INTRODUCCION El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de matrices, vectores, esacios vectoriales, trans!ormaciones lineales, " sistemas de ecua ec uaccio ion nes liline nea ale less# Lo Loss es es ac aciios ve vect cto ori ria ale less so son n un te tema ma cent ntra rall en las matemáticas modernas$ or lo que el álgebra lineal es usada amliamente en álgebra abstracta " análisis !uncional# El álgebra lineal tiene una reresentaci%n concreta en la geometr&a anal&tica, " tiene alicaciones en el camo de las ciencias naturales " en las ciencias sociales#$ as& como tambi'n a"uda al desarrollo de ciertas caacidades !undamentales ara un ingeniero( caacidad de !ormali)ar, de ra)onar rigurosamente, de reresentar adecuadamente algunos concetos# En el resente traba*o +ablaremos sobre la imortancia de las matrices en la Ing# Civil#
Las Matrices en la Ingeniería Civil. Las matrices, se mencionaron or rimera ve) en Inglaterra a mediados del siglo asado
en los traba*os
del Irland's # -amilton, constitu"en
una
de las
aortaciones más valiosas " !ruct&!eras a las matemáticas modernas, or la simli!icaci%n
rotacional
que ermiten
en la reresentaci%n
de roblemas
comle*os en los que interviene un gran n.mero de variables# En las más diversas discilinas, como la /&sica, la Ingenier&a, la econom&a, la sicolog&a o la administraci%n, una gran cantidad de roblemas que requieren del uso de muc+as variables no odr&an ser delimitados, laneados " resueltos or la notaci%n simb%lica del álgebra tradicional a causa de los ocos alcances que 'sta otorga# La escritura matricial or su agilidad, brevedad " recisi%n sule esta de!iciencia# Dentro de la Ingenier&a Civil en esec&!ico, se ocuan las matrices en diversos asectos(
El dise0o estructural se resuelve mediante matrices#
Los roblemas de dinámica estructural se resuelven mediante matrices#
Los análisis avan)ados de elemento !inito se resuelven mediante matrices#
Los análisis de redes de !lu*o en mecánica de suelos se resuelven mediante matrices#
Las matrices tienen diversas alicaciones en la ingenier&a civil or e*emlo en el cálculo estructural ara anali)ar la caacidad de carga " el dise0o de elementos$ en ingenier&a de tránsito ara generar matrices de in!ormaci%n en la lani!icaci%n de transorte " a!oros ve+iculares$ en toogra!&a ara reali)ar res.menes de datos " cuadricular terrenos ara curvas de nivel$ en dibu*o asistido or comutadora en el so!t1are
2utoC2D#
Tambi'n en estática, se utili)a ara resolver roblemas de equilibrio en el esacio en 3D con oeraciones vectoriales$ en +idráulica ara +acer re!erencias del estudio de la 'rdida de energ&a or accesorios 4circuito cerrado5 " en el análisis, dise0o " distribuci%n de caudales ara la oblaci%n$ en análisis num'rico ara resolver sistemas de ecuaciones lineales#
Método matricial de la rigidez. El m'todo matricial de la rigide) es un m'todo de cálculo alicable a estructuras +ierestáticas de barras que se comortan de !orma elástica " lineal# En ingl's se le denomina direct sti!!ness met+od 4D67, m'todo directo de la rigide)5, aunque tambi'n se le denomina el m'todo de los desla)amientos# Este m'todo está dise0ado ara reali)ar análisis comutari)ado de cualquier estructura inclu"endo a estructuras estáticamente indeterminadas# El m'todo matricial se basa en estimar los comonentes de las relaciones de rigide) ara resolver las !uer)as o los desla)amientos mediante un ordenador# El m'todo de rigide) directa es la imlementaci%n más com.n del m'todo de los elementos !initos# Las roiedades de rigide) del material son comilados en una .nica ecuaci%n matricial que gobierna el comortamiento interno de la estructura ideali)ada# Los datos que se desconocen de la estructura son las !uer)as " los desla)amientos que ueden ser determinados resolviendo esta ecuaci%n# El m'todo directo de la rigide) es el más com.n en los rogramas de cálculo de estructuras 4tanto comerciales como de !uente libre5# El m'todo directo de la rigide) se origin% en el camo de la aeronáutica# Los investigadores consiguieron aro8imar el comortamiento estructura de las artes de un avi%n mediante ecuaciones simles ero que requer&an grandes tiemos de cálculo# Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se eme)aron a resolver de !orma ráida " sencilla# El m'todo consiste en asignar a la estructura de barras un ob*eto matemático, llamado matri) de rigide), que relaciona los desla)amientos de un con*unto de untos de la estructura, llamados nodos, con las !uer)as e8teriores que es necesario alicar ara lograr esos desla)amientos 4las comonentes de esta matri) son !uer)as generali)adas asociadas a desla)amientos generali)ados5# La matri) de rigide) relaciona las !uer)as nodales equivalentes " desla)amientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuaci%n(
D%nde(
son las !uer)as nodales equivalentes asociadas a las !uer)as e8teriores
alicadas sobre la estructura$
son las reacciones +ierestáticas inicialmente
desconocidas sobre la estructura$
los desla)amientos nodales inc%gnita de la
estructura " el n.mero de grados de libertad de la estructura# La energ&a de de!ormaci%n elástica tambi'n uede e8resarse en t'rminos de la matri) de rigide) mediante la relaci%n(
Del teorema de 7a81ell9:etti se deduce que la matri) de rigide) debe ser sim'trica " or tanto(
El m'todo matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matri) de rigide), llamada matri) de rigide) elemental que deenderá de sus condiciones de enlace e8tremo 4articulaci%n, nudo r&gido,###5, la !orma de la barra 4recta, curvada, etc#5 " las constantes elásticas del material de la barra 4m%dulo de elasticidad longitudinal " m%dulo de elasticidad transversal5# 2 artir del con*unto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acolamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matri) de rigide) global, que relaciona los desla)amientos de los nudos con las !uer)as equivalentes sobre los mismos#
Igualmente a artir de las !uer)as alicadas sobre cada barra se constru"e el llamado vector de !uer)as nodales equivalentes que deenden de las acciones e8teriores sobre la estructura# ;unto con estas !uer)as anteriores deben considerarse las osibles reacciones sobre la estructura en sus ao"os o enlaces e8teriores 4cu"os valores son inc%gnitas5# /inalmente se constru"e un sistema lineal de ecuaciones, ara los desla)amientos " las inc%gnitas# El n.mero de reacciones inc%gnitas " desla)amientos inc%gnita deende del n.mero de nodos( es igual a 3N ara roblemas bidimensionales, e igual a
6ubsistema =# >ue agrua todas las ecuaciones lineales del sistema original que s%lo contienen desla)amientos inc%gnita#
6ubsistema ?# >ue agrua al resto de ecuaciones, " que una ve) resuelto el subsistema = " substituido sus valores en el subsistema ? ermite encontrar los valores de las reacciones inc%gnita#
Una ve) resuelto el subsistema = que da los desla)amientos, se substitu"e el valor de estos en el subsistema ? que es trivial de resolver# /inalmente a artir de las reacciones, !uer)as nodales equivalentes " desla)amientos se encuentran los es!uer)os en los nudos o uniones de las barras a artir de los cuales ueden conocerse los es!uer)os en cualquier unto de la estructura " or tanto sus tensiones má8imas, que ermiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura# El uso de las matrices en la Ingenier&a Civil es mu" imortante ara resolver un diverso tio de roblemas, rincialmente en el área de análisis " dise0o estructural#
El m'todo matricial de la rigide), or e*emlo, es de gran utilidad ara estudiar una estructura, determinando su estabilidad or medio de tres tios de ecuaciones que deben cumlirse(
Ecuaciones de comatibilidad#
Ecuaciones constitutivas#
Ecuaciones de equilibrio#
De esta manera, vemos la imortancia que tiene una materia básica " !undamental en la Ingenier&a como es el Álgebra Lineal, además de sus alicaciones rácticas en la vida ro!esional#
