Taller de Regresion _final

LABORATORIO DE PROCESOS AGROINDUSTRIALES Programa de Ingeniería Industrial – V Semestre

CONTROL DE PRODUCCION EJERCICIOS DE REGRESION LINEAL SIMPLE Y MULTIPLE

Preparado por:

ARVEY MANCHOLA VARGAS Código: 4009018169

CARLOS ALBERTO FIAGA FIGUEROA Código: 4009018123

FABIO ANDRES SALAZAR DURAN Código: 4009017887

CLAUDIA MARCELA LOPEZ OSPINA Código: 4009018211

Presentado a:

MIGUEL ANGEL GONZALEZ URIBE Ingeniero Industrial

CORPORACION UNIVERSITARIA DEL HUILA “CORHUILA” PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL SEPTIMO SEMESTRE NEIVA (HUILA), MARZO 2012

CONTROL DE PRODUCCIÓN

CORPORACIÓN CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL HUILA CORHUILA INGENIERÍA INDUSTRIAL

1. Sobre un conjunto de conductores se ha realizado una encuesta para analizar su edad (Y) y el número de accidentes que han sufrido (X). A partir de la misma, se obtuvieron los siguientes resultados:

X/Y 0 1 2

(20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 74 7 3

82 6 2

78 5 2

72 6 1

7 5 1

A partir de estos datos, se le pide que determine para esta distribución las curvas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

Solución del ejercicio:

Y X

(20,30]

(30,40]

(40,50]

(50,60]

(60,70]

TOTAL

0

74

82

78

72

7

313

1 2

7 3

6 2

5 2

6 1

5 1

29 9

Ʃ

84

90

85

79

13

351

x=

Número de Accidentes que han sufrido

y=

Edad

N Ó I S E R G E R E D S O I C I C R E J E : R E L L A T

2


RESUMEN DE DATOS CANTIDAD PERSONAS

EDAD PROMEDIO

No. ACCIDENTES

74

25

0

7

25

1

3

25

2

82

35

0

6

35

1

2

35

2

78

45

0

5

45

1

2

45

2

72

55

0

6

55

1

1

55

2

7

65

0

5

65

1

1

65

2

Gráficas 70 60 s 50 a n o s r e 40 P e d d 30 a d i t n a 20 C

10 0 0 y = 1,105x + 40,493

0,5

1

1,5

No. de Accidentes que han sufrido

2

2,5


3


2,5 o d i r 2 f u s n a h e 1,5 u q s e t n e 1 d i c c A e d . 0,5 o N

0 0

10

y = 0,0013x + 0,0801

20

30

40

50

60

70

Cantidad de Personas

2. Para la economía española, disponemos de los datos anuales redondeados sobre consumo final de los hogares a precios corrientes (Y) y renta nacional disponible neta (X), tomados de la Contabilidad Nacional de España base 1995 del INE, para el período 1995-2002, ambos expresados en miles de millones de euros:

Año 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Yt 258'6 273'6 289'7 308'9 331 '0 355'0 377'1 400'4 Xt 381 '7 402'2 426'5 454'3 486'5 520'2 553'3 590'0

Considerando que el consumo se puede expresar como función lineal de la renta (Yt=a+bX t), determine:

a) Los parámetros a y b de la recta de regresión.


4


b) El coeficiente de determinación de dicha regresión. c) La predicción del valor que tomará el consumo para una renta de 650.000 millones de euros.

Solución del ejercicio: Año

Xt

Yt

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

381,7 402,2 426,5 454,3 486,5 520,2 553,3 590,0

258,6 273,6 289,7 308,9 331,0 355,0 377,1 400,4

450,0 s 400,0 e t n e i r r 350,0 o C s o 300,0 i c e r P a 250,0 s e r a 200,0 g o h l a 150,0 n i f o m100,0 u s n o C 50,0

y = 0,6834x - 1,5973

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

Renta nacional disponible neta

600,0

700,0


5


a) Los parámetros a y b de la recta de regresión son: Y  a  bX  a  1,5973 b  0,6834

b) El coeficiente de determinación es igual a 0,9998, es decir, que la confiabilidad que me brinda el pronóstico es de 99,98 %.

c) La predicción del valor del consumo para una renta de 650.000 millones de Euros se calculara con la ecuación y  0,6834  1,5973, expresando en miles de millones el valor correspondiente (   650,1. Reemplazando en la fórmula obtendremos,

y  0,6834  1,5973 y  0,6834650,1  1,5973 y  , 

Por lo tanto la respuesta estará dada por 442.600 millones de Euros (€) en el consumo final de los hogares a precios corrientes.


6



7


Variable X 1 Gráfico de los residuales 2 s 1 o u d i 0 s e R

-1

100,0

200,0

300,0

-2

400,0

500,0

600,0

700,0

Variable X 1

3. Se supone que se puede establecer cierta relación lineal entre las exportaciones de un país y la producción interna de dicho país. En el caso de España, tenemos los datos anuales (expresados en miles de millones de pesetas) para tales variables correspondientes al quinquenio 1992-96 en la siguiente tabla:

Años

Producción Exportaciones

1992

52.654

10.420

1993

53.972

11.841

1994

57.383

14.443

1995

61.829

16.732

1996

65.381

18.760

A partir de tal información, y considerando como válida dicha relación lineal, se pide:


8


a)

Si la producción para el año 1997 fue de 52.106.100 millones de pesetas, ¿cuál sería la predicción de las exportaciones para este año? ¿Qué grado de precisión tendría dicha predicción?

b) Si sabemos que las exportaciones para 1997 fueron de 69.045.704 millones de pesetas, ¿cuál sería la producción interna aproximada para ese año? ¿Qué grado de confianza daría usted a esta predicción?

Solución del ejercicio: Años 1992

Producción (x) Exportaciones (y) 52.654 10.420

1993

53.972

11.841

1994

57.383

14.443

1995

61.289

16.732

1996

65.381

18.760

Gráfica 25.000

20.000 s e n 15.000 o i c a t r o p 10.000 x x E

5.000

y = 0,6466x - 23154

10.000

20.000

30.000

40.000

Producción

50.000

60.000

70.000


9


a) Producción para el año 1.997= 52.106.100 millones de pesetas, representados en miles de millones obtendría,   52106,1. Reemplazamos en la ecuación:

y  0,6466  23154 y  0,646652106,1  23154 y  , !

Es decir, que el valor de las exportaciones sería de 10.539.000 millones de pesetas aproximadamente. En cuanto a la precisión de la predicción, consideramos que la precisión está relacionada con la menor cantidad de residuos presentados en el modelo, por lo tanto si observamos la gráfica de los residuales observamos que es poco preciso.

Variable X 1 Gráfico de los residuales 1000 s o u d i s e R

500 0 -500 -1000

-

10.000

20.000

30.000

40.000

Variable X 1

50.000

60.000

70.000


10


b) Exportaciones para el año 1997 = 69.045.704 millones de Pesetas, representadas en miles de millones obtendremos que, "  69045,704

y  0,6466  23154 69045,704  0,6466  23154 Despejamos x,



69045,704  23154 0,6466

  #, 

Es decir, que el valor de la Producción sería de 142.591.500 millones de pesetas. En cuanto al grado de confianza, tendríamos en cuenta el valor que nos brinda el modelo de pronóstico en el coeficiente de determinación (R 2), de 0,9856. Generándome un grado de confiabilidad de un 98,56%, y una viabilidad de 0,99, muy cercano a 1, por lo que concluimos que el grado de confianza que nos brinda el pronóstico es bastante alto. N Ó I S E R G E R E D S O I C I C R E J E : R E L L A T

11



12


4. La empresa COLOBONA S. A .L. ha trabajado hasta ahora con la hipótesis de que las ventas de un período dependen linealmente de los gastos de publicidad efectuados en el período anterior. En este momento, le solicitan a usted la realización de un análisis que ponga de manifiesto si la hipótesis, hasta ahora mantenida, se puede seguir sosteniendo en función de los datos que le suministran.

AÑOS

GASTOS

VENTAS

1987

21

1988

22

19

1989

25

20

1990

26

22

1991

27

23

1992

29

24

1993

30

26

En el informe final de su análisis, deberá responder a las siguientes preguntas:

a) ¿Se incrementarán las ventas del período siguiente al aumentar los gastos en publicidad del período actual?

b) ¿Es adecuado suponer que el ajuste entre estas variables es efectivamente lineal teniendo en cuenta los valores de las variables?

c) ¿Cuál será la predicción de las ventas para 1994? ¿Qué precisión tendrá ese pronóstico?


13


d) Si para el año 1994 se piensa incrementar los gastos de publicidad en un 10%, ¿qué incremento relativo cabría esperar para las ventas de 1995 con respecto a las de 1994, según el modelo ajustado?

Solución del Ejercicio: El cuadro de datos que nos brinda el ejercicio refleja los gastos en Publicidad en sus respectivos años, sin embargo, dicha inversión no se verá reflejada sino en el año inmediatamente después, es decir, los gastos de publicidad para el año 1.987 fueron de 21, por lo tanto , para el año 1.988 las ventas serán de 19. De esta forma hemos optado por reajustar la información en el cuadro correspondiente, obteniendo los datos que se observan a continuación:

Años

Gastos (x)

Ventas (y)

1987

21

19

1988

22

20

1989

25

22

1990

26

23

1991

27

24

1992

29

26

1993

30

26,57

1994

33

29,11


14


Años Gastos

Gastos (x)

Años

Ventas (y)

Ventas

1987

21

1988

19

1988

22

1989

20

1989

25

1990

22

1990

26

1991

23

1991

27

1992

24

1992

29

1993

26

1993

30

1994

26,57

1994

33

1995

29,11

Gráfica 30

25

20 S A T 15 N E V

10

5

0 0

5

10

15

20

GASTOS

25

30

35

y = 0,8478x + 1,1377


15


a) Para determinar si las ventas se incrementarán en el período siguiente al aumentar los gastos en publicidad del período actual, tomamos como referencia el año 1993, por lo que tendremos que calcular primero cual es el volumen de ventas en ese período con respecto a los gastos en publicidad, cuyo valor es de   30.

Aplicamos la ecuación obtenida en la gráfica:

y  0,8478  1,1377 y  0,847830  1,1377 y  , 

Para el periodo de 1.993 los gastos de publicidad poseen un valor de 30, por lo que dicha inversión se verá reflejado en el año inmediatamente siguiente, por lo tanto las ventas para el período de 1.994 serán de 26,57. Ahora incrementaremos en un 10% los gastos de Publicidad para el año 1.994 y determinar si efectivamente las ventas también aumentan. Gastos 1.993 = 30 *10% = 33 Gastos 1.994 = 33

y  0,8478  1,1377 y  0,847833  1,1377 y  #, 


16


Podemos observar que si incrementamos los gastos de publicidad para el período actual

(1.994),

las

ventas

del

período

siguiente

(1.995)

efectivamente

aumentaran.

b) El ajuste entre estas variables es totalmente lineal, si observamos la línea de tendencia que nos muestra la gráfica podemos apreciar que los valores de las variables así lo indican.

c) La predicción de las ventas para 1.994 es de 26,57. El modelo que nos presenta el ejercicio será bastante preciso ya que los residuos son casi nulos, los valores oscilan o son muy cercanos a 0. Observar gráfico de los residuales.

Variable X 1 Gráfico de los residuales 0,4 0,3 0,2 s 0,1 o u d 0 i s e R-0,1 0

5

10

15

20

25

30

35

-0,2 -0,3 -0,4

Variable X 1

d) Para el año 1.994 se incremento en un 10% los gastos de Publicidad, por lo que en el año 1.995 de observaron unas ventas de 29,11. Es decir, 2,54 más alta con respecto a las ventas de 1.994 que fueron de 26,57.


17



18


Distribuciones tridimensionales: 5. No es algo desconocido el hecho de que las entradas de turistas extranjeros en España no han hecho sino crecer de forma continuada durante las últimas décadas, coadyuvando a este hecho las peculiares características climatológicas, económicas y culturales de nuestro país. A partir de esta idea de principio, se ha querido ahondar en el tema, analizando si la riqueza del turista y la distancia de su país al nuestro son factores vinculantes a la hora de tomar la decisión de visitarnos. Para ello, hemos recogido en la siguiente tabla las entradas de turistas procedentes de 5 países diversos para un determinado ejercicio económico, junto con su PIB per capita (en miles de euros) y la distancia en kilómetros desde cada uno de los países considerados al nuestro:

País N°turistas entrados

PIB per cápita (103 €) Distancia (Kms.)

A

1800000

3'1

1500

B

2500000

4'2

1200

C

700000

2'7

3100

D

1200000

3'0

2500

E

1900000

4'0

1800

A partir de tal información, se le pide que:

a) Determine la relación lineal que explicaría las entradas de turistas en función del PIB per cápita y de la distancia.

b) ¿Es dicho modelo suficientemente explicativo?


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c) ¿Cuál de las dos variables explicativas está más correlacionada con la entrada de turistas?

Solución del ejercicio: País

PIB per cápita (10 3 €) Distancia Kms. Nº Turistas entrados (Y) (X2) (X1)

A

3,1

1500

1800000

B

4,2

1200

2500000

C

2,7

3100

700000

D

3,0

2500

1200000

E

4,0

1800

1900000

a) En la gráfica siguiente podemos observar que existe una relación del PIB per cápita que incide en la cantidad de turistas en España, y precisamente es que a mayor PIB per cápita, mayor será la cantidad de turistas que ingresan a España. 3000000 2500000 2000000

s a t s i r u 1500000 T . o N

1000000 500000 0 0,0

1,0

2,0

3,0

PIB per cápita (103 €)

4,0

5,0


20


Por el contrario a la relación existente entre la distancia en Kilómetros (Km), el cual refleja que a mayor distancia, menor será la cantidad de turistas que ingresan a España. 3000000

2500000

2000000 s a t s i r u 1500000 T . o N

1000000

500000

0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Distancia Km.

b) El modelo nos ofrece una viabilidad de 0.99, muy cercana a la ideal que es 1, y un porcentaje de confiabilidad del 99.28%. Teniendo en cuenta está información podemos afirmar que en determinado caso si hubiesen otros factores que afectarán la entrada de turistas a España, esto podría incidir considerablemente en los resultados del modelo anteriormente expuesto.


21



22


c) Para determinar la correlación de las dos variables explicativas, decidimos implementar modelos de pronóstico independientes para cada una (PIB per cápita y distancia Kms.), para lograr obtener los datos correspondientes y basados en el porcentaje de confiabilidad, asumimos que el mayor grado de incidencia en la entrada de turistas lo tiene la distancia en Km, presentando un 94.22 % de confiabilidad, mientras que el PIB per cápita, nos arroja un 80,02 %, muy por debajo del dato anterior.

Gráfica de residuales (Modelo con las dos Variables Explicativas)

Variable X 1 Gráfico de los residuales 100000 50000 s o u d i s e R

0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

-50000 -100000

Variable X 1

Variable X 2 Gráfico de los residuales 100000

s o u d i s e R

50000 0 0

500

1000

1500

2000

-50000 -100000

Variable X 2

2500

3000

3500


23



24



25


Gráfica de residuales (Modelo relación PIB per cápita)

Variable X 1 Gráfico de los residuales 600000 400000 s o 200000 u d i s e 0 R

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

-200000 -400000

Variable X 1

Gráfica de residuales (Modelo relación Distancia Km)

Variable X 1 Gráfico de los residuales 200000 100000 s 0 o u 0 d i s e R-100000

500

1000

1500

2000

-200000 -300000

Variable X 1

2500

3000

3500


26


6. Porfirio Labrador es un joven agricultor de la provincia de Sevilla, que adquirió conocimientos de estadística en su formación universitaria en esta escuela. Tiene una finca de su propiedad, dedicada fundamentalmente a la producción de trigo duro especial para la fabricación de pastas, dadas las importantes subvenciones que recibe de la Comunidad Europea. Dada la influencia que supone que ejerce la cantidad de lluvia caída sobre la producción, utiliza un pluviómetro para medir ésta, mes a mes. En el cuadro adjunto aparece recogida la producción de trigo duro en Quintales métricos por hectárea (X1) y la cantidad de lluvia caída en su finca, medida en litros por metro cuadrado (X 2), durante las cinco últimas campañas:

CAMPAÑA

X1

X2

89/90

80

120

90/91

95

145

91/92

83

108

92/93

75

90

93/94

72

85

Este agricultor, que es pesimista como la mayoría de los de su sector, piensa que la pertinaz sequía va a continuar para la próxima campaña 94/95, y que la cantidad de lluvia para esa campaña va a ser la misma que la recogida en la campaña anterior. Desde este supuesto, ¿qué predicción haría para la producción de la campaña venidera? ¿Qué fiabilidad otorgaría a tal predicción? Si pensara que la cantidad de lluvia recogida aumentase en un 1%, ¿cuál sería dicha predicción?


27


Solución del ejercicio: (Y)

(X)

CAMPAÑA

X1

X2

89/90

80

120

90/91

95

145

91/92

83

108

92/93

75

90

93/94

72

85

94/95

Gráfica 100 90 80 o r u d o g i r T e d n ó i c c u d o r P

70 60 50 40 30 20 10 0 0

20 y = 0,34x + 42,76

40

60

80

Cantidad de lluvia

100

120

140

160


28


Calculamos la producción de la campaña venidera (94/95) utilizando la ecuación dada por el gráfico, "  0,34  42,76 , utilizando el valor de la misma cantidad de lluvia de la campaña anterior (93/94), por lo tanto   85. Reemplazamos en la fórmula, "  0,34  42,76 "  0,3485  42,76 "  , 

La predicción de producción de trigo duro para la campaña venidera si se conserva la misma cantidad de lluvia de la campaña anterior es de 71,76.

(Y)

(X)

CAMPAÑA

X1

X2

89/90

80

120

90/91

95

145

91/92

83

108

92/93

75

90

93/94

72

85

94/95

71,66

85


29


La fiabilidad otorgada a la predicción va directamente relacionada con el valor arrojado por el modelo de pronóstico elaborado, en donde el coeficiente de determinación (R 2) es de 0.9007, es decir, la fiabilidad es de un 90,07%.

Calculamos ahora el valor de la producción de trigo duro, si las lluvias aumentaran en un 1%: Cantidad de lluvia campaña 93/94 = 85*1% = 85,85 ,   85,85. "  0,34  42,76 "  0,3485,85  42,76 "  , # (Y)

(X)

CAMPAÑA

X1

X2

89/90

80

120

90/91

95

145

91/92

83

108

92/93

75

90

93/94

72

85

94/95

71,95

85,85

Por lo tanto, la predicción de la producción para la campaña 94/95, si las lluvias aumentan un 1% es de 71,94.


30



31


Variable X 1 Gráfico de los residuales 4 2 s o 0 u d i 0 s e -2 R

20

40

60

80

100

120

140

160

-4 -6

Variable X 1

7. Una determinada cooperativa agrícola dedicada a la producción y comercialización de fresas se plantea hacer un estudio para explicar el volumen de sus ventas (X 1), expresadas en millones de pesetas. Para ello, a partir de los datos semestrales obtenidos desde la creación de la cooperativa, se plantea un modelo lineal usando como variables explicativas el gasto en publicidad (X 2), expresado en millones de pesetas, y el número de supermercados que comercializan sus productos (X3). Seguidamente recogemos la información de la que dispone la empresa:

Semestre

X2

X3

X1

2°de 1994 1°de 1995 2°de 1995 1°de 1996 2°de 1996 1°de 1997 2°de 1997 1°de 1998 2°de 1998 1°de 1999

1'5 1'7 2 2'3 2'5 3 3'5 4 4'3 4'5

15 17 19 20 23 25 26 29 31 34

13 41 16 47 19 55 22 63 25 65


32


Desde tales cifras, responda a las siguientes cuestiones:

a) Determine el modelo de regresión planteado e intérprete sus coeficientes, indicando a su vez cuál es la capacidad explicativa del mismo.

b) A partir de los resultados obtenidos en el apartado anterior, ¿sugeriría usted que pueden existir otras variables no tenidas en cuenta aquí y de importancia relevante para la explicación de las ventas?

Observando los datos, nos damos cuenta que las ventas correspondientes al primer semestre son siempre mucho mayores que las del segundo semestre del mismo año. Para recoger este aspecto, se decidió introducir una nueva variable explicativa X4, cuyo valor sería uno si el dato corresponde al primer semestre, y cero en caso contrario. Utilizando esta variable adicional:

c) Determine el nuevo modelo de regresión planteado e intérprete sus coeficientes, indicando la capacidad explicativa del mismo.

d) Bajo este modelo, ¿en cuánto se incrementarían las ventas en el segundo semestre de 1999 (con respecto al segundo semestre de 1998) si los gastos en publicidad se incrementasen en 500000 pesetas y se espera que dos nuevos supermercados comercialicen los productos de la cooperativa?

Solución del ejercicio:


33



34


Variable X 1 Gráfico de los residuales s o u d i s e R

50 0 0,0

1,0

-50

2,0

3,0

4,0

5,0

Variable X 1

Variable X 2 Gráfico de los residuales 50

s o u 0 d i s 0 e R-50

10

20

30

40

Variable X 2

Análisis de los residuales

Observación

Pronóstico para Y

Residuos

1

20,29436094

-7,294360938

2

25,51311685

15,48688315

3

29,4507941

-13,4507941

4

29,49801475

17,50198525

5

38,60722726

-19,60722726

6

39,98274721

15,01725279

7

37,46781055

-15,46781055

8

42,73378711

20,26621289

9

46,67146436

-21,67146436

10

55,78067688

9,219323123

a) Observando el coeficiente de correlación múltiple podemos evidenciar que este se encuentra con un valor de 0.52, y debemos saber que este me indica la viabilidad del modelo que estoy utilizando, siendo el valor ideal 1, o en su defecto


35


un valor que se acerque al mismo. Por lo tanto, concluimos que el valor reflejado se encuentra en un rango muy por debajo del nivel ideal, por lo que sería poco viable. Por otra parte, el coeficiente de de determinación (R 2) me determina el nivel de confiabilidad de dicho modelo, encontrándose éste en 0.2808, es decir un 28,08%. Muy por debajo del porcentaje ideal (100%). Por lo que concluimos que es poco confiable.

b) A nuestro juicio podría existir la variable de “demanda del sector”, considerando que es uno de los factores que incide considerablemente en las ventas de un producto.

(Xa)

(Xb)

(Xc)

(Y)

Semestre

X2

X3

X4

X1

2°de 1994

1,5

15

0

13

1°de 1995

1,7

17

1

41

2°de 1995

2,0

19

0

16

1°de 1996

2,3

20

1

47

2°de 1996

2,5

23

0

19

1°de 1997

3,0

25

1

55

2°de 1997

3,5

26

0

22

1°de 1998

4,0

29

1

63

2°de 1998

4,3

31

0

25

1°de 1999

4,5

34

1

65


36



37


Variable X 1 Gráfico de los residuales 6 4 s 2 o u d i 0 s e R-2 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

-4 -6

Variable X 1

Variable X 2 Gráfico de los residuales 6 4 s 2 o u d i 0 s e R-2 0

5

10

15

20

25

30

35

40

-4 -6

Variable X 2

Variable X 3 Gráfico de los residuales 6 4 s 2 o u d i 0 s e R-2 0

0,2

0,4

0,6

-4 -6

Variable X 3

0,8

1

1,2


38


Análisis de los residuales

Observación

Pronóstico para Y

Residuos

1

10,14169515

2,858304848

2

44,95959979

-3,95959979

3

14,47411363

1,525886374

4

48,53266798

-1,532667981

5

18,8065321

0,193467901

6

54,05610918

0,943890816

7

22,95516355

-0,955163552

8

59,10798174

3,892018264

9

28,62249557

-3,622495571

10

64,34364131

0,656358692

c) En el nuevo modelo de regresión se puede evidenciar que el coeficiente de correlación múltiple es 0.99, muy cercano al valor ideal ( 1), y el coeficiente de determinación ( R2) es 0.9836, es decir, 98.36% de confiabilidad. Por lo tanto podemos deducir que el nuevo modelo es bastante viable y tiene una gran fiabilidad.

d) Calculamos ahora en cuanto incrementarán las ventas en el segundo semestre de 1.999, sabiendo que los gastos de publicidad aumentaron 500.000 pesetas, que expresados en miles son 0.5, y sumados con el valor del año anterior (4.5) nos daría como resultado, 5.0, es decir $  5,0. Mientras

que

para

los

supermercados

que

comercializan

aumentamos 2 unidades, es decir, que nuestro valor para %  36 .

el

producto


39

Taller de Regresion _final

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