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GUIA PARA EL USO DE MATLAB PARTE 3 Symbolic Math Toolbox Las rutinas de matemática simbólica de MatLab son utilizadas para poder escribir ecuaciones con variables genéricas sin necesidad de crear vectores. Algunas ventajas del Symbolic Math Toolbox para el diseño y análisis de sistemas:
Las funciones y ecuaciones se pueden ingresar de manera simbólica, pudiéndose utilizar tanto caracteres alfabéticos como numéricos. Por ejemplo puede ingresar = ^ ^2 + 3 ∗ + 7 , en lugar de = [1 3 7]. También puede ingresar = ∗ ^ 2 + ∗ + .
Se pueden manipular algebraicamente y simplificar expresiones simbólicas. Las transformadas de Laplace y Z se pueden ingresar y determinar sus inversas en forma simbólica. Las funciones se puede “imprimir con una mejor presentación” para mejor claridad en la Command Window y entonces imprimirse en papel.
1. Definición de objetos simbólicos El inicio de cualquier cálculo simbólico requiere definir los objetos simbólicos, por ejemplo, la variable de la transformada de Laplace (s) o la variable de tiempo (t). t, siendo s y t las variables simbólicas. Se utiliza el comando: comando: syms s t, Solamente en necesario definir los objetos que entran al programa, las variables producidas por el programa no necesitan definirse. De este modo, si se está determinando transformadas inversas de Laplace, solamente se necesita definir s puesto que t resulta del cálculo.
2. Imprimir con mejor presentación Se utiliza el comando pretty(F) , siendo F la función que se quiere imprimir en bonito.
Ejemplo 1 syms s;
%declaro variable simbólica
F=2/[(s+1)*(s+2)^2] F=2/[(s+1)* (s+2)^2]
%función de transferencia transferenc ia
pretty(F)
%imprimo en bonito
f=ilaplace(F) f=ilaplace( F)
%transformada inversa
pretty(f)
Vista en Command Window:
Sin pretty:
F = 2/((s + 1)*(s + 2)^2)
Con pretty:
2 ---------------2 (s + 1) (s + 2)
3. Cambios en la apariencia de los resultados desplegados:
collect(F,s): Reúne los términos con coeficientes comunes de F, si coloco s le aclaro que variable quiero que reúna.
expand(F): Expande los productos de factores.
factor(F): Factores de F.
simple(F): Determina la forma más sencilla de F con el menor número de términos.
simplify(F): Simplifica F.
vpa(expression, places): Quiere decir precisión aritmética variable, este comando convierte términos simbólicos fraccionarios en términos decimales con un número específico de lugares después de la coma.
Ejemplo 2 syms t; f=2*exp(-t)-2*t*exp(-2*t)-2*exp(-2*t);
%defino la función en el tiempo
'Función en el tiempo' %desplego etiqueta pretty(f) F=laplace(f);
%calculo su transformada, tener en cuenta que Matlab da F(s) %fracciones parciales
'Transformada' pretty(F)
%imprimir en bonito las fracciones parciales
F=simplify(F); %Combino las fracciones parciales 'Con simplify' pretty(F)
Vista en Command Window: Función en el tiempo 2 2 2t ------ - -------- - -------exp(t) exp(2t) exp(2t) Transformada 2 2 2 ----- - ----- - -------s + 1 s + 2 2 (s + 2) Con simplify 2 ---------------2 (s + 1) (s + 2)
Ejemplo 3: syms t; f=3/16-3/16*exp(-t)*[cos(2*t)+(1/2)*sin(2*t)]; F=laplace(f); 'Transformada' pretty(F) F=vpa(F,3); 'Precisión aritmética variable con pretty' pretty(F);
Vista en Command Window: Transformada 3 3 (s + 1) 3 ---- - ----------------- - ----------------16 s 2 2 16 ((s + 1) + 4) 16 ((s + 1) + 4) Precisión aritmética variable con pretty 0.188 0.188 0.188 (s + 1.0) ----- - ---------------- - ---------------s 2 2 (s + 1.0) + 4.0 (s + 1.0) + 4.0
Ejemplo 4: syms x y z; a=collect(((log(x)+2*x)*(x+2))) b=collect((2*x+y)*(x^3+5*y+3),y) d=expand((z+3)*(z+6)*(z-4)) e=x^3+x^2+3*x+x*y+x*z; f=factor(e) g=sin(x)^2+cos(x)^2; h=simple(g)
Vista de Command Window a = 2*x^2 + (log(x) + 4)*x + 2*log(x) b = 5*y^2 + (x^3 + 10*x + 3)*y + 2*x*(x^3 + 3) d = z^3 + 5*z^2 - 18*z - 72 f = x*(x^2 + x + y + z + 3) h = 1
4. Funciones transferencia con la regla de Cramer La regla de Cramer da la solución de un sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitas que de ecuaciones, el determinante de la matriz de los coeficientes debe ser distinto de cero. Un sistema de ecuaciones lineales tiene la forma = , siendo A la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas, x es el vector de las incógnitas y B es un vector que contiene las entradas. = ()/(), siendo la matriz formada al reemplazar la k-ésima columna de
la matriz con el vector de entrada
Ejemplo 5 Dado el siguiente circuito obtener la función de transferencia (I2/V) aplicando regla de Cramer.
Solución: Obtenemos el sistema de ecuaciones: (R1+Ls)I1 - Ls I2 = Vi -Ls I1 + (Ls+R2+1/Cs)I2 = 0
En MatLab: syms Vi R1 L R2 C s; A2=[(R1+L*s) Vi;-L*s 0]; A=[(R1+L*s) -L*s; -L*s (L*s+R2+(1/(C*s)))]; I2=det(A2)/det(A) G=I2/Vi; G=collect(G,s) pretty(G)
Vista en Command Window I2 = (C*L*Vi*s^2)/(R1 + L*s + C*L*R1*s^2 + C*L*R2*s^2 + C*R1*R2*s)
G = ((C*L)*s^2)/((C*L*R1 + C*L*R2)*s^2 + (L + C*R1*R2)*s + R1) 2 (CL)s --------------------------------------------2 (CLR1 + CLR2)s + (L + CR1R2)s + R1
5. Ingreso de funciones de transferencia complicadas Cuando se tiene funciones de transferencia complicadas, se puede hacer distributiva en tres pasos, usando los comandos numden y sym2poly.
Ejemplo 6 En MatLab: syms s; G=(54*(s+27)*(s^3+52*s^2+37*s+73))... /(s*(s^4+872*s^3+437*s^2+89*s+65)*(s^2+79*s+36)); % se define G en forma literal [numg,deng]=numden(G);
% se extrae la parte literal de num y den de G
numg=sym2poly(numg);
% convierte los números como caracteres a números
deng=sym2poly(deng); 'Función transferencia reordenada' Gtf=tf(numg,deng) 'Función de transferencia en forma de ceros y polos' Gzpk=zpk(Gtf)
Vista en Command Window Función transferencia reordenada Transfer function: 54 s^4 + 4266 s^3 + 77814 s^2 + 57888 s + 106434 --------------------------------------------------------------------s^7 + 951 s^6 + 69361 s^5 + 66004 s^4 + 22828 s^3 + 8339 s^2 + 2340 s Función de transferencia en forma de ceros y polos Zero/pole/gain: 54 (s+51.31) (s+27) (s^2 + 0.6934s + 1.423) -------------------------------------------------------------------s (s+871.5) (s+78.54) (s+0.558) (s+0.4584) (s^2 - 0.05668s + 0.1337)
6. Graficación Se pueden hacer gráficas bidimensionales con objetos simbólicos, se utiliza la instrucción ezplot(f,[xmin xmax ]), si no se colocan los valores [xmin xmax] , MatLab grafica automáticamente entre -2*pi y 2*pi.
Ejemplo7 En MatLab: syms x;hold on;
ezplot(abs(x), [-3 3]); ezplot(x^2, [-3 3]) figure subplot(2,1,1) ezplot(cos(x)) subplot(2,1,2) ezplot(x^3)
EJERCICIOS Manejo Simbólico de funciones a)
Obtener la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
i. () = 2(5) ii. ( ) = 3 + 8 + 2 (2 ) b) Obtener la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:
c)
Dado que en el dominio de Laplace (s) las impedancias inductivas, capacitivas y resistivas están definidas por Ls, 1/Cs y R respectivamente, se pide determinar las siguientes funciones de transferencia en el circuito que se muestra de forma teórica:
d) Representar las funciones de transferencia de forma simbólica (syms) y obtener las soluciones temporales respectivas (ilaplace)
Para construir objetos simbólicos
syms arg1 arg2 ...
Es la forma abreviada de escribir: arg1 = sym('arg1'); arg2 = sym('arg2'); ...
Si se quiere indicar el tipo del objeto simbólico se puede escribir
syms arg1 arg2 ... real
Es la forma abreviada de escribir: arg1 = sym('arg1','real'); arg2 = sym('arg2','real'); ...
syms arg1 arg2 ... positive
Es la forma abreviada de escribir: arg1 = sym('arg1','positive'); arg2 = sym('arg2','positive'); ...
syms arg1 arg2 ... unreal
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1','unreal'); arg2 = sym('arg2','unreal'); ...
Ejemplo: >> syms x >> y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
Para hacer una sustitución simbólica simple de “var” en “valor” en la expresión “f”:
subs(f,var,valor)
Ejemplo: >> syms x >> y=sin(x)+3^x+8/(x+1) >> subs(y, x, 2)
Para realizar la gráfica de una función simbólica en un dominio y en la ventana de dibujo indicada en fig:
ezplot(f, [a,b], fig)
Ejemplo: >> syms x >> y=sin(x)+3^x+8/(x+1) >> %El segundo y el tercer parámetro son opcionales. >> ezplot(y, [-2,2])
Para resolver de forma simbólica ecuaciones algebraicas
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn') solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn','var1,var2,...,varn') solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn','var1','var2',...'varn')
Ejemplo: >> % Calculamos las raíces de un polinomio genérico de grado 3. >> syms x a b c d >> v=solve(a*x^3+b*x^2+c*x+d) >> r=subexpr(v(1)) >> s=subexpr(v(2)) >> t=subexpr(v(3))
Para escribir simplificada o de forma más habitual una expresión
pretty(expresion)
Ejemplo: >> syms x >> pretty(sin(x)^2+(cos(x)+3)/(sin(2*x)+5))
simplify(expresion)
Ejemplo: >> syms x >> pretty(simplify(cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)))
Para obtener el límite de una expresión simbólica “f” cuando la variable “n” tiende al valor “a”
limit(f,n,a)
Ejemplo: >> syms n >> limit(1/n,n,inf)
Para obtener la derivada de orden n una función simbólica respecto de la variable x.
diff(f,x,n)
Ejemplo: >> syms x y >> f=sin(x*y)/x; diff(f,x,3)
Para integrar una función simbólica
int(función,variable,LímiteInferior,
LímiteSuperior)
Ejemplo: >> syms x >> int(1/x,x,1,4)
LAS FUNCIONES QUE SIMPLIFICAN LA FORMA DE LAS EXPRESIONES SIMBÓLICAS collect (p) Reúne los términos iguales horner(p) Cambia a la representación anidada o de Horner expand(p) Expande los productos en sumas factor(p) Factoriza la expresión (a veces) si el argumento es una función simbólica. Si se trata de un número proporciona la factorización en números primos.
simplify(p) simplifica una expresión mediante la aplicación de diversas identidades algebraicas.
simple(p) Utiliza diferentes herramientas de simplificación y selecciona la forma que tiene el menor número de caracteres
pretty(p) Visualiza la expresión de una manera similar a la utilizada en la escritura habitual.
PARA CALCULAR LA SUMA ENTRE LOS VALORES A Y B DE LA VARIABLE
symsum(f,a,b) symsum(f,s,a,b)
Ejemplo: >> syms n >> symsum(1/n,1,inf)
PARA DESCOMPONER UN POLINOMIO EN FRACCIONES SIMPLES
[R,P,K] = residue(B,A)
Encuentra la descomposición en fracciones simples de dos polinomios B(s)/A(s). Los vectores B y A contendrán los coeficientes del numerador y del denominador en potencias descendentes de s. Si no hay raíces múltiples,
B(s) R(1) R(2) R(n) ---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(s) A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n)
Si P(j) = ... = P(j+m-1) es un cero of multiplicidad m, entonces aparecen términos de la forma R(j) R(j+1) R(j+m-1) -------- + ------------ + ... + -----------s - P(j) (s - P(j))^2 (s - P(j))^m
Ejemplo >> [R,P,K]=residue([1],[1 1 0]) R = -1 1 P = -1 0 K = []
Funciones básicas elementales. sin sinh asin asinh cos cosh acos acosh tan tanh atan atan2 atanh sec sech asec asech csc csch acsc acsch cot coth acot acoth exp log log10
Seno Seno hiperbólico Arco seno Arco seno hiperbólico Coseno Coseno hiperbólico Arco coseno Arco coseno hiperbólico Tangente Tangente hiperbólica Arco tangente Arco tangente en cuatro cuadrantes Arco tangente hiperbólica Secante Secante hiperbólica Arco secante Arco secante hiperbólica Cosecante Cosecante hiperbólica Arco cosecante Arco cosecante hiperbólica Cotangente Cotangente hiperbólica Arco cotangente Arco cotangente hiperbólica Exponencial Logaritmo natural Logaritmo decimal
pow2 sqrt fix floor ceil round mod rem sign
Potencia en base 2 Raíz cuadrda Redondeo hacia cero Redondeo hacia menos infinito Redondeo hacia más infinito Redondeo hacia el entero más próximo Módulo (cociente entero de la división) Resto entero de la división Función signo
Para obtener la derivada de orden n una función simbólica respecto de la variable x.
diff(f,x,n)
Ejemplo. >> syms x y >> f=sin(x*y)/x >> diff(f,x,3)
Para calcular el polinomio de Taylor de orden n-1 de la función f en el punto “a”
taylor(f,a,n)
Ejemplo. >> syms x >> y=sin(x)+3^x+8/(x+1) >> taylor(y,2,4)
Para realizar la gráfica de una función simbólica en un dominio y en la ventana de dibujo indicada en fig:
ezplot(f, [a,b], fig)
Ejemplo >>syms x >>y=sin(x)+3^x+8/(x+1) >>% El segundo y el tercer parámetro son opcionales. >>ezplot(y, [-2,2])
Para representar un polinomio se considera un vector fila conteniendo todos los coeficientes en orden decreciente, incluyendo ceros.
Ejemplo >>P=[1 0 –1 3 4] >>% Se trata del polinomio x4 - x2 + 3x + 4
Para manipular polinomios se tienen las siguientes funciones: roots poly polival residue polyfit
Calcula las raíces de un polinomio Construye un polinomio con unas raíces específicas Evalúa un polinomio Desarrolla en fracciones simples Ajusta un polinomio a unos datos
polider Derivada de un polinomio conv Multiplicación de polinomios deconv División de polinomios Para representar un polinomio Ejemplo: >>x=linspace(-1,5) >>vy=polyval(y,x) >>plot(x,vy)
Para calcular la derivada de un polinomio definido como el vector de sus coeficientes polyder(polinomio)
Ejemplo: >> p=[2 3 4 –1] >> polyder(p)
Función que determina si una expresión es infinita
isinf(Vector)
Devuelve uno donde el elemento de Vector es +Inf o –Inf y 0 donde no lo sea. Ejemplo: >> isinf([pi NaN Inf -Inf])
Para generar una malla de puntos en los que evaluar una función de dos variables.
meshgrid(x,y) meshgrid(x) %Es equivalente a meshgrid(x,x)
Ejemplo.%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3); >>Z=X.^2.* Y
