ESFUERZOS DEBIDOS A CARGAS TRANSVERSALES
En cualquiera de las vigas que se muestran en la figura a continuación se tendrá que, al realizar un corte hipotético en cualquier sección de las mismas, en dicha sección existirán al menos dos acciones internas, un momento flector y una fuerza de corte.
Como ya se ha visto en las secciones anteriores, el momento flector provoca el esfuerzo normal de flexión, que actúa en el sentido longitudinal de la viga. En las secciones anteriores se ha mostrado como se puede determinar este esfuerzo normal. Queda entonces aún sin resolver el tema de como se evalúa el esfuerzo de corte que necesariamente debe existir en estas vigas ya que en todas ellas se puede determinar fuerzas de corte distintas de cero. Este tema se trata de dos maneras dependiendo de la forma de la sección transversal de la viga, ya que como se mostrará, para una sección rectangular se puede determinar una expresión analítica mientras que para cualquier otro tipo de sección se emplea un procedimiento que proporciona el valor medio en un plano paralelo al eje centroidal de la sección. Considerando una viga como la mostrada en la figura: La viga esta simplemente apoyada y sometida a la acción de una carga distribuida. En esta viga se considerará para el análisis lo que sucede al cortar un elemento longitudinal de largo dx a una distancia x del apoyo de la izquierda. La figura siguiente muestra el diagrama de cuerpo libre para este elemento de longitud dx. En el diagrama se puede apreciar que en la cara de la izquierda del elemento actúa una fuerza de corte V y un momento flector M, y que en la cara de derecha, producto de la presencia de la carga distribuida, estas acciones internas han cambiado a una fuerza de corte V + dV, y a un momento flector M + dM. A la derecha del diagrama se indica la sección transversal que se está considerando en esta parte para el análisis.
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Esfuerzos debidos a cargas transversales
Ya se conoce que el esfuerzo de flexión que actúa sobre el elemento de área ubicado a una distancia y del del eje neutro se encuentra definido por la expresión:
σ
x
=−
M y I
Recordando ahora las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos:
∂ σ x ∂ τ xy + = 0, ∂ x ∂ y
∂ τ xy ∂σ y + = Y ∂ x ∂ y
y
Si se efectúa la derivada parcial del esfuerzo longitudinal respecto de x se obtiene que:
∂ σ x ∂ x
=
− M y ∂ − y ∂ M =− ∂ x I I ∂ x
Recordando de las relaciones existentes entre fuerza de corte y momento flector que:
∂ M ∂ x
= V
se tiene, reemplazando en el resultado anterior
∂ σ x V y =− ∂ x I
Utilizando este último resultado en la primera ecuación de equilibrio de esfuerzos, esta expresión se puede entonces escribir como:
− V y I
+
∂ τ xy ∂ y
⇒
=0
∂ τ xy ∂ y
=
V y I
la última expresión obtenida corresponde a el último paso en un desarrollo analítico independiente del tipo de sección transversal. En lo que viene a continuación, y para efectos de continuar desarrollando el análisis, se considera que: -
la sección sección transversal transversal de la viga es es una sección rectangular de altura h y base b el esfuerzo de corte se distribuye uniformemente a lo ancho de la viga (en dirección del eje z), experimentando únicamente variación en dirección del eje y.
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Esfuerzos debidos a cargas transversales
En virtud de la última consideración es posible cambiar la derivada parcial por una derivada total, y aplicando separación de variables se puede escribir que:
=
d τ xy
V y I
dy
Por lo tanto para encontrar el valor del esfuerzo de corte en un plano paralelo al eje centroidal (eje neutro) situado a una distancia distancia y de este mismo eje basta con calcular la siguiente siguiente integral
τ
xy
τ
xy
=∫
h/2
y
=
V V y dy = I I
V h 2
I 8
−
∫
h/2
y
y dy
2 V h
2 = − y 2 2 I 2
y 2
Recordando que para una sección rectangular el momento de inercia I =
1 12
b h3 ,
Por lo tanto, al reemplazar se obtiene que que :
τ
xy
2 6 V h
= − y b h 3 2 2
expresión desde la cual, al reordenarla, se obtiene la ecuación:
τ
xy
2 3 V y = 1 − 2 A h / 2
Esta expresión señala que el esfuerzo de corte en la sección transversal es función de la posición y . que este valor es uniforme a lo ancho de la sección y que varía en forma parabólica con y . El mínimo valor del esfuerzo de corte es cero y ocurre cuando y = ± h/2, es decir, tanto en la fibra superior como en la fibra inferior de la viga. El máximo valor por su parte ocurre en y = 0, esto es, justo en el eje centroidal.
τ
máx
=
3 V 2 A
Es conveniente insistir en que las dos últimas expresiones sólo tienen validez si la sección es una sección transversal rectangular, ya que tanto los límites de la integral como el momento de inercia considerados corresponden a esa forma de sección.
El tema que queda ahora por resolver es saber de que forma se puede determinar el esfuerzo de corte que provoca una carga transversal cuando la sección transversal de la viga no es rectangular. Para ello se analizará un tramo longitudinal de largo dx, tal como se muestra en la siguiente figura. En dicha figura, a la derecha se muestra la porción dx de una viga a la vez que se muestran los esfuerzos que actúan tanto en la cara de la izquierda como en la cara de la derecha. Ya que el momento flector, que es el que provoca el esfuerzo de flexión, es función de la posición longitudinal, es claro que el esfuerzo de flexión también cambia con la posición. Esto es representado en la figura mostrando que en la cara de la izquierda actúa un esfuerzo normal mientras que en la cara de la derecha se produce el esfuerzo normal d
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Esfuerzos debidos a cargas transversales
Expresando algebraicamente lo descrito en el párrafo anterior se tiene que en la cara izquierda σ
=
M y I
, mientras que en la cara de la derecha
σ
+ d σ =
( M + dM ) y I
Suponiendo que se efectúa un corte hipotético a una altura y medida desde el eje neutro de la sección, y que producto de dicho corte se extrae la porción superior, tal como se muestra en la figura de la derecha, se puede apreciar lo siguiente: -
el área de la superficie sobre la cual actúa el esfuerzo σ tiene el mismo valor que el área de la superficie sobre la cual actúa el esfuerzo σ + dσ de acuerdo con lo anterior la fuerza resultante hacia la izquierda es de una magnitud diferente a la fuerza resultante que actúa hacia la derecha la única forma que existe para que se mantenga la condición de equilibrio estático es que en el área delimitada por tdx se provoque un esfuerzo de corte que permita equilibrar el sistema
Escribiendo la ecuación de equilibrio de fuerzas para la porción de viga mostrada a la derecha de la figura, se tiene:
∫
c σ
y
dA + τ xy t dx =
c
∫(
σ
y
+ d σ ) dA
reemplazando las expresiones para σ y para σ+dσ la expresión anterior queda como:
∫
M y
c
y
τ
xy
I
dA + τ xy t dx =
t dx =
c
( M + dM ) y
y
I
∫
dA
dM y ∫ y I dA c
recordando que el momento flector es función de la posición longitudinal solamente y que el momento de inercia es una propiedad de la sección transversal, la última expresión se puede escribir como:
τ
xy
t dx =
dM I
c
∫ y dA y
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la integral
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c
∫ ydA no es otra cosa que el momento de primer orden que el área comprendida desde y y
hasta c ejerce ejerce respecto del eje neutro (eje centroidal). Llamando Q a este momento y reordenando se puede escribir que:
dM 1 dx I
Q = τ xy t , si en esta última expresión se reemplaza dM/dx por V se obtiene
finalmente, al despejar τxy
τ
xy
=
V Q I t
de esta manera conociendo la fuerza de corte (V) que actúa sobre la sección transversal, el momento de primer orden (Q) que provoca respecto del eje centroidal el área situada sobre el plano en el cual se evalúa el esfuerzo, el momento de inercia de la sección transversal respecto del eje centroidal que es perpendicular a la línea de acción de la fuerza, y el espesor de la sección transversal en el plano en estudio, es posible determinar el valor del esfuerzo de corte que actúa sobre el plano de interés. Como muestra la figura a continuación, continuaci ón, la existencia del esfuerzo de corte en el plano horizontal implica necesariamente, para mantener las condiciones de equilibrio estático, que en el plano vertical exista un esfuerzo de corte igual en magnitud. De esta manera se determina el esfuerzo de corte que de andaba buscando.
La última ecuación presentada permite además definir un concepto de bastante utilidad al momento de definir sistemas de unión o de pegado entre superficies. Este concepto es el de flujo de corte. Este concepto es habitualmente designado con la letra q. Así se tiene que: que: Flujo de corte = q
= τ xy t =
V Q I
Este concepto representa la fuerza por unidad de longitud que esta siendo aplicada en el plano donde se determinó el esfuerzo de corte Ejemplo 1. Determine el valor del máximo esfuerzo de corte provocado por las cargas transversales en la viga mostrada en la figura: a. Considerando que su sección transversal es la de una barra de acero maciza de 40 mm de alto y 12 mm de ancho. b. Considerando que la viga está construida con un perfil tubular cuadrado de 50 x 50 x 4 mm.
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Esfuerzos debidos a cargas transversales
Solución: La figura de la derecha muestra el diagrama de fuerza de corte para la viga de este problema. A partir de él se puede apreciar apreciar que: V máx máx = 474,44 kg f f a. Para la sección rectangular de 2 dimensiones hxb = 4 x 1,2 cm se tiene que el esfuerzo de corte provocado por las cargas transversales está determinado por:
τ
xy
2 3 V y = 1 − 2 A h / 2
y tal como se mencionó, el máximo valor del esfuerzo ocurrirá, primero, en la sección transversal donde la fuerza de corte sea máxima (en este problema en el apoyo b), y segundo, en el plano donde y = 0, y tal como se vió se calcula como: como:
τ
máx
=
3 V 2 A
=
3 (474,44) 2 (4,8)
, esto es, es,
máx =
2
148,26 kg /cm f f
b. Para la sección tubular cuadrada de 50 x 50 x 4 mm se tiene que las propiedades geométricas de la superficie (obtenidas desde el catálogo CINTAC), son: 2
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A = 9,95 cm ; Ixx = Iyy = 23,6 cm
En este caso la sección no es rectangular maciza, así que la relación a emplear es:
τ
xy
=
V Q I t
la sección más crítica sigue siendo la ubicada en el apoyo b, con la fuerza de corte máxima en esa sección. Para determinar el valor del esfuerzo de corte máximo hay que considerar que el máximo valor de la expresión anterior se obtendrá cuando se tenga el mayor valor para Q y el menor valor para t, lo que se produce justo en el centro de la sección. En ese plano se tendrá que: t = 0,4 + 0,4 = 0,8 cm Q = 2(2,5 x 0,4)(1,25) + (4,2 x 0,4)2,3 = 6,364 cm
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Reemplazando Reemplazando los valores se obtiene que:
τ
xy
=
V Q I t
=
(474,44)(6,364) (23,6)(0,8)
= 159,92
kg f cm 2
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