DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
CALCULO DE EJES Y ÁRBOLES 1.- Generalidades: Ejes: • Llevan piezas móviles como poleas, rodillos, tambores etc. • Están Sometidos solamente a flexión . • Son de dos tipos:
Ejes fijos: - la construcción más favorable - la flexión corresponde al tipo de carga I o II (carga ( carga estática o carga intermitente). Ejes rotativos: - su utilización más común es para vehículos sobre rieles o carriles - permiten un fácil montaje y desmontaje de los juegos de ruedas - transmiten muy bien las fuerzas laterales - tienen como inconveniente que están sometidos a flexión alternativa (caso de carga III). Árboles: torsión y están sometidos a flexión por flexión por lo que se calculan a resistencia compuesta. • Transmiten momentos de torsión y • La mayoría de las veces deben calcularse, además: las las deformaciones y deformaciones y las las vibraciones • Debe distinguirse entre: Árboles largos: árboles de transmisión. Árboles cortos: árboles de máquinas. o
o
2.- Calculo Calculo de ej es. 2.1 .- EJES JES F FII JOS.
Generalmente se montan con retenciones. NOTA: Las retenciones deben disponerse en el sentido opuesto al sitio donde actúa la presión sobre el bastidor. (ver tabla de dimensiones de las retenciones) 1. Nociones sobre fuerzas y momentos de flexión. a) Polea de cable montada sobre eje fijo . Regla general, para: .- ejes largos: es decisiva la flexión. .- ejes largos: es decisiva la presión superficial entre los ejes y los bujes de deslizamiento. Se debe controlar, además, la presión superficial entre los ejes y sus soportes
19/01/2010
1 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
b) Polea con un solo buje.
NOTA: El momento máximo realmente existente es menor, pero un cálculo con estos datos da una mayor seguridad.
c) Polea con dos bujes.
NOTA: El momento máximo disminuye considerablemente en comparación con el caso anterior.
19/01/2010
2 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
19/01/2010
3 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
d) Eje con cuatro poleas.
e) Eje con cuatro poleas y soportes internos.
NOTA: Una distribución de fuerzas exteriores da tensiones menores que el caso anterior, pudiendose usar un diámetro menor para el eje.
19/01/2010
4 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS Form ulas rápidas para el cálculo cálculo 1 .1
Flexión:
σ f max
Se obtiene, inicialmente, el esfuerzo de flexión máximo Donde:
σf max
=
M f max W f
≤ σ adm
: Esfuerzo de flexión máximo
Mf max max : Momento flector máximo Wf : Modulo de resistencia a la flexión σadm : Esfuerzo admisible
Su exist
Se calcula
=
σ σ n Cc
=
σ f * int σ f max Cc
exist. Su: seguridad útil existente
Donde:
σu: Esfuerzo útil. σn : Esfuerzo nominal σf int: Esfuerzo de flexión intermitente
Cc : Coeficiente de carga
Y se comprueba:
exist. Su
≥
nec. Su
nec. Su: seguridad útil necesaria
Cc =
a).- Coeficiente a).- Coeficiente de carga.
F max F
= C 1C 2 C S
Con:
C1: Incremento de 20% á 30% si hay inseguridad en la evaluación de la carga C2: Incremento de 30% á 50% si existe peligro para personas etc. En caso de desperfecto CS: Factor de servicio o de golpe choque, golpe o impacto. Valores de C S S (ejemplos) CS
Tipo de golpes
1.0…..1.1
Ligeros
1.2…..1.5 1.2…..1.5 1.6…...2.0 1.6…...2.0 2.0……3.0
Semi duros Duros Muy fuertes
Ejemplos Máquinas rotativas como turbinas, compresores etc. Rectificadoras, máquinas eléctricas Maquinas de embolo, cepilladoras, mortajadoras, etc. gruas Prensas de forja, plegadoras, cizallas, molinos de muelas etc. Martillos mecánicos, laminadoras etc.
Valores orientativos de experiencia para el CS 1.5…..2.5 1.5…..3.0 1.2….2.0 1.1…. 1.5 aproxim. 3.0….4.0 1.5….2.0 2.0….3.0 1.5…..2.0 2.0….5.0 19/01/2010
Motores de combustión interna, según la forma de su momento torsor Motores de cortocircuito Motores de ranura doble Motores de anillos colectores Turbinas hidráulicas y de vapor + generador Bombas y compresores de émbolo Bombas centrifugas y turbocompresores Máquinas de papelería, molinos, tambores secadores Máquinas herramientas Laminadoras según su etapa y su modo de funcionamiento 5 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
b.- Seguridad necesaria.( necesaria.( nec. Su)
Depende
del caso de Carga (Q, σm / σsup) y
de la frecuencia con la que actúa la carga máxima (f p) p) Ver anexos para gráficos sistema de coordenadas:
Para la frecuencia proporcional de la carga máxima:
…… 19/01/2010
f r = 100% toma los valores:
limite inferior de n ec Su en casos favorables; es decir, la magnitud de la carga y su frecuencia proporcional son valores exactos y seguros. seguros. 6 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
19/01/2010
7 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
c.- Para anteproyectos;
d nec
=3
10 M f max
σ f adm
2 2 Valores de σf adm adm ( en Kp / cm ) para ejes de acero St 50 (σR = 50 Kp / mm )
CONDICIONES DE TRABAJO Duras Normales Ligeras
TIPOS DE EJES FIJOS Ejes de poleas y tambores con soportes de deslizamiento Ejes de poleas y tambores con soportes de rodamiento Ejes de rodillos y ruedas para grúas con soportes de deslizamiento Ejes de rodillos y ruedas para grúas con soportes de rodamiento 1 .2
1100 1050
1350 1300
1500 1450
950
1200
1350
900
1150
1300
Presión superficial
Ejes y bocinas o bujes
p=
R d l1
≤
padm
R d l2
≤
padm
●
p=
●
R: resultante sobre el buje o soporte l1: Longitud de un solo buje d: Diámetro del buje o soporte Construcción con dos l2: longitud de uno de los dos bujes bujes Construcción con un solo buje
Para bujes de bronce padm = 80 a 120 Kp / cm2 Ejes y soportes
p=
R d e
≤
padm
e: espesor del soporte
Soporte
●
Para soportes en St 37 (σR = 37 Kp / mm2) padm = 800 a 1200 Kp / cm2
19/01/2010
8 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS EJES EJES ROTATI VOS
Se calculan con las mismas formulas que los ejes fijos, pero para el control de la seguridad, se debe aplicar, para la resistencia útil el valor correspondiente a la flexión alternativa , (caso (caso carga III) . exist Su
Se comprueba:
S u exist
Pero:
=
≥
nec Su
σ σ n Cc
=
σ f * Alt σ f max Cc
Donde: σf *alt;: Esfuerzo de flexión alternativa de la pieza Para anteproyectos.
d min nec
=3
10 M f max
σ f adm
2 Valores de σf adm para ejes de acero con σR = R = 50 Kp / mm
CONDICIONES DE TRABAJO
TIPOS DE EJES ROTATIVOS Sin entallas Con entallas de menor efecto Con entallas de mayor efecto
Duras
Semiduras
Normales
Ligeras
750
900
1050
1200
500 a 600
600 a 700
700 a 800
800 a 1000
200
250
300
350
d) Control de ángulos de inclinación de cojinetes. (ángulos de flexión) La tg del ángulo de inclinación para un punto determinado es la primera derivada de la elástica particularizada en ese punto.
tg α A
=
F a l E I x 3
;
tg α B
=
F a l E I x 6
;
tg β F
=
F E I x
⎡ a l a 2 ⎤ ⎢3 + 2⎥ ⎣ ⎦
Ix= constante, Modulo de inercia de un elemento circular a φ constante. E: Modulo de elasticidad (para aceros: 2.1*106 Kp/cm2) Para cojinetes de deslizamiento se pide generalmente:
tg α ≤
19/01/2010
9 de 21
1 1000
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS ÁRBOLES:
Los árboles de transmisión y de reenvío son los primeros transmisores y receptores de la potencia mecánica. Es necesario realizar el estudio en detalle de la resistencia, las deformaciones y los modos de vibración de los árboles. Además se debe conocer las diferentes nomenclaturas de los materiales utilizados en cualquier construcción mecánica y, para los árboles, la de los aceros, acompañados por los diferentes criterios sobre su selección según las diversas consideraciones sobre las cargas, impactos y fluctuaciones del par transmitido Aunque a menudo, se asimila un árbol como un elemento de transmisión rígido, existen elementos flexibles que cumplen con esta función, tomando el nombre de árboles flexibles. Fabricación de Árboles. 700 Nw/ mm2 y acero • Hasta φ 150 mm. Se construyen con acero en barras redondas (σR = de 420 a 700 aleado), torneado descortezado o estirado en frió. • Los de diámetro diámetro mayor y los fuertemente escalonados se forjan. • Los árboles rasurados se someten a un rectificado final, cuando se requiere una precisión en su redondez. En función de las exigencias los puntos de apoyo y los escalonamientos se tornean fino, se rectifican, se pulen a presión y se lapean. Para grandes exigencias, exigencias, pueden someterse un temple temple previo. St (DIN) 42-2 50-2 60-2 70-2 C22, Ck22 C35, Ck35 C45, Ck45 25CrMo4 34Cr4 C15, Ck 15 16MnCr5
R (N/mm2)
σ
B 420 B 500 B 600 B 700 V 500 V 590 V 670 V 800 V 900 E 500 E 800
HV - Dureza (enduresible hasta) 115 (450) 135 (530) 165 (720) 190 150 140 170 (720) 186 (610) 229 (670) 140 (840) 210 (840)
Resistencia a l Flexión (N/mm2) σf alt.
220 260 300 340 280 330 370 430 480 260 390
σf int.
360 420 470 520 490 550 630 730 810 420 670
Resistencia a la Torsión (N/mm2) τtalt. τtint. 150 180 180 210 210 230 240 260 190 250 230 300 260 340 300 450 330 550210 180 430 270
NOTAS: B: Aceros de construcción en general; V: Aceros de bonificación; E: Aceros de cementación (Estos valores son los de resistencia en el núcleo) N = 9.81 Kp En algunos casos se utiliza; utiliza; N = 10 Kp La elección del material del árbol (tabla anterior) se rige por las cargas que actúan y la rigidez de forma necesaria para ellas, también según las condiciones de conjunto, p. ej. para ejes dentados según el material elegido para los dientes. En los cojinetes, el desgaste y las propiedades de rodadura juega un papel esencial, así, debe tenerse en cuenta que con la dureza aumenta la resistencia a la tracción, pero disminuyen el alargamiento y la resiliencia (mayor sensibilidad a la entalla). El diseño se rige, primordialmente por las piezas que vayan unidas al árbol o eje (cojinetes, retenes de aceite y cubos de las poleas y las ruedas acopladas). Se debe tener mucho cuidado en la correcta configuración de las zonas de unión, el buen redondeado de los escalonamientos y, principalmente, reducción de los diversos efectos de entalla. 19/01/2010
10 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
Fig1 Punt os con con efecto de entalla en los árboles
(1) Encaje cónico, (2) rosca, (3) ranura para la arandela de seguridad, (3') ajuste para rodamientos, (4) chavetero, (5) taladro transversal, transversal, (6) asiento para rodamientos, rodamientos, (7) ranura para el el anillo de retención,(8) retención,(8) escalonamientos Si se quiere compensar el efecto de entalla de un cubo, se aumenta en la zona correspondiente el diámetro del árbol hasta 1,15...1,3 d (radio de redondeado en el escalón r = 0,5 d (Los ejes sencillos se eligen completamente lisos y sin escalones (fabricación más barata con un mayor consumo de material). Debe tenerse en cuenta que: a) Los ejes estáticos pueden ser considerablemente más ligeros que los árboles rotatorios b) los árboles de acero de alta resistencia no son más rígidos que los de St 42 (iguales módulos de elasticidad), y su resistencia a la flexión alternativa o bien a la fatiga por torsión sólo es mayor si se evitan las entallas bruscas. c) los árboles huecos con di = 0,5 d sólo pesan un 75% del de los macizos, pero su momento resistente es el 94% del correspondiente a los macizos. d) los árboles de giro rápido exigen un buen equilibrado dinámico, buena fijación de los soportes y rígida configuración. e) con frecuencia la longitud constructiva de las máquinas dependen considerablemente a la longitud de los gorrones, cubos y retenes de aceite. Los árboles y los ejes se aseguran contra los deslizamientos longitudinales por medio de escalones en los puntos de apoyo o mediante anillos de retención. El aseguramiento (posicionamiento) longitudinal de los cojinetes, cubos y poleas sobre el eje puede lograrse asimismo mediante topes laterales, tuercas o arandelas de seguridad, en caso de que el tipo de unión no ofrezca ya un aseguramiento longitudinal (ajustes prensados, etc.). Debe tomarse en cuenta, así mismo: Estanqueidad. Los extremos del árbol, p. ej. de máquinas eléctricas o de cajas de engranajes, están normalizados ; así como si los extremos extremos del árbol son cilíndricos, cónicos Solicitación del árbol: Como los árboles son órganos para la transmisión transmisión de potencia, están sometidos a torsión, además de que sufren flexión.
19/01/2010
11 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
Ejemplo: Un árbol intermedio de una caja reductora con dos ruedas dentadas II y III a) Momentos torsor y flector
b) Tensiones
τ t max
=
M t r M t I t
=
W t
≤ τ t adm
. Sección circular, árbol macizo:
W t
=
π d 3 16
Sección anular, árbol hueco W t
19/01/2010
=
I t R
π D 4
=
12 de 21
4
π d − 32
D
2
32
π D 4 − d 4 = * 16 D
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS Para secc secciones iones no circul ares ver cualqu ier l ibr o de R. de M.
c) Relación entre momento de torsión, potencia y rpm.
M t t =F*R
[m kp]
Trabaj Trabajoo realiz realizado ado en en una sola sola vuelta vuelta= = F*2πR
P =
Potencia:
=
M t
M t
= 71620
M t
= 97400
P n
P n
[ M t = mkp; [ M t = mkp;
F 2π R n
[c..]
75 * 60
P 75 * 60 P * = 716,2 n n 2π
[mkp ]
P = CV ; n = rpm ] P = KW ; n = rpm ]
1C.V. = 75 m kp/seg =0,7351 KW
d ) deform aciones elásticas CALCULO CALCULO DE LOS ÁRBOLES ÁRBOLES DE TRANSMI SI ÓN
1. Calculo en deformación. Son árboles largos, motivo por lo cual es decisiva la deformación ejercida por el momento de torsión. Valores de experiencia:
ϕt
o
=
180o
π
Mt l G It ●
●
●
En grados
Valores de experiencia:
ϕto: 0.25……….0.5 0 /1 m. de longitud. Cálculo del anteproyecto: Con los valores de experiencia de ϕto y las unidades indicadas,
Mt: Momento de torsión en cm. Kp P: Potencia en C.V. N: rpm. Del arbol de transmisión
Que tiene transmitir el árbol; Se obtiene:
}
que
o a) Para ϕ t t = 0.25 / 1 m:
0,25 =
19/01/2010
180 π
M t 100 800000
π d 4
;
nec
d min≥ 0,7354 M t
≥ 12 4
P n
32
13 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
b)
Para ϕto = 0.5 / 1 m: 0,5 =
180 π
M t 100 800000
;
π d 4
nec
d min≥ 0,617 4 M t
≥ 10 4
P n
32
2. Calculo de la distancia entre cojinetes. Con la finalidad de disminuir los costos es importante establecer las distancias mínimas entre cojinetes para los árboles largos, para seleccionar solamente la cantidad mínima de los mismos. Este calculo se realizaron formulas de experiencia. CONSTRUCCIÓN
l ≤ 100 √ Árboles simplemente apoyados en sus extremos
CARGAS TRANSVERSALES
DISTANCIA
d
Normales
3
l ≤ 110 √ hasta
d Fuertes
3
Árboles apoyados sobre varios soportes
l ≤ 50 √
d
l ≤ 125 √
d
Normales
l ≤ 135 √
d
Fuertes
NOTA: l y d en cm. Además de los cálculos cálculos a deformación el árbol se debe control ar a la resistencia resistencia compuesta para las secc secciones iones donde se encuentr encuentr en m ontados los element os de tr ansmisión de pot encia. CALCULO CALCULO DE ARBOLES DE MAQUI NAS
Generalmente los árboles de máquinas son relativamente cortos. Están sometidos a torsión y a flexión, aunque puede existir ocasiones donde también están sometidos a tracción y compresión 1) Calculo exacto. Condición: Debe existir el diseño del árbol. • Condición: Debe Procedimiento. a) Se calculan las tensiones nominales de torsión y de flexión para flexión para las diferentes secciones, en especial para las más solicitadas y las que posean entallas, venerantes de concentración de esfuerzos. b) Especificar (calcular y dibujar) las superficies de los momentos de torsión y flexión . c) Calcular para cada sección seleccionada la t ensión de comparación ( co ) a base de alguna de las Hipótesis de Rotura: 19/01/2010
14 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS •
Hipótesis de la tensión cortante máxima ( Coulomb, Guest, Mhor). σ co
Con:
= σ mohr =
σ f 2 + 4(α 0τ t ) 2
con α 0
σ f adm
=
2τ t adm
valores correspondientes a los de Resistencia a la fatiga. σf adm τt adm Se recomienda utilizar los valores - Para:
σf adm según caso de carga III τt adm según caso de carga III
}
σf adm 2 τt adm
αo =
- Para:
}α
σf adm según caso de carga III τt adm según caso de carga II
σf adm o=
2
=1
(τ = 0.5 σ)
σf Alt
=
τt adm
2 14 * 0.58 σf Alt Alt ●
≈ 0.6 para St 50 y St 60 Se debe recordarse que:
τ
2 t Int. = b1 b2
σf Alt. τ
Donde: b1 viene dado por: t Int = 2.14
σf Alt
b2
b2 Viene dado por la siguiente tabla
•
Material
0,58
Acero al carbono
0,63
Acero de construcciones
0,7
Acero bonificado
0,77
Acero cementado
Hipótesis de energía de distorsión máxima ( Huber, Hencky, von Mises). σ co
= σ mohr =
σ f 2 + 3( α0 τ t )2
con α0
=
σ f adm
1,73 τ t adm
; 1,73 = 3
- Para:
σf adm según caso de carga III τt adm según caso de carga III
}
αo =
σf Alt 1,73 τt Alt
=1
(τt = 0.58 σ) 0.58 =
19/01/2010
15 de 21
1 √ 3
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
- Para:
σf adm según caso de carga III τt adm según caso de carga II
}
σf Alt σf Alt = 1,73 τt Int 1,73 1.4 0.58 σf Alt ≈ 0.7 para σR = 50 Kp/mm y σR = 60 Kp/mm αo =
*
*
2
2
d) Conociendo los valores de σco se puede comprobar que
σco σf adm ≤
*
σu
≤
σf
=
Su ● Cc
nec
nec Su
alt ●
Cc
Ó se Calcula: exist Su
*
σu
=
σf alt
=
σn ● Cc
σco
●
= nec Su
Cc
2) Cálculos para anteproyectos. Son cálculos aproximados, llamados datos de inicio del anteproyecto. Prim er caso: caso: No se conoce conoce el el m oment o de flexi ón: Se calculan los árboles a base de la torsión torsión des preciando la flexión, pero seleccionando valores y
τ
bajos para t adm τ t
Para árbol macizo:
M t
=
W t
=
M t 3
π d
≅
5 M t 3
d
;
d nec
=3
16
5 M t
τ t adm
d en cm. Mt en cm.- Kp τt en Kp / cm2
Para determinados valores de τt adm puede utilizarse la siguiente formula practica d nec
d en cm. Mt en cm.- Kp
≥ C 3 3 M t
Utilizando la potencia y las r.p.m. que transmitirá el árbol se obtienen otra formulas de experiencia: d nec
≥ C 4
n
en cm. en C.V. en rpm.
τt adm en Kp / cm
100
120
150
200
300
C3
0.37
0.35
0.32
0.29
0.26
C4
15.4
14.4
13.4
12.1
10.6
2
19/01/2010
d P n
P
3
16 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS Segund o caso: caso: Se Se conoce conoce el valor del mom ent o de flexi ón
En este caso se puede calcular el momento de comparación M co co Y con un valor estimado de σ f adm es posible determinar el diámetro mínimo necesario σ co
Con
= σ mises = σ f 2 + 3( α0 τ t ) 2 2
α0
con
⎛ M ⎞ ⎛ M ⎞ = ⎜⎜ f ⎟⎟ + 3⎜⎜ α0 t ⎟⎟ W f ⎝ W f ⎠ ⎝ 2W f ⎠
σ Dlim
=
1,73 τ Dlim
⇒
2
M co
= M f 2 + 3 4 ( α0 M t )2
M co
Para :
Mf : Alternativo Mt : Alternativo
}αo = 1
M co
=
M f 2 + 0,75 (M t )2
Para :
Mf : Alternativo Mt : Intermitente Y con M co co = W f f
d nec
●
}
αo ≈ 0.7
M co
σ f adm ≈ 0.1 d 3 σ f adm
= 3 C 5
σ f adm
M f 2 + 0,37 (M t )2
se obtiene:
●
10 M co
=
C 5
= 1 para arbol macizo
C 5
=
1
⎛ d i ⎞ ⎟ ⎝ d e ⎠
4
para arbol hueco
1− ⎜
NOTAS:1.-Valores de experiencia para σf adm tabla de ejes rotativos Dimensionamiento Aclaraciones: A causa de los muy diversos diversos efectos de entalla que se presentan presentan en las distintas secciones transversales transversales de los ejes y árboles (árboles lisos, escalonamientos, efecto de los cubos, agujeros transversales), es muy variable la tensión admisible en ellos, por lo cual conviene determinar exactitud la correspondiente resistencia para cada caso de carga (estática, pulsatoria o intermitente y alternativa), y luego adoptar la tensión admisible. Como hemos visto En el caso de los ejes puede determinarse el diámetro necesario mediante el momento flector M f f y la tensión de flexión admisible. En el caso de los árboles sometidos a torsión y flexión, se determina el diámetro, a partir del momento torsor M t t, Para un cálculo más exacto se determina, partiendo de Mt y Mf , el momento combinado MCO para la sección correspondiente, y se calcula para ésta el diámetro necesario, suponiendo una tensión de flexión admisible (σf adm).
19/01/2010
17 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
Además, hay que comprobar en los gorrones de apoyo la presión superficial p= F/ L d con L como longitud de apoyo. En determinados casos puede ser necesario dimensionar dimensionar los árboles no en en solo función de la solicitación sino en función de la deformación. Para árboles con piñones «en voladizo» (fig. 2) o para árboles de transmisión con grandes distancias entre apoyos y cargas asimétricas (fig. 3), hay que comprobar el ángulo de flexión β resultante de la fuerza de dentado F, para para evitar p. ej. La rotura de los dientes por la inclinación.
Fig. 2 Árbol con piñón « en voladizo»
Fig . 3 Árbol simplemente Árbol simplemente apoyado con carga asimét asimét rica
Para un árbol de grandes longitudes: No se debe rebasar un determinado ángulo de torsión ϕ, de modo que éste llega a ser decisivo para la elección del diámetro del árbol. La máxima separación a entre cojinetes queda limitada casi siempre por la flecha admisible f o la pendiente del árbol tgβ debido al propio peso. Para impedir la rotura del árbol se evitar que la velocidad del régimen coincida con la velocidad critica. Para el cálculo del número crítico de revoluciones se ha de determinar la condición de deformación : respectiva —flecha f ;o f ;o bien ángulo de torsión ϕ. La determinación de la flecha f puede f puede efectuarse: gráficamente a partir de diagramas («procedimiento de Mohr») por cálculo (Holba Schnidt, Castigliano etc…) Deformaciones: a) Por Torsión: La deformación elástica de los árboles de máquinas bajo el efecto de un momento de torsión constante es prácticamente despreciable por tratarse de árboles relativamente cortos b) Por flexión: Estas flexión: Estas deformaciones influyen considerablemente en la calidad y en el funcionamiento de las máquinas. Es por elle que se debe comprobar que las flechas e inclinaciones existentes no sobrepasen los valores admisibles. La determinación exacta de estas deformaciones por flecha se realiza por medio del método grafico de Mohr , Existen, así mismo, cálculos simplificados con algunos supuestos más rígidos. c) Valores límites admisibles: Flechas
o
o
o
o
Árboles para máquinas herramientas:
19/01/2010
f adm
18 de 21
≤
1 5000
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
Árboles para maquinaria en general:
f adm
≤
Árboles para máquinas electricas:
f adm
≤
1 3000
S 10
Donde:
l: Distancia entre cojinetes S: rendija de aire teórica entre rotos y estator. Inclinación de cojinetes Igual que para los ejes l Tg .α ≤ 1000 Inclinación es los sitios donde se colocan las ruedas dentadas. Piñón cónico:
tg β ≤
1 1500
Ruedas dentadas anchas con paso fino:
tg β ≤
1 3000
Ruedas dentadas estrechas con paso grueso: tg β ≤
1 1500
Vibracion es y velocidades crít crít icas.
Para árboles de número de revoluciones elevado (n> 1500) de ciertas máquinas ha de comprobarse también su número crítico de revoluciones nk partiendo de: a vibración por flexión (p. ej. turbinas de vapor) la vibración por torsión (p. ( p. ej. máquinas de émbolo) Y se debe insistir que para impedir la rotura del árbol se debe evitar que la velocidad del régimen coincida con la velocidad crítica, Calculo de flechas para árboles escalonados. Existe un método sencillo de cálculo para evaluar la flecha para el caso más frecuente de un árbol escalonado y simplemente apoyado sometido a varias cargas puntuales. o
o
Fig. 4 Cálculo dej as flechas f A, f B y f de un árbol escalonado escalonado imaginado empotr ado en F 1 1
19/01/2010
19 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
Según Castigliano, la flecha f en f en el punto de aplicación de la carga es f =
Donde:
δ W δ F
M f δ F
l
= ∫0
E I
I: Momento de inercia de la sección a flexión E: Modulo de elasticidad W = 0,5
W: Energía de deformación
……………………..(1)
dx
M f
∫ E I dx
Se supone el árbol empotrado en el punto de aplicación de una carga y se determina el desplazamiento desplazamiento de cada uno de de los apoyos debido a las las fuerzas aplicadas en estos apoyos F A y FB, originadas por la carga. Según la figura 4, las fuerzas en los apoyos (resultantes) F A
= F
l 23
F B
;
l
= F − F A δ M f
El momento en el punto x: M f f = F A . x Sustituyendo este valor en (1) y con
Se obtiene el desplazamiento del apoyo A
f A
=
F A
l 11
x 2
0
I 11
E ∫
dx +
F A
δ F a l 12
x 2
0
I 12
E ∫
= x , dx
………………..(2)
Integrando (2) a lo largo de la distancia del árbol con el momento de inercia que permanece constante se obtienen los desplazamientos de los apoyos A y B Para f A se integra a derecha según la dirección x desde x = 0 y Para f B se integra a izquierda según la dirección x’ desde x’ = 0
⎡ l 113 l 123 − l 113 ⎤ ... f A = + + ⎢ ⎥ E ⎣ d 114 d 124 ⎦ 6,8 F A
⎡ l 213 l 223 − l 213 l 233 − l 223 ⎤ f B = ⎢ 4 + d 4 + d 4 ...⎥ E ⎣ d 21 22 23 ⎦ 6,8 F B
………….………….......(3)
…………………….(4)
La flecha f 1 1 bajo la carga F 1 1 es entonces: (Fig. 4) f 1 = f A1 +
f B1 + f A1 l l 12
………………………..………………(5)
Cuando se ha calculado la suma de todas las flechas bajo todas las cargas, puede determinarse el número crítico de revoluciones. Puesto que el cálculo exacto requiere un enorme trabajo de cálculo (I. I. Holba), se da, aquí, un procedimiento aproximado según S. Dunkerley, según el cual resulta el número crítico de revoluciones un 3...10% más baja que en la realidad.
19/01/2010
20 de 21
E. Bermúdez
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS
Según Dunkerley el número crítico de revoluciones ωK resulta de 1
ω k 2
=
1
ω k 20
+
1
ω k 21
+
1
ω k 22
+ .....
…………………………………………..(6)
ωk0 Es el número crítico de revoluciones del árbol cargado sólo por su peso; ωk1, ωk2, …. Son los números críticos de revoluciones del árbol imaginado sin masa y con las masas
unitarias m1, m2, ... Se calcula la suma de todas las flechas bajo las masas unitarias entonces se aplica (6) en la forma siguiente: 1 1 1 q 2 ω con = + = k 1 ω k 2 ω k 20 ω k 21 Σ f Cuando incluso el peso del árbol se divide en cargas parciales, las cuales se suponen como cargas exteriores q ω k 2 = actuando sobre el árbol sin masa y escalonado, podemos suprimir ω k0 k0 resultando: Σ f con ello se obtiene el número critico de revoluciones (resonancia principal) nk
=
30
g
π
Σ f
⇒ nk = 300
1 Σ f
Con:
f en cm.;
g = 981 cm/ seg 2
Es numero critico de r.p.m. es aproximado, no se considera el efecto rigidificador de cubos y apoyos, la fuerzas centrifugas de discos y poleas no se conocen, con lo que se elevaría n k k. El número de r.p.m. en servicio debe quedar por debajo, tanto como sea posible (mínimo un 10%), del numero critico de rpm. En resumen:
19/01/2010
21 de 21
E. Bermúdez
