Clase # 15
PROGRAMACIÓN ENTERA FORMULACIÓN
1. PRO ROGR GRAM AM ACI ÓN EN E N TE TERA: RA: P. P.E. Pr ogr Pro grama amacci ón L i ne neal al con l a re r estr trii cci ón adici dicio on al de qu que e l os val valor ore es de l as var varii abl able es de de deci cissi ón son en te terr os os.. (vs su pos posii ci ció ón de di divi vissi bi bill i dad dad))
P.E Pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros.
P.E Mixta (PEM): Algunas de las variables de decisión tienen valores enteros. Las demás toman valores reales o continuos (cumplen con la suposición de divisibilidad).
2. PROGRAMACIÓN BINARIA: P.B. (Programación Dual o Programación 0-1) Utiliza variables binarias: Sólo tiene 2 alternativas posibles X j =
1
si la decisión j es si.
0
si la decisión j es no.
Las X j son variables variables de decisión restringidas a tomar valores 0,1. PEM: “Panacea” de la optimización
3. Ejemplo 1: Programación Binaria La CALIFORNIA MANUFACTURING CO. está analizando la posibilidad de expansión. Fábrica: Construcción de una fábrica en Los Angeles o en San Francisco, o tal vez en ambas ciudades Almacén: Construcción de un almacén a lo sumo, pero la decisión está restringida a que si hay almacén es porque hay fábrica en ese sitio. Veamos
# de decisión Pregunta sí o no
Variable VNP Capital de Beneficio Requerido decisión ($ millón) ($ millòn)
1
¿Construir fábrica en Los Angeles?
X 1
9
6
2
¿Construir fábrica en San Francisco?
X 2
5
3
3
¿Construir almacén en Los Angeles?
X 3
6
5
4
¿Construir almacén en San Francisco?
X 4
4
2
Capital disponible: $10 millones
Formulación del modelo: Variables de decisión. La variable de decisión X j es tal que: X j =
1 se construye. 0 no se construye. j = 1, 2, 3, 4.
Función objetivo.
Max Z = 9 X 1 + 5 X 2 + 6 X 3 + 4 X 4
Como las variables de decisión son adimensionales, Z tiene unidades de
[$ millones]
Restricciones Alternativas mutuamente excluyentes: max 1 almacen
1
X 3 + X 4
Alternativas condicionales o contingentes X 3
X 1
X 4
X 2
Se construye el almacén solo si se construye la fábrica
6X 1 + 3X 2 + 5X 3 + 2X 4 X j
Capital 10 disponible
[0,1] para j= 1, 2, 3, 4.
El modelo completo será:
Max Z = 9 X 1 + 5 X 2 + 6 X 3 + 4 X 4 X 3 + X 4
+ X 3
-X 1 -X 2
+ X 4 0
6X 1 + 3X 2 + 5X 3 + 2X 4 X j
1 0 10
[0,1] para j= 1, 2, 3, 4.
4. VARIABLES AUXILIARES BINARIAS 4.1 Seleccionar una de dos restricciones. Sólo una (cualquiera) de las 2 restricciones debe cumplirse. La otra puede o no cumplirse, pero no se requiere que lo haga. Aplicación práctica: Casos en que se tienen 2 tipos de recursos alternativos para un cierto propósito. Ejemplo:
o bien 3 X 1 + 2X 2 18 o X 1 + 4X 2 16
Veamos
9 8
X2 3 X 1 + 2X 2 = 18
7 6 5 4 3
X 1 + 4X 2 = 16
2 1
X1
Formulación: Para lograr lo enunciado anteriormente el modelo puede formularse así: Una de las dos 3 X 1 + 2X 2 18 + M
O una de las dos 3 X 1 + 2X 2 18
X 1 + 4X 2
X 1 + 4X 2
16
16 + M
Esto se lleva a la forma equivalente 3 X 1 + 2X 2
X 1 + 4X 2
18 + M y
y 16 + M (1-y)
[0,1]
4.2 Deben cumplirse K de N restricciones. Seleccionar K de N restricciones Considere la situación en la que el modelo completo incluye un conjunto de N restricciones posibles entre las que sólo K de ellas se deben cumplir. (suponga que K < N). Las N-K restricciones que no se eligen quedan eliminadas del problema, aun cuando por coincidencia las soluciones factibles puedan satisfacer algunas de ellas. Veamos
Se tienen N restricciones del tipo f 1 ( x 1 , x 2 , ........., x n )
d 1
f 2 ( x 1 , x 2 , ........., x n )
d 2
f N ( x 1 , x 2 , ........., x n )
d N
La formulación equivalente del requerimiento de que K de estas restricciones se deban cumplir será: f 1 ( x 1 , x 2 , ........., x n )
d + M y 1 1
f 2 ( x 1 , x 2 , ........., x n )
d 2 + M y 2
f N ( x 1 , x 2 , ........., x n )
d N + M y N
N
i=1
y i
y i = N-K
Y i = 0 indica que la restricción se cumple
[0,1] para i = 1, 2, ..., N.
4.3 Funciones con N valores posibles. Considere la situación en la que una función dada tome cualquiera de N valores dados. Denotemos este requisito así: f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = d , ..., o d 1 , o d 2 N
El caso especial en que f(x) sea lineal, se tiene: f (x 1 , x 2 , ..., x n ) =
n
= d d X a j 1 o 2 ... j j=1 sigue
La formulación equivalente requerimiento será: f ( x 1 , x 2 , ........., x n ) =
N j=1
d j j y
N i=1
y i
y i = 1
[0,1] para i= 1,2,....., N.
de
este
4.4 El Problema de costo fijo. Es bastante común incurrir en un costo fijo cuando se emprende una actividad. Por ejemplo: Cuando se inicia una corrida de un lote de producción y deben prepararse las instalaciones. (existen algunos costos fijos y otros variables). El costo total de la actividad j puede representarse por una función de la forma: f (X ) = j j
k j + c jX j
si X j > 0
0
si X j = 0
sigue
La F. O.: Minimizar Z = f 1 (x 1 )+ f 2 (x 2 ) + ... + f n (x n ) Puede expresarse como: n
M in Z =
c jX j + k jY j) ( j=1
Usando variables auxiliares binarias Y j =
1 0
si X j > 0 si X j = 0 .
s. a. Restr icciones originales X j
M Y j
Y j binaria
4.5. Condicionales de umbral Para que cierta variable X 1 pueda tomar un valor positivo, es necesario que otra variable X 2 exceda cierto valor umbral a X1 ≤ MY X2 ≥ aY Donde M es un número positivo grande Y es una variable binaria. Si Y =1 X2 ,cumple el umbral
4.6. Intervalos de Encendido-Apagado(On-Off) X tome el valor de 0 ó está en el intervalo fijo entre a y b. ay≤ X ≤ by y es una variable binaria. Si y =1, X está en el rango, de lo contrario es 0
5. Ejemplo 2: P.E.M La división de investigación y desarrollo de una compañía manufacturera ha desarrollado 3 nuevos productos y dispone de 2 plantas para fabricarlos. Se quiere evitar la diversificación excesiva de la línea de productos y por ello solo se fabricarán máximo 2 de los 3 productos desarrollados, y sólo se utilizará una de las plantas.
sigue
Horas por unidad Horas disponibles de Producto
Planta
1
2
3
por semana
1
3
4
2
30
2
4
6
2
40
5
7
3
Miles de US$
7
5
9
Unidades por semana
Ganancia unitaria Ventas potenciales
Pasemos ahora a formular el modelo
Variables de decisión. X j : Tasa de producción del producto j
J = 1, 2, 3
Función objetivo.
Max Z = 5X 1 + 7X 2 + 3X 3
Restricciones 3X 1 + 4X 2 + 2X 3 30
Planta 1
4X 1 + 6X 2 + 2X 3 40
Planta 2
X 1 X 2
7
producto 1
5
producto 2
X 3 9
producto 3
X j 0 para j = 1, 2, 3.
¿Notó UD algo raro en la formulación del modelo? Faltan restricciones !!! CUÁLES? Pueden usarse variables binarias para formular adecuadamente algunas restricciones. Veamos
Recuerde que sólo se pueden fabricar hasta 2 de los 3 productos. Se introducen 3 variables auxiliares binarias: y1, y2, y3 tales que: Y j =
1 si X j > 0 se puede cumplir
(se puede producir j)
0 si X j = 0 se debe cumplir
(no se puede producir j)
para j = 1, 2, 3. sigue
Con la ayuda de la M grande puede obtenerse: X 1
M y 1
X 2
M y 2
X 3
M y 3
y + y 1 2 + y 3 2 y i es binaria para i = 1, 2, 3
Recuerde que sólo se puede utilizar una de las 2 plantas. Se introduce la variable binaria y 4 tal que:
= Y 4
1
si
4X 1 + 6X 2 + 2X 3 40 Debe cumplirse (se elige la planta 2)
0
si
3X 1 + 4X 2 + 2X 3 30 Debe cumplirse (se elige la planta 1)
sigue
Con la ayuda de la M grande puede obtenerse: 3X 1 + 4X 2 + 2X 3 30 + M y 4
) 4X 1 + 6X 2 + 2X 3 40 + M (1- y 4 y 4 es binaria
La formulación del modelo completo será:
