Esfuerzo-Combinados

TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 7.1.- CONTENIDOS CURRICULARES.



OBJETIVO DIDÁCTICO: CALCULAR LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS DE CORTE MÁXIMO EN SISTEMAS SOMETIDOS A CONDICIONES DE CARGAS COMBINADAS CONCEPTUALES PROCEDIMIENTALES ACTITUDINALES Sistemas sometidos a cargas de diferentes tipos: Cálculo de esfuerzos en fuerza axial, fuerza cortante, momento flector y sistemas sometidos a cargas momento torsor combinadas Cooperación en la resolución de ejercicios Esfuerzos producidos por tracción, flexión y torsión Cálculo del esfuerzo en un prácticos en clase. combinados punto Esfuerzos producidos por compresión, flexion y Determinación de los Actitud crítica ante las torsión combinados esfuerzos principales soluciones encontradas Variación del esfuerzo en un punto Utilizando el método al resolver un problema analítico y el cálculo de Esfuerzos principales Mohr Esfuerzo de corte máximo Cálculo de esfuerzos en Cálculo analítico árboles para la transmisión Cálculo de Mohr de potencia Sistemas de árboles y ejes de máquinas 













     





(Machado, Raúl 2006)

7.2.- INTRODUCCIÓN. En los temas anteriores se desarrollaron métodos para determinar las distribuciones del esfuerzo en un miembro sometido a carga axial interna, a fuerza cortante, a momento flexionante o a momento torsionante. Sin embargo, la sección transversal de un miembro suele estar sometida simultáneamente a varios de estos tipos de cargas y, en consecuencia, el método de superposición, si es aplicable, puede usarse para determinar la distribución resultante del esfuerzo causado por las cargas. En aplicaciones primero se determina la distribución del esfuerzo debido a una carga y luego se superponen esas distribuciones para determinar la distribución resultante del esfuerzo. Hay cuatro combinaciones posibles de cargas: (1) axial y flexión, (2) axial y torsión, (3) torsión y flexión, y (4) axial, torsión y flexión. Se comenzará por el caso (1) combinación de esfuerzos axiales y por flexión, ya que es el más sencillo pues intervienen esfuerzos normales σ . En todos los demás casos intervienen esfuerzos normales y cortantes, por lo que requieren un mayor estudio.

7.3.- COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN. Cuando un elemento está sometido a cargas axiales y de flexión como se muestra en la figura 7-1 Entonces se debe tratar como una combinación de las dos cargas.

Figura 7-1: Elementos sometidos a cargas axiales y de fl exión. Fuente: Mecánica de Materiales. Fitzgerald U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez Suarez /Resistencia de Materiales

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TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS

En este caso se considera flexión con tensión o compresión directa, es decir se presenta además de la flexión en el elemento, la presencia de fuerzas axiales normales a la sección transversal, y el esfuerzo normal combinado se calcula como: Esfuerzo = Esfuerzo normal + Esfuerzo por flexión Los esfuerzos combinados flexión-axial son calculados por la siguiente ecuación:

   



Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión son negativos. Esta convención de signos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general “y “a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo

en un punto diferente al de las fibras extremas (externa)

EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.1. Calcular los esfuerzos máximos y localizar el eje neutro en la viga en voladizo de 40mm x 100mm como se indica en la figura 7-2. Solución. El esfuerzo máximo ocurrirá en el extremo empotrado, pues en ese lugar el momento flexionante es máximo. La carga de flexión de la figura 7-2 (c) produce esfuerzos de tensión en las fibras superiores y esfuerzos de compresión en las fibras inferiores. La carga axial de la figura 7-2 (b) produce esfuerzos de tensión en todas las fibras. Entonces:

                                                     La combinación de esfuerzos se indica en la figura 7-3. El eje neutro es el plano de esfuerzos nulos, y puede localizarse mediante la ecuación (7-1), o mediante simple geometría. Usando la ecuación (7-1), se tiene:

    U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez Suarez /Resistencia de Materiales

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En este caso se considera flexión con tensión o compresión directa, es decir se presenta además de la flexión en el elemento, la presencia de fuerzas axiales normales a la sección transversal, y el esfuerzo normal combinado se calcula como: Esfuerzo = Esfuerzo normal + Esfuerzo por flexión Los esfuerzos combinados flexión-axial son calculados por la siguiente ecuación:

   



Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión son negativos. Esta convención de signos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general “y “a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo

en un punto diferente al de las fibras extremas (externa)

EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.1. Calcular los esfuerzos máximos y localizar el eje neutro en la viga en voladizo de 40mm x 100mm como se indica en la figura 7-2. Solución. El esfuerzo máximo ocurrirá en el extremo empotrado, pues en ese lugar el momento flexionante es máximo. La carga de flexión de la figura 7-2 (c) produce esfuerzos de tensión en las fibras superiores y esfuerzos de compresión en las fibras inferiores. La carga axial de la figura 7-2 (b) produce esfuerzos de tensión en todas las fibras. Entonces:

                                                     La combinación de esfuerzos se indica en la figura 7-3. El eje neutro es el plano de esfuerzos nulos, y puede localizarse mediante la ecuación (7-1), o mediante simple geometría. Usando la ecuación (7-1), se tiene:

    U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez Suarez /Resistencia de Materiales

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                

Figura 7-2. Viga sometida a carga axial y de flexión. Fuente: Mecánica de Materiales. Fitzgerald

Figura 7-3. Representación de los esfuerzos en la viga sometida a la combinación axial-flexión. Fuente: Mecánica de Materiales. Fitzgerald

7.4.- VARIACIÓN DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACIÓN DEL ELEMENTO. La magnitud y el tipo de esfuerzo dependen de la orientación o inclinación del elemento a considerar. Como se puede ver en la figura 7-4a, se tiene un sólido sometido a la acción de fuerzas de equilibrio, en el cual se hacen pasar por el mismo punto punto dos secciones de exploración exploración a-a y b-b, donde a-a es perpendicular a la la dirección de la resultante R de P1 y P2, como se indica en la figura 7-4b, y b-b esta inclinada con respecto a la resultante R, como se puede ver en la figura 7-4c. El elemento rayado de la figura 7-4b está sometido únicamente a esfuerzo normal, pero el elemento en el mismo punto que está en la figura 7-4c, está sometido a esfuerzos normal y cortante, producidos por N y T, respectivamente. Entonces se puede observar que para un mismo punto de un sólido sólido que está sometido a un estado de esfuerzos (ubicados (ubicados en la intersección de a-a y b-b), los esfuerzos varían según la dirección u orientación orientación del elemento diferencial que se considere en dicho punto.

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Figura 7-4. Sólido con dos secciones de exploración de difer ente dirección en un mismo punto. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

En las secciones siguientes se estudia cómo varían los esfuerzos con la orientación del elemento. Esto es muy importante y lo que se persigue es determinar en qué planos se representan los esfuerzos máximos y calcular sus valores.

7.5.- ESFUERZOS EN PLANOS DE CUALQUIER DIRECCIÓN. En forma general, se hace imposible hallar directamente los valores de los esfuerzos en un plano que tenga una dirección cualquiera. Por ejemplo en el caso de vigas, con la formula de flexión se pueden determinar los valores del esfuerzo normal que aparecen en el plano perpendicular al eje de la viga. También se puede calcular el esfuerzo cortante en estos dos planos. En el caso de torsión, con su correspondiente formula se obtiene el valor del esfuerzo cortante en planos perpendiculares al eje de la barra. Entonces cuando una barra está sometida simultáneamente a flexión y a torsión, como se muestra en la figura 7-5, se calculan los esfuerzos correspondientes a ambos tipos de esfuerzo, pero solamente si los elementos están orientados como se puede ver en esta figura. Pero existirá una determinada posición u orientación en donde el esfuerzo normal será máximo, como lo indica la figura 7-4. Existen dos métodos para determinar esta posición u orientación del elemento, y del valor del esfuerzo normal cuando es máximo. Los cuales son: el analítico usando expresiones matemáticas, y el otro método es el grafico utilizando el círculo de Mohr.

Figura 7-5. Barra sometida simultáneamente a flexión y a torsión. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel.

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7.6.- ESFUERZO EN UN PUNTO. El esfuerzo en un punto define el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de área. En la figura 7-6 se muestra el esfuerzo normal en la dirección X que existe en un punto de coordenadas x,y,z, el cual es el esfuerzo uniforme que actúa sobre el área diferencial dydz.

Figura 7-6. Esfuerzo en un punto. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

Cuando el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actúan en varias direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actúan sobre un elemento diferencial de volumen que rodee el punto considerado. Por ejemplo  x ,  y y  xy los esfuerzos en un punto. En la figura 7-7 se muestra las componentes del esfuerzo presentes en un elemento diferencial.

Figura 7-7. Componentes de un esfuerzo (estado de esfuerzos). Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

En esta sección, solo se considera el estado plano o bidimensional de esfuerzos, en el que los esfuerzos actúan paralelamente a un plano, tal como el XY. En un estado tridimensional de esfuerzos la cara Z de un elemento queda sometida a la acción de un esfuerzo normal  z , así como los esfuerzos cortantes  xz ,  yz , que se producen en las caras X y Y, respectivamente, los esfuerzos  xz y  yz son numéricamente iguales.


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7.7.- MÉTODO ANALÍTICO PARA EL CÁLCULO DEL ESFUERZO EN UN PUNTO CUANDO VARÍA LA DIRECCIÓN DE LA SECCIÓN DE EXPLORACIÓN. Los esfuerzos varían con la orientación de los planos que pasan por el punto, o lo que es lo mismo decir que los esfuerzos en las caras del elemento varían cuando lo hace la posición angular de este elemento. Para realizar el análisis de la variación del esfuerzo según la orientación del elemento, se procede a cortar el elemento inicial mediante un plano y se aplican las condiciones de equilibrio estático a cualquiera de las partes (figura 7-8).

                              

 

Figura 7-8. Variación de las componentes del esfuerzo. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


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Dividiendo ambos miembros de esta ecuación entre el factor común A (área), y sabiendo que numéricamente iguales y utilizando las identidades trigonométricas siguientes: 2

cos  

1  cos 2 2

2

sen 



1  cos 2 2

sen2



  y

son

2 sen cos 

Entonces las ecuaciones (a) y (b) se escriben en la forma

                  

 

7.8.- ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO. Si se deriva la expresión (7-2) con respecto a normales máximo y mínimo.

 , y se

anula se obtienen los planos donde están los esfuerzos

 



Análogamente, los planos del esfuerzo cortante máximo queda definido por:

  



La ecuación (7-4) da dos valores de 2θ que difieren en 180°, por lo que los planos de esfuerzo normal máximo y mínimo son perpendiculares entre sí. Lo mismo ocurre en la ecuación (7-5) con los planos de esfuerzo cortante máximo, que están a 90°. Los esfuerzos normales máximo y mínimo se llaman esfuerzos principales. La ecuación (7-4) es reciproca y de signo contrario a la ecuación (7-5), lo cual significa que los valores de 2θ definidos por ambas difieren en 90°, esto es, los planos de esfuerzo cortante máximo están inclinados 45° respecto de los planos de los esfuerzos principales. Sustituyendo los valores de 2θ de las ecuaciones (7-4) y (7-5) en la ecuación (7-2) y (7-3) se obtienen las siguientes expresiones de los esfuerzos principales y del esfuerzo cortante máximo:

                U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

  Página 172


EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.2. Para el estado de esfuerzo plano de la figura 7-9, determine: a) Los planos principales, b) Los esfuerzos principales, c) El esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal correspondiente

Figura 7-9

Solución: a) Planos principales: Siguiendo la convención usual de signos, las componentes del esfuerzo se escriben como:

                         

Sustituyendo en la ecuación (7-4):

b) Esfuerzos principales: La ecuación (7-6) da:

                       Los planos principales y los esfuerzos principales se esquematizan en la figura 7-10. haciendo θ = 26.6° en la ecuación (7-2), se verifica que el esfuerzo normal en la cara BC de elemento es el esfuerzo máximo:

         Figura 7-10


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c) Esfuerzos cortantes máximos: de la ecuación (7-7) se obtiene

              Puesto que σ máx y σ mín tienen signos opuestos, el valor obtenido para τ máx representa el valor máximo del esfuerzo cortante en el punto considerado. La orientación de los planos de esfuerzo cortante máximo y el sentido de los esfuerzos cortantes se determinan mejor efectuando un corte a lo largo del plano diagonal AC del elemento de la figura 7-10. Como los planos principales contienen las caras Ab y BC del elemento, el plano diagonal AC debe ser uno de los planos de esfuerzo cortante máximo (figura 7-11). Además las condiciones de equilibrio para el elemento prismático ABC requieren que los esfuerzos cortantes en AC estén dirigidos como se indica. En la figura 7-12 se muestra el elemento cúbico correspondiente al esfuerzo cortante máximo.

Figura 7-11

El esfuerzo normal en cada una de las cuatro caras del elemento correspondiente a la condición de esfuerzo cortante máximo es:

           

Figura 7.12


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7.9.- MÉTODO GRÁFICO (CÍRCULO DE MOHR) PARA EL CÁLCULO DEL ESFUERZO EN UN PUNTO CUANDO VARÍA LA DIRECCIÓN DE LA SECCIÓN DE EXPLORACIÓN. Para un caso de estado de esfuerzos bidimensionales pueden ser utilizadas las ecuaciones anteriormente deducidas, pero existe una interpretación grafica de estas formulas que hizo el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) que evita tener que recordarlas. En esta interpretación se utiliza un círculo, por lo que se ha llamado circulo de Mohr. Realizando el dibujo a escala se pueden se pueden obtener los resultados gráficamente, aunque en general solo se puede utilizar un esquema, y los resultados se obtienen analíticamente como se verá más adelante. Las ecuaciones (7-2) y (7-3) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Entonces:

                  

 

Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,

Pero 

   ,

y

                    



son constantes que definen el estado plano de esfuerzos, las cuales son conocidas, y

y      son variables. Entonces,  es una constante C, que representa el centro de una circunferencia, y el 

segundo miembro de la ecuación (a) es otra constante R, que representa el radio de una circunferencia, de manera que la ecuación (a) queda de la siguiente manera:

  



Figura 7-13. Circulo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


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7.10.- REGLAS PARA GRAFICAR EL CÍRCULO DE MOHR. 1.- Sobre un sistema de ejes de coordenadas rectangulares    , se ubican los puntos

 x , xy

y

 y  yx ,

. Estos puntos representan los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre la cara X y Y de un elemento. Se considera positiva la tensión y negativa la compresión. El esfuerzo cortante es positivo si el momento respecto del centro del elemento es en el sentido de reloj. 2.- Se unen los puntos situados mediante una recta. El segmento de dicha recta comprendido entre los dos puntos es el diámetro de una circunferencia cuyo centro es la intersección con el eje  . 3.- Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio, las componentes del esfuerzo normal y cortante, están representadas por las coordenadas de un punto que se mueve a lo largo del círculo de Mohr. 4.- El radio de la circunferencia, correspondiente a un punto dado de ella. Representa el eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las coordenadas de ese punto del círculo. 5.- El ángulo entre los radios de dos puntos del círculo de Mohr es el doble del ángulo entre las normales a los dos planos que representan estos dos puntos. El sentido de rotación del ángulo es el mismo en la circunferencia que en la realidad, es decir, si el eje N forma un ángulo θ con el eje X en sentido contrario al del reloj, el radio de N de la circunferencia forma un ángulo 2θ con e l eje X en sentido contrario al del reloj.

Figura 7-14. Circulo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


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EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.3. En la figura 7-15 se dan los datos de cierto estado plano de esfuerzos. Determinar los esfuerzos normales y cortantes en (a) los planos principales, (b) los planos de esfuerzo cortante máximo y (c) los planos cuyas normales forman ángulos de 36.8o y +126.8o con el eje X. Solución: En la figura 7-15b se representa el círculo de Mohr correspondiente al estado plano de esfuerzo dado. Los esfuerzos en la cara X se representan en A, de abscisa 32 y ordenada - 20. El esfuerzo τxy es negativo porque el momento respecto del centro del elemento es contrario al del reloj, como se ve en la figura 7-15a. Los esfuerzos en la cara Y vienen representados por el punto B, cuya abscisa es -10 (compresión) y ordenada 20 (positiva por ser igual al del reloj el sentido del momento τ yx ). Uniendo A y B se tiene el diámetro del circulo de Mohr cuyo centro está en el punto medio entre las abscisas A y B, o sea 11 Mpa del origen 0. El radio se calcula como la hipotenusa del triangulo de catetos 21 y 20, y vale 29.

Figura 7-15 Círculo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

Los esfuerzos principales vienen representados por los puntos D y E, donde el esfuerzo cortante (ordenadas) es nulo. Su valor viene dado por :

        

El radio CD forma un ángulo de 2θ, con sentido contrario al del reloj, medido desde CA, que representa al

eje X. Se tiene

de donde 2θ = 43.6o y θ = 21.8o. Con arreglo a estos resultados, en la

figura 7-15a se representan los esfuerzos principales que actúan sobre los planos principales.

Los esfuerzos en los planos de esfuerzo cortante máximo vienen dados por las coordenadas de los puntos F y G, y sus valores son τmáx =29, τmin = -29 y σ = 11 en ambos planos. El radio CF está a 90 o en sentido contrario al del reloj a partir de CD, por lo que la normal al plano principal máximo, o sea, a 45 o en sentido contrario al reloj del plano principal, o sea, a 45º +21.8º del eje X, como se representa en la figura 7-26b.


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Para terminar el problema, los esfuerzos en el plano cuya normal está a +36.8 o del eje X están representadas por el punto H, intersección del radio CH con el circulo de Mohr (regla 3). Por la regla 5, el ángulo ACH = 2 x 36.8o = 73.6o y el ángulo HCD = 73.6o - 43.6o = 30o. Las coordenadas del punto H son, por tanto,

    

Los esfuerzos en el plano cuya normal está a + 126.8 o respecto del eje X los representa el punto I. Los puntos H e I están a 180 o, puesto que los planos que representan están a 90 o. Las coordenadas de I son:

    

Figura. 7-16 croquis estados de esfuerzos. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.4. Una fuerza única horizontal de magnitud P = 150 lb se aplica el extremo D de la palanca ABD. Sabiendo que la porción AB de la palanca tiene un diámetro de 1.2 in., determine: a) Los esfuerzos normal y cortante en un elemento situado en el punto H, con lados paralelos a los ejes x y y; b) Los planos principales y los esfuerzos principales en el punto H.


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Figura. 7-17

Solución: Sistema de par de fuerzas: Se reemplaza P por un sistema equivalente de par de fuerzas en el centro C de la sección transversal que contiene al punto H.

                   

Figura. 7-18

a)Esfuerzos σ x , σ y , σ xy en el punto H. usando la convención de signos mostrada en la figura 7-19, se determina el sentido y el signo de cada componente del esfuerzo examinado cuidadosamente el esquema del sistema de par de fuerzas en el punto C:

                     Figura. 7-19


Página 179


Note que la fuerza cortante P no causa esfuerzo cortante en H. b)Los planos principales y esfuerzos principales: Sustituyendo los valores de los esfuerzos en la ecuación (7-4), se determina la orientación de los planos principales:

               

Figura. 7-20

Sustituyendo en la ecuación (7-6), se establecen las magnitudes de los esfuerzos principales:

                                        

Figura. 7-21

Considerando la cara ab del elemento mostrado en la figura, se hace θ P = -30.5° en la ecuación (72) y se halla σx´= -4.68 ksi. Se concluye que los esfuerzos principales son los que se muestran.


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EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.5. Para el estado de esfuerzo plano mostrado en la figura, determine: a) Los esfuerzos principales y los planos principales, b) las componentes del esfuerzo ejercidas sobre el elemento obtenido rotando el elemento dado 30° en sentido contrario a las agujas del reloj

Figura. 7-22

Solución: Construcción del Círculo de Mohr: Note que en una cara perpendicular al eje x, el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo cortante tiende a rotar el elemento en el sentido de las agujas del reloj. Así se elabora la gráfica de X en un punto 100 unidas a la derecha del eje vertical y 48 unidas sobre el eje horizontal. En forma similar, se examinan las componentes del esfuerzo en la cara superior y se elabora la gráfica del punto Y (60, -48). Uniendo los puntos X y Y mediante una recta, se define el centro C del Círculo de Mohr. La abscisa de C, que representa σperm y el radio R del círculo pueden medirse directamente o calcularse como se muestra a continuación:

Figura. 7-23 Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

              a) Planos principales y esfuerzos principales: Se rota el diámetro XY en el sentido de las agujas del reloj 2θP hasta que coincida con el diámetro AB, se tiene:


Página 181

     


   


Los esfuerzos principales están representados por as abscisas de los puntos Ay B:

        Como la rotación que trae XY hasta AB es en el sentido de las agujas del reloj, la rotación que trae Ox al eje Oa, que corresponde a σ máx , es también en el mismo sentido. Se obtiene la orientación mostrada en los planos principales.


b)Componentes del esfuerzo en elemento rotado a 30°: Los puntos X´ y Y´ que corresponden en el Círculo de Mohr a las componentes del esfuerzo en el elemento rotado, se obtiene girando XY en el sentido contrario a las agujas del reloj, un ángulo 2 θ = 60°, se tiene:

                  

Como X´ se localiza por encima del eje horizontal, el esfuerzo cortante en la cara normal a Ox´ tiende a rotar el elemento en el sentido de las agujas del reloj

Figura 7-26 Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


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7.11.- APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR A CARGAS COMBINADAS. La aplicación más importante del cálculo de los esfuerzos combinados es el diseño de elementos sometidos a cargas combinadas, o a la determinación de las cargas de seguridad. El círculo de Mohr, al representar gráficamente las variaciones de esfuerzo en ciertas condiciones, da una idea más clara del problema que el mero cálculo analítico. El procedimiento habitual es considerar un pequeño elemento en el que se puedan calcular los esfuerzos producidos por los tres tipos fundamentales de cargas: axial, de flexión y de torsión. El estudio del círculo de Mohr para este elemento indica el criterio a seguir en el diseño. Los ejercicios ilustrativos que se presentan a continuación son típicos de los procedimientos que se utilizan en la práctica

EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.6. Un eje de 100 mm de diámetro que gira a 30 r/s está sometido a unas cargas de flexión que le producen un momento flexionante máximo de 2500π N.m. Calcular el par torsor máximo y la potencia máxima que puede actuar al mismo tiempo sobre el eje, sin que el esfuerzo cortante exceda de 80 MPa ni el esfuerzo normal de 100 MPa. Solución: El momento flexionante producirá unos esfuerzos de flexión máximos en las fibras superior e inferior de valor:

    

     

Al aplicar un par torsor T, aún desconocido, se producirá un esfuerzo cortante de torsión, máximo en la superficie exterior del eje, que actúa también sobre el mismo elemento de la fibra superior o inferior del mismo. En la figura 7-27a se representa este estado de esfuerzo. Aunque el esfuerzo cortante de torsión, representado por τt para distinguirlo del esfuerzo cortante máximo resultante, es desconocido, se puede dibujar un círculo de Mohr en función de tal esfuerzo, como se representa en la figura 7-27b. Para que aparezca un esfuerzo cortante combinado de 80 MPa, el radio del circulo debe ser R τ = 80. Sin embargo, el radio del circulo que dé como esfuerzo normal máximo 100MPa debe satisfacer la condición σ = 100 = OC + Rσ = 40 + Rσ , de donde Rσ = 60Mpa.

Es evidente que el radio apropiado ha de ser menor R σ y Rτ, es decir, en el caso que se trata, 60MPa, para que de esta manera no se sobrepasen los esfuerzos admisibles. Hallando R, por el triangulo rayado de la

figura 7-27b, se calcula el esfuerzo cortante por torsión, que puede combinarse con el esfuerzo por flexión. Se tiene así que:

            La formula de torsión permite calcular el momento torsionante necesario para que resulte este esfuerzo cortante,

          

              


Página 183


Y en función del momento, la potencia máxima que pueda aplicarse, está dada por

 



Figura. 7-27

EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.7. Un eje macizo se somete a flexión y torsión simultáneamente, producidas por un momento torsionante T y un momento M. Expresar el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal máximo resultantes, en función de T, de M y de radio r del eje. Aplicar las relaciones obtenidas al caso de un eje sometido a un par T = 1200N.m y M = 900 N.m, para determinar su diámetro, si los esfuerzos admisibles son de 70MPa a cortante y 100MPa a flexión. Solución: La flexión y la torsión simultáneas aparecen con frecuencia en el diseño de ejes rotatorios. Las formulas que se desarrollan son muy útiles, pero su aplicación está limitada al caso en que se conozcan T y M. En cualquier otra circunstancia se debe utilizar el círculo de Mohr.


En la figura 7-28a se representa el estado de esfuerzo de un elemento de un eje sometido a flexión y torsión simultáneas, y en la figura 7-28b, el círculo de Mohr correspondiente. El esfuerzo cortante máximo τ es igual


Página 184


al radio R de la circunferencia, y del triangulo rayado se obtiene

           



Las formulas de torsión y de la flexión, particularizadas para un eje circular macizo se escriben en la forma:



Sustituyendo estos valores en (a) resulta:

Haciendo

                        , se obtiene finalmente:



La semejanza entre la ecuación (7-10) y la formula de torsión en (7-8) sugiere que a T e se le llame momento torsionante equivalente.

La ecuación que se obtiene para el esfuerzo normal máximo, análoga a la formula de la flexión, obliga a introducir el concepto de momento flexionante equivalente M e, y se determina de la manera siguiente. En la figura 7-32b, el esfuerzo normal máximo resultante vale

     

    

. Teniendo en cuenta que

resulta:

   

Multiplicando por dos y dividiendo igualmente entre dos el segundo m iembro,

  



Que es la misma fórmula de la flexión (b), pero en la que se tiene el momento equivalente

   

.

Las ecuaciones (7-10) y (7-11) son pues, las mismas formulas de la torsión y de la flexión. Lo único que se debe recordar son los valores de los momentos equivalentes a torsión y a flexión respectivamente, dados por:

     U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

 Página 185


   



En el caso particular del ejemplo, y de acuerdo con los datos del enunciado, los momentos equivalentes de torsión y de flexión son:

                El radio del árbol para que el esfuerzo cortante máximo no exceda el admisible, según la ecuación (7-10), viene dado por:

 

       

El radio del eje para que el esfuerzo normal máximo no exceda al admisible, según la ecuación (7-11), viene dado por:

 

            

El mayor de estos dos valores obtenidos cumple ambas condiciones y, por lo tanto, es el diámetro necesario. d= 2x 24.8 = 49.6 mm

EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.8.


Página 186


Diseñar un eje circular macizo que pueda soportar las cargas indicadas en la figura 9-25 si τmax ≤ 70 MPa y σmax ≤120MPa. Las correas de transmisión de las poleas B y C son verticales y las de la polea E son

horizontales. Se desprecian el peso de las poleas y el del árbol.


Solución: Las cargas aplicadas, producen, además de una torsión, una flexión en el plano horizontal y otra en la vertical. En las figuras 7-33b y 7-33c se han representado los diagramas de momento flexionantes en dichos

          

planos. El momento flexionante resultante en cualquier sección viene dado por

. Por tanto,

en los puntos B, C y D los momentos flexionantes son y y . Combinando estos momentos con la distribución de momentos torsionantes en el eje, figura 733d, se deduce que las secciones más peligrosas son C y D.

  

Como en estos puntos se conocen los valores del momento torsionante y del momento flexionante, se aplica el método del ejercicio anterior. Las cuales son y , entonces los momentos equivalentes a torsión y a flexión en aquellos puntos son:

     

En C:

        


Página 187


       Y en D:

               

En las ecuaciones (9.11) y (9.12) se han tenido en cuenta los valores máximos de M e y Te. Como el máximo momento Te tiene lugar en C y el máximo Me aparece en D, resulta:

   

                         

El mayor de estos dos valores determina el radio necesario. De ahí que el del eje sea d= 2x 37.7 = 75.4 mm . En vista de que los ejes tienen diámetro estándar, deben especificarse unos de 80 mm

7.12.- AUTOEVALUACIÓN. Instrucciones: Lea con cuidado y despacio cada pregunta. Si no ha entendido algo, no se apresure en el proceso, consulte la teoría correspondiente. Esta herramienta para autoevaluación, está diseñada para ayudarle a evaluar sus conocimientos sobre el presente tema, por lo tanto cuando esté considerando las preguntas, contéstelas basándose en los fundamentos teóricos. No conteste basándose en falsos supuestos teóricos  Cada tema es progresivo, es decir, irá avanzando y aprovechando lo que aprendió del tema anterior.  Por último, saque sus propias conclusiones de manera reflexiva de lo aprendido y cómo lo podrá aplicar estos conocimientos en el campo laboral. 





1.- Cual es el procedimiento a seguir cuando se tiene un sólido sometido a cargas combinadas de tipo axial y de flexion. 2.- Deduzca las ecuaciones de los esfuerzos normal y tangencial para una sección inclinada. 3.- Cual es el valor del esfuerzo tangencial cuando la sección coincide con el plano principal. 4.- Escriba la ecuación para ubicar el centro del círculo de Mohr. 5.- Escriba la ecuación para ubicar el radio del círculo de Mohr. 6.- Dibuje el círculo de Mohr para un estado de esfuerzos cualquiera e indique la ubicación de los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo. 7.- Escriba las ecuaciones de esfuerzo máximo normal y esfuerzo máximo tangencial para un eje que está sometido a torsión y a flexion. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

Página 188


7.13.- RESUMEN DE ECUACIONES. ESFUERZOS COMBINADOS FLEXIÓN-AXIAL:

   

ECUACIONES DE ESFUERZO NORMAL Y ESFUERZO TANGENCIAL EN UN PLANO DE ANGULO θ:

                  

ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO:

                ECUACIONES PARA CALCULAR LOS PLANOS DONDE ESTÁN LOS ESFUERZOS NORMALES MÁXIMO Y MÍNIMO:

 

ECUACIONES PARA CALCULAR LOS PLANOS LOS PLANOS DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO:

     

CENTRO DE CÍRCULO DE MOHR:

RADIO DE CÍRCULO DE MOHR:

     

MOMENTOS EQUIVALENTES A TORSIÓN:

    


Página 189


MOMENTOS EQUIVALENTES A FLEXION:

   

MOMENTO EQUIVALENTE

   

.

ESFUERZOS MÁXIMO PARA UN EJE SOMETIDO A FLEXION A TORSIÓN:

   


Página 190


7.14.- EJERCICIOS PROPUESTOS. 701.- Una pequeña ménsula en dos barras de 90 mm x 20 mm (Figura P-701) soporta una carga de 84 kN, inclinada según una pendiente de 2 a 1. Determinar los esfuerzos máximos en la sección A-A de la ménsula.

Figura P-701

Resp.

 

702.- La barra indicada en la figura P-702 tiene una sección transversal rectangular de 30 mm x 120 mm. Cuando el esfuerzo admisible en la barra es de 140 MPa. ¿Cuál es la carga máxima que puede aplicarse?

Figura P-702

703.- la pequeña barra de izaje indicada en la figura P-703 está formada por un tubo de acero estándar de 6 pulg y de 5 pies de longitud. Se aplica una carga P = 7000 lb al centro. Determinar los esfuerzos máximos que se producirán.


Página 191


Figura P-703

Resp.

 

704.- Determinar los esfuerzos máximos en el poste redondo de 300 mm de diámetro indicado en la figura P-704 cuando P = 24000 N.

Figura P-704 y P-705

705.- Determinar la carga máxima P que puede aplicarse al poste redondo de 300 mm de diámetro indicado en la figura P-704, dado que el esfuerzo admisible es de 10 MPa. Resp.

  

706.- Determinar los esfuerzos máximos en la viga de acero W 8 x 18 indicada en la figura P-706

Figura P-706

707.- Determinar la carga máxima O que puede aplicarse a la vigueta de acero W 6 x 16, indicada en la figura P-707. El esfuerzo admisible es de 22 klb/pulg2.

Figura P-707

Resp.


   Página 192


708.- Las secciones A-A y B-B del mecanismo indicado en la figura P-708 son de 3 pulg x ¾ pulg. Determinar los esfuerzos en esas secciones, suponiendo que P 1 = 5000 lb.


709.- Determinar el valor máximo de P1 y el valor correspondiente de P 2 para el mecanismo indicado en la figura P-708 El esfuerzo admisible en las secciones A-A y B-B es de 16000 lb/pulg2. Resp.

       

710 a 713.- Para el estado de esfuerzo dado, determine los esfuerzos normales y cortantes ejercidos sobre la cara oblicua del elemento triangular sombreado en las figuras. Resolver por el método analítico y por el método grafico (círculo de Mohr).

Figura P-710

Figura P-711

Figura P-712

          

Resp.


Figura P-713

       Página 193


714 a 717.- Para el esfuerzo dado, calcule: a) Los planos principales, b) Los esfuerzos principales. c) La orientación de los planos de esfuerzo cortante máximo, d) El esfuerzo cortante máximo en el plano, e) El esfuerzo normal correspondiente

Figura P-714

Figura P-715

Figura P-716

Figura P-717

718.- El tubo de acero AB tiene un diámetro exterior de 102 mm y un espesor de pare de 6 mm, si se sabe que el brazo CD está rígidamente fijo al tubo, determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H.


Resp.

            

719.- El tubo de acero AB tiene un diámetro externo de 102 mm y un espesor de pared de 6 mm. Si el brazo CD se encuentra fijo con rigidez al tubo, encuentre los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto K.

720.- Se aplica una fuerza vertical de 400 lb en el punto D a un equipo fijo al eje AB sólido con diámetro de 1 in. Calcule los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H localizado encima del eje, como se muestra en la figura.


Página 194


Figura P-720

Resp.

         

721.- Un mecánico usa una matraca para aflojar un tornillo en el punto E. Si se sabe que el mecánico aplica una fuerza vertical de 24 lb en el punto A, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H localizado sobre el eje con diámetro de ¾ in.

Figura P-721

722.- Para el estado de esfuerzos planos que muestra la figura, determine el valor más grande σ y para el que el esfuerzo cortante máximo en el plano es menor o igual que 15 ksi

Figura P-722

Resp. 40.9 ksi U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

Página 195


723.- Determine el diámetro más pequeño permisible del eje sólido ABCD, si se sabe que τperm = 60 MPa y que el radio del disco B es r = 80 mm

Figura P-723 y 724

724.- Encuentre el diámetro más pequeño permisible del eje sólido ABCD, sabiendo que τperm = 60 MPa y que el radio del disco B es r = 120 mm. 725.- Se aplican las fuerzas verticales P1 y horizontal P2 a los discos soldados al eje sólido AD, según se ilustra en la figura. Si el diámetro del eje es de 1.75 in. y τ perm = 8 ksi, calcule la magnitud más grande permisible de la fuerza P2

Figura P-725

Resp. 873 lb. 726.- El eje sólido ABC y los engranes que se muestran en la figura se utilizan para transmitir 10 kW del motor M a un elemento de máquina conectado al engrane D. Si el motor gira a 240 rpm y τperm = 60 MPa, encuentre el diámetro más pequeño permisible del eje ABC.


Página 196

Esfuerzo-Combinados

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