Esfuerzos en Recipientes de Paredes Delgadas

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE CHOTA

Escuela profesional de ingeniería civil

 Título: Esfuerzos en Recipientes Tubulares y Curva Elástica

Curso: Mecánica de Solidos

Alumno: rigoín rigoín !oselito

"ocente: Ing.

 

#ec$a: 25 de septiembre 2015

I.

ESFUE ESFUERZ RZOS OS EN RECIP RECIPIEN IENTE TES S DE DE PAREDE AREDES S DEL DELGAD GADAS AS (TUBULARES)

%os recipientes a prisi&n son estructuras cerradas 'ue encierran lí'uidos( gases a prisi&n( como en casos de los tan'ues( tubos o cabinas de ve$ículos espaciales) "e acuerdo a su envergadura podemos reconocer recipientes de pared delgada y recipientes de pared gruesa) Se consideran recipientes de pared delgada a a'uellos en 'ue la relaci&n del espesor de la pared al radio de curvatura no debe e*ceder de +(,+ apro*imadamente) -na de las aplicaciones de los esfuerzos normales repartidos uniformemente se presenta en el estudio de cilindros y esferas de paredes delgadas sometidos a presi&n interna)

ESFUERZOS EN CILINDROS: En las paredes de un recipiente como el 'ue se muestra en la .gura sometida a presi&n interna( se generan dos tipos de esfuerzos( uno longitudinal σ1 a lo largo de su generatriz( y otro tangencial σ2 en sentido transversal a la generatriz

σ1: Representa los esfuerzos circunferenciales( de aro o tangenciales a la circunferencia del recipiente)

σ2: Representa los esfuerzos longitudinales)

En la .gura se muestra un recipiente cilíndrico de radio r y espesor de la pared t sometido a una presi&n interna

/ara determinar los esfuerzos tangencial y longitudinal( realizaremos un corte imaginario al recipiente de modo 'ue 'uede dividido a lo largo de su generatriz en dos partes como se muestra en la .gura)

Es una vista de un corte transversal a la generatriz y el e'uilibrio nos permite formular las ecuaciones estáticas)

rd0

d0 /

r

0

σ t t  σ 

∑  F v = 0 π 

∫ 

2σ t  Lh = Pr d θ ( senθ ) L 0

π 

2σ t  Lh = Pr  L

∫ 

 sen θ d θ  =

Pr  L (− cos θ )]π 0 = 2 Pr  L

0

σ  t 

=

Pr 

h

Esfuerzo tangencial)

/ara determinar el esfuerzo longitudinal en el recipiente cilíndrico utilizamos el siguiente diagrama considerando el e'uilibrio)

∑ Fh = 0 2

 P π r 

=

σ  L 2π rh

σ   L

σ   L

=

=

Pr  2h σ  t 

2

Esfuerzo longitudinal)

(E r!"#$#!%t! t#!%&! ' ''r '  'r* &! +, %*#t,&) Esto signi.ca 'ue un recipiente cilíndrico( ba1o la acci&n de una presi&n interna p sufrirá sus mayores esfuerzos en direcci&n circunferencial) "e producirse una falla producto de la sobrepresi&n interna en un recipiente cilíndrico( se generará una grieta a lo largo del cilindro)

ESFUERZOS EN RECIPIENTES ESF-RICOS %os esfuerzos en los recipientes esf2ricos son todos tangenciales) En la .gura se muestra un recipiente esf2rico de radio r y espesor de pared t sometido a una presi&n interna P de un 3uido)

%os esfuerzos de membrana son iguales en direcciones perpendiculares y se calculan mediante la siguiente ecuaci&n)

maginemos un corte a la esfera en dos $emisferios y consideremos el e'uilibrio de uno de ellos)

∑  Fh = 0 2

σ  t  π rh

σ  t 

=

=  P π r 

2

Pr  2h

E !+,!r/ !% ' !+!r' !+ ' 0#t'& &! !+,!r/ !% ! "##%&r II.

DEFORMACIÓN EN VIGAS (CURVA ELSTICA)

"enominamos línea elástica a la curva 'ue forma la .bra neutra una vez cargada la viga( considerando 'ue 2sta se encontraba inicialmente recta)

 %a curva elástica formada por 3e*i&n del e1e longitudinal de una viga recta( la cual se debe a la aplicaci&n de cargas transversales en el plano *y sobre la viga)

El estudio de las deformaciones de una pieza elástica( es de capital importancia en la Resistencia de Materiales( ya 'ue todos los m2todos de resoluci&n de estructuras $iperestáticas( de manera más o menos inmediata( se fundan en la determinaci&n de a'uellas)

ECUACIÓN DE LA ELSTICA

Concretamente la ecuaci&n de la elástica es una ecuaci&n para el campo de desplazamientos 'ue sufre el e1e de la viga desde su forma recta original a la forma curva o 3ectada .nal) %a ecuaci&n de la elástica es la ecuaci&n diferencial( para una viga de e1e recto( permite encontrar la forma concreta de la curva elástica) /ara una viga de material elástico lineal sometido a pe'ue4as deformaciones la ecuaci&n diferencial de la elástica viene dada por:

"&nde:  representa la 3ec$a( ordenada 5e1e y6 o desplazamiento vertical( respecto de la posici&n sin cargas) Es la abscisa 5e1e 76 sobre la viga)  8Es el momento 3ector sobre la abscisa ) 8 es el segundo momento de área o momento de inercia de la secci&n transversal) 8 es el m&dulo de elasticidad del material) /ara deformaciones mayores se obtiene la ecuaci&n más e*acta:

%a ecuaci&n de la elástica puede ser reescrita en funci&n de la carga distribuida q5 x 6 sobre la viga:

Esta 9ltima ecuaci&n es interesante por'ue su generalizaci&n a elementos

bidimensionales

es

precisamente

la

ecuaci&n

fundamental de gobierno de placas o ecuaci&n de %agrane para placas delgadas:

"onde 3e*i&n)

 

E!0$

es la rigidez de una placa delgada en

iga deformada por 3e*i&n) /ara una viga elástica en la 'ue se aplican s&lo momentos M, y M;( la forma de la curva elástica depende s&lo de dos parámetros

independientes( la forma apro*imada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de estos momentos)

%a soluci&n analítica de la ecuaci&n anterior con cual'uiera de las dos posibles elecciones de contorno( se obtiene como:

Mt&+ &! C3", &! &!r0'"#%!+ !% 4#*'+. E*isten diferentes m2todos para abordar el análisis de la deformaci&n( si bien todos( presentan su mecánica propia( a la vez tienen una partida com9n( 'ue es 1ustamente el análisis de la elástica)

Mt& &! 00!%t Establece 'ue la curvatura de línea elástica está en funci&n del momento 3ector de la viga)

Pr#0!r t!r!0' &! 05r

El ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cual'uiera A y <( es igual al área de momento 3ector entre esos dos puntos( dividido por el E .

S!*,%& t!r!0' &! 05r %a distancia de un punto < de la elástica de una viga( medida perpendicularmente a la posici&n original $asta la tangente trazada por otro punto A de la elástica( es igual al momento del área de momento 3ector entre los puntos( respecto a la ordenada 'ue pasa por <( dividido por E)

Mt& &! #%t!*r'"#6% Este m2todo nos permite calcular las pendientes y de3e*iones en cual'uier punto) Es necesario obtener primero la ley de variaci&n del momento 3ector para la viga estudiada) -na vez conocida la ley de momentos 3ectores( se procede por integraci&n directa)

ntegrando obtenemos la E",'"#6% *!%!r' &! ' $!%&#!%t!)

ntegrando nuevamente obtenemos la E",'"#6% *!%!r' &!

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7!"5'.