UNIVERSIDAD MAYOR REAL PONTIFICIA SAN FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
Árboles y arborescencias MATERIA:
SISTEMAS DE INGENIERIA CIVIL CIVIL
DOCENTE:
ING. JULIO CASTRO
UNIVERSITARIOS:
CARO ESPADA JHOVANY RODRIGO CUETO REYNAGA JOSE CHRITIANO FLORES PORCEL JUAN PA PABLO BLO RIVERA BEJARANO DIEGO ALBERT ALBERTO O TICONA OROPEZA MARCO ANTONIO
GRUPO:
7
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SUCRE – BOLIVIA ÁRBOLES Y
ARBORESCENCIAS
INTRODUCCIÓN En este Capítulo se trata el concepto de árbol y el de arborescencia. Se determinan sus propiedades y se utilizan para definir otras estructuras como son los árboles y arborescencias planas, los árboles binarios y los árboles de juego. Se discute sobre estructuras de datos para representar árboles y arborescencias en el computador, así como los tipos de recorridos en arborescencias planas.
Árbol Definiciones En teoría de grafos (es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces aristas o arcos ue permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto!, un árbol es un grafo en el ue dos vértices están conectados por exactamente un camino. "n bosue es un grafo en el ue dos vértices cualuiera están conectados por como máximo un camino. "na definici#n euivalente es ue un bosue es una uni#n disjunta de árboles (de auí el nombre!. "n árbol a veces recibe el nombre de árbol libre. •
"n árbol es un grafo simple unidireccional G ue satisface alguna de las siguientes condiciones euivalentes$ G es cone%o y no tiene ciclos simples. G no tiene ciclos simples y, si se a&ade alguna arista se forma un ciclo simple. G es cone%o y si se le uita alguna arista deja de ser cone%o. G es cone%o y el grafo completo de ' vértices K ' no es un menor de G. os vértices cualuiera de G están conectados por un )nico camino simple. Si G tiene muc*os vértices, n, entonces las definiciones anteriores son también euivalentes a cualuiera de las siguientes condiciones$ G es cone%o y tiene n + aristas. G no tiene aristas simples y tiene n + aristas. -a cantidad de *ojas de un árbol siempre es mayor o igual a la mitad de la totalidad de los nodos • • • • •
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En gráfico unidireccional simple G se recible el nombre de bosque si no tiene ciclos simples. "n árbol direccional es un grafo direccional ue sería un árbol si se *iciera caso omiso de las direcciones de las aristas. lgunos autores restringen la frase al caso en el ue todos las aristas se dirigen a un vértice particular, o todas sus direcciones parten de un vértice particular. "n árbol recibe el nombre de árbol con raíz si cada vértice *a sido designado raíz , en cuyo caso las aristas tienen una orientaci#n natural hacia o desde la raíz. -os árboles con raíz, a menudo con estructuras adicionales como orden de los vecinos de cada vértice, son una estructura clave en informática/ véase árbol (programaci#n!.
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"n árbol etiquetado es un árbol en el ue cada vértice tiene una )nica etiueta. -os vértices de un árbol etiuetado de n vértices reciben normalmente las etiuetas 0,1, ..., n2. "n árbol regular ( homogéneo! es un árbol en el ue cada vértice tiene el mismo grado. 3éase grafo regular .
Un árbol etiquet!o con " #$rtices % & rists ada una gráfica 4 ue tiene por lo menos dos vértices, se dice ue 4 es un árbol si verifica una de las propiedades siguientes$ ( 4 es cone%a y sin ciclos. (
4 no tiene ciclos y admite (n5! aristas/ n es el n)mero de vértices de 4.
(
4 es cone%a y tiene (n5! aristas.
(
4 no tiene ciclos y agregando una arista ue una a dos
(
3értices no adyacentes de 4, se origina un ciclo y solo uno. 4 es cone%a y suprimiendo una arista cualuiera deja de serlo.
(
6oda pareja de vértices de 4 están ligados por una cadena y una sola.
'
Ejempl !e "# $%&l
ÁRBOL COBERTOR DE COSTO '(NI'O Sea 78(3,E! un grafo cone%o y sea c una funci#n definida sobre los lados de 7, c$ E(7! ℜ. "n grafo como el anterior nos permite representar diversas situaciones como por ejemplo las ue se presentan en el estudio de redes de comunicaci#n (vial, teléfonica, eléctrica, por ejemplo!. Supongamos ue los vértices representan ciudades y los lados posibles intercone%iones entre ellas. -a funci#n c$E ℜ podría representar los costos asociados a la instalaci#n de cada intercone%i#n. El problema en cuesti#n será buscar una red ue conecte todas las ciudades al menor costo posible. Si además suponemos todos los costos positivos, será obvio ue mientras menos lados tenga la red, menor será su costo. 9
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Definici)n Sea 7 un grafo cone%o. "n grafo parcial de 7 cone%o ue es a su vez un árbol se llama un Árbol Cobertor de G.. En vista de lo anterior y puesto ue debemos conservar la cone%idad del grafo, es evidente ue necesitamos un árbol cobertor del grafo. :ero *ay a)n más, el árbol cobertor 6 ue se busca debe ser el de menor costo, es decir, se busca un grafo parcial 6 de 7 ue sea un árbol y tal ue ; c(e! sea mínima. "n árbol ue cumpla con la propiedad anterior se llama un Árbol Mínimo Cobertor de G.
*ro+osici)n Sea 78(3,E! un grafo cone%o y c una funci#n c$ E ℜ. Sea " un subconjunto propio de 3. Sea e80%,y2 un lado en <("! (el cociclo definido por "! tal ue , ∀ e=∈ <("! $ c(e! > c(e=!. Entonces e%iste un árbol mínimo cobertor 6 de 7 ue contiene a e. 9
-os dos algoritmos ue veremos a continuaci#n nos permiten encontrar un árbol mínimo cobertor en un grafo 7 cone%o, y ambos están basados en la propiedad anterior. -a diferencia entre ellos radica en la forma c#mo se escoge el conjunto " de la proposici#n
Al,orit-o !e *ri-. ?@AE?6 :?B
Daci# en 1, SFeetFater, (Estados "nidos! es un matemático e ingeniero informático. ?obert :rim en GH descubri# un algoritmo para la resoluci#n del problema del Irbol de coste total mínimo (minimum spanning tree M!"#. Este problema es un problema típico de optimizaci#n combinatoria, ue fue considerado originalmente por @taJar AoruvJa en 1K mientras estudiaba la necesidad de electrificaci#n rural en el sur de oravia en C*ecoslovauia. Este problema también fue resuelto por Losep* A. MrusJal en GK. El algoritmo incrementa continuamente el tama&o de un árbol, comenzando por un vértice inicial al ue se le van agregando sucesivamente vértices cuya distancia a los anteriores es mínima. Esto significa ue en cada paso, las aristas a considerar son auellas ue inciden en vértices ue ya pertenecen al árbol. El árbol recubridor mínimo está completamente construido cuando no uedan más vértices por agregar. )
Ob/eti#o !e Al,orit-o +ri Encontrar el árbol recubridor más corto, la ruta mas optima -a idea básica de este algoritmo consiste en inicializar como vacío al conjunto ue contendrá los lados del árbol 6 y con un vértice cualuiera u al conjunto " 0 -uego se selecciona el lado 0 u1#2 en <("! , como se indica en la proposici#n 3B.... El vértice # se agrega al conjunto ". El árbol 6 buscado se irá formando al agregar, uno a uno, los lados ue cumplan la propiedad, al mismo tiempo ue crece " al incorporársele el otro e%tremo del lado recién agregado a 6. Este proceso se repite *asta ue los lados en 6 formen un árbol cobertor de 7, o lo ue es lo mismo *asta ue " sea igual a 3, es decir n 5 veces.
Al,orit-o !e 2rus3l Losep* M?"SM5Losep* A. MrusJal investigador del at* Center (Aell5-abs!, ue en GK descubri# su algoritmo para la resoluci#n del problema del Irbol de coste total mínimo (minimum spanning tree 5 S6! también llamado árbol recubridor euclídeo mínimo. 5El objetivo del algoritmo de MrusJal es construir un árbol (subgrafo sin ciclos! formado por arcos sucesivamente seleccionados de mínimo peso a partir de un grafo con pesos en los arcos. *
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El lgoritmo de MrusJal ue resuelve la misma clase de problema ue el de :rim, salvo ue en esta ocasi#n no partimos desde ning)n nodo elegido al azar. :ara resolver el mismo problema lo ue *acemos es pasarle a la funci#n una lista con las aristas ordenada de menor a mayor, e iremos tomando una para formar el ?. El algoritmo de MrusJal permite *allar el árbol minimal de cualuier grafo valorado (con capacidades!. 4ay ue seguir los siguientes pasos$ ! Se marca la arista con menor valor. Si *ay más de una, se elige cualuiera de ellas. 1! e las aristas restantes, se marca la ue tenga menor valor, si *ay más de una, se elige cualuiera de ellas. '! ?epetir el paso 1 siempre ue la arista elegida no forme un ciclo con las ya marcadas. N! El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo en alguna de las aristas marcadas, es decir, cuando tenemos marcados n$ arcos, siendo n el n)mero de nodos del grafo
Este algoritmo resulta sumamente sencillo a simple vista, sin embargo, notaremos ue es necesario revisar ciertos detalles en cuanto a la implementaci#n del mismo. -o primero es con respecto a la forma de seleccionar los lados en orden creciente de costo. @rdenar desde un principio todos los lados resulta bastante inconveniente pues normalmente se estará *aciendo muc*o más trabajo del necesario, ya ue rara vez se llegan a e%aminar todos los lados antes de encontrar los O3OP reueridos. -o ue se necesita entonces es disponer de un operador ue permita encontrar en cada iteraci#n el lado de menor costo entre los ue a)n no *an sido estudiados y ue lo e%cluya de E(7!. :ara lograr lo anterior podemos colocar los lados en un árbol parcialmente ordenado o *eap y utilizar un operador ue llamaremos -@BD. Con este operador podemos e%traer el lado de menor distancia y reordenar el *eap en un tiempo % (logOEO!. Bgualmente podemos ordenar parcialmente los lados antes de comenzar en un tiempo % (OEO!, esto lo realizará el operador @?ED?, similar al procedimiento C?E? de la secci#n 3BB.N.
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-o segundo ue se debe revisar detalladamente es como se almacenarán los vértices de cada componente, de forma ue pueda revisarse de forma eficiente la posible formaci#n de ciclos cada vez ue se e%amina un nuevo lado. "na soluci#n es formar conjuntos con los vértices ue pertenecen a una misma componente y de esta manera, con una representaci#n adecuada para conjuntos ( 4@ et al, QR !, se puede determinar en un tiempo constante a ué componente pertenecen los e%tremos de un lado, mediante un operador EDC@D6?? aplicado a cada uno de sus e%tremos para luego verificar si esas componentes son distintas. En caso de ser distintas se deben unir las componentes en cuesti#n y agregar el lado a 6/ en caso contrario se desec*a el lado e%aminado. :ara unir las dos componentes se reuerirá de un operador "DB@D. -as n5 uniones ue serán reueridas se pueden lograr en un tiempo % (nlogn! con la misma representaci#n de conjuntos. El operador BDBCB-B? crea las componentes cone%as del grafo 78(3,02!, las cuales constan de un solo vértice cada una y serán identificadas con un n)mero de a O3O. algoritmo.
ARBORESCENCIAS0 Es una red dirigida en la cual se debe de especificar cual es el nodo raíz, en esta e%iste una ruta del nodo raíz *acia los demás nodos, una arborescencia es un caso particular de árbol.
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Es una red dirigida en la cual se debe de especificar cual es el nodo raíz, en esta e%iste una ruta del nodo raíz *acia los demás nodos, una arborescencia es un caso particular de
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árbol. E%isten varias rutas 6iene n5 arcos odelo general Se debe especificar la raíz.
ARBORESCENCIAS COBERTORAS Ó*TI'AS "n problema similar al de conseguir un árbol #ptimo (mínimo o má%imo! cobertor se presenta en grafos o redes orientados. Son muc*os los problemas ue se pueden plantear en los cuales se reuiere determinar la forma de encontrar un punto desde el cual comunicarse con todos los demás de un grafo, respetando la orientaci#n de los arcos (vías de comunicaci#n, por ejemplo! y al menor costo global posible. Duevamente se entiende por costo global de la red la suma de los costos de todos los arcos utilizados. En este caso lo ue se desea obtener es una arborescencia mínima cobertora en el grafo asociado al problema. efiniremos un &osque %rientado como un bosue en el cual cada componente cone%a es una arborescencia. "n subgrafo ue cumpla estas condiciones se llama &osque %rientado de 'eso Máximo de G. El problema ue planteamos al principio de esta secci#n y algunos otros ue mencionaremos, se reducen a variaciones del problema de buscar un Aosue @rientado de :eso á%imo.
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Es fácil observar ue un bosue orientado A de un grafo 7 es una arborescencia cobertora si y s#lo si el n)mero de arcos de A es igual al n)mero de vértices de 7 menos uno, y este es el má%imo de arcos ue puede tener un bosue. "n bosue orientado de peso má%imo de 7 no incluye ning)n arco e con c(e!TU , por lo tanto, si c(e!>o, ∀ e∈E, el bosue orientado de peso má%imo tendrá un conjunto vacío de arcos. ás a)n, 7 puede tener un subgrafo ue sea una arborescencia y c(e!VU, ∀ e∈E, y sin embargo, el bosue orientado de peso má%imo de 7 no ser una arborescencia, como se muestra en el ejemplo de la figura 3B.'. Si un grafo 78(3,E! con c$E ℜ tiene un subgrafo parcial ue es una arborescencia, entonces una arborescencia cobertora de peso má%imo de 7 se puede conseguir basándonos en la siguiente propiedad y en el corolario ue le sigue. 9
Si A es un bosue orientado de peso má%imo para c=, entonces A es el bosue con mayor peso con respecto a c, entre todos los bosues orientados cobertores de 7 ue poseen el mayor n)mero de arcos posible. De-ostrci)n.
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-os métodos ue se utilizan para obtener la arborescencia de costo mínimo son$ ! ijJstra (Etiuetas!. 1! ijJstra generalizado. '! Wloyd 5 Dota$ El método de ijJstra solo te da una soluci#n inicial y el de ijsJtra generalizado te da la soluci#n optima, por lo tanto se tiene ue aplicar primero el método de ijJstra y posteriormente el método de ijJstra generalizado para obtener la arborescencia de costo mínimo. Al,orit-o !e Di/3str 5Etiquets6
E!s,er 7%be Di/3str Edsger Xybe ijJstra ('U P 1UU1! naci# en 'U en ?otterdam, 4olanda. Era *ijo de Xybe ouFe ijJstra y Arec*tje Cornelia Mruyper, y tenia tres *ermanos más. Su padre era professor de fisica en la escuela secundaria de ?otterdam, mientras ue su madre era matemática. e joven, asisti# a la escuela secundaria de ?otterdam. jiJstra uería estudiar erec*o y asi poder representar a los :aises Aajos en las Daciones "nidas. :ero, en NY realiz# los e%ámenes finales de su etapa en la escuela secundaria y sac# notas e%celentes en matematicas, física, uímica y biología, y tanto sus padres como sus profesores intentaron persuadirle para ue se decantara por una carrera de ciencias. Winalmente, decidi# estudiar física te#rica en la universidad de -eyden. 6res a&os después, en G, ijJstra vio un anuncio de la "niversidad de Cambridge sobre un curso de tres semanas ue trataba la programaci#n en computadores. Se interes# muc*o por este curso y decidi# apuntarse, ya ue lo veía como una oportunidad esta actividad, ue consideraba muy ligada a su campo, la física te#rica. :asos$ ! Bniciaci#n de etiuetado. Sea d(s!8U y máruese esta etiueta como permanente. Sea d(%!8 para todo y considérese como etiuetas temporales. Sea a(%!8% (estas etiuetas indicarán el predecesor de % en la arborescencia!. Sea p8s. 1! ctualizaci#n de etiuetas. :ara todo ue tenga etiueta temporal, actualizar las etiuetas de acuerdo a $ '! Si d(%! se modific#, *acer a(%!8p. Sea tal ue . Si terminar ya ue no *ay arborescencia de ruta más corta. En otro caso marcar la etiueta como permanente sea i! Si s#lo se desea la ruta de s a t, si p8t entonces terminar/ d(p! es la longitud del camino más corto si ir al paso 1. ii! Si se desea la arborescencia, terminar cuando todos los nodos estén marcados de forma permanente. En otro caso, ir al paso 1. G. étodo de ijJstra generalizado
Al,orit-o !e 8lo%! ?@AE?6 X. W-@Z (Y de junio de 'K 5 1G de septiembre de 1UU! fue un prominente científico estadounidense eninformática. Dacido en Dueva ZorJ, Wloyd culmin# el bac*illerato a los N a&os. Se gradu# en la "niversidad de C*icago en G' a los H a&os y como Wísico en GY. @perador de computadoras en los a&os KU, public# sus primeros artículos los cuales fueron de gran influencia y fue nombrado profesor asociado en la "niversidad de Carnegie ellon. Seis a&os más tarde fue nombrado profesor en la"niversidad de Stanford. Entre sus contribuciones se encuentran el dise&o y análisis de algoritmos eficientes para encontrar el camino más corto en un grafo y para el problema de reconocimiento de frases, pero probablemente su logro más importante fue el ser pionero, con su artículo de KH [ssigning eanings to :rograms\, en el área de verificaci#n de programas utilizando aserciones l#gicas, donde aparece la importante noci#n de invariante, esencial para demostrar propiedades de programas iterativos. Wloyd recibi# el :remio 6uring de la C en HY [por tener una clara influencia en las metodologías para la creaci#n de softFare eficiente y confiable, y por *aber contribuido a la fundaci#n de las subáreas teoría del reconocimiento de frases, semántica de los lenguajes de programaci#n, verificaci#n automatizada de programas, síntesis automatizada de programas y análisis de algoritmos 5
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En informática, el -7@?B6@ E W-@Z5X?S4--, descrito en G por Aernard ?oy, es un algoritmo de análisis sobre grafos para encontrar el camino mínimo en grafos dirigidos ponderados. El algoritmo encuentra el camino entre todos los pares de vértices en una )nica ejecuci#n. El algoritmo de Wloyd5Xars*all es un ejemplo de programaci#n dinámica El algoritmo de Wloyd5Xars*all compara todos los posibles caminos a través del grafo entre cada par de vértices. El algoritmo es capaz de *acer esto con s#lo comparaciones (esto es notable considerando ue puede *aber *asta aristas en el grafo, y ue cada combinaci#n de aristas se prueba!. -o *ace mejorando paulatinamente una estimaci#n del camino más corto entre dos vértices, *asta ue se sabe ue la estimaci#n es #ptima
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E9UI:ALENCIA ENTRE ÁRBOLES Y ARBORESCENCIAS0 ÁRBOLES ENRAI;ADOS Sea 6 un árbol no orientado y r un vértice cualuiera de 6. :or ser 6 cone%o, e%iste una cadena simple ()nica! desde r *asta todo otro vértice del árbol. :odemos entonces dotar de una orientaci#n a cada uno de los lados de 6 de forma ue e%ista un camino ()nico! desde r *asta todos los demás vértices de 6. El grafo orientado así obtenido es )nico y, además, es una arborescencia cuya raíz es el vértice r .
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"n árbol no orientado en el cual distinguimos un vértice r se llama a veces un árbol enraizado en r y, como vimos anteriormente, e%iste una correspondencia entre los árboles enraizados y las arborescencias. Esta )ltima afirmaci#n permite a veces utilizar indistintamente los términos arborescencia y árbol, como suele ocurrir cuando se trabaja con árboles en Computaci#n, siempre y cuando se especifiue cuál es el vértice distinguido o raíz r . En cuanto a la representaci#n gráfica de los árboles enraizados, estos se suelen dibujar con el vértice raíz r en el tope, y el resto de los vértices pendiendo de r , con las *ojas en la parte inferior de la figura. Este sentido de arriba *acia abajo corresponde a la orientaci#n implícita de los lados. En base a lo dic*o en el punto anterior, a partir de este momento y mientras no se especifiue lo contrario, no *aremos distinci#n entre árboles enraizados y arborescencias, siempre ue se distinga el vértice raíz.
ÁRBOLES ORDENADOS
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Si observamos a*ora los árboles ' y N de la figura 3B., y distinguimos en ellos el vértice c como raíz, podemos diferenciar uno del otro seg)n las posiciones relativas de sus sub5árboles en cada una de las representaciones planares y podemo s entonces numerarlas de izuierda a derec*a, de forma ue el ] sub5árbol de c en ' es distinto del ] sub5árbol de c en N. *ro+osici)n :I0&0<0< 6oda representaci#n planar de un árbol enraizado ( o arborescencia ! puede ser caracterizada asignando a cada vértice no terminal una lista ordenada o permutaci#n de sus *ijos (raíces de sus sub5árboles!. :ara los árboles ' y N de la figura 3B. tenemos$ '$ :(c! 8 Ta, d, eV,
:(a! 8 TbV
N$ :(c! 8 Td, e, aV,
:(a! 8 TbV
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Definici)n -lamamos Árbol %rdenado un árbol enraizado donde cada vértice no terminal tiene asociada una permutaci#n de sus *ijos. Si nos remitimos a la definici#n 3B.N. de árboles enraizados, vemos ue un árbol ordenado es uno en el ue es relevante el orden en ue aparecen listados los sub5 árboles en tal definici#n. En este sentido, los árboles ' y N con las permutaciones dadas arriba son dos árboles ordenados diferentes y sin embargo, si los consideramos simplemente como árboles enraizados, son el mismo.
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3emos entonces ue la representaci#n planar de árboles nos lleva de forma natural a los árboles ordenados. :ero no es s#lo esto, la utilizaci#n de árboles en computaci#n y en consecuencia, la necesidad de representarlos en el computador impone igualmemte la necesidad de ordenar los *ijos, debido a la organizaci#n secuencial de la memoria y a la ejecuci#n secuencial de las instrucciones.
ÁRBOLES BINARIOS Como ya *emos mencionado antes, e%iste un tipo de árbol al ue se *a dedicado muc*o estudio debido a su enorme utilizaci#n en computaci#n, son estos los árboles binarios.
Definici)n "n Árbol &inario es un árbol enraizado en el cual cada vértice tiene a lo sumo dos *ijos, los cuales se denominan hio izquierdo e hio derecho . e igual manera, los sub5 árboles de cada vértice se denominan subárbol izquierdo y sub árbol derecho respectivamente.
Es importante notar ue un árbol binario no es lo mismo ue un árbol ordenado con a lo sumo dos *ijos por vértice, pues en este )ltimo, si un vértice tiene un solo *ijo, éste es simplemente el primero (y )nico!/ en el caso de un árbol binario se debe especificar si este *ijo es el derec*o o el izuierdo, lo cual diferencia un árbol de otro. -os árboles , 1 y ' de la figura 3B. son iguales si los vemos como simples árboles enraizados, sin embargo, como árboles ordenados es distinto de 1 y ' ue son iguales, y como árboles binarios los tres son distintos. -os árboles binarios *an sido utilizados como estructuras para almacenamiento, ordenamiento y recuperaci#n de informaci#n, así como para la representaci#n y soluci#n de problemas de toma de decisiones, entre otros.
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:S@S :? E-A@?? "D ?A@- E E^:DSB_D BDB `Seleccionar cualuier nodo de la red o indicado el problema `Colocar este nodo al más cercano ue minimice la distancia y proseguir considerando todos los nodos ue estén conectados, escogiendo de igual manera el ue tenga mínima distancia, *asta poder incluir todos los nodos :ara poder elaborar un árbol de e%pansi#n mínima *ay varios métodos Como por ejemplo el algoritmo de :rim y MrusJal ELE:-@ -a potabilizadora de agua de sucre reuiere suministrar agua a varios corregimientos del este de la ciudad en el siguiente grafico se presenta los diferentes puntos donde debe dar el abastecimiento Se e%plicara con este problema de forma breve y concisa de como determinar la forma más econ#mica de suministrar agua a todos los corregimientos a través de un árbol de e%pansi#n mínima -7@?B6@ E :?B Z M?"SM-
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E=ERCICIO En el grafo de la figura, aplicar los algoritmos ijJstra para encontrar los caminos más cortos con origen en el nodo 4. Bndiue paso a paso las operaciones dadas mostrando las distancias recogidas en cada iteraci#n.
:? E- D"@ Elegimos el nudo permanente la cual va *acer el nudo 8 QU, 5R (U!. "na vez elegido el nudo permanente después etiuetamos los nudos más cercanos ue son la A 8 Q, R (! y el nudo C8 Q', R (!. espués elegimos nuevamente un nudo permanente con la distancia acumulada menor en este caso va *acer el nudo C una vez elegido el nudo permanente empezamos a etiuetar los nudos más cercanos ue en este caso son dos W8 QK, CR (1! Z 8 Q', CR (1!. 3olvemos a elegir el nudo permanente ue este caso será el nudo y volvemos a etiuetar los nudos más cercanos f 8 QG, R ('! como podemos ver ue en el nudo W *ay dos iteraciones por lo tanto eliminamos el valor mayor de las distancias acumuladas. 6odas las operaciones son repetitivas *asta llegar al nudo 4. por lo tanto los nudos 7 8 QY, AR (N!, E 8 QH, R ('!, 4 8 QY, WR (N!, 48 QY, ER (N! como se pueden dar cuenta en el nudo 4 *as dos iteraciones eso uiere decir ue *ay dos posibles rutas cortas ue son$ 5 (4 a ! 8 Y ue son 5C55W54 o 5C55 E54
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