1.) Defin Definición ición de Espacio Espacio Vectorial y Subespacios. Subespacios. Subespacio: En álgebra lineal, lineal , un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, vectorial , que debe cumplir ciertas características específicas. Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio subespac io son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos. espacio acio vect vectoria oriall es una estr estructu uctura ra matemática Espacio Espaci o Vector Vectorial: ial: Un esp creada cread a a par partir tir de un con conjun junto to no vac vacío ío co con n un una a op opera eració ción n sum suma a int intern erna a al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo cumplien do una serie de propiedades o requisitos iníciales. A los element elementos os de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Sea H un subconju subconjunto nto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones operaciones de suma y multiplic multiplicación ación por un escalar definidas en V . Entonces se dice que H es un subespacio de V. Se pue puede de dec decir ir que el sub subespa espacio cio H here hereda da las operacione operaciones s del espacio espacio vectorial “padre” V.
2.) Combi Combinación nación Lineal Lineal y Generación Generación de Espacios Espacios Combinación lineal: Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares. Cualquier vector se puede poner como tengan distinta dirección.
combinación lineal de otros que
Toda exp Toda expre resió sión n del tip tipo o α 1u1 + +α nun con α 1 ∈ K se ll llam ama a combinación lineal de vectores de la familia F = {u1, u2 , , un } . Toda combinación lineal de vectores de E es un vector de E. Se dirá u combinación lineal de u1, u2,
Generación de Espacios
u = α 1u1 + +α n un
Generación de un espacio vectorial. Los vectores v1, v2,…, vn en un espacio vectorial V se dice que generan V, si todo vector en V puede expresarse como combinación lineal de ellos. Esto es, para todo v " V, existen escalares a1, a2,…, en tales que v = a1v1 + a2v2 + …+ anvn espacio generado por un conjunto de vectores. Sean v1, v2,…, vn n vectores en un espacio vectorial V. El espacio generado por {v1, v2,…, vn} es el conjunto de las combinaciones lineales de v1, v2,…, vn. Esto es, gen {v1,v2,…, vn} = {v: v = a1v1 + a2v2 + …+ anvn} donde a1, a2,…, an son escalares. El gen {v1,v2,…,vn} es un subespacio de V.
3.) Dependencia e Independencia Lineal.
Vectores linealmente dependientes vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. Varios
Vectores linealmente independientes Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
a1 = a2 = ··· = an = 0 vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales. Los
4.) Bases y dimensiones, teorema de la dimensión y teorema de la base incompleta Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez
linealmente independiente.
Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
T Teorema de la base incompleta Si E es un espacio vectorial de dimensión n y F = {u1, , ur } (r < n) un sistema libre de E, existen n - r vectores de E que añadidos a F forman una base de E. Consecuencia: El espacio vectorial generado por los n - r vectores añadidos a F son base del subespacio suplementario del L(F).
Teorema y definición: Dimensión. Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. Conjunto de vectores de dicho espacio.
Teorema:. Sea S un espacio o subespacio de dimensión m. Entonces, • Si tenemos m vectores linealmente independientes en S, también serán sistema generador de S. • Si tenemos m vectores que generan S, también serán linealmente independientes. Por tanto, si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como indica la dimensión, dichos vectores serán a la vez linealmente independientes y sistema generador, o bien ninguna de las dos cosas. Así pues, para probar que son base, bastaría probar solamente una de las dos cosas: que son linealmente independientes, o que son sistema generador.
Esto solamente se puede aplicar cuando conocemos la dimensión del espacio y cuando tenemos tantos vectores como indica la dimensión.
Los Espacios RN: Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, también conocido por espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se clasifican así: R1 = espacio unidimensional, línea recta real. R2 = espacio bidimensional, pares ordenados. R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas. Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas. Operaciones Básicas con Vectores en R2: Suma de vectores y multiplicación por un escalar: Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que: X + Y = (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2) y la multiplicación por un escalar se define H(x1 , x2)=(Hx1 , Hx2). Las propiedades que cumple la suma de vectores son las mismas que cumplían las estructuras algebraicas de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva. Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son: La de cierre bajo la multiplicación Hx, La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy, La asociativa (HI)x = H(Ix), y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x. Operaciones Básicas con Vectores en Rn: Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y nesimos vectores ejemplo: Para suma de vectores X + Y = (x1, x2,... , xn) + (y1 , y2, ... , yn). Para multiplicación de un vector por un escalar H(x1, x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn). Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R2. El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn: 0 = (0, 0, 0,..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0, 0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.
5.) Producto Escalar, Ortogonalidad, Norma y Ángulo El producto escalar: también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar . Esta operación permite explotar los conceptos
de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeo de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos.
Ortogonalidad: Es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad . En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.
Norma vectorial: Es una aplicación que mide de alguna manera el "tamaño" de los vectores en un espacio vectorial. Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica
Ángulo: es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
6.) Producto Vectorial y Mixto Producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior ). El producto mixto (o también conocido como triple producto escalar ) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar .
7.) Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt En álgebra lineal, el proceso
de ortogonalización de Gram–Schmidt es
un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de
vectores que genere el mismo subespacio vectorial. Se define, en primer lugar, el operador proyección mediante
donde los corchetes angulares representan el producto interior . Es evidente que
es un vector ortogonal a . Entonces, dados los vectores de Gram–Schmidt construye los vectores ortonormales siguiente:
, el algoritmo de la manera
A partir de las propiedades de la proyección y del producto escalar, es sencillo probar que la sucesión de vectores es ortogonal.
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Santa Ana de Coro, Junio de 2011
