Estudio de la Clotoide o Espiral de Euler. Su expresión más simple es
A2 = R x L
Corresponde a la espiral con más uso en el diseño de carreteras, sus bondades bondades con respecto a otros elementos geométricos curvos, permiten obtener carreteras cómodas, seguras estéticas! Las principales venta"as de las espirales en alineamientos #ori$ontales son las siguientes% &na &na curva curva espir espiral al diseñ diseñada ada apro apropia piada damen mente te prop propor orcio ciona na una una traectoria natural 'ácil de seguir por los conductores, de tal manera (ue la 'uer$a centr)'uga crece o decrece gradualmente, a medida (ue el ve#)culo entra o sale de una curva #ori$ontal! La longitud de la espiral se emplea para reali$ar la transición del peralte la del sobreanc#o entre la sección transversal en l)nea recta recta la secció sección n trans transver versal sal comple completam tamen ente te peralt peraltad ada a con sobreanc#o de la curva! *l desarrollo del peralte se #ace en 'orma progresiva, con lo (ue se consigue (ue la pendiente transversal de la cal$ada sea, en cada punto, la (ue corresponde al respectivo radio de curvatura! La +exibilidad +exibilidad de la clotoide las muc#as combinaciones combinaciones del radio con la longitud, permiten la adaptación a la topogra')a, en la maor)a de los casos la disminución del movimiento de tierras, para obtener tra$ados más económicos! Con el empleo de las espirales en autopistas carreteras, se me"ora consid considera erable blemen mente te la apari aparienc encia ia en rela relació ción n con con curva curvas s circul circular ares es nicamente! nicamente! *n e'ecto, mediante mediante la aplicación aplicación de espirales se suprimen suprimen las discontinuidades notorias al comien$o al -nal de la curva circular .téngase en cuenta (ue sólo se utili$a la parte inicial de la espiral/, la cual cual se disto distorsi rsion ona a por el desar desarro rollo llo del pera peralte lte,, lo (ue (ue es de gran gran venta"a también en el me"oramiento de carreteras existentes! Ecuaciones Paramétricas La clot clotoi oide de se pued puede e de-n de-nir ir como como una una curv curva a tal tal (ue (ue su radi radio o es inversamente proporcional a su longitud! Su ecuación intr)nseca es%
Donde: L
%
Longitud desde el origen a los puntos indicados, .m/
R
%
Radios en los puntos indicados, .m/
A
%
0arámetro de la clotoide, .m/
Parámetro A a.
Consideraciones generales 0or de-nición, en las clotoides la curvatura var)a gradualmente desde cero .1/ en la tangente, #asta un valor máximo correspondiente al de la curva circular espirali$ada, a (ue el radio de la curva, en cual(uier punto de la espiral, var)a con la distancia desarrollada a lo largo de la misma, manteniendo su parámetro A constante! *s decir, an cuando el radio la longitud de los distintos puntos de la clotoide tienen di'erentes valores, estos están ligados entre s), de modo (ue su producto es un valor constante, pudiéndose 'ácilmente calcular uno de ellos cuando se conoce el valor del otro Las clotoides de parámetro A grande, aumentan lentamente su curvatura , por consiguiente, son aptas para la marc#a rápida de los ve#)culos! Las espirales de parámetro A pe(ueño aumentan rápidamente su curvatura , por consiguiente, se utili$an para velocidades de marc#a reducida *l parámetro A, al -"ar el tamaño de la clotoide, -"a la relación entre R .radio/, L .longitud/ ( .ángulo central de la espiral/!
b.
Cálculo
Si en la 'órmula A 2=R x L #acemos R=L, entonces% A = R = L, el punto en (ue tal cosa ocurre es el punto paramétrico de la clotoide, punto en el cual el radio de curvatura la longitud del arco desde el origen son iguales! *n el punto paramétrico corresponde un arco entre las tangentes de 234536728! Elementos de la Clotoide
R x L = A2 < = 2e >
999:
Rc x Le = R x L
99999:
R = .Rc x Le/; L
?tra caracter)stica de la clotoide es = L2;2RLe signi-ca (ue el ángulo central de la Clotoide , , var)a proporcionalmente al cuadrado de de su arco, o distancia desde @* #asta el punto considerado! Si, = e entonces L = Le R = Rc sustituendo
e = Le;2Rc .Rad!/
Si se (uiere en rados multiplicar por .B31;pi/ Relacionando las dos ecuaciones de e tenemos .; e/ = L2;2RLe / Le;2Rc = .L;Le/2 9999:
.; e/ = .L;Le/2
Las Coordenadas cartesianas de un punto sobre la curva .0SC/ serán% = L .B D 2; B1/
E = L .; 5 D 5; F2/
en Rad!
*n el punto *C ó C* tendremos e = Le .B D e2; B1/
Ee = Le .e; 5 D e5; F2/
en Rad!
Reempla$ando en E, el valor de tenemos la *cuación general de la Curva Y = L3 / 6RLe Gue indica (ue la Clotoide es aproximadamente una parábola cbica! Si se observa la Higura 15 se puede notar (ue la espiral despla$a la curva circular #acia el centro de esta separándola un distancia E e en el punto donde estas empalman .*C C*/ una distancia p, llamada dislo(ue, en el 0C! Aun(ue el 0C no existe dentro de la curva, es el punto donde supuestamente estar)a ubicado éste si no se tiene la curva espiral, en otras palabras, es el punto donde la tangente a la prolongación de la curva circular es paralela a la tangente de la curva! *l punto 0C está ubicado a una distancia I desde el @* en la dirección de la tangente! *l valor de I se conoce como abscisa media a (ue su valor es aproximadamente igual a la mitad de Le! 0odr)a decirse entonces, (ue el dislo(ue es el valor de E en la mitad de la curva espiral (ue la mitad de la curva espiral reempla$a parte de la curva circular! Je la Higura 115 se tiene (ue%
I, 0, entonces son las coordenadas cartesianas del punto 0C La utilidad del dislo(ue radica en (ue de acuerdo a su valor se de-ne la necesidad o no de utili$ar curvas de transición! &n valor mu pe(ueño signi-ca (ue la traectoria de la curva circular simple es mu similar a la descrita con curvas de transición por lo (ue se podr)a prescindir de estas! &n valor alto indica (ue las dos traectorias son lo su-cientemente di'erentes para considerar (ue se deben usar las espirales de transición! Je acuerdo a la 'órmula de cálculo del dislo(ue se puede observar (ue al aumentar el radio disminue el peralte por lo (ue curvas con radios mu grandes no re(uiere de espirales de transición! Aun(ue se #an mane"ado valores l)mites para dislo(ue, inicialmente 'ue de 1!51 m luego de 1!B m, por deba"o de los cuales se recomienda no usar transiciones, los diseños actuales contemplan el uso de espirales para todas las curvas de un tra$ado sin importar el valor del dislo(ue! &bicación del @* .o *@/ Je la Hig! 1B obtenemos (ue%
Je la misma -gura obtenemos (ue el valor de la externa será% *c= .Rc>0/.sec <;2/ 9 Rc *l valor de la @angente Larga la @angente Corta será% @c= Ee; .sene/
@l= e D @c .cose/
*l valor de la cuerda Larga Ce, de la -gura 12, tenemos
Je la 'ig! 12 tomamos (ue el ángulo K llamado ángulo de de'lexión, es el 'ormado por la l)nea (ue une un punto cual(uiera sobre la clotoide con el @* la l)nea @*90! Si aceptamos (ue este ángulo es lo su-cientemente pe(ueño, entonces aceptamos (ue el arco se con'unde con la cuerda, por lo tanto% = L sen K = L ! K , entonces ecuación general, tenemos
K = ;L!
reempla$ando M8 de la
K = L2;.NRcLe/ pero sabemos (ue = L2;2RLe, entonces% K = O ; 5 Los parámetros de la curva circular se obtienen de las mismas 'ormulas de la curva circular simple! Sabiendo (ue% < = 2e > Lc Lc = .P Rc < c/; B31
