Esfuerzos Combinados Notas

Mecánica de Sólidos II Esfuerzos Combinados

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Contenido • Esfuerzos Combinados -

Introducción Torsión Flexión en Vigas Superposición y sus limitaciones Combinación de esfuerzos axiales y por flexión Elementos cargados excéntricamente Combinación de esfuerzos axiales, por flexión y torsión

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Esfuerzos Combinados • Introducción -

Se han estudiado tres tipos básicos de cargas: Axial: Esfuerzo axial: σ a = F/A Deformación: δ = PL/AE = σ L/E Torsión: Esfuerzo Cortante: τ = T ρ /J Deformación: θ = TL/JG Flexión: Esfuerzo por flexión: σ f = My/I





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Esfuerzo cortante horizontal: τ = VQ/It ; Q = A’ ȳ -

Cada uno de ellos se considero que actuaban aisladamente sobre la estructura. En el estudio de esfuerzos combinados se trataran casos en que actúan conjuntamente dos o mas de estos esfuerzos. Hay cuatro combinaciones posibles de cargas: 1. Axial y Flexión 2. Axial y Torsión 3. Torsión y Flexión 4. Axial, Torsión y Flexión

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Esfuerzos Combinados (continua) • Torsión

ρ /J Esfuerzo Cortante: τ = T T : momento torsionante ρ : distancia radial desde el eje del árbol a la fibra de interés J : momento polar de inercia de la sección

Deformación: θ = TL/JG T : momento torsionante L : longitud del árbol J : momento polar de inercia de la sección 4 G : modulo de elasticidad al cortante

Esfuerzos Combinados (continua)

• Flexión en Vigas

•

Flexión simétrica en vigas produce dos tipos de esfuerzos: normal y cortante – Esfuerzo normal por flexión: σ f = My/I M : momento interno en la sección de la viga y : distancia del eje neutro a la fibra donde el esfuerzo normal actúa I : Momento de inercia de área de la sección trasversal de la viga

– Esfuerzo cortante horizontal: τ = VQ/Ib V : fuerza cortante en la sección Q = A’ ȳ A’ : área por encima del plano contra el cual el esfuerzo cortante actúa ȳ : distancia desde el eje neutro a el centroide de el área

I : momento de inercia de área de la sección trasversal de la viga b : ancho de la viga

-

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Esfuerzos Combinados (continua) • Flexión en vigas Problema En la viga cargada como lo muestra la figura, de sección rectangular de 120 mm de ancho por 200 mm de altura, determine el esfuerzo máximo. figura.

Esfuerzos Combinados (continua) • Flexión en vigas Problema Una viga ABC con un voladizo de B a C soporta una carga uniforme de 200 lb/ft en toda su longitud (consulte la figura). La viga es una sección en canal con las dimensiones que se muestran en la figura. El momento de inercia con respecto al eje z (el eje neutro) es igual a 8.13 in 4. Calcule el esfuerzo de tensión máximo σ t y el esfuerzo de compresión máximo σ c debidos a la carga uniforme.

Esfuerzos Combinados (continua) • Superposición y sus limitaciones (1) 2 1a

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Figura 2

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Esfuerzos Combinados (continua)

• Combinación de esfuerzos axiales y por flexión -

El esfuerzo resultante en un punto cualquiera de la viga viene dado por la suma algebraica de los esfuerzos axial y de flexión en aquel punto. -Obsérvese que el esfuerzo axial puede ser de tensión o de compresión. Este es el motivo de poner los signos positivo y negativos delante de P/A, y el rodearlos con un circulo es para recordar que el esfuerzo axial es uniforme en toda la sección recta.

(1)

Figura 1

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Esfuerzos Combinados (continua) • Combinación de esfuerzos axial y por flexión Problema Calcular los esfuerzos en A y B en la pieza cargada como indica la figura.

Esfuerzos Combinados (continua) • Elementos cargados excéntricamente: esfuerzos axial y de flexión -

Caso particular de esfuerzo axiales y de flexión combinados en la que un puntal de pequeña longitud soporta una carga P aplicada con una cierta excentricidad e con respecto a uno de los ejes principales de la sección.

• Nueva posición de la línea neutra • El punto de esfuerzo nulo es la nueva posición de la línea neutra. • Se encuentra hallando la distancia a a la que el esfuerzo por flexión (positivo) es igual al esfuerzo axial (negativo).

(2) 11

Figura 3

Esfuerzos Combinados (continua) • Elementos cargados excéntricamente: esfuerzos axial y de flexión (continua) -

Excentricidad máxima para no tener tensión 

Si el esfuerzo axial de compresión es igual o mayor que el máximo esfuerzo de flexión, no existirá zona alguna que trabaje a tensión. Para conseguir esto en una sección rectangular de ancho b y altura h con P aplicada con una excentricidad e (sobre la altura h, figura 4) se ha de tener:

Figura 4 

En estas condiciones la excentricidad máxima para no tener tensión es:

(3)



Esta formula es fundamento de la regla usual en diseño de obras de ladrillo o de otros materiales muy poco resistentes a tensión, de que la 12 resultante de las cargas debe pasar por el tercio central de la sección.


Núcleo de una sección cargada excéntricamente 

Consideremos el caso general en el que la carga P se aplica en un punto arbitrario de una sección cualquiera

Figura 5 

Por superposición, el esfuerzo σ en un punto cualquiera (x, y) de la sección viene dado:

(4)

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Núcleo de una sección cargada excéntricamente (continua) 

Para determinar la línea neutra, o línea de esfuerzo nulo, se resuelve la ecuación (4) para σ = 0. Teniendo en cuenta que:

siendo r y y r x los radios de giro respecto a los ejes Y y X, se tiene:

(5) que es la ecuación de una recta cuyas intersecciones con los ejes se obtienen anulando y para obtener u , y luego x para obtener v.

Quiere decir que E.N. pasa por el cuadrante opuesto aquel adonde actúa P y, en general no es perpendicular a la dirección OP.

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Vamos a determinar ahora las coordenadas e x y e y de la carga P para las que la línea neutra pase por una esquina B, como muestra la figura 6c.

Figura 6

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Sustituyendo σ = 0, x = -h/2, y y = -b/2 en la ecuación 4 resulta:

Simplificando,

que es la ecuación de la recta m-n de la figura 6c, que corta los ejes X y Y en h /6 y b /6, respectivamente. Esta línea es el lugar geométrico de los puntos de aplicación de P que producen un esfuerzo nulo en B . Análogamente, la recta m1n1 es el lugar geométrico de los puntos en los que, aplicada P , se produce un esfuerzo nulo en C . Continuando el procedimiento, es evidente que ningún punto de la sección podrá estar sometido a tensión si la carga se aplica dentro o en el borde del rombo rayado de la figura, ya que la línea neutra pasara o fuera de la sección, o por una esquina, o por un borde rectilíneo. Esta zona de la sección se llama núcleo de la misma. Se demuestra de forma análoga que el núcleo de una sección circular es otro circulo de diámetro igual a un cuarto del 16 diámetro de la sección.

Esfuerzos Combinados (continua) • Elementos cargados excéntricamente: esfuerzos axial y de flexión Problema Una fuerza de compresión de 80 kN se aplica, como representa la figura (a), en un punto situado 40 mm a la derecha y 60 mm por encima del centro de gravedad de una sección rectangular de b = 200 mm y h = 400 mm. Calcular los esfuerzos en las cuatro esquinas y la posición de la línea neutra. Hágase, de acuerdo con las soluciones obtenidas, un esquema como el de la figura (b).

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Esfuerzos Combinados (continua) • Combinación de esfuerzos por flexión y torsión Problema Un soporte de 50 mm de diámetro, firmemente empotrado en un extreme soporta en el otro unas cargas horizontal y vertical, como indica la figura. Para analizar los esfuerzos en el punto A: a) Dibuje el diagrama de las fuerzas y pares equivalentes en la sección del eje en el punto A, incluya sus respectivos valores; b) Determine los esfuerzos normal y cortante en el punto A que se localiza sobre la superficie exterior del eje; c) Grafique los esfuerzos normal y cortantes actuando sobre un elemento cuadrado que se localiza en A.

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Esfuerzos Combinados (continua) • Combinación de esfuerzos axiales, por flexión y torsión Problema Se aplican dos fuerzas P1 y P2 de magnitudes P1 = 15 kN y P2 = 18 kN, al extremo A de la barra AB , la cual está soldada a un elemento cilíndrico BD de radio c = 20 mm. Si se sabe que la distancia de A al eje del elemento BD es a = 50 mm, suponga que todos los esfuerzos permanecen por abajo del límite proporcional del material, y determine a) los esfuerzos normal y cortante en el punto K de la sección transversal del elemento BD localizado a una distancia b = 60 mm del extremo B .

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Referencias 1. Resistencia de Materiales, Cuarta Edición, Pytel & Singer 2. Mecánica de Materiales, Quinta Edición, Beer & Johnston 3. Introducción a la Mecánica de Sólidos, Egor Popov

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