Resistencia de Materiales I
Mag. Ing. Máximo Alejandro Crispín Gómez
CILINDROS Y ESFERAS HUECAS DE PAREDES DELGADAS Se denomina así cuando la diferencia que existe entre el espesor de la pared y el diámetro del cilindro es muy grande, a base de pruebas se ha determinado, que cuando la relación del diámetro y el espesor de la pared es superior a 10. D e
10
D 10 e
Sea el cilindro de la figura adjunta, es sometido a una presión interna uniforme, en donde en las paredes se producen dos clases de tensiones:
1º la que actúa en el eje geométrico del cilindro. 2º la que actúa en la dirección perpendicular al eje del cilindro. A la primera se denomina tensión longitudinal longitudinal o axial. A la segunda se le denomina denomina tensión tangencial tangencial o circunferencial.
DEDUCCION DE FORMULAS: Dado un cilindro de paredes delgadas, el cual está cerrado con placas en sus extremos y sometidos a una presión interna uniforme (p), siendo el espesor de la pared (e) y el radio interno (r), determinar las tensiones longitudinales o axiales y las tensiones tangenciales o circunferenciales.
TENSIÓN TANGENCIAL: L dθ p p σt
σt
σt σt
σt
F1
p
θ
σt σt
σt
1
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Primero hacemos cortes transversales y luego un corte longitudinal al cilindro por la mitad, observamos en las figuras los esfuerzos generados y las fuerzas que se presentan L
F V 0
e
F V σt
σt
σt
σt
A L e
σt
F 1
2 t L e.......... ......( I )
F2
ds
θ
p
F 2
F1
dθ
S
F 2 A
2 t A
L
R.
Cuando el ángulo es pequeño:
p. A.......... .( II ) dS dA dA
R. d .......... ...( III )
dS . L
R. d . L
dA R. L d ................(IV )
Reemplazando (IV) en (II) F 2
p. R. L. d .......... .......(V ) y 0
De la figura se tiene: F 1
F 2 . sen .......... .......... (VI )
Reemplazando valores de las ecuaciones (I) y (V) en la ecuación (VI), se tiene: 2 t . L. e
2 t . L. e
P . R. L. sen . d
0
p. R. L
p. L. R
1
cos
1
180 0
p. L. R cos180
cos 0
2 p. L. R
2
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Simplificando: t
pR
pD
2e
e
TENSIÓN LONGITUDINAL: σL
F1 F1
P
e 2πr
De la Figura. F H 0 F 1 F 1
L
F 2 A
PA0
P . r
F 2
A0 2
. r
2
L .
A
A
.
r e .
2
. r . e
F 2
F 2
2 L . . r .e
L
F 1 F 2 p. . r 2 2 L . .r . e
p. r
Simplificando: L
p. r
2e
2 L . e
pD
4e
Relacionando entre σt y σL:
t
2 L
3
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RECIPIENTES ESFÉRICOS:
F 1
p
.
D
2
4
El análisis de recipientes esféricos a presión es semejante al descrito para el esfuerzo longitudinal. La fuerza resultante F1 producida por la presión del fluido, es igual a la magnitud de la presión del fluido multiplicada por el área proyectada del hemisferio.
F 1 p A pro yectada p
. D
2
4
Aplicando la ecuación de equilibrio estático, se tiene: F H 0
F 2 F 1 p
. D 2
4
................(I )
El esfuerzo en las paredes del recipiente esférico pude determinarse nuevamente por medio de σ = F2 /A El área en este caso es A = π.D.e F 2
. A
. . e.......... .....( II )
D
Igualando la ecuación (I) y (II) P
. D
2
. D. e
4
p. D 4
. e
p. D
4e
Se nota que la magnitud del esfuerzo unitario en un recipiente esférico cerrado es igual a la del esfuerzo longitudinal en un recipiente cilíndrico cerrado.
4
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PROB 3. Se tiene un tanque de presión compuesto por dos cilindros delgados coaxiales como se representa en la figura, antes del montaje hay una ligera unión entre los dos cilindros, esto es, el interior es demasiado grande para deslizarse dentro del exterior. El cilindro exterior se calienta, se coloca sobre el interior y se le enfría, consiguiendo un ajuste por contracción. Si los dos son de acero y el diámetro medio del conjunto es 20cm. Hallar las tensiones tangentes en cada envuelta, producidas por la contracción, si la ligera unión inicial (de los diámetros) era de 0.25cm. el espesor interior de la pared es de 0.25cm y el del exterior 0.20cm. P P
20cm
Cilindro
Cilindro
Interior
Exterior
Solución: Evidentemente, hay una presión uniforme distribuida en las caras contiguas de los dos cilindros, se observa en la figura. Hay que observar que no hay cargas exteriores. Se pude considerar que la presión p aumenta el diámetro del cilindro exterior y disminuye el interior, para que pueda encajar en el interior de aquel. 0.025
Considerando la ligera unión entre los dos radios es:
2
0.0125cm
pL EA
1 2 p r . L r r p A O r
E . 2 L. e
EA
r
2
2
p. r
E . e(i ,e )
0.0125
2
2
1 1 2.1 10 6 0.25 0.20 p.10
5
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0.0125 r
P .100 6 2 2.1 10
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0.20 0.25 0.00067 P 0 . 05
Resolviendo: p = 18.57Kg/cm2 En el interior, esta presión p da origen a una compresión
t
p. r eint .
18.57 10 0.25
742.80 Kg / cm
2
En el cilindro exterior, la tensión tangente debido a la presión p es:
t
p. r eext .
18.57 10 0.20
928.50 Kg / cm
2
6
