INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA “’CIENCIAS DE LA TIERRA”’
UNIDAD TICOMAN
“PROBLEMARIO 2do. PARCIAL”
NOMBRE: MARQUEZ GARCIA FELIPE
MATERIA: GEOESTADISTICA GEOESTADISTICA
DOCENTE: AGUILAR RIVERA ROSA MA.
GRUPO: 2PM8
PROBLEMARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA SEGUNDO EXAMEN PARCIAL PROFRA. ROSA MARIA AGUILAR RIVERA Variables Aleatorias
2.-Dé tres ejemplos de variable aleatoria de Bernoulli (que no sean los mencionados en clase). X= 1 si un libro seleccionado al azar no es de ficción y X= 0 en otro caso. X= 1 si un conductor seleccionado al azar tiene seguro de su automóvil y X= 0 en otro caso. X= 1 si un ejecutivo elegido al azar es mujer y X= 0 en otro caso.
3. Para cada variable aleatoria definida a continuación describa el conjunto de valores posibles de la variable e indique si es discreta o continua
a. X = número de huevos que no están quebrados, en una caja de cartón
estándar seleccionada al azar. b. Y = número de estudiantes ausentes el primer día de clases, de la lista de su
grupo. c. U = número de veces que un novato intenta golpear una pelota de golf, antes
de lograrlo. d. X = longitud de una serpiente de cascabel seleccionada al azar. e. Z = pH de una muestra de suelo seleccionada al azar. f. X = tensión a la que una raqueta de tenis seleccionada al azar ha sido
encordada. g. X = número total de veces que haya necesidad de lanzar una moneda al aire
para que tres personas obtengan una partida (AAA o SSS).
a) La pos ibilidad es de 1 hasta el número d e huevo s q ue con tenga la caja, discreta.
b) La po sib ilidad d el núm ero d e estud iantes q ue falten s eráigual d e 1 hasta el número total de estud iantes, disc reta. c) La pos ibilidad va desde 1 hasta el número total de veces que el nov ato intente peg arle a la pelota y acierte, discr eta. os , no tienen la mis ma d) Las s erpientes p ueden ser de v arios tam añ longitud , con tinua.
e) Sabemo s q ue el pH va de 0 hasta 14 entonces 0 es la posibilidad m enor y 14 la posibilidad m ayor, continua. . f) Sabemo s qu e la tensión p uede s er m ínim a o m áxim a así qu e la pr ob abilid ad v a desd e la tensión m ínim a a la máxim a, con tin ua. g) Para obtener AA A o SSS para una perso na se tiene que lanzar tres veces la m on eda, para d os serían 6 v eces y p ara tr es p ers on as s erían 9 v eces lanzar la m oneda y asísuc esivamente dependiendo del número de perso nas, discreta. 4. Cada vez que se prueba un componente es un éxito ( E ) o fracaso ( F ). Supongamos que el componente se prueba repetidamente hasta ocurrir un éxito en tres pruebas sucesivas. Denotemos por Y el número de pruebas necesarias para lograr esto. Haga una lista de todos los resultados correspondientes a cinco valores mínimos posibles de Y e indique cual es el valor de Y asociado con cada uno. R: Y = 3: EEE Y = 4: FEEE Y = 5: FFEEE, EFEEE Y = 6: EEFEEE, EFFEEE, FEFEEE, FFFEEE Y= 7: EEFFEEE, EFEFEEE, EFFFEEE, FEEFEEE, FEFFEEE, FFEFEEE, FFFFEEE
8. Muchos fabricantes tienen programas de control de calidad que incluyen la inspección de materiales recibidos para verificar que no tengan defectos. Supongamos que un fabricante de computadoras recibe tarjetas de computadoras en lotes de cinco y se seleccionan dos tarjetas de cada lote para inspeccionarlas. Podemos representar los posibles resultados del proceso de selección por pares. Por ejemplo, el par (1,2) representa la selección de la tarjeta 1 y 2 para inspeccionarlas.
a. Haga una lista de diez posibles resultados diferentes.
b. Supongamos que las tarjetas 1 y 2 son las únicas defectuosas de un lote de
cinco y se van a escoger dos lotes al azar. Defina X como el número de tarjetas defectuosas observado entre las inspeccionadas. Encuentre la distribución de probabilidad de X .
c. Señale con F ( x ) la fpa de X . Primero defina F (0) = P ( X ≤ 0), F (1) y F (2) y
después obtenga F ( x ) para cualquier x . a) (1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(2,3);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5);(4,5)
b ) P(X=0) = P(0) P(X=0) = P[(3,4);(3,5);(4,5)] = 3/10 = 0.3 P(X=1) = P(1) P(X=1) = 1- [P(0) + P(2)] = 1 - (.3 + .1) = 0.6 P(X=2) = P(2) P(X=2) = P[(1,2)] = 1/10 = 0.1
c ) F(0) = P(X ≤ 0) =0.3 F(1) = P(X ≤ 1) = P(0) + P(1) F(1) = P(X ≤ 1) = 0.9 F(2) = P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) F(2) = P(X ≤ 2) = 1
0
(X ≤ 0)
.3
(0 ≤ X ≤ 1)
.9
(1 ≤ X ≤ 2)
1
(2 ≤ X)
9.- Algunas regiones de California son particularmente propensas a temblores. Supongamos que en una parte de la región 30% de todos los propietarios de casa están asegurados contra daños por temblores. Cuatro propietarios son
seleccionados al azar; sea X el número de propietarios, entre los cuatro, con seguro contra temblores. a. Encuentre la distribución de probabilidad de X . (Sugerencia: denotemos por
S a un propietario de casa asegurado y con F a uno sin seguro. Entonces un posible resultado es SFSS, con probabilidad (0.3)(0.7)(0.3)(0.3) y valor 3 asociado a X . Hay otros 15 resultados.). b. Dibuje el histograma de probabilidad correspondiente. c. ¿Cuál es el valor más probable para X ? d. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los cuatro seleccionados tenga un seguro contra temblores? S={FFFF FFFS FFSF FSFF SFFF SSSS SSSF SSFS SFSS FSSS FFSS SSFF FSFS SFSF FSSF SFFS} X= número de éxitos S= casa asegurada = 0.3 F= sin seguro= 0.7 a) Resultados SSSS SSSS, SSFS, SFSS, FSSS FFSS, SSFF, FSFS, SFSF, FSSF, SFFS FFFS, FFSF, FSFF, SFFF FFFF
X
Probabilidad
4 3 2 1 0
p = (0.3) = 0.0081 3 p (1-p)(4) = (0.027)(0.7)(4) = 0.0756 2 2 p (1-p) (6) = (0.09)(0.49)(6) = 0.2646 3 p(1-p) (4) = (0.3)(0.343)(4) = 0.4116 4 4 (1-p) = (0.7) = 0.2401
4
4
b) Histograma c) P(x) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) P(x) = 0.0081 + 0.0756 + 0.2646 + 0.4116 + 0.2401 P(x) = 1 d) P(x≥2) = P(2) + P(3) + P(4) P(x≥2) = 0.2646 + 0.0756 + 0.081 P(x≥2) = 0.3483
12 .- A partir de un tiempo fijo, se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que nace un varón ( B). Sea p = P (B) y suponga que los nacimientos sucesivos son independientes. Sea Y = el número de niñas nacidas antes de que termine el experimento. Con p = P (B) y 1 – p = P (G), ¿cuál es la función de masa de probabilidad de Y ? [Sugerencia: primero ponga en lista los posibles valores de Y , inicie con el más pequeño y continúe hasta que encuentre una fórmula general]
Entonces:
Para p(0)
La función de probabilidad de masa de Y es:
VALORES ESPERADOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
17.- Sea X una va de Bernoulli con fpm
1 p f ( x ) p 0
x 0 x 1 x 0,1
2
a. Calcule E ( X ). b. Demuestre que V ( X ) = p (1- p). 19 c. Calcule E ( X ).
A. E(X2)= E(X2)=p
B. V(X)=E(X2)-(E(X)) 2 C. E(X)=0(1-p)+1(p) E(X)=p D. V(X)=p-(p) 2 V(X)=p-p2 V(X)=p(1-p) E. E(X19)= (0)19(1-p)+(1) 19(p) a. E(X19)=p
(0)2(1-p)+(1) 2(p)
18.- Un contratista ofrece realizar un proyecto, y los días X requeridos para la terminación siguen la distribución de probabilidad dada como:
x p( x )
10 0.1
11 0.3
12 0.4
13 0.1
14 0.1
La utilidad del contratista es Y = 2000(12 – X ). a. Encuentre la distribución de probabilidad de Y . E(X) = (10)(0.1) + (11)(0.3) + (12)(0.4) + (13)(0.1) + (14)(0.1) = 11.8 E(X2) = (100)(0.1) + (121)(0.3) + (144)(0.4) + (169)(0.1) + (196)(0.1) = 140.4 V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 140.4 – 139.24 = 1.16 b. Determine E ( X ), V ( X ), E (Y ), V (Y ).
Y= 2000(12-X) Y= 24000 – 2000X
Y
4000
2000
0
-2000
-4000
f(X)
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
E(X) = (4000)(0.1) + (2000)(0.3) + 0 + (-2000)(0.1) + (-4000)(0.1) E(X) = 400. E(Y) = a E(X) + b E(Y) = 2000 ( 12 – E(X) ) E(Y) = 2000 ( 12 – 11.8) = 400 V(Y) = a 2 σ x = (2000)2 (1.16) –(24000) = 4616000 Binomiales
5. Un lote muy grande de componentes ha llegado a un distribuidor. El lote se puede clasificar como aceptable sólo si la proporción de componentes defectuosos es a lo sumo 0.10. El distribuidor decide seleccionar al azar 10 componentes y aceptar el lote sólo si el número de componentes defectuosos en la muestra es a lo sumo 2.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado cuando la proporción real de piezas defectuosas es 0.01?, ¿0.05?, ¿0.10?, ¿0.20? y ¿0.25? b. Sea p la proporción real de piezas defectuosas del lote. Una gráfica de P(lote aceptado) como función de p con p en el eje horizontal y P(lote aceptado) en el vertical, se llama curva característica de operación para el plan de muestreo de aceptación del lote. Utilice los resultados del inciso (a) para construir esta curva en 0 ≤ p ≤ 1. c. Repita los incisos (a) y (b) con “1” sustituyendo a “2” en el plan de muestreo de aceptación del lote. d. Repita los incisos (a) y (b) con “15” sustituyendo a “10” en el plan de muestreo de aceptación del lote. e. ¿Cuál de los tres planes de muestreo, de los incisos (a), (c) o (d) parece más satisfactorio y por qué? a) P (lote sea aceptable) = P (X≤2)= B (2;10,p) con P=0.01, 0.05, 0.10. 0.20 y 0.25 B (2; 1.0, 0.01) = 1 B (2; 1.0, 0.05)= 0.988 B (2; 1.0, 0.1)= 0.930 B (2; 1.0, 0.2)= 0.618 B (2; 1.0, 0.25)= 0.526 P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.25 P(aceptable) 1 0.988 0.930 0.618 0.526
b)
p(aceptable) 1.2 1 0.8 0.6
p(aceptable)
0.4 0.2 0 0.01
0.05
0.1
0.2
0.25
c) Para n= 10, P (lote sea aceptado) = P ( X ≤ 1) = B(1; 10, p) B(1;10, 0.01) = 0.996, B(1; 10, 0.05) = 0.914, B(1; 10, 0.10) = 0.736, B(1; 10, 0.20) = 0.376, B(1: 10, 0.25) = 0.244
p(aceptable) 1.2 1 0.8 0.6
p(aceptable)
0.4 0.2 0 0.01
0.05
0.1
0.2
0.25
d) n= 15, P (lote sea aceptado) = P ( X ≤2) = B(2; 15, p) B(1;15, 0.01) = 1, B(1; 15, 0.05) = 0.964, B(1; 15, 0.10) = 0.816, B(1; 15, 0.20) = 0.398,B(1: 15, 0.25) = 0.236
p(aceptable) 1.2 1 0.8 0.6
p(aceptable)
0.4 0.2 0 0.01
0.05
0.1
0.2
0.25
e) Puesto que queremos un plan para el cual P (aceptar) sea baja para p > 0.1 y altas para p 0.1, entonces, el p lan del in cis o d parec e el más satisfactorio con las cons ideraciones anteriores.
8. Cuarenta por ciento de las semillas de mazorcas de maíz (maíz moderno) portan sólo una espiga y el 60 % restante portan dos espigas. Una semilla con una espiga producirá una mazorca con espigas únicas 29% del tiempo, en tanto que una semilla con dos espigas producirá una mazorca con espigas únicas el 26% del tiempo. Considere seleccionar 10 semillas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de estas semillas porten una sola espiga y de que produzcan una mazorca con una sola espiga? b. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de estas mazorcas producidas por estas semillas tengan espiga única? ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho, cinco mazorcas tengan espiga única? a) P(x=5)=(10 5)(0.40) 5(1-0.40)10-5= 0.2006 b) P(x=5)=(10 5)(0.29) 5(1-0.29)10-5= 0.0932 P(x≤5)=B(5:10,0.29)= 0.953 Hipergeométrica y Binomial negativa
2.- Un profesor que el último periodo escolar dio dos secciones de estadística en ingeniería, el primero con 20 alumnos y el segundo con 30, decidió asignar un proyecto para los cursos. Después de recibir todos los proyectos, los apilo en orden aleatorio antes de calificarlos. Considere los 15 primeros proyectos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 10 de ellos provengan de la segunda sección? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 de ellos provengan de la segunda sección? c) ¿Cual es la probabilidad de que al menos 10 de ellos provengan de la misma sección? d) ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar, de la cantidad entre los 15, que provengan de la segunda sección a) N=50
M=30 n=15 P(x=10) = (1 0, 15, 30, 50) 30 20 10 5 = 0.2069 50_ 15 b) P(X≥10)
P(X=11) 30 20 11 4 = 0.11758 50_ 15
P(X=12) 30 20 12 3 = 0.093807 50_ 15 P(X=13) 30 20 13 2 = 0.010109 50_ 15 30 20 14 1 = 0.001292 50_ 15 P(X=15) 30 20 15 0 = 0.000684 50_ 15 P(X≥10)=.11758 +.093807 +.010109 +.001292+.000684 = 0.37980641
c) P(X≥10) P(X≤5) P(X=0) 30 20 0 15 =0.00000000688 50_ 15
P(X=1) 30 20 1 14 =0.0000005166 50_ 15
P(X=2) 30 20 2 13 =0.00001498167 50_ 15 P(X=3) 30 20 3 12 =0.000227222 50_ 10 P(X=4) 30 20 4 11 =0.002044 50_ 10 P(X=5) 30 20 5 10 = 0.011697 50 10
P(X≤5)=.00000000688+.0000005166+.00001498167+.000227222+.002044 +.011697= 0.0139847 P(X≥10) P(X≥10)+ P(X≤5)=.37980641+.0139847= 0.39379161
d) E(X)=n =
()
)⌉( ) () ⌈ ()⌉( )=2.57129 ( ) ⌈( 3.- De acuerdo con informes de CONACYT (enero de 2001), se estima que 75% de los estudiantes egresados de carreras científicas en México solicitarán una beca para estudiar la maestría, dentro o fuera del país. De cinco estudiantes recién egresados de profesiones científicas, elegidos al azar, encuentre la probabilidad de que: a. Dos de ellos soliciten una beca para estudiar la maestría. b. Cuando mucho tres soliciten una beca para estudiar la maestría.
c. De 10 estudiantes elegidos al azar, ¿cuántos se esperaría que solicitaran una beca? Calcule la varianza n=5 M=6 N=15 a)
P(X=2)= = = 0.419
b)
= 0.041 + 0.251 + 0.419 = 0.711 + + P(X≤2)=
c) P(X≥2) = 1- P(X<2) = 1- (0.041+0.251) = 0.708
d)
= 2 = 1.333
7.- Un fabricante de productos electrónicos de consumo espera que 2% de las unidades fallen durante el período de garantía. Se hace un seguimiento del cumplimiento de la garantía de una muestra de 500 unidades independientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna falle? b. ¿Cuál es el número esperado de fallas durante el período de garantía? c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos unidades fallen durante el período de garantía? P= 0.89 r=5
a) = 0.6179 b) =0.6943
9.- De acuerdo con la revista chess life, 40% de los grandes , maestros de ajedrez del mundo consideran que garry kasparov es el mejor ajedrecista de todos los tiempos. Si se les pregunta a varios grandes maestros su opinion a este respecto, encuentre la probabilidad de que el octavo a quien se le planteo la pregunta sea el
cuarto que considera a kasparov el mejor ajedrecista de todos los tiempos. p (y=k)=k-1Cr-1PrQk-r k=8 p=0.40 q=0.60 r=4
p(y=8)= 8-1C4-1((0.40)^4)((0.60)^4) p(y=8)= 0.003318
Distribución de Poisson
3. Sea X el número de anomalías que ocurren en el material de una región particular de un disco de turbina de gas en aviones. El artículo “Methodology for Probabilistic Life Prediction of Multiple Anomaly Materials” ( Amer.Inst. of Aeronautics and Astronautics J. , 2006; 787 – 793) propone una distribución de Poisson para X . Suponiendo que = 4. a. Calcule P ( X 4) y P ( X < 4) b. Calcule P (4 X 8) c. Calcule P (8 X ) d. ¿Cuál es la probabilidad de que el número observado de anomalías sobrepase su valor medio por no más de una desviación estándar?
A) P(X≤4) = 0.629 P(X<4) = P(X≤3) = 0.433 B) P(4 X 8) = P(8) – P(3) = 0.979 – 0.433 = 0.546 C) P (8 X ) = 1 – P(X ≤ 7) = 1 – 0.949 = 0.051 D) P(X > µ + σ) = P(X > 4+2) = P(X > 6) = 1 – P(X ≤ 6) = 1 – 0.889 = 0.111
5.- Suponga que hay árboles distribuidos en un bosque según un proceso de Poisson de dos dimensiones, con parámetro α y que el numero esperado de arboles por acre es igual a 80. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cierto lote de un cuarto de acre haya a lo sumo 16 árboles? b) ¿Si el bosque cubre 85000 acres ¿Cuál es el numero esperado de arboles en el bosque?
Λ= αt a) Un cuarto de acre - > λ = 0.25 (80)= 20 P(x≤16) = P(16;20)= 0.221 b) E(x)=λ -> e(x)= (80)(85000)= 6800000 arboles
6.-En una prueba de tarjetas de circuitos, la probabilidad de que un diodo en particular falle es de 0.01. Suponga que una tarjeta contiene 200 diodos. a) ¿Cuántos diodos se espera que fallen y cuál es la desviación estándar del número que se espera que falle? b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que por lo menos cuatro diodos fallen es una tarjeta seleccionada al azar? c) Si se embarcan cinco tarjetas en particular, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro de ellas funciones bien?
a) P(0.01)
√ √ b)
c) n= 5
p= 0.135
() ()
8.- Se supone que el número de imperfecciones en los rollos de tela de una fábrica textil tiene una distribución de Poisson con una media de 0.1 imperfecciones por metro cuadrado. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 imperfecciones en un metro cuadrado de tela?
P(X=x) = P(x=2) = b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya una imperfección en 10 metros cuadrados de tela?
ƛ = 0.1*10 = 1 P(x=1) =
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya imperfecciones en 20 metros cuadrados de tela?
ƛ = 0.1*20 = 2
P(x=2) =
d. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una imperfección en 10 metros cuadrados de tela?
ƛ = 0.1*10 = 1 P(x=0) =
P(x≥1) = 1 – P(x=0) = 1 – 0.9048 = 0.0952
