ARBOLES Y ARBORESCENCIAS
Matrices asociadas a una gráfica.Sea G=(x, A) una grafica de vértices x 1, x2, x3,……………….xn; desígnese con i! a" n#$ero de arcos de G %ue va de xi a x!. Se ""a$a $atri& asociada a "a grafica G, a una $atri& cuadrada ' cuos e"e$entos son "as i!
x x x x x 1 2 3 x1 1 1
B = x x x 1 x2 3
1
1
1
1
1
1 1 1
Si se invierten "as orientaciones de "a grfica de "a fig. 1 "a $atri& asociada es "a trans*uesta de "a $atri& '.
TEOREMA 1. Sea una grafica G= (x, A) '=(i!) su $atri& asociada entonces+ a) a $at $atri ri&& ' es si$ si$et etri rica ca ( (i! = !i) si so"o si "a grafica G es si$etrica. ) ' es antisi$etrica (i! - !i 1) si so"o si "a grfica G es antisi$etrica. c) ' es co$* co$*"e "eta ta (i! - !i =1) si so"o si G es co$*"eta. graficas G1=(x, A) G2=(x, A) %ue tienen tienen e" $is$o $is$o con!unto de TEOREMA . Sean "as graficas vértices sean A=(ai!) '=(i!) sus $atrices asociadas res*ectivas; se tiene+ a) A-' es "a $atri& $atri& asociada asociada a una una grafica grafica G=(x, G=(x, A) A) ta" %ue %ue A=A A=A1/A2. 1 ) A' corres*onde a una grafica G definida co$o sigue+ 0 es e" con!unto de vértices de G; e" nu$ero de arcos %ue van de xi a x ! es igua" a" nu$ero de ca$inos distintos %ue van de xi a x ! %ue consiste de un arco A1 seguido *or un arco de A2.
x1 x2 1 1 2 1 B 3 = 2 1 1 1 2 2
x3
x
x
2
2
3
3
2
2
2
1
2
3
3
x1 x 2 x3 3 x 2 x
Así, en e" e!e$*"o de "a fig.1 su $atri& de incidencia a "os arcos est dada *or+
u1
u2
u3
u
u
u7
u6
u5
u4
u1
u11
1 − 1 S =
1
−1
1
1
−1
−1
−1
1
1 1 R =
u1
!RBOLES.-
x1
x2
−1 1 1 x3 − 1 1 x −1 1 − 1 x
1
1
x1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
u
u
u7
u6
u5
x x x x
2
3
u2
u3
u4
u1
u11
1 − 1 S =
1
−1
1
1
x2
−1
1
−1
1
x3
−1
−1
−1
1
x
1
−1
1
1 1 R =
1
1
x1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x x x x
2
3
x1
− 1 x
8ada una grfica 9 %ue tiene *or "o $enos dos vértices, se dice %ue 9 es un ro" si verifica una de "as *ro*iedades siguientes+ :
9 es conexa sin cic"os.
:
9 no tiene cic"os ad$ite (n1) aristas; n es e" n#$ero de vértices de 9.
:
9 es conexa tiene (n1) aristas.
:
9 no tiene cic"os agregando una arista %ue una a dos <értices no adacentes de 9, se origina un cic"o so"o uno.
:
9 es conexa su*ri$iendo una arista cua"%uiera de!a de ser"o.
:
oda *are!a de vértices de 9 estn "igados *or una cadena una so"a.
!RBOL "ARCIAL #E $NA %R!&ICA./na grfica G=(0,A) ad$ite una grfica %ue es un ro" si s>"o si G es conexa. A dic?a grfica *arcia" se "e ""a$a ro" *arcia" de G. @ara otener un ro" *arcia" de una grfica conexa, se usca una arista cua su*resi>n no desconecteB a "a grfica, si no existe una arista de ta" natura"e&a "a grfica es un ro"; si existe se su*ri$e se usca otra arista *or su*ri$ir así sucesiva$ente.
@or e!e$*"o en "a grfica siguiente se su*ri$en sucesiva$ente "as aristas 1, 2 3; "as aristas restantes for$an un ro" *arcia" de G.
1
x2
1
2
3
x3
x4
C" n#$ero de aro"es *arcia"es distintos de una grfica G=(0,A) sin ani""os, es igua" a "a deter$inante de una $atri& cuadrada '=(i!) ta" %ue+
@or e!e$*"o "a grfica anterior tiene 17 ro"es *arcia"es %ue es e" va"or de" $enor D 1 de" e"e$ento 11+ 3 ∆1 = − 1 −1
−1 3 −1
−1 − 1 = 17 3
!RBOL "ARCIAL #E 'ALOR M(NIMO )SOLLIN*.C" a"gorit$o consta de tres *asos+ :
Se une un vértice xi cua"%uiera a su vecino x! $s *r>xi$oB ( (xi x!) es "a arista %ue tiene asociado e" $enor va"or entre todas "as aristas %ue tiene un extre$o en xi). 8e esta $anera se for$an suro"es (ro"es de sugrficas de "a grficadada) %ue no tienen vértices co$unes.
:
os suro"es otenidos en (a) se consideran co$o nuevos vértices se re*ite e" *roceso descrito en e" *aso anterior.
:
Se re*iten (a) () ?asta otener un suro" %ue sea *arcia" de "a grfica dada.
Eo$o e!e$*"o se uti"i&ar este a"gorit$o a "a grfica G de "a figura+
Se e"ige aritraria$ente e" vértice x2, su vértice $s *r>xi$o es x3 o x, t>$ese x3 *ara for$ar e" suro" *arcia" x2 x3.
C"i!ase otro vértice distinto de x2 x3, sea x cuo vértice $s *r>xi$o es x6. >$ese otro vértice distinto de x2, x3, x x6 sea x1+ su vértice $s *r>xi$o es x. Se ?an for$ado "os suro"es 91, 92 93 %ue se $uestran a continuaci>n x
4
1
x x
4
3
3
4
x
x
5
x
H2
2
x H3 6
7
H1
'#s%uese a?ora "a arista $s corta %ue une a 91 con 92, un exa$en r*ido $uestra %ue dic?a arista es "a
%ue va"e 4. Se ?ace "o $is$o con 91
93+ se encuentra %ue "a arista $s corta %ue une 91 F 93 es %ue va"e . Eonsecuente$ente 93 es e" suro" $s *r>xi$o a 91 *or "o %ue se for$a e" suro" 9 %ue se $uestra en "a siguiente figura+
x1
x2 4
4 4
x3
x5
x4
x7 H2
3 5
x6 H4 ina"$ente se usca "a arista de $enor va"or %ue une a 92 con 9, esta arista es %ue x2 4 grfica %ue es un ro" *arcia" de va"or va"e ; se for$a así e" ro" 9 en "a siguiente x3 x1 4 4 $íni$o de "a grfica.
x4
5
x5
3
5
x6
x7
H5
ARBORESCENCIAS+ TEOREMA #E BOTT Y MAYBERRY.#efinici,n. /na grfica finita G= (0,<) es una arorescencia de raí& x1 ϵ 0 si se verifica %ue+
odo vértice xi = x1 es e" extre$o fina" de un so"o arco.
x1 no es extre$o fina" de ning#n arco.
G no contiene ning#n circuito.
C!e$*"o +
x1
x2
x6
x10
x3
x7
x11
x4
x8
x12
x5
x9
x13
x15
x14
ARBORESCENCIA x8
x13
x4
x9
x14
x5
x10
x15
x3
x6
x11
x16
VÉRTICE
x7
x12
x1
ARCO
x2 x1
G(X,V)
8e acuerdo a "a definici>n+ a) oda arorescencia es un ro". )
8xi 2 X existe ; un ca$ino %ue va de
x1 a xi
x2
x1
CAINO "#E VA $E x A x x5
x10
x3
Teorea de Bott Ma/err.- Cste teore$a es *articu"ar$ente #ti" *ara ca"cu"ar "os deter$inantes %ue se encuentran en "as $atrices econ>$icas intersectoria"es ($atrices de eontief). Eonsidérese aij , i , j
=
una
2,3,......n
$atri&
cuadrada
A
de
orden
(n1)
designese
a "os e"e$entos de esta $atri&. Su*>ngase %ue A sea ta" %ue+
aij ≤
aij ≥ −
∀i ≠ j n
∑a
ij
+ ∀j
i=2 i
=
j
con
B = (bij )
Se *uede considerar a "os e"e$entos de "a $atri& B co$o "as ca*acidades de "os arcos de una red de trans*orte R=(X,A) de fuente x1 .os vértices de R estn nu$erados co$o "os reng"ones "as co"u$nas de B. Sean 9H "as arorescencias de G %ue tienen raí& en x1 ?gase+ n
λ j = aij +
∑a
ij
≥1
i =2
Cn otras *a"aras , e" va"or de" deter$inante de "a $atri& A *uede otenerse+ 1) 8efinir todas "as arorescencias de raí& x1 de "a red I.
2) @ara cada arorescencia ca"cu"ar e" *roducto de todas "as ca*acidades asociadas a sus arcos. 3) Su$ar todos "os *roductos otenidos seg#n e" inciso anterior.
F consecuente$ente+
%&'(a) 36 12 9 8 6 18 89 RE#ES #E COM$NICACI0N.-
MO#ELO #E INTER#E"EN#ENCIA IN#$STRIAL )LEONTIE&*.Cste $ode"o tiene *or o!eto deter$inar "as re"aciones de *roducci>n de "as industrias de un siste$a econ>$ico dado a fin de tener cantidades *refi!adas de $ercancías en "os sectores fina"es de consu$o. Cste $ode"o esta asado en "as siguientes ?i*>tesis+ 1) a *roducci>n neta tota" de cada industria es igua" a" tota" de sus *roductos consu$idos *or otras industrias $s "a cantidad re%uerida *or "os sectores fina"es de consu$o. 2) 'a!o condiciones de e%ui"irio esttico, e" va"or de "os *roductos de cada industria dee ser igua" a "a su$a de "os va"ores de "os *roductos de "os servicios asoridos. 3) as cantidades de "os factores de *roducci>n re%ueridos son directa$ente *ro*orciona"es a "as cantidades *roducidas.
Eonsidérense todas "a arorescencias con raí& en e" vértice de consu$o as>ciese cada arco con "a intensidad de f"u!o de $oneda corres*ondiente. Se ""a$ar va"or de una arorescencia a" *roducto de "os f"u!os re"ativos a sus arcos. Se sae %ue "a su$a de "os va"ores de todas "as arorescencias antes $encionadas es igua" a" deter$inante asociado a "a $atri& A de eontief. Eo$o e" va"or de cada arorescencia es *ositivo, se *uede afir$ar %ue det(A) es *ositivo en e" caso de %ue a" $enos exista una arorescencia. Ade$s es *osi"e de$ostrar %ue si existe una arorescencia deriva"e de una grafica corres*ondiente a J industrias, ta$ién existen arorescencias re"ativas sugrficas de "a grafica origina"; esto significa %ue si e" deter$inante de una $atri& de eontief es *ositivo ta$ién son *ositivos todos sus $enores *rinci*a"es. Se ?a esta"ecido "a condici>n necesaria suficiente, dada *or Georgescu Ioegen, *ara "a existencia de e%ui"irio esttico %ue *uede enunciarse co$o sigue+
