Taller 4. Ejercicios Estadigrafos de posicion
1. El precio de 100 articulos art iculos es $185,7 en promedio, los articulos se dividen en dos grupos de precios promedios promedios $175,8 y $197,8. Cuantos articulos hay hay en cada grupo?.
∙ 175.8 ∙ 197. ̅ ∑= 100 197.8 185.70 ∙ 175.8 ∙ 197. 197.8 18570 18570 1 100 2 ∙1175. 75.88197. 100 8 18570 ∙ 197. 197.819780 1857 185700 221210 55 45
Y para la segunda ecuacion
Aplicando sustitucion y reemplazando en (1)
Sustituyendo Sustituyendo en (2) resulta 2. Dada la siguiente tabla
Salario diario (miles $) 0—3,0 3,0—4,0 4,0—5,0 5,0—6,0 6,0—7,0 Total N Intervalos
+
0—3,0 3,0—4,0 4,0—5,0 5,0—6,0 6,0—7,0 Total
Marca de clase Frec. Absoluta
1,5 3,5 4,5 5,5 6,5
10 16 35 26 13 100
No de obreros 10 16 35 26 13 100 Frec. Abs.Acum
10 26 61 87 100
Intervalo critico donde Ocurre el percentil 30
a. Cual es el salario maximo que ganan diariamente el 30% de obreros con sueldos mas bajos? El percentil 30 corresponde al 30% de obreros con salarios diarios mas bajos y se
∙ 100 −
encuentra en el intervalo 3. Definamos la formula para calcular los percentiles:
−
Definamos las variables de esta formula: Es el percentil que se quiere calcular Es el limite inferior del interval critico es el tamaño del intervalo. Es igual al Limite superior menos el limite inferior Es la frecuencia absoluta acumulada de todos los intervalos anteriores (sin incluir) el intervalo critic Es la frecuencia absoluta del interval critic Es el numero total de valores en la distribucion
∙ ∙ 30
Para calcular el percentil 30, calculemos primero el factor . En la columna busque el valor que supere 30. En este caso es el intervalo 3. Para este intervalo 26, , y reemplazamos en la formula
− 35, 1, 4 4(3026 ) 35 44(0.35 1414) 4.114
La interpretacion es: 30% gana por lo menos $4114 por dia b. Que % de obreros ganan mas de $5.500? Intervalos
+
0—3,0 3,0—4,0 4,0—5,0 5,0—6,0 6,0—7,0 Total
Marca de clase Frec. Absoluta Frec. Abs.Acum
1,5 3,5 4,5 5,5 6,5
10 16 35 26 13 100
10 26 61 87 100
Frec. Rel.Acum
10 26 61 87 100 Intervalo critico donde Ocurre el valor $5500
Para determinar a que rango percentil dentro de una distribucion pertenece un valor dado use la siguiente formula:
− ( ) ∙100
−
Definamos las variables de esta formula: Es el rango percentil que se quiere calcular Es la frecuencia relativa acumulada de todos los intervalos anteriores (sin incluir) el intervalo critico Es el valor dado Es el limite inferior del interval critico es el tamaño del intervalo. Es igual al Limite superior menos el limite inferior Es la frecuencia absoluta del interval critico Es el numero total de valores en la distribucion Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $5500, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 4. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula. Para este intervalo (cualquier valor, en este caso coincide con la marca de clase), , .
5, 5 − 61 26, 1, 5,0 5,55,0 26∙100 61( ) 1 100 26 610, 5 6113 74
La interpretacion es: 74% gana por lo menos $5500 por dia y el complemento 26% ganan mas de $5500 por dia 3. En una poblacion hay 350 individuos con valores en la primera decil , cuantos individuos de la poblacion entre percentil 18 y la percentil 45? Si 350 individuos equivale al 10% de la muestra, cuantos individuos hay en el 27% (45—18) de la muestra. Se resuelve por regla de 3.
4518 10 ∙350 945
Hay 945 individuos entre percentil 18 y percentil 45 4.
Se prueban 2 tratamientos A y B para controlar un virus que ataca la hoja del tabaco. La hoja pierde valor comercial mientras mayor sea el numero de lesiones por hoja producida por el virus. La medicion del numero de lesiones por hoja dio la siguiente tabla de frecuencia:
No. de lesiones hoja Frecuencia A Frecuencia B 0 90 130 1 60 100 2 40 50 3 60 20 4 20 40 5 10 60 Total N 280 400 a. Cual tratamiento es mejor para obtener mas hojas con 0 lesiones?. Para calcular cual tratamiento es mejor definamos la frecuencia relativa de los dos tratamientos para 0 lesiones hoja.
ℎ 280 19030 ∙100 32.14% ℎ 400 ∙100 32.5%
Conclusion: Para obtener mas hojas con 0 lesiones el tratamiento B es mejor por casi cuatro decimas b. Calcule medidas estadisticas que le permitan comparar en la mejor forma la efectividad de ambos tratamientos y comentelas. c. Construya un grafico, que compare adecuadamente la efectividad de los tratamientos A y B. 35 30 25 20 15 10 5 0 0
1
2
3
4
5
La grafica corresponde al histograma de la frecuencia relativa del tratamiento A y B.(incluir analisis aqui) 5. La siguiente tabla muestra los tiempos de reaccion (en seg.) de 250 perros sometidos a anestesico inyectado: Tiempo de reaccion (seg)
Frecuencia
[120—170) [170—220) [220—270) [270—320) [320—370) [370—420) [420—470) Total N
20 35 85 50 30 20 10 250
a. Calcule las medidas estadisticas que representen mejor esta informacion e interpretelas.
20∙14535∙19585∙24550∙29530∙345 20∙395 10∙445 ̅ ∑= 250 ̅ 272 b. A los cuantos seg. reaccionara el 15% de los perros mas sensibles al anestesico? Intervalos
+
[120—170) [170—220) [220—270) [270—320) [320—370) [370—420) [420—470) Total N
Marca de clase Frec. Absoluta Frec. Abs.Acum
145 195 245 295 345 395 445
20 35 85 50 30 20 10 250
20 55 140 190 220 240 250
Frec. Rel.Acum
8 22 56 76 88 96 100
∙ ∙ 37.5
Para calcular el percentil 15, calculemos primero el factor . En la columna busque el valor que supere 37.5. En este caso es el intervalo 2. Para este intervalo 20, , y reemplazamos en la formula
− 35, 50, 170 15∙ 100 − 170 50(37.17.535205 ) 170 17050(2535 ) 195
La interpretacion es: 15% de los perros reaccionan al anestesico en menos de 195 seg
c. Cuantos de los 250 perros reaccionaran despues de 5 minutos? Para calcular a que rango percentil pertenece el valor 300 seg, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 4. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula
− ( ) ∙100
300 − 50, 56 50, 270 56∙ 1 00 56(300270 ) 50 250 22. 560, 6 4 5613. 4 4 69.44
Para este intervalo ocurre en el intervalo critico 4. Para este intervalo (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior), .
La interpretacion es: 69% de los perros reaccionan al anestesico en menos de 300 seg y por lo tanto 31% reaccionan despues de 5 min, es decir 77 perros. 6. Un grupo de 200 personas viaja en 2 aviones, el primero de ellos lleva a 150 personas. El peso promedio de las 200 personas es de 72,5 Kg. Los del segundo avion pesan en promedio 3,8 Kg. menos que los del primer avion. Cual es el peso promedio de los pasajeros de cada uno de los aviones?.
̅ 3.8 ∙ 150 72, ∙ 505, ∙150 ̅ ∑= 200 200 3.8∙50 72.5 72.5 ∙20014500190 ∙ 150 ∙ 50190 ∙ 200 1 4690 200 73.45
Conclusion: el peso promedio de los pasajeros del avion 1 es 73.45 Kg y el peso promedio de los pasajeros de avion 2 es 69.65 Kg 7. La renta semanal media de los trabajadores de una fabrica es de $80.000, siendo $95.000 para los administrativos y de $70.000 para los obreros. Calcule el porcentaje de administrativos y de obreros que tiene la fabrica, si en total suman 120.
∙ 95 ∙ 70 ̅ ∑= 120 80 ∙ 95 ∙70 9600 1
120 2 ∙95120 ∙70 9600 9570 1 200 9600 8400 25 48 72 ∙ 40%
Y para la segunda ecuacion
Aplicando sustitucion y reemplazando en (1)
Sustituyendo en (2) resulta
Conclusion: de los trabajadores son administrativos y 60% son obreros 8. La tabla siguiente representa la distribucion de frecuencias de las vidas medias de 400 ampolletas probadas en la empresa XXX. Vida media (horas) 300—399 400—499 500—599 600—699 700—799 800—899 900—999 1000—1099 1100—1199 Total N
No. ampolletas 14 46 58 76 68 62 48 22 6 400
Determinar: a. Limite inferior de la quinta clase. El limite inferior de la quinta clase es 700 b. Marca de clase de la tercera clase. La marca de clase de la tercera clase es 550 c. La frecuencia de la cuarta clase. La frecuencia de la cuarta clase es 76 d. Porcentaje de ampolletas cuya vida media es de al menos 500 horas, pero menos de 1000 horas. El porcentaje de ampolletas cuya vida media es de al menos 1000 horas es 93%, y el porcentaje de ampolletas cuya vida media es de al menos 500 horas es 15%, por lo tanto (93-15)% o 78% de las ampolletas tienen vida media entre 500 y 1000 horas e. Numero de ampolletas cuya vida media es superior a 600 horas. De la tabla 29.5% de las ampolletas tienen vida media inferior a 600 horas, por lo tanto 70.5% de las ampolletas tienen vida media superior a 600 horas Contruir:
f. Tabla de frecuencia. Intervalos
+
Marca de clase
Frec. Absoluta
300—399 400—499 500—599 600—699 700—799 800—899 900—999 1000— 1099 1100— 1199 Total N
350 450 550 650 750 850 950 1050
14 46 58 76 68 62 48 22
1150
6
Frec.Abs.Acum
Frec.Rel.Acu m
14 60 118 194 262 324 372 394
3.5 11.5 14.5 19 17 15.5 12 5.5
3.5 15 29.5 48.5 65.5 81 93 98.5
400
1.5
100
Frec. Relativa
400
g. Histograma, Poligono de frecuencias y ojiva de porcentajes.
80
450
70
400 350
60
300
50
250 40 200 30
150
20
100
10
50
0
0
h. Sobre cuantas horas se encuentra el 35% de ampolletas de mayor duracion? Para calcular el 35% de ampolletas de mayor duracion es necesario calcular el percentil 65. Para calcular el percentil 65, calculemos primero el factor . En la columna busque el valor que supere 260. En este caso es el intervalo 5.
260
∙ ∙
Para este intervalo formula
− 194 68, 100, 700 65∙ 100 − 700100(260194 ) 68 700100(6668) 600 97. 0 5 697.05 ,
, y reemplazamos en la
La interpretacion es: 65% de las ampolletas tiene vida media de menos de 697 horas y por lo tanto 35% de las ampolletas duran mas de 697 horas i. Calcule media y mediana.
̅ ∑= 14∙35046∙450 58∙55076∙65068∙750 62∙85048∙95022 ∙10506∙1150
̅ 490020700 31900494005100052700 400 45600231006900 2 86200 ̅ 400 400
̅ 715.5
Para calcular la mediana j. Si la vida media se incrementa en 24 %, calcular los nuevos promedios y desviacion tipica.
̅ 715.5 ∙1.24 887.22
9. Los gastos de publicidad son un componente signicativo en el costo de los bienes que se venden. La lista de abajo es una distribucion de frecuencia que muestra los gastos en publicidad de 60 empresas de manufacturas. Gastos publicidad No de empresas (millones $) 25—35 6 35—45 10 45—55 20 55—65 16 65—75 8 Total N 60
a) Si las empresas que gastaron menos de 45 millones de pesos aumentan sus gastos en 13 %, como se altera el promedio de gastos en publicidad?
6∙3010∙4020∙5016∙608∙70 3100 ̅ ∑= 60 60 ̅ 151.320∙5016∙608∙70 67 6 ∙30∙1.1310∙40∙1. 3 175. 4 ̅ ∑= 60 60 ̅ 52.92
Conclusion: El promedio aumento 2.4% b) Que porcentaje de empresas gasta mas de 58 millones de pesos en publicidad?. Intervalos
+
Marca de clase Frec. Absoluta Frec. Abs.Acum
Frec. Rel.Acum
25—35 30 6 6 10 35—45 40 10 16 26.67 45—55 50 20 36 60 55—65 60 16 52 86.67 65—75 70 8 60 100 Total N 60 Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $58, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 4. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula
58 − 16, 60 10, 55
− ( ) ∙100
Para este intervalo ocurre en el intervalo critico 4. Para este intervalo (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior), .
16∙ 1 00 60(5855 ) 10 60 26. 600, 3 6 7 608 68
La interpretacion es: 68% de las empresas gastaron menos de 58 millones, por lo tanto 32% de las empresas gastaron mas de 58 millones 10. La siguiente informacion representa la distribucion de los gastos en alimentacion que realizaron un conjunto de familias de Santiago durante el año 2001. Gastos (miles $) 150—250
No de familias 15
250—350 350—450 450—550 550—650 Total N
27 32 21 10 105
Tabla de frecuencias Intervalos Marca de clase Frec. Absoluta Frec. Abs.Acum
+
150—250 250—350 350—450 450—550 550—650 Total N
200 300 400 500 600
15 27 32 21 10 105
15 42 74 95 105
Frec. Rel.Acum
14.28 40 60 70.5 100
a. Para el presente año se espera que tal gasto se incremente en un 8%, mas un gasto fijo por cada familia de 25 mil pesos. Como varia el promedio del gasto en alimentacion de las familias estudiadas en el año 2002 con respecto al año 2001?.
15∙20027∙30032∙400 21∙500 10∙600 40400 ̅ ∑= 105 105 ̅ 384.76
̅ 384.76∙1.0825 440.54
Para calcular el incremento en el año 2002
Conclusion: En el año 2002 el promedio sera $440.540
b. A las familias que gastaron durante el año 2001 menos de 270 mil pesos se les dara en bono de 45 mil pesos a cada una y a las restantes se les dara un bono de 28 mil pesos a cada una. Cual es el nuevo promedio?. Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $270000, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 2 . A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula
− ( ) ∙100 270 − 27, 14.28100, 250 27∙ 1 00 14.28(270250 ) 100 105
Para este intervalo ocurre en el intervalo critico 2. Para este intervalo (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior), .
25. 14. 14.280, 2 7 1 2 85. 1 42 19.42
La interpretacion es: 19% de las familias gastaron menos de $270000, y 81% de las empresas gastaron mas de $270000, utilizamos estos valores para modificar la formula de promedio
19∙ 27045 81∙ 27028 30123 ̅ ≈ ∑= 100 301.23 100
Conclusion: El Nuevo promedio es aprox. $301230 c. Se sabe que la relacion de los ingresos de este grupo familiar y los gastos en alimentacion durante el año 2001 estuvo dada por:
1.5 75 1.5 75
Se desea saber cual es el promedio de los ingresos durante el año 2001. Gastos (miles Marca de clase Ingresos No de $) familias 150—250 200 375 15 250—350 300 525 27 350—450 400 675 32 450—550 500 825 21 550—650 600 975 10 Total N 105
15∙375 27∙52532∙67521∙82510∙975 68475 ̅ ∑= 105 105 ̅ 652.14
Conclusion: El promedio de ingresos durante el 2001 fue $652140 d. Cual es el gasto en alimentacion que divide la muestra en partes iguales? El gasto en alimentacion que divide la muestra en partes iguales es el percentil 50. Para calcular el percentil 50, calculemos primero el factor . En la columna busque el valor que supere 52.5. En este caso es el intervalo 3. Para este intervalo , , y reemplazamos en la formula
− 42 32, 100, 350 50∙ 100 − 350100(52.10.532425 ) 350100( 32 ) 350 32. 8 1 382.81
∙ ∙ 52.5
La interpretacion es: 50% de las familias gastan menos de $382810 y 50% gastan mas de $382810 e. Que porcentaje de familias que gastaron menos de 300 mil pesos?. Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $300000, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 2. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula
− ( ) ∙100 270 − 27, 14.28100, 250 27∙ 1 00 14.28(300250 ) 100 105 25. 14. 14.280, 5 7 1 2 812. 8 5 27.13
Para este intervalo ocurre en el intervalo critico 2. Para este intervalo (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior), .
La interpretacion es: 27% de las familias gastaron menos de $300000 11. En un analisis de las llamadas telefonicas que salian a diario de una oficina, se determino que 64 llamadas tenian un promedio de 2,3 minutos; 47 llamadas de entre 3 a 10 minutos, promediaron 6,1 minutos y 4 llamadas de mas de 10 minutos demoraron en promedio 20,6 minutos. Cual es el promedio de la duracion de estas llamadas?. 12. En un año de biologia hay 20 alumnos de 1er año, 18 de 2o año y 12 de 3er año. Los promedios de notas en los alumnos de 1er y 2o son 68 y 75 respectivamente. Cual es el promedio de los alumnos de 3er año, si el promedio de toda la clase fue de 74,84 puntos?. 13. La siguiente tabla corresponde al monto de compras realizadas por la cartera de cliente de una empresa en el 2001. Ventas X (miles $) No de clients 1,0—2,5 14 2,5—4,0 18 4,0—5,5 22 5,5—7,0 33 7,0—8,5 24 8,5—10,0 9 Total N 120 a. Que porcentaje de clientes compro mas de 7,5 (miles de $) el año 2001?. Tabla de frecuencia para el año 2001
Intervalos
+
Marca de clase Frec. Absoluta Frec. Abs.Acum
Frec. Rel.Acum
1,0—2,5 1,75 14 14 11,7 2,5—4,0 3,25 18 32 26,7 4,0—5,5 4,75 22 54 45 5,5—7,0 6,25 33 87 72,5 7,0—8,5 7,75 24 111 92,5 8,5—10,0 9,25 9 120 100 Total 120 Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $7500, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 5. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula
− ( ) ∙100
7, 5 − 24, 72, 5 1,5, 7,0 72,5 (7,51,7,5 0) 24∙120100 72, 72,5 0,5 6,33206 79,1 30 + 1.2 3
Para este intervalo ocurre en el intervalo critico 5. Para este intervalo (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior), .
La interpretacion es: En el 2001, 79% de los clientes compraron menos de $7500 y por lo tanto 21% compraron mas de $7500 b. Suponiendo que las compras del año 2002 estan dadas por la funcion . Calcular el promedio y varianza para el año 2002. Tabla de frecuencia para el año 2002 Intervalos
4,2—6 6—7,8 7,8—9,6 9,6—11,4 11,4—13,2 13,2—15,0 Total
Marca de clase Frec. Absoluta Frec. Abs.Acum 5,1 6,9 8,7 10,5 12,3 14,1
14 18 22 33 24 9 120
14 32 54 87 111 120
1.2
Frec. Rel.Acum
11,7 26,7 45 72,5 92,5 100
14∙ 5 . 1 18∙ 6 . 9 22∙ 8 . 7 33∙ 1 0. 5 24∙ 1 2. 3 9∙ 1 4. 1 1155.6 ̅ ∑= 120 120
̅ 652.14
Para calcular la varianza c. Cual es el monto maximo del 25% de los clientes que compraron menos el año 2002?
∙ ∙ 30
Para calcular el percentil 25, calculemos primero el factor . En la columna busque el valor que supere 30. En este caso es el intervalo 2. Para este intervalo , , y reemplazamos en la formula
− 14 18, 1,8, 6 25∙ 100 − 61,8(3014 1816 ) 61,8(18) 61. 6 7.6
La interpretacion es: 25% de las familias gastan menos de $7600. Una respuesta menos precisa seria el valor maximo del intervalo 2 que es $7800
