ESTADISTICA - PROBLEMARIO Nº 01

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística

INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I

INTRODUCCION

El presente trabajo consta de un conjunto de problemas y ejercicios de Estadística propuestos y resueltos.

Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 1. Conviertase la distribución obtenida en el ejercicio anterior en una distribución acumulada “menor que” y bosquéjese su ojiva

* DESARROLLO INTERVALO

CONTEO

19.0–15.9 ||| 20.0 24.9 – |||| |||| |||| 25.0–29.9 |||||||||||||||||||| 30.0 34.9 – |||| |||| || 39.9 35.0 – | ||||

Fi

Fi

3 15 24 12 6

3 18 42 54 60 60

177

OJIVA "MENOR QUE" 60 50 40 i 30 F

20 10 0 15

20

25

30

35

40

LS

2. Las marcas de clase de unadistribución de lecturas de temperatura (dadas al grado Celsius más cercano ) son 16, 25, 24, 43, 52 y 61. Calcúlese: (a) las fronteras de clase; (b)

los limites de clase.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Tenemos que : TIC = X’ 2 - X’1 = 9 y sabemos también que : TIC LSi = X’i + ---------2

,

TIC L Ii = X’i - --------2

Luego tenemos : TIC L Ii = X’i - ------2



9 L Ii = 16 - -------- = 11.50 2

TIC LSi = X’i + ------2



9 LS1 = 16 + ------- = 20.5 2

(a) Según lo anteriormente hallado, los limites de clase son : 11.5 - 20.5 20.5 - 29.5 29.5 - 38.5 38.5 - 47.5 47.5 - 56.5 56.5 - 65.5 (b) Para calcular la primera frontera redondeamos por exceso el primer limite encontrado, y sí seguimos sucesivamente con este criterio obtenemos: 12 - 21 22 - 30 31 - 39 40 - 48 49 - 57 58 - 66



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 3. En un estudio de dos semanas sobre la productividad de los trabajadores, se obtuvieron los siguientes datos sobre el número total de piezas aceptables que produjeron los trabajadores:

65 43 88 59 35 76 21 45 62 41

36 78 50 48 62 60 35 53 65 74

49 37 60 76 52 48 61 34 55 82

84 40 56 74 63 55 45 67 61 58

79 68 57 70 32 51 33 42 73 26

56 72 46 51 80 54 61 69 50 35

28 55 39 40 64 45 77 52 53 47

43 62 57 75 53 44 60 68 59 50

67 22 73 56 74 35 85 52 41 38

36 82 65 45 34 51 68 47 54 70

Agrúpense estos datos en una distribución que tenga las clases 20-29, 30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79 y 80-89.

* DESARROLLO INTERVALO CONTEO 29-20 |||| 30 39 ||||||||||| 40-49 ||||||||||||||| 50-59 |||||||||||||||||||| 60-69 |||||||||||||||| 70-79 |||||||||||| 89 80 |||||

fi

4 13 18 25 20 14 6

Fi

4 17 35 60 80 94 100 100

hi

0.04 0.13 0.18 0.25 0.20 0.14 0.06

Hi

0.04 0.17 0.35 0.60 0.80 0.94 1.00 1.00

4. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 3 en una distribución porcentual acumulada “menor que” y dibújese su ojiva.

* DESARROLLO





Con

la

INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I tabla del ejercicio 3, hacemos la ojiva, para una distribución

porcentual acumulada (Hi) : OJIVA "menor que" DE DISTRIBUCION PORCENTUAL ACUMULADA (Hi)

a v it a l e r a d a l u m u c a a i c n e u c e r F

1 0,9 e 0,8 s a l c 0,7 e 0,6 d o l 0,5 a v r 0,4 e t n i 0,3 l e 0,2 d

0,1 0 20

30

40

50

60

70

80

90

Limites de intervalo de cl ase

5. Los siguientes datos son el número de accidentes automovilísticos que ocurren en 60 cruces más transitadas en cierta ciudad en un fin de semana de diciembre:

0250141021 5013002131 1402412404 3501364202 0230425112 2165033004 Agrúpense estos datos en una distribución de frecuencia que muestre qué tan a menudo ocurre cada uno de los valores y dibújese un diagrama de barras.

* DESARROLLO # de accidentes fin de

CONTEO

fi

Fi

semana 0 1

|||||||||||| || ||||||||

15 12


15 27


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 2 3 4 5 6

| |||||||| || |||| ||| |||| |||| ||

11

38 45 53

7 8 5 2 60

58 60 267

ACCIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN UN FIN DE SEMANA DE DICIEMBRE

6

S E T N E D I 4 C C A E D2 O R E M U N0

0

2

4

6

8

10 1 2 1 4

16

V ECES QUE OCURRE N

6. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 2.14 en una distribución acumulada “o mayor” y dibújese su ojiva.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I OJIVA "O M AYOR" DE ACCIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN EN UN FIN DE SEMANA DE DICIEMBRE

60 50 " e u 40 q r o 30 y a m20 " i F

10 0 012345

67

NUMERO DE ACCIDENTES

7. Las distribuciones categóricas a menudo se presentan gráficamente por medio de gráficas circulares en las que un círculo se divide en sectores proporcionales a las frecuencias (o porcentajes) con que los datos están distribuidos entre las categorías. Dibújese un diagrama de este tipo para representar los siguientes datos obtenidos en un estudio en el cual a 40 conductores se les pidió juzgar la maniobrabilidad de cierto automóvil como muy buena, buena, adecuada, excelente y malisima

* DESARROLLO

DATO CONTEO CUALITATIVO Muy Buena |||| |||| Buena |||||||||||||||| Adecuada |||| |


Fi

10 20 06

hi

0.2 0.5 0.15


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Excelente Malisima

||| |

03 01 40

0.07 0.08 1.00

MANIOBRABILIDAD DE CIERTO AUTOMOVIL

ADECUADA

EXCELENTE MALISIMA 3% 8%

15%

MUY BUENA 25%

BUENA 49%

8. El pictograma de la figura 3 intenta ilustrar el hecho de que el ingreso per cápita en Estados Unidos se duplicó de $6 000 en 1977 a $12 000 en 1986 ¿Comunica en el pictograma una impresión “adecuada” del cambio real? Si no es así, establece cómo podría ser modificado.

* DESARROLLO



El pictograma de la figura, no presenta adecuadamente el cambio real

obtenido, porque a simple vista las figuras no dan la impresión de que el area de una de ellas sea el doble de la otra.

Podriamos modificarlo empleando un diagrama en el cual co mparemos areas, así :



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I INGRESO PER CAPITA EN EE.UU.

12000 S 10000 E R A L 8000 O D N 6000 E O S 4000 E R G 2000 N I

0 1977

1986

AÑOS

9. Los siguientes datos provienen de la producción diaria de un pozo petrolero (en barriles): 214, 203, 226, 198, 243, 225, 207, 203, 208, 200, 217, 202, 208, 212, 205 y 220. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con etiquetas en tallo 19*, 20*, ……., y 24*.

* DESARROLLO Ordenando los datos para facilitar el trabajo : 198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226, 243

19 ·

8

20 *

0 2 3 3

20 ·

5 7 8 8

21 *

2 4

21 ·

7

22 *

0

22 ·

5 6

24 *

3



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 10. Los siguientes datos provienen de las lecturas del flujo máximo anual de un río en m3/s: 405, 335, 419, 267, 370, 391, 612, 383, 434, 462, 288, 317, 540, 295 y 508. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con hojas de dos digitos.

* DESARROLLO Ordenando los datos para hacer un buen trabajo : 267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612

200*

67 88 95

300*

17 35 70 83 91

400*

05 19 34 62

500*

08 40

600*

12

11. Lístense los datos que corresponden a los siguientes diagrama de tallos y hojas:

(a)

1*

3

2 5

7 1 4

(b)

23

4

0

1

(c)

2*

35

(d)

3.2

1

18 7

0

57 4

8

6 03

4

3

* DESARROLLO Los datos que corresponden son : (a) 13, 12, 15, 17, 11, 14, 18



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) 234, 230, 230, 231, 236 (c) 235, 218, 257, 203 (d) 3.21, 3.27, 3.24, 3.24, 3.23

12. Si se quiere construir un diagrama de tallos y hojas con más tallos de los que ordinariamente deberían haber, se podría utilizar * como sustituto de 0, 1, 2, 3 y 4 * como sustituto de 5, 6, 7, 8 y 9. Se obtendría así el diagrama de doble tallo para las lecturas de humedad.

* DESARROLLO Como son muchos datos lo haremos directamente, así :

2 *

1 2

2

6 8

3 *

4 2 3 4

3

5 6 5 7 5 9 5 8 6

4 *

3 1 0 2 0 3 4 1

4

5 8 9 8 5 6 5 7 5 7

5 *

0 3 2 1 1 4 0 2 3 3 0 2 1 4

5

9 5 6 5 8 7 6 5 7 9 6

6 *

2 2 0 0 1 3 1 1 4 2 0

6

5 5 7 8 9 8 7 5 8

7 *

4 4 0 3 2 3 4 0

7

6 8 6 9 7 5

8 *

2 4 0 2

8

8 5

13. Si de desea construir un diagrama de tallos y hojas equivalente a una distribución de intervalo de clase 2, se puede usar * como sustituto de 0 y 1, t en



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I lugar de 2 y 3, ƒ para 4 y 5, s para 6 y 7, y * en lugar de 8 y 9. El diagrama de tallos y hojas resultante se denominadiagrama de cinco tallos. (a)

Los siguientes datos son los coeficientes intelectuales (CI) de 20 aspirantes a un programa de ingeniería para no graduados : 109, 111, 106, 106, 125, 112, 115, 109, 107, 109, 108, 110, 112, 104, 110, 112, 128, 106, 111 y 108.

(b) El

siguiente esquema es parte de un diagrama de cinco tallos : 53ƒ

5 4 4 4 5 4

53s

6 7 6 6

53*

9 8

54 *

1

* DESARROLLO Sustitutos

*

∏ 0 y 1 t ∏ 2 y 3 f ∏ 4 y 5 s ∏ 6y 7 ∏ 8 y 9

(a) Ordenamos los 20 datos : 104, 106, 106, 106, 107, 108, 108, 109, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 112,

112, 112, 115, 125, 128

10f

4

10s

6 6 6 7

10·

8 8 9 9 9

11*

0 0 1 1

11t

2 2 2

11f

5 5

11·

8

12f

5



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 12·

8

(b) Las mediciones correspondientes son:

534, 534, 534, 534, 535, 536, 536, 536, 537, 538, 539, 541.

14. Los siguientes datos son los números de torsiones requeridas para 12 barras de cierta aleación: 33, 24, 39, 48, 26, 35, 38, 54, 23, 34, 29 y 37. Calcúlese (a)

la media y la mediana

* DESARROLLO Ordenando la tabla : 23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54 (a) Hallamos la mediana:

23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 X = ---------------------------------------------------------------------------- = 12

420 --------- = 12

35

(b) La mediana es la medida de algún dato de la muestra que la divide a esta en la mitad de datos a la

derecha y la mitad de datos a la izquierda

23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54

Luego :

34 + 35 Me = --------------- = 2

34.5

15.

En relación con el ejercicio anterior, encuéntreses utilizando la fórmula que define s.

(a)

(b) la

fórmula de cálculo para s.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) Se sabe que s (desviación estandar) es obtener la raiz cuadrada de la s

2

,

(varianza) que a su vez es la media de las desviaciones al cuadrado con relación a X (media), así : (23-35)2 + (24-35)2 + …. + (54-35)2 946 s2 = ------------------------------------------------ = ------------- = 78.83 12 12 entonces : s = 8.88

529 + 576 + 676 + 841 + 1089 + 1156 + 1225 + 1369 + 1444 + 1521 + 2304 + 2916 (b) s2 = [ --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ] …..… 12 23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 -- [ ----------------------------------------------------------------------------- ]2 12 15646 420 s2 = [ -----------] - [ -------------- ]2 12

= 1303.83 - 1225 = 78.83

12

entonces : s = 8.88

16. Si el salario medio anual pagado a los ejecutivos de tres empresas de ingeniería es de $125 000, ¿ puede alguno de ellos recibir $ 400 000?

* DESARROLLO

Se sabe que X = $ 125 000 y n = 3 Aplicando propiedades de la media : 125 000 x 3 = $ 375 000 Este resultado nos afirma que ningún ejecutivo de la empresa puede ganar $ 400 000.

17. Por error un profesor borró la calificación que obtuvo uno de sus diez alumnos. Si los otro nueve consiguieron las calificaciones de 43, 66, 74, 90, 40, 52, 70, 78 y



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 92 y si la media de los diez estudiantes es de 67, ¿qué calificación borró el profesor?

* DESARROLLO Aplicando la definición de media tendremos: X = 43 + 64 + 74 + 90 + 40 + 52 + 70 + 78 + 92 + x ---------------------------------------------------------10 Como: 605 + x X = 67 = ----------10 Luego : 605 + x = 670 ,

Entonces : x = 75

18. Los siguientes datos son el número de minutos que en 15 días laborales una persona tiene que esperar el autobús que la llevará a su trabajo: 10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 10, 3, 8, 6, 17, 2, 10 y 15. Encuéntrese : (a)

la media

(b) la

mediana

* DESARROLLO Ordenando los datos: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 13, 15, 17

(a) La media :

1 + 2 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 13 + 15 + 17 120 X = ------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 8 15 15



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) La mediana:

Como son 15 datos la mediana estará en el lugar ( 15+1 ) / 2 = 8° LUGAR en este caso, Me = 9

19. En relación con el ejercicio anterior, calculese2 cuando: s (a)

la fórmula que define s2

(b) la

fórmula de cálculo para 2s

* DESARROLLO ( 1 - 8 ) 2 + ( 2 - 8 )2 + ………….. + ( 17 - 8 ) 2 (a) S 2 = -------------------------------------------------------------- = 15 49 + 36 + 36 + 25 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 25 + 49 + 81 328 S2 = ------------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 21.87 15 15

1 + 4 + 4 + 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 81 + 100 + 100 + 100 + 169 + 235 + 289 (b) S2 = -----------------------------------------------------------------------------------------------15

(8)2 --

S2 = 85.87 - 64 = 21.87

20. Los registros muestran que en Hermosillo, Sonora, la temperatura máxima diaria normal cada mes es, respectivamente, de 65, 69, 74, 84, 93, 102, 105, 102, 98, 88, 74 y 66 grados Fahrenheit. Verifequese que la media de estos datos es de 85 y crítiquese la afirmación de que, en Hermosillo, la temperatura máxima diaria promedio de 85 grados Fahrenheit es muy confortable.

* DESARROLLO Hallamos la media de la temperatura máxima en Hermosillo:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 65 + 69 + 74 + 84 + 93 + 102 + 105 + 102 + 98 + 88 + 74 + 66 1020 X = ------------------------------------------------------------------------------ = ---------- = 85°F 12 12 * Decir que la temperatura media en Hermosillo es de 85 °F es confortable, que quiere decir que una temperatura en la cual complace a la mayoria de habitantes de Hermosillo.

21. En relación con al ejercicio anterior, calcúlese la media y la mediana de los datos de producción diaria de un pozo de petróleo.

* DESARROLLO (a) Ordenando los datos : 198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226,

243

Calculando la media: n = 16 198 + 200 + 202 + 203 + 203 + 205 + 207 + 208 + 208 + 212 + 214 + 217 + 220 + 225 + 226 + 243 X = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16

3391 X = ---------- = 211.94 16

(b) Como son 16 datos la mediana será :

Lugar

16 ------ = 8 ° LUGAR 2

8° + 9° 208 + 208 Me = -------------- = -------------- = 208 2 2

22. Con respecto al ejercicio anterior, encuéntrese la desviación estándar del flujo máximo anual del rio.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Ordenando los datos tenemos: 267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612 En primer lugar hallamos la media :

267 + 288 + 295 + 317 + 335 + 370 + 383 + 391 + 405 + 419 + 434 + 462 + 508 + 540 + 612 X = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15

X = 401.73 n S 2 = (267 - X )2 + ( 288 - X)2 + ( 295 - X)2 + …………….. + ( 612 - X )

2

nS2 = 18152.17 + 12934.51 + 11391.29 + 7179.17 + 4452.89 + 1006.79 + 350.81 + 115.13 + 10.69 + 298.25 + 1041.35 + 3632.47 + 11293.31 +19118.59 + 44213.47

nS2 = 135,190.89

135,190.89 = ---------------- = 9,012.726

S2



S = 94.935

15

23. Para las cuatro observaciones 9, 7 15 y 5, (a) (b)

calcúlese las desviaciones (xi – x) y compruébese que sumen cero; calcúlese la varianza y la desviación estándar

Sean X1 = 9 X2 = 7 X3 = 15 X4 = 5

* DESARROLLO (a) Calculamos las desviaciones, respetando el signo :

∑ (Xi

- X) = ( 9 - 9 ) + ( 7 - 9 ) + ( 15 - 9 ) + ( 5 - 9 ) = 0 - 2 + 6 - 4 = 0



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) Calculamos la Varianza:

( 9 - 9 )2 + ( 7 - 9 ) 2 + ( 15 - 9 )2 + ( 5 - 9 )2 ∑ (Xi - X)2 S2 = ----------------- = ----------------------------------------------------- = 14 n

4

24.En relación con el ejercicio, calcúlese X y S.

* DESARROLLO Los datos son los siguientes :

166 + 141 + 136 + 153 + 170 + 162 + 155 + 146 + 183 + 157 + 148 + 132 + 160 + 175 + 150 X = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15

2334 X = --------- = 155.6 15 Para hallar la desviación estandar, hallamos S2 (166 - X )2 + ( 141 - X )2 + ………………+ ( 150 - X ) 2 ∑ (Xi - X)2 S2 = ----------------- = -----------------------------------------------------------------------n 15 nS2 =108.16 + 213.16 + 384.16 + 6.76 + 207.36 + 40.96 + 0.36 + 92.16 + 750.76 + 1.96 + 57.76 + 556.96 + 19.36 + 376.36 + 31.36

n S2=2 847.6 S2= ( 2847.6 ) / 15 =189.84 entonces: S= 13.78

25.calcular la media y la varianza de lasresistencias a la ruptura.

* DESARROLLO Para hallar la media y variancia de estosdatos agrupados: INTERVALO

Xi’

fi



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 15.0-19.9 20.0-24.9 25.0-29.9 30.0-34.9 35.0-39.9

17.45 22.45 27.45 32.45 37.45

3 15 24 12 6 60

La media se hallaria: (17.45 x 3 ) + ( 22.45 x 15 ) + …………………….. + ( 37.45 x 6 ) 1662 X = ------------- ----------------------------------------------------------------------- = -------- = 27.7 60 60

La variancia se hallaria: ( 17.452 x 3 ) + ….. + ( 37.452 x 6 ) [ ( 17.45 x 3 ) + ... + ( 37.45 x 6 )]2 S2 = ------------------------------------------- - ------------------------------------------60 - 1 60 ( 60 - 1 ) S2 = 26.63

26. Empléese la distribución obtenida en el ejercicio 10, para encontrar la media y la desviación estándar de los tiempos de ignición. Determínese también el coeficiente de variación.

* DESARROLLO En la tabla tenemos 80 datos; por lotanto emplearemos k= 1 + 3.3 log (n)

k = 1 + 3.3 log (80) = 7.28

7

Xmax = 12.80 Xmin = 1.20

RECORRIDO : 12.80 - 1.20 = 11.6 INTERVALO : C = ( 11.6 ) / 7 = 1.7




INTERVALOS fi 1.20-2.89 20

Xi’ 2.05

2.90 4.60--4.59 6.29 6.30-7.99 8.00-9.69 9.70-11.39 11.40-13.09

3.75 5.45 7.15 8.85 10.55 12.25

16 18 14 7 3 2 80

Hallamos la media :

( 20 x 2.5 ) + (16 x 3.75 ) + …………….+ (2 x 12.25) X = ----------------------------------------------------------------------- = 5.21 80 80 ( 2825.75 ) - ( 417.30 )2 S2 = -------------------------------------- = 8.21 80.79 entonces S = 2.86

Hallemos : Coeficiente de Variación : (S / X) x 100% 2.86 C.V. = ---------- x 100 % = 54.89 % 5.21

27. Utilícese la distribución obtenida en el ejercicio,para determinar el coeficiente de variación de los datos de productividad.

Copiamos fielmente la distribución del ejercicio: INTERVALO 29-20 24.5 39 30 34.5 49 40 44.5 59 50 54.5 69 60 64.5 79 70 74.5

Xi’

fi 4 13 18 25 20 14

Fi 4 17 35 60 80 94


hi 0.04 0.13 0.18 0.25 0.20 0.14

Hi 0.04 0.17 0.35 0.60 0.80 0.94


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 89 80 -

84.5

6

100

0.06

100

1.00 1.00

Para hallar C.V. necesitamos la media y la desviación estandar :

X=

S2 =

( 4 x 24.5 ) + ( 13 x 34.5 ) + ……………..+ ( 6 x 84.5 ) ---------------------------------------------------------------------------- = 55.5 100 100 x ( 331,525 ) - (5550)2 ---------------------------------------- = 237.37 100 x 99

entonces : S = 15.41

15.41 C.V. = ----------- x 100 % = 27.77 55.5

28.

En tres años recientes, el precio del cobre fue de 69.6 , 66.8 y de 66.3

centavos por libra, y el precio del carbón bituminoso fue de 19.43, 19.82 y de 22.40 dólares por tonelada corta. ¿Cuál de estos dos conjuntos de precios es relativamente más variable?

Dato 1 : 69.6, 66.8, 66.3 Dato 2 : 19.43, 19.82, 22.40

* DESARROLLO Comparemos los C.V. de las dos medidas :

69.6 + 66.8 + 66.3 X1 = ---------------------------- = 67.57 3 19.43 + 19.82 + 22.40 X2 = --------------------------------- = 20.55



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 3 S12 =

( 69.6 - 67.57 )2 + ( 66.8 - 67.57 ) 2 + ( 66.3 - 67.57 ) 2 = 6.3267 3

------------------------------------------------------------------------------------------

S1 = 2.52 ( 19.43 - 20.55 )2 + ( 19.82 - 20.55 )2 + ( 22.40 - 20.55 )2 S22 = -------------------------------------------------------------------------- = 1.7366 3 S2 = 1.32

Hallando C.V. para cada uno de ellos

2.52 C.V1 = ------------ x 100 % = 3.73 % 67.57 1.32 C.V2 = ------------ x 100 % = 6.42 %

Para el cobre

Para el carbón

20.55

29. Para calcular la mediana de una distribución obtenida de n observaciones, primero se detrmina la clase en que la mediana debe caer. Después en la fracción (n/2)-k/j de dicho intervalo, y para obtener la mediana se multiplica esta fracción por el intervalo de clase y se suma el resultado a la frontera de clase más pequeña de la clase en la que la mediana deba caer. Este método se basa en la suposición de que las observaciones en cada clase se “dispersan uniformemente” a través del intervalode clase; a ello se debe que contamos n/2 observaciones en lugar de n+1/2. A manera de ejemplo, se hace referencia a la distribución de los datos de la emisión del óxido de azufre. Puesto que n=80, puede verse que la mediana debe estar en la clase 17.0 - 20.09 y como j=25, k =27, se sigue que la mediana es 16.95+(40-27)/25 * 4 = 19.03 (a)

Encuéntrese la mediana de la distribución de los datos sobre ausentismo.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) Utilicese la distribución obtenida en el ejercicio para calcular la mediana de las resistencias a la ruptura agrupadas. (c)

Con la distribución obtenida en el ejercicio 3 encuéntrese la mediana de los tiempos de ignición agrupados.

* DESARROLLO (a) INTERVALO 8.9 5.0 3 9.0 12.9 13.0 16.9 17.020.9 21.024.9 25.0 28.9 29.0 32.9 -

Fi

Fi 3

10 14 25 17 9

13 27 52 69 78

2

80

Clase mediana

j = 25 k = 27 TIC = 4 40 - 27 Me = 17 + 4 [ -------------- ] = 19.08 25

(b)Copiamos la tabla de frecuencias INTERVALO Fi 15.0 19.9 3 20.024.9 15 25.0-29.9 24 30.034.9 12 35.0 39.9 6 60

Fi 3 18 42 54 60

Clase Mediana

n = 60 / 2 = 30 j = 24 k = 18



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I TIC = 5 Luego :

30 -18 = 27.5 Me = 25 + 5 [ ----------] 24

( c ) Copiamos la tabla de frecuencia del ejercicio 3 INTERVALOS Fi 1.20 2.89 20 2.90 4.59 16 4.60 6.29 18 6.30 7.99 14 8.00 9.69 7 9.70 11.39 3 11.40 13.09 2

Fi 20 36 54 68 75 78 80

Clase Mediana

n = 80 n / 2 = 40 j = 18 k = 36 Xi = 4.60 TIC = 1.70

40 - 36 Me = 4.60 + 1.70 [ --------------] = 4.98 18

30.Para cada una de las siguientes distribuciones decídase si es posible calcular la media y/o mediana. Explíquense las respuestas.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) GRADOS 49 – 40 5 –59 50 60 –69 –79 70 –89 80

Fi

Fi 5

18 27 15 6

23 50 65 71

Clase Mediana

71

n = 71 n / 2 = 35. 5 TIC = 10 Xi = 60 k =23 j =27



35.5 - 23 Me = 60 + 10 [ ----------------] = 64.63 27

(b)

90

INTERVALOS fi < 3 99–90 14 100 109 22 119 110 19 119 > 7 65

Fi 3 17 39 58 65

Clase Mediana

n = 65 n / 2 = 32.5 TIC = 10 Xi = 100 k = 17 j = 22



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 32.5 - 17 Me = 100 + 10 [ ----------------] = 107.05 22

31 El supervisor de un grupo de 20 obreros pide la opinión de dos de ellos(seleccionados al azar) sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la construcción. Si 12 están a favor de las nuevas disposiciones y los ocho restantes en contra. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos trabajadores elegidos por el supervisor estén en contra de las nuevas dispociones ? .

* DESARROLLO Soponiendo probabilidades iguales para cada elección de dos de ellos (seleccionados al azar), la probabilidad de que el primer obrero seleccionado esté en contra de las nuevas disposiciones de seguridad es 8/20, y la probabilidad de que el segundo obrero se pronuncie contra las nuevas disposiciones, dado que el primero opinó en contra de ellas, es 7/19. Por consiguiente, la probabilidad buscada es 8/20 * 7/19 = 14/95.

32 ¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos veces el mismo lado en dos lanzaminetos de una moneda balanceada ?.

* DESARROLLO En vista de que la probabilidad de que caiga un lado es 1/2 en cada lanzamineto y los dos son independientes, la probabilidad es 1/2 * 1/2 = 1/4.

33 Dos caras se extraen al zar de un paquete ordinario de 52 naipes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos ases si la primera carta es reemplazada antes de extraer la segunda ?.

* DESARROLLO Dado que hay cuatro ases entre las 52 cartas, obtenemos 4/52 * 4/52 = 1/169.

34 Sea A el evento que consiste en que la materia prima está disponible y B el evento que consiste en que el tiempo de maquinado es menor que una hra. Si p(A) = 0.8 y p(B) = 0.7, asigna una probabilidad al evento A ∩ B.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO P(A ∩ B) = P(A)*P(B) = (0.8)*(0.7) = 0.56.

35 Cuatro veces se arroja un lado de un dado legal, ¿ Cuál es laprobabilidad de no obtener un 6 en ninguna de las cuatro ocasiones ?.

* DESARROLLO La probabilidad es 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296.

36 Los cuatro ayundantes de una gasolineria deben limpiar el parabrisas de los autos de los clientes. Juan, quien atiende el 20% de todos los autos, no cumple su cometido una vez cada 20 autos; Tomás quien atiende el 60% de los autos, no limpia el prabrisas una vez cada 10 autos; Jorge quien atiende al 15% de ellos, no cumple su cometido una vez cada 10 autos; y Pedro quien atiende al 5% de los autos, no limpia el prabrisas una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de que su parabrisas no fue lavado, ¿ Cuál es la probabilidad de que su auto lo haya atendido Juan ?.

* DESARROLLO (0.20)(0.05) P(B1\ A) = --------------------------------------------------------------------- -----(0.20)(0.05) + (0.60)(0.10) + (0.15)(0.10)+ (0.05)(0.05)

P(B1\ A) = 0.114.

37 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se puede ganar $8 cuando una modela balanceada case del lado A ?.

* DESARROLLO La probabilidad del lado A es 1/2 y la esperanza matemática es 8* 1/2 = $4.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 38 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se compra 1 entre 1000 boletos prar una rifa con un premio de $500 ?. * DESARROLLO La probabilidad de ganar el premio es de 1/1000 y la esperanza matemática es 500* 1/1000 = $0.50

39. ¿ Cuántos números pares de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 2, 5, 6 y 9, si cada uno de llos pude utilizarse sólo una vez ?.

* DESARROLLO Dado que el número debe ser par, se tienen únicamente n1 = 2 posibilidades para la posición de las unidades. Para cad una de estas últimas se tienen n2 = 4 posibilidades para la posición de las centenas y entoces n3 = 3 posibilidades para la posición de las decenas. Por lo tanto se pueden formar un total de n1 n2 n3 = (2)(4)(3) = 24 números pares de tres dígitos.

40. Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20 posibles, para el primero y el segundo premios. Encuéntrese el número de puntos muestrales en el espacio S.

* DESARROLLO El número total de puntos muestrales es: 20! P = ------------ = 380.

20 2

(20 – 2)!

41. ¿ En cuántas formas puede una sucursal local de la American Chemical Society progrmar a 3 conferencias en 3 diferentes congresos, si los primeros están disponibles en cualquier de 5 fechas posibles ?.

* DESARROLLO El numero total de programadores posibles es:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 5! P = ------------ = 60. (5 – 3)!

5 3

42. ¿ en cuántas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en un árbol de navidad con 9 receptáculos ?.

* DESARROLLO El número total de arreglos diferentes es: 9! ----------- = 1260 3! 4! 2!

43.¿ En cuántas formas diferentes pueden siete científicos acomodarse en una habitación triple y dos habitaciones dobles en un hotel ?.

* DESARROLLO El número total de particiones posibles sería: 7! ---------- = 210 3! 2! 2!

44. Encuéntrese el número de cómites que pueden formarse con 4 químicos y 3 físicos y comprendan 2 químicos y 1 físico.

* DESARROLLO El numero de formas de seleccionar 2 químicos de 4 posibles es:

4! C2 = ------------ = 60. 2! 2!

4

El número de formas de seleccionar 1 físico de 3 posibles es:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 3! C1 = ------------ = 60. 2! 1!

3

Al utilizar la regla de la multiplicación se forman (6)(3) = 18 comités con 2 químicos y 1 físico.

45. La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la de que apruebe inglés es de de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de ¼, ¿ Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos ?.

* DESARROLLO P(M ∪ E) = P(M) + P(E) – P(M = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36.

∩ E)

46. Si las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo automóvil, seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son , respectivamente, 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23 ¿ Cuál es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automóvil en uno de esos colores ?.

* DESARROLLO P(G ∪ W ∪ R ∪ B) = P(G) + P(W) + P(R) + P(B) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68

47. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados ?.

* DESARROLLO P(A ∪ B) = P(A) + P(B)



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I = 1/6 + 1/18 = 2/9

48. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despeque a tiempo es P(D)a = 0.83; P(D la de tiempo eslaP(A) = 0.82; yde la que de que despeque y llegue tiempo ∩que A) =llegue 0.78. aEncuentre probabilidad un avión llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.

* DESARROLLO La probabilidad de que el avión llegue a la hora prevista dado que partió a tiempo es: P(D ∩ A) P(A \ D) = ----------------P(D) = 0.78 / 0.83 = 0.94.

49. La probabilidad quellegue un vuelo de programación regular a tiempoy es P(D) = 0.83; la dedeque a tiempo es P(A) = 0.82; y la despeque de que despeque llegue a tiempo P(D ∩ A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.

* DESARROLLO La probabilidad de que el salga a la hora prevista dado que llegó a tiempo es: P(D ∩ A) P(D \ A) = ----------------P(A) = 0.78 / 0.82 = 0.95.

50. Un par de dados se lanza dos veces. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener totales de 7 y 11 ?.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Sea A 1, A2, B1 y B2 respectivos eventos independientes de que ocurra un 7 en el primer lanzamiento, un 7 en el segundo, un 11 en el primero y un 11 en el segundo. Lo que interesa es la probabilidad de la unión de los eventos excluyentes A 1 ∩ B2 y B1 ∩ A2; Por lo tanto: P[(A1

B2)

∩

(B1

∪

∩

A2)] = P(A1 B2) + P(B1 A2) = 1/6 * ∩ 1/18 + 1/18 * ∩ 1/6 = 1/54.

51. ¿ Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra CASACAS ?.

* DESARROLLO Vemos que se tienen una permutación donde se repiten las letras C (2 veces); A(3 veces) y S(2 veces). Luego: n=7elementos; n c= 2C; nA= 3ª; nS= 2S Se logra: 7! r

P =------------ = 210 palabras 2! 3! 2!

52. Si extraemos 3 cartas de una baraja de 48 cartas. ¿ De cuántas maneras se puede hacer esta selección ?.

* DESARROLLO Esto corresponde a combinaciones de 48 cartas tomadas de 3 en 3 48! C3 = --------------- = 17296 combinaciones 3!(48-3)! 48

53. Un estudiantes tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO Pude elegir el idioma de 5 maneras y, por cada una de ellas, hay 4 formas de elegir la asignatura. Por lo tanto pude hacerlo de 5*4 = 20 maneras

54. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios no se pueden conceder a una misma persona ?.

* DESARROLLO El primer premio se puede reaprtir de 10 formas diferentes y, una vez concedido, el segundo se puede repartir de 9 formas, ya que ambos no se pueden conceder a la misma persona. Por lo tanto, se puede hacer de 10* 9 = 90 formas distintas.

55. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios se pueden conceder a una misma persona ?.

* DESARROLLO El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y el segundo de otras 10, ya que amos se pueden conceder a la misma persona. Por lo tanto, se puede hacer de 10* 10 = 100 formas distintas.

56. ¿ De cuántas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones ?.

* DESARROLLO Cada una de las 5 cartas se pueden introducir en cualquiera de los tres buzones. En consecuencia, se puede efectuar de 3* 3 * 3 * 3 * 3 = 243 maneras.

57. Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario. ¿ De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos ?.

* DESARROLLO Un presidente se puede elegir de 4, un vicepresidente de 6 y un secretario de 2 formas distintas.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I En consecuencia, se podrán ocupar de 4* 6* 2 = 48 formas distintas.

58. ¿ De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila ?.

* DESARROLLO La primera persona puede ocupar un de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.. Por lo tanto, se podrán colocar de 5* 4* 3* 2* 1 = 120 maneras distintas.

59. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?.

* DESARROLLO Número de formas = número de permutaciones de 7 libros.= 5040 maneras.

60. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que estás ocupen los lugares pares ?.

* DESARROLLO Los hombres se pueden situar de P 5 maneras y las mujeres de P 4 formas. Cada una de las colocaciones de los hombres se puede asociar con una de las mujeres. Luego se podrá efectuar de P5 * P4 = 120 * 24 = 2880 maneras.

61. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe de estar en el centro ?.

* DESARROLLO Como un cuadro en cuestión debe situa rse en el centro, solo quedan 6 cuadros para colocarlos en la fila. Por lo tanto, se puden hacer de P 6= 6! = 720 maneras.

62. Del problema anterior desarrollar si ahora nos piden que uno de ellos debe estar en uno de los extremos.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Una vez colocado el cuadro en uno de los dos extremos, los otros 6 se pueden disponer de P maneras.

6

En consecuencia, se pueden hacer de 2 * P 6 = 1 440 maneras.

63.¿ De cuántas maneras se pueden colocar 9 libros diferentes sobre la estantería de forma que 3 de ellos estén siempre juntos ?.

* DESARROLLO Los libros en cuestión se pueden colocar, entre ellos, de P3 formas. Como los libros han de estar siempre juntos, se puede considerar como uno solo. Así, pues, es como si tuviéramos 7 libros, el anterior más los 6 restantes, y éstos se pueden colocar de P7 formas. Por lo tanto, se puede hacer de P3 * P 7 = 3! * 7! = 30 240 formas.

64. Del problema enterior nos piden ahora hallar que 3 de ellos no estén siempre juntos.

* DESARROLLO El número de maneras en que se pueden colocar 9 libros sobre una estantería, sin poner condición alguna, es de 9! = 362 880 maneras .

65. Sobre una estantería se tiene que colocar 6 libros distintos de biología, 5 de química y 2 de física, de forma que los de cada materia estén juntos. Hallar el número de formas en que se puede hacer.

* DESARROLLO

Los libros de biología se pueden disponer entre sí de 6! maneras, los de química de 5!, los de física 2! Y los tres grupos de 3! maneras. Por lo tanto, se pueden colocar de 6! * 5! * 2! * 3! = 1 036 800 maneras.

66. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse.

* DESARROLLO Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I La cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos(todo, excepto 0). Cada una de las otras cifras pueden ser uno cualquiera de los 10 dígitos. Números formados = 9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90 000 número.

67. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos deestos números empienza por 40 ?.

* DESARROLLO Las dos primeras cifras están formadas por el número 40. Las otras tres pueden ser cualquiera de los 10 dígitos. Números formados = 1 * 10 * 10 * 10 = 1 000 números.

68. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son pares ?.

* DESARROLLO La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos y la última uno de 5 números, 0, 2, 4, 6, 8. Cada una de las otras tres cifras pueden ser cualquiera de los 10 dígitos. Números pares = 9 * 10 * 10 * 10 * 5 = 45 000 números.

69. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son divisibles po 5 ?.

* DESARROLLO La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos, y la última pueden ser 2 números, el 0 y el 5, y las otras cifras 3 cifras uno cualquiera de los 10 dígitos. Números divisibles por 5 = 9 * 10 * 10 * 10 * 2 = 18 000 números.

70. ¿ Cuántos números comprendidos entre 3 000 y 5 000 se pueden formar con los 7 dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si cada uno no se puede repetir en cada número ?.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Como los números comprendidos entre 3 000 y 5 000, constarán de 4 cifras. La primera puede ser el 3 o el 4. Los seis dígitos restantes se pueden colocar en los otros tres lugares de 6P3 maneras. Números formados = 2 * 6P3 = 240 números.

71. Entre 11 novelas y 3 diccionarios se seleccionan 4 novelas y 1diccionario y se colocan en una estantería de forma que el diccionario esté en el medio. Hallar el número de formas en que esto se puede llevar a cabo.

* DESARROLLO Las probabilidades de seleccionar un diccionario son 3 y el número de variaciones de 11 novelas tomadas de 4 en 4 es 11P4 . Por lo tanto, se puede hacer 3 * 11P4 = 23 760 formas.

72. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra COOPERADOR tomadas todas a la vez.

* DESARROLLO La palabra COOPERADOR consta de 10 letras: 3 “o”, 2 “r” y 5 diferentes. 10! Número de palabras = --------- = 302 400. 3! 2!

73. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra COOPERADOR tomadas todas a la vez. ¿ Cuántas de estas palabras tienen juntan las tres “o” y cuantas empiezan por los dos “r” ?.

* DESARROLLO (a) Considerando los tres “o” como una sola letra, tendremos 8 letras, de las cuales dos son “r”. 8! Número de palabras = ------ = 20 160 2!



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) El número de palabras que se pueden formar con las 8 letras restantes, de las cuales hay tres “o”, es 8! / 3! = 6 720.

74. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la palabra EMPUJADO, si cada letra no se emplea más de una vez.

* DESARROLLO Número de palabras = permutaciones de 8 elementos tomados de 5 en 5 = 8P5 = 6 720 palabras.

75. Del problema anterior nos piden el número de palabras diferentes si cada letra se puede repetir(no necesitan tener significado)

* DESARROLLO Número de palabras = 8 * 8 * 8 * 8 * 8 = 32 768 palabras.

76. Hallar los números que se pueden formar con los 4 de los 5 dígitos 1, 2, 3, 4, 5. Si éstos no se pueden repetir en cada número.

* DESARROLLO Números formados = 5P4 = 5 * 4 * 3 * 2 = 120 números.

77. Se dispone de 3 ejemplares de 4 libros diferentes. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar en una estantería ?.

* DESARROLLO Hay 3 * 4 = 12 libros, de los cuales cada uno está repetido 3 veces. 12! Número de formas3!= 3!--------------= 369 600 3! 3!

78. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Supongamos que una de ellas se sienta en un lugar cualquiera. Las 4 personas restantes se pueden sentar de 4! Formas. Por lo tanto, hay 4! = 24 maneras de disponer a 5 personas alrededor de una mesa circular.

79. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda de forma que dos de ellas estén siempre juntas ?.

* DESARROLLO Consideremos a las personas dterminadas como una sola, Como hay 21 maneras de disponer a 2 personas entre sí y 6! Formas de colocar a 7 personas alrededor de una mesa circular, el número pedido será = 2! 6! = 1 440.

80. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 4 hombres y 4 mujeres alrededor de una mesa redonda de manera que cada mujer esté entre dos hombres ?.

* DESARROLLO Supongamos, en primer lugar, que se sientan los hombres. Estos se pueden colocar de 3! maneras distintas y las mujeres 4! formas. Por lo tanto, el número pedido es = 3! * 4! = 144.

81. ¿ Cuántas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores distintos ?.

* DESARROLLO El número de formas en que se pueden disponer las cuentas en las cuentas en la pulsera es igual a 8!, sin embargo, la mitad se deduce de otra mitad girando la pulsera. Por lo tanto, se pueden formar 1/2(8!) = 20 160 pulseras diferentes.

82. ¿ Cuántos grupos de 4 alumno se puede formar con 17 alumnos aventajados para representar a un colegio en un concurso de preguntas de matemáticas ?.

* DESARROLLO Números de grupos = números de combinaciones de 17 alumnos tomados de 4 en 4.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 17 * 16 * 15 * 14 C4= -------------------------- = 2 380 grupos de 4 alumnos 1*2*3*4

17

83. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 ?. * DESARROLLO Números de formas = números de combinaciones de 8 idiomas tomados de 5 en 5. 8*7*6 C5= 8C3= ----------------- = 56 formas. 1*2*3

8

84. ¿ De cuántas formas se pueden repartir 12 libros entre dos personas, A y B, de manera que a uno le toque 9 y al otro 3 ?.

* DESARROLLO En una9.de las divisiones de los 12 libros en 9 y 3, A recibe 9 y B recibe 3, o bien A recibe 3 y Bcada recibe Por lo tanto, el número de formas es = 2 * 12C9 = 2 * 12C3 = 440 formas.

85. Determinar el número de triángulos diferentes que se pueden formar uniendo los sies vértices de un éxagono.

* DESARROLLO Número de triángulos = números de combinaciones de 6 puntos tomados de 3 en 3. 6*5*4 C3 = ------------- = 20 triángulos. 1*2*3

6

86. ¿ Cuántos ángulos menores de 180° forman 12 semirectas que se cortan en un punto sabiendo que ninguna de ellas puede estar en prolongación de cualquiera de las otras ?.

* DESARROLLO Número de ángulos = número de combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 12* 11 C2 = ----------- = 66 ángulos 1*2

12

87. ¿ Cuántas diagonales tiene un octagono ?. * DESARROLLO Número de rectas = número de combinaciones de 8 puntos tomados de 2 en 2 = 8C2 = 28. Como 8 de estas 28 rectas son los lados del octágono, el número de diagonales = 20.

88. ¿ Cuántos paralelogramos se pueden formar al cortar un sistema de 7 rectas paralelas por otro sistema de 4 rectas paralelas ?.

* DESARROLLO Cada una de las combinaciones de 4 rectas tomadas de 2 en 2 forman un paralelogramo al cortar a cada una de las combinaciones de 7 rectas tomadas de 2 en 2. Número de pralelogramos = 4C2 * 7C2 = 126 paralelogramos.

89. ¿ Cuántas grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5 biólogos de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos ?.

* DESARROLLO

Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 biólogos de los 5. Por lo tanto, el número de grupos es = 6C4 * 5C3 = 150.

90. ¿ Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con 8 consonantes y 4 vocales, de manera que cada una conste de3 consonantes y 2 vocales ?.

* DESARROLLO Las # consonantes distintas se pueden elegir de 8C3 maneras, las 2 vocales de 4C2 formas y las 5 letras sistintas (3 consonantes y 2 vocales) se pueden disponer entre ellas de P 5 = 5! Formas.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Por lo tanto, el número de palabras es = 8C3 * 4C2 * 5! = 40 320.

91. De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules se extrae una bola al zar. Hallar la probabilidad p de que sea roja.

* DESARROLLO casos favorables (3 bolas rojas) p= ------------------------------------------------ = 1/3 casos posibles ( 3 + 2 + 4 bolas)

92. del ejercicio anterior hallar la probabilidad p en caso que no sea roja y sea blanca.

* DESARROLLO (a) p = 1 – 1/3 = 2/3. (b) p = 2/9.

93. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p” de que las dos sean blancas y que las dos sean negras.

* DESARROLLO (a) p = (4/(4+2)) * (3/(3+5)) = 1/4 (b) p = (2/(4+2)) * (5/(3+5)) = 5/24

94. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p” de que una sea blanca y otra negra.

* DESARROLLO La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra 4/6 * 5/6 = 5/12.

La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca 2/6 * 3/6 = 1/8.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Por lo tanto la probabilidad pedida es: 5/12 + 1/8 = 13/24.

95. La posibilidades que tiene una persona de que le toque un premio de 50 000 pts son de 23 contra 2. Hallar su esperanza matemática.

* DESARROLLO Esperanza = probabilidad de que le toque * valor del premio = 2/25 * 50 000 = 4 000 pts.

96. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál es la probabilidad “p” de obtener dos números impares ?.

* DESARROLLO Hay 5 números impares y 4 números pares. C2

5

p = -------- = 5/18 9

C2

97. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál es la probabilidad “p” de obtener dos números pares ?.

* DESARROLLO Hay 5 números impares y 4 números pares.

C2

4

p = ---------- = 1/6 9C2

98. La probabilidad de que cierta persona viva 25 años más es de 3/7 y la probabilidad de que viva su 25 años más es 4/5. Hallar la probabilidad de que, dentro de 25 años vivan los dos.

* DESARROLLO La probabilidad de que vivan los dos es 3/7 * 4/5 = 12 /35.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 99. Once libros, de los cuales 5 son de ingeniería, 4 de matemáticas y 2 de química, se coloca al zaar en una estantería. Hallar la probabilidad “p” de que los libros de cad materia estén todos juntos. * DESARROLLO Cuando los libros de cada materia estén juntos los de ingeniería se pueden disponer de 5! maneras, los de matemáticas de 4!, los de química de 2! y los tres grupos de 3! maneras distintas.

casos favorables (5! 4! 3! 2!) p= ---------------------------------------- = 1/1155 casos posibles (11!)

100. Hallar la probabilidad p de que de los 5 hijos de una familia haya por lo menos 2 niños y 1 niña. Se supone que la probabilidad de nacer niño o niña es 1/2.

* DESARROLLO Los tres casos favorables son 2 niños, 3 niñas; 3 niños, 3 niñas; 4 niños, 1 niña. p= (1/2)5 (5C2 + 5C3 + 5C4) = 25/32

101. Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un exámen de Estadistica general.

33 , 35 , 35 , 39 , 41 , 41 , 42 , 45 , 47 , 48 50 , 52 , 53 , 54 , 55 , 55 , 57 , 59 , 60 , 60 61 , 64 , 65 , 65 , 65 , 66 , 66 , 66 , 67 , 68 69 80 ,, 71 81 ,, 73 84 ,, 73 85 ,, 74 85 ,, 74 88 ,, 76 89 ,, 77 91 ,, 77 94 ,, 78 97

Clasificar estos datos convenientemente en intervalos de clase de la misma amplitud y construir los gráficos respectivos.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I a) Rango =R=97-33=64

b) K=1+3.22 log(50)= 1+3.22(1.699)=6.47 redondeando al entero inmediato mayor se tiene k=7 (Si usamos k=√n , tenemos k=√50= 7)

c) Amplitud de clase =C=R/k=64/7=9,14 Aproximando 9,14 a un entero mayor tenemos C=10

Para facilitar el conteo de las frecuencias ,tomaremos como el limite de la primera clase igual a 30. Así, la tabla de distribución de frecuencias sera :

CLASES Marcadeclase [30 , 40> 35 [40 , 50> 45 [50 , 60> 55 [60 , 70> 65 [70 , 80> 75 [80 , 90> 85 [90 , 100> 95

fi 4 6 8 13 9 7 3

TOTAL

Fi

50

Histograma y poligono de frecuencia:

0.0260 0.0280

0.0080


4 10 18 31 40 47 50

hi 0.08 0.12 0.16 0.26 0.18 0.14 0.06

1

Hi

0.18 0.20 0.36 0.62 0.80 0.94 1


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 0.0040 0.0020 30 40 50 60 70 80 90 100

50 47 40 31 18 10 4

30

40

50

60

70

80

90 100

102. Dada la siguiente distribución de empresas según el número de empleados se pide :

a) Determinarel porcentaje de empresas que tiene número de empleados entre 50 y 90 . b) Determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.

Número de empleados [0,10>

Frecuencia(fi) 5

[10.20> [20,30> [30,40> [40,60> [60,80> [80,100> [100,140> [140,180> [180,260>

20 35 40 50 30 20 20 15 15



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 250

TOTAL

* DESARROLLO Haciendo la distribución de frecuencias tenemos: Numero de empleados [0,10> [10,20> [20,30> [30,40> [40,60> [60,80> [80,100> [100,140> [140,180> [180,260>

fi

5 20 35 40 50 30 20 20 15 15

TOTAL

250

Amplitud Ci 10 10 10 10 20 20 20 40 40 80 -

hi

0.02 0.08 0.14 0.16 0.20 0.12 0.08 0.08 0.06 0.06

Densidad (hi/ci) 0.0020 0.0080 0.0140 0.0160 0.0100 0.0060 0.0040 0.0020 0.0015 0.0008

100*hi%

2% 8% 14% 16% 20% 12% 8% 8% 6% 6%

100%

-

a) Para obtener una mejor aproximación del porcentaje de empresas que tienen número de empleados entre 50 y 90, se usa la interpolación de la siguiente manera.

40

50 60

80


90 100


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 20%

12%

8%

Sea P el porcentaje de empresas que tienen número de empleados entre 50 y 90 entonces.

P=(60-50)/(60-40).20% + 12% + (90-80)/100-80).8% P=10% + 12% + 4% =26% Por tanto el 26% de empresas tienen número de empleados entre 50 y 90.

b) De igual forma que en el caso anterior tenemos:

0

10

2%

20

8%

30 35 40

14%

16%

p1=Porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.

= 2% + 8% + 14% + [(35-30)/(40-30)].16% = 24% + 8% = 32% Luego, el 32% de empresas tienen número de empleados inferiora 35.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 103. Una determinada especie de animales mamíferos tiene en cada cría un número variable de hijos .Se observa durante un año la cría de 35 familias, anotandose el número de hijos obtenido por las familias en dicha cría . Numero de

Numero de

hi

10h x0i

Hi

hijos

familias fi

xi 0

2

0.0571

5.71%

0.0571

1

3

0.0857

8.57%

0.1428

2

10

0.2857

28.57%

0.4285

3

10

0.2857

28.57%

0.7142

4

5

0.1429

14.29%

0.8571

6

5

0.1429

14.29%

1

TOTAL

35

1

100%

Hallar la función de distribución acumulada de esta tabla y trazar su grafica.

* DESARROLLO Tenemos:

0.0000 ,

si x<0

0.0571 ,

si 0≤x<1

0.1428 ,

si 1≤x<3



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I F35(x)= 0.4285 , si 2≤x<3 0.7142 ,

si 3≤x<4

0.8571 , 1.0000 ,

si 4≤x<6 si x ≥6

La gráfica es:

Υ 1 0.8571 0.7142 0.4285

0.1428 0.0571

1

2

3

4

5

Χ

6

: 104. Determinar la media de la distribución

Ingreso familiar (en soles) N° familias de 5

[2,4>

[4,6> 10

[6,8> 14


[8,10> 8

[10,12> 3


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO En este caso, los intervalos de clase son representados por sus marcas de clase. Por tanto tenemos:

Clases [2,4> [4,6> [6,8> [8,10> [10,12>

fi 5 10 14 8 3

TOTAL

40

X= n

Marcasdeclase 3 5 7 9 11

Fi.xi 15 50 98 72 33

268

Σ fi.xi

4

= 268

= 6.7

El

ingreso

promedio del grupo de 40 familias es de S/. 6.7

105. En una empresa donde los salarios tienen una media de S/.100,000 el sindicato solicita que cada salario X, se transforme en Y, mediante la siguiente relación:

Y=2.5X+100

El directorio acoge parcialmente la petición rebajando los salarios propuestos por el sindicato en un 10%, lo que es aceptado.Se pide calcular la media aritmética de la nueva distribución de salarios.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO Tenemos

X=100,000 Si y = 2.5X+100

 Y=

2.5X + 100 = 2.5(100,000) + 100 = 250,100

Por tanto el salario que solicita el sindicato es Y =250,100

El salario propuesto por el directorio es:

Z = Y – 10% Y =0.9Y



Z= 0.9 Y= (0.9)(250,100) = 225,090

Luego la media de la nueva distribución de salarios es 225,090.

106. Calcular la media de la siguiente distribución de frecuencias. Alturas cm N° plantas

60

62

64

65

66

1

1

1

1

22

67

68

70

51

71 12

72

73

76

1

1

* DESARROLLO Tomando el srcen de trabajo igual a 68 tenemos: xi 60 62 64 65 66 67

fi 1 1 1 1 2 2


di -8 -6 -4 -3 -2 -1

fi.di -8 -6 -4 -3 -4 -2


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 68 69 70 71 72 73 76

5 1 1 2 1 1 1

TOTAL

20

0 1 2 3 4 5 8

-27/26 1 2 6 4 5 8 -1

di = xi - 68 X = srcen +

Σfidi n

= 68 + (-1/20) = 67.95

∴ X = 67.95 cm 107. Una distribución frecuencias notash3dey h5 estudiantes Matemática I; presentadelas frecuenciassobre relativas borrosas de .Si Estadística, se sabe que la media fue de 7.9. Determinar la mediana de la distribución :

Notasdeestudiantes

N°deestudiantes Frecuencia relativa (hi)

[0.5 , 2.5> [2.5 , 4.5> [4.5 , 6.5> [6.5 , 8.5> [8.5 , 10.5> [10.5 , 12.5> [12.5 , 14.5>

0.02 0.10

114 ó más

0

Solución:


0.16 0.10 0.02


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Usando la formula para la media (X) en términos de las frescuencias relativa tenemos: K

X=

K

Σ

Σ

hi.xi = 7.9 , donde

i=1

hi =1

i=1

Completando la distribución de frecuencias se tiene: Clases [0.5 , 2.5> [2,5 , 4.5> [4.5 , 6.5> [6.5 , 8.5> [8.5 , 10.5> [10.5 , 12.5> [12.5 , 14.5> 14.5 o más

hi 0.02 0.10 h3 0.16 h5 0.10 0.02 0 1

Marca declasx ei 1.5 3.5 5.5 7.5 9.5 11.5 13.5 -

hi.xi

hi

0.03 0.35 5.5h3 1.20 9.5h5 1.15 0.27 -

TOTAL Luego tenemos :

Σ

hi = 1

 

0.02 + 0.10 + h3 + 0.16 + h3 + 0.10 + 0.02 = 1 h3 + h5 =0.60 (4)

k

Σ

hi.xi =7.9  0.03 + 5.5h3 + 1.20 + 9.5 h5 + 1.15 + 0.27 = 79

i=1



5.5h3 + 9.5h5 = 4.9

(5)

Resolviendo las ecuaciones (4) y (5) obtenemos h3 = 0.2

y

h5 = 0.4

Reemplazando los datos en la fórmula X= l med + (1/2 – H k-1) Cmed (H k -H k-1)

tenemos:


0.02 0.12 0.32 0.48 0.88 0.98 1 -


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I X = 8.5 + [(1/23+0.48)/(0.88-0.48)].2 =8.5 +0.10 = 8.6 108. Dada la siguiente distribución, determinar los cuartiles Q1 y Q3.

Intervalos de clase Fi

[6,16>

[16,26>

[26,36>

[36,46>

[46,56>

8

20

25

10

5

* DESARROLLO Determinando las frecuencias acumuladas tenemos:

Clases [6,16>

fi 8

Fi 8

[16,26>

20

28

 clase que contiene a Q1

[26,36>

25

53

 clase que contiene a Q3

[36,46>

10

63

[46,56> TOTAL

5 68=n

68

Primer paso.-

Segundo paso.-

n/4 = 64/4 =17 vo ; 3N/4=51vo

Por las frecuencias acumuladas identificamos las clases que

contienen a Q1 y Q3.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Como F1= 8< n/4 = 17 <28 = F2 entonces el intervalo de clase que contiene a Q1 y Q3. tenemos:

Q1= 16 + [(17-8)/28-8)].10 = 16 + 4.5 =20.5

Q3= 26 + [(51-28)/(53-28)].10 =26 + 9.2=35.2

De acuerdo a estos resultados, podemos afirmar que, en esta distribución tenemos:

25%

25%

Q1=20.5

25%

Q2=28.4

25%

Q3=35.2

109.Supongamos que la distribución de las edades de 80 alumnos de la Facultad de Ingeniería Industrial de la Universidad de Lima es dado por:

Clases [15,18>

Fi 5

Fi hi Hi ------------------ ------------------ ------------------

[18,21>

------------------ ------------------ 0.5875


------------------


[21,24>

INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I ------------------ ------------------ ------------------ 0.925

[24,27>

------------------ ------------------ ------------------ ------------------

[27,30>

------------------ ------------------ 0.0375

TOTAL

80

------------------

Se pide:

a) Completar la tabla.

b) Interpretar f3,f4,h2 y H4.

c) Estime la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes.

d) Halle la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes.

* DESARROLLO

a) Completando la distribución de frecuencias tenemos:

Clases [15,18>

fi 5

Fi 5

hi 0.0625

Hi 0.0625

[18,21>

47

52

0.5875

0.65

[21,24>

22

74

0.275

0.925

[24,27>

3

77

0.0375

0.9625 clase que contiene a Q3

[27,30>

3

80

0.0375

1


clase

que contiene a Q1


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I TOTAL

80=n

b) f 3 = 22: Hay 22 estudiantes en la muestra que tienen entre 21 años y menos de 24 años. F4 =77: Hay 77 estudiantes que tienen menos de 27 años. h2 =0.5875: 58.75% de estudiantes tienen edades mayores o iguales a 18 años y menos de 21 años. H4 =0.9625 : 96.25% de los estudiantes tienen menos de 27 años.

c) En este caso debemos calcular el primer cuartil (Q 1). Aplicando la formula tenemos: Q1=18 + [(20-5)/(52-5)].3 = 18 + 0.957 = 18.957

Por tanto la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes es 18.957.

d) La edad que supera a las edades de 75% de los estudiantes , corresponde al valor del tercer cuartil.Aplicando la fórmula se tiene:

Q3 = 21 + [(60-52)/(74-52)].3 = 21 + 1.091 = 22.091

Luego la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes es 22.091.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 110. Determinar el 4to decil y el 72vo percentil de la siguiente distribución de frecuencias.

Intervalos [40,50>

fi 8

8

Fi

[50,60>

20

28

[60,70>

30

58  Clase de D4

[70,80>

40

98  Clase de P72

[80,90>

10

108

[90,100> TOTAL

2 110

110

* DESARROLLO

Calculo de D4

Calculo de P72

1er paso: i.n = 4 × 110 = 44

i.n = 72 × 110 = 79.2

10

100

10

100

2do paso: Se identifica la clase de D 4 y P72 por medio de la columna de las frecuencias acumuladas ,esto es:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I F2 = 28< 44 < 58 =F3

y

F3= 58 < 79.2 <98 =F4

3er paso: Para D4 tenemos:

D4 = l D4 + (4n/10)– Hk-1 . C D4 = 60 + [ (44-28)/(58-28)]. 10 (Fk-Fk-1)

= 60 + 5.33 = 65.33

Para P72 se tiene

P72 = l P72+ (72n/100)– Fk-1 .C P72 = 70 + [ (79.2-58)/(98-58) ].10

(Fk-Fk-1) = 70 + 5.3 = 75.3

Por tanto, en esta distribución , el valor 65.33 divide la muestra en dos partes: una parte con 40% de los elementos y la otra con 60% de elementos. El valor 75.3 indica que 72% de la distribución está debajo de él y 28% superior a él.

111. Una empresa decide hacer un reajuste entre sus empleados. La clasificación se lleva a cabo mediante la aplicación de un test que arroja las siguientes puntuaciones:

Puntuaciones [0,30>

N°deempleados 94



[30,50>


[50,70>

160

[70,90>

98

[90,100>

8

La planificación optima de la empresa exige que el 65% sean administrativos, el 20% jefes de sección,el 10% jefes de departamento y

el 5% inspectores según sea la puntuación obtenida. Se pide calcular la puntuación máxima para ser administrativo, jefe de sección y jefe de departamento.

* DESARROLLO Según los datos tenemos : Porcentaje

Porcentaje acumulado

Administrativos...................................... 65%.............................65% Jefe de sección........................................ 20%.............................85% Jefe de departamento.............................. 10%.............................95% Inspectores.............................................. 5%...............................100%

Por tanto, tendremos que hallar los percentiles 65 , 85 , y 95.

Los calculos que necesitamos son:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Clases [0,30>

fi 94

Fi 94

[30,50>

140

234

[50,70> [70,90>

160 98

394 492

[90,100>

8

P95



P65  Clase de P85 Clase de

y

500 500

TOTAL

1er Paso:

Para P65 :

i.n = 65(500) = 325 100

Para P85 :

i.n = 85(500) = 425 100

Para P95 :

100

100

i.n = 95(500) 100

= 475|

100

2do paso : Aplicando las formulas correspondientes tenemos:

65(500) - 234 P65 = 50 +

100

.20 = 50 + 11.37 = 61.37



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 394 – 234 85(500) - 394 P85 = 70+

100

.20 = 70 + 16.53 = 86.53

492 – 394

Por tanto la puntuación máxima para ser administrativo es 61.37, para jefe de sección 76.33 y para jefe de departamento es 86.53.

112. Las cifras dadas en la tabla adjunta corresponden a miligramos de hidroxiprolina absorbidos por un gramo de masa intestinal analizados en distintos pacientes:

Mgr hidroxiprolina 77.3 Número de pacientes 3

61.2 82.4 10 15

75.9 13

61 8

70.2 5

65 2

Se pide: a) ¿Cuantos pacientes fueron examinados? b) Calcular la media geométrica de la distribución. c) ¿Cuál es la moda?

* DESARROLLO

Σ

a) el número de pacientes examinados es: n =

fi =56

i=1

b) Para obtener la media geométrica conviene hacer los cálculos en la siguiente

tabla:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Xi 61

fi 8

lxoig 1.785

61.2 65

10 2

1.787 1.813

17.8700 3.6260

70.2

5

1.846

9.2300

75.9

13

1.880

24.4400

77.3

3

1.888

5.6640

82.4 TOTAL

15 56

1.916 12.915

28.7400 103.8500

Aplicando la formula respectiva tenemos :

7

Σ log10 G =

fi log10 xi = 103.8500 =1.8545

i=1

n

56

Luego: G= Antilog(1.8545) =71.5

c) La moda para esta distribución es:


lxofig i

14.2800


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I X = Mo = 82.4

113. La siguiente distribución muestra las notas finales en probabilidad y estadistica, obtenida por 50 estudiantes de la Facultad de Ingeniería Industrial de la Universidad San Martín de Porres.

Intervalos N° de

[0,2> 1

[2,4> 2

[4,6> 2

[6,8> 3

[8,10> 6

[10,12> 12

[12,14> 10

estudiantes

[18,20] 2

Hallar la desviación media con respecto a la media aritmética.

* DESARROLLO Completando la distribución de frecuencias tenemos:

Intervalos de clase

fi

Marca de clase fi .xi (xi)


|xi - x|

fi |xi – x|

[14,16> 8

[16,18> 4


[0.2>

1

INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 1 1 10.6 10.6

[2,4>

2

3

6

8.6

17.2

[4,6>

2

5

10

6.6

13.2

[6,8>

3

7

21

4.6

13.8

[8,10>

6

9

54

2.6

15.6

[10,12>

12

11

132

0.6

7.2

[12,14>

10

13

130

1.4

14.0

[14,16>

8

15

120

3.4

27.2

[16,18>

4

17

68

5.4

21.6

[18,20>

2

19

38

7.4

14.8

TOTAL

50

580

155.2

Se tiene:

x=

Σf xi 2

= 11.6

;

D(x) = 155.2 = 3.104

n

50

M

114. Calcular la varianza y la desviación estándar y la desviación estandar de la siguiente distribución muestral.

xi fi

5 2

7 3

8 5

9 4

11 2

* DESARROLLO Completando la distribución de frecuencias temnemos:




fi..xi²

Xi

fi

fi.xi

5

2

10

7

3

21

147

8

5

40

320

9

4

36

324

11

2

22

242

TOTAL

16

129

1083

Aplicando las formulas respectivas se tiene : k

Σ X =

fi.xi

129 = 8.1 16

S² = 1/5 [1083 – 1049.76]= 1/15[33.24] = 2.22

Entonces

S = 1.49


50


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 116. Los pesos en gramos (aproximados hasta 0.01 gramos) de 70 comprimidos fabricados automáticamente por una máquina están representados en la siguiente tabla.

Intervalos [1.475 , 1.525>

Frecuenciasacumuladas(fi) 1

[1.525 , 1.575>

4

[1.575 , 1.625>

12

[1.625 , 1.675>

26

[1.675 , 1.725>

49

[1.725 , 1.775>

61

[1.775 , 1.825> [1.825 , 1.875>

68 69

[1.875 , 1.925>

69

[1.925 , 1.975>

70

Se pide:

a) Calcular la media. b) Calcular la desviación estándar. c) Calcular el porcentaje de productos entre X=1.55 y X + 1.55

* DESARROLLO Sean

O = 1.7 (marca de clase del intervalo con más alta frecuencia9



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I ui = (Xi – O)/c , C = 0.05

Para tener todos los cálculos ordenados es conveniente formar la siguiente tabla:

Intervalos

fi

Marca d e ui

fi. ui

fi. ui²

[1.475 , 1.525>

1

clase 1.5

-4

-4

16

[1.525 , 1.575>

3

1.55

-3

-9

27

[1.575 , 1.625>

8

1.6

-2

-16

32

[1.625 , 1.675>

14

1.65

-1

-14

14

[1.675 , 1.725>

23

1.7

0

0

0

[1.725 , 1.775> [1.775 , 1.825>

12 7

1.75 1.8

1 2

12 14

12 28

[1.825 , 1.875>

1

1.85

3

3

9

[1.875 , 1.925>

0

1.9

4

0

0

[1.925 , 1.975>

1

1.95

5

5

25

TOTAL

70

-9

163

Sustituyendo los totales de columnas en las fórmulas tenemos: a) X = O + C

b) S² = C ²

Σf .u /n i

[

i

= 1.7 + 0.05(-9/70) = 1.6936

Σ fi.ui – n(U) ² ]

n-1

= (0.05) ² 69}

= 0.005864


[ 163- 70(-9/70) ²]


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Luego : S= √(0.005864) = 0.07658

c) Calculo de X – 1.5S y X + 1.5S

X = 1.5S = 1.6936 – 1.5(0.07658) = 1.57873 X = 1.5S = 1.6936 + 1.5(0.07658) = 1.80847

Par calcular el porcentaje de productos que tiene sus pesos entre 1.57873 y 1.80847 y primero interpolamos de la siguiente manera :

1.575

1.625

1.675

1.725

1.775

1.57873

8

1.825 1.80847

14

23

12

7

Sea N= número de productos que tienen sus pesos entre X – 1.5S y X + 1.5S Entonces : N = 1.625-1.57873 *8 + 14 + 23 + 12 + 1.808447 – 1.775 .7 = 61 0.05

0.05

Por tanto, el porcentaje de productos que tienen sus pesos entre X = 1.55 y X+ 1.5S es:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P = 61

× 100 = 87.143 %

70

117. En una clinica Infantil se han ido anotando, durante un mes, el número de metros que el niño anda, seguido y sin caerse, el primer día que comienza a caminar.Obteniéndose así la tabla de Información adjunta.

Número de

2

6

10

niños Número de

12345678

5

10

3

2

2

metros

Se pide: a) Momentos respecto al srcen de primero, segundo y tercer orden. b) Momentos centrales de orden primero y tercero.

* DESARROLLO Para hallar los momentos hacemos los cálculos en la siguiente tabla:

Xi

fi

fi.xi

fi.xi²

fi.xi³

fi(xi–x)

fi(xi–x) ³

1

2

2

2

2

-6.10

-56.745

2

6

12

24

48

-12.30

-51.690

3

10

30

90

270

-10.50

-11.576



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 20 80 320 -0.25

4

5

5

10

50

250

1,250

9.50

8.573

6

3

18

108

648

5.85

22.244

7

2

14

98

686

5.90

51.344

8

2

16

128

1,024

7.90

123.259

TOTA

40

162

780

4,248

0

85.41

L

Sustituyendo los totales de las columnas en las fórmulas tenemos:

a) Momentos con respecto al srcen:

Σf .x ²

M1 =

i

i

= 162/40 = 4.05

n M2 =

Σf .x ² i

i

= 780/40 = 19.5

n

M3 =

Σf .x ³ i

i

= 4,248/40 = 106.2

n


-0.001


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I b) Momentos respecto a la media

Σf xi – x)

M1 =

i(

= 0/40 = 0

n

M1 =

Σf (xi – X) i

= 85.41/40 = 2.135

n

118. ¿ De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una banca, con capacidad para 5 personas ?

* DESARROLLO Como n =8 y K=5 , el número total de maneras diferentes que pueden sentarse 8 peronas en una banca , con capacidad para 5 personas es:

8

A

5

=

8! (8-5)!

= 8! = 8(7)(6)(5)(4) = 6720 3!



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 119. Un omnibus parte de su paradero inicial con 6 personas a bordo y se detiene en 10 paraderos diferentes .¿De cuántas maneras pueden bajar las 6 personas en los 10 paraderos , si en un paradero pueden bajar cualquier numero de personas?

* DESARROLLO La primera persona puede bajar en cualquiera de los 10 paraderos, la segunda lo mismo y la sexta de igual forma, entonces el número total de ma neras es:

10

( AR)6 = 106 = 1’000,000

119. Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio.¿ El moderador del programa desea saber de cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario los 6 conferencistas en fila?

Solución: El numero total de maneras de situar los 6 conferencistas en fila en el

escenario es:

P6 = 6! = 720

120. En una sección de Matematica I hay 6 hombres y 4 mujeres .Cuando un examen se realiza los estudiantes son listados de acuerdo al puntaje obtenido



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (mayor a menor). Supongamos además que ningún estudiante obtiene el mismo puntaje.

a)¿ Cuántos listados diferentes se deben hacer? b) Si los hombres son ordenados entre ellos mismos y las mujeres entre ellas mismas, ¿Cuántos listados diferentes se deben hacer?

* DESARROLLO a) El número total de lisrados diferentes es:

P10 =10! = 3’628,800

b) Como los hombres pueden ordenarse entre ellos mismos de P = 6! = 720 maneras y las mujeres entre ellas mismas de P = 4! = 24 maneras .Entonces el número de listados pedido será: (6!)(4!) = 17,280

121. El señor Edwin Meza tiene 6 libros diferentes de Matemática, 2 de Estadística y 4 de Química y desea colocarlos en un estante.

a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse, si los libros de cada materia deben estar juntos? b) ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse, si solo los libros de química deben estar juntos.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO a) Los libros de Matemática pueden ordenarse de P = 6! maneras, los libros de Estadistica de Estadística de P = 2! maneras, los libros de Química de P= 4! maneras y los 3 grupos de libros de P = 3! = 6 maneras. Por tanto el número total de ordenaciones pedido es:

(6!)(2!)(4!)(3!) = 207,360

b) Considerando los libros de Química como un solo libro, tenemos 9 libros que pueden ordenarse de P = 9! maneras. En todos los grupos los libros de Química están juntos, pero pueden ordenarse entre ellos de P = 4! = 24 maneras. Entonces el número total de ordenaciones pedido es:

(9!)(4!) = 8’709,120

122.¿De cuantas formas pueden sentarse los 12 miembros del consejo de facultad de la facultad de Ingenieria Industrial alrededor de una mesa circular si: a) Pueden sentarse de cualquier forma, b) dos miembros determinados deben estar uno al lado del otro?

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I a) Considerando uno de los miembros sentado en cualquier parte alrededor de la mesa, entonces los 11 miembros restantes, pueden sentarse de P11 =11! maneras. Luego, el número total de maneras distintas que pueden sentarse los 12 miembros alrededor de la mesa es: P11 = 11! = 39?916,800

b) Considerando las dos personas que han de ir juntas como una sola. Entonces hay 11 personas para sentarse en círculo que lo pueden hacer de 10! maneras. Las dos personas consideradas como una sola pueden a su vez ordenarse entre sí de 2! maneras. Por tanto, el número de ordenaciones de 12 miembros del consejo de facultad alrededor de una mesa circular con 2 miembros determinados sentados juntos es:

(10!)(2!) = 3’628,800.

123. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER?

* DESARROLLO Tenemos: n= 6 letras ; n1= 3 letras M ; n2 =2 letras E y n3 = 1 letras R. Entonces, hay

P6 3,2,1 =

6!

= 60 permutaciones distintas de las letras MEMER.

3! 2! 1!



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 125. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar 3 bolas blancas, 4 rojas y 4 negras en una fila, si las bolas de igual color no se

distiguen entre sí?

* DESARROLLO Se pueden ordenar de P11 3,4,4 =

11!

= 11,550 maneras distintas.

3! 4! 4!

126. Un tubo de televisor se puede adquirir en 7 fabricadas ¿De cuántas maneras se pueden escoger 4 de las siete fábricas?

* DESARROLLO El número total de maneras de escoger 4 fabricas de 7 es 7

C2 =

7! 4!.3!

= 7 6 5=

35

6

128. ¿De cuántas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6 objetos respectivamente?

* DESARROLLO Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4 objetos son iguales y los otros 6 también son iguales entre sí. 10

C4 = 10!/(4!×6!) = (10×9×8×7)/4! = 210



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 129. De un total de 5 matemáticos y 7 físicos, se forma un

comite de 2

matemáticos y 3 físicos .¿De cuántas formas puede formarse, si (a) puede pertenecer a él cualquier matemático y físico, (b) un físico determinado debe pertenecer al comité, (c) dos matemáticos determinados no pueden estar en el comité?

* DESARROLLO Solución:

(a) matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5C2 formas. 3 físicos de un total de 7 pueden elegirse de 7C3 formas Número total de seleccionados posibles =5C2×7C3 = 10×35 = 350

(b)2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5C2 formas. 2 físicos restantes de un total de 6 pueden elegirse de6C2 formas Número total de selecciones posibles =5C2×6C2 = 10×15 = 150

(c) 2 matemáticos de un total de 3 pueden elegirse de 3C2 formas. 3 físicos de un total de 7 dan7C3 formas. Número total de selecciones posibles =3C2×7C3 = 3×35 = 105.

130. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de fisica y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuantas formas distintas es posible ordenarlos si (a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos, (b) solamente los libros de matemática deben estar juntos?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) los libros de matemáticas pueden ordenarse entre ellos de4P4 = 4! formas los libros de física 6P6 = 3! formas. Entonces el número de ordenaciones pedido será = 4!×6!×2!×3! = 207 360

(b) Considerar los cuatro libros de matemáticas como un solo libro. Entonces se tienen 9 libros que pueden ordenarse de 9P9 =9! formas. En todos estos casos los libros de mátematicas están juntos. Pero los libros de matemática pueden ordenarse entre ellos de 4P4 = 4! formas. Entonces el número de ordenaciones pedido será = 9!×4! = 8’709,120

132. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

* DESARROLLO Multiplicando N por por 5!2!3!, se obtiene el número de ordenaciones de 10 bolas si todas ellas fuesen distintas, esdecir, 10! Entonces

(5!2!3!)N = 10! y N = 10!/(5!2!3!)

133. Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de extraer (a) 4 ases , (b) 4 ases y un rey, (c) 3 dieces y 2 jotas, (d) un 9, 10, jota, reina, rey en cualquier orden, (e) 3 de un palo y 2 de otro, (f) al menos 1 as.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) P(4 ases) = [(4C4)(48C1)]/52C5 ] = 1/54 145 (b) P(4 ases y 1 rey) = (4C4)(4C1)/52C5 = 1/649 740 (c ) P(3 dieces y 2 jotas) = (4C3)(4C2)/52C5 = 1/108 290 (d) P(nueve, diez, jota, reina, rey) = 4(C1)(4C2)(4C1)(4C1)(4C1)/52C5 = 64/162 435 (e) P(3 de un palo, 2 de otro) = [(4×13C3)(3×13C2)]/52C5 = 429/4165 puesto que hay 4 formas de escoger el primer palo y 3 formas de escoger el segundo. (f) p(ningún as) =48C5/52C 5 = 35 673/54 145.

Luego P(al menos un as) = 1- (35 673)/54 145 = 18 472/54 145

135. Determinar la probabilidad de tres seis en 5 lanzamientos de un dado honrado.

* DESARROLLO Represéntense los lanzamientos del dado por cinco espaciós---------.Cada espacio tendrá los sucesos 6 o no 6(6’). Por ejemplo, tres 6 y dos no 6 pueden ocurrir como 666’66’ ó 66’66´6, etc.

Así la probabilidad del resultado 666’66’ es

P(666’66’) = P(6)P(6)P(6’)P(6)P(6’) = (1/6)×(1/6)×(5/6)×(1/6)×(5/6) = (1/6)3(5/6)2

Puesto que suponemos que los sucesos son independientes. Análogamente P= (1/6)3(5/6)2



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I para todos los otros resultados en los cuales ocurren tres 6 y dos no 6. Pero hay 5

C3 =10 de estos sucesos y son mutuamente excluyentes. Por tanto la probabilidad

pedida es P(666’ ó 66’66’6 ó ....) = 5C3(1/6)3(5/6)2 = 5!/(3!2!)(1/6)3(5/6)2 = 125/3888

136. Una caja contiene 5 bolas rojas y 4 blancas. Se extraen dos bolas sucesivamente de la caja sin reemplazamiento y se observa que la segunda es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera también sea blanca?

* DESARROLLO

P(B1/B2) = [P(B13B2)]/P(B2) = [(4/9)(3/8)]/(4/9) = 3/8 137. Las probabilidades de que un esposoy una esposa estén vivos dentro de 20 años están dadas por 0.8 y 0.9 respectivamente. Hallar la probabilidad de que en 20 años (a) ambos vivan; (b) ninguno viva; (c) al menos uno viva.

* DESARROLLO Sean T, M los sucesos que el esposo y la esposa , respectivamente, estén vivos en 20 años. Entonces P(T) =0.8 , P(M) = 0.9. Suponemos que T y M con sucesos independientes, lo cual puede ser o no razonable. (a) P(ambos viven) = P(T3M) = P(T)P(M) = (0.8)(0.9) = 0.72 (b) P(ninguno viva) = P(T’3M’) = P(T’)P(M’) = (0.2)(0.1) = 0.02 (c) P(a1 menos uno viva) = 1-P(ninguno viva) = 1 – 0.02 = 0.98



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 138. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes, ¿Cuántas palabras pueden formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que las palabras tengan significado.

* DESARROLLO Las 4 consonantes pueden elegirse de 7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formas y las 7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de 7P7 = 7! formas.

Entonces: El número de palabras es 7C4×5C3×7! = 35×10×5040 = 1 764 000 140. A y B juegan lanzando alternativamente un par de dados. Quien obtenga primero un total de 7 gana el juego. Hallar la probabilidad de que (a) quien lanza primero los dados gane, (b) quien lanza segundo los dados gane.

* DESARROLLO a) La probabilidad de obtener 7 en un solo lanzamiento de una pareja de dados, supuestamente honrados, es 1/6. Si suponemos que A es el primero en lanzar entonces funcionará en cualquieera de los casos siguientes mutuamente excluyentes con las probabilidades asociadas indicadas:

(1) A gana en el 1er. lanzamiento. Probabilidad = 1/6.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (2) A pierde en el 1er lanzamiento, luego pierde B, luego gana A . Probabilidad = (5/6)(5/6)(1/6). (3) A pierde en el 1er. lanzamiento, pierde B, pierde A, pierde B, gana A.

Probabilidad = (5/6) (5/6) (5/6) (5/6) (1/6)

Así la probabilidad de que A gane es (1/6)+(5/6)(5/6)(1/6) + (5/6) (5/6) (6/5) (5/6) (1/6) + ...... = 1/6[1 + (5/6)2 + (5/6)4 +.....] = (1/6)/[1-(5/6)2] = 6/11 2 donde hemos utilizado el resultado 6 del Apéndice A con x = (5/6)

b) Análogamente la probabilidad de que B gane el juego es:

(5/6) (1/6) + (5/6) (5/6) (5/6) (1/6) + .....= (5/6) (1/6)[ [1 + (5/6) 2 + (5/6)4 +.....] = [5/36]/[1 – (5/6)2] = 5/11

Así iríamos 6 a 5 a que el primero que lance gane. Nótese que la probabilidad de un empate es cero ya que (6/11) + (5/11) = 1 Esto sería verdadero se el juego fuera limitado.

141. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas alrededor de una mesa, si (a) pueden sentarse de cualquier forma, (b) si dos personas determinadas no deben estar una al lado de la otra?

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) Considérese una de ellas sentada en cualquier parte. Entonces las 6 restantes pueden sentarse de 6! = 720 formas, que es el total de casos que se dan en la ordenación de 7 personas en un círculo.

(b) Considérense las dos personas que no han de ir juntas como una sola. Entonces hay 6 personas para sentarse en circulo, que lo pueden hacer de 5! formas. Pero las dos personas consideradas como una sola pueden ordenarse entre sí de 2! formas. Así pues, el número de ordenaciones de 6 personas sentadas alrededor de una mesa con 2 determinadas de ellas sentadas juntas es de 5!×2! = 240.} Entonces, mediante (a), se tiene el número total de formas en que 6 personas pueden sentarse alrededor de una mesa, de modo que dos de ellas no estén sentadas juntas es 720 – 240 = 480 formas.

142. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado honrado.

* DESARROLLO Sea A1 = suceso “4 en el primer lanzamiento” y A 2 = suceso “4 en el segundo lanzamiento” y A2 = suceso “4 en el segundo lanzamiento”. A14 A2 = suceso “4 en el primer lanzamiento o 4 en el segundo lanzamiento o ambos” = suceso 2 al menos un 4” Los sucesos A1 y A2 son mutuamente excluyentes, pero son independientes. Por tanto, por (10) y (21) P(A14 A2) = P(A1) + P(A2) – P(A13A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1)P(A2)



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I = 1/6 + 1/6 – (1/6)(1/6) = 11/36

143. ¿Cuántos grupos de 2 hombres y 3 mujeres se pueden formar con 5 hombres y 7 mujeres?

* DESARROLLO Como hay 5C2 posibles grupos de 2 hombres y 5C3 posibles grupos de 3 mujeres, entonces hay:

5 4 7 6 5 21321

= 350 posibles grupos de 2 hombres y 3 mujeres

144. De un conjunto de 8 hombres y 7 mujeres.¿ Cuantos comités de 10 miembros se pueden formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres?

* DESARROLLO Las condiciones del problema se cumple si el comité consta de:

(a) 5 hombres y 5 mujeres, que se pueden seleccionar de C(8 a 5)

C(7 a 5) maneras .

(b) 4 hombres y 6 mujeres, que se pueden elegir de C( 8 a 4) × (7 a 6) maneras (c) 3 hombres y 7 mujeres, que se pueden elegir de (8Ca 3) ×C (7 a 7) maneras y cada una de estas elecciones son mutuamente excluyentes. Por tanto, aplicando el principio de adición, el número total de comités posibles es



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I [8!/( 5! ×3!)] × [7!/(5!×2!)] + [8!/(4! × 4!)] × [7!/(6!)] + [8!/(3! ×5!)] ×[7!/(7!)] = 1,722

145. Supongase que el entrenador de la selección peruana de Voley desea formar su alineación compuesta de 4 jugadoras veteranas y 2 juveniles, ¿Cuántas alineaciones puede formar con 6 veteranas y 6 juveniles, si todas ellas pueden jugar en cualquier posición?

* DESARROLLO Como hay para hacer de 6 a 4 combinaciones posibles para hallar grupos de 4 veteranas y combinaciones de 6 a 2 para los posibles grupos de juveniles, entonces un

6

6

equipo se puede seleccionar de C4 × C2

maneras. Por tanto el número total de

posibles alineaciones es :

[6!/(4!×2!)] × [6!/(2!×4!)] × 6! = 162,000

146. Cada pieza de un dominó es marcado por dos números. Las piezas son simétricas de modo que el par de números no es ordenado. ¿Cuántas piezas diferentes de dominó pueden construirse usando los números 1,2,......,n?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO Como cada pieza del domino se puede marcar con dos números repetidos, entonces el número total de piezas de dominó que se pueden construir es

(n+2-1)! = (n-1)!2!

n(n+1) 2

147. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden colocar 11 jugadores de fútbol en una fila de modo que el arquero y el defensa central, en particular, no quede uno al lado del otro?

* DESARROLLO Tenemos

10 jugadores sin el arquero. Estos se pueden ordenar de 10! maneras

diferentes. En cada ordenación de 10 jugadores, el arquero puede en 9 lugares diferentes sin estar al lado del defensa central. Entonces la solución seria:

9×10! = 32’659,200

149. Un muchacho tiene 4 monedas cada una de distinto valor ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cuatro monedas?

* DESARROLLO El muchacho puede formar grupos de una moneda, grupos de 2, grupos de 3 y grupos de 4. Entonces, el número total de sumas diferentes de dinero que puede formar el muchacho es



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I [4!/(1! ×3!)]+[4!/(3! ×1!)]+[4!/(4!×0!) =15 = 2 4 – 1 En general, para cualquier número entero positivo n se tiene n

n

n

C1 + C2 +...........+ C n = 2n - 1

150. De cuantas maneras diferentes se pueden izar cinco banderas de colores diferentes en 8 mástiles colocados en fila, si se pueden izar cualquier número de ellas en cada mástil?

* DESARROLLO La primera bandera puede ser izada en cualquiera de los 8 mastiles. Entonces este mastil queda dividido en dos partes y por tanto, existen ahora 8+1=9 posiciones posibles para la tercera bandera y así sucesivamente. Así, el número total de maneras diferentes de izar las banderas es

8(9)(10)(11)(12) = 95,040

151. Tres muchachas María, Magna y Maritza, compiten en un concurso de belleza. Los premios solamente son otorgados a las que ocupan el primero y segundo lugar.

(a) Liste los elementos del espacio muestral correspondiente al experimento. “Elegir a las dos ganadoras” .

(b) Defina como subconjuntos, los eventos: A: María gana el concurso de belleza



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I B: María gana el segundo lugar C: Maritza y Magna ganan los premios

* DESARROLLO a) El espacio muestral asociado a este experimento es

Ω = {(María, Magna), (María, Maritza),(Magna, María), (Magna, Maritza), (Maritza, Magna) , (Maritza, María)]}

b) Los eventos son los subconjuntos A: {(María, Magna), (María, Maritza)} B: {(Maritza, maria), (Magna, María)} C: {(Magna, Maritza), (Maritza, Magna)}

152. Un experimento consiste en lanzar 2 dados y observar los números aparecen en las caras superiores. a) Liste los elementos del espacio muestral Ω b) Liste los elementos del evento a: la suma de los números es 5 c) Listte los elementos del evento B: la suma de los números es 12 d) Liste los elementos del evento C: el producto de los números es 24 e) Liste los elementos del evento d: la suma de los números es divisible por 7.

* DESARROLLO a) el espacio muestral asociado a este experimento es:


que


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

Ω=

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

los eventos pedidos son: b) A = { (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) } c) B = { (6,6) } d) C ={ (6, 4), (4,6) } e) D ={ (1,6), (6,1), (3,4), (4,3) }

153. Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que parece en la cara superior sean los eventos. A: Observar un número impar B: Observar un número mayor o igual a 4.

Liste los elementos del evento A B

* DESARROLLO Tenemos:

Ω = { 1,2,3,4,5,6} A = { 1,3,5} ,

B:{4,5,6}

Entonces la unión de estos eventos es A B = { el número que resulta es impar o es mayor o igual a 4} = {1,3,4,5,6}



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 154. En el Hipodromo de Monterrico, 4 caballos A,B,C y D compiten en una carrera; A tiene 2 veces más probabilidad de ganar que B , B tiene 2 veces ás probabilidad de ganar que C y C tiene 2 veces más probabilidad de ganar que C y C tiene 2 veces más probabilidad de ganar que D.

a) ¿Cuáles son las probabilidades de victoria de cada uno de los caballos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que B o C gané?

* DESARROLLO El espacio muestral asociado a este experimento es

Ω = { gana A, gana B, gana C, gana D} Es claro que para describir este experimento no usaremos el modelo equiprobable. Sean los eventos

ω1 : gana el caballo A ω2

: gana el caballo B

ω3

: gana el caballo C

ω4

: gana el caballo D

a) Supongamos que P( ω4) = P, entonces tenemos: i) P(ω3) = 2P(ω4) = 2P, P(ω2) = 2P(ω3) = 4P y P(ω1) = 2P(ω2) = 8p ii) ω1 4ω3 4ω4 = Ω y ωi 3 ωj = ∅ , i ≠j , i, j = 1,2,3,4 Luego aplicando el axioma 2 y 3 se tiene



P(ω1 4ω2

INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 4ω4) = P(Ω) = 1

P(ω1) + P(ω2) + P(ω3) + P(ω4) = 1 8p + 4p + 2p + p =1

De donde se obtiene p =

1 15

por tanto, tenemos: P(ω1) = 8/15 , P(ω2) = 4/15 , P(ω3) = 2/15 , P(ω4) = 1/15 b) En este caso tenemos P(ω2

4ω3) = P(ω2) + p(ω3) = (4/15) + (2/15) + (6/15)

156. Una caja contiene 24 focos de luz de los cuales 4 son defectuosos. Si una persona extrae 10 focos de la caja al azar, y una segunda persona toma el resto de los 14 focos . ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 focos defectuosos sea obtenidos por la misma persona?

* DESARROLLO Tomando combinaciones

C6

20

y

20

C10 sobre todas las opciones posibles que

viene a ser 24C10. 20

C6 +

C10.

24

20

C10

=

20!/(6!×14!) + 20!/(10!×10!) 24!/(10!×14!)


=

2.94624


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 157. Supongamos que un comité de 12 personas es seleccionado al azar de un grupo de 100 personas .Determine la probabilidad de que 2 personas A y B en particular sean seleccionadas.

* DESARROLLO 98

C10 C12

100

= 98!/(10!×88!) 100!/(12!×88!)

158. Dado 20 personas .¿Cuál es la probabilidad de que entre los 12 meses del año hay 4 meses que contienen cada uno 2 cumpleaños y 4 meses que contienen cada uno 3 cumpleaños?

* DESARROLLO

C4 × 8C4 [20!/(2!4×3!4)] = [12!/(4!×8!)]×[8!/(4!×4!)]×[20!/(2!4×3!4)]

12

(12!)20

(12!)20

159. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 negras. Dos jugadoras A y B retiran las bolas de la urna en forma consecutiva hasta extraer una bola roja. Encontrar la probabilidad de que A seleccione primero a la bola roja.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO =

3/10

+

(7×6×3)/(10×9×8)

+

(7×6×5×4×3)/(10×9×8×7×6)

+(7×6×5×4×3×2×3)/(10×9×8×7×6×5×4) = 0.58333 .

160. Una urna A contiene 3 bolas rojas y 3 negras, mientras que la urna B contiene 4 bolas rojas y 6 negras. Si una bola es extraída aleatoriamente de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas sean del mismo color?

* DESARROLLO Tenemos que la probabilidad en la primera urna es de 1/2 para cada color Rpta.

1/2

161. Un closet contiene 10 pares de zapatos. Si 8 zapatos son seleccionados aleatoriamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no hay ningún par completo en este grupo?

* DESARROLLO (10C8)28 (20C8)

= [10!/(8!×2!)]× 28

= 0.0914503453

[20!/(8!×12!)]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hay exactamente un par completo? Solución:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 6 = [10!/(1!×9!)] ×[9!/(6!×4!)] × 26 = 0.106692 10C1×9C6×2 20

C8

20!/(8!×12!)

162. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras pueden formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que las palabras tengan significado.

* DESARROLLO Las 4 consonantes pueden elgirse de7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formnas y las 7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de7C7 = 7! formas. Entonces: El número de palabras es7C4×5C3×7! = 35×10×5040 = 1 764 000

164. En un almacén hay 12 artículos de los cuales 4 son defectuosos; si se extraen 2 artículos, calcule la probabilidad de que: a) Ambos artículos son defectuosos, b) Ambos artículos no son defectuosos c) por lo menos uno es defectuoso




INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Ω = {(a1, a2)/ ai = artículo defectuoso o no defectuoso i = 1,2} El número total de pares de artículos extraídos de 12 artículos es igual a (12!/(2!×10!))= 66; esto indica que el espacio muestral tiene 66 elementos simples. a) Sea el evento A: los 2 artículos selecciones son defectuosos .El número total de manerasde obtener 2 artículos defectuosos de un total de 4 es (4!/2! ×2!) = 6 , luego A tiene 6 elementos. Por tanto P(A) = (número de elementos de A)/(número de elementos deΩ) = 6/66 =1/11 b) Sea el evento B: los dos artículos seleccionados no son defectuosos. El número de maneras de obtener 2 artículos no defectuosos de un total de 8 es (8!/(2!× 6!)) = 28 , luego B tiene 28 elementos. Entonces P(B) = 28/66 = 14/33 c) Sea el evento C: por lo menos uno de los dos artículos seleccionados es defectuoso.Luego C es el evento complementario de B, esto es, C = BC . Por tanto P(C) = P(BC ) = 1 - P(B) = 1 – (14/33) = (19/33)

165. Consideremos el problema de seleccionar 2 candidatos para un cierto empleo de un grupo de 5 personas, supongamos que los candidatos están clasificados de acuerdo a su competencia como primero en competencia (1), segundo en



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I competencia (2), tercero en competencia (3), cuarto en competencia (4) y quinto en competencia (5). Estas categorias son de hecho desconocido por el empleador. a) Cuál es la probabilidad de que el empleador seleccione al mejor y uno de los dos peores candidatos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleador seleccione uno de los dos mejores candidatos?

* DESARROLLO El espacio muestral asociado a este experimento es el conjunto de paresordenados en la que la primera primera componente denota al primer candidato seleccionado y la segunda componente al segundo candidato, esto es

Ω=

{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}

a) Sea el evento A: “el empleador selecciona el mejor y uno de los peores candidatos “,

luego los eventos simples favorables s A son:

A = {(1,4),(1,5)} Luego, P(A) = (número de elementos de A)/(número de elementos deΩ) = 2/10 =1/5 b) Sea el evento B: “el empleador selecciona al menos uno de los 2 mejores candidatos”. Entonces, los eventos simples favorables a 6son:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I B = {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} Por tanto P(B) = (número de elementos de B)/(número de elementos deΩ) = 7/10

166. Ocho parejas de casados se encuentran en un salón .Si se escogen 2 personas al azar, hallar la probabilidad de que: a) sean esposos b) una mujer y el otro hombre Si se escogen 4 personas al azar, hallar la probabilidad de que c) se escojan 2 parejas de casados d) ninguna de las personas son casados

* DESARROLLO Podemos escoger una pareja de 16 personas de C2 = 16!/(2!×14!) =120

16

maneras, así el número de elementos del espacio muestral asociado a este experimento es 120.

a) Sea el evento A: pareja seleccionada son esposos. Como hay 8 parejas de casados, entonces el número de elementos del evento A es 8, luego P(A) = 8/120 = 1/15 = 0.067

b) Sea el evento B: pareja seleccionada está compuesta por una mujer y un



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I un hombre, entonces es número de elementos de B es×88 =64 , Luego P(B) = 64/120 =0.533 Podemos escoger 4 personas de 16 de C(16 a 4) =16!/(4!×12!)=1820 maneras, entonces el espacio muestral asociado aeste experimento tiene 1820 eventos simples.

c) Sea el evento C: las 2 parejas seleccionadas son casados, como hay 8 parejas de casados, entonces el número de elementos del evento C es 8

C2 = 8!/(2! ×6!) = 28

Luego, P(C) = 28/1820 = 0.0154

d) Sea el evento D: las 4 personas seleccionadas provienen de 4 parejas diferentes. seleccionar 4 personas que provienen de 4 parejas diferentes , consiste en elegir 4 parejas distintas de los 8 y luego seleccionar una persona de cada una de las 4 parejas seleccionadas.Así, el número total de maneras de escoger 4 personas que provienen de 4 parejas diferentes es: 8!/(4! ×4!) ×2×2×2×2 = 1120 esto es, el número de elementos del evento D es 1120.Luego tenemos : P(D) = 1120/1820 =0.615

167. Tres alumnos A, B y C se matriculan al azar en el curso de Mátematica II que tiene 4 secciones númeradas con 401,402,403, y 404, pudiendo matricularse los 3 alumnos en una misma sección. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos se matricule en 2 secciones?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos se matriculan en 2 secciones? * DESARROLLO Como los tres alumnos se pueden matricular en la misma sección, entonces el alumno A puede matricularse en cualquiera de de las 4 secciones , de 4 formas diferentes ; de manera similar el alumno B puede matricularse encualquiera de las 4 secciones, de 4 formas distintas ; el alumno C también puede matricularse en cualquiera de las 4 secciones, igualmente de 4 formas distintas. Luego el número total de maneras en la que los 3 alumnos pueden matricularse en las 4 secciones es: 4×4×4 = 64 Así el número de elementos del espaci muestral asociado a este experimento es 64 a) Sea el evento A: ninguno de los 3 alumnos se matriculanen la sección 404. Decir que ninguno de los 3 alumnos se matriculan en la sección 404 es equivalente a que los 3 alumnos se matriculan en las secciones restantes, y esto se puede hacer de 33 = 27 maneras. Luego P(A)= 27/64 = 0.422 b) Sea el evento B: ninguno de los 3 alumnos se matriculan en 2 secciones. Decir que los alumnos no se matriculan en2 secciones cualesquiera es equivalente a que ellos se matriculan en las 2 secciones restantes que se puede elegir de 6

C(4 a 2) =

y déspues de haber elegido estas secciones, el alumno A puede matricularse en

cualquiera de las 2 secciones elegidas, de 2 maneras distintas ; similarmente el alumno B puede matricularse de 2 maneras distintas y lo mismo el alumno C



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I puede matricularse de 2 maneras distintas. Luego el número total de maneras en la que los 3 alumnos pueden matricularse en las 2 secciones elegidas es 6×23 = 48 Por tanto, P(B) =

48/64 =0.75

169. Un hombre tiene 20 llaves de las cuales, exactamente una abre la cerradura ; él prueba las llaves una en cada vez, escogiendo al azar en cada tentativa una de las llaves que no ha sido probada. Determinar la probabilidad que la llave que abre la cerradura sea escogida en la sexta tentativa.

* DESARROLLO Sea el evento A: el hombre selecciona la llave correcta en la sexta tentativa. Entonces se tiene:

1ra llave no habre la cerradura 2dallavenoabre 3rallavenoabre 4tallavenoabre

19/20 18/19 17/18 16/17

5ta lave no abre 6tallaveabre

15/16 1/15

P(A) = (19/20)× (18/19) × (17/18) × (16/17) × (15/16) × (1/15) = 1/20



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 170. Si Edwin tiene 3 billetes de una loteria que vendió 1,000 billetes y existen 5 premios. ¿Cuál es la probabilidad de que Edwin gane por lo menos un premio?.

* DESARROLLO El experimento consiste en seleccionar 5 billetes premiados de 1,000. Entonces el númerop de elmentos del espacio mestral asociado a este experimento es C(1000 a 5) = 8.2502912 × 1012 Sean los eventos A: Edwin gana por lo menos unpremio AC:Edwin no gana ningún premio

Sí Edwin no gana ningún premio, entonces los 5 billetes premiados se escogerán de

1,000 – 3 = 997 billetes y esto se pude hacer de

C(997 a 5)= 8.1270318× 1012

maneras

C

Luego P(A ) = C(997 a 5)/C(1000 a 5) = 0.985 Por tanto P(A) = 1 – 0.985 = 0.015 171. Cierta familia tiene 3 hijos, y sabemos que al menos deos de ellos son niñas. Suponiendo que los nacimientos de niños y niñas son igualmente probables. y suponiendo además que el sexo del hijo mayor no afecta en ningún modo al sexo del hijo menor, calcule la probabilidad de que la familia tenga 3 niñas.


Ω = {MMM, MMH, HMM, MHH, HMH, HHM,HHH} donde M= mujer y H= hombre

Sean los eventos A: la familia tiene 3 niñas



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I B: la familia tiene por lo menos dos niñas Luego los elementos de los eventos A y B son: A={MMM} , B={MMM, MMH,MHM, HMM } , A3B = {MMM} Por lo tanto, la probabilidad condicional de que la familia tenga 3 niñas desde que tiene por lo menos dos niñas será: P(A/B) = P(A3B) P(B)

= 1/8

= 1/4

4/8

172. La siguiente tabla presenta la clasificación de 356 estudiantes que la Universidad de Lima, de acuerdo a su especialidad y precedencia.

Especialidad Ingenieria

Procedencia Limeño(L) Provinciano(P1 ) Extrangero(Q) Total

Administració Economía

Industrial

n

100 20 5 125

40 60 0 100

50 50 1 101

Derecho Total

20 10 0 30

210 140 6 356

Sea el evento E: elegir al azar un estudiante del grupo . a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no pertenezca a la facultad Industrial y no sea extranjero? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no pertenezca a la Facultad de Ingenieria Industrial dado que es limeño?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I c) ¿Cuál es la probabilidad deque el estudiante sea de la Facultad de Economía dado que es provinciano?

* DESARROLLO Sean los eventos I: El estudiante elegido pertenece a la facultad de Ing. Industrial E: El estudiante elegido pertenece a la Facultad de Economía A: El estudiante elegido pertenece a la facultad de Administración L: El estudiante elegido es limeño P1: El estudiante elegido es proivinciano Q: El estudiante elegido es extranjero

Luego, de acuerdo a la tabla tenemos P(1) = 125/356 , P(E) = 101/356 , P(A) = 100/356 , P(L) = 210/356 P[P1] = 140/356 , P(Q) = 6/356

Por tanto, las probabilidades pedidas son: a) P[IC3 QC ] = 1 – P[(IC 3 QC ) C] =1 – P(I 4Q) = 1 – { P(1) + P(Q) - P(I3 Q) } = 1 – {(125/356) + (6/356) – (5/356)}

b) P[IC/L] = 1 – P[I/L] = 1 – [P(I 3 L)/P(L)] = 1 – 100/356 = 1 – (100/210) = 11/21 = 0.524 210/356 c) P[(E4 A)/P1] = P(E/P1) + P(A/P1) – P[E 3 A/P1] 0



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P(E3P1 ) + P(A3P1 ) = 50/140 + 60/140 = 0.785

=

P[P1 ]

P[P1]

173. Uno de los clubes universitarios femeninos está compuesto por las siguientes asociadas : 15 rubias de ojos azules, 8 rubias de ojos castaños , 9 morenas de ojos azules, 12 morenas de ojos castaños , 4 pelirrojas de ojos azules y 2 pelirrojas de ojos castaños. Supongamos que usted ha conseguido una cita con una de las chicas, sin conocerla, y está lloviendo cuando se encuentra usted con ella. Su cabello está completamente cubierto , pero sin embargo sus chispeantes ojos azules le dan la bienvenida ,¿cuál es la probabilidad de que sea rubia?

* DESARROLLO La información contenida en el enunciado de este problema, lo resumimos como sigue: Colordeojos Ojos azules

Rubia 15

Ojos castaños 8 Total

Morena 4

28

12

2

22

21

6

A: la chica es rubia B: la chica es de ojos azules

Luego tenemos P(A/B) = P(A 3 B) P(B)

Total

9

23

Sean los eventos

Pelirroja

= 15/50

= 0.536

28/50


50



175. Una urna contiene 10 bolas blancas, 5 bolas amarillas y 10 negras. Una bola es extraída al azar de la urna, y luego se observa que no es bola negra. ¿Cuál es la probabilidad de que sea amarilla?

* DESARROLLO Sean los eventos A: la bola seleccionada es amarilla B: la bola seleccionada es negra. Luego tenemos P(A/BC ) =

P(A3 BC) P(BC )

= P(A)

=

5/25

P(BC )

15/25

=

1 3

177. Una urna contiene 20 bolas idénticas de las cuales 8 son negras 7 rojas y 5 blancas. Se extraen 4 bolas de la urna sin reemplazamiento. Encontrar la probabilidad de que la primera bola es negra, la segunda roja, la tercera blanca y la cuarta negra.

* DESARROLLO Sean los eventos A1: La primera bola seleccionada es negra



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I A2: La segunda bola seleccionada es roja— A3: La tercera bola seleccionada es blanca A4: La cuarta bola seleccionada es negra Entonces se tiene: P(A1 3 A2 3 A3 3 A4) = P(A1) P(A2/A1) P(A2/A1 3 A2) P( A4/A1 3 A2

3 A3)

usando los datos del problema tenemos P(A1) = 8/20, P(A2/A1) = 7/19 , P(A3/A1 3 A2) = 5/18, P(A4/A1 3 A2 3 A3) =7/17 Así la probabilidad requerida es P(A1 3A23 A3 3 A4) = (8/20)(7/19)(5/18)(7/17) = 0.01684

178. María está indecisa con relación a que sí se matricula en el curso de Economía I o el curso de Química I. Aunque ella realmente prefiere matricularse en Química, estima que su probabilidad de aprobar el curso de Economía I es ½, mientras que su probabilidad de aprobar el curso de Química I es 1/3. Si María decide matricularse en uno de estos cursos mediante el lanzamiento de una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que ella apruebe el curso de Química?

* DESARROLLO Sean los eventos A: María se matricula en el curso de Química



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I B: María aprueba el curso de Química Entonces la probabilidad deseada es P(A3B), y se calcula usando el teorema 10 de la siguiente manera: P(A3B) = P(A) P(B/A) = (1/2)(1/3) = 1/6

179. Supongamos que se lanza un dado 5 veces. Determinar la probabilidad de que no aparezca ningún seis en los cinco lanzamientos.

* DESARROLLO Sean los eventos Ei: no aparece seis en el lanzamiento número i , i=1,2,3,4,5. E: no aparece ningún seis en los cinco lanzamientos supongamos que los 5 lanzamientos son independientes unos de otros , esto es, eventos Ei i = 1,2,3,4,5 son independientes . Además E = E1 3 E2 3 E3 Luego tenemos P(E) = P(E1 3 E2 3 E3 3 E4 3 E5) = P(E1).P(E2).....P(E5) = (5/6)5.

180. Sean A, B y C eventos mutuamente independientes tal que



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P(A4 B) = 1/12 , P(A4 C) = 1/15 y P(AC3BC3CC) = 2/5 Hallar (A 4B 4C).

* DESARROLLO Como los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes independientes, tambien lo son AC, BC, CC. Luego tenemos a) P(A3B) = P(A)P(B) = 1/12

(1)

b) P(A 3C) = P(A)P(C) = 1/15

(2)

c) 2/5 = P(A C 3 BC 3 CC) = P(AC) P(BC) P(CC) = (1 – P(A))(1 – P(B)(1 – P(C))

=13/12 – P(B) – P(A) – 13/12 P(C) + P(B) P(C) + 1/15 de donde se obtiene P(B) + P(A) + 13/12P(C) – P(B)P(C) =3/4

(3)

Reemplazando P(B) = 1/12P(A)

y

P(C) = 1/(15P(A) en (3) y realizando operaciones se

obtiene: 180[P(A)]3 – 135[P(A)]2 + 28P(A) – 1 = 0 Resolviendo la ecuación de tercer grado en P(A) obtenemos P(A) = 1/3 o P(A) = 0.372 o P(A) = 0.045 Tomando P(A) = 1/3 tenemos P(B) =1/4. P(C) = 1/5 y



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P(A4 B4 C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A3C) – P(B3C) + P(A3B3C) = P(A) + P(B) + P(C) + P(A) P(B) – P(A)P(C) – P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 1/3 + 1/4 + 1/5 –1/12 – 1/15 – 1/20 + 1/60 = 3/5 De la misma manera podemos calcular P(A 4B4C) para los otros valores de P(A).

181. La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es 1/4 y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3 . Hallar la probabilidad de que: a) ambos vivan 10 años más b) al menos uno viva al cabo de 10 años c) ninguno viva al cabo de 10 años d) solamente la esposa viva al cabo de 10 años

* DESARROLLO Sean los eventos A: el hombre vive 10 años más B: la esposa vive 10 años más Los eventos A y B son independientes, pues los años que vive el hombre no depende de lo que viva su esposa. Luego tenemos: a) P(A3B) = P(A)P(B) = 1/4 . 1/3 = 1/12



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I b) P(A 4 B) = P[a1 menos uno viva al cabo de 10 años] = P(A) + P(B) - P(A3B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 1/4 + 1/3 – 1/12 = 1/2 c) P(AC3BC) = P[ de que ninguno viva al cabo de 10años ] = P(AC)P(BC) = 3/4 . 2/3 = 1/2 d) P(AC3B) = P(AC)P(B) = 3/4×1/3×1/4

182. Se conoce que un paciente responde a un tratamiento de una enfermedad con probabilidad 0.8. Si 3 pacientes son tratados en una manera independiente, encontrar la probabilidad que al menos uno responda al tratamiento.

* DESARROLLO Sean los eventos A: al menos uno del los pacientes responde al tratamiento B1: el primer paciente no responde al tratamiento B2: el segundo paciente no responde al tratamiento B3: el tercer paciente no responde al tratamiento AC: ningún paciente responde al tratamiento Entonces se tiene que AC = B1 3 B2 3 B3



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Por tanto. P(A) = 1 – P(B13B23B3) = 1 – P(B1).P(B2).P(B3) = 1- (0.2)3 = 0.992

183. Al observar una linea de servicio de una clinica local vemos que la probabilidad de una nueva llegada para un caso de emergencia es p. Encontrar la probabilidad que el K-ésimo paciente es el primer caso de emergencia(suponga que las condiciones de llegada de pacientes representan eventos independientes).

* DESARROLLO Sean los eventos Ei: el i-ésimo paciente es el primer caso de emergencia, i = 1,2,..... Ai: i-ésimo paciente que llega no corresponde a un caso de emergencia i = 1,2,.... Luego tenemos Ek =A13A2 ..... Ak-13 (cAk) Así la probabilidad requerida es: P(Ek) =P[A13A23.............. 3Ak-13(cAk) = P(A1)P(A2)......P(Ak-1)×P(cAk) = (1 – P)k-1×P



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 185. Un experimento consiste en una sucesión infinita de ensayos independientes. Cada ensayo resulta en un éxito con probabilidad p y en un fracaso con probabilidad 1-p. a)¿Cuál es la probabilidad que al menos ocurra un éxito en los primeros n ensayos? b)¿Cuál es la probabilidad de que exactamentek éxitos ocurran en los primeros n ensayos? c)¿Cuál es la probabilidad de que todos los ensayos resulten en éxitos ?

* DESARROLLO

a) A fin de calcular la probabilidad de que al menos ocurra un éxito en los primeros n ensayos, es conveniente primero calcular la probabilidad del evento complementario ,que es, no no ocurre ningún éxito en los primeros n ensayos Sea el evento Fi: ocurre fracaso en el i-ésimo ensayo. A: ocurre al menos un éxito en los primeros n ensayos . Entonces la probabilidad de que ocurra ningún éxito en los primeros n ensayos es P[Fi3F23.......3Fn] = P(F1)....P(Fn) (Por independencia de eventos) = (1 - P)n Luego : P(A) = 1 – P(AC) = 1 – (1 – P)n b) Sea el evento Ei: ocurre éxito en el i – ésimo ensayo.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Entonces una sucesión particular de los primeros n resultados conteniendo k exitos y n = k fracasos es { Ei......,Ek, Fi, F2....., Fn-k} Por independencia de ensayos, la probabilidad de ocurrencia deesta sucesión es P[E13E23.....3Ek3F13....3Fn-k] = Pk(1-p)n-k Como hay kCn = n!/k!(n-k)! de tales sucesiones, entonces la probabilidad pedida es: P[de exactamente k éxitos en los primeros n ensayos] = n(Ck)Pk(1-p)n-k (c)Por independencia de eventos, la probabilidad de que todos los primeros n ensayos sean éxitos es dado por P[E13.....3En] = Pn Por tanto, la probabilidad pedida P[∞3 i-1 Ei] es dado por

P[ ∞3 i=1 Ei ] = limn∞ P[ n3 i=1 Ei ] = limn∞ pn = =

0

si p<1 1


si p = 1



186. Consideremos los datos de la siguiente tabla . Urnas

1

2

3

Colores Negras

3

4

2

Blancas

1

3

4

Rojas

5

2

3

Total

9

9

9

Sea el experimento E: escoger una urna al azar y de ella extraer una bola al azar.¿Cuál es la probabilidad de escoger la urna 3, sabiendo que la bola extraida es blanca?

* DESARROLLO Sean los eventos B: la bola extraida es blanca B1: la urna elegida es la urna 1



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 42 : la urna elegida es la urna 2

43: la urna elegida es la urna 3 De acuerdo a los datos de la tabla dada tenemos P(4 1) = 1/3 , P(4 2) = 1/3 ; P(4 3) =1/3 P(B/4 1) = 1/9, P(B/4 2) = 3/9 , P(B/4 3) = 4/9 Aplicando la formula de Bayes, la probabilidad pedida es: P(4 3/B) = P(4 3 3 B)/P(B) =

P(4 3)P(B/U3) P(U1)P(B/U1) + P(U2)P(B/24) + P(34)(P(B/34)

=

(1/3)×(4/9)

= 1/2 = 0.5

1/3×(1/9) + 1/3(3/9) + 1/3×(4/9)

187. El dado A tiene 4 caras rojas y 2 caras blancas, y el dado B tiene 2 caras rojas y 4 caras blancas. Una moneda es lanzada una sola vez. Si el resultado es cara se usa el dado A para continuar el juego; si sale sello se debe usar el dado B. a) Hallar la probabilidad de que resulte cara roja en el primer lanzamiento. b) Dado que en los dos primeros lanzamientos resultan caras rojas .¿Cuál es la probabilidad de obtener cara roja en el tercer lanzamiento?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I c) Si lo primeros 3 lanzamientos resultan en caras rojas .¿Cuál es la probabilidad de que se éste utilizando el dado A?

* DESARROLLO Sean los eventos C: sale cara en la moneda S: sale sello en la moneda R: Sale cara roja en el dado B: sale cara blanca en el dado

a) Sea el evento D 1 : sale cara roja en el primer lanzamiento del dado. El diagrama del árbol de probabilidad que que visualiza este problema es:

Se lanza lado A

R C

P(R/C) = 4/6

P(C) = 1/2

B

R

P(S) =1/2

S

Se lanza lado B


P(R/S) = 2/6 B


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I En este caso el evento D1 está formado por la unión de las CR y SR, esto es D1 = CR 4SR y como estos eventos son mutuamente excluyente tenemos P(D1) = P(CR) + P(SR) = P(C) P(R/C) + P(S) P(R/S) = 1/2×(4/6) + 1/2×(2/6) = ½

b) Sean los eventos D2: Sale cara roja en el segundo lanzamiento del dado D3: Sale cara roja en el tercer lanzamiento del dado De acuerdo al enunciado del problema se quiere calcular P(D3/D1 y D2). La ocurrencia simultánea de los eventos D1 y D2 es: D1D2 = CRR 4SRR Luego

P(D1D2) = P(C) P(R/C) P(R/C) + P(S) P(R/S) P(R/S) = 1/2×(4/6)×(4/6) + 1/2×(2/6)×(2/6) = 5/18

En forma análoga, la ocurrencia simultánea de los eventos D1, D2 y D3 es D1D2D3 = CRRR 4SRRR Luego se tiene P(D1D2D3 ) = P(C) P(R/C) P(R/C) P(R/C) + P(S) P(R/S) P(R/S) P(R/S) = 1/2(4/6)(4/6)(4/6) + 1/2(2/6)(2/6)(2/6) = 3/18



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Por tanto. P(D3/D1 y D2) = P(D1D2D3)/P(D1D2) = (3/18)/(5/18) = 3/5

c) Sea el evento D: se utilizó el dado A en el juego, entonces tenemos: P(D/D1D2D3)

=

P(DD

1

D2D3)/P(D1D2D3)

=

[1/2(1/4)(4/6)(4/6)]/(3/18) = 8/9

189. Al responder una pregunta de alternativas múltiples un estudiante o bien conoce la respuesta o él reponde adivinando . Sea p la probabilidad de que el estudiante conoce la respuesta y 1-p la probabilidad de que responda adivinando. Supongamos que el estudiante que responde adivinando la pregunta tiene una probabilidad de 1/m de responder correcta, donde m es el número de alternativas de la pregunta. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que el estudiante conoce la respuestra de la pregunta, dado que el estudiante responde correctamente?

* DESARROLLO Sean los eventos A: el estudiante responde la pregunta correctamente B: el estudiante realmente conoce la respuesta BC : el estudinate no conoce la respuesta




Estos eventos son representados por el sgte diagrama de Venn B

B

BC

A

De la figura tenemos A = (A3B) 4(A3BC) Aplicando la formula de Bayes se tiene: P(B/A) = P(B3A)/P(A) = P(B) P(A/B)/ P(B) P(A/B) + P(BC ) P(A/BC) =

p.1/[p + 1/m(1 – p)] = mp/[1 + (m – 1)p]

190. Un banco ha estimado, por experiencias anteriores, que la probabilidad de que una persona falle en los pagos de un préstamo personal es de 0.2. También ha estimado que el 30% de los préstamos no pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones y el 70% de los prestamos pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones . Se pide calcular. a) Probabilidad de que un préstamo que se haya hecho para financiar un viaje de vacaciones no se paque a tiempo.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I b) Probabilidad de que si el préstamo para propósitos distintos a viajes de vacaciones sea pagado a tiempo.

* DESARROLLO A: la persona falla en los pagos de su préstamo personal AC: la persona no falla en los pagos de su préstamo personal B: la persona recibe un préstamo para financiar viajes de vacaciones De acuerdo al enunciado tenemos: P(A) = 0.2 , P(AC) = 0.8 C

P(B/A) = 0.3 ; P(B/A ) = 0.7

C

yAUA = Ω

a) Aplicando la formula de Bayes, tenemos P(A/B) = [(0.2)(0.3)]/[(0.2)(0.3) +(0.8)(0.7) = 0.097 b) En este caso se desea calcular P(A C/BC), según las propiedades de probabilidad condicional tenemos P(BC/AC) = 1 – P(B/AC) = 1 – 0.7 =0.3 P(BC/A) =1 – P(B/A) = 1 – 0.3 = 0.7 Por tanto ,

P(AC/BC) = [(0.8)(0.3)]/[(0.2)(0.7) + (0.8)(0.3)] = 0.632

192. Una compañía de Seguros opina que la población limeña puede ser dividida en dos clases: aquellas personas propensos a accidentes y aquellos que no son



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I propensos. Sus estadísticas muestran que una persona propenso a accidente tendrá un accidente alguna vez dentro de un periodo de un año con probabilidad 0.4, mientras sus probabilidades decrecen a 0.2 para una persona que no es propenso a accidentes. Si suponemos que 30% de la población limeña es propenso a accidentes, se pide: a) Calcular la probabilidad de que una persona que compra una nueva póliza de seguros tiene un accidente dentro del año de vigencia de su póliza. b) Suponiendo que el nuevo poseedor de una póliza de seguros tiene un accidente dentro del año de vigencia de su póliza, ¿cuál es la probabilidad de que él este propenso a un accidente?.

* DESARROLLO Sean los eventos B: la persona que tiene una póliza de seguros tiene un accidente dentro del año de vigencia de su póliza. A: La persona que tiene una póliza de seguros es propenso a accidentes a) De acuerdo al enunciado del problema tenemos: i) P(A) = 0.3 , P(AC) = 0.7 , P(B/A) = 0.4 , P(B/AC) = 0.2 ii) B = (B3A) 4(B3AC) Aplicando el teorema de probabilidad total, la probabilidad total, la probabilidad pedida es:

P(B) = P(A) P(B/A) + P(A

= (0.3)(0.4) + (0.7)(0.2) = 0.26


C

) P(B/AC)


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I b) La probabilidad pedida es P(A/B) P(A/B) = P(A3B)/P(B) = [P(A) P(B/A)]/P(B) = [(0.3)(0.4)]/0.26 = 0.462

193. Supongamos que hay 5 personas en una habitación. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 personas tengan cumpleaños en común?

* DESARROLLO Sean los eventos E: por lo menos 2 personas tienen cumpleaños en común. C

E : todas las personas tienen cumpleaños en diferentes días del año. Supongamos que los nacimientos de personas son independientes unos de otros. El número total de maneras de que las 5 personas puedan celebrar sus cumpleaños en cualquier día del año es (365)5 El número total de maneras de que las 5 personas tienen cumpleaños en diferentes días del año es (365!)/(365-5)! = 365!/360! Por tanto,

P(E) = 1 – P(E C) = 1 – [365!/(360!×(365)5) = 1 – 0.9729 = 0.0271



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 195. Una caja contiene 9 etiquetas numeradas consecutivamente del 1 al 9 si se extraen 2 de estas etiquetas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus numeros sean 10?

* DESARROLLO ~ ={(1,2), (1,3),..............(2, 1)..(2, 3)...........(8, 9)} H = pares ordenados de numeros que sumados dan 10 H = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6)} P(H) = 4/(9/2) = 4/32 = 1/9

197. Supóngase un juego con un dado. En este juego el jugador gana $20 si obtiene 2, $40 si obtiene 4, pierde $30 si obtiene 6; en tanto que ni pierde ni gana si obtiene otro resultado. Hallar la suma esperada de dinero ganado.

* DESARROLLO Sea

X la variable aleatoria que representa la cantidad de dinero ganada en

cualquier lanzamiento . Las posibles cantidades de dinero ganado cuando el dado resulta 1,2,...., 6 son x1, x2,....,x6 respectivamente

con probabilidades F(x1),

F(x2),.....,F(x6). Así el valor esperado o esperanza es E(X) = (0)(1/6) + (20)(1/6) + (0)(1/6) + (40)(1/6) + (0)(1/6) + (-30)(1/6) = 5 se deduce que el jugador puede esperar una ganancia de $5. Por tanto en un juego honrado es de esperarse pagar $5 por jugar.




198. En una loteria hay 200 premios de $150, 20 premios de $750 y 5 premios de $3000 Suponer que se colocan a la venta 10 000 boletos.¿Cuál es le precio justo que se debe pagar por un boleto.

* DESARROLLO x(pesos)

150

750

3000

0

P(X = x)

0.02

0.002

0.0005

0.9775

E(X) = (150)(0.02) + 750(0.002) + 3000(0.0005) + (0)(0.9775) = 6.00 El precio justo para pagar es 6 pesos.

199.Hallar la esperanza de la suma de puntos al lanzar un par de dados honrados.

* DESARROLLO Sean X, Y los puntos que aparecen sobre los dos dados. Tenemos E(X) = E(Y) = 1(1/6) + 2(1/6) + .....+ 6(1/6) = 7/2 Entonces por E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 7

201. Una empresa presta servicios de transporte público con 4 líneas al distrito de Breña , de modo que : el 20% de los omnibus cubren el servicio de la linea 1, el 40% cubren el servicio de la linea 2, el 30% cubren el servicio de la linea 3 y el



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 10% cubren el servicio de la linea 4. Se sabe la probabilidad de que, diariamente, un ómnibus se averíe es : Del3%enlalinea1 Del 2% en la linea 2

Del4%enlalinea3 Del 1% en la linea 4

Se pide: a) La probabilidad de que, en un día, un omnibús sufra avería b) Sabiendo que un ómnibus ha sufrido una avería en un día determinado, ¿Cuál es la probabilidad de que preste servicio en la linea 3?

* DESARROLLO a) Sean los eventos: A: Un ómnibus sufre avería en un día determinado, cualquiera que sea la línea en la que presta el servicio. B1: Un ómnibus presta servicio en la linea i, i = 1,2 , 3, 4 Tenemos: i)B1 4B2 4B3 = Ω (ómnibus que prestan servicios en el distrito de Breña) ii) Bi 3 Bj = φ , ∀i ≠ j, esto es, si un ómnibus presta servicios en la línea i no lo hace en la línea j.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I iii) (A3B1) 4(A4 B2) 4(AUB3) 4(A4 B4) Luego aplicando el teorema de probabilidad total, se tiene P(A) = P(B1) P(A/B1) + P(B2) P(A/B2) + P(B3) P(A/B3) + P(B4) P(A/B4) Por otro lado, de acuerdo al enunciado del problema tenemos : P(B1) = 0.02 , P(B2) = 0.04 , P(B3) = 0.03 , P(B4) = 0.1 P(A/B1) = 0.03 , P(A/B2) = 0.02 , P(A/B3) = 0.04 , P(A/B4) = 0.01 Por tanto, P(A) = (0.2)(0.03) + (0.4)(0.02) + (0.3)(0.04) + (0.1)(0.01) = 0.027

b) P(B3/A) = [P(B3) P(A/B3)] / [

Σ4

i=1

P(B1) P(A/B1) ] = [(0.3)(0.04)] / 0.027 =

0.444

202.En Lima, la probabilidad que llueva el día primero de Julio es de 0.5. y la probabilidad que llueva los dos primeros días es 0.40. Dado que llovió el día primero Cual es la probabilidad que llueva el día siguiente?

* DESARROLLO A: “llovió el primer día de Julio”

P[A]+0.50

B: “Llueve el segundo día de Julio”

y

P[A

∩B] = 0.40

Usando la definición de probabilidad condicional se tiene:



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[A/B] =

P[A∩B]

= P[A]

0.40

=

0.80

0.50

203. En una Universidad de 10000 estudiantes y 1000 profesores, el 10% de profesores son de izquierda y el 90% de derecha, mientras que en los estudiantes este porcentaje es al contrario. Se selecciona al azar un miembro de la Universidad y se encuentra que es de derecha, ¿Cuál es la probabilidad que se haya seleccionado un estudiante? ¿Un profesor?.

* DESARROLLO El espacio muestral de toda la comunidad universitaria es de 10000 + 1000 = 11000 D: Un Integrante de derecha.

E: El integrante es un estudiante.

# de estudiantes de derecha = 1000

# de profesores de derecha = 900

a)P[E/D]

=

P[ED] P[D]



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Luego: 1000 11000

1900 11000

=

10 19

b)P[E/D]

=

P[ED] P[D]

Luego: 900 11000 1900 11000

=

9 19

204.Cierta Universidad en su información en su primer año de funcionamiento tiene tres curricula: Ciencia, Administración e Ingeniería. Se selecciona un estudiante aleatoriamente del grupo. Si se sabe que el estudiante es hombre, ¿Cuál es la probabilidad de que este en Ciencias? ¿Cuál es la probabilidad que este en Ingeniería? Cuál es la probabilidad que el estudiante este matriculado Administración?. Si se sabe que el estudiante es mujer ¿Cuál es la probabilidad de que este en Ciencias? ¿Cuál es la probabilidad que este en



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Ingeniería? Cuál es la probabilidad que el estudiante este matriculado Administración?. La clasificación de los alumnos por su sexo, es como sigue: Hombres Mujeres Total

Ciencia 250 100 350

Administración 350 50 400

Ingeniería 200 50 250

* DESARROLLO Definimos los siguientes eventos: B1: “El estudiante seleccionado es hombre” B2: “El estudiante seleccionado es mujer” A1: “El estudiante sigue ciencias” A2: “El estudiante está matriculado es administración” A3: “El estudiante está matriculado en Administración”

P[A1/B1]

P[A2/B1]

P[A3/B1]

=

=

=

P[A2/B2]

= 50

=

5

800

16

350=

7

800

16

= 20

P[A1/B2]

P[A3/B2]

250=

=

1

800

4

100= 200

1 2

=

1

200

4

50

1


Total 800 200 1000



4

205.En una Universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras; de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y de los de letras son varones el 49%. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que: ¿Sea un estudiante varón.? ¿Sea un estudiante varón, Si es de ciencias? ¿Sea un estudiante de ciencias, si es varón? ¿Sea un estudiante de ciencias y varón?.

* DESARROLLO A: “Estudiante elegido es de ciencias”.

Ciencias Letras Total P[B]

=

P[A/B] =

B: “El estudiante elegido es varón”.

Varones 42% 12% 54%

Mujeres 28% 18% 46%

Total 70% 30% 100%

=

0.42

0.54 P[A∩B]

=

P[A]

P[A/B] =

P[A∩B]

= P[B]

P[A B]

=

3 0.70

0.42

=

5

7 0.54

9

0.42

∩ 206.Un hombre tiene dos carros viejos, a y b; ellos tienen problemas para arrancar en las mañanas frías. La probabilidad que ambos arrancan es de 0.1; la probabilidad que arranca b y a no es de 0.2; la probabilidad de que ninguno



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I arranca es de 0.4. Hallar la probabilidad que: ¿El carro a arranque? ¿Arranque a, dado que arranco b? ¿Arranca b, dadoque a no arranco?.

* DESARROLLO A: “El carro a arranca”. B: “El carro b arranca” P[A∩B]

=

0.1

P[A∩B]

=

0.2

P[A∩B]

=

0.4

A

=

(A∩B) ∩ (A∩B)

P[A]

=

P[(A∩B) ∪ (A∩B)]

P[(A∩B) ∪ (A∩B) ]

0.2+0.4

=

0.6

Ya que los eventos A∩B y A∩B son mutuamente excluyentes Luego:

P[A] 1-0.6=

A

=

1-P[A] 0.4

B

A∩B

A




Debemos calcular antes P[B]. Observe que B = (A ∩B) ∪ (A∩B), P[B] = (A ∩B) ∪ (A∩B) = (A∩B) + (A ∩B) = 0.1 + 0.2 = 0.3 ya que los eventos A ∩B y A∩B son mutuamente excluyentes. Entonces:

P[A/B] =

P[A∩B]

=

0.1

=

P[B]

P[B/A] =

P[A∩B]

=

1 0.3

0.2

P[A]

=

3

1 0.6

=

3

207. De una urna que contiene 12 bolas, de las cuales ocho son blancas, se extrae una muestra de tamaño cuatro, con reemplazo (sin reemplazo). Encuentre la probabilidad de que la bola observada en la tercera extracción haya sido blanca, dado que la muestra contiene exactamente tres bolasblancas.

* DESARROLLO A: “La muestra contiene exactamente tres bolas” B: “La bola extraída en la tercera extracción haya sido blanca”



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[A∩B]

P[A/B] =

P[A]

En el caso de muestreo de reemplazo… n

=

N(Ω) =

NA

=

4

P[A]

=

4

(12)4

C3 x 83 x 4, entonces:

C3 x 83 x 4,

1

4

(12) fijo

Los eventos de A∩B son de la forma bbbb’ Entonces varían las dos blancas y la diferencia de color que ocurre de 3C2 formas. Luego: A∩B =

n

P[A∩B]

=

C2 x 83 x 4, entonces:

3

C2 x 83 x 4

3

(12) 4

por lo tanto, C2 x 83 x 4

3

(12) 4

P[A/B] =

=

C2

3

3 4C3 x 8 x 4

(12)

= 4C3

3 4

4

En el caso del muestreo sin reemplazo…

n=

N(

Ω)

=

P y

12 4


nA

=

C3 x 8P3 x 4, entonces:

4


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[A]

=

C3 x 8P3 x 4

4

P

12 4

fijo

Los elementos de A ∩B tienen la forma bbbb’, es decir 3C2 formas de variar. Es decir nA ∩B= C3 x 8P3 x 4

4

Luego:

P[A∩B]

=

C2 x 8P3 x 4

3

P

12 4

por lo tanto:

C2 x 8P3 x 4

3

P[A/B]=

P

=

12 4

4C3 x 8P3 x 4

C2

3

=

3

4C3

4

P

12 4

208.La probabilidad que un edificio termine a tiempo es de 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, y la probabilidad que la construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga es de 14/15; la probabilidad que haya huelga y no se termine la construcción a tiempo es de 1/10 ¿Cuál es la probabilidad que?: La construcción se termine a tiempo y no haya huelga; No haya huelga dado que la construcción se termino a tiempo; La construcción no se termina a tiempo si hubo huelga; La construcción no se termina a tiempo si no hubo huelga.

* DESARROLLO A: “La construcción se termina a tiempo” B: “No hay huelga”



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Del enunciado del problema tenemos:

P[A]

=

17

P[B]

=

3

20 P[A/B] =

4

P[A∩B]

14

=

1

15

10

a) P[A∩B]

Sabemosq ue: P[A/B]=

P[A ∩B] donde ,

14

=

P[A]

∩B]

P[A 15

4 / 3

Luego: P[A∩B]

=

14 x3 =

7

4 15

P[A∩B]

P[A/B] =

10

=

7/10

=

P[A] P[A∩B]

P[A/B] =

17/20

= 1/10 =

P[B]

14

¾ -1

4

17

=

10

2 5

P[A/B] = P[A∩B] = P[B] - P[A∩B] = 1 - P[A∩B] P[B]

1-P[A/B]

=

P[B]

1-14 = 15


P[B]

1 15


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 209. Se retira una carta roja de una baraja de 52 cartas; Se extraen 13 cartas. Calcular la probabilidad de que todas sean de un mismo color, ellas sean negras.

* DESARROLLO Como se retira una carta roja, entonces queda 51 cartas, (25 rojas y 26 negras) por lo tanto, el espacio muestral tiene 51C13 elementos: R: “Obtener las cartas rojas” N: “Obtener las cartas negras” E: “Las trece cartas son del mismo color”

E

R∪N, se pide:

=

P[N/E] = P[E∩N] = P[N∩(R∪N)] = P[N] P[E] P[E] P[E]

además : P[N] =

C13 ,entonces:

26

C13

51

P[E]

=

P[R]+P[N]

=

C13 + 26C13

25

C13

51

luego: C13

26

P[N/E] =

C13

51

C13 + 26C13

25

C13

51

=

26C13 25C13+26C13


=

26 13+26

=

2 3


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 210. Una urna contiene 6 bolas negras y 5 blancas; se extraen al azar sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resulten blancas? (sin reposición)

* DESARROLLO A1: “La primera resulto blanca” A2: “la segunda resulto blanca” E: “Las dos bolas resultan blancas”

P[E]

=

P[A1∩A2]

Es decir, E es la intersección de los dos eventos y la ocurrencia de A1 influye en la de A2.

P[E]

=

P[A1] P[A2/A1]

P[A]

=

5/11

después de que a ocurrido el evento A 1, quedan dos bolas de las cuales 4 son blancas, luego:

P[A2/A1]

=

4/10

P[E]

=

P[A1] P[A2/A1]

=

5/11x4/10

por lo tanto:

=

2/11

211. En un sistema de alarma, la probabilidad que se produzca un peligro es de 0.10. Si éste se produce, la probabilidad que la alarma funcione es de 0.95. La



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I probabilidad que funcione la alarma sin haber habido peligro es de 0.30. Determinar la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione.

* DESARROLLO P: “Hay peligro” F: “La alarma funciona”, entonces: PF: “Haya peligro y la alarma no funcione”.

P[PF] =

P[P]

=

P[P] P[F/P]

0.10. si ocurre el evento P, P [F/P]

P[F/P] =

por lo tanto, P[PF]

=

(0.10) (0.05) =

=

10.95 -

0.95 pero

=

0.05

0.005

213. Dos establos A y B tienen 1000 cabezas de vacuno cada uno. Existe una epidemia que afecta a los cascos y la boca del ganado. La proporción del ganados afectados con 1/5 y 1/4 respectivamente (por establo). Se escoge un ganado al azar. ¿Cuál es la probabilidad que el ganado escogido viene del rancho A y tiene afección a los cascos y la boca?

* DESARROLLO A: “El ganado escogido es el rancho A” B: “El ganado escogido es del rancho B” E: “El ganado tiene afección al casco y la boca”



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Debemos calcular P[A∩E]

=

P[A] P[E/A]

=

1000 1 2000 5

=

1 10

215. Un lote de 100 fusibles contiene 2 fusibles defectuosos. Si se prueban los fusibles uno por uno, ¿cuál es la probabilidad que el último fusible defectuoso sea detectado en la tercera prueba?

* DESARROLLO Dij: “el i-esimo defectuoso se obtuvo en la j-esima extracción, i = 1,2; j = 1,2,3” Bij: “El i-esimo bueno se obtuvo en la j-esima extracción i = 1,2; j = 1,2,3” E: “ El ultimo fusible defectuoso es detectado en la tercera prueba”

E

=

D11 B12 D23 ∪ B11 D12 D23

P[E]

=

P[D11 B12 D23] + P[B11 D12 D23]

=

P[D11] P[B 12/D11] P[D 23/D11B12] + P[B P[D23/B11D12]

1=

2 98 1 + 98 2 100 99 98

=

1

100 99

1/2475


98

] P[D 12/B11]

11


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 216. Un lote de 100 lámparas contiene piezas 10 defectuosas. Si se selecciona 3 lámparas aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad que solo una sea defectuosa?

* DESARROLLO D: “Se selecciona una lámpara defectuosa” N: “Se selecciona una lámpara no defectuosa” A: “Solo una sea defectuosa de las tres extraídas”

A

=

NND ∪ NDN ∪ DNN

P[A]

=

P[NND] + P[NDN] + P[DNN]

=

90 89 10 + 90 10 89 + 10 90 89 100 99 98

=

100 99 98

100 99 98

267 1078

218. En un cajón hay 80 tubos buenos y 20 malos; en un segundo cajón, el 30% son malos y en un tercero el 25% son malos. Se sabe que el número de tubos del tercer cajón son el triple de los que hay en el segundo y en total hay 260 tubos. Se mezclan los tubos de las tres cajas. Al extraer, al azar, un tubo; calcular la probabilidad que sea malo, si se sabe que pertenece al segundo cajón. b) Al extraer, al azar, 2 tubos; calcule la probabilidad que el primero y el segundo sea malo.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO X: el número de tubos del segundo cajón

100 + X + 3X = 260

X = 40

donde X = 40 y 3X = 120 primera:

80 buenos

20 malos.

segunda:

28 buenos

12 malos.

tercera:

90 buenos

30 malos.

a) D: “Obtener un tubo defectuoso” C: “El tubo pertenece al segundo cajón”

luego: P[D/C] =

P[AC] =

12/260

P[C]

= 40/260

12 =

40

b) “Obtener el primer y segundo tubo defectuosos”, Entonces.

D

=

D1D2

P[D] = P[D1] P[D 2/D1] = 62

61 = 260 259

3782 67340

219. Una caja contiene 7 tarjetas marcadas “sin premios” y 5 “con premio”. En un concurso, dos personas A y B, extraen tarjetas de la caja en forma alternada hasta que una de ellas saca una marcada con el “premio mayor”. Si A selecciona la



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I tarjeta en primer lugar, ¿Cuál es la probabilidad que extraiga una con “premio mayor”?

* DESARROLLO Ai: “El jugador A obtiene la tarjeta con el premio mayor en su i-esima jugada” Bj: “El jugador B obtiene la tarjeta con el premio mayor en su j-esima jugada” Ap: “El jugador A extrae una tarjeta con premio mayor”.

Ap

A1 ∪ A1B1A2 ∪ A1B1A2B2A3 ∪ A1B1A2B2A1B3A4

=

luego:

P[Ap] = P[A1] + P[A1B1A2] + P[A1B1A2B2A3] + P[A1B1A2B2A1B3A4] =

5 + 7

6

5 + 7

6

5

4 5 + 7

6

5

4 3 2

5 12

=

12 11 10

12 11 10 9 8

12 11 10 9 8 7 6

62 99

220. Una urna contiene 10 bolas, 5 marcadas con la letra B, Dos jugadores A y B juegan de la siguiente forma: comienza el jugador A extrayendo una bola y a continuación, y así alternadamente. las extracciones se hacen sin reposición. gana el primer jugador que extraiga una bola con su letra (A una bola A y B una bola B). ¿Cuál es la probabilidad que el jugador A gane? ¿Cuál de b?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO

GA: “gana el jugador A” GB: “gana el jugador B” AK: “En la k-esima extracción se obtiene una bola marcado con A” BK: “En la k-ésima extracción se obtiene una bola marcada con B”

P[GA] = 5 + 5 5 4 + 5 5 4 4 3 + 5 5 10 10 9 8

10 9 8 7 6

=

4 4 3 3 2 + 5

10 9 8 7 6 5 4

5 4 4 3 3 2 2 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2

175 252

P[GB] = 5 4 + 5 5 4 3 + 5 5 4 4 3 2 + 5 10 9

10 9 8 7

=

10 9 8 7 6 5

5 4 4 3 3 2 1

10 9 8 7 6 5 4 3

76 252

221. Se tienen tres monedas juntas. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sean dos caras ó dos sellos?

* DESARROLLO Número total de eventos = 8

casos de dos sellos = 3

Casos de dos caras = 3


SSS SSC SCS CSS

CCC CCS CSC SCC



3 + 3 = 6 8

8

=

8 3 4

222. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que salga sea una mujer, de una casa donde hay 6 mujeres y cuatro hombre? ¿Y cuál de que sea hombre?

* DESARROLLO Total de eventos

=

10

A: “Primera sea mujer” B: “Primero sea hombre”

P[A]

=

6

=

3

10

P[B]

=

4

=

5

2

10

5

223. En el aula de un colegio hay 12 niños y 4 niñas, si se escogen 3 estudiantes al azar ¿cuál es la probabilidad de que sean niñas?

* DESARROLLO Número total de eventos = 16 Ai: “Salga una niña” donde i = 1,2,3




=

=

P[A1] P[A2/A1] P[A3/(A1∩A2)]

432 16 15 14

=

1 140

224. En una caja que contiene 5 bolas cremas, 4 rojas y 3 verdes, se extrae al azar una de ellas. Hallar la probabilidad que la bola extraída no sea roja

* DESARROLLO Total de eventos = 12 V: “Salga verde” C: “Salga crema” R: “no salga roja” P[R]

=

P[V] ∪ P[C]

=

P[V]+P[C]

=

3+5 12

=

12

2 3

225. Se lanzan dos dados a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un porcentaje de por lo menos 6?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 234567 345678 456789 5 6 7 6 7 8 7 8 9

Número total de eventos = 36 8 9 10 Número de casos favorables = 26 9 10 11 101 11 2 A: “Que salga un número mayor que seis” P[A]

=

26 36

=

13 18

227. Una caja contiene 100 focos entre los cuales hay 10 defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una muestra de tres focos los tres sean defectuosos?

* DESARROLLO Total de casos = 100 Número de focos defectuosos = 10 Fi: “Salga un foco defectuoso” i = 1,2,3

P[F]

=

=

P[F1] P[F2/F1] P[F3/(F1 ∪F2)]

10 9 8 100 99 98

=

2 2695

228. Cuál es la probabilidad de obtener la suma de 6 ó 10 en el lanzamiento de dos dados




234567 345678 456789 5 6 7 6 7 8 7 8 9

Total de eventos = 36 Casos suma 6 = 5 Casos suma 10 = 3

8 9 10 9 10 11 101 11 2

A: “que salga un 6” B: “que salga un 10”

P[AB] =

=

5+3 36

=

P[A] ∪ P[B]

36

2 9

229. Si se lanzan dos dados y el resultado es seis ¿Cuál es la probabilidad que el resultado se halla obtenido mediante un dos en cadadado.

* DESARROLLO

1

5

2 3 4 5

4 3 2 1

Casos en total = 5 Casos favorables = 2 A: “ El resultado salió por un dos”

P[A]

=

2 5



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Se lanzan un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que no aparesca un número impar de puntos en cada dado?

1 2

3

4

5

6

2

1 2

3

4

5

6

3

1 2

3

4

5

6

4

1 2

3

4

5

6

1

1 2 3 4 5 6 5 Total de casos = 36 1 2 3 4 5 6 6 Número de casos favorables: 9

A: “Que salgan todos pares”

P[A]

=

9 36

=

1 4

231. En una urna se tienen fichas numeradas del 1 al 15; se extraen dos fichas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que una ficha tenga número par y la otra ficha número impar?

* DESARROLLO Total de casos = 15 casos de números pares = 7 casos de números impares = 8 A: “que el número salga par” B: “que ql número salga impar”



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[AB] =

P[A] P[B/A]

P[AB] =

8 7 +7

∪ P[B] P[A/B] 8

15 14 =

15

14

8 15

232. Se lanza 5 veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco caras que aparezcas sean diferentes entre si?

* DESARROLLO

Ci: “una cara del dado” i = 1,2,3,4,5 P[C] = P[C1] P[C2/C1] P[C3/(C1 ∩C2)] P[C4/(C1∩C2∩C3)] P[C5/(C1∩C2∩C3∩C4)]

P[C] =

6 5 4 3 2 6 6 6 6 6

=

6! 65

=

5 324

233. Una bolsa contiene 8 bolas azules, 5 blancas y 9 rojas. Si se extraen tres bolas al azar. Hallar la probabilidad de sacar dos azules y una roja.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I total de eventos = 22 caso de azules = 8 caso de blancas = 5 caso de rojas = 9 Ai: “salga una bola azul” i = 1,2 B: “salga una bola roja” P[AB] = P[A1] P[A2/A1] P[B/(A1 ∪ A2)] P[AB] =

8

7 9 22 21 20

P[AB]=

3 55

235. Se lanza un dado y se sabe que el resultado es un número par. ¿cuál es la probabilidad que ese número sea divisible por tres? total de eventos = 2,4,6 = 3 caso divisible pro 3 = 1 T: “divisible por tres”

P[T]

=

1 3

236. De un mazo de 52 cartas, se extraen 6 naipes sin mirar. ¿cuál es la probabilidad que los tres sean del mismo palo?

* DESARROLLO total de eventos = 52



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I caso corazones = 13 caso cocos = 13 caso tréboles = 13 caso espadas = 13 Ci “que sean palo de corazones” Ki “que sean palo de cacos” Ti “que sean palo de tréboles”

donde i = 1,2,3

Ei “que sean palo de espadas”

P[CKTE]

= P[C1] P[C 2/C1] P[C3/(C1 ∩ C2) ∪ P[K1] P[K2/K1] P[K3/(K1 ∩ K2) ∪ C1] P[T 2/T1] P[T 3/(T 1 ∩ T2) ∪ C1] P[E 2/E1] P[E 3/(E 1 ∩ E2)

P[CKTE] = P[C 1] P[C 2/C1] P[C3/(C1 ∩ C2) + P[K1] P[K2/K1] P[K3/(K1 ∩ K2) + P[T1] P[T 2/T1] P[T 3/(T 1 ∩ T2) + P[E1] P[E 2/E1] P[E 3/(E 1 ∩ E2)

P[CKTE] = 13 12 11 + 52 51 50 13 12 11 + 52 51 50 13 12 11 + 52 51 50 13 12 11 52 51 50

P[CKTE]

=

22




238. En un concurso de participan 7 mujeres y 8 hombre. Si deben haber dos ganadores ¿cuál es la probabilidad de quelos ganadores sea una pareja mixta?

* DESARROLLO total de eventos = 15 casos de mujeres = 7 casos de hombres = 8 H: “ganador hombre” M: “ganadora mujer”

P[HM]=

P[H] P[M/H]

∪ P[M] P[H/M]

=

P[H] P[M/H] + P[M] P[H/M]

=

8 7 +7 8 15 14

=

15 14

8 15

239. Se lanzan dos dados al mismo tiempo. ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma de valores que sea 11 ó 7?

* DESARROLLO

234567 345678 456789 5 6 7 8 9 10 6Ingº 7 José 8 9 Man 10 uel 11 7 8 9 101 11 2

García Pantigozo 2009 - I


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I total de eventos = 36 casos de 7 = 6 casos de 11 = 2 S: “que salga 7” O: “que salga 11”

P[SO] =

P[S] ∪ P[O]

P[SO] =

6 + 2

P[SO]=

2

36

36

9

240. De ocho pañuelos rojos, 5 pañuelos blancos, y cuatro pañuelos negros ¿cuál es la probabilidad de que el grupo esté compuesto por 6 pañuelos rojos, 3 tres pañuelos blancos y 2 pañuelos negros?

* DESARROLLO total de eventos = 17 P: “grupo deseado de 11 pañuelos”

P[P]

=

C6 3C5

8

C2

4

17C11

P[P]

=

28 10 6 12376

P[P]

=

30 221



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 241. Se lanzan al aire 4 monedas. ¿cuál es la probabilidad de obtener cuatro caras ó por lo menos dos sellos?

* DESARROLLO CCCC CCCS CCSC CCSS

CSCC CSCS CSSC CSSS

SCCC SCCS SCSC SCSS

SSCC SSCS SSSC SSSS

C: “cara” S: “sello” total de eventos = 16 caso de caras = 1 caso de sellos = 11 S: “que salga sello” C: “que salga cara”

P[CS] =

P[C] ∪ P[S]

P[CS] =

1

+ 16

=

11 16

3 4

242. ¿Cuál es la probabilidad que una familia de 4 hijos, hayan tres niños y una niña a la vez?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I NNNN NNNM NNMN NNMM

NMNN NMNM NMMN NMMM

MNNN MNNM MNMN MNMM

MMNN MMNM MMMN MMMM

M: “que sea niño” N: “que sea niña”

P[MN] =

4 16

P[MN] =

1 4

243. Si se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de valores que sea 9?

* DESARROLLO total de eventos = 36 casos a favor = 4 A: “que salga un nueve”

P[A]

=

234567 345678 456789 5 6 7 6 7 8 7 8 9

8 9 10 9 10 11 101 11 2

4 36

P[A]

=

1 9

244. Una urna contiene 12 bolas rojas, 6 bolas blancas y 8 bolas negras, sin mirar ¿Cuál es la probabilidad de que la bola searoja?




total de eventos = 26 casos de bolas rojas = 12 R: “que salga una bola roja”

P[R]

=

12 26

=

6 13

245. En una caja se tienen 5 bolas azules, 3 bolas blancas y dos bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una bola al azar estasea blanca o negra?

* DESARROLLO total de eventos = 10 caso de blancas = 3 caso de negras = 2 B: “que salga una bola blanca” N: “que salga una bola negra”

P[BN] =

P[B]

+

P[N]

P[BN] =

3

+

2

10

P[BN] =

1


10



247. En una ánfora se depositan 4 fichas rojas y 2 fichas azules, en otra ánfora se colocan 5 fichas azules y 3 fichas rojas. Se extraen una ficha de cada ánfora. ¿Cuál es la probabilidad de que una sea rojay otra sea azul?

* DESARROLLO total de eventos en ánfora 1 = 6 total de eventos en ánfora 2 = 8 A: “que salga una ficha azul” R: “que salga una ficha roja”

P[AR] =

P[A] P[R/A] + P[R] P[A/R]

P[AR] =

2 4+ 3 5 6

P[AR]=

5

8

7

13 24

248. Se colocan al azar una fila de 6 bolas rojas y 4 blancas. Hallar la probabilidad de que las 2 bolas centrales sean del mismo color.

* DESARROLLO total de eventos = 10 casos bolas rojas = 6 casos bolas blancas = 4 Ri: “que salga roja” i =1,2 Bi: “que salga blanca”




∪ P[B1] P[B2/B1]

P[RB] =

P[R1] P[R2/R1]

P[RB] =

P[R1] P[R2/R1] + P[B1] P[B2/B1]

P[RB] =

6

5 + 4 10

P[RB]=

3 9

10

9

7 15

249. Si se tiene un solo dado, se lanza dos veces consecutivas. Calcule la probabilidad de que al sumar los resultadosobtenidos, estos sumen cinco.

* DESARROLLO total de eventos = 36 casos de cinco = 4 C: “que sumen cinco”

P[C] =

4 36

P[C]

=

234567 345678 456789 5 6 7 6 7 8 7 8 9

8 9 10 9 10 11 101 11 2

1 9

251. Al lanzar un dado dos veces consecutivas. Cuál será la probabilidad de obtener un solo tres.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 1 2

3

4

5

6

2

1 2

3

4

5

6

3

1 2

3

4

5

6

4

1 2

3

4

5

6

5

1 2

3

4

5

6

6

1 2

3

4

5

6

1

total de casos = 36 casos a favor = 11 T: “que salga un tres”

P[T]

=

11 36

=

5 8

252. En una caja se disponen 9 bolas numeradas del uno al nueve si se extraen dos bolas al azar: ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números primos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números impares?

* DESARROLLO total de eventos = 9 casos primos = 4 casos impares = 5



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Pi: “que salga un número primo” i = 1,2 Ii: “que salga un número impar” i = 1,2

a)

P[P]

=

P[P1]P[P2/P1]

P[P]

=

43 9 8

P[P]

=

1 12

b)

P[I]

P[I]

=

=

P[I1]P[I2/I1]

5 4 9

=

8 5

18

253. En un lote de 10 artículos hay tres defectuosos. Si se toma al azar tres artículos uno tras otro. ¿cuál es la probabilidad de que los tres artículos sean buenos?

* DESARROLLO total de eventos = 10 casos a favor = 7 Si: “que salga un articulo no defectuoso” i = 1,2,3

P[S]

=

P[S1] P[S2/S1] P[S3/(S1


∩S2)]


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[S]

=

7 6 5 10 9

P[S]

=

8

7 24

255. Si se lanzan tres monedas al aire ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado en las tres sean iguales?

* DESARROLLO SSS SSC SCS CSS

CCC CCS CSC SCC

total de eventos = 8 casos a favor = 2 I: “que salgan igual”

P[I]

=

2 8

P[I]

=

1 4

356. Si se lanzan dos monedas al aire calcular la probabilidad de : a) Salga exactamente una cara b) Salga por lo menos una cara

* DESARROLLO total de casos = 4



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I casos una cara = 2 casos al menos una cara = 3

C: “ que salga una cara” K: “ salga por lo menos una cara”

P[C]

=

CC CS

SS SC

2 4

1 2

P[K]= 3 4

357. Un grupo de est udios esta conformado por 11 niños

y 7 niñas. Si se

escogen cuatro estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean niños?

* DESARROLLO total de eventos = 18 número de niños = 11 Ni: “que salga un niño” y = 1,2,3,4

P[N]

=

11 10 9 8 18 17 16 15

P[N]

=

11 102



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 259. Si se quiere seleccionar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 7 peruanos, 4 chilenos y 3 argentinos. ¿Que probabilidad habría de que el comité este compuesto por dos peruanos, 2 chilenos y 1 argentino.

* DESARROLLO P[C]

=

C2 4C2 3C1

7

C5

14

P[C]

=

7!

4!

2! 5! 2! 2!

3! 1! 2!

14! 9! 5! P[C]

=

27 143

260. Si se lanzan al aire cuatro monedas. Cuál es la probabilidad de obtener cuatro caras o 2 sellos CCCC CCCS CCSC CCSS

CSCC CSCS CSSC CSSS

SCCC SCCS SCSC SCSS

* DESARROLLO total de eventos = 16 casos de cuatro caras = 1 casos de 2 sellos = 6


SSCC SSCS SSSC SSSS


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I C: “que salga cara” S: “que salga sello”

P[CS] =

P[C] ∪ P[S]

P[CS] =

1 +

6 16

P[CS] =

16

7 16

261. Si una baraja de 52 cartas se sacan tr es naipes. Determinar la probabilidad “p” de que todos sean ases:

* DESARROLLO total de casos = 52 total de casos a favor = 4 pi: “que sean ases” i = 1,2,3

P[p]

=

P[p1] P[p2/p1] P[p3/p1

P[p]

=

4

3

52

P[P]

=

51

2 50

1 5525


∩ p2]


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 262. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia de 3 hijos, hayan 2 niños y una niña a la vez?

* DESARROLLO total de casos = 8 NNN NNM NMN NMM

MNN MNM MMN MMM

casos a favor = 3 N = niño M = niña

P[MN] =

3 8

263. La probabilidad que tienen un alumno de aprobar matemáticas es 2/3, la probabilidad que tiene este mismo alumno de aprobar física es de 4/9. Si la probabilidad de este alumno de aprobar por lo menos uno de los cursos es 4/5. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambos cursos?

* DESARROLLO 2/3 aprobar matemáticas 4/9 aprobar física

F 4/9

M 2/3

X

4/9 - X




P[M∪F]

=

4/5

P[M] + P[F] - P[X]

=

2/3+4/9-X =

4/5

2/3 +4/9 - 4/5=

X

X

=

4/5

14/45

265. Hallar la probabilidad de hacer una triada de más de 15 en un t iro con tres dados.

* DESARROLLO 3 4 5 6 7 8 9 10

4 5 6 7 8 9 10 11

5 6 7 8 9 10 11 12

6 7 8 9 10 11 12 13

7 8 9 10 11 12 13 14

8 9 10 11 12 13 14 15

total de eventos = 63 casos a favor = 10 C: “que salga mayor que 15”


9 10 11 12 13 14 15 16

10 11 12 13 14 15 16 17

11 12 13 14 15 16 17 18


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[C]

=

10 63

P[C]

=

5 108

266. En una caja oscura hay cuatro bolas blancas, cinco rojas y siete negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar una bola blanca y cuál de una roja?

* DESARROLLO total de eventos = 16 casos bolas blancas = 4 casos bolas rojas = 5 B: “que salga una bola blanca” R: “que salga una bola roja”

P[B]

=

4 16

P[B]

=

1 4

P[R]

=

5 16

267. De un juego de naipes. ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar un as?

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I total de eventos = 52 casos a favor = 4 A: “que salga un as”

P[A]

=

4 52

P[A]

=

1 13

268. Se lanzan dos dados simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de obtener como resultado dos ases?

* DESARROLLO 1 2

3

4

5

6

2

1 2

3

4

5

6

3

1 2

3

4

5

6

4

1 2

3

4

5

6

5

1 2

3

4

5

6

6

1 2

3

4

5

6

1

total de eventos = 36 casos a favor 1 A: “que salgan dos ases”

P[A]

=

1 36



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 269. En una caja hay cinco pares de guantes blancos, cinco pares marrones y cinco pares negros; ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar un guante izquierdo?

* DESARROLLO total de eventos = 30 casos izquierdo = 15 I: “que salga izquierdo” P[I]

=

15 30

P[I]

=

1 2

271. Si se lanzan tres monedas al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener como resultado dos sellos?


total de eventos = 8 casos a favor = A: “que salga sellos”

P[A]

=

3 8


CCC CCS CSC SCC


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 272. En un guardarropa oscuro hay cinco polos marrones, seis polos azules y ocho polos naranjas. ¿cuál es la probabilidad de que al extraer al azar se obtenga un polo marrón y a continuación un polo naranja, dado que el primero fue marrón?

* DESARROLLO total de eventos = 19 polos marrones = 5 polos naranjas = 8 M: “que salga marrón” N: “que salga naranja”

P[MN]=

P[M] P[N/M]

P[MN] =

5 8 19 18

P[MN] =

20 271

273. En un juego de naipes. ¿cuál es la probabilidad de que al sacar arbitrariamente una carta se obtenga una figura?

* DESARROLLO total de eventos = 52 cantidad de figuras =12 F: “que salga una figura”

P[F]

=

12 52




P[F]

=

3 13

274. Si se lanzan tres monedas al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un resultado de dos caras y un sello?

* DESARROLLO total de eventos = 8 casos a favor = 3 C: “que salgan dos caras” SSS SSC SCS CSS

CCC CCS CSC SCC

P[C]

=

3 8

275. Si se lanzan dos dados simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de obtener como resultado los dos iguales?

* DESARROLLO




3

4

5

6

2

1 2

3

4

5

6

3

1 2

3

4

5

6

4

1 2

3

4

5

6

5

1 2

3

4

5

6

6

1 2

3

4

5

6

1

total de eventos = 36 casos a favor = 6 I: “que los resultados sean iguales”

P[I]

=

6 36

P[I]

=

1 6

276. En un cajón hay 3 pañuelos blancos, 7 pañuelos negros y 5 pañuelos de varios colores. Cuál es la probabilidad de obtener un pañuelo de colores?

* DESARROLLO total de eventos = 15 casos a favor = 5 C: “que salga un pañuelo de colores”

P[C]

=

5




P[C]

=

1 15

277. La compañía ensambladura de automóviles CAR-PERU, se ha presentado a una licitación, para ensamblar un nuevo automóvil. La probabilidad que CARPERU gane la licitación es de 0.90 si una forma competidora MOTOR ANDINO no se presenta a ella en tanto que es de 0.20 si MOTOR ANDINO se presenta. El gerente general de CAR-PERU estima que hay una probabilidad de 0.80 que MOTOR ANDINO se presente. ¿Cuál es la probabilidad que CAR-PERU gane la licitación?

* DESARROLLO E: “la compañía MOTOR ANDINO se presenta a la licitación” G: “la compañía CAR-PERU gana la licitación”

P[G]

=

P[EG] + P[EG]

P[G]

=

P[E] P[G/E] + P [E] P[G/E]

=

(0.80) (0.20) + ( 0.20) (0.90)

=

0.34



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 278. Una compañía de desarrollo urbano esta considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de lima metropolitana, Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une el sectorcon el centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista , hay una probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto la autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 0.20. Basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay un 0.60 que la autopista sea aprobada. Cuál es la probabilidad de que la compañía construya el centro comercial?

* DESARROLLO

A: “la autopista es aprobada” B: “El centro comercial es construido”

P[B]

=

P[AB] + P[AB]

P[B]

=

P[A] P[B/A] + P[A] P [B/A]

=

0.60 0.90 + 0.40 0.20

=

0.54 + 0.08

=

0.62

279. En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en b hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 200 de A y 100 de B. Si se extrae un producto al azar, hallar la probabilidad de que sea defectuoso.

* DESARROLLO A: “el producto es del proceso A” B: “el producto es del proceso B” D: “el producto es defectuoso”

P[D]

=

P[AD] + P[BD]

P[D]

=

P[A] P[D/A] + P[B] P[D/B]

P[D]

=

2 (0.20) + 1 (0.25) 3

P[D]

=

3

65 300

281. En un anfora hay dos pelotas rojas, 3 pelotas azules y 9 pelotas violetas. Si se extrae al azar cuál es la probabilidad de sacar una pelota de cada color dado que las dos primeras fueron de colores diferentes.

* DESARROLLO total de eventos = 14 R: “que salga una roja” A: “que salga una azul”



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I V: “que salga una violeta”

P[RAV]

=

P[R] P[A/R] P[V/(A

P[RAV]

=

2 3 9

∩R)]

14 13 12

P[RAV]

=

9 364

282. De un juego de cartas ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar un as y a continuación una figura dado que la primera fue as?

* DESARROLLO total de eventos = 52 casos de ases = 4 casos de figuras = 12 A: “que salga un as” F: “que salga una figura”

P[AF] =

P[A] P[F/A]

P[AF] =

4

12 52 51

P[AF]=

4 221



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 283. Se lanzan tres monedas al aire, cuál es la probabilidad de que al caer de como resultado por lo menos dos caras


total de eventos = 8 casos a favor = 4

CCC CCS CSC SCC

C: “que salgan por lo menos dos caras” P[C]

=

4 8

P[C]

=

1 2

284. Si se lanzan dos dados simultáneamente ¿cuál es la probabilidad de que en el resultado los dos sean diferentes?

•

DESARROLLO

1

1 2

3

4

5

6

2

1 2

3

4

5

6

3

1 2

3

4

5

6

4

1 2

3

4

5

6

5

1 2

3

4

5

6

6

1 2

3

4


5

6


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I total de eventos = 36 casos a favor = 30 D: “que salgan todos diferentes” P[D]

=

30 36

P[D]

=

5 6

285. En un cajon se han introducido 15 pañuelos de los cuales 2 son blancos, 8 azules y 5 de colores ¿Cuál es la probabilidad de que al azar dos pañuelos estos sean de colores si son con reposición de pañuelos?

* DESARROLLO total de eventos =15 casos a favor = 5 C: “que salga un pañuelo de color”

P[C]

=

5

5

15 15

P[C]

=

1 9

286.- En un juego de barajas ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar una carta de color negro?



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO total de casos = 52 casos a favor = 23 N: “que salga una roja”

P[N]

=

23 52

P[N]

=

1 2

287. Se lanzan dos dados simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener un resultado una suma de 7?

* DESARROLLO

total de casos = 36 casos a favor = 6 S: “que la suma sea 7”

P[S]

=

234567 345678 456789 5 6 7 6 7 8 7 8 9

8 9 10 9 10 11 101 11 2

6 36

P[S]

=

1 6

288. Si se lanzan dos dados simultáneaneamente ¿cuál es la probabilidad de que la suma no exeda a 6?




total de casos = 36 casos a favor = 15 M: “que la suma no pase de 6”

P[M] =

15

234567 345678 456789 5 6 7 6 7 8 7 8 9

8 9 10 9 10 11 101 11 2

36

P[M] =

5 12

290. En un laboratorio hay tres jaulas. En la jaula 1 hay dos conejos pardos y tres blancos, la jaula 3 contiene 4 conejos pardos y dos blancos y la jaula 3 tiene 5 conejos pardos y 5 blancos. se selecciona al azar una jaula. ¿Cuál es la probabilidad de que el conejo escogido sea blanco?

* DESARROLLO 1: “la jaula 1 es seleccionada” 2: “la jaula 2 es seleccionada” 3: “la jaula 3 es seleccionada” B: “el conejo elegido es blanco”

∪ P[2] P[B/2] ∪ P[3] P[B/3]

P[B]

=

P[1]P[B/1]

P[B]

=

P[1] P[B/1] + P[2] P[B/2] + P[3] P[B/3]

P[B]

=

1 3 +1

2 + 1 5




P[B]

=

3

6

3

10

43 90

291. Todos los miembros de un club son médicos o abogados, 40% de los miembros son médicos mediante el 30% de las mujeres son médicos. El 50% de los médicos y el 30% de los abogados ganan $ 60000 por año sin embargo solamente el 20% de las mujeres medico y el 10% de las mujeres abogados gana más de $60000 por año. Si se escoge aleatoriamente un miembro del club. Cuál será la probabilidad de que gane más de $60000 poraño?

* DESARROLLO M: “el miembro del club es medico” A: “el miembro del club es abogado” G: “el miembro del club gana más de $60000 por año”

P[G]

=

P[A] P[G/A] + P [M] P[G/M]

=

0.6 0.3 + 0.4 0.5

=

0.38

292. Se conoce que cierta maquina que produce tornillos trabaja correctamente el 90%. Si la maquina no esta trabajando correctamente, el 5% de los tornillos producidos son defectuosos. Cuando esta trabajando bien solo el 0.5% de los tornillos son defectuosos. Si se escoge un tornillo aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad que sea defectuoso?




D: “el tornillo es defectuoso” M: “la maquina esta funcionando correctamente”

∪ P[M] P[D/M]

P[D]

=

P[M]P[D/M]

P[D]

=

P[M] P[D/M] + P[M] P[D/M]

P[D]

=

(0.9) (0.005) + ( 0.1) (0.05)

P[D]

=

0.0095

293. Una urna contiene 3 bolas rojas y x blancas, se extrae una bola de la urna y se reemplaza por una del otro color. Se saca urna una de la segunda bola. Sabiendo de que la probabilidad de que la segunda bola sea roja es de 17/50, determinar el número de bolas blancas.

* DESARROLLO R: “la segunda bola es roja” r: “l bola extraída es roja” b: “la bola extraída es blanca”

P[R]

=

P[R]

=

P[r] P[r/r] + P[b] P[r/b]

3

2

x+3 x+3


+ x

4 x+3 x+3



=

50

4x + 6 (x 3) +

2

de donde sale que x es igual a 7 bolas blancas

295. Juan escoge al azar uno de los enteros 1,2,3 y luego lanza tantas veces como indica el número que escogió. Calcular la probabilidad que el puntaje total obtenido en los lanzamientos sea igual a 5

* DESARROLLO i: “obtener el entero y” i = 1,2,3 A: “obtener la suma cinco al lanzar el dado”

P[A] =

1 1 +1 4 + 1 3 6

P[A] =

=

3 36

3

63

1 + 1 + 1 18

P[A]

6

27

36

11 108

296. Se tiene una caja de 12 tarros de conserva de las cuales 8 son durazno. Se extrae la muestra con reemplazo de tamaño 4. Después se selecciona una conserva de la muestra. Determine la probabilidad que sea de durazno.

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Mi = “la muestra contiene y tarros conserva de durazno” i = 0,1,2,3,4 D: “la conserva es de durazno” numero total de eventos = 12 4

4

P[D]

=

Σ

= P[Mi] P[D/Mi] i=1

Calculando Mi y P[D/Mi]

M1 Si la muestra contiene un tarro de durazno

P[M1] =

P

4 1,3

8 43 124

P[D/M1]

=

1 4

P[M2] =

P

4 2,2

82 42 124

P[D/M2]

=

1 2

P[M3] =

P

4 3,1

83 4 124

P[D/M3]

=

3 4

P[M4] =

8

4

124



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[D/M4]

=

1

P[D]

=

4 1,3

=

83 + 6 83 + 12 83 + 84

3

P

84

2

2

1 + 4P2,2 8 4 124 4

3

4

1 + 4P3,1 8 4 3 + 8 1 124 2 124 4

124

P[D]

124

P[D]

=

124

124

124

2 3

297. En el bolsillo derecho de su casaca Ud. tiene tres monedas de 1 sol y cuatro de 5 soles, en el bolsillo izquierdo tiene 6 monedas de un sol y tres de 5 soles. Tome aleatoriamente 5 monedas del bolsillo derecho y pase al izquierdo. Luego extraiga al azar una moneda del bolsillo izquierdo. determine la probabilidad de que sean de 1 sol.

* DESARROLLO Bi = “se pasan i (i = 1,2,3)monedas de un sol del bolsillo derecho a el bolsillo izquierdo” M: “obtener una moneda de un sol al extraer una del bolsillo izquierdo”

Calculamos ahora P[Bi] y P[M/Bi]

B1: “Se pasa una moneda de 1 sol y 4 de 5 soles”

B1

=

C1 4C4=

3


C1

3


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[B1] =

C1

3

C5

7

B2: “Se pasan dos monedas de 1 sol y 3 de 5 soles” B2

=

3

C2 4C3

P[B2] =

3

C2 4C3 C5

7

B3: “Se pasan tres monedas de 1 sol y 2 de 5 soles”

B3

=

3

C3 4C2

P[B3] =

3

C3 4C2 C5

7

Si ocurre B1 el bolsillo izquierdo tendrá 7 monedas de 1 sol.

P[M/B1]

=

7 14

Si ocurre B2 en el bolsillo izquierdo hay, 8 monedas de 1 sol

P[M/B2]

=

8 14

Si ocurre B3, en el bolsillo izquierdo hay, nueve monedas de 1 sol.

P[M/B3]

=

9 14



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I por tanto

3

C1 7 + 3C2 4C3 8 + 3C3 4C2 9 14 7C5 14 7C5 7C5

P[M] =

P[M] =

14

0.58

298. Una urna contiene 10 bolas rojas y 8 blancas. se lanza un dado y se extrae tantas bolsas como indica el número obtenido en el dado. Calcular la probabilidad que todas las bolas sean blancas.

* DESARROLLO Bi: “obtener un número i en el dado (i = 1,2,3,4,5,6)” A: “todas las bolas extraídas son blancas”

6

P[A]

=

6

Σ P[Bi] P[A/Bi]

6

Σ 1/6 P[A/Bi]

=

i=1

i=1

=

C1

8

C1

18

=

1/6 Σ P[A/Bi] i=1

Calculo de P[A/Bi]

P[A/B1]

=

8 18


C0

10


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[A/B2]

=

C2 10C0

8

C2

18

=

P[A/B3]

=

8 7 18 17

C3 10C0

8

C3

18

=

876 18 17 16

P[A/B4]

=

C4 10C0

8

C4

18

=

8 765 18 17 16 15

P[A/B5]

=

C5

8

C5

18

=

8 7654 18 17 16 15 14

P[A.B6]

=

C6

8

C6

18

=

8 7 65 4 3 18 17 16 15 14 13

P[A]

=

1 8 (1 + 7 + 7 6 + 7 6 5 + 7 6 5 4 + 7 6 5 4 3) 6 18

17 17 16 17 16 15 17 16 15 14 17 16 15 14 13




=

77 663

299. Una compañía, por experiencias anteriores sabe que de un determinado número de lotes adquiridos, el 60% no tiene defectos, el 25% tiene solo un defectuosos, el 10% tiene solo dos defectuosos y el 5% tiene tres defectuosos. Dicha compañía realiza un plan de muestreo de aceptación de lotes, que consiste en extraer una muestra de tres artículos (uno después de otro) de cada lote que desea inspeccionar, se acepta el lote si a lo más se encuentra uno defectuoso en la muestra. Cada lote contiene 50 artículos. Cada lote contiene 50 artículos ¿cuál es la probabilidad de aceptar el lote?

* DESARROLLO D: “articulo defectuoso” B: “articulo no defectuoso” B0: “lote que no tiene articulo defectuoso” B1: “lote que tiene 1 articulo defectuoso” B2: “lote que tiene 2 artículos defectuosos” B3: “lote que tiene 3 artículos defectuosos” A: “acaptar el lote”

P[A]

= =

1-P[A] 1-P[B2DDB

∪ B2DBD ∪B2BDD ∪ B3DDD ∪

B3DDB ∪ B3DBD B3BDD]

=

1 - [ (0.1) (3)

]


2

+ (0.05) [

1

+

3 47



50498

50 49

8

=

1-

1 [ 6 + 142 5 ] 50 49 10 8 100

=

1- 1 7 28000

=

27983 28000

300. Se lanza un dado dos veces. El número que muestra la primera vez es el número de bolas blancas que se colocan en una urna, y el numero obtenido la segunda vez indica el numero de bolas negras que se colocarán en la misma urna, se extraerá al azar una bola. Determinar la probabilidad que esta sea blanca.

* DESARROLLO Aij: “en la urna hay i bolas blancas j negras” i, j =1,2,3,4,5,6

B: “la bola obtenida es blanca”

P[Aij] =

1 36

6

6



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[B]

=

Σ Σ P[Aij] P[B/Aij]; i=1 J=1

P[B/Aij]

=

P[B]

1

i i+j

6

=

Σ[

i

i

36 i=1 i + j

P[B]

=

1 18 36

P[B]

=

1 2


i

i

i

i

i

]

i+j i+j i+j i+j i+j i+j



A nuestros padres, quienes nos apoyan Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I



para ser grandes profesionales.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 301. En una caja hay 19\0 pares de guantes, verdes, 5 pares de guantes amarillo, y 15 de guantes blancos ¿cuál es la probabilidad si al extraer al azar se saque un par de verdes usables dado que el primero fue verde izquierdo:

* DESARROLLO total de eventos = 60 casos de verdes izquierdos = 10 casos de verdes derechos = 10

I: “que salga verde izquierdo” D: “que salga verde derecho” P[ID] =

P[I] P[D/I]

P[ID] =

10 10 60 59

P[ID] =

5 187

302. Todos los miembros de un club son médicos o abogados, 40% de los miembros son médicos mediante el 30% de las mujeres son médicos. El 50% de los médicos y el 30% de los abogados ganan $ 60000 por año sin embargo solamente el 20% de las mujeres medico y el 10% de las mujeres abogados gana más de $60000 por año. Si se escoge aleatoriamente un miembro del club. Si se escoge aleatoriamente una mujer ¿Cuál será la probabilidad de que ella gane más de $60000 por año?

* DESARROLLO



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I M: “el miembro del club es medico” F: “el miembro del club es femenino” G: “el miembro del club gana más de $60000 por año”

P[G/F] =

P[M/F] P[G/FM] + P[A/F] P[G/FA]

=

0.3 0.2 + 0.174 0.1

=

0.13

303. Una compañía de desarrollo urbano esta considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de lima metropolitana, Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une el sectorcon el centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista , hay una probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto la autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 0.20. Basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay un 0.60 que la autopista sea aprobada. Dado que el centro comercial se construyo ¿Cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada?

* DESARROLLO A: “la autopista es aprobada” B: “El centro comercial es construido” P[B] = 0.62

P[A/B]=

P[A] + P[B/A] P[B]




=

0.60 0.90 0.62

P[B]

=

0.87

305. En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en b hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 de A y 100 de B. Si al extraer un producto resulto defectuoso, hallar la probabilidad de que sea del proceso A.

* DESARROLLO A: “el producto es del proceso A” D: “el producto es defectuoso” P[D] = 65/300

P[A/D]=

P[A/D]P [D/A] P[D]

P[A/D]=

2 (0.20) 3 65 300

P[AD] =

0.615

306. Una urna contiene 6 bolas negras y 5 blancas; se extraen al azar sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resulten blancas? (con reposición)



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO A1: “La primera resulto blanca” A2: “la segunda resulto blanca” E: “Las dos bolas resultan blancas”

P[A1] =

5 11

Puesto después de que ocurriera A1 se devuelve la bola a la urna, también

P[A2/A1]

=

5 11

por lo tanto

P[A1 A2]

=

55 11

=

11

25 121

307. En un juego de cartas ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta menor que 5?

* DESARROLLO total de casos = 52 casos a favor = 20



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I M: “que la carta sea menor que cinco”

P[M] =

20 52

P[M] =

5 13

308. Dos establos A y B tienen 1000 cabezas de vacuno cada uno. Existe una epidemia que afecta a los cascos y la boca del ganado. La proporción del ganados afectados con 1/5 y 1/4 respectivamente (por establo). Se escoge un ganado al azar. Si el 70% de los ganados afectados tienen edad menor que un año, ¿Cuál es la probabilidad que el ganado escogido venga del rancho B, tiene afección y es mayor de un año de edad.

* DESARROLLO A: “El ganado escogido es el rancho A” B: “El ganado escogido es del rancho B” E: “El ganado tiene afección al casco y la boca”

Definimos el evento F: la vaca escogida tenga edad mayor de un año, Entonces. P[B∩E∩F]

=

=

P[B] PE/B]P[F/(B

1000 1 75 2000 4 250


∩E)]


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I =

3 80

309. En un cajón hay 80 tubos buenos y 20 malos; en un segundo cajón, 12 son los malos y en un tercero 10 son malos. Se mezclan los tubos de las tres cajas. si se sabe que en total hay 260 tubos y que los malos del segundo son el 30% como el 25% son del tercero. Al extraer, al azar, 2 tubos; calcule la probabilidad que el primero y el segundo sea malo.

* DESARROLLO primera:

80 buenos

20 malos.

segunda:

28 buenos

12 malos.

tercera:

90 buenos

30 malos.

D: “Obtener un tubo defectuoso”

“Obtener el primer y segundo tubo defectuosos”, Entonces.

D

=

D1D2

P[D] = P[D1] P[D 2/D1] = 62

61 = 260 259

3782 67340

311. Una urna contiene 10 bolas, 5 marcadas con la letra B, Dos jugadores A y B juegan de la siguiente forma: comienza el jugador A extrayendo una bola y a continuación, y así alternadamente. las extracciones se hacen sin reposición. gana



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I el primer jugador que extraiga una bola con su letra (A una bola A y B una bola B). Cuál es la probabilidad de que no gane ninguno de los dos

* DESARROLLO GN: “no gana ninguno de los dos jugadores” No gana ninguno de los dos jugadores cuando A saca todas las marcadas con B y B todas las marcadas con A, o sea

P[GN] =

55 44332211 10 9 8 7 6 5 4 3 2

P[GN] =

1 252

312. La compañía ensambladura de automóviles CAR-PERU, se ha presentado a una licitación, para ensamblar un nuevo automóvil. La probabilidad que CARPERU gane la licitación es de 0.90 si una forma competidora MOTOR ANDINO no se presenta a ella en tanto que es de 0.20 si MOTOR ANDINO se presenta. El gerente general de CAR-PERU estima que hay una probabilidad de 0.80 que MOTOR ANDINO se presente. dado que CAR-PERU gano la licitación ¿Cuál es la probabilidad de que MOTOR ANDINO sehalla presentado a ella?

* DESARROLLO E: “la compañía MOTOR ANDINO se presenta a la licitación” G: “la compañía CAR-PERU gana la licitación” P[G]

=

0.34




P[E/G]=

P[E] + P[G/E] P[G]

P[E/G]=

(0.80)( 0.20) 0.34

P[E/G] =

8 17

313. En un juego de naipes, ¿Cuál es la probabilidad de una carta roja o negra?

* DESARROLLO total de eventos = 52 casos de cartas rojas = 23 casos de cartas negras = 23

R: “que salga roja” N: “que salga negra”

P[RN] =

P[R] ∪ P[N]

P[RN] =

26 + 26 52

P[RN] =

1


52


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 314. En una caja oscura hay cuatro bolas negras, cinco rojas y siete blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar dos bolas blancas y una negra dado que las dos primeras fueron blancas?

* DESARROLLO total de casos = 16 casos de blancas = 7 casos de negras = 4 B: “que la bola que salga sea blanca” N: “que la bola que salga sea negra” P[BN]=

7 6

4 16 15 14

P[BN] =

1 20

316. Si se lanzan tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado las tres iguales?

* DESARROLLO

total de casos = 8 casos a favor = 2 P: “que salgan los tres resultados iguales”

P[P]

=

2 8


SSS SSC SCS CSS

CCC CCS CSC SCC


INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[P]

=

1 4

317. Si se lanzan tres monedas al aire ¿cuál será la probabilidad de que al caer den a lo más tres sellos


total de casos = 8 casos a favor = 8

CCC CCS CSC SCC

T: “que salgan a los más tres sellos”

P[T]

=

8 8

P[T]

=

1

318. Demostremos que P[A/B] + P[A/B] = 1. Si P[B] > 0

* DESARROLLO

por la definición de la probabilidad condicional

P[A/B] +P[A/B]

=

P[A

∩B]

P[B]

=

1

(P[A

+ P[A ∩B] P[B]

∩B]

+ P[A∩B])




=

P[B] P[B]

=

1

319. Demostrar que P[A/B] + P[A/B] = 1

* DESARROLLO B

=

(A∩B)

∪ (A∩B)

P[B]

=

P[(A∩B)

∪ (A∩B)]

Ya que A∩b y A∩B son eventos mutuamente excluyentes.

luego:

1

=

P[A∩B] + P[A∩B]




1

=

P[B]

P[A/B] + P[A/B]

320. Una urna contiene seis bolas negras y cinco blancas; se extraen al azar sucesivamente y con reposición ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola de cada color?

* DESARROLLO A1: “ la primera bola resulto blanca” B1: “la primera bola resulto negra” A2: “la segunda bola resulto blanca”

B2: “la segunda bola resulto negra”

E: “obtener una bola de cada color”

E

=

A1B2 ∪ B1A2

P[E]

=

P[A1B1] ∪ P[B1A2]

=

5 6 +6 5 11 11

=

11 11

60 121




BIBLIOGRAFIA

1. Estadistica y otras amenidades matemáticas. Jorge Dias Monto.

2. Probabilidades y Estadística. Murray R. Spiegel.

3. Tópicos de Probabilidades. Máximo Mitacc.

4. Estadística para Administración. Wha Young.

5. Probabilidades y Aplicaciones Estadísticas. Paúl Mayer.

6. Estadística para Ingeníeros. Albert Bowver y Gerald Herberman.

7. Estadística y Probabilidad. Garcia Ore.



INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 8. Estadística Aplicada. Bernard Ostle.


ESTADISTICA - PROBLEMARIO Nº 01

Recommend Documents