Producto Académico N° 01 - Estadistica Aplicada

Estadística Aplicada

Producto Académico N° 01


A. MUESTREO 1. Describa claramente cuáles son las clases de muestreo. MUESTREO PROBABILÍSTICO, como requisito es que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionada. 

Muestreo Aleatorio Estratificado, esta técnica, perteneciente a la familia de muestreos probabilísticos, consiste en dividir toda la población objeto de estudio en diferentes subgrupos o estratos disjuntos, de manera que un individuo sólo puede pertenecer a un estrato.



Muestreo por Conglomerados, es una técnica que aprovecha la existencia de grupos o conglomerados en la población que representan correctamente el total de la población en relación a la característica que queremos medir.



Muestreo Sistemático, este método consiste e elegir un punto de partida y luego se selecciona cada k-enésimo elemento de la población.



Muestreo Aleatorio Simple, cada sujeto tiene una probabilidad igual de ser seleccionado para el estudio.

MUESTREO NO PROBABILÍSTICO, no se conoce la probabilidad que tienen los diferentes elementos de la población de estudio de ser seleccionados. 

Muestreo por Conveniencia, es la muestra que está disponible en el tiempo o periodo de investigación.



Muestro por Cuotas, todos los elementos deben aparecer en la muestra.



Bola de Nieve, se utiliza elementos disponibles en un momento dado que corresponda con el propósito del estudio.

2. Identifique el tipo de muestreo, corresponde las siguientes situaciones. a) Educación y deportes. Un investigador de la empresa de equipo deportivo Spaulding estudia la relación entre el nivel académico y la participación en cualquier deporte. El investigador hace una encuesta a 40 golfistas, 40 tenistas y 40 nadadores, todos elegidos al azar. MUESTRO ALEATORIO ESTRATIFICADO. b) Hacer trampa. Un investigador del Internal Revenue Service estudia las trampas en las declaraciones de impuestos, al encuestar a todos los meseros y las meseras de 20 restaurantes seleccionados seleccionados al azar. MUESTREO POR CONGLOMERADO.

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c) Recaudación de fondos. Los recaudadores de fondos de la Universidad de Newport prueban una nueva campaña de telemarketing, obteniendo una lista de todos los alumnos y eligiendo cada centésimo nombre de dicha lista. MUESTREO ALEATORIO

SISTEMÁTICO. d) Prueba de la equinácea . Un estudio sobre la eficacia de la equinácea incluyó

infecciones del tracto respiratorio superior. Un grupo de infecciones fue tratado con equinácea, y otro grupo fue tratado con placebos. Los grupos de tratamiento con equinácea y de placebo se determinaron mediante un proceso de asignación aleatoria (según datos de “Efficacy and Safety of Echinacea in Treating Upper Respiratory Tract Infections in Children”, de Taylor et al., Journal of the American Medical Association, vol. 290, núm. 21). MUESTRO ALEATORIO ESTRATIFICADO.

B. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 1. Shorty’s Muffler anuncia que puede instalar un silenciador nuevo en 30 minutos o menos. No obstante, hace poco el departamento de estándares laborales de las oficinas centrales realizó un estudio y descubrió que 20% de los silenciadores no se instalaba en 30 minutos o menos. La sucursal Maumee instaló 50 silenciadores el mes pasado. Si el informe de la empresa es correcto:

a) ¿Cuántas instalaciones de la sucursal Maumee se esperaría que tardaran más de 30 minutos? Se sabe que la muestra es de 50. Entonces el total de silenciadores que tardan en instalarse en más de 30 minutos es 50x0.20 = 10 silenciadores.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocho o menos instalaciones tarden más de 30 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 de las 50 instalaciones tarden más de 30 minutos? 8 silenciadores / 10 silenciadores = 80% de probabilidad en tardar más de 30 m.







2. Un ingeniero industrial afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 750 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 47 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre – t0,05 y t0,05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 525 gramos por milímetro y una desviación estándar de 45 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. De la tabla encontramos que t0.05 para 46 grados de libertad es de 1.6787. Para que la afirmación quede satisfecha, la muestra de 47 lotes tiene que estar dentro de los valores t entre –1.6779 y 1.6779.

Calculamos el valor de t:

 = 525750 45√ 4747 = 34.28 Este valor está por debajo de -1.6779. Lo cual se concluye que el fabricante no está produciendo el producto esperado.

3. La dirección de transportes de Huancayo viene realizando un estudio de los tiempos requeridos por una de las líneas de bus para alcanzar uno de sus destinos; se sabe que, forman una distribución normal con una desviación estándar σ =1 .25 minutos. Si se elige al azar una muestra de 21 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.23. Primero se encontrara el valor de chi-cuadrada correspondiente a

 (   1) 1)  2111.25)2. 23 = 28.54   =  = (211)

 = 2.23

El valor de 28.54 se busca adentro de la tabla en el valor de 20 grados de libertad. Este valor le corresponde aproximadamente de un área a la derecha de 0.1. En







C. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UN PARÁMETRO 1. Una empresa de investigación llevo a cabo una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. La empresa encontró que la distribución de cantidades gastadas por semana tendía a seguir la distribución normal, con una desviación estándar de $5. Una muestra de 49 fumadores revelo que .

̅ = $20

a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media de la población? Explique lo que indica. El estimador puntual es 20, ya que es un valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de la población. Al valor usado se le llama estimador. e stimador. b) ¿Con el nivel de confianza de 95%, determine el intervalo de confianza para μ. Explique lo que significa. Del problema se obtiene los siguientes datos:

 = 4949,, ̅ = 20, (1  ) = 95% ∝⁄ = 10.95 = 0.05 Calculamos

. = 0.025, 0.025+0.95 = 0.975 ∝⁄  = 1.96 ̅   √  < ̅ < ̅ +  √ 

Dicho valor de 0.975, buscando en la tabla de distribución normal Se aplica la fórmula:

18.6 < ̅ < 21.4

̅

, lo que significa que tenemos una confianza de 95% de que el intervalo de 18.6 a 21.4 21. 4 realmente contiene el valor .







2. Los contenidos de 5 latas de café instantáneo de un productor han dado los siguientes pesos netos en gramos: 280; 290; 285; 275; 284. a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenidos de latas de café del productor.

Se calcula primeramente la desviación estándar. , se consideró la fórmula poblacional, ya que el problema no menciona que es una muestra.

 = 5.036 , = 282.5 ∝⁄ = 10.95 = 0.05 Calculamos

. = 0.025, 0.025+0.95 = 0.975 ∝⁄  = 1.96    √  <  <  +  √  282.81.96 .√  <  < 28282.2.8 + 1.9696.√ 

Dicho valor de 0.975, buscando en la tabla de distribución normal Se aplica la fórmula:

278.38 <  < 287.214

b) ¿Con qué grado de confianza se estima que el contenido promedio de café tenga los límites de confianza 277,432 y 288, 168? Suponga una distribución normal.

277.432 <  < 288.168 Se aplicará la siguiente fórmula:

  − .  −.  (277.432 <  < 288.168) = (..−. < <   . ) (1.0659 <  < 1.0659)

, buscando en la tabla se obtiene un 85.77% de confianza.







3. Una máquina produce piezas de metal que tienen forma cilíndrica. Se toma una muestra de tales piezas y se encuentra que los diámetros son 1,01; 0,97; 1,03; 1,04; 0,99; 0,98; 0,99; 1,01 y 1,03 centímetros. Utilice estos datos para calcular tres tipos de intervalos y hacer interpretaciones que ilustren las diferencias entre ellos en el contexto del sistema. Para todos los cálculos suponga una distribución aproximadamente normal. La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son x¯ = 1.0056 y s = 0.0246. a) Calcule un intervalo de confianza del 99% sobre la media del diámetro.

Calculamos

∝⁄  = 10.99 = 0.01 . = 0.005 (.,8) = 3.355 ̅  (∝,−)√  <  < ̅ + (∝,−)√  1.00563.355 0.0√ 2469 <  < 1.0056+3.355 0.0√ 2469 0.978089 <  < 1.033111

Dicho valor de

buscando en la tabla T – Student.

Se concluye que existe un 99% de confianza que en el intervalo (0.978,1.033) se encuentre la verdadera media del diámetro de las piezas de metal.

b) Calcule un intervalo de predicción del 99% sobre el diámetro medido de una sola pieza de metal tomada de la máquina. Como se trata de un intervalo de predicción se usará la siguiente fórmula:

̅  ∝,− 1 + 1 <  < ̅ + (∝,−) 1 + 1 1.00563.3550.0246 1 + 19 <  < 1.0056+3.3550.0246 1 + 19









c) Calcule los límites de tolerancia del 99% que contengan 95% de las piezas de metal producidas por esta máquina. Como se trata de hallar los límites de tolerancia se usará la siguiente tabla y fórmula:

̅ ± 

Buscando en la tabla el valor de K: 4.55, entonces los límites serán:

0.894 <  < 1.11753

Se concluye que existe un 99% 99 % de confianza que el 95% de los diámetros de las piezas de metal se encuentren dentro de los límites de tolerancia (0.894,1.11753).







D. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DOS PARÁMETROS 1. Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricación de aviones comerciales pequeños. De la experiencia pasada con el proceso de fabricación de largueros y del procedimiento de prueba, se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla:

a) En base a esta información entregada previamente, encuentre un intervalo de confianza para la diferencia entre los promedios poblacionales de la resistencia a la tensión con un nivel de confianza del 90%.

Calculamos

∝⁄ = 10.90 = 0.10

. = 0.05, 0.05+0.90 = 0.95 ∝⁄  = 1.64

Dicho valor de 0.95, buscando en la tabla de distribución normal Además, se sabe que las varianzas poblacionales son:

 = 1   = 2.25       ̅ ̅  (  ) = (  ) ± −∝  + 







b) ¿De acuerdo al resultado obtenido en a) qué puede concluir respecto a la diferencia entre los promedios poblacionales con relación a la resistencia? Existe un 90% de confianza que el intervalo (12.2,14) contenga la verdadera diferencia entre los promedios poblacionales de la resistencia a la tensión de los largueros de aluminio de clase 1 y 2.

2. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia entre los promedios de desgaste a través de kilómetros recorridos, de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros, con una desviación estándar de 5000 kilómetros y para la marca B 38,100 kilómetros con una desviación estándar de 6100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal para la marca A y para la marca B. Asuma que las dos varianzas poblacionales son distintas.

Marca de Neumáticos

Tamaño de Muestra

A B

12 12

Calculamos

∝⁄  = 10.95 = 0.05

Media muestral de la duración de los neumáticos (Km) 36300 38100

. = 0.025

Desviación estándar de la duración de los neumáticos

5000 6100






Dicho valor de

(.,22) = 2.07


buscando en la tabla T – Student.

Como se trata de muestras que provienen de poblaciones normales y las varianzas poblacionales son desconocidas y distintas.

      ̅ ̅ (  ) = (  ) ± ,∝  + 

500012 + 610012 <    < (3810036300) 500012 + 6100 (38100 36300) 36300)  2.07 5000 3810036300) + 2.0707 5000 12

1862.9566 <    < 1737.0434 Existe un 95% de confianza que en el intervalo (-1862.9566,-1737.0434) se encuentre la verdadera diferencia entre los de duración promedio de neumáticos de clase A y B. Siendo la clase B, los neumáticos que tiene mayor rendimiento en kilómetros recorridos hasta el desgaste total del mismo.

Producto Académico N° 01 - Estadistica Aplicada

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