Cátedra: Probabilidad y Estadística
Profesor: Lic. Oscar Raúl Zapata JTP: Lic. Andrea Roldán ATP: n!. "aleria Cordero
Taller # $ % &o'entos( ses!o y c)rtosis.
Ciclo Lecti*o: +, -%
Eercicio #$ /allar a tra*0s del cálc)lo de 'o'entos correspondientes( para el con)nto +( 1( 2( 3( -,:
1. La medi media a ari aritm tmét étic ica. a. 2. Desv Desvia iaci ción ón está estánd ndar ar.. 3. Determi Determinar nar sesg sesgo o (asime (asimetrí tría) a) y curt curtosi osiss
Recordemos que, de a reación entre os momentos naturaes reativos de una varia!e (
µ ´ r
) y os
momentos reativos centrados ( µ r ) "odemos cacuar, o que nos "ide a consigna. #rimero cacuamos entonces a "ro!a!iidad "ara cada vaor de varia!e ("($)) % &recuencias reativas' &n. "artir de "($), "odemos cacuar os momentos naturaes reativos de a varia!e'
µ´1 X 2 3 7 8 10
f 1 1 1 1 1 5
p(x) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1
x*p(x) 0,4 0,6 1,4 1,6 2 6
µ´2 µ´3 µ´4 x^2*p(x x^3*p(x x^4*p(x ) ) ) 0,8 1,6 3,2 1,8 5,4 16,2 9,8 68,6 480,2 12,8 102,4 819,2 20 200 2000 45,2 378 3318,8
n
1.
´= X
∑ x ∗f
% *+1% * %
1
Recordem rdemos os 6 Reco
que e sím!oo de a media muestra muestra es
´ X
y e
n
sím!oo que re"resenta re"resenta a media media de una "o!ación, "o!ación, es *. La media aritmética, coincide con e momento natura reativo de orden 1 → μ ´ 1= μ =6 n n
∑ (¿¿ i− x´ )
2
2.
1
= µ2 →
n −1 2 S 2 =¿
La variana coincide con e momento reativo centrado de orden 2, "odemos cacuara entonces
1
con os momentos naturaes de orden 1 y 2' 2
µ 2= μ´ 2− μ ´ 1 % -,2/
2
6 =¿
9,2
0omo a desviación estándar es a raí cuadrada de a variana' n n
∑ (¿¿ i−´ x )
2
1
n −1 S =√ ¿
=
√ µ2
√ 9,2 ≅ 3,0331
=
μ 2
√ ¿
3. a!emos que e coe&iciente de iser o coe&iciente momento de asimetría'
¿ ¿3 ¿ ¿
μ 3 α 3=
¿
→ μ3 = μ´ 3−3∗ μ∗ μ ´ 2+ 2∗ μ
3
%
345 6 3 7 8 7 -,2 9 2 7 (8)3 % - 3,6
9,2
√ ¿
¿ ¿3 ¿ ¿ −3,6 α 3= ¿ : coe&iciente de simetría de iser, o coe&iciente momento de asimetría es igua a 6 ;,12<. a!emos que e coe&iciente de curtosis de iser o coe&iciente momento de curtosis' μ2
√ ¿ ¿
4
¿ ¿ ¿
α 4=
μ4 ¿
2
→ μ 4= μ ´ 4− 4∗ μ∗ μ ´ 3 + 6∗ μ ∗ μ ´ 2−3∗ μ μ4 =¿
4
%
3315,5 6 - 7 8 7 345 9 8 7 (8) 2 7-,2 / 3 7 (8)- % 122
2
9,2
√ ¿
¿ ¿4 ¿ ¿ 122 α 4= ¿ : coe&iciente de curtosis de iser, o coe&iciente momento de curtosis es igua a 1,--1-. -. =nter"retar os resutados o!tenidos.
: vaor "romedio o media aritmética de a distri!ución es 8, con una desviación tí"ica de 3,;3, o que signi&ica que a distri!ución es !astante dis"ersa. Res"ecto de a asimetría o sesgo, "odemos concuir que a distri!ución tiene asimetría negativa, o sesgo negativo> es decir, "osee concentración de datos a a dereca. :n este caso que cada vaor tiene igua &recuencia a!souta (1), a asimetría está dada, "or e mayor ?"eso@ de os vaores 4, 5 y 1;. Recordemos que a asimetría se toma con res"ecto a os vaores centraes de a varia!e (Aedia). ;
2
3
8
4
5
1;
: vaor de curtosis 1,--1-, a ser menor a 3, re"resenta una distri!ución "aticBrtica, es decir a"astada o acatada. Eercicio #$ + 4e reali5a )na estadística( calc)lándose el p)ntae !lobal obtenido en pr)ebas de calidad. La distrib)ci6n de frec)encias a!r)padas( es la si!)iente: P)ntaes
7rec)encias
- 8. 4. 5. <.
5 1; 1 3; 2; 1
a. Caar e segundo 0oe&iciente de sesgo de #earson y e índice de ue. egundo coe&iciente de asimetría de #earson' 2º ∆ p %
x´ − Med S
2º ∆ p %
x´ − Med 7,408 −7,55 = ≅− 0,0978 puntos S 1,450
3
Endice de asimetría de ue' H =
H =
Q1+ Q3−2 Med 2 Med
=¿
^ +8,525− 2∗7,55 6,43 3 2∗7,55
≅
−0,5348
!. 0acuar e coe&iciente momento de curtosis. 0acuamos os momentos naturaes y reativos centrados' P)ntae s
7rec)encias
-,
5
,
1;
8,
1
4,
3;
5,
2;
<,
1
p(x) 0,081632 65 0,102040 82 0,153061 22 0,306122 45 0,204081 63 0,153061 22
x*p(x) 0,367346 94 0,561224 49 0,994897 96 2,295918 37 1,734693 88 1,454081 63 7,408163 1 27
98
x^2*p(x ) 1,653061 22 3,086734 69 6,466836 73 17,21938 78 14,74489 8 13,81377 55 56,98469 39
x^3*p(x ) 7,438775 51 16,97704 08 42,03443 88 129,1454 08 125,3316 33 131,2308 67 452,1581 63
x^4*p(x ) 33,47448 98 93,37372 45 273,2238 52 968,5905 61 1065,318 88 1246,693 24 3680,674 74
μ2
√ ¿
¿ ¿4 ¿ ¿
α 4=
μ4
¿ 2
→ μ 4= μ ´ 4− 4∗ μ∗ μ ´ 3 + 6∗ μ ∗ μ ´ 2−3∗ μ μ4 =¿
α 4=
4
%
385;,846 - 7 4,-;51 7 -2,15 9 8 7 (4,-;51) 2 78,<5-8 / 3 7 (4,-;51)- % 10,5167
10,5167
( 1,4504 )4
≅
2,3761
c. Fra&icar a distri!ución e inter"retar os resutados o!tenidos.
-
De os resutados o!tenidos a cacuar am!os coe&icientes de asimetría, "odemos concuir que a distri!ución es asimétrica negativa, es decir tiene un sesgo de ado iquierdo y concentra sus datos a a dereca de a media. : segundo coe&iciente de #earson es más adecuado que e Endice de ue, éste Btimo no es tan e$acto "ara cacuar asimetría en grado eve, como en e caso de esta varia!e. :n términos de a varia!e "odemos decir que e$iste mayor cantidad de "untaGes su"eriores a 4,-; "untos. : coe&iciente de curtosis de iser, indica que a distri!ución es evemente a"anada, o cua muestra una varia!e, !astante dis"ersa. Eercicio #$ 1 A la finali5aci6n del c)rso 8nfor'ática e nternet8 se reali56 )n e9a'en tipo test a los 1,, al)'nos obteni0ndose la si!)iente tabla referente al nú'ero de pre!)ntas acertadas: #$ pre!)ntas acertadas
a. Caar distri!ución.
e
coe&iciente ;/<
μ 2
√ ¿ ¿ ¿3 ¿ ¿
μ 3 α 3=
¿
→ μ3 = μ´ 3−3∗ μ∗ μ ´ 2+ 2∗ μ μ3=¿
3
#$ de al)'nos
1;
1;/1-
2;
1/1<
8;
2;/2-
1;;
2/2<
4;
3;/3-
3;
3/3<
1;
momento de sesgo y gra&icar a
%
1-2;5,1; 6 3 7 22,-188 7 -4,-1 9 2 7 (22,-188) 3 % - 85,01157
45,03472
√ ¿
¿ ¿3 ¿ ¿
α 3=
−85,01157 ¿
Atenci6n: Recuerden que "ara gra&icar, ay que aGustar as &recuencias, cuando e móduo de os intervaos
no es igua en todos eos. !. 0oncuye so!re a inter"retación de os resutados. La distri!ución de esta varia!e, tiene un eve sesgo a a iquierda, esto quiere decir, que e nBmero de res"uestas acertadas de a mayoría, &ue evemente su"erior a a media, (22,-1 res"uestas acertadas). Eercicio #$ % La si!)iente tabla( re!istra la distrib)ci6n de acciones de )na sociedad e'presarial. Acciones Accionista s
;/-<
;/<<
1;;/1-<
1;/1<<
2;;/2-<
2;/2<<
3;;/3-<
3;/3<<
-;;/--<
23
42
82
-5
1<
1-
5
4
a/ Caar os momentos de sesgo y curtosis. 0onstruyo a ta!a' µ´1 Acciones Acciones (x)
Accionistas (f)
0
49
24,5
23
50
99
74,5
72
100 149
124,5
62
150 199
174,5
48
200 249
224,5
19
250 299
274,5
14
300 349
324,5
8
350 399
374,5
7
400 449
424,5
5
n=
258
p(x) = fr 0,089147 29 0,279069 77 0,240310 08 0,186046 51 0,073643 41 0,054263 57 0,031007 75 0,027131 78 0,019379 84
x*p(x) 2,184108 53 20,79069 77 29,91860 47 32,46511 63 16,53294 57 14,89534 88 10,06201 55 10,16085 27 8,226744 19 145,2364 1 34
µ´2
µ ´3
µ ´4
x^2*p(x) 53,51065 89 1548,906 98 3724,866 28 5665,162 79 3711,646 32 4088,773 26 3265,124 03 3805,239 34 3492,252 91 29355,48 26
x^3*p(x) 1311,011 14 115393,5 7 463745,8 52 988570,9 07 833264,5 98 1122368, 26 1059532, 75 1425062, 13 1482461, 36 7491710, 44
x^4*p(x) 32119,773 01 8596820,9 48 57736358, 54 17250562 3,3 18706790 2,3 30809008 7 34381837 6,7 53368576 8,9 62930484 6,9 22408379 04
8
μ 2
√ ¿ ¿ ¿3 ¿ ¿ μ 3 α 3=
¿
→ μ3 = μ´ 3−3∗ μ∗ μ ´ 2+ 2∗ μ μ3=¿
3
%
7491710,44 – 3 * 145,236434 * 29355,4826+ 2 * (145,236434) 3 = 828378,43
90,8947
√ ¿
¿ ¿3 ¿ ¿
α 3=
828378,43
¿
: coe&iciente de simetría de iser, o coe&iciente momento de asimetría es igua a 1,1;3;<28. μ2
√ ¿ ¿
4
¿ ¿ ¿
α 4=
μ4 ¿
2
→ μ 4= μ ´ 4− 4∗ μ∗ μ ´ 3 + 6∗ μ ∗ μ ´ 2−3∗ μ μ4 =¿
2240837904 6
4
%
-7145,236434 77491710,44 987(145,236434 )2 729355,4826 / 37
(145,236434 )- % 269018706 90,8947
√ ¿
¿ ¿4 ¿ ¿
α 4=
269018706
¿
: coe&iciente de curtosis de iser, o coe&iciente momento de curtosis es igua a 3,<-115.
4
!/ Fra&icar convenientemente.
c/ naiar os resutados y concuir. #odemos concuir que a distri!ución es asimétrica "ositiva, es decir tiene un sesgo de ado dereco y concentra sus datos a a iquierda de a media. :n términos de a varia!e "odemos decir que e$iste mayor cantidad de accionistas que "oseen menos de 1- acciones. : coe&iciente de curtosis de iser, indica que a distri!ución es evemente "untiaguda, o cua muestra una varia!e, cuyos datos, se encuentran !astante concentrados arededor de a media. Eercicio #$ A contin)aci6n se presentan los diá'etros en centí'etros de )na ')estra de 1, en!ranaes:
-.;1 3.<< 3.<;
-.;; 3.<5 3.<
-.;2 3.<4 3.<5
-.;2 -.;; 3.<3
-.;3 -.;2 3.<4
-.;; -.;1 -.;;
3.<5 -.;2 3.<<
3.<< -.;; -.;2
3.<< -.;1 -.;;
-.;1 3.<< 3.<4
a/ gru"ar os datos. #ara agru"ar' cacuamos' rango% ,(-1 HI turges% ,<1
≅
("odemos tomar 8 tam!ién, "ero e móduo me queda muy "equeJo y de 3
decimaes) Aóduo% ,(,1
µ´1
µ ´2
µ ´3
µ ´4
5
i!"etr i!"etros os =x
f
3,9 3,93
3,915
1
3,93 3,96
3,945
2
3,96 3,99
3,975
6
3,99 4,02
4,005
4,02 4,05
4,035
p(x)=fr 0,033333 33 0,066666 67
0,2 0,666666 20 67 0,033333 1 33 30
1
x^2*p(x x^3*p(x x^4*p(x x*p(x) ) ) ) 0,510907 2,000202 7,830794 0,1305 5 86 21 4,093075 16,14718 0,263 1,037535 58 31 12,56149 49,93195 0,795 3,160125 69 01 42,82686 171,5216 2,67 10,69335 68 01 0,542707 2,189824 8,835942 0,1345 5 76 92 15,94462 63,67146 254,2674 3,993 5 68 72
!/ 0acuar a media aritmética. #or de&inición' n
.
´= X
∑ x ∗f
% *+1% * % 3,##3 c"$ Recordemos que e sím!oo de a media muestra es
1
n
´ X y e sím!oo que re"resenta a media de una "o!ación, es *. La media aritmética, coincide con e momento natura reativo de orden 1 → μ ´ 1= μ =3,993 c/ 0acuar a desviación estándar. n n
∑ (¿¿ i−´ x )
2
.
1
= µ2 →
n −1 2 S 2 =¿
La variana coincide con e momento reativo centrado de orden 2, "odemos cacuara entonces con os momentos naturaes de orden 1 y 2' 2
µ 2= μ´ 2− μ ´ 1 % 15,944625 /
3,993
2
=¿
0,000576cm2
0omo a desviación estándar es a raí cuadrada de a variana' n n
∑ (¿¿ i−´ x )
2
1
n −1 S =√ ¿
=
√ µ2
=
√ 0,000576 ≅ 0,024 cm.
<
d/ 0uá es e diámetro corres"ondiente a < K de os engranaGes
0omo os datos están agru"ados, necesitamos cacuar e "ercenti <'
#<% Fi
(
− ( ) + 95 n
F a−1
100
)
28,5 −9
∗c =¿
f
20 3,99 +¿
)7;,;3% 4,01925cm.
e/ 0acuar os coe&icientes de' asimetría de ue MoNey y curtosis de a muestra.
#ara e cácuo de coe&iciente de asimetría de ue MoNey, necesitamos cacuar os 0uarties 1, 2 y 3.
O1% Fi
(
− ( ) + n
F a−1
4
)
∗c =¿
f
PO1% 3;-%7,5
7,5−3 30 Q 1 =3 , 96 +¿
O2% Fi
(
)7;,;3% 3,9645cm.
− ( ) + 2n
F a− 1
4
)
∗c =¿
f
PO2% 273;-%15
15− 9 30 Q 2 =3 , 99 +¿
O3% Fi
(
)7;,;3% 3,996cm.
− ( ) + 3n
F a−1
4
)
∗c =¿
f
PO3% 373;-%22,5
22,5 −9 30 Q 3 =3 , 99 +¿
As =
)7;,;3% 4,0035cm.
( Q −Q ) −( Q −Q ) ( Q −Q ) 3
2
3
2
1
1
=
( 4,0035 −3,996 )−( 3,996− 3,9645 ) ( 4,0035 −3,9645 )
≅
-0,61538 cm.
1;
0urtosis' La consigna no es"eci&ica con cua índice cacuar. e "uede eegir. μ2
√ ¿
¿ ¿4 ¿ ¿
α 4=
μ4
¿ 2
→ μ 4= μ ´ 4− 4∗ μ∗ μ ´ 3 + 6∗ μ ∗ μ ´ 2−3∗ μ μ4 =¿
4
%
254,267472 6 -73,993 763,6714668 987(3,993)2 715,944625 / 3 7 (3,993)- %
0,000001726
0,0024
√ ¿
¿ ¿4 ¿ ¿
α 4=
0,000001726
¿
&/ Reaiar un anáisis de cada resutado y redactar as concusiones corres"ondientes.
: diámetro "romedio de os engranaGes es
3,993
cm. con una desviación con res"ecto a esa
media, de ;,;2- cm. : <K de os engranaGes "oseen un diámetro menor o igua a -,;1<2 cm. De os resutados o!tenidos a cacuar e coe&iciente de asimetría, "odemos concuir que a distri!ución es asimétrica negativa, es decir tiene un sesgo de ado iquierdo y concentra sus datos a a dereca de a media. :n términos de a varia!e "odemos decir que e$iste mayor cantidad de diámetros su"eriores a 3,<<3 cm. : coe&iciente de curtosis de iser, indica que a distri!ución es e"tocBrtica, o cua muestra una varia!e, con &recuencias concentradas cercanas a a media de a varia!e.
11
g/ Fra&icar a distri!ución.
Eercicio #$ ; A contin)aci6n se presenta la distrib)ci6n de edades de los e'pleados de )na e'presa. 4e conoce <)e la edad de )bilaci6n está dada por los ; a=os de edad. Edad
E'pleados
Aás de 15 Aás de 2 Aás de 3 Aás de - Aás de
15182 1183 24
#rimero necesitamos construir nuevamente a ta!a con os intervaos y &recuencias corres"ondientes, a cua quedaría de a siguiente manera. P!servemos que os ?em"eados@ son en este caso as &recuencias a!soutas acumuadas, y están "resentadas en orden decreciente'
%&'o 7 10 10 10 10
'a' 19 26 36 46 56
25 35 45 55 65
'a' (X") 22 30,5 40,5 50,5 60,5
+a 184 162 114 63 27 n=
f 22 48 51 36 27 184
+a 22 70 121 157 184
a/ 0acuar a media aritmética.
12
n
´= X
∑ x ∗f
( 22∗22 ) + ( 30,5∗48 ) + .. +( 60,5∗27 )
%
1
184
n
% 40,57 años
!/ 0acuar a desviación estándar. n n
∑ (¿¿ i−´ x )
2
1
n −1 S =√ ¿
=
√ µ2
=
√ 145,26403 ≅ 12,0525 a!os.
c/ Oué com"ortamiento tiene e ;K centra de os datos
#ara cacuar e orden de os cuarties 1 y 3, necesitamos "rimero, recacuar as recuencias a!soutas acumuadas, en orden creciente.
O1% Fi
(
− ( ) + n
4
F a−1
)
∗c =¿
f
PO1% 15--% 46
46 −22 48 Q 1 =25,5 +¿
O3% Fi
(
)71;
− ( ) + 3n
¿ 30,5 a!os
F a−1
4
f
)
∗c =¿
PO3% 3715--%138
138 −121 36 Q 3 = 45,5+¿
)71;%
50,2 2^ a!os
d/ 0acuar os coe&icientes' 2I coe&. De asimetría de #earson, simetría de e$ce y curtosis de a muestra.
egundo coe&iciente de asimetría de #earson' 2º ∆ p
%
x´ − Med S
´ =¿ X 40,57 años
13
S =12,0525 a!os.
Aed % 39,8137255años
2º ∆ p
%
x´ − Med 40,57−39,8137 = ≅ 0,06280219 S 12,0525
coe.ciente 'e asi"etr/a 'e xce, s&o o tii0a"os en 'atos no arpa'os$ n este caso, no po'e"os tii0aro$ 0oe&iciente de curtosis' : "ro!ema no es"eci&ica índice. #uedo cacuaro con e 0oe&iciente de Qeey, deue o e de iser. 0oe&iciente de 0urtosis de Qeey' " =
(Q3 −Q1)/ 2 −0,263=¿ #90− #10
Q%; mesocBrtica > Q; Le"tocBrtica> QS; "aticBrtica
O1% 30,5 años O3% 50,2222222 años #1;% 24,3545455 años #<;% 58,6851852 años Q 3 −Q1
Q%
Q%
2
# 90− #10
− 0,263=¿
(50,2222222 a!os−30,5 a!os )/ 2 − 0,263=¿ 58,6851852 a!os −24,3545455 a!os
-24,44951137
0oe&iciente de 0urtosis de ue'
1-
Q 1,9∗(¿ ¿ 3− Q 1)=¿
Q%1 mesocBrtica > Q1 Le"tocBrtica> QS1 "aticBrtica
# 90− #10
" =
" =
¿
58,6851852 a!os− 24,3545455 a!os 1,9∗( 50,2222222 a!os −30,5 a!os )
=¿
0,916162365
0oe&iciente de iser' μ2
√ ¿
¿ ¿4 ¿ ¿
α 4=
α 4
%3 mesocBrtica >
α 4
3 Le"tocBrtica>
α 4
S3 "aticBrtica
μ4
¿
α 4=¿
-4,58562E+22
e/ Reaiar un anáisis de cada resutado y redactar as concusiones corres"ondientes.
La edad "romedio de os em"eados es
≅
40,6
aJos con una desviación tí"ica, con res"ecto a
esa media, de 12 aJos. : ;K centra de as edades de os em"eados, varían entre 3;, y ;,2 aJos. De os resutados o!tenidos a cacuar e coe&iciente de asimetría, "odemos concuir que a distri!ución es evemente asimétrica "ositiva, es decir tiene un "equeJo sesgo de ado dereco y concentra sus datos a a iquierda de a media :n términos de a varia!e "odemos decir que e$iste una mayor cantidad de edades menores a -;,8 aJos Todos os coe&icientes de curtosis cacuados, indican que a distri!ución es "aticBrtica, o cua se con&irma en e grá&ico.
&/ Fra&icar a distri!ución.
1
#ota: Recuerden
corregir as &recuencias "ara gra&icar. : "rimer intervao tiene móduo di&erente.
Eercicio #$ 2
Las te'perat)ras 'edias re!istradas d)rante el 'es de oct)bre en &endo5a( en !rados centí!rados( están dadas por la si!)iente tabla: Te'perat)ra #.> de días
13 1
11
1 2
18 3
14 8
15 5
1< -
2; 3
21 2
22 1
a/ 0onstruir a re"resentación grá&ica corres"ondiente.
!/ 0acuar as medidas de tendencia centra.
´ =¿ X 17,774
o
18
Aed % 17,81 o Aod% 17,83 o
!/ 0acuar a desviación estándar. S =2,011 $ c/ P!servando e grá&ico, qué ti"o de simetría (determinar e signo) y curtosis se "uede estimar "ara a distri!ución simetría negativa s% (/) 0urtosis' mesocBrtica o "aticBrtica c/ Oué com"ortamiento tiene e ;K centra de os datos
O1% 16,625 o O3% 19,0625 o o
Q3-Q1=2,4345
d/ 0acuar os coe&icientes de asimetría y curtosis de a muestra. μ 2
√ ¿
¿ ¿3 ¿ ¿
μ 3 α 3=
¿
α 3 ≅
-0,165o
μ2
√ ¿ ¿
4
¿ ¿ ¿
α 4=
μ4 ¿
14
α 4 ≅
2,94
o
e/ naiar os resutados y descri!ir concusiones.
La tem"eratura media "ara e mes de octu!re en Aendoa es de
≅
17,74 $
con una desviación
tí"ica, con res"ecto a esa media, de 2,;11 $ : ;K de as tem"eraturas medias de mes de octu!re, no su"era 14,5 grados, siendo a tem"eratura "romedio que más se "resenta durante e mes de octu!re en Aendoa, 14,53 grados. : ;K centra de as tem"eraturas, varían con un rango de 2,<- grados, es decir, entre.18,83 y 1<,;8 grados. De os resutados o!tenidos a cacuar e coe&iciente de asimetría, "odemos concuir que a distri!ución es asimétrica negativa, es decir tiene un sesgo de ado iquierdo y concentra sus datos a a dereca de a media. unque a asimetría, no es muy grande, "uede o!servarse caramente, en e grá&ico. Ho ocurre o mismo con a curtosis, cuyo resutado es menor a 3 ("aticBrtica) "ero muy cercano a una curva norma (mesocBrtica). i nos quedamos soamente con a o!servación de grá&ico, "odríamos con&undirnos en a concusión.
15
