El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan relacion an las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos. Los pasos necesarios para realizar el método son nueve: 1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea. 2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles. 3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada. 5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa r epresenta un punto factible. 6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo. 7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo. Ejemplo. Maximizar Z = 3X1 + 2X2 restricciones :
X1 + 2X2
2X1 +
X2
<=6
(1)
<=8
(2)
-X1 +
X2
<=1
(3)
X2
<= 2
(4)
>= 0
(5)
>= 0
(6)
X1
X2
Convirtiendo las restricciones a igualdad y representandolas gráficamente se tiene: X1 + 2X2
= 6
(1)
2X1 +
X2
= 8
(2)
-X1 +
X2
= 1
(3)
X2
= 2
(4)
= 0
(5)
= 0
(6)
X1
X2
Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad. Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas (MD) oModelos Estocásticos (ME) . En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Determistas.
Supuestos Básicos de la Programación Lineal:
Linealidad, Modelos Deterministas, Variables reales, No Negatividad.
APLICACIONES
(Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo: 1. Problema de la Dieta:
Leche Legumbre NaranjasRequerimientos (lt) (1 porción) (unidad) Nutricionales 3,2 Niacina Tiamina 1,12 Vitamina C 32 2 Costo y
Variables
y y y
de Decisión:
Litros de Leche utilizados en la Dieta X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta X1:
4,9
0,8
13
1,3
0,19
15
0
93
45
0,2
0,25
Función
Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3
Restricciones:
y y y y
Satisfacer los requerimientos nutricionales
Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13 Tiamina: 1,1 2X1 + 1, 3X2 + 0,19X3 >=15 Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45 No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0 Compruebe utilizando nuestro Módulo de Resolución que la solución Óptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145.
Problema de Dimensionamiento de Lotes: (Wagner y Whitin, 1958). Consiste en hallar una polìtica óptima
deproducción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar los costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de recursos escasos. Considere que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información: Demandas
Costo Prod. Periodos (unidades)(US$/unidad) 1 2 3 4
Costo de Inventario (US$/unidad)
130
6
2
80
4
1
125
8
2.5
195
9
3
dicionalmente considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y no se acepta demanda pendiente o faltante, es decir, se debe satisfacer toda la demanda del período.
A
Variables
y y
de Decisión:
Unidades elaboradas en el período t (Con t =1,2,3,4) It: Unidades en inventario al final del período t (Con t =1,2,3,4) Xt:
Objetivo: (Minimizar los Costos de Producción e Inventarios) Min 6X1 + 4X2 + 8X3 + 9X 4 + 2I1 + 1I2 + 2,5I 3+ 3I4 Función
Restricciones:
y y y y y y
Capacidad de Producción por Período: Xt <= 150 (Con t =1,2,3,4) Satisfacer Demanda Período 1: X1 + I0 - I1 = 130 (I0 = 15) Satisfacer Demanda Período 2: X2 + I1 - I2 = 80 Satisfacer Demanda Período 3: X3 + I2 - I3 = 125 Satisfacer Demanda Período 4: X4 + I3 - I4 = 195 No Negatividad: Xt >=0, It >=0
Solución Óptima utilizando Solver de MS Excel (Para ver una aplicación de esta herramienta ingrese AQUI): X1=115,X2=150, X3=100, X4=150, I1=0, I2=70, I3=45, I4=0. Valor Óptimo V(P)=3.622,5
