INDICE INDICE ARBOLES Y GRAFOS 1.-Introducción (arboles) ---------------------------------------------------------------------------------------------2 2.-Arboles en general -------------------------------------------------------------------------------------------------2 3.-Características y propiedades de los arboles-----------------------------------------------------------------3 4.-Operaciones de arboles-------------------------------------------------------------------------------------------4 5.-Uso de arboles-------------------------------------------------------------------------------------------------------4 6.-Tipos de arboles-----------------------------------------------------------------------------------------------------4 7.-Representación de arboles generales como binarios ------------------------------------------------------6 8.-Representación de un bosque como árbol binario binario ---------------------------------------------------------8 ---------------------- -----------------------------------8 9.-Representación de arboles binarios en memoria memoria ----------------------------------------------------------10 --------------------------- -------------------------------10 10.-Recorrido en arboles binarios ---------------------------------------------------------------------------------12 11.-Arboles binarios de búsqueda ---------------------------------------------------------------------------------13 12.-Inserción en un árbol binario de búsqueda -----------------------------------------------------------------14 13.-Borrado en un árbol binario de búsqueda -------------------------------------------------------------------15 14.-Arboles balanceados ----------------------------------------------------------------------------------------------16 15.-Restructuración en árbol balanceado -------------------------------------------------------------------------16 16.-Inserción en arboles balanceados ------------------------------------------------------------------------------17 17.-Borrado en arboles balanceados -------------------------------------------------------------------------------20 18.-Arboles multicaminos ---------------------------------------------------------------------------------------------21 19.-Grafos------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23 20.-Representación de un grafo--------------------------------------------------------------------------------------24
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ARBOLES Y GRAFOS ESTRUCTURAS NO LINEALES ARBOLES 1.-INTRODUCCION Al analizar la estructura árbol se introduce el concepto de estructura de ramificación entre nodos. Los arboles representan las estructuras no lineales y dinámicas de datos más importantes en computación. Dinámicas, puesto que la estructura árbol puede cambiar durante la ejecución de un programa. No lineales, puesto que a cada elemento del árbol pueden seguirle varios elementos.
REPRESENTACION DE ARBOLES Diferentes formas de representar una estructura de árbol. A) diagramas de ven. B) anidación de paréntesis. c) notación decimal de Dewey. D) D ) notación indentada. E) grafo
2.-ARBOLES EN GENERAL Un árbol es una estructura jerárquica aplicada sobre una colección de elementos u objetos llamados nodos; uno de ellos cuales es conocido c onocido como raíz. Además se crea una relación o parentesco entre los nodos dando lugar a términos como padre, hijo, hermano, antecesor, sucesor, ancestro, etcétera. Se utiliza la recursión para definir un árbol porque representa la forma más apropiada y porque además en una característica inherente a los mismos. 2
3.-CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES
Todo árbol que no es vacio, tiene un único nodo raíz.
Un nodo X es descendiente directo de un nodo Y, si el nodo X es apuntado por el nodo Y. En este cado es común utilizar la expresión X es hijo de Y.
Un nodo X es antecesor directo de un nodo Y, si el nodo X apunta al nodo Y. En este caso es común utilizar la expresión X es padre de Y.
Se dice que todos los nodos que son descendientes directos (hijos) de un mismo nodo (padre), son hermanos.
Todo nodo que no tiene ramificaciones (hijos), se conoce con el nombre terminal u hoja.
Todo nodo que no es raíz, ni terminal u hoja, se conoce con el nombre de interior.
Grado es el número de descendientes directos de un determinado nodo. Grado del árbol es el máximo grado de todos los nodos del árbol.
Nivel es el número de arcos que deben ser recorrido para llegar a un determinado nodo. Por definición la raíz tiene nivel 1.
Altura del árbol es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol
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4.-OPERACIONES DE ÁRBOLES
Enumerar todos los elementos.
Buscar un elemento.
Dado un nodo, listar los hijos (si los hay).
Borrar un elemento.
Eliminar un subárbol (algunas veces llamada podar).
Añadir un subárbol (algunas veces llamada injertar).
Encontrar la raíz de cualquier nodo.
5.-USO DE ARBOLES
Formulas matemáticas.
Organizar adecuadamente la información.
Registrar la historia de un campeonato de tenis.
Construir un árbol genealógico.
Análisis de circuitos eléctricos.
Para numerar los capítulos y secciones de un libro.
6.-TIPOS DE ARBOLES Un árbol ordenado: Es aquel en el que las ramas de los nodos están ordenadas.
Los de grado 2 se llaman árboles binarios.
Cada árbol binario tiene un subárbol izquierda y subárbol derecha.
+ A
^ B
3.
/ C
D 4
Árboles de expresión
Representan un orden de ejecución
+
*
* A
+
+
*
B C
-
E
7
D
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Árboles similares: Los que tienen la misma estructura (forma)
Árboles Equivalentes: Son los árboles similares y sus nodos contienen la misma información.
Árboles n-ario: Es un árbol ordenado cuyos nodos tiene N subárboles, y donde cualquier número de subárboles puede ser árboles vacíos.
a 1 2 3
b
5
6
4
8
7
9
c
e d
f
g
h i
Árbol binario completo:
Es un árbol en el que todos sus nodos, excepto los del ultimo nivel, tienen dos hijos.
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Número de nodos en un árbol binario completo = 2h –1 (en el ejemplo h = 4, 15) esto nos ayuda a calcular el nivel de árbol necesario para almacenar los datos de una aplicación.
7.-REPRESENTACION DE ARBOLES GENERALES COMO BINARIOS. UN ÁRBOL BINARIO: Es una estructura de datos en la cual cada nodo siempre tiene un hijo izquierdo y un hijo derecho, no pueden tener más de dos hijos. Es una información ordenada de tal forma que todos los elementos a la izquierda de la raíz son menores a la raíz y todos lo elementos a la derecha de la raíz son mayores a la raíz.
LOS PASOS A SEGUIR PARA CONVERSIÓN DE UN ARBOL GENERAL A UN ARBOL BINARIO:
ARBOL GENERAL.
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1._ Enlazar los hijos de cada nodo en forma horizontal (hermanos).
2._ Enlazar en forma vertical el nodo padre con el hijo que se encuentra mas a la izquierda. Además, se debe eliminar el vinculo del padre con el resto de sus hijos.
3._Rotar el diagrama resultante, aproximadamente 45 grados hacia la izquierda y así se obtendrá el árbol binario.
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8.-REPRESENTACIÓN DE UN BOSQUE COMO ÁRBOL BINARIO
Un bosque representa un conjunto normalmente ordenado de uno o más arboles generales.
Los pasos a seguir para conversión del bosque a un árbol binario:
1._ Enlazar en forma horizontal las raíces de los distintos arboles generales.
2._ Enlazar los hijos de cada nodo en forma horizontal (hermanos) Antes del enlace
Después del enlace
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En forma completa.
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4._Rotar el diagrama resultante, aproximadamente 45 grados hacia la izquierda y así se obtendrá el árbol binario.
9.-REPRESENTACIÓN DE ARBOLES BINARIOS EN MEMORIA
Existen dos formas tradicional es de representar un árbol binario en memoria: 1._Por medio de datos tipo puntero, también conocidos como variables dinámicas.
Campo donde se almacena la dirección del subárbol izquierdo del nodo t
Campo donde se almacena la información de interés del nodo
Campo donde se almacena la dirección del subárbol derecho del nodo t
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Ejemplo
2._por medio de arreglos.
Procedimiento crear(q:nodo) inicio mensaje("Rama izquierda?") lee(respuesta) si respuesta = "si" entonces new(p) q(li) <-- nil crear(p) en caso contrario q(li) <-- nil
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mensaje("Rama derecha?") lee(respuesta) si respuesta="si" entonces new(p) q(ld)<--p crear(p) en caso contrario q(ld) <--nil fin INICIO new(p) raiz<--p crear(p) FIN
10.-RECORRIDO DE ARBOLES BINARIOS 1.-Recorrido en preorden
Visitar la raíz
Recorrer el subárbol izquierdo
Recorrer el subárbol derecho
2.-Recorrido en inorden
Recorrer el subárbol izquierdo
Visitar la raíz
Recorrer el subárbol derecho
3. Recorrido en postorden
Recorrer el subárbol izquierdo 12
Recorrer el subárbol derecho
Visitar la raíz EJEMPLO DE RECORRIDO EN ARBOLES BINARIOS
11.-ARBOLES BINARIOS DE BÚSQUEDA El árbol binario de búsqueda es una estructura sobre la cual se pueden realizar eficientemente las operaciones de búsqueda, inserción y eliminación. Ventajas: En un arreglo es posible localizar datos eficientemente si estos se encuentran ordenados, pero las operaciones de inserción y eliminación resultan costosas. En las listas, dichas operaciones se pueden llevar a cabo con facilidad, sin embargo la búsqueda es una operación bastante costosa que incluso nos puede llevar a recorrer todos los el ementos de ella para localizar uno en particular. Formalmente se define un árbol binario de búsqueda de las siguientes manera”Para todo nodo T del árbol debe cumplirse que todos los valores de los nodos del subárbol izquierdo de T serán menores al valor del nodo T. De forma similar, todos los valores de l os nodos del subárbol derecho de T deben ser mayores al valor del nodo T.”
EJEMPLO DE ARBOL BINARIO DE BUSQUEDA
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12.-INSERCIÓN EN UN ÁRBOL BINARIO DE BÚSQUEDA La inserción es una operación que se puede realizar eficientemente en un árbol binario de búsqueda. La estructura crece conforme se inserten elementos al árbol. Los pasos que deben realizarse para insertar un elemento a un árbol binario de búsqueda son los siguientes:
1.-Debe compararse la clave a insertar con la raíz del árbol. Si es mayor, debe avanzarse hacia el subárbol derecho. Si es menor, debe avanzarse hacia el subárbol izquierdo.
2.-Repetir sucesivamente el paso 1 hasta que se cumpla alguna de las siguientes condiciones:
2.1.-El subárbol derecho es igual a vacio, o el subárbol izquierdo es igual a vacio, en cuyo caso procederá a insertar el elemento en lugar en el lugar que le corresponde.
2.2.-La clave que quiere insertarse es igual a un nodo del árbol, cuyo caso no se realiza la inserción. EJEMPLO DE INSERCIÓN EN UN ÁRBOL BINARIO DE BÚSQUEDA
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13.-BORRADO EN UN ÁRBOL BINARIO DE BÚSQUEDA Para eliminar un nodo existen los siguientes casos: 1. Si el elemento a borrar es Terminal (hoja), 2. Si el elemento a borrar tiene un solo hijo, 3. Si el elemento a borrar tiene los dos hijo, 1. Caso 1 Si el elemento a borrar es terminal (hoja), simplemente se elimina. aux = aux.izq = null
Caso 2
Si el elemento a borrar tiene un solo hijo, entonces tiene que sustituirlo por el hijo
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Caso 3
Si el elemento a borrar tiene dos hijos, entonces se tienen que sustituir por el nodo que se encuentra más a la izquierda en el subárbol derecho, o por el nodo que se encuentra más a la derecha en el subárbol izquierdo.
14.-ARBOLES BALANCEADOS Con el objeto de mejorar el rendimiento en la búsqueda surgen los árboles balanceados. La idea central de estos es la de realizar reacomodó o balanceos después de inserciones o eliminaciones de elementos. Estos árboles también nombrados recientemente AVL en honor a sus inventores, dos matemáticos rusos Adelson-Velskii y Landis. Un árbol balanceado es un árbol binario en el cual las alturas de los dos subárboles para cada nodo nunca difieren en más de una unidad.
Factor de Equilibrio El Factor de Equilibrio (FE) o de Balance (FB) de un nodo se define como la altura del SAD menos la altura del SAI correspondiente. El Factor de Equilibrio de cada nodo en un árbol balanceado será –1, 1 ó 0. Si FE llegara a tomar los valores de –2 ó 2, entonces debería reestructurarse el árbol.
15.-REESTRUCTURACIÓN DE ARBOLES AVL Reestructurar un árbol balanceado significa rotar los nodos del mismo. La rotación puede ser simple o compuesta. En el primer tipo de rotación se involucran dos nodos y en el segundo, se afectan tres. Si la rotación es simple puede realizarse por las ramas derechas (RDD: Rotación Derecha Derecha) o por
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las ramas izquierdas (RII: Rotación Izquierda Izquierda). Si la rotación es compuesta puede realizarse por las ramas derecha e izquierda (RDI: Rotación Derecha Izquierda) o por las ramas izquierda y derecha (RID: Rotación Izquierda Derecha).
16.-INSERCIÓN EN ÁRBOLES BALANCEADOS CASO 1. El SAI y el SAD del árbol balanceado tienen la misma altura (hSAD = hSAI): a) Si se inserta un elemento en SAI entonces hSAD será menor que hSAI b) Si se inserta un elemento en SAD entonces hSAD será mayor que hSAI Ya sea para a) o para b), no se viola el criterio de equilibrio o balance del árbol.
CASO 2. El SAI y el SAD del árbol balanceado tienen altura diferente (hSAD ≠ hSAI): CASO 2.1. Si hSAD > hSAI a) Si se inserta un elemento en SAI entonces hSAD será igual a hSAI Las ramas tienen la misma altura por lo que se mejora el equilibrio 17
b) Si se inserta un elemento en SAD entonces el árbol debe ser reestructurado Las ramas están desequilibradas por lo que se requiere reestructuración
CASO 2.2. Si hSAD < hSAI a) Si se inserta un elemento en SAI entonces el árbol debe ser reestructurado Las ramas están desequilibradas por lo que se requiere reestructuración b) Si se inserta un elemento en SAD entonces hSAD será igual a hSAI Las ramas tienen la misma altura por lo que se mejora el equilibrio Para poder determinar si un árbol está balanceado debe calcularse el FE de cada nodo del árbol.
El proceso de inserción en un árbol balanceado consta de los siguientes pasos: 1) Primero debe seguirse el camino de búsqueda del árbol, hasta localizar el lugar donde hay que insertar el elemento. 2) Se calcula su FE, que será cero (pues el elemento recién insertado posee SAI y SAD vacíos). Luego, se regresa por el camino de búsqueda calculando el FE de todos los demás nodos que componen el árbol. Si en alguno de los nodos se viola el criterio de equilibrio entonces debe reestructurarse el árbol. El proceso termina al llegar a la raíz del árbol, o cuando se realiza la reestructuración del mismo, en cuyo caso no es necesario determinar el FE de los nodos restantes.
Ejemplo de Inserción de Nodos con Árboles AVL Se insertara la siguiente secuencia: 65, 50, 23, 70, 82, 68 y 39
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17.-BORRADO EN ARBOLES BALANCEADOS
Consiste en quitar un nodo del árbol sin violar los principios que define justamente un árbol balanceado. 1._Si el elemento a borrar es terminal u hoja, simplemente se suprime.
La eliminación de la clave 10 es un proceso sencillo por que no contiene hijos 2._Si el elemento a borrar tiene un solo descendiente, entonces tiene que sustituirse por ese descendiente.
3._Si el elemento a borrar tiene los dos descendientes, entonces tiene que sustituirse por el nodo que se encuentra más ala izquierda en el subárbol derecho o por el nodo que se encuentra más ala derecha en el subárbol izquierdo.
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Al eliminar la clave 39 se origina el caso más difícil de borrado en arboles. La eliminación de clave con dos descendientes. Se opta por sustituir dicha clave por el nodo que se encuentra más ala derecha en el subárbol izquierdo
18.-ARBOLES MULTICAMINOS Es la generalización del Árbol Binario Cada nodo puede almacenar (n) claves y tener n+1 hijos El árbol B es un tipo especial de árbol multicamino Es útil en sistemas de Archivos y para manejar Sistemas de Bases de Datos Permiten almacenar grandes cantidades de datos Que no entran en memoria secundaria Se aplica para la organización de índices o claves De tal forma que el acceso a esos datos Usando dispositivos externos (no en memoria principal) Tengan un costo relativamente bajo
Características
Posee un orden m. Este define el máximo de claves e hijos que cada nodo puede tener,
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Cada nodo se denomina página Es un árbol lleno (y balanceado). Todas sus hojas están en el mismo nivel Cada página interna Posee máximo: m ramas Y Mínimo: m/2 ramas, redondeado Si posee un número n de ramas, puede almacenar hasta n-1 claves Y la raíz Tiene máximo: m ramas Y mínimo: 2 ramas, o 0 si solo existe el nodo raíz
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19.-GRAFOS Graph es un T.D.A. que representa un conjunto finito N de nodos, llamados vértices , relacionados entre sí por un conjunto R de arcos .
Grafo con 5 vértices y 6 arcos. Vértices del Grafo
N ={ A, B, C, D, E } Arcos del Grafo
R={(A, A), (A, B), (A, D), (A, C), (D, C), (C, E)}
Permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras.
EJEMPLO Una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).
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20.-REPRESENTACIÓN DE UN GRAFO Existen dos maneras conocidas para representar un grafo Una colección de listas de adyacencia Representada con un arreglo de listas encadenadas con length igual al número de estados Una matriz de adyacencia Con casillas que representan las relaciones de todos los estados con todos los estados.
LISTA DE ADYACENCIA
una matriz
Tiene muchos vértices y
Pocos arcos
La Matriz de Adyacencia Tendrá demasiados ceros
○
Ocupara mucho espacio
Los vértices
○
Pueden formar una lista, no un vector
Los arcos
Son relaciones entre vértices
Se pueden representar con una lista x cada vértice
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EJEMPLO
Matriz de Adyacencia
Representa para cada nodo cuáles son sus vértices adyacentes. Cada fila y cada columna de la matriz corresponden con un vértice en particular. Los elementos de la matriz son booleanos Si el elemento (i, j) es verdadero, existe un arco que va del vértice i al vértice j y, si el elemento (i, j) es falso, no existe arco del vértice i al vértice j. Si el grafo es no orientado, si existe el arco del vértice i al vértice j existe el arco del vértice j al vértice i.
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ACLARACIONES
Si el conjunto N es vacío, el grafo será vacío. Cada arco de un grafo establece una única relación entre dos nodos. No existe restricción en la relación que establece un arco, o sea, un nodo puede estar relacionado consigo mismo o con otro nodo. Cada arco se representa a través de un par, donde cada elemento determina uno de los nodos
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