Diseño de Recipientes a Presión y Tuberías Esfuerzos en Placas planas Ref.: Jhon F. Harvey, P.E. “Theory and Design of Pressure Vessels” 2da. Ed. , Edit. Chapman & Hall, New York, 1991
Ing. Miguel Alvarez
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Comportamiento de las Placas Planas.
Las placas planas pueden ser consideradas como vigas de 2 dimensiones. Se usan como tapas den recipientes o brida ciega en agujeros de registro. Se flexiona en 2 planos perpendiculares. Fig. 3.1 carga vs deflexión. De O a A deflexión proporcional a la carga y sólo es debida a la flexión. Esta es la zona que será discutida. De A hasta B, ocurre la fluencia sobre el espesor total de la placa.
El esfuerzo elástico es pequeño comparado con el resto.
Ing. Miguel Alvarez
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Comportamiento de las Placas Planas
Las placas se pueden clasificar en 3 grupos: 1. Placas gruesas, en las cuales es importante el esfuerzo cortante, similar a una viga de alma pequeña. 2. Placas de mediano espesor, en las cuales el esfuerzo flector es el más importante. 3. Placas delgadas, cuyos esfuerzos dependen principalmente de las direcciones de la tensión acompañada de contracción en su plano medio. En recipientes a presión son muy usadas las placas circulares, tanto en: tapas de cilindros o tapas semi-esféricas, para el acceso por mantenimiento.
Ing. Miguel Alvarez
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Placas: flexión en una dirección
Todas las líneas rectas que son paralelas al eje “z” en una sección transversal curva permanecen normal a os lados de la sección.
Su radio de curvatura será: (3.2.3) Ing. Miguel Alvarez
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Placas: flexión en una dirección Placa de espesor constante h
Fig. 3.3a, Flexión en un plano, producida por momento en el borde largo o carga normal a la superficie. Suficiente considerar una viga de ancho unitario de sección rectangular y largo a . En Fig. 3.3b, de la condición de continuidad no hay distorsión en la viga de ancho unitaria durante la flexión. Ambos lados de la fibra ss esta sometida al esfuerzo longitudinal de tracción σ x y a un esfuerzo de tracción lateral σ z lo suficiente para contrarrestar la contracción. Ing. Miguel Alvarez
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Placas: flexión en una dirección Placa de espesor constante h
Asumiendo que la viga unitaria permanece plana durante la flexión, la deformación unitaria en x e z , en Fig. 3.3b, será:
=
= 0
(3.2.4)
En dichas direcciones los esfuerzos serán, de Ec. 2.3.4 y 2.3.5:
= = − = − =
y
− −
(3.2.5) (3.2.6)
El momento flector en cualquier sección transversal será:
+/ = �−/ =
�+ = ℎ3 1 − 12 1 /
/
Ing. Miguel Alvarez
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Placas: flexión en una dirección Placa de espesor constante h
Haciendo Ec. (3.2.8) da (3.2.9),
D =
=
= = − −
(3.2.8)
(3.2.9)
rigidez a la flexión de la placa y toma el lugar de E I en la fórmula de la viga. Fig. 3.3, a lo largo del borde libre a de la placa no hay momentos externos aplicados y ninguno se genera por la restricción lateral de la deformación. Ver Sección A-A de Fig. 3.3a, notar que adicionalmente el borde de la placa también se curva. El radio de curvatura del borde libre es dado aproximadamente por Ec. (3.2.3). La parte fuera de los bordes libres se flexiona en forma cilíndrica y su deflexión puede ser calculada por Ec. 3.2.8. Para pequeñas deflexiones,
=
(3.2.10) Ing. Miguel Alvarez
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Placas: flexión en dos direcciones Placa de espesor constante h
Fig. 3.4 a: placa sometida a momentos uniformes por unidad de longitud M 1 y M 2 en bordes paralelos. El plano medio de la placa (superficie neutra) no esta sometida a deformación cuando la placa es ligeramente curvada con una pequeña deflexión w. Como w depende de x e y , la 1ra. derivada dará la pendiente en dichas direcciones y la 2da. derivada dará las curvaturas:
= , =
(3.3.1) Ing. Miguel Alvarez
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Placas: flexión en dos direcciones Placa de espesor constante h
r 1 :
radio de curvatura de superficie neutra en secciones paralelas al plano x z y r 2 : radio de curvatura en secciones paralelas al plano y z . En Fig. 3.4 se indican los sentidos positivos, el plano x y pasa por la mitad de la placa (superficie neutra). Fig. 3.4b, se asume que durante la flexión del elemento (dx-dy) los bordes rotan alrededor del eje neutro n-n. Momentos aplicados en Fig.3.4a originan compresión en la parte superior y tracción en la parte inferior del elemento. Las deformaciones unitarias del elemento abcd a una distancia z de la superficie neutra y los respectivos esfuerzos (de Ec. 2.3.4 y 2.3.5) serán:
= = −
y
=
+
(3.3.2) (3.3.3) Ing. Miguel Alvarez
= −
+
(3.3.4) 9
Placas: flexión en dos direcciones Placa de espesor constante h
Fig. 3.4 a y b, por equilibrio de momentos, se tiene:
∫−+ = / /
(3.3.6)
+
=
(3.3.7)
+
=
(3.3.8)
Estas ecuaciones pueden ser escritas en función de la deflexión w, reemplazando los radios de curvatura de Ec. (3.3.1),da
/ /
Reemplazando por los esfuerzos de las Ec. (3.3.3) y (3.3.4),da
∫−+ =
(3.3.5)
+
=
(3.3.9)
+
=
(3.3.10)
Estas ecuaciones corresponden a una viga recta. Si M 1=M 2=M la curvatura será igual en x e y, la deflexión será una superficie esférica con curvatura (1/r) y estará dada por Ec (3.3.7), 1/r=M/D(1+µ) (3.3.11) Será independiente si la placa es cuadrada, rectangular o redonda. Ing. Miguel Alvarez
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Esfuerzos térmicos en Placas
Si la expansión térmica no esta restringida, en una placa calentada uniformemente a través de su espesor no se producirán esfuerzos térmicos. Si la placa no es calentada uniformemente, existirá una distribución lineal de temperatura través del espesor y por lo tanto habría un ∆T, correspondiendo una dilatación por flexión y como los bordes están libres se deformará como superficie esférica. La diferencia entre la dilatación máxima o mínima y la dilatación de la superficie media es α∆T/2 y la curvatura resultante será:
∆ =
(3.4.1)
= ∆ (3.4.2)
Observar que la deflexión es pequeña comparada con el espesor. Si los bordes son empotrados (no pueden girar libremente), se generaran momentos flectores alrededor de los bordes de una magnitud suficiente como para eliminar la curvatura por ∆T. Ver (3.4.2) Ing. Miguel Alvarez
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Esfuerzos térmicos en Placas
E
Esta es la misma ecuación del esfuerzo térmico en cilindros (2.12.22). Ec. (3.4.4) desarrollada para placas planas, puede ser usada con suficiente aproximación para recipientes cilíndricos y esféricos. También, aunque Ec. (3.4.4) muestra que el esfuerzo térmico es independiente del espesor de la placa, en la práctica es probable que ∆T sea mayor para placas gruesas que para delgadas. Ing. Miguel Alvarez
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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante
La deflexión de una placa circular con carga uniforme sobre un círculo central y perpendicular a la placa, depende de una sola variable x . Fig. 3.5 representa una sección diametral con eje de simetría O Z y w la deflexión de cualquier punto A a una distancia x del eje. La pendiente en A , para pequeños valores de w es = - d w / d x y la curvatura de la placa en la sección diametral x z es, (3.5.1)
Ing. Miguel Alvarez
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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante
Fig. 3.5, r 2 : radio de curvatura en dirección perpendicular al plano x z , puede notarse que la línea recta original m n permanece recta después de la flexión, pero está inclinada un ángulo respecto al eje central o z ; es decir la superficie cilíndrica ( m n vertical) en la placa no esforzada que tiene la línea o z . Para esta geometría, resulta una superficie cónica con vértice en B. Entonces AB representa el radio r2 y de la Fig. 3.5 da: (3.5.2) Despreciando el efecto de corte sobre la flexión y sustituyendo loa valores de las curvaturas de Ec. 3.5.1 y 3.5.2 en Ec. 3.3.7 y 3.3.8, da (3.5.3) (3.5.4) Ambos momentos son por unidad de longitud, M 1 actúa sobre las secciones cilíndricas (mn de Fig. 3.5) y M 2 actúa sobre secciones diametrales xz de Fig. 3.6. Ing. Miguel Alvarez
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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante
Las Ec. 3.5.3 y 3.5.4 dependen de la variable φ y puede ser calculada por equilibrio del elemento de la Fig. 3.6. Según el sentido de momentos, parte superior esta a compresión y parte inferior esta a tracción. El plano neutro (mitad de h) en estado no deformado. Momento total actuante en lado mmnn es, M 1 x d (3.5.5) Momento total actuante en lado m1m1n1n1 es,
1+
1
+
(3.5.6) Ing. Miguel Alvarez
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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante
Despreciando términos de 2do. orden en (3.5.6),
+ + 1
1
(3.5.7)
Momento total en lados mnm1n1 es M 2dx y por el ángulo d φ se origina un momento resultante en el plano xz, además, considerando que para ángulos pequeños sen α ~ α rad., se tiene: 2
1
sin 2
2
=
2
(3.5.8)
Debido a la simetría no existen fuerzas cortantes en los lados mm1nn1, pero existe fuerza cortante V por unidad de longitud sobre los lados mmnn siendo el total Vxd θ. Para el lado m1m1n1n1, la fuerza cortante total es,
+ + Ing. Miguel Alvarez
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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante
Las fuerzas cortantes original un momento resultante en el plano xz,
2
+ +
+
1+
1
+ = 0 2
2
(3.5.9)
(3.5.11)
Reemplazando las expresiones para los momentos Ec. 3.5.3 y 3.5.4 en 3.5.11 se obtiene,
∅ + 1 ∅ ∅ = 2
2
Despreciando términos de 2do. Orden da: (3.5.10) Por equilibrio de momentos (Ec. 3.5.5, 3.5.7, 3.5.8 y 3.5.10), se tiene:
2
(3.5.12)
Teniendo en cuenta el equilibrio de fuerzas, V se puede calcular y con la Ec. 3.5.12 se puede determinar la pendiente y la deflexión w de la placa. Ing. Miguel Alvarez
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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante
De lo anterior, si una placa circular esta sometida a una carga uniforme q en el círculo de radio x más una carga P aplicada en el centro, entonces la fuerza de corte V por unidad de longitud circunferencial sobre una sección de radio x debe ser igual a la carga total dividida entre la longitud de circunferencia de radio x .
=
+ = + 2 2 2 2
(3.5.13)
Reemplazando en Ec. 3.5.12,
∅ + 1 ∅ ∅ = 1 + 2 2
(3.5.14)
1 ( ∅)
(3.5.15)
2
2
2
=
1
+ 2 2
Ing. Miguel Alvarez
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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante
La primera integral da, con la constante de integración C 1:
1
∅ =
2
1
4
+
2
+
(3.5.16)
1
La segunda integral da, con la constante de integración C 2:
+ + ∅ = 16 1 2 2 4 2 2 2 1 + + ∅ = 16 2 8 2
4
2
2
3
1
2
(3.5.17) (3.5.18)
Para pequeñas deflexiones φ = - dw/dx y la ecuación resulta,
= + 16 8 3
2
1 1
2
2
Ing. Miguel Alvarez
(3.5.19)
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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante
Integrando nuevamente da,
= 64 + 8 4
2
1
1
4
2
+ 2
3
(3.5.20)
Esta es la ecuación general para la deflexión de una placa circular sometida a una carga simétrica. Las constantes de integración C1, C2, y C3 se determinan con las condiciones de borde, para cada caso particular de carga.
Ing. Miguel Alvarez
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