PRUEBA DE HIPÓTESIS La estadística inferencial es el proceso de usar la información de una muestra para describir el estado de una población. Sin embargo es frecuente que usemos la info inform rmac ació ión n de una una mu mues estr traa para para prob probar ar un recl reclam amo o o conje conjetu tura ra sobr sobree la población. El reclamo o conjetura se refiere a una hipótesis. El proces proceso o que que corrobora corrobora si la información información de una muestra sostiene sostiene o refuta refuta el reclamo se llama llama prueba de hipótesis.
Hipótesis y Niveles de Significancia En la prueba de hipótesis hipótesis se pone a prueba un reclamo hecho sobra la naturaleza naturaleza de una población población a base de la información información de una muestra. muestra. El reclamo reclamo se llama hipótesis estadística.
Hipótesis Estadística: Una hipótesis estadística es un reclamo hecho sobre la naturaleza de una población. Por ejemplo, la premisa formulada por un productor de baterías para autos de que su batería dura en promedio ! meses, es una hipótesis estadística porque el manufacturero no inspecciona la "ida de cada batería que #l produce. Si surgieran quejas de parte de los clientes, entonces se pone a prueba el reclamo del del manu manufa fact ctur urer ero. o. La hipót hipótes esis is esta estadí díst stic icaa some someti tida da a prue prueba ba se llam llamaa la hipótesis nula, $ se denota como H0.
COMO ES!"#ECE$ #! S!"#ECE$ #! H%&'ES%S N(#! ) #! !#E$N! premisa, a, reclamo, reclamo, o conjet conjetura ura que se pronuncia pronuncia sobre sobre la Hipótesis Nula *H0+% premis naturaleza de una o "arias poblaciones. Por ejemplo, para probar o desaprobar el reclamo pronunciado por el productor de baterías debemos probar la hipótesis estadística de que !. Por lo tanto, la hipótesis nula es%
H0 :
,-.
Luego se procede a tomar una muestra aleatoria de baterías $ medir su "ida media. media. Si la informac información ión obtenid obtenidaa de la muestra muestra no apo$a el reclamo reclamo en la hipótesis nula & H0', entonces otra cosa es cierta. La premisa alterna alterna a la hipótesis nula se llama hipótesis alterna $ se representa por H.
Hipótesis !lterna:
Una premisa que es cierta cuando la hipótesis nula es falsa.
Por ejemplo, para el productor de baterías ! $ H0 % H ( %
) )
!
Para probar si la hipótesis nula es cierta, se toma una muestra aleatoria $ se
calcula la información, como el promedio, la proporción, etc. Esta información muestral se llama estadística de prueba.
Estadística de &rueba: Una estadística de prueba se basa en la información de la muestra como la media o la proporción .
E$$O$ %&O ) E$$O$ %&O / * base de la información de una muestra nosotros podemos cometer dos tipos de errores en nuestra decisión. (. Podemos rechazar un H0 que es cierto. +. Podemos aceptar un H0 que es falso. El primero se llama error ipo (
Errr ip : -uando rechazamos una ipótesis /ula que es cierta cometemos error tipo (. 0 el segundo error se llama error ipo +.
Errr ip /: -uando aceptamos una ipótesis /ula que es falsa cometemos error tipo +.
N%1E# 2E S%3N%4%C!NC%! * + Para ser mu$ cuidadosos en no cometer el error tipo (, debemos especificar la probabilidad de rechazar 1, denotada por . * #sta se le llama nivel de
significancia. Nivel de Significancia: La probabilidad & m2s alta de rechazar H0 cuando H0 es cierto se llama nivel de significancia. C5entari% Para mantener la probabilidad de cometer el error tipo ( baja, debemos escoger un "alor peque3o de .
Usando un "alor preasignado de se constru$e una región de recha6 o región crítica en la cur"a normal est2ndar o en la cur"a t que indica si debemos rechazar H0 .
$egión Crítica de $echa6: Una región crítica o de rechazo es una parte de la cur"a de z o de la cur"a t donde se rechaza H0. La región puede ser de una cola o de dos dependiendo de la hipótesis alterna.
Ejemplos
Para H (% 4 "alor aceptado, la región de rechazo est2 dada por%
&cola derecha, z ó t'
Para H ( % ) "alor aceptado, la región de rechazo est2 dada por%
&cola izquierda, z ó t' Para H ( %
"alor
aceptado, la región de rechazo es de dos colas $
est2 dada por% :+
Ejemplo 1:
:+
&+5colas, z ó t'
6etermine si la región de rechazo es de la cola derecha, de la cola izquierda o de dos colas.
a. H 1 % 7 (8,
H ( % (8, 7.18
b. H 1 % p 1.9, H ( % p 4 1.9, 7.1+ Solución:
a.
La forma de la región de rechazo est2 determinada por la hipótesis alterna. H ( % (8 significa que la región est2 en ambas colas. .18:+
b.
.18:+
H ( % p 4 9 significa que la región est2 en la cola derecha.
.1+ Ejemplo 2:
En el Ejemplo (a, presumamos que la región de rechazo es parte de la cur"a normal est2ndar. -omplete el dibujo de la región crítica para los "alores siguientes%
a. 7 .18
Solución:
a.
6el ejemplo (&a', tenemos%
.18:+71.1+8
6e la tabla de la distribución normal, la P&Dz' 7.1+8 corresponde a un "alor D7 5(.=. Por simetría la P&D4z'7.1+8 corresponde a D7 (.=.
.18:+71.1+8 (.=
5(.=
En el ejemplo (a, presumamos que la región de rechazo es parte de la cur"a t . -omplete el dibujo de la región de rechazo para%
Ejemplo 3:
a. 7 .18 $ 7 ( Solución:
a.
6el ejemplo (&a', 7 .18, $ 7 (, tenemos%
.18:+71.1+8
+.1!=
5+.1!=
Ejemplo 4:
6e la tabla de la distribución t, la P&t' 7.1+8 corresponde a un "alor t7 5+.1!=. Por simetría la P&4t'7.1+8 corresponde a t7 +.1!=.
.18:+71.1+8
Establezca las hipótesis nula $ alterna.
a. Las millas por galón &mpg' promedio de un nue"o modelo de automó"il es ;+.
b. <2s del =8> de los empleados de un colegio aportan a las *?@AES.
c. En promedio, los empleados de cierta compa3ía "i"en a no m2s de (8 Bm de la misma.
d. *l menos un =1> de la población adulta de una comunidad "otar2 en las próCimas elecciones Presidenciales.
e. El peso promedio de un pollo para asar es de al menos cuatro libras. Solución:
a.
H 1 % 7 ;+
b.
H ( % ;+
d.
H 1 % p .= H ( % p ) .=
H 1 % p .=8 H ( % p ) .=8
e.
H 1 % H ( % )
c.
H 1 % (8 H ( % 4 (8
Ejercicios En ls e7ercicis *89+ deter5ine si la región de recha6 para la hipótesis nula est en la cla i6;uierda< en la cla derecha< a5bas clas. &ara el nivel de significancia dibu7e la región de recha6. . H 1 % ((F H ( % 4 (( /. H 1 % 8.!F H ( % ) 8.! =. H 1 % p 7 1.F H ( % p 1. ,. H 1 % 7 ((1F H ( % ((1 >. H 1 % p 1.;F H ( % p ) 1.; 9. H 1 % p 1.!F H ( % p ) 1.! En ls e7ercicis *? 8 -+ c5plete la región de recha6 *encuentre el valr de 6 y t+. ?.
a) z , si 7 .18
b' t , si 7 .1+8 $ 7
-.
a) z , si 7 .1(
b' t , si 7 .18 $ 7 (;
@.
a' z , si 7 .1+
b' t , si 7 .1( $ 7 8
0.
a' z , si 7 .1+8
b' t , si 7 .1( $ 7
.
:+
:+
a' z , si 7 .18
b' t , si 7.18 $ 7 (1
/.
:+
:+
a' z , si 7 .1(
b' t , si 71.( $ 7 9
En ls e7ercicis *= 8 -+ estable6ca las hipótesis nula y alterna. =.
Los maestros de la -/E permanecen inacti"os un promedio de ;.8 días al mes.
(.
Una nue"a marca de llantas radiales dura en promedio m2s de !,111 millas.
>.
El gasto mensual promedio de un ni3o de secundaria en alimentos chatarra es de al menos G(81.
9.
Se reclama que al menos el =1> de los alumnos que toman la materia de estadística recursan.
(9.
Se reclama que el +1> de los graduados de cierto colegio pri"ado solicitan admisión a escuelas de medicina.
(!.
Un dentista reclama que el 8> de sus pacientes sufren enfermedades en las encías.
En ls e7ercicis @ al /9 reali6a la prueba ;ue satisfaga l ;ue se pide. (. Una escuela est2 interesada en comenzar un nue"o programa de posgrado. ras realizar una campa3a publicitaria, se toma la muestra de ( 111 posibles candidatos de los cuales, +8 no conocían el programa. * un ni"el de significación del (> Hapo$a el estudio las siguientes hipótesisI
a. <2s del ;> de la población no conoce el nue"o programa. b. de la población no conoce el nue"o programa
20. El profesor de la clase de español sostiene que más de un 80% de los alumnos de sexto año evalúa positivamente la metodología sugerida por el para la enseñanza del español. ara validar dic!a afirmaci"n# un supervisor le pregunta a una muestra de $0 alumnos que son educados con esa metodología# encontrando que $$0 de ellos evalúa positivamente la metodología. &ealizar un contraste# decidiendo con un ' (%.
2$. )na muestra aleatoria de *00 !om+res , otro de 00 mu-eres de una determinada po+laci"n revel" que $20 !om+res , $20 mu-eres esta+an a favor de cierto candidato. /e puede concluir a un nivel de significaci"n del (% que la proporci"n de !om+res a favor del candidato es ma,or que la proporci"n de mu-eres
++. Un gerente de "entas de libros uni"ersitarios afirma que en promedio sus representantes de "entas realiza 1 "isitas a profesores por semana. Jarios de estos representantes piensan que realizan un nKmero de "isitas promedio superior a 1. Una muestra tomada al azar durante ! semanas re"eló un promedio de + "isitas semanales $ una des"iación est2ndar de + "isitas por semana. Utilice un ni"el de confianza del > para aclarar esta cuestión. &Prueba t'
+;. Un in"estigador de mercados $ h2bitos de comportamiento afirma que el tiempo que los ni3os de tres a cinco a3os dedican a "er la tele"isión cada semana se distribu$e normalmente con una media de ++ horas $ des"iación est2ndar = horas. ?rente a este estudio, una sociedad de padres de familia cree que la media es ma$or $ para probar su hipótesis toma una muestra de = obser"aciones procedentes de la misma población, obteniendo como resultado una media de +8. Si se utiliza un ni"el de significación del 8>. Jerifique si la afirmación del in"estigador es realmente cierta.
2. /e recolectan dos muestras independientes de o+servaciones en una prue+a de aritm1tica. ara la primera muestra de 0 alumnos# la calificaci"n media es de 8 , la desviaci"n estándar es de puntos. 3a segunda muestra es de 4( o+servaciones con una media de 82 , una desviaci"n estándar de 5 puntos. a6 7alcule el error estándar estimado de la diferencia entre las dos medias +6 )sando un nivel de significancia de 0.0$# prue+e si las dos muestras pueden# de manera razona+le# ser consideradas como provenientes de po+laciones con la misma media.
2( )na instituci"n educativa selecciona rutinariamente varios estudiantes de los turnos matutino , vespertino para medir el aprovec!amiento escolar. Es último estudio# los $2 alumnos del turno matutino tuvieron un desempeño promedio de 8 puntos# con una desviaci"n estándar de puntos en tanto# los 5 alumnos del turno vespertino presentaron un promedio de 82 puntos con una desviaci"n estándar de puntos. un nivel de significancia del 2% /e de+erá concluir que los alumnos del turno matutino tienen un promedio de 2 puntos por encima de los alumnos del turno vespertino 2. El ,untamiento de una ciudad afirma que el (% de los accidentes -uveniles de los fines de semana son de+idos al alco!ol. )n investigador decide contrastar dic!a !ip"tesis al nivel de significaci"n $%# para lo cual toma una muestra formada por *( accidentes , o+serva que 2 de ellos !an sido de+ido al alco!ol. 9u1 podemos decir so+re la afirmaci"n del ,untamiento
&esumen de estadísticos de prue+a para rue+as de !ip"tesis
:ip"tesis ;ula rue+a de una media H 1 % 1
la
Estadística Estadística estandarizada X
la
n
t
X
varianza
rue+a para diferencia entre medias
H 1 % (
+
?uestras grandes
X
X ( X +
rue+a para diferencia entre medias
X ( X +
X
+
( X +
p+
( X +
+
+
n(
+
n+
( n(
s p
& n( (' s
p L
&n+ (' s
( p(
p o q 1
n p+ & p( p+ ' H 1 ( p+
p( p+ ( p+
s
+ +
pL p 1
p
+
=istri+uci"n
( n+
+
t n(
+
n+ +
n( + n+ +
Z
Z
( X +
+ ( +
p
rue+a so+re varianza H 1 % + 1+
=istri+uci"n ;ormal estándar
( X +
(
X
rue+a so+re diferencia entre proporciones
$6
& X ( X + ' & ( + ' H 1
z
s p rue+a so+re proporciones H 1 % p p1
=istri+uci"n t
+
+
?uestras pequeñas
H 1 % p(
X 1 s n
& X ( X + ' & ( + ' H 1
z
X
H 1 % (
=istri+uci"n ;ormal estándar
varianza
rue+a de una media H 1 % 1
X 1
Z
&egi"n crítica
+
p(q( n(
+
p + q+
=istri+uci"n normal estándar
=istri+uci"n normal estándar
n+
& n (' s +
=istri+uci"n
+ 1
& n ('
+
