El uso de números aleatorios para evaluar integrales
Una de las primeras aplicaciones de números aleatorios era en el cálculo de las integrales. Sea g (x)
(()
una función y supongamos que queríamos calcular donde:
, tenga en cuenta que si U está uniformemente distribuida en (0, 1) entonces podemos expresar como: ,( ,()Si son independientes uniformes (0,1) variables aleatorias, lo anterior se desprende que las variables aleatorias ( )( ) son independientes e idénticamente distribuidas variables aleatorias con medio . Por lo tanto por la ley fuerte de los grandes números, se deduce que con Para calcular el valor de
probabilidad 1,
( ) ,()-
mediante la generación de un gran número de de números aleatorios y tomando como aproximación del valor medio de ( ). Este enfoque a las integrales Por lo tanto, podemos aproximar de
aproximación
es
llamada
el
método
de
Monte
Carlo.
Si quisiéramos calcular:
(() A continuación, al hacer la sustitución
( ) ( ) ( ), vemos que:
)( ) () (( , -)( Donde () ( ) ( , - ). Por lo tanto, podemos aproximar mediante la
continua generación de números aleatorios y luego tomando el valor medio de h evaluados en estos números aleatorios.
Del mismo modo, si queríamos
() Se podría aplicar la sustitución identidad
( ) ( ) , para obtener la
() Donde
. / ()
La utilidad del uso de números aleatorios para aproximar las integrales se hace más evidente en el caso de las integrales multidimensionales integrales. Supongamos que g es una función con un argumento n-dimensional y que estamos interesados en la informática
( ) la clave del método de Monte Carlo para estima expresar como la expectativa siguiente:
se encuentra en el hecho de que
se puede
,( )Donde
independiente son uniformes (0,1) variables aleatorias, por lo tanto, si
generamos k conjuntos independientes, cada uno con aleatorias
independiente uniforme (0,1) variables
. . .
Entonces, ya que las variables aleatorias
. / , son variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas con media
∑ () .
, se puede estimar
por
Para una aplicación de lo anterior, considere el siguiente enfoque para estimar Ejemplo
3a
la
estimación
de
pi.
Supongamos que el vector aleatorio (X, Y) se distribuye uniformemente en el cuadrado de área 4 centrada en el origen. es decir, se trata de un punto aleatorio en la región especificada en la figura 3,1. Consideremos ahora la probabilidad de que este punto al azar en la plaza se encuentra dentro del círculo de radio escrito 1 (ver figura 3.2). Nota que desde (x, y) se distribuye uniformemente en la cuadrado se sigue que: (-1,1)
(1,1)
(-1,-1)
(1,-1)
=(0,0)
Figura 3.1 cuadro
Figura 3.2 circulo dentro
*( ) + * + por lo tanto, si se genera un gran número de puntos aleatorios en el cuadrado, la proporción de punto que caen dentro del círculo será de aproximadamente
.
Ahora bien, si X e Y son
independientes y ambos se distribuyeron uniformemente sobre (-1,1), su densidad conjunta sería
() () () . = , ya que la función de densidad de (x, y) es constante en el cuadrado, lo que sigue (por definición) que (x, y) se distribuye uniformemente en el cuadrado. Ahora bien, si U es uniforme en (0,1) entonces 2U es uniforme en (0,2) y por lo tanto 2U-1 es uniforme en (-1,1). Por lo tanto, si generar números aleatorios U1 y U2, conjunto x = 2U1-1 e y = 2U2-1, y definir
* Entonces
,- * + Por lo tanto, se puede estimar pi / 4 por la generación de un gran número de pares de números aleatorios U1, U2 y estimar pi / 4 por la fracción de pares de bruja Menor Igual 1.
( ) ( )
Por lo tanto, generadores de números aleatorios se puede utilizar para generar los valores de uniforme (0,1) variables aleatorias. a partir de estos números aleatorios que mostramos en los capítulos 4 y 5 cómo podemos generar los valores de variables aleatorios de distribuciones
arbitrarias. Con esta capacidad para generar arbitrarias variables aleatorias que será capaz de simular un sistema de probabilidad - es decir, que será capaz de generar, de acuerdo con las leyes de probabilidad específicas del sistema, todas las cantidades aleatorias de este sistema a medida que evoluciona con el tiempo.
Ejercicios:
3° 4° 5° 6° 7° 8° 9°
∫ * + ∫( ) ∫ ∫ () ∫ ∫ ∫ () ∫ ∫ ()
