El Uso de las Integrales Dobles en la Ingeniería Civil

El Uso de las Integrales Dobles en la Ingeniería Civil Angel Alarcón Año: 2017

El Uso de las Integrales Integrales Dobles en en la Ingeniería Civil Ángel Alarcón Alarcón

[email protected]

RESUMEN:

Keywords.

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. Una integral múltiple o también conocidas como integral triple o doble, decimos que es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real. La Ingeniería civil como rama de la ingeniería, también usa con frecuencia el cálculo, para obtener un análisis estructural adecuado, que se considera una subdiciplina dentro de la ingeniería civil. El presente proyecto pretende demostrar cómo se usan los fundamentos del cálculo que aprendimos durante el curso de Cálculo integral y diferencial de una variable, además de su aplicación en el análisis de estructuras. Las destrezas adquiridas en el presente curso son de vital importancia para la resolución de problemas y ejercicios de esta índole en el transcurso de toda la carrera de ingeniería civil.

Multiple integrals applied to civil engineering, Integral calculus, Integral double applications, Integral double uses.

1 INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se amplían las definiciones que son necesarias para comprender las Integrales dobles, con variadas aplicaciones en el ámbito de Ingeniería. Se conoce que en varias ramas de la ingeniería el uso y aplicación de cálculo diferencial e integral es muy común, ya que abarca cálculos de áreas, resistencia y fuerzas distribuidos; siendo todos los valores mencionados anteriormente útiles en Ingeniería Civil. Pretendemos establecer la noción de integral de una función de una variable era el de calcular áreas de regiones planas. Como tenemos conocimiento, para la carrera de Ingeniería Civil es necesaria la aplicación de cálculo tanto diferencial como integral al momento de hallar ciertos valores numéricos requeridos para el cálculo estructural de una construcción y estructura definida. Esto deriva en la importancia del conocimiento teórico de las integrales dobles y de diferentes ejercicios en los que se aplican las mismas.

PALABRAS CLAVE: CLAVE : Integrales dobles aplicados a la ingeniería civil, Cálculo integral, Aplicaciones de integrales dobles, Usos de integrales dobles. ABSTRACT. Among ABSTRACT. Among the applications of double integrals, we have geometric and physical applications. In the first group are: the calculation of the area of a flat figure and the calculation of volumes of solids in space; Among the physical applications are the calculation of: mass, static moments of flat figures, centers of mass and moments of inertia for a two-dimensional region. A multiple integral or also known as a triple or double integral, we say that it is a type of definite integral applied to functions of more than one real variable. Civil engineering as a branch of engineering, also frequently uses the calculation, to obtain an adequate structural analysis, which is considered a sub-discipline within civil engineering. The present project intends to demonstrate how the fundamentals of the calculation that we learned during the course of integral and differential Calculus of a variable are used, in addition to its application in the analysis of structures. The skills acquired in this course are of vital importance for solving problems and exercises of this nature during the entire civil engineering career.

Determinar el uso y las aplicaciones de las integrales dobles en la rama de Ingeniería Civil Ampliar la comprensión comprensión en la aplicación aplicación y destrezas destrezas en el uso de integrales dobles aplicadas a la rama de ingeniería civil.

2 MATERIALES Y MÉTODOS Para la realización de este proyecto se han utilizado horas de trabajo al margen de las horas de estudio de la materia asignada para no interferir con el desarrollo académico de nuestra carrera. Este tema es exclusivamente de las integrales dobles y su aplicación en la ingeniería civil, esto se debe que al estudiar este tema en el salón de clases debemos conocer las aplicaciones que existe en la carrera estudiada por tal motivo hemos realizado este articulo 1

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.






para poder conocer más del tema, por la misma razón vamos a realizar una investigación bibliográfica que creemos que es la más adecuada para su mayor comprensión de los lectores y facilitar la comprensión del texto y tener fuentes fidedignas para ser más precisos con el tema expuesto a los demás, así vamos a añadir una introducción para la realización de tema en general. INTEGRALES DOBLES A continuación continuación vamos a trabajar con integrales integrales DEFINIDAS, para funciones de dos variables sobre regiones planas, llamadas integrales dobles. Realizaremos el cálculo de estas integrales sobre una región dada en el plano y el resultado será un NÚMERO Integral de Riemann, es la integral definida para funciones de una variable, significa el área bajo la curva = f ( ( x y = x ) en un intervalo [ a, b]. Se expresa de la siguiente manera:

      →∞lim [∑1 ( )]

Para las funciones de dos variables la región de integración sería un rectángulo R 2, es decir [ a, b] x [c , d ].].

Figura 2.: 2.: Región de integración para funciones de dos variables. Autoría. Fuente: Vilema .M calculo integral

Una función de dos variables se establece de la siguiente manera: , lo que se expresa en la siguiente figura:

  ,,  .

Figura 3.: Función de dos variables. Autoría Fuente: Vilema Fuente: Vilema .M calculo integral) Figura 1.: Región de integración para funciones de dos variables. Autoría.

Dónde: 

El punto representa cualquier punto del ij ésimo rectángulo.








El objetivo es obtener el volumen bajo la superficie, para ello debemos realizar una suma de volúmenes de paralelepípedos, es decir:

    →→lim ∑∑ ,  ∆ ∆   = =

  ,,  × ,,  , / ≤  ≤  ∧∧  ≤  ≤ 



Expresado en la región plana:



En resumen se lo puede formular:

   , 

   ,,      ,,   Ec. (3)

Ec. (4)

1.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES Tenemos la siguiente región:

Ec. (1), a la cual se la denomina Integral Doble. Para calcular el área de la región R obtendríamos la siguiente expresión: 

Ec. (2)

   

1.1 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Este teorema indica que para funciones de una variable, si la función es continua será integrable. 1.2 TEOREMA FUBINI Una forma de evaluar una integral doble es transformarla en integrales simples, es decir Integrales Iteradas.

Figura 4.: Integrales 4.: Integrales Dobles. Autoría. Fuente: Vilema Fuente: Vilema .M calculo integral Cuya área está denotada por

Mencionamos lo anterior: 

Una función de dos variables expresada en la región plana:

  ,,  ∗ ,,  ,/ ≤  ≤  ∧  ≤  ≤  

Se asume que f es continua en dicha región R:





    

Integral doble sobre la región plana:

 , 








Ec. (8)

donde

     ± ±   ±  ±                  Ec. (9) ∪ 

1.5 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Figura 5.: Integrales 5.: Integrales Dobles, barrido vertical. Autoría . Fuente: Vilema .M calculo integral

= = = = ,,  

Las integrales dobles en coordenadas cilíndricas surgen para la resolución de ejercicios donde el método de resolución de integral doble es complicada. Así tenemos lo siguiente:

Ec. (5) b) BARRIDO HORIZONTAL

Figura 7.: Coordenadas 7.: Coordenadas Cilíndricas. Autoría. Fuente: Vilema .M calculo integral Figura 6.: Integrales 6.: Integrales Dobles, barrido horizontal. Autoría. Fuente: Vilema Fuente: Vilema .M calculo integral

Ec. (6)

 =  = ,,  

1.4 PROPIEDADES Sean las funciones f y g funciones de dos

Donde podemos deducir:

.   . ..  

La integral doble se puede expresar de la siguiente forma:



 ,, 






    ,, 

Sea f(x, y) la función de densidad = (masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es.

    ,, 

El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, y donde:

̅  1 , 

Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e y respectivamente son: Figura 8.Coordenadas 8.Coordenadas Cilíndricas, región de integración. Autoría Fuente: Vilema .M calculo integral Dónde:

        

Para finalmente obtener la integral doble en coordenadas cilíndricas:

  ,, Ec. (11) Aplicación de las Integrales Las integrales dobles tienen múltiples aplicaciones en física y en geometría. A continuación, damos una relación de alguna de ellas. El área de una región plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.

          ,,  ;     ,, 






3 RESULTADOS INTEGRALES DOBLES

dobles son integrales que van a tener en una función dos variables f(x, y), que es el área bajo la curva y= f(x) en un intervalo ya dado como por ejemplo (a,b) en las integrales dobles vamos a buscar el área .

  1212  13 

Figura 9.: Grafica 9.: Grafica de una integral triple de la función Fuente: Bourbaki, Fuente: Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I, Springer Verlag. Ahora que ya tenemos tenemos una pequeña pequeña noción de lo que se trata integral podemos entender lo que se trata las integrales doble. Que está definida por funciones de más de una variable real ya sea f(x, y) o también f(x, y, z). z).

Figura 11.: Grafica 11.: Grafica de una integral triple de la función Fuente: Vilema Fuente: Vilema .M calculo integral. USO DE LAS INTEGRALES DOBLES EN LA INGENIERIA El uso de las integrales múltiples en la ingeniera es muy común y sobre todo muy importante ya que gracias a las integrales podemos obtener varias respuestas como:    

Encontrar áreas de superficies planas. El volumen de varios cuerpos dobles El centro centro de gravedad de las masas El momento de inercia, etc.








Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchos circuitos, los cuales son muy difíciles de resolver en el dominio del tiempo. Un ejemplo de esto son los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuaciones se simplifican considerablemente y es posible resolverlas en ese dominio, para después llevarlas al dominio del tiempo resueltas.

Fuente: Geraldine, C. (2009). Integrales Multiples y sus aplicaciones. En C. Geraldine

Por tanto el área se obtiene como:

    9

b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración inverso, esto es A ∫∫ Ddxdy, entonces, se necesita conocer las ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además identificar los límites de integración, que a continuación se muestran en la figura

Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales dobles:

  , ,   ,, | ≥  2 ∧∧  ≤ 4   La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales , tal como se puede observar en la siguiente figura.

Figura 14.: 14.: Aplicación de integral en la ingeniería electrónica Fuente: Geraldine, Fuente: Geraldine, C. (2009). Integrales Multiples y sus aplicaciones. En C. Geraldine

Entonces Figura 13.: 13.: Aplicación de integral en la ingeniería

   ∪  ∪ 

, donde






Utilizando integrales obtener el área de un terreno en el cual se realizó un levantamiento topográfico. Dado de la siguiente manera: Se evalúa la integral con respecto a x.

A=

  

          4      4    3 4 ⋮ 20   8 83  8   3

Se evalúa la integral con respecto a y.



  3 4  ⋮ 0

A= 8+36 A= 44 Por lo tanto con la ayuda de las dobles derivadas pudimos analizar el área de un terreno.

correcto y sacando de todos los problemas en mi vida, corrigiendo mis errores y a no cometerlos otra vez. Él es quien guía el destino de mi vida. A mis padres padres por haberme haberme apoyado en los momentos más difíciles de mi vida; muchas de mis metas se los debo a ustedes, en los que incluyo este. Por ser mi motivación y también guías de mis logros. A mi profesor profesor quien me ha sabido orientar orientar y enseñar de la mejor manera posible con mucha paciencia y respeto.

5 LITERATURA CITADA

[1]

Geraldine, C. (2009). Integrales Multiples y sus aplicaciones. En C. Geraldine.

[2]

Molinares, M. F. (27 de Noviembre de 2009). Monografias. Obtenido de http://www.monografias.com/trabajos78/integralestriples/integrales-triples2.shtml

[3]

K.J. Bradley, G.L.; Smith. Cálculo de varias variables. (Vol.II). Prentice Hall, tercera edition, 1998. [LE99Referencias

4 CONCLUSIONES En la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia. Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo

[4] Vilema .M integracion multiple (6 de febrero febrero 2017) www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/72 87/5/5-Integración%20Múltiple.pdf [5]

analisisfigempa. (6 de febrero 2017). Obtenido de https://analisisfigempa.wikispaces.com/Integrales+ Multiple

El Uso de las Integrales Dobles en la Ingeniería Civil

Recommend Documents