DEMOSTRACION DE LA FORMULAS DE EULER PARA COLUMNAS
COLUMNAS CON SUS EXTREMOS ARTICULADOS
La Fig. 1 muestra la línea media de la co lumna en equilibrio bajo la acción de la carga critic a P.
se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rotulas, o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La flecha máxima
es
suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud uncial de la columna y su proyección sobre el eje vertical. En estas condiciones, la
es pequeña y
puede aplicarse la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:
La ecuación
no se puede integrar directamente. Se trata en este caso de una ecuación
diferencial lineal de coeficientes constantes y cuya solución general, al no tener término independiente, viene dada por:
() ( () ( ()
La ecuación diferencial
puede resolverse escribiéndola en la forma:
Que después de multiplicar por
para obtener diferenciales exactas, da por integración:
Ahora, de acuerdo con la Fig.1 para lo que la ecuación
se transforma en
0,
. Sustituyendo en
da
, por
O sea
√ √
Separando variables
Cuya integración da
Para hallar
se aplica la condición
O sea
para
, de donde
Lo que indica que la forma de la elástica es senoidal. Haciendo ecuación se obtiene
. Asi, pues.
para
esta ultima
O bien
De donde
El valor
no tiene sentido, ya que seria
. Para los demás valores de
la columna
flexa en la forma indicada en la Fig. 2. de estas posibles soluciones, la mas importante es la (a). las otras soluciones ocurren para cargas mayores, pero solo son posibles físicamente si la columna tiene la sujeciones laterales en el punto medio o en los tercios de la luz,
respectivamente, que la obliguen a tomar precisamente esta forma. LA CARGA CRITICA, PARA UNA COLUMNA ARTICULADA EN SUS EXTREMOS, ES
COLUMNAS EMPOTRADAS EN AMBOS EXTREMOS
En las columna doblemente empotrada de la Fig. 3, por simetría, los punto de inflexión están en los cuartos de la luz, y como el momento flector es nulo en estos, los diagramas del solido
aislado de la Fig. 3(b) indica que la mitad central de la columna doblemente empotrada equivale a una columna articulada en sus extremos, de longitud Partiendo de la ecuación
Haciendo
para
.
esta ultima ecuación se obtiene
O bien
De donde
para determinar el máximo valor de
AMBOS EXTREMOS EXTREMOS
PARA COLUMNAS EMPOTRADAS EN
COLUMNAS EMPOTRADAS EN UN EXTREMO Y ARTICULADO EN EL OTRO
Otro tipo de columna que suele presentarse es la empotrada en un extremo y articulada en el
otro, como se indica en la Fig. 4. El punto de inflexión aparece, como puede demostrarse, a del extremo articulado.
Partiendo de la ecuación
Haciendo
para
esta última ecuación se obtiene
O bien
De donde
para determinar el máximo valor de
UN EXTREMOS Y ARTICULADA EN EL OTRO.
FORMULA MUY APROXIMADA SERIA
, PARA COLUMNAS EMPOTRADAS EN
