° AD ⊥ BO 2 B

1. a) m(ACB) = 30° ⇒ AB =

256

(5p) A

D

O

C


c)

d)

DE  AB m(DEC ) = 90° DC 6 ⇒ ⇒ DE = = = 3 m. m(BAC ) = 90° m(C ) = 30° 2 2 AC = 2 3 m. CE = 36 − 9 = 27 = 3 3 m; AD = 2

(5p)

AD ⋅ DC 2 3 ⋅ 6 = = 6 3 m2 A 6 3 3 2 2 ⇒ ADC = = . AABC 8 3 4 AB ⋅ AC 4 ⋅ 4 3 2 = = =8 3 m 2 2

AADC = AABC

(5p)

l 3 2l 3 ⇒2 3= ⇒ l = 6 dam. 3 2 3 A' O' 2L 3 M' OC = ⇒ L = 9 dam. 3 2 B' C ′P ⊥ OC ⇒ PC = 3 dam ⇒ C ′P = 147 − 3 = 12 ⇒ OO′ = 12. C ′P = 147 − 3 = 12 ⇒ OO ′ = 12. dm 2. a) O ′C ′ =

3 9 579 579 A ⇒ B ′R = 147 − = = . 2 4 4 2 M (PB + Pb )⋅ at 579 1 45 Al = 579. = 3 ⋅ (9 + 6 )⋅ ⋅ = (5p) 2 2 2 4 B ′R ⊥ AB ⇒ BR =

C'

O P B

I AB + Ab + AB × Ab 3 L2 3 81 3 ; A = 36 3 = 9 3 dam2. AB = = b 4 4 4 2)  81 3 4) 9⋅3 3  81 3 + 36 3 + 54 3 Vtr = 4  + 9 3+ = 171 3 dam3.  = 1 4 ⋅ 4 2 4 1  

b) Vt =

(

C

)

(5p)


2. 30 lei (5p)

3. A ∩ B = {4; 7} (5p)

4. 20π (5p)

5. 256 mm2 (5p)

6. A (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 5 + 6 + x = 21; x = 10. 3. a) 100 · 12 = 1200 paşi; 1200 · 50 = 60 000 cm = 600 m (perimetrul grădinii). b) l = 600 : 4 = 150 m (latura pătratului) Þ A = 1502 = 22 500 m2. 4. x + 2. 5. P (2; –2).

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)


257

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) m(  D) = 120°; ∆ ADC isoscel, m(  DCA) = 30°, deci m(  ACB) = 90°; (5p) b) ∆ ABC dreptunghic, [CM] mediană, deci [CM] ≡ [AM] ≡ [MB], ∆ CMB echilateral. Deci [CM] ≡ [AM] ≡ [DC] ≡ [AD], DM ⊥ AC (diagonalele rombului). (5p) (5p) c) triunghiul PAB echilateral, PPAB = 30 cm. 2. a) Vprismă = Ab · h; Ab =

L2 3 9 3 9 3 27 3 = ⋅6 = ; Vprismă = dm3. 4 2 4 4

(5p)

b) Vpiramidă = Ab ⋅ h = 9 3 ⋅ 6 = 9 3 dm3. 3 4 3 2

(5p)

27 3 9 3 − = 9 3 dm3 (volumul noii prisme triunghiulare). (5p) 2 2 V1 = Ab1 ⋅ h1 = 9 3 dm3  2  ⇒ Ab1 = 9 3 dm . h1 = 1 dm  2 l 3 Ab1 = ⇒ l1 = 6 dm (latura bazei prismei obţinute). (5p) 4

c) Vprismă – Vpiramidă =

Testul 60 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. –1 (5p)

2. 3 (5p)

3. –18 (5p)

4. 120° (5p)

5. –2 (5p)

6. 150 (5p)


a + b = 95   ⇒ 4b = 80 ⇒ b = 20 ⇒ a = 75 a = 3b + 15

2. A = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3}; B = {±1}; A ∩ B = {±1} 3. 5 lei un caiet şi 2 lei un pix. 4. 5 m .............................2h 48' = 168' x m..............................1h 45' = 105' Mărimi invers proporţionale Þ 5 · 168' = x · 105' Þ x = 8 muncitori 5. 3a – 5 = a – 2 Þ a = 6. 258

E ( x) =

x + 10 ; x = 5. 3

3 . 2

(5p) (5p) (5p)

(5p) (5p) (5p)


SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Asală = 24 · 15 = 360 m2 b) Aparchet = 25 · 8 = 200 cm2 (aria unei bucăţi de parchet); 360 m2 = 3 600 000 cm2. 3600 000 : 200 = 1800 bucăţi de parchet. c) A = 192 = 361 m2 (aria pătratului) 361 m2 – 360 m2 = 1 m2 = 100 dm2. 2. l2 3 ⇒ l = 6 ; CO = 2 3 cm a) At = 4 ⋅ A ABC = 9 3 = 4 triunghiul AOC dreptunghic în O Þ AO = 36 − 12 = 2 6 cm = h 1 b) V = ⋅ Ab ⋅ h = 18 2 cm3. 3

(5p) (5p) (5p)

(5p) (5p)

c) Notăm d(M,(ABC)) = x 1  VMABC = ⋅ VABCD = 9 2   2  ⇒ x = 6 ⇒ d( M , ( ABC )) = 6 cm. ⋅x A  VMABC =  ABC  3

(5p) (5p)


2.

3.

x є {2; 8}

(5p)

(5p)

p=

4. 5 6

(5p)

4 2

5. 6

6. AABCD = 160 cm2

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) Notează corect. 1. Desenează corect. 65 x = 3 2. 2104 = 25613  104 65 104  ⇒ 2 > 3 ⇒ x ∉ (2 ; ∞) 65 13 3 = 243  3. Notăm cu x numărul de persoane şi cu y preţul obiectului. 25x = y – 50; 35x = y + 4; x = 9 persoane; y = 275 lei preţul obiectului. 4. a) f (1) = 4 ⇒ m = b) f ( x) = x +

3 2

9 3 ; A = m2. 8 2


(1p) (5p)

(5p) (5p) (5p) 259

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. Al = 2 · (8,5 · 1,2 + 6 · 1,2) = 34,8 m2 10 l ..........................50 m2 x l ............................34,8 m2 x 10 = ⇒ x = 6,96 l. Mărimi direct proporţionale Þ 50 34,8

(5p)

(5p)

2. a) 46 · 440 = 20 240 cărămizi. b) V = 6 · 12 · 24 = 1728 cm3 = 0,001728 m3 (volumul unei cărămizi) 20240 · 0,001728 = 34,97 m3  35 m3 (volumul cărămizilor) c) Vzidărie = Vcărămizi + Vmortar Vmortar = 46 m3 – 35 m3 = 11 m3 (volumul mortarului) d)

(5p) (5p) (5p)

p 1100 ⋅ 46 = 11 ⇒ p = = 23,91 ⇒ p  24% . 100 46

(5p)

Testul 62 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. –1,75; (5p)

9 10

2. 45'

3. 18 băieţi

4. 75°

5. 20 dm3

6. 6 cm

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) Notează corect. (1p) 1. Desenează corect. (5p) 2. 15 ianuarie 1850. 3. x < 200, x = 6 · C1 + 3; x = 7 · C2 + 3; x = 8 · C3 + 3. x – 3 este multiplu comun al numerelor 6, 7, 8. x – 3 є M168 = {0; 168; 336; ...........} dar x < 200 Þ x – 3 = 168 Þ x = 171 copii. (5p) 4. a 5 a b a+b 8⋅ a = ⇒ = = ⇒ a+b = (5p) b 3 5 3 8 5 a 5 5 8a = a = 5 + ⋅ (a + b) ⇒ a = 5 + ⋅ ⇒ a = 45 cm, b = 27 cm. (5p) b 9 9 5 5. 4x + 12 – (x + 12 + 2x – 2) = 4x + 12 – 3x – 10 = x + 2. SUBIECTUL III (30 puncte) 1. AB - lungimea teleski-ului BD = 1500 – 900 = 600 m; AB = 800 m; BC = 300 m; AC = 500 m. AC CE 500 CE  ACE ∼ ABD ⇒ = ⇒ = ⇒ CE = 375 m (5p) AB BD 800 600 Cabana se găseşte la 900 + 375 = 1275 m deasupra nivelului mării. (5p) A 260

(5p)

C

E

B

D


2. a) AC = 1156 − 900 = 16 m.

(5p)

DE BD = AC BA 2x + 2y = 34,8 Þ x + y = 17,4 Þ y = 17,4 – x y 30 − x ; y = 14,4 m, x = 3 m. = 16 30

b) DE || AC ⇒ ∆BED ∼ ∆BCA ⇒

(5p)

c) Ab = x · y = 14,4 · 3 = 43,2 m2. d) V = Ab · h = 43,2 · 7,5 = 324

(5p)

m3

= 324 000

dm3

= 324 000 l.

(5p)


2. 0 (5p)

3. 5 (5p)

4. 32 m2 (5p)

5. 64 m3 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) Notează corect. 1. Desenează corect. 2. a + b = 21; (a + x) + (b + x) = 29; 2x + 21 = 29 Þ x = 4 ani. 3. a) a2 + a + 2ab + b + b2 = (a + b)2 = (a + b)2 + (a + b) = 25 + 5 = 30 b) x2 – y2 = 70 Þ

( x − y )( x + y ) = 70  14 =7  ⇒ x + y = 14 ⇒ M a = x− y =5 2 

6. 68 mm (5p)

(1p) (5p) (5p) (5p)

40 2 3 ⋅ x = x ; restul: x 100 5 5 1 1 1 3 5 1 ⋅ x + ⋅x = x al II-lea inginer: 20 1 5 4 3 100

4. I inginer:

al III-lea inginer: a)

3 1 7 x− x = x 5 4 20

7 35 x= x = 35% din proiect. 20 100 800 2 ⋅ 4000 = 1600lei 51 1 al II-lea inginer: ⋅ 4000 = 1000 lei 4 200 7 ⋅ 4000 al III-lea inginer: = 1400 lei. 201

(5p)

b) I inginer:


(5p)

261

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) L = 9 l; L + l = 10; 10 l = 10; l = 1 m; L = 9 m. b) A = L · l = 9 m2 = 900 dm2; 900 : 60 = 15 cutii de vopsea. c) Apătrat = Adreptunghi Þ Apătrat = 9 m2 Þ l = 3 m Þ P = 3 · 4 = 12 m.

(5p) (5p) (5p)

 l 2 3 36 3 = = 9 3 cm 2  3 2. a) (5p)  ⇒ V = Ab ⋅ h = 9 3 ⋅ 80 = 720 3 cm 4 4  h = 8 dm = 80 cm  4 ⋅ V = 4 ⋅ 720 3 = 2880 3 cm3 – volumul lemnului întrebuinţat pentru cele 4 picioare. (5p) b) Adreptunghi = 2 · 1,5 = 3 m2 de material Ab =

c) 3 · 35 = 105 lei – preţul materialului.

(5p)


2. 1

3. 1

4. 5

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

5.

6.

2 3

6 70

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. 2CD .......... 1 stick .......... 84 lei/·2 (1p); Þ 4CD .......... 2 stick .......... 168 lei 1CD .......... 2 stick .......... 117 lei 1CD .......... 2 stick .......... 117 lei 3CD = 51 lei Þ 1CD = 17 lei Þ 1 stick = 50 lei.

{

{

t + f = 48 2. Scriem sistemul  (2p) Þ f = 12 ani şi t = 36 ani. t = 3 f 3. a) f(x) = g(x) (1p) Þ x + 1 = −x + 2 (2p) Þ x =

1 3 şi y = 2 2

(2p) (2p) (3p) (2p)

b) S = (1 + 2 + ... + 2012) + 2012 − (1 + 2 + ... + 2012) + 2 · 2012 = 3 · 2012 =6036(5p) 4.

a b c 2a 5b 7c 2a + 5b + 7c 108 = = ⇒ (1p) = = ≡ = =2 2 3 5 4 15 35 54 54 de unde a = 4, b = 6 şi c = 10

5. E(0) = (−2 3 )2 + | 3 −1| = 12 + | 3 −1|.

(2p) (2p) (2p)

Partea întreagă a lui E(0) va fi [E(0)] = [12+| 3 −1|] = [12] + [| 3 −1|]= 12 + 0 = 12. (3p) SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Apotema bazei este: ab =

l = 6 cm. 2

Apotema piramidei este: ap = (ab ) 2 + h 2 = 10 cm. Pb ·a p Aria laterală a piramidei va fi: Al = = 240 cm2. 2 262

(2p) (1p) (2p)


b) Dacă notăm cu x distanţa de la vârf la planul de secţiune şi cu h înălţimea piramidei 3 v x V 1 x3 =   (2p). Cum v = , rezultă că = avem , de unde x = 43 4 cm. (3p) V h 2 2 83 Ab × h unde Ab = l2 = 144 cm2 reprezintă aria c) Volumul piramidei mari este V = 3 3 pătratului, deci V = 348 cm . Ştiind că 1 dm3 corespunde unei capacităţi de 1 l , obţinem V = 348 cm3 = 0,384 dm3 = 0,384l = 384 ml (5p) (2p), d) Dacă M este mijlocul muchiei AB, avem VO ⊥ OM, OM ⊥ AB rezultă din teorema celor trei perpendiculare că VM ⊥ AB, deci unghiul diedru dintre planele (VAB) şi (ABC) este VMO. (2p) VO 4 = În triunghiul dreptunghic VMO, m(VOM) = 90º, sin(m(VMO)) = (1p) VM 5 2. a) Lungimea fierului beton va fi: (3p) 4 · (L + l + h) + L + l = 38 + 7 = 45 m (2p) (1p) b) Suprafaţa de pânză S necesară este reprezentată de A + 10% A = 110% A, unde A reprezintă aria laterală a cortului plus aria acoperişului. 110 A = (L · l) + 2 · (L · h + l · h) = 47 m2 (2p) deci S = ·47 = 51,7 m2. (2p) 100


2. 1,75

(5p)

(5p)

3.

4.

 1 11   ,  7 7  (5p)

3 5 (5p)

5. 384

6. 440

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 2 x +1 Î  −{1}Þ 1 + Î  − {1} (2p) adică (x − 1) Î D2 = {−2, −1, 1, 2}, x −1 x −1 deci x Î {−1, 0, 2, 3}. (3p) 2. Din teorema împărţirii cu rest deducem: N = 24c1 + 10; N = 40c2 + 26; N = 50c3 + 36 (2p) Adunând 14 atât în membrul stâng cât şi în membrul drept obţinem: N + 14 = M24; N + 14 = M40; N + 14 = M50 (3p) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 24, 40 şi 50 este 600. Deci N = 600 − 14 = 586. 3. a) f(x) = g(x) (2p) Þ 2x − 1 = −2x + 3 (2p) Þ x = 1 şi y =1. (1p)

1.

b) S = 2 · (1 + ... + 2012) − 2012 − 2 · (1 + ... + 2012) + 3 · 2012 = 2 · 2012 = 4024.(5p)  xy = 1242 de unde x = 23, y = 54(5p) 4. Ţinând cont că 1242 − 324 = 918, scriem sistemul  ( x − 6) y = 918 5. E(0) = (2 3 )2 + | 3 − 1| = 12 + | 3 − 1|. (2p) Partea întreagă a lui E(0) va fi [E(0)] = [12+| 3 −1|] = [12] + [| 3 −1|]= 12 + 0 = 12. (3p) Răspunsuri, rezolvări, bareme

263

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Desenul corect al piramidei. (3p) Desenarea segmentului [VM]. b) VM = 8 cm c) AM =

(2p)

Al =

Pb ⋅ ap = 144 cm2 2

l 3 1 = 6 3 , OM = AM = 2 3 (3p) 2 3

d) Ab =36 3 cm2

(2p)

(2p)

V=

VO =

(3p) VM 2 − OM 2 =2 13 cm(2p)

Ab ×VO cm3. 3

(3p)

2. a) Dimensiunile celui de-al doilea dreptunghi determină lungimea şi lăţimea cutiei, L = 12 cm şi l = 6 cm, iar lăţimea primului dreptunghi determină înălţimea cutiei: h = 4 cm. (2p) Suprafaţa cutiei, (fără capac) va fi suma suprafeţelor celor două dreptunghiuri: (3p) S = 12 · 6 + 36 · 4 = 216 cm2. 3 (5p) b) V = L · l · h = 288 cm .

Testul 66 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 2. 2 2,25 (5p) (5p) SUBIECTUL II (30 puncte)

3. 9 (5p)

4. 16 (5p)

5. 14 (5p)

2 x + 3 y = 7 1. Înmulţind a doua ecuaţie cu 3 obţinem  9 x − 3 y = 15 Prin reducere deducem x = 2 şi y = 1. 2. Folosind metoda mersului invers adunând un 3 şi înmulţind cu 2 rezultă: 1 1  1    (3p) Repetând procedeul obţinem x = 90.    x − 3  − 3 − 3 = 6    2 2  2 3.

(3p) (2p) (2p)

1 1 a) Înlocuim întâi y cu 0 şi aflăm x = − , deci A(− , 0), 2 2 apoi pe x cu 0 şi aflăm y = 1, deci B(0, 1).

(5p)

b) Înlocuind pe x deducem: S = −2 · (1 + 2 + ... + 2012) + 2012 + 1 + 2 · (1 + 2 + ... + 2012) + 2012, de unde S = 4025.

(5p)

4. Notăm cu x numărul de zile. Relaţia devine 930 − 30x =

3 (1170 − 30x) deci x = 7 zile (5p) 4

5. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic verifică relaţia: d2 = L2 + l2 + h2 deci d2 = 450, de unde d = 15 2 cm. 264

6. 18 (5p)

(5p)


SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Realizarea corectă a piramidei.

Fixarea centrului bazei.

(3p);

(2p)

16·VO =48, 2 de unde înălţimea VO = 6 cm. (2p) Apotema piramidei VM unde M este mijlocul laturii

b) Fie M mijlocul laturii AD şi N mijlocul bazei BC. Aria secţiunii este

pătratului de la bază VM = ap = 10 cm, deci Al = 320 cm2. (3p) 2 3 (2p); V = 512 cm . (3p) c) Ab = 256 cm d) În triunghiul VOM, proiecţia lui O pe VM este notată cu T. (2p) VO ⋅ OM = 4,8 cm. Dar planul (VOM) este perpendicular pe planul (VBC)(2p) De aici, OT = VM deci OT coincide cu distanţa de la O la planul (VBC). (1p) 2. a) Dacă notăm cu N mijlocul laturii AD şi cu l muchia cubului avem în triunghiul (3p) dreptunghic MNP (MN ⊥ (ABCD)ÞMN ⊥ NP). 2 2l MP2 = MN2 + NP2, de unde l2 + =MP2 cu l = 10 cm. (2p) 4 AMNDD′ ⋅ DP 250 . = 3 3 2750 Volumul corpului rămas este cm3. 3

b) Vcub= l3 = 1000 (2p); VMNDD'P=

(2p) (1p)


2. 6 (5p)

3. 36 3 (5p)

4. 30 (5p)

5.

6.

2 (5p)

6 5 (5p)


n 2 + 4(n + 1) = n 2 + 4n + 4 = (n + 2) 2 pentru orice n є . =|n + 2| = n + 2 Î  pentru orice n Î .

2. Media geometrică a două numere a şi b este

a·b .

În cazul nostru mg = (5 − 2 6)(5 + 2 6) = 25 − 24 = 1 3. a) În triunghiul ABC avem m(A) = 90º şi AD ⊥ BC din teorema înălţimii AD2 = BD · DC, deducem AD = 6 cm. b) Din teorema lui Pitagora în triunghiul ABC rezultă AB = 2 13 cm AD 6 3 13 = = sin (m(ABC)) = sin (m(ABD)) = AB 2 13 13 Răspunsuri, rezolvări, bareme

(2p) (3p) (5p) (3p) (2p) (2p) (3p) 265

4.

b = 3 ⋅ f Din relaţiile date obţinem sistemul:  , b − 4 = 2 ⋅ ( f + 1) de unde obţinem f = 6 şi b = 18 Problema se putea rezolva aritmetic prin metoda grafică. 5. V = l3 = 8 m3 (2p) Ţinem cont că un volum de 1 dm3 are capacitatea de un litru. Cantitatea de apă va fi 8000 l.

(3p) (2p)

(3p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Realizarea corectă a piramidei (3p); Fixarea centrului bazei.

(2p)

VO , AC = 16 2 cm AO AO = 8 2 cm, de unde VO = 8 6 cm.

b) În triunghiul dreptunghic VOA, tg60º =

c) V =

(2p) (3p)

Ab ⋅ VO 2048 6 (1p) ; Ab = l2 = 256 cm (2p) de unde V = cm3 3 3

(2p)

VO · AO . VA Dar VA = 2 · AO = 16 2 cm, deci d(O, VA) = 4 6 cm

d) În triunghiul dreptunghic VOA , distanţa d(O, VA) =

(2p) (3p)

2. a) Diagonala cubului d = l 3 (2p) Þ d = 12 3

(3p)

b) Fie BD' o diagonală a cubului. În triunghiul dreptunghic BDD', l 3 . sin(m(D'BD)) = = d 3

(5p)


2.

3.

4.

5.

6.

{−5,0} (5p)

6 (5p)

30 3 (5p)

4 3 (5p)

−1 (5p)

−3 2 (5p)


 1  1 47 E (2) =  + − ⋅7 = 2 + 3 7(6 2 + 5)   2 +1   =  2 − 1 + 3 − 2 − 47 ⋅ (6 2 − 5)  ⋅ 7 = 1  1  7 7 ⋅ 47  

2. 2x − 1 = −5 Þ 2x = −4 Þ x = −2 2x − 1 = 5 Þ 2x = 6 Þ x = 3. Soluţie x = −2 266

(2p) (3p) (3p) (2p)


3. a) Din teorema lui Pitagora avem AB2 + AC2 = BC2 şi deducem AB =

84 112 cm şi AC = cm. 5 5

AB 3 = AC 4

(3p) (2p)

AB 3 4 = , cos(m(ACB)) = (2p) BC 5 5 24 sin (m(AMB)) = sin (2 · m (ACB)) = 2 · sin (m(ABC)) · cos (m(ABC)) = .(3p) 5

b) În triunghiul ABC, m(A) = 90º, sin(m(ACB)) =

 M = A + 80  4. Scriem sistemul  M A  M − 4 = A − 2

(3p);

De unde M = 160 lei şi A = 80 lei.

m( Aˆ ) m( Bˆ ) m(Cˆ ) 180 = 20º. = = = 1 2 6 9 Deci m(A) = 20º, m(B) = 40º, m(C) = 120º. SUBIECTUL III (30 puncte) 5. Din ipoteză:

1. a) Realizarea corectă a prismei.

(3p)

(2p)

(2p) (3p)

Desenarea secţiunii.

(2p)

b) Fie prisma ABCA'B'C' iar M şi M' mijloacele muchiilor [BC]şi [B'C']. Secţiunea AMM'A' are aria 12 3 = AM · MM', de unde AM = 3 3 cm şi latura triunghiului echilateral AB = 6 cm. Alaterală = Pb · AA' = 72 cm2. (5p) c) Abazei = 9 3 cm2. Volumul prismei este V = Ab·AA' = 36 3 cm3 d) În triunghiul dreptunghic AMA', avem tg (m(AMA')) =

AA′ 4 3 . = AM 9

(5p) (5p)

2. a) Se ştie că într-un triunghi dreptunghic cateta ce se opune unui unghi de 30º este jumătate din ipotenuză. Ducând înălţimea AD, măsura unghiului m(BAD) = 30º, deci AB = 2 · BD, iar în triunghiul dreptunghic ABC, m(A) = 90º, BC = 2 · AB = 4 · BD. (5p) b) BD = 4 cm, BC = 16 cm, AD = 4 3 cmÞ AΔABC = 32 3 cm2.

(5p)


2. De ex. 6 (5p)

3. 27 (5p)

4. 4 cm (5p)

5. 3,2 (5p)

6. 140 cm2 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) 1. Desenează corect. Notează corect. (1p) 2. 1 1 În prima zi s-au vândut ⋅ 72 = 24 kg; au rămas 48 kg. A doua zi s-au vândut ⋅ 48 = 24 kg 3 2 În magazin au rămas 24 kg. (5p) Răspunsuri, rezolvări, bareme

267

3. a) Numărul de elevi trebuie să fie multiplu de 6 şi multiplu de 8. Numărul 32 nu este multiplu de 6 Þ nu pot fi 32 elevi. (5p) b) Cel mai mic multiplu comun nenul al numerelor 6 şi 8 este 24 şi următorul multiplu (5p) comun este 48 care este mai mare decât 40 Þ sunt 24 elevi. 4. 20 80 ⋅ x = 120 ⇒ ⋅ x = 120 ⇒ x = 150 (5p) Fie x preţul înainte de ieftinire; x − 100 100 5. Se efectuează (2x – 3)2 – 16 = 4x2 – 12x – 7 şi (2x – 7)(2x + 1) = 4x2 – 14x + 2x – 7 sau (5p) se descompune (2x – 3)2 – 16 = (2x – 3 – 4)(2x – 3 + 4) = (2x – 7)(2x + 1) SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Sârma necesară are lungimea (12 + 6) · 2 · 5 = 180 m.

(5p)

b) Distanţa cea mai mare este diagonala dreptunghiului: AC = BD = 180 = 6 5 m. (5p) c) Aria suprafeţei rămase este 12 · 6 – 1 = 71 m2. (5p) d) AMPD şi DPNC sunt trapeze dreptunghice. Aria trapezului AMPD este (12 + 1) ⋅ 5 65 2 = iar aria trapezului DCNP este m . 2 2

(6 + 1) ⋅11 77 2 = m 2 2 (5p)

2. a) D ′D ⊥ ( ABC ), DE ⊥ AC ( E ∈ ( AC )) pe baza teoremei celor 3 perpendiculare D ′E ⊥ AC ⇒ distanţa de la D' la AC este D'E. În triunghiul DAC aplicăm teorema lui Pitagora şi obţinem AC = 356 m şi AD ⋅ DC 160 = DE = . În triunghiul D'DE, m(  D) = 90°. Folosind teorema lui AC 356 346000 346000 Pitagora D ′E 2 = D ′D 2 + DE 2 = m. (5p) ⇒ D ′E = 356 356 b) Acoperişul blocului are suprafaţa de 160 m2. Într-o zi un muncitor izolează 4m2 şi în 5 zile izolează 20 m2 Þ este nevoie de 160 : 20 = 8 muncitori. (5p)


2. De ex. 24 (5p)

3. 10 (5p)

4. 27 m3 (5p)

5. 3200 dm (5p)


6. 7,04 (5p)

(4p) (1p)

2. 30 000 g : 500 g = 60 (borcane)

(5p)

3. a) A (0; –5) şi B (1; –3)

(5p)

b) A (x, y) є Gf ⇔ f(x) = y; y = 3x ⇔ 2x – 5 = 3x ⇔ x = –5 Þ A (–5; –15) 268

(5p)


4.

a) E

( 2; 3 2 )= 2 +18 - 6

2 + 12 2 + 13 = 33 + 6 2

(5p)

b) E(x, y) = x2 – 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = (x – 3)2 + (y + 2)2 ≥ 0, pentru orice x şi y egale. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) În triunghiul ABC se aplică teorema lui Pitagora BC2 = 10 400, BC = 10400 < 102 deoarece 10 400 < 1022, deoarece 1022 = 10404. (5p) b) tg (m (CBA )) =

AC 1 = AB 5

(5p)

c)  DEB ∼CAB ⇒

BD DE 4 DE = ⇒ = ⇒ DE = 16 m. BC AC 5 20

(5p)

2. a) V = 20 · 1,5 · 1 = 30 m3. b) 3 muncitori lucrează în 10 ore

(5p) 1 din lucrare. Folosim regula de 3 simplă pentru cele 3

2 din lucrare: 3 3 muncitori ...................... 20 ore 2 muncitori ...................... x 3 ⋅ 20 x= = 30 . Cei 2 muncitori vor termina lucrarea în 30 ore. 2 c) V = 20 · l · x = 40 Þ x = 2 m Þ mai trebuie săpat 0,5 m = 50 cm.

(5p) (5p)


2. [1; 5) (5p)

3. 6 (5p)


4. 96 (5p)

5. 25 (5p)

6. 3 (5p)

(4p) (1p)

2 ⋅15 + 3 ⋅10 = 12 lei. (5p) 2+3 3. a) Atunci ar fi 35 de apartamente cu 2 camere, iar numărul total de camere ar fi 20 · 3 + 35 · 2 = 130 camere, fals. (5p) b) Fie x numărul apartamentelor cu 3 camere şi y numărul apartamentelor cu 2 camere. Se rezolvă sistemul: (5p) x + y = 55  x = 35 ⇒ 3 x + 2 y = 145 y = 20

2. Preţul mediu se calculează ca medie ponderată


269

4.

3 − 5 + 2 − 5 = 3 − 5 + 5 − 2 = 1

(5p)

5. x2 – 6x + 9 = x2 – 2x – 5x + 10; x = 1

(5p)


6 3 = 6 3 m. 2

(5p)

b) Triunghiul BCD echilateral Þ d( B; CD) = 3 3 m. c) (OD) este linie mijlocie în triunghiul CAM Þ AM = 2OD = 6 m.

(5p) (5p)

a) Triunghiul ABD echilateral Þ AC = 2 AO ⇒ 2 ⋅

2. a) În triunghiul VOB Þ VO2 = VB2 – OB2 Þ VO = 8 cm.

(5p)

BO ⊥ AC  b) BO ⊥ VO  ⇒ BO ⊥ (VAC )  ⇒ (VAC ) ⊥ (VBD )   BO ⊂ (VBD)  AC , VO 

(5p)

c) Fie OM ⊥ BC , M є (BC) În triunghiul VOM, m(  O) = 90° Þ OE ⊥ VM . VO ⋅ OM 8 ⋅ 6 = = 4,8 cm. d(O; (VBC)) = OE = VM 10

(5p)


2. 24

3. 135

4. 1

5.

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

3

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 4 ⋅ x = 160 ⇒ x = 200 (pagini) 5 3.

a) E (−1) + E (1) = b) E ( x) = c)

4. 270

25 3 (5p)

(4p) (1p) (5p)

−4 −2 4 + =− 12 2 3

(5p)

x−3 1 = ( x − 3)( x − 2) x − 2

(5p)

1 ∈  ⇔ x − 2 = 1 sau x – 2 = –1 Þ x є {3; –1}, dar x ≠ 3 Þ x = –1. x−2

2 + 3 + 5 - 2 6 - 2 15 + 2 10 +

6.

12 6 10 + 6

( 15 5

10

)= 10

(5p)

(5p)


SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Fie AD ⊥ BC , D є (BC). AD este mediană şi înălţime în triunghiul ABC. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ADC Þ AD2 = 169 – 25 = 144 Þ AD = 12 Aria triunghiului ABC este egală cu 60 cm2. (5p) b) NC = DC − DN = 5 −

x 2

x  x5 −  PN ⋅ NC 2  x (10 − x )  = = Aria triunghiului PNC = . 2 2 4

(5p)

AD DC 12 5 60 = ⇒ = ⇒ 5 x = 60 − 6 x ⇒ x = . PN NC x 5− x 11 2 2. a) Fie VM apotema piramidei M є (BC). În triunghiul VOM, m(  O) = 90° Þ Þ VM 2 = VO 2 + OM 2 Þ VM = 20 dm. Alat = 4 · AVBC = 960 dm2 c)  ADC ∼ PNC ⇒

b)  ((VBC), (ABC)) =  VMO. În triunghiul VOM Þ tg (m(  VMO)) =

(5p)

(5p)

VO 16 = .(5p) OM 12

c) În triunghiul VAO; m(  O) = 90° VO 16 16 34 = = = sin (mVAO ) = VA 17 544 4 34

Testul 73

SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 21

2. 5 2

(5p)

3. A ∪ B = {1,2,3,4,5,8,9,}

4.

5.

6.

25π

6 3

39 8

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p) SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) 1. Desenează corect. Notează corect. (1p) 2. Fără abonament va plăti 7 · 8 = 56 lei, 56 > 50 Þ este rentabil să-şi facă abonament. (5p) 2 ⋅ 320 = 64 km; rămâne de parcurs distanţa de 256 km. 100 5 ⋅ 256 = 128 km şi a treia zi 128 km. A doua zi parcurge 100 y

3. În prima zi parcurge

4. a) A (0; –4); B (2; 0)

0

B x

(5p) (5p)

(5p)

A b) f(a) = 2a – 4 Þ 4a – 12 = 2a – 4 Þ a = 4 Răspunsuri, rezolvări, bareme

(5p) 271

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) În triunghiul ABM, m(  B) = 90° Þ AM2 = AB2 + BM2 Þ AM2 = 576 + 100 Þ AM = 26 m. b) ∆MBA ∼ ∆MCN ⇒

(5p)

MB MA 10 26 = ⇒ = ⇒ MN = 13 ⇒ AN = 39 MC MN 5 MN

(5p)

c) AABCD = 360 m2 AAMB = 120 m2 x 100 ⋅ 360 ⇒ x = = 33, (3)% 120 = 100 3

(5p)

2. a) V = 50 · 20 · 3 = 3000 m3

(5p)

b) Vapă = 50 · 20 · 2,5 = 2500 m3 = 2 500 000 dm3 = 2 500 000 l.

(5p)

c) Într-un minut curg 2500 l prin cele 10 robinete; 2 500 000 l vor curge în 2 500 000 : 2500 = 1000 minute = 16 ore şi 40 de minute.

(5p)


2. –1

3. 20

(5p)

(5p)

(5p)

4.

5.

AB = l4 = R 2 = 5 2

16 3

6. 5

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. a) 36 km; b) 108 km. 3. a) 183 : 4 = 45 rest 3; 183: 5 = 36 rest 3; 183 : 6 = 30 rest 3. Pot fi 183 de nuci.

(5p) (5p) (5p) (5p)

b) Fie x numărul minim de nuci. Avem: x = 4a + 3; x = 5b + 3 şi x = 6c + 3. Numărul x – 3 este multiplu de 4, 5 şi 6, iar cel mai mic multiplu este egal cu 60. Deci în coş sunt 63 de nuci. (5p) (5p) 4. M ∉ Gf şi N є Gf. 5. (a – 2)3 – (a – 2) = (a – 2)[(a – 2)2 – 1] = (a – 2)(a – 3)(a – 1).

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 2. a) SO = h = 6; V = 72 cm3. b) d [A; ( SBC ) ] = 272

4 15 cm 5



2. 9 (5p)

3. 50 (5p)

4. 12 (5p)

5. 64 (5p)

6. 12,5% (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect 2. 4. 3. a b c a 6 2 a) = = ⇒ = = = 0, 4 . 6 7 15 c 15 5

(5p) (5p) (5p)

b) c : a = 2 rest 6 Þ c = 2a + 6 şi 2c = 5a Þ a = 12; b = 14 şi c = 30. 4. f(1) = 5 Þ 2 – 3a = 5 Þ a = –1. 5.

3x + 6 2

x + x−2

=

(5p) (5p)

3( x + 2) 3 = . ( x + 2)( x − 1) x − 1

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a)  BAC ≡  BCA;  ACD ≡  BAC (alterne interne) Þ  BCA ≡  ACD. (5p) b) notăm m(  BCA) = m(  ACD) = x. Din ∆ ACD avem: x + 2x = 90° Þ x = 30° (5p) Þ AC bisectoare Þ m(  C) = m(  D) = 60° şi m(  A) = m(  B) = 120°.

2.

c) AB || DE, AD || BE Þ ABED - paralelogram, AB = AD = 10 Þ ABED romb. d) ∆ BEC echilateral Þ EC = ED = 10, deci DC = 20 cm Þ PABCD = 50 cm. Înălţimea AF = 5 3 cm şi AABCD = 75 3 cm2.

(5p)

 ; HO  = 60°, ∆FOH echilateral. a) AB ∩ CD = {O} ; ( FAC ) ; ( HAC )  = OF

(5p)

3

b) V = 16 3 dm = 16 3 l. Cum 16 3 < 32 ⇒ nu încap 32 l de apă în vas.

2. {3; –4} (5p)

(5p)

Testul 76


(5p)

3. 10 (5p)

4. 25 (5p)

5. 128 (5p)

6. {–1; 0; 2; 3; 5} (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (5p) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. D = 54 + A; D = 7 · A Þ 6 · A = 54. Deci Andreea are 9 nuci, iar Doina 63 de nuci. (5p) 3. 105  104  a) Fie x preţul iniţial. ⋅ x  = 546 ⇒ x = 500 lei. (5p)  100  100  b)

105 5 ⋅ 500 = 525 lei. 100


(5p) 273

4.

f (2) = 3 ⇒ 2a + b = 3 a = 2 ⇒  ⇒ f ( x) = 2 x − 1 , f :  → . f (−1) = −3 ⇒ −a + b = −3 b = −1

(5p)

5. y2 – 3 = a Þ E(a) = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 Þ E(y) = (y2 – 3 – 1)2 = (y2 – 4)2 = = (y – 2)2 · (y + 2)2 (produs de două pătrate)

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) AM2 = x2 + 3; DM2 = 75 + (8 – x)2 şi AD2 = 112. Din AD2 = AM2 + DM2 Þ x2 – 8x + 15 = 0 Þ (x – 3)(x – 5) = 0 Þ x = 3 sau x = 5. b) AAMD = 10 3 cm2; c) tg (m(MBC ) ) =

1 3

(5p) (5p)

⇒ m(MDC ) = 30° ;

(5p) d) 2,4.

2. a) V = 108 cm3; b) Triunghiul BDC isoscel, fie M mijlocul lui [BC]. Avem: BC ^ DM, BC ^ AM Þ BC ^ (AMD) Þ (BCD) ^ (AMD) Þ AT ^ DM. AT = d[A; (BCD)] ^ AT =

AM ⋅ AD 6 ⋅ 3 3 6 21 = = cm. DM 7 3 7

(5p) (5p)

(5p)


2. {0; 1; 2} (5p)

3. 6 (5p)

4. 6 (5p)

5.

6. 900 m (5p)

cm3

30 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 90 lei şi 110 lei. 3. a) 40 – x = 3 · (16 – x) Þ x = 4 (în urmă cu 4 ani) b) 40 + x = 2 (16 + x) Þ x = 8 (peste 8 ani)

(5p) (5p) (5p) (5p)

4. a = −2 3 ; b = −2 3 Þ a · b = 12. 5.

(1- 2 )x £ 2( 2 -1)Þ x ³

2

(5p)

( 2 -1)Þ x ³ -2(1- 2 )Þ x ³ -2 Þ

1- 2

1- 2

x є {–2; –1}.(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) BC = 10 3 cm; A 2 ABCD = 100 3 cm . T.C.

b) În ∆ ABC Þ AB2 = AM · AC Þ AM = 5 Þ MC = 15 Þ 274

(5p) AM 1 = . MC 3

(5p)


T.Î.

AM ⋅ MC ⇒ BM = 5 3 cm. 10 3 5 3 Din ∆AMN ∼ ∆MCB ⇒ AN = cm; NM = cm. 3 3

c) BM =

(5p)

1 1 10 3 25 3 AD ⋅ DC = 50 3 cm2. (5p) d) AAMN = ⋅ AM ⋅ NM = ⋅ 5 ⋅ = cm2. AADC = 2 2 6 6 2 2.

1 a) Fie M mijlocul lui [AC]; BM = 3 2 ; OM = BM ⇒ OM = 3 cm; 3 SM = 12 = 2 3 cm. AC ⋅ SM 18 ⋅ 2 3 = = 18 3 cm2. V = 9 3 cm3. 2 2 AC ⊥ BM  b)  ⇒ AC ⊥ ( BOS ); SB ⊂ ( BOS ) ⇒ AC ⊥ SB AC ⊥ SO  Al = 3 ·

(5p) (5p)


2. 5

3. 1

4. 24

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

5.

6. 49

54 3 (5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. Notează corect. 2. 0 3. 41 cm2. 4. a) 3m pentru o rochie; 2 m pentru o bluză. b) 18 m. 5. Efectuarea calculelor.

(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) x = 2 b) P = 8 m; A = 1 m2.

(5p) (5p)

c)

14 m. 14

(5p)

d)

7 π m2. 2

(5p)

2. a) 16 2 cm;

(5p)

(

)

b) AC = C'C = 16 cm; V = 1024 3 cm3; Al = 256 + 256 3 cm2; Ab = 64 3 cm2; At = 128 2 + 3 3 cm2. (5p)

(

)


275


2. {–3; –1; 0; 1; 2; 3}

3.

(5p)

(5p)

(5p)

1 6

4. 10

5. 10 2

6. 6,56

(5p)

(5p)

(5p)


55 + 55 ⋅

40 = 55 + 22 = 77 lei. 100

3. a) m a =

5.

(5p)

a+b 1 = . 2 8

a 1  b = 4 ⇒ b)  a + b = 1  4 4.

(5p)

(5p)

1  a= a = 4b    20 1 ; mg = a ⋅ b = .  1⇔  1 + = a b 10   b= 4  5

  1   P  − ; 0   = G f ∩ Ox .   2  (1 + x) (1 − 3 x) (1 + 3 x) (1 − 3 x)

=

(5p)

(5p)

1+ x  1 , x ∈  \ ±  . 1 + 3x  3

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Cu teorema unghiului de 30° Þ AB = 4 cm; T.P. Þ AC = 4 3 cm; AD = 2 3 cm.(5p) b) Fie O mijlocul lui [BC]; O centrul cercului circumscris ∆ ABC Þ AO mediana BC = 4 cm, aplicând T.P. în ∆ ADO Þ corespunzătoare ipotenuzei Þ AO = 2 Þ DO = 2 cm. c) DE || AB Þ ∆DEC ∼ ∆BAC ⇒

CD CE = ⇒ CE = 3 3 cm. CB CA

(5p) (5p)

2

d) ∆ABD ∼ ∆CBA ⇒

A ABD  AB  1 =  = . ACBA  BC  4

2. a) Triunghiul VOM dreptunghic în O, VM = 10 cm, OM = V= 276

Ab ⋅ h 144 ⋅ 8 = = 384 cm3. 3 3

(5p) AB = 6 cm; VO = 8 cm. 2 (5p)


b)

Vpiramida

3

3

27  VO ′   3  = unde O' є VO aşa încât  =  = Vpiramida mare  VO   4  64 27 1 3 · Vpiramidă mare = 162 cm3. O ′O = VO ⇒ VO ′ = VO ; Vpiramidă mică = 64 4 4 Vtrunchi = Vpiramidă mare – Vpiramidă mică = 222 cm3 = 0,2 dm3 = 0,2 l < 0,5 l. Nu încape jumătate de litru de apă. mica

(5p)


2. {0; 1; 2}

3.

(5p)

(5p)

(5p)

2 5

4. 6

5. 36 3

6. 6

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (5p) 1. Desenează corect. Notează corect. (5p) 2. 14 · 15 = 210. 3. 5   5   4 ⋅ x⋅ = 546 unde x reprezintă preţul iniţial al produsului a)  x + x ⋅ +x+ 100   100  100  x = 500. (5p) b)

p ⋅ 500 = 546 ⇒ p = 9, 2 . Răspuns: 9,2% 100

4. Gf ∩ Gg = {P (x; y)}; f(x) = g(x); x = –3; y = –1; P(–3; –1).

(5p) (5p)

2

5.

3  x − 1  3( x + 1) E ( x) =  − 1 ⋅ ⇒ E ( x) = ∈ ⇒ x + 1 є D3 Þ x + 1 є {1; 3} Þ x + x +1 1 4   Þ x є {0; 2}. (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Construim DE ^ BC; E є BC; triunghiul DEC dreptunghic în E şi m(  CDE) = 30° T30° Þ DE = 4 3 cm Þ PABCD = 4 8 + 3 cm. (5p)

(

)

b) AABCD = 56 3 m2.

(5p) m2.

c) AABCD = 56 ⋅ 3  97 Cheltuieli parchet = 97 · 30 = 2910 > 2900. Deci 2900 de lei nu sunt suficienţi. 2. a) Triunghiul VOA dreptunghic în O; (VO ⊥ ( ABC )) , m(  AVO) = 30° Þ AO =

(5p) VA ; 2

AO = x Þ VA = 2x Þ VA2 – AO2 = VO2 Þ 3x2 = 144 Þ x = 4 3 . Þ AO = 4 3 ; AO =

l 3 l 3 ⇒ l = 12 ; AB = 12 cm. , AB = l Þ 4 3 = 3 3


(5p) 277

b) d(O; (VBC)) = ON, unde ON înălţime în ∆ VOM dreptunghic în O şi M mijlocul lui BC. 1 1l 3 AM = =2 3 OM ⋅ VO 12 Þ ON = . = 3 3 2 VM 13 VM = 2 39 OM =

(5p)

c) Apiramida mică = Atrunchi şi Apiramidă mică + Atrunchi = Apiramida mare Þ Apiramida mica Apiramida mare

=

k=

k2 =

1 VO ′ şi O' є VO. = k 2 , unde k = VO 2 2 2

VO ′ 2 1 ⇒ = ⇒ VO ′ = 6 2 cm. ⇒ 12 2 2 VO ′ 2 = VO 2

(5p)


2. 2; 4; 7 sau 14 (5p)

3. 76 (5p)

4. 7,2 (5p)

5. 600 (5p)


(5p)

a + b = 12 a + b = 12 a = 10 a + b = 12   ⇒ . 1 1 6 ⇔ a + b 3 ⇔  b=2 a ⋅ b = 20  a + b = 10  ab = 5

3. n = 5 · C1 + 3/ +2 n + 2= 5(C1 + 1) n + 2= 6(C2 + 1) n = 6 · C2 + 4/ +2 n = 8 · C3 + 6/ +2 n + 2= 8(C3 + 1) n + 2  [5; 6; 8] = 120; n = 118.

b)

(n + 3) (n + 1) n+3

(5p)

n+2 5 n+2 6 n+2 8

4. Gf ∩ Ox = {A(–2; 0)}; Gf ∩ Oy = {B(0; 2)}; A AOB = 5. a)

6. 15 (5p)

(5p) OA ⋅ OB 2 ⋅ 2 = = 2 cm2. 2 2

= n + 1 ∈ , (∀) n ∈ .

( x + 2) 2 ( x − 3)( x − 1) ( x − 3)( x + 3) x − 1 ⋅ ⋅ = , x ∈  \ {−3; − 2; − 1} . x +1 ( x − 3) 2 ( x + 3)( x + 1) ( x + 2) 2

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) triunghiul ADM dreptunghic în A Þ MD = x 2 + 9 triunghiul BMC dreptunghic în B Þ MC = x 2 + 64 278

(5p)


b) triunghiul DMC dreptunghic în M Þ DC = 2 x 2 + 73 şi triunghiul DEC dreptunghic în E Þ DC = 4 x 2 + 25 Þ Þ 4x2 + 25 = 2x2 + 73; x2 = 24; x = 2 6 Þ DC = 11; AB = 4 6 .

(

)

c) PABCD = 4 7 + 6 cm.

(5p)

d) AABCD = 22 6 cm2.

(5p);

2. a) A'C' || AC Þ m(  (CD, A'C')) = m(  (CD, AC)) = m(  (ACD)) = 45°.

(5p) (5p)

b) A′C ′ = A′D = DC ′ = BA′ = BC ′ = BD = 4 2 Þ BA'C'D este tetraedru regulat (are feţele triunghiuri echilaterale) Þ d(B; (A'C'D)) = înălţimea tetraedrului regulat este 8 3 egală cu cm. (5p) 3


2. b (5p)

3. 15 (5p)

4. 18 (5p)

5. 180 (5p)

6. {1; 2; –2} (5p)


(5p)

a b c a + b + c 72 = = = = = 3 ⇒ a = 18; b = 24; c = 30 6 8 10 6 + 8 + 10 24 a ⋅b R.T.P. = 216 cm2. Þ triunghiul ABC dreptunghic în A Þ A = 2

2. a + b + c = 72;

é 2 3. a) p = ê 1 + 2 + ê ë p = 16; p = 42. b) q = 1103.

(

4.

2ù

( 2 -1) úú × 4 û

(

)

2 Û p = 1 + 2 + 2 -1 × 4 2 (5p) (5p)

  3  G f ∩ Ox =  A  − ;0   ; G f ∩ Oy = {B (0;3)}. Construim OM ^ AB, OM înălţimea   2  corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul AOB şi PQ ^ AB, O є AB. OM || PQ ⇒

5.

)

(5p)

AO OM 3 9 3 5 3 5 9 5 = ; AO = ; AP = ; OM = (5p) ; AB = ⇒ PQ = AP PQ 2 2 5 2 5

1 E =| x − 3 | + (3 y + 1) 2 + 32 ; E min Þ x – 3 = 0 şi 3y + 1 = 0 Þ x = 3; y = − . 5

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Construim AD ^ BC, D є (BC) şi BE ^ AC, E є AC. T.P. AD ⋅ BC ∆ ADB dreptunghic în D Þ AD = 24 cm; A ABC = = 432 cm2. 2 Răspunsuri, rezolvări, bareme

(5p) 279

b) A ABC =

AC ⋅ BE 2 ⋅ 432 ⇒ BE = = 28,8 cm; 2 30

AE = 0, 28 . (5p) AB c) Fie C(O; OA) cercul circumscris triunghiului ABC; O є AD şi AD ∩ C(O; OA) = A'. (AA') diametru Þ m(  ABA') = 90° Þ AB2 = AD · AA' Þ 75π 900 75 AA′ 75 = ⇒R= = ⇒ Lcerc = 2πR = AA′ = cm. (5p) 2 24 2 2 4 T.P.

∆ ABE dreptunghic în E Þ AE = 8,4 cm Þ cos (m(  BAC)) =

d) Fie OM ^ AB; M є AB; [OM] linie mijlocie în triunghiul ABA' Þ OM = T.P.

triunghiul ABA' dreptunghic în B Þ A′B = d(O; AB) =

45 cm. 4

45 45 ; OM = cm; 2 4

A′B şi 2

(5p)

2. a) d(B; OO') = BM unde BM ^ OO'; M є OO'; triunghiul BOO' isoscel; BO = BO' = 5 triunghiul A'AB dreptunghic în A Þ A'B = 10 şi O mijlocul lui [A'B] şi analog triunghiul BCC' dreptunghic în C Þ BC' = 10 şi BC ′ . [OO'] linie mijlocie în triunghiul A'BC' Þ BO ′ = 2 AC = 4 cm. Triunghiul BOO' isoscel (BO = BO'); Þ OO ′ = 2 (OM) înălţime ⇒ (OM) mediană Þ OM = O'M = 2 cm. Triunghiul BOM dreptunghic în M Þ BM = 21 cm Þ d(B, OO') = 21 cm. (5p) b) Ab =

82 ⋅ 3 = 16 3 cm2; Al = 3 · 6 · 8 = 144 cm2; At = 16 9 + 2 3 cm2. 4

(

)

(5p)


2. –50 (5p)

3. 413 (5p)

4. 44 (5p)

5. 220 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) Notează corect. 1. Desenează corect. 2. 2 x - x 5 > 4 - 2 5 Þ x 2 - 5 > 2 2 - 5 / : 2 - 5 şi obţinem

(

) (

) (

280

(1p)

)

2 − 5 < 0 ⇔ x < 2 ⇔ x ∈ (−∞; 2) 3.

6. –x + 2 (5p)

2a − 2 2 = −2a − 3b ⇔ 2 (a − 2 ) = −2a − 3b   a − 2∈ a − 2 = 0  ⇒ ⇒  −2a − 3b 2 ∈ \   − 2a − 3b ∈  

(5p) a = 2  4 .  b = − 3

(5p)


4.

  5  a) G f ∩ Ox =  A  ;0   ; Gf ∩ Oy = {B(0; 5)}.   2  Fie α = m(  BAO); triunghiul AOB dreptunghic în O ⇒ tg α =

b) 5.

6 f ( x) + 18

OB 5 = = 2 . OA 5 2

6( f ( x) + 3) 6 6 3 = = =− ∈ ⇒ x −1 f ( x) − 9 ( f ( x) − 3)( f ( x) + 3) −2 x + 5 − 3 −2 x + 2 x – 1 є {–1; –3} Þ x є {0; –2} 2

(5p)

=

(ab) 2 − (ba ) 2 = (ab − ba )(ab + ba ) = (10a + b − 10b − a ) ⋅ (10a + b + 10b + a ) = = (9a − 9b)(11a + 11b) = 99(a − b)(a + b) 9.

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) [MP] linie mijlocie în triunghiul ABC Þ MP || BC; BC = DN Þ MP || DN Þ ÞMPND trapez.(1) AB [NP] linie mijlocie în triunghiul ABC Þ NP = ; 2 triunghiul ABC dreptunghic în D; AB [DM] mediana corespunzătoare ipotenuzei Þ DM = Þ NP = MD. (2) 2 Din (1) şi (2) deducem DNPM este trapez isoscel.

(5p)

BC = 25 ; b) R.T.P. Þ BC2 = AB2 + AC2 Þ triunghiul ABC dreptunghic în A; MP = 2 AB NP = DM = = 15 ; 2 AB ⋅ AC 30 ⋅ 40 triunghiul ABC dreptunghic în A Þ AD = = = 24 . BC 50 T.P. triunghiul ABD dreptunghic în D Þ AB 2 − AD 2 = 302 − 242 = (30 − 24)(30 + 24) = BC BN = = 25 ⇒ DN = 7 . PDNPM = 62 cm. 2

BD =

6 ⋅ 54 = 18 .

c) Fie AD ∩ MP = {Q}; AD ^ BC; MP|| BC Þ AD ^ MP şi MQ || BD, AD M mijlocul lui [AB] Þ Q mijlocul lui [AD] ⇒ QD = şi 2 (MP + DN )⋅ DQ = 192 cm2. ADNPM = 2 d) DNPM - trapez isoscel ⇒ DP = MN =

(5p)

(5p)

AC = 20 . 2

AM = DM = 15 ⇒ AMP ≡ DMP ⇒ MDP ≡ BAC . AP = DP = 20

(5p)

2. a) [OM] linie mijlocie în triunghiul ABD Þ OM || AD; AD ^ (ABB'); A′B ⊂ ( ABB ′) ; AD ^ A'B Þ OM ⊥ A'B. (5p) Răspunsuri, rezolvări, bareme

281

b) 2(ab + ac + bc) = 2[(a + x)(b + 2x) + (a + x)(c – 3x) + (b + 2x)(c – 3x)]/ :2 ab + ac + bc = ab + 2ax + bx + 2x2 + ac – 3ax + cx – 3x2 + bc – 3bx + 2cx – 6x2 − a − 2b + 3c Þ 7x2 + ax + 2bx – cx = 0 Þ x(7x + a + 2b – 3c) = 0 ⇒ x = . 7 Noul paralelipiped este cub Þ a + x = b + 2x = c – 3x Þ 6a – 2b + 3c = –2a + 3b + 6c = 3a + 6b – 2c Þ a = b= c Þ x = 0 – contradicţie cu ipoteza. (5p)


2. {–8; 1; 0}

3.

(5p)

(5p)

(5p)

4. 4

5. 3

6. 9

(5p)

(5p)

(5p)

2 3

SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) Notează corect. 1. Desenează corect. 36 lei. 2. 3. a) 15 (5p) ; b) 88 (5p) 4. 10. 5. Membrul stâng se va scrie (1 + x)2 · (1 – x)2 · (1 + x) şi se continuă calculele.

(1p) (5p) (5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) 1400 + 2x (5p); b) 250 m (5p); c) 5 hm2 (5p); d) 2631,25 lei 5p); 2. a) Apa ocupă volumul unui paralelipiped cu dimensiunile bazei de 5,8 dm şi 2,8 dm iar înălţimea este 4 cm. Volumul ocupat de apă este: 5,8 · 2,8 · 4 = 64,96 dm3 = 64,96 l. (5p) b) Necesarul de geam: ▪ pentru bază: o foaie de dimensiuni 6 dm · 3 dm = 18 dm2. ▪ pentru feţele laterale (stânga, dreapta): 2 foi de dimensiuni 2,8 dm · 4 dm; total 2 · 11,2 dm2 = 22,4 dm2. ▪ pentru feţele laterale mari (faţă, spate): 2 foi de geam de dimensiuni 6 dm · 4 dm; Total suprafaţă acvariu: 88,4 dm2. Ţinând cont de pierderi (11,6%), notând cu S suprafaţa totală de cumpărat avem: S – 11,6% · S = 88,4 dm2; S = 100 dm2 = 1 m2 Costul a fost de 45 lei. (5p)


282

1. 18

2. 20

3.

(5p)

(5p)

(5p)

1 2

4. 6

5. 81 3

(5p)

(5p)

6. 180 (5p)


SUBIECTUL II (30 puncte) (4p) 1. Desenează corect. 2. 70. 3. a) DA (5p)

Notează corect.

(1p) (5p) (5p)

b) 150%

4.

(5p)

5. Simplificăm fracţia cu x + 2 sau comparăm produsul extremilor cu produsul mezilor.(5p) SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) 4x2 + 310x 2. a) 9

m2

(5p); b) 5 m

(5p); b) 4,5

m3

(5p); c) 1650 m2

(5p); d) 104 280 euro.

(5p)

(5p)

Testul 86 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 3,7 (5p)

2.  7 2;   2 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect.

3. 1,6

4. 1,6

5. 5

6. 8,3

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(4p)

Notează corect.

(1p)

2. 2 ani.

(5p)

3. a) x = 32 şi y = 72;

(5p)

b) 52. 4. n = f(s) = 10,5.

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) M şi N aparţin cercului cu diametrul OH deci m(  HMO) = m(  HNO) = 90° iar ON şi OM sunt perpendiculare pe HA respectiv HB deci, OM || AH şi ON || HB. Centrul dreptunghiului fiind mijlocul segmentului [AB] cele două segmente [OM] şi [ON] vor fi linii mijlocii în triunghiul HAB. (5p) b) Avem: AB = 20 m, OH = 10 m deci raza cercului va avea lungimea de 5 cm. (5p) Acerc = π · 52 = 25π cm2 ≈ 25 · 3,14 m2  78,5 m 2 < 79 m 2 c) C aparţine cercului cu diametrul [OH] deci HC ^ OC şi HC = Răspunsuri, rezolvări, bareme

12 ⋅16 = 9, 6 m. (5p) 20 283

d) 2635 lei.

(5p)

2. a) 540

m2.

(5p)

b) 750

m3.

(5p)

Testul 87


2. −12 2

3. {2; 5; 8}

4. 9

4 2

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. 2. 3 zile. 3. a) 70 elevi;

5.

(4p)

6. 60 000

Notează corect.

(5p)

(1p) (5p)

b) 80 elevi.

(5p)

(5p)

4. a = –1 şi b = 1. 5. Notăm x 2 + 3x = y. Avem: y(y + 10) + 25 = y2 + 10y + 25 = (y + 5)2. Numărul dat se mai scrie (x2 + 3x + 5)2.

(5p) (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) x = 0,8 m; 2. a) 3

b) 366 lei;

(5p)

( 3 + 2) m;

(5p)

b) 344 m2.

12 − 5 3 6 (5p)

(5p) d) 0,75.

(5p)

(5p)

Testul 88

SUBIECTUL I (30 puncte) 1.

c) 0,96 m;

(5p)

2. {2; 3; 4}

3. 12

4. 90°

48

6. 1

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect.

(4p)

5.

Notează corect.

(1p)

(5p) 2. 36 mere. 3. a) DA, fiecare pachet va conţine 20 portocale, 8 napolitane şi 10 tablete de ciocolată.(5p) b) 30 pachete. (5p) 4. 4 2

1

284

(5p)

7 Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

n = a3 – a = a(a2 – 1) = a(a – 1)(a + 1). Dacă a = 3k şi k є , vom avea: n = 3k · (3k – 1)(3k + 1)  3 Dacă a = 3k + 1 şi k є , vom avea:n = (3k + 1) · 3k · (3k + 2)  3 Dacă a = 3k + 2 şi k є , vom avea: n = (3k + 2) · (3k + 1) · (3k + 3) = (3k + 2)(3k + 1) · 3(k + 1)  3.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) 15 m2; 2. a) 6000

b) 30 m2;

(5p)

cm2;

b) 13,824 litri.

(5p)

c) 280 lei.

(5p)

(5p)

d) 1,5.

(5p)

(5p)

Testul 89 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 20,11

2. 2

(5p)

(5p)

3. 10 21 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect. 2.

x y z = = y 2 5

(2p);

4. 3

5. 225 3

(5p)

(5p)

(4p)

x 2 y 2 z 2 76 = = = = 2 (2p); 9 4 25 38

6. –3 (5p)

Notează corect.

(1p)

x = 3 2; y = 2 2; z = 5 2

(1p)

3. Grupează câte 2 termeni Þ 3| S (2p) ; grupează câte 3 termeni Þ 7| S (2p) ; Finalizare (1p) 4. Calculează E(1) = 66 (3p) ; Scrie 66 = (63)2 (1p) ; Scrie 66 = (62)3 (1p) 5. Desenează un triunghi ABC, cu m(  C) = 30° şi BC = 2k, AC = k 3 Duce AD ⊥ BC (D є BC) şi calculează AD, DC, BD. Calculează m(  CAD) = 60° şi m(  BAD) = 30° Þ m(  BAC) = 90°. 6. Din 3x – 5 = 0, şi din 5x – 5 = 0, şi din 7x – 5 = 0 Þ S = {1}

(2p); (2p); (1p); (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) (1p) 1. Desenează corect figura a) Construieşte CE || DB (E є AB) şi deduce că triunghiul ACE este echilateral cu latura de 9 3 3 şi calculează înălţimea trapezului, egală cu . (4p) 2 b) Calculează aria trapezului, egală cu aria triunghiului echilateral, egală cu 2. Desenează corect figura. a) Calculează aria totală, egală cu 108 cm2. b) Calculează volumul piramidei, egal cu 36 3 cm3. Răspunsuri, rezolvări, bareme

27 3 (5p) 4 (5p) (4p) (5p) 285

c) Calculează distanţa de la O la (VBC), egală cu

3 3 cm. 2

(5p)

d) Calculează cosinusul măsurii unghiului planelor (VAD) şi (VBC), egal cu

2. 7 (5p)

(5p)

Testul 90


1 . 2

3. 6 cm (5p)

4. 1 (5p)

5.

6. b (5p)

1 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Pune corect în evidenţă punctul G.

(5p)

3n+4,

(3p)

de unde deduce că n = 2 2. Scrie că numărul este egal cu Scrie 36 = (33)2 (1p); Scrie 36 = (32)3 (1p) 3. Desenează un triunghi ABC, cu m(  C) = 30° şi BC = 2 6 , AC = 3 2 . Duce AD ⊥ BC (D є BC) şi calculează AD, DC, BD Calculează m(  CAD) = 60° şi m(  BAD) = 30° ⇒ m(  BAC) = 90°

(2p) (2p) (1p)

4.

Ecuaţia se scrie, echivalent, x + 2 − 1 + x + 3 − 1 + x + 4 − 1 + .... + x + 2009 = 0 (3p) 3 4 5 2010 x −1 x −1 x −1 x −1 ⇔ + + + ... + = 0 (1p); x = 1 (1p) 3 4 5 2010 (1p) 5. Desenează corect figura Notează cu D (sau altfel) piciorul perpendicularei şi arată că d(D, BC) este jumătate din d(A, BC), căci (BD) este şi bisectoare şi înălţime în ∆ ABE, unde {E} = AD ∩ BC. (2p) 8 ⋅ d( A; BC ) = 24 cm2 ⇒ d(A; BC) = 6 cm ⇒ d(D; BC) = 3 cm Din S ABC = (2p) 2 6. În raport cu împărţirea la 5, un număr întreg are una din formele: 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, unde k є  (1p) 2 2 Pentru a = 5k + 3, obţinem: P(a) = 2(5k + 3) + 3(5k + 3) – 7 = 5(10k + 15k + 4) adică, P(a) este divizibil cu 5 (2p) Pentru celelalte forme, deducem că P(a) nu este divizibil cu 5; deci, mulţimea cerută este {a є  | a = 5k + 3, k є } (2p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Considerăm punctul oarecare M pe o latură a pătratului şi {E} = MO ∩ BC, iar Q, mijlocul segmentului (OE). Unim Q cu C şi luăm N pe (BC) şi P pe (CD), astfel încât QC = QN = QP. Rezultă că triunghiul MNP îndeplineşte cerinţele problemei. (5p) 286

D

P

C E

O

Q

M

N

A

B


b) Din faptul că Q este mijlocul lui (OE) şi, tot Q este şi mijlocul lui (NP), rezultă ∆ NQE ≡ ∆ PQO şi, deci, OP || EN, aşadar P este mijlocul laturii (DC).

c) Fie AM = x; S MNP = S ABCD − S ABNM − S NCP − S PDM = 1 −

x +1− x −

(5p)

1 1 ⋅ 1 + x   − 2 − 2 2 2

2 1 ⋅ (1 − x) 1 x 1 1 x 3 −2 = 1 − − − − + = . Deducem că aria triunghiului nu depinde de 2 4 4 8 4 4 8 poziţia lui M. (5p) d) Luând punctul M în A, deducem că triunghiul este isoscel. (5p) e) Luând M în mijlocul unei laturi a pătratului şi construind triunghiul echilateral MNP, cu N şi P, tot pe laturile pătratului, deducem că MN = NP = PM = 1; dar acest 3 triunghi nu are aria egală cu şi nici centrul de greutate în O. (5p) 8 2.

Construim triunghiul ANV, care este isoscel, având AN = NV = Calculând înălţimea din N, obţinem MN =

a 3 şi AV = a. 2

a 2 . 2

(5p)


2. 2

3.

(5p)

(5p)

(5p)

1 3

4. 9

5. 7

6. 0,(5)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect un triunghi dreptunghic şi construieşte înălţimea din vârful unghiului drept. (5p) 2 2. A(x) este definită, dacă x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ –4 şi x – 9 ≠ 0 Þ (x – 3)(x + 3) ≠ 0 Þ x ≠ 3 şi x ≠ –3. Aşadar, A(x) este definită dacă x є [–4; +∞) \ {–3; +3} (5p) 3. Din condiţiile de existenţă a ecuaţiei deducem că x є  \ {3; –3}. (1p)

Ecuaţia se scrie (x + 2)(x + 3) = (x – 3)(x – 2) Þ x2 + 5x + 6 = x2 – 5x + 6 Þ 10x = 0 (3p) x = 0 Þ S = {0}. (1p) Desfăşurarea unui tetraedru regulat este o suprafaţă de forma unui triunghi echilateral, 4. formată din patru triunghiuri echilaterale congruente, deci baza tetraedrului are aria (5p) egală cu 72 : 4 = 18 cm2. ⇒ x = y – 1, obţinem (2p) 5. a) Din f(x + 1) = 2x + 2, scriind x + 1 = y f(y) = 2(y – 1) + 2 ⇒ f(y) = 2y şi, schimbând argumentul din y în x, deducem f(x) = 2x (3p).


287

b) Din f(2) = 2 · 2 = 4, deducem că valoarea funcţiei pentru x = 2 este 4, adică punctul A(2; 4) aparţine graficului acestei funcţii. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Din m(  A) = 75°, deducem că m(  C) + m(  B) = 105° Din 4m(  C) = 3m(  B), obţinem m(C ) m(B) m(C ) + m(B ) 105° = = = = 15° ; 3 4 3+ 4 7 deci, m(  C) = 45° şi m(  B) = 60°.

(1p)

(5p)

b) Deducem înălţimea (AD) (D є BC); rezultă că triunghiul ADC este dreptunghic isoscel, iar triunghiul ADB este dreptunghic cu un unghi de 30°. Ştiind că AB = 12 cm, deducem că BD = 6 cm şi AD = 6 3 cm; de asemenea, DC = AD = 6 3 cm şi AC = 6 3 ⋅ 2 = 6 6 cm. Aşadar, perimetrul triunghiului ABC este egal cu: 12 + 6 + 6 3 + 6 6 = 18 + 6 3 + 6 6 = 6 3 + 3 + 6 cm. (5p)

(

c) Aria triunghiului ABC este egală cu

(6 + 6 3)× 6

3

(

)

BC ⋅ AD , adică 2

)

= 18 3 + 54 = 18 3 + 3 cm2 2 2. a) Desenează figura corect 2 2 2 (AC ¢) = 36 2 + 2 × 12 3 = 3456 Þ AC ¢ = 24 6 cm

(

)

(

(5p) (2p) (3p)

)

b) Din triunghiul ABC', cu m(  ABC') = 90° Þ sin (m ( AC ′B )) =

AB 36 2 3 = = (5p) AC ′ 24 6 2

c) Din faptul că patrulaterul BCC'B' este pătrat, deducem că BC ′ = 12 3 ⋅ 2 = 12 6 cm, şi, deci, AC' = 2 · BC'. Dacă {O} = AC' ∩ BD', obţinem că unghiul dintre cele două 1 diagonale este  BOC, care are 60°; aşadar, cos(m(  BOC')) = cos 60° = . (5p) 2


2. x (5p)

3. 10 (5p)

4. 1 (5p)

5. 2 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect paralelipipedul şi pune în evidenţă diagonala (BD'). 2. Din condiţiile de existenţă a ecuaţiei rezultă x є  \ {1; 3}

6. 12 (5p)

(5p)

(1p) Þ (x – 3)2 = (x – 1)2 Þ x2 – 6x + 9 = x2 – 2x + 1 Þ –4x = –8 Þ x = 2, S = {2} (4p) (1p) 3. Dacă m(  A) = 70° Þ m(  B) + m(  C) = 110° m(B) m(C ) + = 55° ⇒ în triunghiul BIC, m(  BIC) = 180° – 55° = 125°. (4p) Þ 2 2

288


4. Calculăm numerele a şi b: a = 3− 5 + 9− 4 5 = 3− 5 + 5− 4 5 + 4 = 3− 5 +

( 5 − 2)

=

( 7 − 2)

=

2

= 3− 5 + 5 − 2 = 1 =1 b=

7 − 1 − 11 − 4 7 =

7 −1− 7 − 4 7 + 4 =

7 −1−

2

= 7 −1− 7 + 2 = 1 = 1 (2p) Din faptul că a · b = 1 · 1 = 1, rezultă că a şi b sunt numere inverse (1p) 5. Oricare ar fi o ecuaţie de gradul al II-lea cu coeficienţii diferiţi din mulţimea {2; 1; –3}, pentru x = 1, va avea suma coeficienţilor egală cu 0, ceea ce exprimă faptul că numărul 1 este o rădăcină. (4p) Aşadar, rădăcina comună a tuturor ecuaţiilor care îndeplinesc condiţiile din problemă este 1. (1p) 6. Triunghiul BMD este isoscel, deci  BMD ≡  BDM. Triunghiul CAN este isoscel, deci,  CAN ≡  CNA. Dar  ABD ≡  ACD, deoarece ABCD este patrulater inscriptibil şi cum ele sunt unghiurile de la vârf din triunghiurile isoscele de mai sus, rezultă  BMD ≡  CNA, deci patrulaterul AMND este inscriptibil. (3p) Avem  ABC ≡  ADN şi m(  ADN) + m(  AMN) = 180°. m(  ABC) + m(  AMN) = 180°, deci, MN || BC. (2p) SUBIECTUL III (30 puncte) 1. Am notat cu A1 şi A2, cele două dreptunghiuri, ale căror dimensiuni sunt x şi z, respectiv y şi z. Dacă A1 este pătrat, z A2 A1 atunci x = z = 12 = 2 3 cm. Rezultă că aria dreptunghiului A2 este y ⋅ z = y ⋅ 2 3 = 36 , adică 36 y x y= = 6 3 cm. Dimensiunile dreptunghiului 2 3 iniţial sunt: x + y = 2 3 + 6 3 = 8 3 cm şi z = 2 3 cm. (3p) Dacă A2 este pătrat, atunci y = z = 36 = 6 cm. Rezultă că aria dreptunghiului A1 este x · z = x · 6 = 12, adică x = 2 cm. Dimensiunile dreptunghiului iniţial, în acest caz, sunt: x + y = 2 + 6 = 8 cm şi z = 6 cm. (2p) 2. a) Din datele problemei, deducem: 180° − A 180° − B 180° − B 180° − C = = 7 (1) şi (2) (1p) 8 7 14 15 1 180° − A 180° − B Amplificând egalitatea (1) cu obţinem (1p) = (3) 16 14 2 Din (3) şi (2) obţinem şirul de rapoarte egale: 180° − A 180° − B 180° − C 540° − ( A + B + C ) 540° − 180° 360° = = = = = = 8° (1p) 16 14 15 16 + 14 + 15 45 45 Deducem: A = 52°; B = 68°; C = 60°. b) sinC = sin 60° =

3 1 3 ; cosC = cos 60° = ; tgC = tg 60° = . 2 2 3


(1p) (5p) 289

5. a) Din 3 x = 3, a , rezultă 3,1 ≤ 3x ≤ 3,9; împărţind cu 3, obţinem 1,0(3) ≤ x ≤ 1,3. Deci cel mai mic număr cu care poate fi egal x este 1,0(3), iar cel mai mare, 1,3. (5p) b) Din 7 x = 9, b rezultă 9,1 ≤ 7x ≤ 9,9; împărţind cu 7, obţinem 1,3 ≤ x ≤ 1,4(142857). Deci, cel mai mic număr care poate fi egal cu x este 1,3, iar cel mai mare, 1,4(142857). (5p) 1, 0(3) ≤ x ≤ 1,3 3 x = 3, a obţinem inegalităţile  . Deci 1,3 ≤ x ≤ 1,3, x = 1,3.(5p) c)  1,3 ≤ x ≤ 1, 4(142857) 7 x = 9, b

Testul 93

SUBIECTUL I (30 puncte) 1. –5a + 4

2. 2

3. 162°

4. 4

5.

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

6. 9 cm2

3 4

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. Desenează corect un triunghi ABC şi punctul G, de concurenţă a medianelor. 2. Raportul se scrie

(3n + 2n )2 (2n − 3)(2n + 3)

care se simplifică cu (3 + 2n), obţinându-se

(5p)

3 + 2n . (5p) 2n − 3

3. Coborând perpendiculara MM' pe plan, unde M' aparţine planului, obţinem congruenţele (2p) de triunghiuri: ∆ MM'A ≡ ∆ MM'B ≡ ∆ MM'C ≡ ∆ MM'D, conform cazului IC deci, M'A = M'B = M'C = M'D. Aşadar, există cercul cu centrul M' şi cu raza (M'A), care conţine şi punctele B, C şi D. (3p) 4. Dacă M(2m; 10) aparţine reprezentării grafice a funcţiei, deducem că valoarea funcţiei, pentru x = 2m, este 10 (2p) (3p) deci, m · (2m) + 2 = 10 Þ 2m2 = 8 Þ m2 = 4 deci, m = –2 sau m = 2. 5. Fie L, l şi i cele trei dimensiuni ale paralelipipedului şi d diagonala sa: L = l = i 5 3 2 Ştim că d2 = L2 + l2 + i2 Þ L2 + l2 + i2 = 342 2

2

2

L l i = = = 25 9 4  L2 = 25 ⋅ 9  2 l = 9 ⋅ 9 ⇒ 2 i = 4 ⋅ 9

2

2

(1p) (1p)

2

L +l +i 342 = = 9 25 + 9 + 4 38

(1p)

L = 5 ⋅ 3 = 15 cm l = 3 ⋅ 3 = 9 cm i = 2 ⋅ 3 = 6 cm

(1p)

6. Pentru ca numărul 3 x5 y să se dividă cu 15, trebuie ca 3 x5 y să fie divizibil, şi cu 3, şi cu 5, deoarece, 3 şi 5 sunt prime între ele şi 3 · 5 = 15 (1p) Pentru ca numărul 3 x5 y să fie divizibil cu 5, trebuie ca y să fie 0 sau 5. a) Dacă y = 0, 3 x50 este divizibil cu 3, dacă x є {1; 4; 7} (2p) b) Dacă y = 5, 3 x55 este divizibil cu 3, dacă x є {2; 5; 8} 290

(2p)


SUBIECTUL III (30 puncte) 1. Dacă [VO] este înălţimea piramidei, deci, O se află în planul pătratului, atunci, din (2p) congruenţele ∆ VOA ≡ ∆ VOB ≡ ∆ VOC ≡ ∆ VOD, conform cazului IC rezultă congruenţele [OA] ≡ [OB] ≡ [OC] ≡ [OD], deci, O este centrul cercului circumscris pătratului ABCD; aşadar, piciorul înălţimii coincide cu centrul pătratului (3p) 2. b  a 2 2 =  a = b − 6b ⇒  (2p) Din datele problemei obţinem:  b − 6 a 2 2 a = b − 12a a (a + 12) = b 2  (1p) Scăzând ecuaţiile, membru cu membru Þ 12a – 6b = 0 Þ b = 2a a a 2a = ⇒ = 2 ⇒ a = 4a − 12 ⇒ a = 4 şi b = 8 Astfel obţinem (2p) 2a − 6 a 2a − 6 3. Prelucrăm numerele x şi y: x = 18 + 6 2 + 1 − 2 3 = y = 12 − 4 3 + 1 − 3 2 = ⇒ ma =

(3 (2

) −2 3 − 1) − 3

2 +1

2 2

3 = 3 2 +1− 2 3

(2p)

2 = 2 3 −1 − 3 2

(2p)

3 2 +1− 2 3 + 2 3 −1 − 3 2 = 0 care este număr raţional. 2

(1p)

4. În triunghiul ACE, isoscel cu vârful C, [CN] este mediană, deci şi înălţime ⇒ CN ⊥ AB (2p) În triunghiul ABD, isoscel cu vârful B, [BM] este mediană, deci şi înălţime ⇒ CN ⊥ AB (2p) În triunghiul ABC, unde {P} = BM ∩ CN Þ P este ortocentru, deci, dreapta AP include a treia înălţime ⇒ AP ⊥ BC (1p) 5. Observăm că oricare ar fi o valoare întreagă a lui n, numărul 2n2 – 4n + 3 este întotdeauna impar; (2p); de asemenea, observăm că numărul n2 – 3n = n(n – 3) este întotdeauna par (2p) 2 2 Þpentru nicio valoare întreagă a lui n, n – 3n nu divide 2n – 4n + 3. (1p) 6. Ţinând seama de faptul că lungimea oricărei laturi a unui triunghi este mai mare decât modulul diferenţei lungimilor celorlalte laturi, deducem că vom avea: (2p) 3 > |3k1 – 3k2| Þ 3 > 3 · |k1 – k2| Þ |k1 – k2| Þ numerele k1 şi k2 sunt egale, deci triunghiul este isoscel. Deosebim 2 cazuri: (1p) 1800 − n0 I) Unghiul de la vârf are n°, deci fiecare din unghiurile de la bază, are (1p) 2 II) Un unghi de la bază are n°, deci unghiul de la vârf are 180° – 2n°. (1p)

Testul 94 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. {–1; 0; 1}

2. 7

3. 8 cm2

4. 49,50 lei

5.

6.

144 3

6 2

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. a) 480 lei;

(5p)


b) 552 lei;

(5p)

c) micşorat cu 8%

(5p) 291

2. a = 1006 є ; b ∉  (25n + 23 are ultima cifră 3 sau 8 deci nu este pătrat perfect) (5p) 5(a − 3) = b − 3a − 6 a, b є , 5 ∉  ⇒ a − 3 = 0 şi b – 3a – 6 = 0 Þ a = 3 şi b = 15.(5p)

3.

4. a) BC = 80 cm;

(5p)

b) MN = 40 cm.

(5p)

5. a) MN = 8 cm;

(5p)

b) AD = 20 3 cm.

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Din VB || α, VB ⊂ (VAB ) , (VAB) ∩ α = MN Þ MN || VB. (5p) b) Analog cu MN || VB avem PQ || VB deci PQ || MN (1). Din AC || α (vezi a) Þ MQ || NP Din (1) şi (2) Þ MNPQ paralelogram; (5p) c) 58 cm. (5p) 2. a) AA' || BB', AD || BC Þ (ADD'A') || (BCC'B').

(5p)

b) Planul α intersectează planele paralele (ADD'A') şi (BCC'B') după dreptele paralele A'D' şi B'C' (1). Analog planul α intersectează planele paralele (ABB'A') şi (DCC'D') după dreptele paralele A'B' şi D'C' (2). Din (1) şi (2) Þ A'B'C'D' paralelogram. (5p) c) 9 cm. (5p)


2. 8

3. 13

(5p)

(5p)

(5p)

4.

5.

7 36

12 3 cm2

(5p)

(5p)

6. 24 cm (5p)


4x + 9 −8 x + 5

(5p)

2. Fie x preţul iniţial. După prima scumpire obiectul costă 120% · x, iar după o scumpire (5p) costă 120% · 120% · x. Deci 120% · 120% · x = 288000 Þ x = 200 lei. (5p) 3. (–6; 0); graficul funcţiei conţine punctele (–6; 0) şi (0; 2). 4. a) PABC = 60 cm; AABC = 150 cm2. b) 3,5 cm.

5.

∆ABC ∼ ∆EBC ⇒

(5p) (5p)

AB BC = . BC EC

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Din OB ⊥ OA şi OB ⊥ OC rezultă OB ⊥ ( AOC ) deci OB ⊥ AC . 292

(5p)


b) Fie OD ⊥ AC , D є AC. Aplicând teorema celor trei perpendiculare rezultă DB ⊥ AC . Fie OH ⊥ ( ABC ), H є (ABC) şi cum OD ⊥ AC conform reciprocei teoremei celor trei perpendiculare rezultă HD ⊥ AC , deci BD şi HD sunt ambele perpendiculare în D pe AC şi cum B, H, D, C sunt coplanare rezultă că B, H, D sunt coliniare. Aşadar perpendiculara din O pe planul (ABC) cade pe înălţimea din B a triunghiului ABC. Analog H se află pe înălţimea din A a triunghiului ABC, deci H este ortocentrul triunghiului ABC. (5p) OA ⋅ OD OC ⋅ OB cb a 2b2 + a 2 c 2 + b2 c 2 = ; OD = ; AD = OA2 + OD 2 = AD BC b2 + c2 b2 + c2 abc Deci OH = . (5p) 2 2 a b + b2c2 + c2 a 2

c) OH =

2. a) At = 72

( 2 + 1) cm ; V = 72 2

2 cm3. (5p)

b) 90°. (5p)

(

)

c) 3 2 - 3 cm. (5p)


2. 1   −6;0; − 2; − 8 ;9, 7(65); 36  3   (5p)

3. 3

4. 14 saci

5.

6.

12 cm

1200000 l

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) a = 8b a = 328 ⇒  .  a − b = 287 b = 41 2. f(x) = x Þ 2x – 3 = x Þ x = 3; A(3; 3).

(5p)

1.

3.

(5p)

a b c a b c = = ⇒ = = , a, b, c є , (1, 2, 3) = 1 Þ a = 1, b = 2, c = 3. 6 12 18 1 2 3

4. a) A ABCD = AB · AD · sinA = 16 · 8 · sin 60° = 64 3 .

(5p) (5p)

1 AABCD AMBC 1 b) = 4 = . 3 AABMD AABCD 3 4

(5p)

5. ABCDEF hexagon regulat. Þ triunghiul ACE echilateral, AC = AB 3 ⇒ AACE =

AC 2 3 = 75 3 . 4

(5p)

)

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte)

(

1. a) Din ∆ ABA' Þ AA′ = 5 3 cm; Atot = 100 3 + 50 cm2; V = 125 3 cm3; Răspunsuri, rezolvări, bareme

293

b) m(  (D'C, (ABCD))) = m(  D'CD) = 60°.

(5p)

c) d(M, (ABCD)) + d(M, (A'B'C'D')) = AA' = 5 3 cm. Analog d(M, (ADD'A')) + d(M, (BCC'B')) = AB = 5 cm, d(M, (ABB'A')) + d(M, (DCC'D')) = AD = 5 cm. Suma distanţelor lui M la feţele prismei este 10 + 5 3 cm.

(

2.

)

(5p)

1 a) Alat = 192 2 cm2; htr = 4 cm; Vtr = 162 + 82 + 16 × 8 cm3 = 448 cm3. 3 b) 45°.

(

)

c) Secţiunea obţinută este un pătrat cu latura egală cu


2. 112 (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte) 1. –9 + 5 – 21 + 29 = 4 2. (x, y) = (0, 3) 3. a) f(x) = x; (5p)

(5p) (5p)

16 + 8 = 12 cm. Asect = 144 cm2.(5p) 2

Testul 97 3. 72 (5p)

4. 338 cm (5p)

5.

6.

3 2 cm (5p)

6π cm2 (5p)

(5p) (5p) b) f(–11) = –11 deci M(–1; 34) ∉ Gf.

(5p)

4.

a b c = = = 5 ⇒ a = 4k, b = 3k, c = 5k Þ a2 + b2 = c2 Þ 4 3 5 triunghiul ABC dreptunghic în C. (5p) Fie trapezul ABCD, AB || CD, O intersecţia diagonalelor şi MN || AB, O є MN, M є AD, 5. N є BC. Aplicând teorema fundamentală a asemănării în triunghiul ABD (MO || AB) şi în DA MO CN NO , (1). triunghiul ABC (NO || AB) obţinem = = DB AB CB AB CN DM Dar AB || MN || DC, AD şi BC secante ⇒ (2). = CB DA Din (1) şi (2) Þ MO = ON. (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Din MA ⊥ ( ABCD) , AD ⊥ DC , AD, DC ⊂ ( ABCD) conform teoremei celor trei perpendiculare rezultă MD ⊥ DC ⇒ d(M, DC) = MD. Din triunghiul MAD, m(  A) = 90° Þ MD = 4 2 cm. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul DBA Þ BD = 4 2 cm. Fie AE ⊥ BD , 1 E є BD, triunghiul ABD dreptunghic isoscel Þ AE = BD = 2 2 cm. 2 Din MA ⊥ ( ABCD) , AE ⊥ DB , AE, DB ⊂ ( ABCD) , conform teoremei celor trei perpendiculare rezultă ME ⊥ DB ⇒ d(M, DB) = ME. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul MAE Þ ME = 24 cm. (5p) 294


1 ⋅ BD ⋅ ME = 8 2 cm2. 2 c) AABCD = 24 cm2; Vprismă = Ab · h = 24 · 4 = 96 cm3.

b) AMBD =


2. 14 lei (5p)

(5p) (5p)

Testul 98 3. 8 (5p)

4. 16 cm2 (5p)

5. cm2

148 (5p)

6. 64 cm3 (5p)


2 x > 0 2 x + 6 x − 8 > 16 − 2 x 8   6 x − 8 > 0 ⇒ < x < 8 (1) 6 x − 8 + 16 − 2 x > 2 x ⇒ 2, 4 < x < 4 (2). 6 16 − 2 x > 0 16 − 2 x + 2 x > 6 x − 8   Din (1), (2) şi x є  Þ x = 3. 2)2

3)2

+ (y + = 0 Þ (x, y)= (2; –3). 2. (x – 3. Fie x, y, z sumele primite de primul, al doilea respectiv de al treilea muncitor.  y = 2x  ⇒ (x, y, z) = (800; 1600; 4800). 3 y = z  x + y + z = 7200  1 4. a) AABG = AABC = 5 cm2. 3

(5p) (5p)

(5p)

(5p)

A 1 1 1 b) AMCG = AAMC = ABMC ⇒ MGC = . 3 3 AAMB 3 5. Aplicăm teorema lui Thales în triunghiul ABC AM AN 3 AN MN || BC ⇒ = ⇒ = ⇒ AN = 12, CN = 4. AB AC 4 16

(5p)

(5p)

SUBIECTUL III (30 puncte) 1. a) Fie M, N mijloacele segmentelor [BC], respectiv [AD]. Deoarece piramida este regulată rezultă că M, N şi centrul O al pătratului ABCD sunt coliniare. Dreapta d, de intersecţie a planelor (VAD) şi (VBC) este paralelă cu BC şi cu AD. VM ⊥ BC , BC || d Þ VM ⊥ d , analog VN ⊥ d . (1) (VAD) ∩ (VBC) = d (2); Din (1) şi (2) Þ (  (VAD), (VBC)) =  MVN Þ ∆ MVN este isoscel cu m(  (MVN)) = 60°. 1 1 AVBC = BC ⋅ VM = a 2 ⇒ Alat = 2a 2 . (5p) 2 2 b) Din triunghiul VMN Þ VO = Răspunsuri, rezolvări, bareme

a3 3 a 3 ; AABCD = a2; VVABCD = . 6 2

(5p) 295

c) Fie OS ⊥ VM , S є VM (1); OM ⊥ BC (2); SM ⊥ BC (3). Din (1), (2) şi (3) aplicând reciproca teoremei celor trei perpendiculare rezultă OS ⊥ (VBC ) ⇒ d(O, (VBC)) = OS. VO ⋅ OM a 3 = OS este înălţime în triunghiul dreptunghic VOM Þ OS = . (5p) VM 4 2. a) A 2 3 ABD = 9 3 cm ; VABDA′B′D′ = 54 3 cm .

(5p)

b) Din A′A ⊥ ( ABD) , AM ⊥ BD , M є BD, AM, BD ⊂ ( ABD) conform teoremei celor trei perpendiculare Þ A′M ⊥ BD ⇒ d(A', BD) = A'M. Din A'AM Þ A′M = 3 7 cm. (5p) c) (  A'C, (ABD)) =  (AC, pr(ABD) A'C) =  (A'C, AC) =  A'CA. tg (m(  A'CA)) =

AA′ 6 3 = = . AC 6 3 3

(5p)


2.

208 (5p)

3 2 (5p)

3.

4.

5.

6.

[0,3]

10

36

35

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


Desenează piramida Notează piramida

2.

a +b 2 Suma numerelor este 35 Celălalt număr este 35 − 7 = 28

3.

(4p) (1p)

ma =

(2p) (2p)

a) Notăm cu x preţul înainte de reduceri. 90% · 90% x = 81 Rezolvarea ecuaţiei: x = 100 lei

(3p) (2p)

b) p % din 100 = 81 lei

(1p)

p = 81

(2p)

Deci preţul, după cele două reduceri, s-a micşorat cu 19%

(2p)

4.

f (2) = a f (2) = 6 − 2a 6 − 2a = a Þ a = 2

5.

x 2 - 2 x -15 = (x - 5)(x + 3)

(1p) (2p) (2p)

2

x -10 x - 25 = (x - 5) 2

2

x - 2 x -15 x 2 -10 x + 25 296

(1p)

=

x +3 x -5

(2p) (2p) (1p) Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014


a) Fie M mijlocul muchiei [BC]. AM este distanţa de la punctul A la planul (BCE) (2p) AM = 3 m (3p) b) Ab =

3 Vprismă = 3 3 m3(1 punct pentru formulă)

(2p) (3p)

c) Aria totală a cortului = 18 + 2 3 m2 18 + 2 3 = 18 + 12 < 18 + 16 = 22, deci sunt suficienţi 22 m2 de pânză. 2.

(3p) (2p)

m2

a) 1 ha = 10000 2 8 ha = 80000 m

(2p) (3p)

b) Triunghiul ABP isoscel AB 2 AABP = 2 AABCD = AB · BC 1 AABP / AABCD = 4 Finalizare.

(1p)

c)

(1p) (1p) (1p) (1p)

2AB2

= 80000 AB = 200 m Din teorema lui Pitagora rezultă BP = 200 2 m BP  283 m

(1p) (1p) (2p) (1p)


2.

3.

4.

5.

6.

4

5

3

4 3

60

2

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


Desenează piramida. Notează piramida.

(4p) (1p)

2.

ïìï9l + 7 m = 76 í ïïîl + m = 10

(2p)

9 (10 - m)+ 7 m = 76

(1p)

m = 7

(2p)

3.

a)

1 = 0.25 = 25% 4 25 < 30 < 40 Persoana cheltuieşte cel mai puţin în a treia zi.


(2p) (2p) (1p) 297

b) Persoana cheltuieşte 95% din S, deci îi rămân 5% din S 5% din S = 100 S = 2000 lei

(2p) (1p) (2p)

4.

f (0) = 1 Þ A (0; 1) f (1) = 0 Þ B (1; 0) Trasarea graficului funcţiei (dreapta AB)

(2p) (2p) (1p)

5.

( 5 + 2) = 7 + 2

2

10

(2p)

p = 7 + 2 10 - 10 - 2 - 10 + 10 p = 15 Î

(2p) (1p)


2.

2 2 2 2 a) AC ¢ = AB + BC + CC ¢ AC ¢ = 13m

(2p) (3p)

b) Aria laterală = Pb · h Pb = 32 m Aria laterală = 96 m2

(2p) (2p) (1p)

c) 96000 litri = 96000 dm3 = 96 m3 48 · hapă = 96 hapă = 2 m

(1p) (2p) (2p)

a) Raza cercului = 15 m Lungimea celor două semicercuri este egală cu lungimea unui cerc. Lungimea cercului = 2pR Lungimea gardului = (30p + 80) m

(1p)

b) Aria dreptunghiului = 1200 m2 Aria celor două semicercuri = 225p m2 Aria patinoarului = (1200 + 225p) m2 1200 + 225p < 1200 + 225 · 3,15 < 2000

(1p) (1p) (1p) (2p)

c) Triunghiul ABC este isoscel

(1p)

(2p) (2p)

AO , unde O este mijlocul laturii [BC] sin m (ABC) = sin m (ABO) = AB AO = 15 m Din teorema lui Pitagora rezultă AB = 25 m 15 3 = . sin m (ABC) = 25 5

SUBIECTUL I (30 puncte)

(1p) (1p) (1p)

Testul 101

1.

2.

3.

4.

5.

6.

10

3 10 (5p)

10

6

45

45

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p) 298

(1p)




(4p) (1p)

2.

( a − 1) ( b + 1) = 6 ⇒ b + 1 ∈ 6 a, b ∈ ⇒ ( a, b ) ∈ {( 2, 5 ) ; ( 3, 2 ) ; ( 4, 1) ; ( 7, 0 )}

(2p) (3p)

3.

Se notează cu x preţul iniţial al televizorului; 11 preţul după scumpire este x + 10% x = x. 10 11  11  99 Preţul după ieftinire este x − 10%  x  = x. 10  10  100 99 x = 1980 100 x = 2000 lei

(1p)

a) Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei Trasarea graficului funcţiei.

(2p) (2p) (1p)

b) Fie punctul M (a , a). Avem f ( a ) = a şi f ( a ) = −a + 2 Finalizare: ambele coordonate sunt egale cu 1.

(3p) (2p)

4.

5.

( (

3 + 2 ) ⋅ (5 − 6 ) = 3 3 + 2 2

2 − 1) = 3 − 2 2 a = 3∈ SUBIECTUL III (30 puncte) 1.

2.

2

(1p) (2p) (1p)

(2p) (2p) (1p)

a) AC 2 = 2 AB 2 ⇒ AC 2 = 1800. CC ′ = AC = 30 2 cm.

(2p) (3p)

b)  ( AP, ( ABC ) ) ≡ PAC ∆ACC ′ este dreptunghic isoscel m( AP, ( ABC ) ) = 45°

(2p) (1p) (2p)

c) Fie PT ⊥ ( ABC ) şi cum A, C', P sunt puncte coliniare, rezultă că T ∈ AC. PT În ∆APT , sin 45° = AP PT = 45 2 cm

(1p)

a) OM = 8, unde O este mijlocul diametrului [AB]

(1p)

2

2

(2p) (2p)

MD = 8 + 24 = 8 10 m Distanţa parcursă de albină este de ( 8 + 8 10 ) m

(3p) (1p)

b) Sunt 2 cercuri, fiecare cu raza r = 8 m. Aria suprafeţei plantate cu flori este egală cu A = 2 π r2 = 128 π m2.

(2p) (3p)

c) Aria dreptunghiului este egală cu 512 m2. Aria porţiunii haşurate este egală cu 128 · (4 – π) m2 π > 3,14 ⇒ 4 – π < 0,86 ⇒ 128 (4 – π) < 111 m2

(2p) (1p) (2p)


299


Testul 102

1.

2.

3.

4.

5.

6.

15

15

(– ∞, 2]

16

150

12

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)



(4p) (1p)

2.

b = 5 +1 ab = 2

(2p) (3p)

3.

Notând cu x numărul fetelor din clasă, rezultă că numărul băieţilor este egal cu 26 – x (1p) x – 2 = 2 ⋅ (26 – x – 3) (2p) Finalizare: x = 16 (2p)

4.

a) Reprezentarea unui punct care aparţine graficului funcţiei f Reprezentarea altui punct care aparţine graficului funcţiei f Trasarea graficului funcţiei

(2p) (2p) (1p)

b) A ( a, − a ) ∈ G f ⇒ f ( a ) = − a −2a + 3 = − a ⇒ a = 3

(2p) (3p)

5.

2− x 3 = x +1 x +1 x −1 1 = 2 2 3 ( x + 1) ( 2 x + 1) − ( x + 2 ) E ( x) = 9

(1p)

a) Alaterală = Pbazei ⋅ h Alaterală = 1600 cm2

(2p) (3p)

b) Notând cu hapă înălţimea la care se ridică apa în vază, avem Vapă = Abazei ⋅ hapă Abazei = 100 cm2 Vapă = 3000 cm3 ⇒ hapă = 30 cm

(1p) (2p) (2p)

c) Vcub = 64 cm3 Volumul celor 4 cuburi este egal cu 256 cm3 Nivelul apei a crescut cu 2,56 cm

(2p) (1p) (2p)

1+

(2p) (2p)


2.

a) DB =

AD 2 + AB 2

DB = 35 cm

(2p) (3p)

b) Distanţa de la E la AB este egală cu 21 cm Aria cerută este egală cu 294 cm2.

(2p) (3p)

c) Notând cu P proiecţia punctului A pe dreapta EB, obţinem AP =

sin ( AEB ) = 300

12 . 13

84 13 cm 13

(2p) (3p)



Testul 103

1.

2.

3.

4.

5.

6.

26

15

9

32

27

5

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)


Desenează piramida triunghiulară regulată. Notează piramida triunghiulară regulată.

(4p) (1p)

2.

8=2 2 2 + 8 −3 2 = 2 + 2 2 −3 2 = 0

(2p) (3p)

3.

Călin are 12 – 7 = 5 mere Ana are 8 – 5 = 3 mere

(3p) (2p)

4.

a) f ( 0 ) = 2 f ( −2 ) = 0

(2p) (2p)

f ( 0 ) + f ( −2 ) = 2

(1p)

b) Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei Trasarea graficului funcţiei 5.

1 x 2 − 2 = x − 2 x − 4 ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) 2 E ( x) = ⋅ = 1 ( x − 2) ( x + 2) 2 SUBIECTUL III (30 puncte) 1.

a) DABD este dreptunghic în A ⇒ BD2 = AB2 + AD2 2

2

AB = BD − AD = 20 3 m

(2p) (2p) (1p) (2p) (2p)

(2p) (3p)

b) AC ∩ BD = {O} şi ABCD dreptunghi ⇒ AO = OD = AD = 20 m ⇒ DAOD echilateral (3p) m(AOD) = 60° (2p)

2.

c) AABCD = AB ⋅ AD = 400 3 m 2 3 < 1, 74 ⇒ 400 3 < 400 ⋅1, 74 ⇒ 400 3 < 696, deci aria suprafeţei locului de joacă este mai mică decât 700 m2.

(3p)

a) PABCD = 2 ( AB + BC ) = 2 ( 4 + 6 ) = = 20 dm

(3p) (2p)

b) Abazei = 24 dm2 Alaterală = PABCD · AA' = 160 dm2 Atotală = Alaterală + 2 · Abazei = 208 dm2

(2p) (3p)

c) AC = 2 13 dm

(2p)

PQ linie mijlocie în ∆AB ′C ⇒ PQ = 4. Variante date la examene

AC = 13 dm . 2

(2p)

(3p) 301

Evaluare Nationala 2014 - Editura CABA

Recommend Documents