Conocimiento Nº1: Curvas de Enlace o Transición
Una curva de transición corresponde a la unión de dos alineaciones que tienen radio de curvatura constante. Por ejemplo, la unión de una recta de radio infinito R =∞, con una curva circular de radio R; dos curvas circulares de radios distintos o dos rectas de dirección distinta. Si R = ∞ => curvatura = 0.
La Clotoide y elementos geométricos de la clotoide.
Es una espiral espiral que aumenta aumenta su curvatura curvatura en la medida que aumenta aumenta su longitud, longitud, desde cero hasta infinito. La clotoide permite que el móvil adopte una trayectoria curva gradual y contraste el efecto de la aceleración centrífuga (experimenta una variación uniforme de dicha aceleración). Permite una marcha uniforme y cómoda para el usuario que la recorre. El desarrollo del peralte es progresivo, por lo que la pendiente transversal de la calzada aumenta a medida que aumenta la curvatura. Se facilita la adaptación del trazado a las características del terreno.
Conocimiento Nº2: Ecuaciones paramétricas y ecuaciones cartesianas de la clotoide. Ecuaciones paramétricas. En la clotoide, el producto del RADIO por la LONGITUD, para un punto determinado, es el mismo en todos los puntos de la curva.
A: Parámetro de la clotoide (m). R: Radio (m). L: Desarrollo (m). (desde el origen al punto de radio R )
A2 = R * L
Ecuaciones cartesianas.
y R * dτ = dL dτ = dL R
τ
dτ
8
R
= R
dτ = dL
dy
τ =
dx
dL * L 2 A 2
L 2 2*A
Fk τ en radianes
L
τ =
L 2 * R
τ Pk
Vk
x
τ en g τ = 31,831 * L R
t es el ángulo comprendido entre la tangente a la curva en el punto (R,L) y la alineación recta normal a R = que pasa por el origen de la curva. Las ecuaciones cartesianas determinan el valor de la ordenada y de la abscisa. De la figura podemos decir que: ∞
dx = dl* cos dt dy = dl* sen dt Para obtener el valor de X e Y se desarrolla la serie de Freshner:
X = L (1 - τ 2 + τ 4 - τ 6 +...) 10 216 9360 Y = L ( τ − τ3 + τ 5 − ...) 3 42 1320
Conocimiento Nº3: Cálculo de parámetros de la clotoide.
En la siguiente tabla, se han obtenido el largo de la clotoide, las coordenadas X e Y y el ángulo t. Empleando las fórmulas indicadas en Conocimiento Nº2, podremos calcular dichos datos teniendo como información el valor del parámetro A y el radio R. A (m)
R (m)
L (m)
60
250
14,4
80
250
100
g
X (m)
Y (m)
1,8335
14,399
0,138
25,6
3,2595
25,593
0,437
250
40
5,0930
39,975
1,066
120
250
57,6
7,3339
57,524
2,21
150
250
90
11,4592
89,709
5,388
200
250
160
20,3718
158,369
16,942
Si analizamos los datos se puede decir que el valor de X es aproximadamente igual a L. En tanteos preliminares se puede asumir esta aproximación.
Conocimiento Nº4: Elementos del conjunto Recta, Arco de enlace y Curva circular.
La figura siguiente muestra los elementos del conjunto recta-arco de enlace y curva circular:
V Tt
γ
BK
X VK Xo
τ
Y FK-PC
Tl
FK-FC
Tc
∆ R
R
γ/2
γ/2
PK
PK
R
ω τ
τ
o
En que: A : parámetro de la clotoide γ : ángulo del centro de la curva total ω : ángulo del centro de la curva circular τ : ángulo del centro de la clotoide PK: principio de c lotoide FK: fin de la clotoide VK : vértice de la clotoide R : radio de la curva circular L : longitud de la clotoide Tt : tangente total Tc : tangente corta Tl : tangente larga BK : trazo desde el vértice V, hasta el punto medio del sistema. ∆ R : retranqueo. Distancia medida sobre la perpendicular del centro de la circunferencia, medida desde la tangente principal, hasta el punto donde intercepta a la curva circular. Diferencia entre el radio de la circunferencia ideal, tangente a la recta y el radio de la utilizada. x0 : distancia desde el PK al punto donde baja una perpendicular que va al centro del c írculo. X : abscisa del FK, con inicio en PK Y : ordenada de FK
Conocimiento Nº5: Cálculo de elementos de alineamiento compuesto (Recta-Arco de enlace-Arco circular).
Para el cálculo de los elementos que componen el sistema se emplean las siguientes fórmulas:
Tc = Y sen τ Tl = X - Ycotg τ xo = X - R* sen τ ∆R = Y + R (cosτ − 1)
Tt = xo + (R + ∆R) * tg (γ / 2) Bk= sec(γ / 2) + (R + ∆R) - R Dt= 2L + Dc (desarrollo total del sistema si las clotoides son simétricas. Conocimiento Nº6: Cálculo de datos para replanteo de clotoide.
Recordemos que uno de los métodos de replanteo de curvas horizontales es el método de las deflexiones o desviaciones. Teniendo en cuenta que se trata del replanteo de una clotoide, se debe considerar que el ángulo de deflexión se obtiene en virtud del valor de la cuerda y el parámetro A. En este caso el ángulo de deflexión se calcula mediante la siguiente fórmula:
φ
2 2
A
En que: l: cuerda (valor acumulado). A: parámetro de la clotoide. φ: ángulo de replanteo (deflexión). En el caso de la clotoide se debe comprobar que: φ má x =
τ / 3
Ejemplo: Calcularemos los datos de replanteo de una clotoide de parámetro 80m que enlazará un arco circular de radio R=70m. Los resultados se indican en la tabla. Parcial (m)
Acumulada (m)
0
0
10
10
0,1658
10
20
0,6631
10
30
1,4921
10
40
2,6526
10
50
4,1447
10
60
5,9683
10
70
8,1235
10
80
10,6103
11,429
91,429
13,8585
máx =
(g) 0
2
L =A / R L = 91,429m
τ = L / 2R τ =41,5754g τ = 13,8585g
3
/3
Conocimiento Nº1: Diseño Geométrico de Curvas de Transición.
El uso de elementos de curvatura variable como la clotoide, es necesario por razones de comodidad, seguridad y estética. La curvatura variable permite desarrollar el peralte a lo largo de un elemento curvo. De acuerdo al Manual de Carreteras se emplearán arcos de enlace o transición en todo proyecto en que la velocidad de proyecto sea mayor o igual a 40km/h.
Plano planta con diseño de clotoides simétricas.
Conocimiento Nº2: Criterios para elección del parámetro A, de la clotoide.
•
Condición visual y estética : el parámetro de la clotoide debe tener un valor entre R y R/3; esto por condición de guiado óptico (para mantener una clara percepción del elemento de enlace y la curva circular). R/3 ≤ A ≤ R
La condición de A ≥ R/3 asegura que el ángulo τ será mayor o igual a 3,54 g. La condición A ≤ R asegura que sea menor o igual que 31,83g τ
Para radios de más de 1000m se aceptan ángulos A=R/3,2. •
τ
de hasta 3,1g que está dada por
También por condición de guiado óptico, es conveniente que si el Radio enlazado posee un R ≥ 1,2 Rm el Retranqueo de la Curva Circular enlazada ( ΔR) sea ≥ 0,5. Según esta condición, el parámetro A se puede calcular con la siguiente expresión: A ≥ (12R 3)0,25
Estas condiciones geométricas deben complementarse de modo de asegurar que:
•
Verificación por transición de peralte : la longitud de la clotoide debe ser suficiente para desarrollar el peralte. Esta condición se cumple si:
A≥
n ⋅ a ⋅ p ⋅ R Δ
n: Número de pistas entre el eje de giro del peralte y el borde del pavimento peraltado. a: Ancho normal de una pista (m). Se prescinde de los posibles ensanches. p: Peralte de la Curva. R: Radio de la Curva. ∆: Pendiente Relativa del borde peraltado respecto del eje de giro. •
Condición dinámica: la longitud de la clotoide debe ser suficiente para que el incremento de la aceleración transversal no compensada por el peralte, pueda distribuirse a una tasa uniforme J (m/s 2). El parámetro de acuerdo a esta condición se calcula con la expresión siguiente:
Ve ⋅ R Ve 2 A= −1,27 ⋅ p 46,656 ⋅ J R Ve: Velocidad Específica (km/h) con máximos de 110 km/h en Caminos y 13 km/h en Carreteras. R: Radio de la Curva Circular. J: Tasa de distribución de la Aceleración Transversal (m/s 2). P: Peralte de La Curva Circular. Conocimiento Nº3: Parámetro A, mínimos y normales. Desarrollo máximo de la clotoide. Radios que no requieren el uso de clotoide. Parámetro A, mínimos y normales. La siguiente tabla indica el valor del parámetro mínimo, según criterio de J máxima y máxima. Vp (km/h)
Rm (m)
A mínimo Bidireccionales Unidireccionales
Caminos (p máx =7% ) 40
50
29
-
50
80
37
-
60
120
48
68
70
180
60
83
80
250
83
117
Carreteras (p máx = 8% ) 80
250
89
125
90
330
110*
144
100
425
142*
173
110
540
190
195
120
700
-
234
Para radios entre 500 y 1.000m, prevalece el criterio en que R ≥ 0,5 m, tanto para Carreteras como para Caminos. Para radios sobre 1.000m prevalece el criterio en que A ≥ R/3. No obstante entre R = 1.000 y 1.200 m se hace una transición empleando una factor que pasa de R/3 a R/3,2 y para R ≥ 1.200 m el valor de A mínimo se determina mediante la expresión A mín ≥ R/3,2. Desarrollo máximo de la clotoide. Sabiendo que el valor máximo de A=R, no es conveniente emplear desarrollos clotoidales muy largos, a los que se asocia valores de J muy pequeños. El desarrollo máximo se limita atendiendo a la expresión:
L máx. = 1.5 L normal Esta limitación es válida para clotoides que enlazan radios superiores a 200m. Radios que no requieren el uso de clotoide. Los Radios que NO requieren el uso de clotoide son: •
En caminos con Vp menor o igual a 80 km/h, si R > 1500m
•
En carreteras con Vp mayor o igual a 80 km/h, si R > 3000m
Conocimiento Nº4: Desarrollo de peralte en curvas de transición.
Cuando existe Arco de Enlace, el desarrollo del peralte puede darse de forma tal que el valor alcanzado sea exactamente el requerido por el radio de curvatura en el punto considerado obteniéndose el valor máximo de “p” justo en el PC de la C.C. retranqueada. Para lograr esto, es necesario, en el caso de las calzadas con doble bombeo o bombeo único en sentido contrario al de giro de curva, hacer el giro de la pista o la calzada hasta alcanzar la pendiente nula en la alineación recta. Puesto que si se hiciera la transición desde –b% a 0% dentro de la curva de enlace, quedaría un sector con déficit de peralte. Por otra parte, para altas velocidades, la longitud de la curva de enlace suele ser superior al desarrollo requerido para la transición del peralte entre 0% y p. En estos casos la pendiente del borde peraltado respecto del eje de giro ∆ puede resultar pequeña y por tanto la zona con pendiente transversal cercana a 0%, tiende a ser demasiado extensa desde el punto de vista del drenaje. 1 2 3
2
En la imagen se puede observar cómo se desarrolla el peralte. 1
1
Recta
Inclinación transversal = bombeo
2
Clotoide
Inclinación transversal = variable
3
Curva circular
Inclinación transversal = peralte
Conocimiento Nº5: Diagrama de curvatura. Diagrama de peralte.
Para el caso de trazado con clotoide, el diagrama de curvatura se representa gráficamente como lo señala la figura adjunta. En a) se muestra un conjunto recta- clotoide-curva circular a la derecha; y en b) el mismo sistema, pero con una curva a la izquierda.
a) b)
En el diagrama de peralte, los bordes y el eje de giro del peralte se dibujan con líneas específicas:
BD Eje de giro BI Si observamos el siguiente plano, el alineamiento horizontal está formado por tramos en recta-clotoide-curva circular, a la derecha. Las clotoides son simétricas y tienen un parámetro A=80. La clotoide enlaza una recta con una curva circular a la derecha de radio R=150m.
El diagrama de curvatura (en rojo) y el diagrama de peralte (en azul) representan un sector del alineamiento señalado en la figura anterior. El peralte de la curva tiene un valor de 7,5%. La transición del peralte se efectúa en la clotoide desde un bombeo de 2,5% a 7,5%.
