Ejercicios Resuletos-Investigacion de Operaciones

Investigación Operativa I

Programación Lineal

EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL

1 RMC es !na empresa pe"!e#a "!e pro$!ce $iversos pro$!ctos "!%micos En !n proceso $e pro$!cción en partic!lar se !tili&an tres materia primas para ela'orar $os pro$!ctos( !n a$itivo para com'!sti'le ) !na 'ase $isolvente El a$itivo para com'!s com' !sti ti'l 'le e se ve ven$ n$e e a em empr pres esas as pe petr trol oler eras as ) se !t !til ili& i&a a en la pro$!cción $e

gasolina ) otros com'!sti'les relaciona$os La 'ase $isolvente se ven$e a varias empresas "!%micas ) se !tili&a tanto para pro$!ctos $e limpie&a para el *ogar como in$!striales Para +ormar el a$itivo para com'!sti'le ) la 'ase $e $isolv $is olven ente te $e me me&cl &clan an tr tres es ma mater teria ia pr prim imas as,, seg seg-n -n ap apara ara ce en la sig!iente ta'la

NECESIDADES DE MA.ERIA PRIMA POR .ONALADA Materia Prima

Pro$!cto 1 A$itivo para com'!sti'le /2 4ase $isolvente 1/

/ 3 12

0 02 013

5tili&a 6 tonela$as $e materia prima 1 en ca$a tonela$a $e 'ase $e $isolvente

La pro$!cción $e RMC est7 limita$a por la $isponi'ili$a$ $e las tres primas Para Para el per%o$o $e pro$!cci pro$!cción ón act!al act!al,, RMC tiene materia primas $isp $i spon oni' i'le les s la las s can canti$ ti$a$e a$ess sig sig!ie !ient ntes es $e ca$ ca$a a !na $e las materia materia

primas Canti$a$es $isponi'les Materia Materia Materia Materia

Prima prima 1 Prima / prima 0

para la pro$!cción /3 tonela$as 2 tonela$as /1 tonela$as

De'i$o a $et De'i$o $eterio erioro ro ) la nat!rale& nat!rale&a a $el pro proceso ceso $e pro$!c pro$!cció ción, n, c!al"! c!a l"!ier ier materia prima "!e no se !tilice para pro$!cción act!al res!lta in-til ) $e'e $escartarse El $e $epar partam tamen ento to $e co contr ntrol ol $e cal cali$a i$a$ $ *a an anali& ali&a$ a$o o las ci+r ci+ras as $e pro$!cción, asignan$o to$os los costos correspon$ientes, ) para am'os pro$ pr o$!c !cto toss lle llegó gó a precios "!e res!ltar7n en !na contri'!ción a la !tili$a !til i$a$ $ $e 83 $óla $ólares res por ton tonela$ ela$a a $e a$i a$itivo tivo para com com'!s '!sti'l ti'le e pro$! pr o$!ci ci$a $a ) $e 03 03 $óla $ólare res s po porr ca$a ca$a tonela$a $e 'ase $isolvente

pro$!ci$o La a$ministra pro$!ci$o a$ministración ción $e RMC, $esp!9s $e !na an7l an7lisis isis $e la $eman$a $eman$ a potenci potencial, al, *a concl!i$o "!e los precio precioss esta'leci$os aseg!rar aseg !rar7n 7n la vent venta a $e to$o el a$it a$itivo ivo para com'!sti'l com'!sti'le e ) $e to$a la 'ase $isolvente "!e se pro$!&ca El pro'lema $e RMC es $eterminar c!7ntas tonela$a $e ca$a pro$ pro$!cto !cto $e'er7

pro$!cir para ma:imi&ar la contri'!ción total $e la !tili$a$ Si 5$ Est!viera a cargo $e la programación $e la pro$!cción para RMC ;"!pe $ecisión tomar%a< Esto es, ;C!7ntas tonala$as $e a$itivo para com'!sti'le ) c!7ntas tonela$as

Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 1



$e 'a 'ase se $i $iso solv lven ente te pr pro$ o$!c !cir% ir%a a !s !ste te$ $ pa para ra el pe per% r%o$ o$o o ac act! t!al al $e pro$!cción< Escri'a s!s $ecisiones a'a>o ) enc!entre s!s res!lta$os1

Sol!ción( Dise#o $el mo$elo matem7tico( 

De?nición $e varia'les @1  n-mero $e tonela$as $e a$itivo para com'!sti'le @/  n-mero $e tonela$as $e 'ase $isolvente



B!nción B! nción o'>etivo( Ma:imi&ar la contri'!ción a la !tili$a$,   83 @1  03 @/



Restricciones .onela . onela$as $as $e materia materia prima / /2 2@1  1 1/ /@/  1 /3 .onela . onela$as $as $e materia materia prima 12@/  2 / 02@1  013@/  /1 .onela . onela$as $as $e materia materia prima 0



No negativi$a$ @i 3F i1,/

Entra$a $e $atos para Solver

Sali$a $e res!lta$o res!lta$oss

An$erso An$ erson n S=e S=eene ene) ) Hi Hillam llams s M9t M9to$o o$oss C!a C!antit ntitativ ativos os par para a los Neg Negocio ocios s ma E$ición E$itorial E$itori al .*omson P7gina //3

1


P7gina( /



In+orme $el pro'lema( Or$en $e pro$!cción( /2 tonela$as $e a$itivo /3 tonela$as $e 'ase $isolvente con( /3 tonela$as $e materia prima 1, 8 tonela$as $e materia prima /, ) /1 tonela$as $e materia prima 0 / Innis Investments a$ministra +on$os $e empresas ) clientes p!$ientes La estrategia $e inversión se a$ec!a a las necesi$a$es $e ca$a cliente Para !n cliente n!evo, a Innis se le *a a!tori&a$o invertir *asta 1/3333 $ólares en +on$os $e inversión( !n +on$o $e acciones ) !n +on$o $el merca$o $e $inero

Ca$a !ni$a$ $el +on$o $e acciones c!esta 23 $ólares, con !na tasa $e ren$imiento an!al $e 13KF ca$a !ni$a$ $el +on$o $e merca$o $e $inero c!esta 133 $ólares, con !na tasa $e ren$imiento an!al $e 8K El cliente $esea minimi&ar el riesgo, pero "!iere tener !n ingreso an!al so're la inversión $e por lo menos 3333 $ólares De ac!er$o con el sistema $e me$ición $el riesgo $el Innis, ca$a !ni$a$ a$"!iri$a en el +on$o $e acciones tiene !n %n$ice $e riesgo $el , ) ca$a !ni$a$ a$"!iri$a en el +on$o $e merca$o $e $inero tiene !n %n$ice $e riesgo $e 0 El %n$ice $e riesgo m7s eleva$o con el +on$o $e acciones in$ica, simplemente "!e se trata $e !n a inversión m7s riesgosa El cliente $e Innis tam'i9n *a especi?ca$o "!e se inviertan por lo menos 0333 $ólares en el +on$o $e merca$o $e $inero ;C!7ntas $e ca$a !no $e

los +on$os $e'er7 a$"!irir Innis para el cliente, si el o'>etivo es minimi&ar el %n$ice $e riesgo total para esa cartera< / Sol!ción( Dise#o $el mo$elo matem7tico( 

De?nición $e varia'les @1  n-mero $e !ni$a$es a$"!iri$as en el +on$o $e acciones @/  n-mero $e !ni$a$es a$"!iri$as en el +on$o $el merca$o $e $inero



B!nción o'>etivo( Minimi&ar el riesgo,    @1  0 @/



Restricciones Bon$os $isponi'les 23@1  133@/  1/33333 Ingreso an!al 2 @1  8@/  3 333

5ni$a$es en +on$o

133@/  0333

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /8/ /


P7gina( 0

Investigación Operativa I 




Datos $e sali$a $el Solver

In+orme $e asesor%a( Innis Investments aconse>a al cliente "!e a$"!iera 833 !ni$a$es a 23 $ólares ca$a !na en Acciones ) 13333 !ni$a$es a 133 $ólares ca$a en el merca$o $e $inero para o'tener !na ganancia $e /333 $ólares al a#o 0 PAR es !n pe"!e#o +a'ricante $e e"!ipo ) accesorios para gol+ c!)o $istri'!i$or lo convenció $e "!e e:iste !n merca$o tanto para la 'olsa $e gol+ $e precio

me$io, conoci$a como mo$elo est7n$ar, como para !na 'olsa $e gol+ $e precio eleva$o, conoci$a como mo$elo $el!:e El $istri'!i$or tiene tanta con?an&a en el merca$o "!e si PAR p!e$e +a'ricar las 'olsas a !n precio competitivo, el

$istri'!i$or est7 $e ac!er$o en a$"!irir to$as las 'olsas "!e PAR p!e$a +a'ricar en los sig!ientes tres meses 5n an7lisis c!i$a$oso $e los re"!erimientos $e

+a'ricación $ieron como res!lta$o la ta'la sig!iente, "!e m!estra las necesi$a$es $e tiempo $e pro$!cción para las c!atro operaciones $e

man!+act!ra re"!eri$as ) la estimación por parte $el $epartamento $e conta'ili$a$ $e la contri'!ción a la !tili$a$ por 'olsa

.iempo $e pro$!cción Corte ) Cost!ra Os=al$o Pa!l Riva$eneira

.ermina$o Inspección 5tili$a$ por P7gina( 8


Pro$!cto Est7n$ar Del!:e

te#i$o 13 1


1/ 2

) empa"!e 4olsa 113 13 18 

1 /0

El $irector $a man!+act!ra estima "!e $!rante los sig!ientes tres meses estar7n $isponi'les 03 *oras $e tiempo $e corte ) te#i$o, 33 *oras $e tiempo $e cost!ra, 3 *oras $e tiempo $e termina$o ) 102 *oras $e tiempo $e inspección ) empa"!e para la pro$!cción $e las 'olsas $e gol+ a ' c $

Si

la

empresa

$esea

ma:imi&ar

la

contri'!ción

total



B!nción O'>etivo  ma:  13@1  @/



Restricciones 3@1  13@/  03 oras $e Corte ) te#i$o 32@1  3008@/  33 oras $e Cost!ra 13@1  3@/  3 oras $e .ermina$o 31@1  3/2@/  02 oras $e Inspección ) Empa"!e No negativi$a$ @i 3F i1,/

Sol!ción gr7?ca(

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /8 Pro'lema 12 0

la

!tili$a$,;C!7ntas 'olsas $e ca$a mo$elo $e'er7 +a'ricar< ;Q!9 contri'!ción a la !tili$a$ p!e$e o'tener PAR $e estas canti$a$es $e pro$!cción< ;C!7ntas *oras $e pro$!cción se programar7n para ca$a operación< ;C!7l es el tiempo $e *olg!ra $e ca$a operación<0

Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  Canti$a$ $e !ni$a$es $e 'olsas $e gol+ estan$ar @/  Canti$a$ $e !ni$a$es $e 'olsas $e gol+ $e l!>o



a


P7gina( 2



Entra$a $e $atos Solver(

Sol!ción Solver(


P7gina( 



a De'e +a'ricar 20, 'olsas $e gol+ est7n$ar ) /2/,31 'olsas $e gol+ $e

L!>o ' Contri'!ción total   ,8/ c Se programar7n /3 *oras $e Corte ) .e#i$o, 833/ *oras $e Cost!ra,

3 *oras $e .ermina$o ) 11 *oras $e Inspección ) Empa"!e $ Los tiempos $e *olg!ra son $e 11 para Cost!ra ) 1 *oras para

Inspección ) Empa"!e Las operaciones $e Corte ) .e#i$o, ) .ermina$o no tienen *olg!ra 8 PAR es !n pe"!e#o +a'ricante $e e"!ipo ) accesorios para gol+ c!)o $istri'!i$or lo convenció $e "!e e:iste !n merca$o tanto para la 'olsa $e gol+ $e precio

me$io, conoci$a como mo$elo est7n$ar, como para !na 'olsa $e gol+ $e precio eleva$o, conoci$a como mo$elo Del!:e El $istri'!i$or tiene tanta con?an&a en el merca$o "!e si PAR p!e$e +a'ricar las 'olsas a !n precio competitivo, el

$istri'!i$or est7 $e ac!er$o en a$"!irir to$as las 'olsas "!e PAR p!e$a +a'ricar en los sig!ientes tres meses 5n an7lisis c!i$a$oso $e los re"!erimientos $e

+a'ricación $ieron como res!lta$o la ta'la sig!iente, "!e m!estra las necesi$a$es $e tiempo $e pro$!cción para las c!atro operaciones $e man!+act!ra re"!eri$as ) la estimación por parte $el $epartamento $e conta'ili$a$ $e la contri'!ción a la !ni$a$ por 'olsa

Pro$!cto Est7n$ar Del!:e

.iempo $e pro$!cción Corte ) Cost!ra te#i$o 13 1/ 1 2

.ermina$o Inspección ) empa"!e 1 113 /0 18

5tili$a$ por 4olsa 13 

El $irector $a man!+act!ra estima "!e $!rante los sig!ientes tres meses estar7n $isponi'les 03 *oras $e tiempo $e corte ) te#i$o, 33 *oras $e tiempo $e cost!ra, 3 *oras $e tiempo $e termina$o ) 102 *oras $e tiempo $e inspección ) empa"!e para la pro$!cción $e las 'olsas $e gol+ Res!elva el pro'lema $escrito ) l!ego respon$a a las sig!ientes preg!ntas( a '

El $epartamento $e conta'ili$a$ revisa s! estimación $e contri'!ción a la !tili$a$ para la 'olsa Del!:e a 1 $ólares por 'olsa Aparece $isponi'le !na n!eva materia prima $e 'a>o costo para la 'olsa

est7n$ar, ) la contri'!ción a la !ni$a$ por la 'olsa est7n$ar p!e$e incrementarse a /3 $ólares por 'olsa s!ponga "!e la

c

contri'!ción a la !tili$a$ por la 'olsa Del!:e es el valor original $e  $ólares Se p!e$e o'tener n!evo e"!ipo $e cost!ra "!e incrementar7 la capaci$a$ $e operación $e cost!ra a 23 *orass!ponga "!e 13@1  @/ es la +!nción o'>etivo apropia$a


P7gina( 



Si ca$a !na $e estas sit!aciones se enc!entra por separa$o, ;C!7l ser%a la sol!ción óptima ) la contri'!ción total a la !tili$a$<8

Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  Canti$a$ $e !ni$a$es $e 'olsas $e gol+ estan$ar @/  Canti$a$ $e !ni$a$es $e 'olsas $e gol+ $e l!>o 

B!nción O'>etivo  ma:  13@1  @/



Restricciones 3@1  13@/  03 oras $e Corte ) te#i$o 32@1  3008@/  33 oras $e Cost!ra 13@1  3@/  3 oras $e .ermina$o 31@1  3/2@/  102 oras $e Inspección ) Empa"!e No negativi$a$ @i 3F i1,/



Sol!ción GLP 665 630 Payoff: 10.0000 X1 + 9.0000 X2 = 7667.9417 595 560 525 490 455

: 0.5000 X1 + 0.8334 X2 = 600.0000

420 385 350 : 0.1000 X1 + 0.2500 X2 = 135.0000

315 280

: 0.7000 X1 + 1.0000 X2 = 630.0000

245 210 175 : 1.0000 X1 + 0.6667 X2 = 708.0000

140 105 70 35 0 0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

900

960

Optimal Decisios!X1"X2#: !539.9842" 252.0110# : 0.7000X1 + 1.0000X2 $= 630.0000 : 0.5000X1 + 0.8334X2 $= 600.0000 : 1.0000X1 + 0.6667X2 $= 708.0000 : 0.1000X1 + 0.2500X2 $= 135.0000

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /2 Pro'lema 1 8

1020

1080

1140 12


P7gina( 



Entra$a $e $atos Solver(

Sol!ción Solver(

a

'


P7gina( 



c

La sol!ción óptima es la alternativa ' $on$e se incrementa la contri'!ción a la !tili$a$ $e las 'olsas est7n$ar a /3 ) s! contri'!ción total es $e  1813 +a'rican$o sólo 'olsas $e gol+ est7n$ar 2 Telson Sporting E"!ipment +a'rica $os mo$elos $e g!antes $e '9is'ol( !no normal ) !na manopla $e catc*er La empresa tiene $isponi'les 33 *oras $e

tiempo $e pro$!cción en s! $epartamento ) corte ) cost!ra, 033 *oras $isponi'les en el $epartamento $e termina$o ) 133 *oras $isponi'les en el $epartamento $e empa"!e ) em'ar"!e Los re"!erimientos $e tiempo $e

pro$!cción ) la contri'!ción a la !tili$a$ $e ca$a !no $e losa pro$!ctos es(

Mo$elo Normal Catc*er

.iempo $e pro$!cción*oras Corte ) .ermina$o Empa"!e ) cost!ra em'ar"!e 1 1/ 1 0/ 10 18

5tili$a$ por G!ante 2 

S!ponga "!e la empresa est7 interesa$a en ma:imi&ar la contri'!ción total $e la !tili$a$ a '

;C!7l es el mo$elo $e programación lineal para este pro'lema< Enc!entre la sol!ción óptima ;C!7ntos g!antes $e ca$a mo$elo $e'er7

+a'ricar Telson<


P7gina( 13


c $ e


;C!7l es la contri'!ción total a la !tili$a$ "!e p!e$e ganar Nelson con las canti$a$es $e pro$!cción arri'a cita$as< ;C!7ntas *oras $e pro$!cción ser%an programa$as en ca$a $epartamento< ;C!7l es el tiempo li're $e ca$a $epartamento<2

Sol!ción( a Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e g!antes $e 49is'ol normal @/  Canti$a$ $e g!antes $e 49is'ol tipo Manopla 

B!nción O'>etivo  ma:  2@1  @/



Restricciones @1  12@/  33 *oras $e Corte ) Cost!ra 32@1  30008@/  033 *oras $e .ermina$o 31/2@1  3/2@/  133 *oras $e Empa"!e ) Em'ar"!e

No negativi$a$ @i 3F i1,/ Sol!ción GLP



An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema // 2


P7gina( 11



455 420

Payoff:

5.0 X1 + 8.0 X2 = 3699.9

385 350 315 280 245 210 175 140 105 70 35 0

: 0.1 X1 +

0.3 X2 = 100.0

: 0.5 X1 + 0.3 X2 = 300.0 : 1.0 X1 + 0 60

1.5 X2 = 900.0 120 180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

Optimal Decisios!X1"X2#: !500.0" 150.0# : 1.0X1 + 1.5X2 $= 900.0 : 0.5X1 + 0.3X2 $= 300.0 : 0.1X1 + 0.3X2 $= 100.0

Datos $e entra$a $e Solver(

Sali$a $el Solver(


P7gina( 1/

900

960



 George Jo*nson *ere$ó recientemente !na gran s!ma $e $ineroF $esea !tili&ar parte $e este $inero para esta'lecer !n ?$eicomiso para s!s $os *i>os El ?$eicomiso tiene $os opciones $e inversión( 1 !n +on$o $e 'onos ) / !n

+on$o $e acciones Los ren$imientos pro)ecta$os $!rante la vi$a $e las inversiones son K para el +on$o $e 'onos ) 13K para el $e acciones

In$epen$ientemente $e la porción $e la *erencia "!e ?nalmente $eci$a comprometer al ?$eicomiso, $esea invertir por lo menos 03K $e $ic*a canti$a$ en el +on$o $e 'onos A$em7s, $esea seleccionar !na com'inación "!e le permita o'tener !n ren$imiento total $e por lo menos 2K a '

Borm!le !n mo$elo $e programación lineal "!e p!e$a !tili&arse para

$eterminar el porcenta>e "!e $e'e asignarse a ca$a !na $e las posi'les alternativas $e inversión Res!elva el pro'lema !tili&an$o el proce$imiento $e sol!ción gr7?ca ) por solver

Sol!ción( 

De?nición $e varia'les @1  canti$a$ $e $inero inverti$o en +on$o $e 'onos @/  canti$a$ $e $inero inverti$o en +on$o $e acciones



B!nción O'>etivo ma:  1@1  1@/



Restricciones @1  03K 133 inversión en +on$o $e 'onos K @1  13K @/  2K 133 ren$imiento total @1  @/  133 relación entre inversiones



No negativi$a$ @i 3F i1,/ Datos entra$a Solver

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema /0 


P7gina( 10



Res!lta$os $el Solver(

Sol!ción gr7?ca(

 El propietario $e Sea Har+ Resta!rant $esear%a $eterminar c!al es la me>or +orma $e asignar !n pros!p!esto mens!al $e p!'lici$a$ $e 1333 $ólares entre


P7gina( 18



perió$icos ) la ra$io La a$ministración *a $eci$i$o "!e por lo menos /2K $el pres!p!esto $e'e !tili&arse en ca$a !no $e estos $os tipos $e me$ios ) "!e el monto $el $inero gasta$o en p!'lici$a$ en perió$icos locales $e'e tener por lo menos el $o'le $e los "!e se gaste en ra$io 5n asesor $e merca$otecnia *a $esarrolla$o !n %n$ice "!e mi$e la e:posición $el a!$itorio por $ólar $e p!'lici$a$ en !na escala $e 3 al 133, $on$e valores m7s eleva$os $el %n$ice in$ican ma)ores e:posiciones al a!$itorio Si el valor $el %n$ice para p!'lici$a$ en los perió$icos locales es $e 23, ) para el an!ncio $e ra$io es $e 3, ;Cómo $e'er%a asignar la a$ministración el pres!p!esto $e p!'lici$a$, a ?n $e ma:imi&ar el valor $e e:posición total en el a!$itorio< a

Borm!le !n mo$elo $e programación lineal "!e se p!e$a !tili&ar para $eterminar la manera en "!e la a$ministración $e'e asignar el pres!p!esto $e p!'lici$a$ a ?n $e ma:imi&ar el valor $e la e:posición total $el a!$itorio

'

Res!elva el pro'lema !tili&an$o el proce$imiento $e sol!ción gr7?ca ) por solver

Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e $ólares asigna$os a perió$icos @/  Canti$a$ $e $ólares asigna$os a ra$io 

B!nción O'>etivo ma: 23@1  3@/

Restricciones @1  3/2@1  @/ m%nimo para perió$icos @/  3/2@1  @/ m%nimo para ra$io @1  /@/ relación perió$icos ) ra$io @1  @/  1333 pres!p!esto  No negativi$a$ @i 3F i1,/ 

Sol!ción GLP

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema /8 


P7gina( 12



X2 400 380 360 340 320

Payoff: 50.00 X1 + 80.00 X2 = 46000.00

300 280 260 240 220 200 180 160 140 120

: 1.00 X1 + 2.00 X2 = 1000.00 : 0.75 X1 % 0.25 X2 = 0.00

: %0.25 X1 + 0.75 X2 = 0.00

100 80 60 40 20 0

: 1.00 X1 % 2.00 X2 = 0.00

0

33

66

99

132

165

198

231

264

297

330

363

396

429

462

495

528

561

594

627

660

Optimal Decisios!X1"X2#: !600.00" 200.00# : 0.75X1 % 0.25X2 &= 0.00 : %0.25X1 + 0.75X2 &= 0.00 : 1.00X1 % 2.00X2 &= 0.00 : 1.00X1 + 2.00X2 $= 1000.00

 Invesment A$visors es !na empresa $e correta>e "!e a$ministra carteras $e valores para clientes 5n cliente n!evo *a solicita$o "!e la empresa mane>e !na cartera $e inversiones $e 3333 Como estrategia inicial $e inversión, el

cliente $esea restringir la cartera a !na com'inación $e las acciones sig!ientes( Acción 5S OIL !' Properties

Precio Acción /2 23

por Ren$imiento an!al Un$ice $e riego estima$o por acción 0 323 2 3/2

El %n$ice $e riesgo por acción es !na clasi?cación $el riesgo relativo $e $os alternativas $e inversión Para los $atos $a$os, se piensa "!e 5S OIL es la

inversión s!>eta a m7s riesgo Al restringir el riesgo total $e la cartera, la ?rma $e inversiones evita colocar canti$a$es e:cesivas $e la cartera en inversiones

potencialmente $e ren$imiento alto ) riesgo eleva$o Para la cartera act!al se *a esta'leci$o !n l%mite s!perior a 33 para el %n$ice $e riesgo total $e to$as las inversiones, tam'i9n la empresa *a esta'leci$o !n l%mite s!perior $e 1333 acciones para los valores 5S OIL m7s riesgosos ;C!7ntas acciones $e ca$a !no $e estos valores $e'en ser a$"!iri$os a ?n $e ma:imi&ar en ren$imiento

an!al total<

Sol!ción( An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema /2 


P7gina( 1



Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e acciones en 5SOil @/  Canti$a$ $e acciones en !' Properties 

B!nción O'>etivo  ma:  0@1  2@/



Restricciones 323@1  3/2@/  33 por riesgo @1  1333 inversión en 5S OIL /2@1  23@/  3333 inversión en acciones

No negativi$a$ @i 3F i1,/ Sol!cion GLP



X2 Payoff: 3.00 X1 + 5.00 X2 = 8400.00 1580 1501 1422 1343 1264 1185 1106 1027 948 869 790 711 632 553 474 395 : 25.00 X1 + 50.00 X2 = 80000.00 316 : 1.00 X1 + 0.00 X2 = 1000.00 237158 79 0

: 0.50 X1 + 0.25 X2 = 700.00 0 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 980

X1


Datos $e entra$a SOLVER


P7gina( 1



PLANIBICACION .RA4AJO INVES.MEN. ADVISORS Acciones Canti$a$ Contri' 5tili$a$ Restricciones Riesgo En 5SOil Inversión

5SOil 54 1 1 ma: 0 2 

3,2 1 /2

No 5tili&a$o L%mite 5tili& 3,/2 3,2  33 ,/2 1  1333  23 2  3333 /2

Datos $e sali$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO INVES.MEN. ADVISORS Acciones Canti$a$ Contri' 5tili$a$ Restricciones Riesgo En 5SOil Inversión

5SOil 54 33 1/33 ma: 0 2 833

3,2 1 /2

No 5tili&a$o L%mite 5tili& 3,/2 33  33 W,8EW13 33  1333 /33 23 3333  3333 W,0EW3

 .oms pro$!ce varios pro$!ctos alimenticios me:icanos ) los ven$e a Hestern Boo$s, ca$ena $e tien$as $e a'arrotes locali&a$a en .e:as ) N!evo M9:ico

.oms +a'rica $os salsas( Hestern Boo$s Salsa ) M9:ico Cit) Salsa Esencialmente, am'os pro$!ctos son me&clas $e tomates enteros, 03K $e salsa $e tomate ) /3K $e pasta $e tomate La M9:ico Cit) Salsa, "!e tiene !na consistencia m7s espesa ) trocea$a, est7 ela'ora$a con 3K $e tomates enteros, 13K $e salsa $e tomate ) /3K $e pasta $e tomate Ca$a tarro $e salsa pro$!ci$a pesa 13 on&as Para el per%o$o $e pro$!cción act!al, .oms p!e$e a$"!irir *asta /3 li'ras $e tomates enteros, 103 li'ras $e salsa $e

tomate ) 133 li'ras $e pasta $e tomate, el precio por li'ra $e estos ingre$ientes es 3, 38 ) 32 respectivamente El costo $e las especias ) $e los

$em7s ingre$ientes es $e apro:ima$amente 313 por recipiente .oms compra tarros $e vi$rio vac%os a 33/ ca$a !no, ) los costos $e eti"!eta$o ) llena$o se

estiman en 330 por ca$a tarro $e salsa pro$!ci$o El contrato $e .oms con Hestern Boo$s res!lta en ingresos por ventas $e 18 por ca$a tarro $e

Hestern Boo$s Salsa ) $e 10 por ca$a tarro $e M9:ico Cit) Salsa a Desarrolle !n mo$elo $e programación lineal "!e le permita a .oms $eterminar la me&cla $e salsa "!e ma:imice la contri'!ción total a la !tili$a$ ' aga !na gr7?ca $e la región +acti'le c Res!elva las ec!aciones lineales sim!lt7neas apropia$as a ?n $e $eterminar las coor$ena$as $e ca$a p!nto e:tremo Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 1



$ Enc!entre la sol!ción óptima Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e tarros $e salsa Hestern Boo$s @/  Canti$a$ $e tarros $e salsa M9:ico Cit) 

B!nción O'>etivo  ma:  18 W 321@1 10 W 321@/

31333/33023K133103K13381/3K13



31333/3303K133113K13381/3K13

 ma:  18 W 312  30  31/  33@1  10 W 312  38/  338  33@/

 ma:  1@1  1/2@/ 

Restricciones 2@1  @/  883 li'ras $e tomates enteros 0@1  1@/  /33 li'ras $e salsa $e tomate /@1  /@/  133 li'ras $e pasta $e tomate




Sol!ción con GLP

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema / 


P7gina( 1



850 800 750 700 Payoff: 1.00 X1 + 1.25 X2 = 860.00 650 600

: 2.00 X1 + 2.00 X2 = 1600.00

550

: 3.00 X1 + 1.00 X2 = 2080.00

500 450

: 5.00 X1 + 7.00 X2 = 4480.00

400 350 300 250 200 150 100 50 0 1

50

99

148

197

246

295

344

393

442

491

540

589

638

687

736

785

834

883

932


Datos entra$a SOLVER Plani?cación para .oms

SALSA Canti$a$ $e tarros 5tili$a$

Hestern M9:ico Boo$s Cit) 1 1

1 Ma:

1/2

Restricciones

5tili&a$o L%mite No !tili&  1/  883 88 1 8  /33 /3 / 8  133 12

2 0 /

tomates enteros salsa $e tomate pasta $e tomate

//2

Sali$a $e $atos SOLVER Plani?cación para .oms

SALSA Canti$a$ $e tarros 5tili$a$

Hestern M9:ico Boo$s Cit)


23 1

/83 Ma:

1/2

3

P7gina( /3

981

X1



Restricciones

tomates enteros salsa $e tomate pasta $e tomate

2 0 /

5tili&a$o L%mite No !tili&  883  883 W/EW3 1 1/3  /33 13 / 133  133 W0EW3

13 El e$itor $e pro$!cción $e Ra)'!rn P!'lis*ing Compan) tiene 133 p7ginas $e man!scrito "!e $e'e ser revisa$as De'i$o al poco tiempo invol!cra$o, sólo *a) $os revisores $isponi'les Er*an Mergen ) S!e Smit* Er*an tiene $ie& $%as

$isponi'les ) S!e $oce $%as Er*an p!e$e procesar 133 p7ginas $e man!scrito por $%a, ) S!e 123 p7ginas $iarias Ra)'!rn P!'lis*ing Compan) *a $esarrolla$o !n %n$ice para me$ir la cali$a$ general $e !n revisor en !na escala $e 1 peor a 13 me>or La cali$a$ $e Er*an es  ) la $e S!e es , a$em7s, Er*an co'ra 0 $ólares por p7gina $e man!scrito revisa$o, S!e co'ra / $ólares por p7gina Se *a asigna$o !n pres!p!esto $e 833 para la revisión, ;c!7ntas p7ginas $e'en ser asigna$as a ca$a revisor para completar el pro)ecto con la cali$a$ m7s

eleva$a posi'le<13 Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  canti$a$ $e p7ginas revisa$as por Er*an @/  canti$a$ $e p7ginas revisa$as por S!e 

B!nción O'>etivo  ma:  @1  @/



Restricciones 0@1  /@/  833 pres!p!esto @1  @/  133 n-mero $e p7ginas @1133  13 $%as $isponi'les $e Er*an @/123  1/ $%as $isponi'les $e S!e




An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema / 13


P7gina( /1


Payoff: X2 2000 1900 1800


9.0 X1 + 6.0 X2 = 13800.0 : 3.0 X1 +

2.0 X2 = 4800.0 : 0.0 X1 +

1.0 X2 = 1800.0

1700 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

: 1.0 X1 +

0.0 X2 = 1000.0

: 1.0 X1 +

0

60

1.0 X2 = 1800.0

120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020108011401200

X1


Datos $e entra$a SOLVER P7ginas revisa$asE*ran Canti$a$ 1 Cali$a$ 

S!e 1 Ma:



Restricciones Pres!p!esto 0 oras E*ran 1 oras S!e N-m P7ginas 1

12

5tili&a$o / 2  1  1 1  1 / 

Limite No !tili& 833 82 1333  133 1 133 1

Sali$a SOLVER PLANIBICACIXN .RA4AJO RAY45RN P7ginas revisa$as Canti$a$ Cali$a$

E*ran S!e 1333 33 Ma:



Restricciones Pres!p!esto 0




1033

5tili&a$o / 833 

Limite No !tili& 833 /33

P7gina( //


oras E*ran oras S!e N-m P7ginas


1 1

1 1

1333  33  133 

1333 W1,1EW13 133 1333 133 W8,/EW3

11 Car P*ones ven$e $os mo$elos $e tel9+ono para a!tomóvil( @ ) Y Los registros m!estran "!e se !tili&an 0 *oras $e tiempo $e ventas por ca$a mo$elo $e

tel9+ono @ ven$i$o, ) 2 *oras $e tiempo $e ventas por ca$a tel9+ono $e mo$elo Y Est7n $isponi'les !n total $e 33 *oras $e venta para el sig!iente per%o$o $e c!atro semanas A$em7s, las pol%ticas $e a$ministración

planeación $e la

e:igen metas m%nimas $e ventas $e /2 !ni$a$es, tanto para el @ como para el Y a M!estre la región +acti'le ' Si la empresa o'tiene !na contri'!ción a la !tili$a$ $e 83 $ólares por ca$a mo$elo @ ven$i$o ) !na contri'!ción a la !tili$a$ $e 23 $ólares por ca$a

mo$elo Y ven$i$o ;C!7l es la meta óptima $e ventas para la empresa $!rante el per%o$o $e 8 semanas< c Desarrolle !na restricción ) m!estre la región +acti'le si la a$ministración agrega la restricción "!e Car P*ones $e'e ven$er por lo menos tantos

tel9+onos Y como tel9+onos @ $ ;C!7l es la n!eva sol!ción óptima si al pro'lema se le agrega la restricción $el inciso c<11

Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  N-mero $e !ni$a$es $e tel9+onos mo$elo @ @/  N-mero $e !ni$a$es $e tel9+onos mo$elo Y 




Restricciones 0@1  2@/  33 *oras $e venta $isponi'les @1  /2 meta m%nima $e venta @/  /2 meta m%nima $e venta




An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema / 11


P7gina( /0



Payoff: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 7583.3

: 1.0 X1 +

0.0 X2 = 25.0

: 3.0 X1 + 5.0 X2 = 600.0

: 0.0 X1 +

1.0 X2 = 25.0

X2 2 2

X1

Optimal Decisios!X1"X2#: !158.3" 25.0# : 3.0X1 + 5.0X2 $= 600.0 : 1.0X1 + 0.0X2 &= 25.0 : 0.0X1 + 1.0X2 &= 25.0

Datos $e entra$a SOLVER PLANIBICACION DE CAR PONES Mo$elo Mo$elo @ Y 1 1 Ma: 83 23 3

.el9+ono Canti$a$ 5tili$a$

Restricciones oras $isp Venta min @ Venta min Y

0 1

5tili&a$o 2   1  1 1 

No L%mite 5tili& 33 2/ /2 W/8 /2 W/8

Datos $e Sali$a SOLVER PLANIBICACION DE CAR PONES .el9+ono Canti$a$ 5tili$a$

Mo$elo Mo$elo @ Y 12,0000 /2 Ma: 83 23 20,000

Restricciones oras $isp Venta min @ Venta min Y Os=al$o Pa!l Riva$eneira

0 1

5tili&a$o 2 33  12,0000 1 /2 

L%mite 33 /2 /2

No 5tili& W1,8EW3 100,0000 /,8EW1/ P7gina( /8



1/ Greentree Tennels proporciona alo>amiento por !na noc*e para mascotas 5na

caracter%stica partic!lar en Greentree es la cali$a$ $el c!i$a$o "!e reci'en las mascotas, incl!)en$o !na e:celente alimentación La comi$a para perros $e la perrera se ela'ora me&cla$o $os alimentos $e marca para perros a ?n $e o'tener lo "!e la perrera i$enti?ca como !na Z$ieta para perros 'ien

'alancea$a[ Los $atos para las $os comi$as con las sig!ientes( Comi$a 4ar\ 4its Canine C*o=

Costoon&a 33 332

Prote%nas K Grasa K 03 12 /3 03

Si Greentree $esea aseg!rarse $e "!e los perros reci'an por lo menos 2 on&as $e prote%nas ) como m%nimo 0 on&as $e grasas ca$a $%a, ;C!7l es la me&cla $e costo m%nimo $e los alimentos para perros< 1/ Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e on&as $e comi$a 4ar\ 4its @/  Canti$a$ $e on&as $e comi$a Canine C*o= 

B!nción O'>etivo min  33@1  332@/



Restricciones 30@1  3/@/  2 conteni$o $e prote%nas 312 @1  30 @/  0 conteni$o $e grasas




1/

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma

E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema 08


P7gina( /2



36

30

24 Payoff: 0.06 X1 + 0.05 X2 = 1.02 18 : 0.30 X1 + 0.20 X2 = 5.00 12 : 0.15 X1 + 0.30 X2 = 3.00 6

0 0

10

20

30

40

50

60

70

Optimal Decisios!X1"X2#: !15.00" 2.50# : 0.30X1 + 0.20X2 &= 5.00 : 0.15X1 + 0.30X2 &= 3.00

Entra$a $e $atos SOLVER PLANIBICACIXN .RA4AJO Greentree Tennels

Comi$a Canti$a$ Cali$a$

4ar\ 4its

Canine C*o=

1 3,3

1

3,32

Restricciones Proteinas 3,0 Grasas 3,12

Min

3,11

No 5tili&a$o Limite !tili& 3,/ 3,2  2 8,2 3,0 3,82  0 /,22

Sali$a $e $atos SOLVER PLANIBICACIXN .RA4AJO Greentree Tennels

Comi$a Canti$a$ Cali$a$

4ar\ 4its


Canine C*o= 12 /,2 Min 3,3 3,32 1,3/2

P7gina( /

80



Restricciones Proteinas Grasas

3,0 3,12

No 5tili&a$o Limite !tili& W0,0EW 3,/ 2  2 1/ W/,/EW 3,0 0  0 1/

10 La Ne= Englan$ C*eese Compan) pro$!ce $os "!esos crema me&clan$o "!esos c*e$ar tanto s!ave como e:tra+!erte Los "!esos crema se empacan en recipientes $e 1/ on&as, "!e $esp!9s se ven$en a $istri'!i$ores en to$o el

noroeste La me&cla Reg!lar contiene 3K $e c*e$ar s!ave ) /3K $e e:tra+!erte ) la me&cla est) contiene 3K $e c*e$ar s!ave ) 83K $e e:tra+!erte Este a#o, !na cooperativa lec*era local *a o+reci$o entregar *asta 133 li'ras $e "!eso c*e$ar a 1/3 por li'ra ) *asta 0333 li'ras $e "!eso c*e$ar e:tra+!erte a 183 por li'ra El costo $e me&clar ) empacar estos

"!esos crema, e:cl!)en$o el costo $el "!eso mismo, es $e 3/3 por recipiente Si ca$a recipiente $e Reg!lar se vente a 12 ) ca$a recipiente est) se ven$e a //3 ;C!7ntos recipientes $e'er7 pro$!cir Ne= Englan$ C*eese $e Reg!lar ) est)<10 Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  Canti$a$ en miles $e recipientes $e "!eso Reg!lar @/  Canti$a$ en miles $e recipientes $e "!eso est) 





B!nción O'>etivo ma:  12 W 3/3 W 33]32]1/3 W 33]32]183@1  //3 W /3 W 3/3]32]1/3 W 383]32]183@/ ma:  383@1  183@/ Restricciones 33]32@1  33]32@/  ,1 "!eso c*e$ar s!ave 3/3]32@1  383]32@/  0,3 "!eso c*e$ar e:tra+!erte No negativi$a$ @i 3F i1,/ Sol!ción GLP

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema 02 10


P7gina( /



: 0.2 X1 + 0.4 X

X2 10 Payoff:

9

0.4 X1 + 1.4 X2 = 14.0

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Optimal Decisios!X1"X2#: ! 0.0" 10.0# : 0.8X1 + 0.6X2 $= 10.8 : 0.2X1 + 0.4X2 $= 4.0

Datos $e entra$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO en Ne= Englan$ C*eese Compan) Recipientes "!eso Canti$a$ en miles 5tili$a$

Reg!lar est) 1 1 ma: 3,8 1,8 1,

Restricciones Q!eso C* s!ave .iempo pro$ min

No 5tili&a$o L%mite 5tili& 3, 1,8  13, ,8 3,8 3,  8 0,8

3, 3,/

Datos $e sali$a SOLVER Recipientes "!eso Reg!lar est) Canti$a$ en miles 3 13 ma:

5tili$a$ Restricciones Q!eso C* s!ave .iempo pro$ min


3,8

3, 3,/

1,8

18

5tili&a$o 3,   3,8 8 

No L%mite 5tili& 13, 8, 8 W2,2EW1/

P7gina( /

14

X1



18 Los a$ministra$ores $e ealt*tec* Boo$s est7n consi$eran$o $esarrollar !n n!evo 'oca$illo 'a>o en grasas Se trata $e !na mescla $e $os tipos $e cereales, ca$a !na $e ellos con $istintas caracter%sticas en ?'ras, grasas )

prote%nas La ta'la sig!iente m!estra estas caracter%sticas por on&a $e ca$a tipo $e cereal

Cereal A 4

Bi'ra $iet9tica gramos / 12

Grasas gramos / 0

Prote%nas gramos 8 0

Note "!e ca$a on&a $e cereal A proporciona $os gramos $e ?'ra $iet9tica ) "!e ca$a on&a $e cereal 4 $a 12 gramos $e ?'ra $iet9tica, por lo "!e si ealt*tec* +!era a $esarrollar el n!evo pro$!cto !tili&an$o !na me&cla +orma$a $e 23K $e cereal A ) 23K $e cereal 4, !na on&a $e 9ste conten$r%a 12 gramos $e ?'ra $iet9tica Los re"!isitos n!tricionales $e ealt*tec* e:igen "!e ca$a on&a $el

n!evo alimento tenga por lo menos 1 gramos $e ?'ra $iet9tica, no m7s $e / gramos $e grasa ) no m7s $e 0 gramos $e prote%nas El costo $el cereal A es $e N33/ por on&a ) el $el 4 es $e 33/2 por on&a ealt*tec* $esea $eterminar c!7nto $e ca$a cereal es necesario para pro$!cir !na on&a $el n!evo pro$!cto al menor costo posi'le

a Borm!le el mo$elo $e programación lineal para esta sit!ación ' Res!elva el pro'lema !tili&an$o el proce$imiento $e sol!ción gr7?ca c ;C!7les son las varia'les $e *olg!ra ) $e e:ce$ente $ Si ealt*tec* pone en el merca$o el n!evo cereal en !n pa"!ete $e  on&as ;C!7l ser%a el costo $el pa"!ete<18 Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  Canti$a$ $e on&as $e cereal A @/  Canti$a$ $e on&as $e cereal 4 

B!nción O'>etivo

min  33/@1  33/2@/ 

Restricciones /@1  12@/  1 por ?'ra $iet9tica /@1  0@/  / por grasas 8@1  0@/  0 por prote%nas @1  @/  1 on&as

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina / Pro'lema 0 18


P7gina( /




negativi$a$ @i 3F i1,/


No

Sol!ción GLP

X2 1

Payoff: 0.020 X1 + 0.025 X2 = 0.017

: 4.000 X1 + 3.000 X2 = 3.600 : 2.000 X1 + 3.000 X2 = 2.800 0

: 2.000 X1 + 1.500 X2 = 1.700 0

1

Optimal Decisios!X1"X2#: !0.850" 0.000# : 2.000X1 + 1.500X2 &= 1.700 : 2.000X1 + 3.000X2 $= 2.800 : 4.000X1 + 3.000X2 $= 3.600

Datos entra$a SOLVER Plani?cacion $e ealt*tec* Boo$s Cereal A 4 Canti$a$ en on&as 1 1 min Costo 3,3/ 3,3/2 3,382 Restricciones ?'ra $iet9tica por grasas por proteinas

5tili&a$o 1,2 0,2  0 2  0  

/ / 8

No L%mite 5tili& 1, 1, /, W/,/ 0, W0,8

Datos sali$a SOLVER Plani?cacion $e ealt*tec* Boo$s Cereal A 4 Canti$a$ en on&as 3,2


3

min

P7gina( 03

X1


Costo


3,3/

3,3/2

Restricciones ?'ra $iet9tica por grasas por proteinas

3,31 5tili&a$o

/ / 8

1,2 0 0

1,  1,  0,8 

No L%mite 5tili& ,1/EW 1, 10 /, 1,1 0, 3,/

12 M D C*emical pro$!ce $os pro$!ctos "!e se ven$en como materia prima para empresas +a'ricantes $e >a'ones para 'a#o, $etergentes para lavan$er%a ) otros pro$!ctos $e >a'ón Apo)7n$ose en !n an7lisis $e los niveles act!ales $e

inventarios ) $e la $eman$a potencial para el mes sig!iente, la a$ministración D *a especi?ca$o "!e la pro$!cción total $e los pro$!ctos 1 ) $e M

/

com'ina$os $e'e ser $e por lo menos 023 galones A$em7s $e'e c!mplir con !n pe$i$o $e !n cliente $e importancia $e 1/2 galones $el pro$!cto 1 El tiempo $e procesa$o $el pro$!cto 1 re"!iere $os *oras por galón, ) $el

pro$!cto / re"!iere $e !na *oraF para el mes sig!iente, *a) $isponi'ili$a$es $e 33 *oras $e proceso Los costos $e pro$!cción son / $ólares por galón $el pro$!cto 1 ) 0 $ólares $el pro$!cto /

a Determine las canti$a$es $e pro$!cción "!e satis+agan los re"!isitos especi?ca$os al costo m%nimo ' ;C!7l es el costo total $el pro$!cto< c I$enti?"!e la canti$a$ $e c!al"!ier pro$!cción e:ce$ente12 Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e galones $el pro$!cto 1 @/  Canti$a$ $e galones $e pro$!cto / 

B!nción O'>etivo min  /@1  0@/



Restricciones @1  @/  023 galones pro$!ci$os @1  1/2 pe$i$o $e !n cliente /@1  1@/ 33 *oras $e proceso




An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /3 Pro'lema 0 12


P7gina( 01



X2 440 418 396 374 352 330 308 286 264 Payoff: 242 220 198 176 154 132 110 88 66 44 22 0

2.0 X1 + 3.0 X2 = 800.0

: 2.0 X1 + : 1.0 X1 +

1.0 X2 = 600.0

0.0 X2 = 125.0

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 350.0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

200 220 240 260 280 300 320 340 360

380 400

Optimal Decisios!X1"X2#: !250.0" 100.0# : 1.0X1 + 1.0X2 &= 350.0 : 1.0X1 + 0.0X2 &= 125.0 : 2.0X1 + 1.0X2 $= 600.0

Datos entra$a SOLVER Plani?cacion $e 22 M^D C*emical Pro$!cto Canti$a$ galones Costo Restricciones Galones pro$!ci$os Pe$i$o cliente oras proceso

1 1 /

/ 1 min 0

2

5tili&a$o 1 1 /

1 1

/  1  0 

L%mite 023 1/2 33

No 5tili& W08 1/8 2

Datos sali$a SOLVER Plani?cacion $e M^D C*emical Pro$!cto Canti$a$ galones Costo


1 /23 /

/ 133 min 0 33

P7gina( 0/

X1


Restricciones Galones pro$!ci$os Pe$i$o cliente oras proceso


5tili&a$o 1 1 /

1 1

023  /23  33 

L%mite 023 1/2 33

No 5tili& ,11EW13 W1/2 W/,EW13

1 P*oto C*emicals pro$!ce $os tipos $e _!i$o para revela$o +otogr7?co Am'os pro$!ctos le c!estan a la empresa !n $ólar por galón pro$!cirlos Con 'ase e

!na an7lisis $e niveles act!ales $e inventario ) en las ór$enes en mano para el mes sig!iente, la a$ministración $e P*oto C*emicals *a $eci$i$o "!e $!rante las sig!ientes $os semanas se pro$!&can por los menos 03 galones $el pro$!cto

1 ) por lo menos /3 galones $el pro$!cto / .am'i9n *a $ic*o la a$ministración "!e en el transc!rso $e las sig!ientes $os semanas $e'e !tili&arse el inventario e:istente $e !na materia prima m!) perece$era necesaria en la pro$!cción $e am'os _!i$os El inventario act!al $e esta materia prima m!) perece$era es $e 3 li'ras A!n"!e $e ser necesario se p!e$e or$enar m7s $e esta materia prima, c!al"!ier parte $el inventario act!al no !tili&a$a se ec*ar7 a per$er $entro $e las sig!ientes $os semanasF $e a*% el re"!erimiento $e la

a$ministración $e "!e por lo menos se !tilicen las 3 li'ras en las sig!ientes $os semanas A$em7s, el pro$!cto 1 re"!iere $e !na li'ra $e esta materia prima

perece$era por galón, ) el pro$!cto / re"!iere / li'ras $e la materia prima por galón Da$o "!e el o'>etivo $e la a$ministración es mantener los costos $e pro$!cción al m%nimo nivel posi'le, est7n '!scan$o !n plan $e pro$!cción $e costo m%nimo "!e !tilice la totali$a$ $e las 3 li'ras $e la materia prima perece$era ) "!e o'tenga por lo menos 03 galones $el pro$!cto 1 ) por lo menos /3 galones $el pro$!cto / ;C!7l es la sol!ción $e costo

m%nimo<1

Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e galones $e _!i$o tipo 1

@/  Canti$a$ $e galones $e _!i$o tipo / 

B!nción O'>etivo min  @1  @/



Restricciones @1  03 pro$!cción m%nima $e pro$!cto 1 @/  /3 pro$!cción m%nima $e pro$!cto / @1  /@/  3 li'ras $e materia prima




An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /3 Pro'lema 0 1


P7gina( 00



Sol!cion GLP Payoff: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 60.0

:

X225

24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

: 0.0 X1 +

1.0 X1 + 2.0 X2 = 80.0

1.0 X2 = 20.0

:

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1.0 X1 + 0.0 X2 = 30.0

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

Optimal Decisios!X1"X2#: !40.0" 20.0# : 1.0X1 + 0.0X2 &= 30.0 : 0.0X1 + 1.0X2 &= 20.0 : 1.0X1 + 2.0X2 $= 80.0

1 4r)ants Pi&&a es !n pro$!ctor $e pi&&as congela$as La empresa tiene !na !tili$a$ $e !n $ólar por ca$a pi&&a normal "!e pro$!&ca ) $e 12 $ólares por

ca$a pi&&a $e l!>o Ca$a pi&&a incl!)e !na com'inación $e pasta $e *arina ) $e me&cla $e relleno Act!almente la empresa tiene 123 li'ras $e me&cla $e pasta ) $e 23 li'ras $e me&cla $e relleno Ca$a pi&&a normal !tili&a !na li'ra $e

me&cla $e pasta $e *arina ) 8 on&as $e me&cla $e pasta $e relleno Ca$a pi&&a $e l!>o !tili&a !na li'ra $e me&cla $e pasta $e *arina )  on&as $e me&cal $e relleno Con 'ase en la $eman$a $el pasa$o, 4r)ant p!e$e ven$er por lo menos

23 pi&&as normales ) por lo menos /2 pi&&as $e l!>o ;C!7ntas pi&&as normales ) $e l!>o $e'er7 +a'ricar la empresa para ma:imi&ar la !tili$a$< a ;C!7l es el mo$elo $e programación lineal para este pro'lema< ' Escri'a este programa lineal en s! +orma est7n$ar c Enc!entre la sol!ción óptima $ ;C!7les son los valores e interpretaciones $e to$as las varia'les $e *olg!ra ) $e e:ce$ente< e ;Q!9 restricciones est7n asocia$as con rec!rsos limitantes<1

X1

Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /3 Pro'lema 0 1


P7gina( 08





De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e Pi&&as Normales @/  Canti$a$ $e Pi&&as De L!>o



B!nción O'>etivo ma:  1@1  12@/



Restricciones @1  @/  123 pasta $e *arina 3/2@1  32@/  23 pasta $e relleno @1  23 venta $e pi&&as Normales @/  /2 venta $e pi&&as De L!>o




160 152 144 136

: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 50.00

128 120 112 104 96 88 80

: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 150.00

72 64

Payoff: 1.00 X1 + 1.50 X2 = 175.00

56 48 40

: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 25.00

32 24

: 0.25 X1 + 0.50 X2 = 50.00

16 8 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Optimal Decisios!X1"X2#: !100.00" 50.00# : 1.00X1 + 1.00X2 $= 150.00 : 0.25X1 + 0.50X2 $= 50.00 : 1.00X1 + 0.00X2 &= 50.00 : 0.00X1 + 1.00X2 &= 25.00

Datos $e entra$a SOLVER

PLANIBICACION .RA4AJO 4RYAN.`S PIA Pi&&as Canti$a$


Normal L!>o 1 1 ma:

P7gina( 02

150

160

170


5tili$a$


1

1,2

/,2

Restricciones 5tili&a$o Pasta *arina 1 1 /  Relleno 3,/2 3,2 3,2  Pi&&as Normales 1 1  Pi&&as L!>o 1 1 

L%mite 123 23 23 /2

No 5tili& 18 8,/2 W8 W/8

L%mite 123 23 23 /2

No 5tili& W0,8EW13 WEW11 23 /2

Datos $e sali$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO 4RYAN.`S PIA Pi&&as Canti$a$ 5tili$a$

Normal L!>o 133 23 ma: 1 1,2 12

Restricciones 5tili&a$o Pasta *arina 1 1 123  Relleno 3,/2 3,2 23  Pi&&as Normales 1 133  Pi&&as L!>o 1 23 

1 Englis* Motors, Lt$ EML, *a $esarrolla$o !n

$e

n!evo ve*%c!lo $eportivo

!tiler%a, con tracción en la c!atro llantas Como parte $e la

campa#a

$e merca$otecnia, EML *a $esarrolla$o !na presentación $e ventas en vi$eo cinta "!e se enviar7 tanto a propietarios $e ve*%c!los $e tracción en las c!atro r!e$as EML act!ales, como a propietarios $e ve*%c!los !tilitarios $eportivos $e c!atro

r!e$as o+reci$os por los competi$ores EML se re?ere a estos $os merca$os o'>etivo como merca$o $e clientes act!al ) merca$o $e clientes n!evo Los

in$ivi$!os "!e reci'an el n!evo vi$eo promocional tam'i9n reci'ir7n !n c!pón para !n recorri$o $e pr!e'a $el n!evo mo$elo EML, $!rante !n ?n $e semana 5n +actor clave en el 9:ito $e esta n!eva promoción es la tasa $e resp!esta, es $ecir el porcenta>e $e in$ivi$!os "!e reci'an la n!eva promoción ) *agan el recorri$o $e pr!e'a $el n!evo mo$elo, EML estima "!e la tasa $e resp!esta para el merca$o $e clientes act!al es $e /2K ) para el merca$o $e cliente

n!evo es $e /3K La tasa $e ventas es el porcenta>e $e in$ivi$!os "!e reci'a

la n!eva promoción, *aga el recorri$o $e pr!e'a ) e+ect-e la compra Los

est!$ios $e investigación $e merca$o in$ican "!e la tasa $e ventas el $e 1/K para el merca$o $e clientes act!al ) $e /3K para el merca$o $e clientes n!evo El costo $e ca$a promoción, e:cl!)en$o los costos $e recorri$o $e pr!e'a, es

$e 2 $ólares por ca$a promoción envia$a al merca$o $e clientes act!al ) $e 8 $ólares por ca$a promoción envia$a al merca$o $e clientes n!evo La

a$ministración tam'i9n *a $eci$i$o "!e se $e'er7 enviar la n!eva promoción a !n m%nimo $ 03333 clientes act!ales ) a !n m%nimo $e 13333 clientes n!evos A$em7s, el n-mero $e clientes act!ales "!e *aga el recorri$o $e pr!e'a $el Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 0



n!evo ve*%c!lo $e'e ser $e por lo menos el $o'le $el n-mero $e clientes n!evos "!e *agan recorri$o $e pr!e'a $el n!evo ve*%c!lo Si el

pres!p!esto $e merca$otecnia, incl!)en$o los costos $el recorri$o $e pr!e'a, es $e 1/33333 $ólares, ;C!7ntas promociones $e'er7n ser envia$as a ca$a gr!po $e clientes para ma:imi&ar las ventas totales<1 Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e promociones envia$as a clientes act!ales @/  Canti$a$ $e promociones envia$as a clientes n!evos 

B!nción O'>etivo ma:  31/]2@1  3/3]8@/



Restricciones @1  03333 clientes act!ales @/  13333 clientes n!evos 3/2@1  /]3/3@/ relación entre clientes "!e respon$en a la promoción 2@1  8@/ 1/33333 pres!p!esto

No negativi$a$ @i  3F i1,/ Sol!ción GLP



An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /8 Pro'lema 1 1


P7gina( 0

Investigación Operativa

I Programación Lineal

X2 273 260 247 234 221 Payoff: 0.60 X1 + 0.80 X2 = 176.00 208 : 5.00 X1 + 4.00 X2 = 1200.00

195182

169 156 143 130 117 104 91 78 65 52 39 26 13 0

: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 30.00

: 0.25 X1 % 0.40 X2 = 0.00

: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 10.00 0

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

143

156

169

182

195

208

221

Optimal Decisios!X1"X2#: !160.00" 100.00# : 1.00X1 + 0.00X2 &= 30.00 : 0.00X1 + 1.00X2 &= 10.00 : 0.25X1 % 0.40X2 &= 0.00 : 5.00X1 + 4.00X2 $= 1200.00

Datos $e entra$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO ENGLIS MO.OR L.D

Promociones Canti$a$ en miles Ventas

Clientes Clientes Act!ales N!evos 1 3,

Restricciones Clientes act!ales Clientes n!evos Relacion clientes Pres!p!esto

1 3,/2 2

1 ma: 3, 1,8 5tili&a$o 1  1 1  W3,8 W3,12  8  

L%mite 03 13 3 1/33

No 5tili& /  W3,12 W111

Datos sali$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO ENGLIS MO.OR L.D

Promociones Canti$a$ en miles Ventas

Clientes Clientes Act!ales N!evos


13 3,

133 ma: 3, 1

P7gina( 0

234

247

260


Restricciones Clientes act!ales Clientes n!evos Relacion clientes Pres!p!esto


1 3,/2 2

5tili&a$o 13  1 133  W3,8 W1,1EW11  8 1/33 

L%mite No 5tili& 03 W103 13 W3 3 W1,1EW11 1/33 /,EW3

1 Creative Sports Designs CSD +a'rica ra"!etas $e tama#o est7n$ar ) e:tragran$e Las ra"!etas $e la empresa son e:trema$amente ligeras, $e'i$o a !so $e !na aleación $e magnesio ) gra?to inventa$a por el +!n$a$or $e la empresa Ca$a ra"!eta $e tama#o est7n$ar !tili&a 3,1/2 \ilos $e aleación ) ca$a ra"!eta e:tragran$e !tili&a 3,8 \ilosF para el sig!iente per%o$o $e pro$!cción $e $os semanas sólo *a) $isponi'les 3 \ilos $e aleación Ca$a

ra"!eta $e tama#o est7n$ar oc!pa 13 min!tos $e tiempo $e +a'ricación ) ca$a ra"!eta $e tama#o contri'!ciones

e:tragran$e a

oc!pa

1/ la

min!tos

Las

!tili$a$ son $e 13 $ólares por ca$a ra"!eta est7n$ar ) $e 12 $ólares por ca$a ra"!eta e:tragran$e ) est7n $isponi'les 83 *oras $e tiempo $e pro$!cción por semana La a$ministración *a especi?ca$o "!e por lo menos /3K $e la pro$!cción total $e'e ser $e ra"!eta $e tama#o est7n$ar ;C!7ntas ra"!etas $e ca$a tipo $e'er7 +a'ricar CSD en las $os semanas sig!ientes, a ?n $e ma:imi&ar la contri'!ción a la !tili$a$< S!ponga "!e, $e'i$o a la nat!rale&a

-nica $e s!s pro$!ctos, CSD p!e$e ven$er tantas ra"!etas como p!e$a pro$!cir1 Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  Canti$a$ $e !ni$a$es $e ra"!etas estan$ar @/  canti$a$ $e !ni$a$es $e ra"!etas e:tra gran$e 




Restricciones 31/2@1  38@/  3 \ilos $e aleación 13@1  1/@/  83]3 min!tos $e tiempo $e

pro$!cción @1  3/3@1  @/ 

No

negativi$a$ @i 3F i1,/ Sol!ción GLP

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /8 Pro'lema / 1


P7gina( 0


X2 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0


: 0.125 X1 + 0.400 X2 = 80.000 Payoff: 10.000 X1 + 15.000 X2 = 2896.551 : 10.000 X1 + 12.000 X2 = 2400.000

: 0.800 X1 % 0.200 X2 = 0.000

0

2

4

6

8

10 12 14 16 1 8 20 2 2 24 26 28 30 3 2 34 3 6 38 40 42

X1

Optimal Decisios!X1"X2#: !41.379" 165.517# : 0.125X1 + 0.400X2 $= 80.000 : 10.000X1 + 12.000X2 $= 2400.000 : 0.800X1 % 0.200X2 &= 0.000

Datos entra$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO 2 Creative Sports Designs Ra"!etas Canti$a$ Contri' 5tili$a$

Estan$ar E:tra G 1 1 ma:

Restricciones Tilos aleación .iempo pro$ min /3K pro$ estan$

13

3,1/2 13 3,

12

/2

No 5tili&a$o L%mite 5tili& 3,8 3,2/2  3 ,82 1/ //  /833 /0 W3,/ 3,  3 3,

Datos sali$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO 2 Creative Sports Designs Ra"!etas Estan$ar E:tra G Canti$a$ 81,001 12,21/ ma: Contri' 5tili$a$ 13 12 /,22/ Restricciones Tilos aleación .iempo pro$ min


3,1/2 13

5tili&a$o L%mite No 5tili& 3,8 1,001 3 ,/3 1/ /833  /833 0,30EW13

P7gina( 83


/3K pro$ estan$


3,

W3,/ ,30EW11 

3

,30EW11

/3 La a$ministración $e ig* .ec* Service .S $esea $esarrollar !n mo$elo "!e le a)!$e a asignar el tiempo $e s!s t9cnicos entre llama$a $e servicio por

contrato a clientes tanto normales como n!evos En el per%o$o $e planeación $e $os semanas *a) $isponi'le !n m7:imo $e 3 *oras $e tiempo $e t9cnico A ?n $e satis+acer los re"!isitos $e _!>o $e ca>a, $e'en generarse por lo menos 33 $ólares $e ingresos por t9cnico $!rante el per%o$o $e $os semanas El tiempo $e t9cnico para los clientes normales genera /2 $ólares por *ora, pero para clientes n!evos sólo genera !n prome$io $e  $ólares la *ora, por"!e en

m!c*os casos el contacto con el cliente no llega a generar servicios +act!ra'les Para aseg!rarse $e "!e se mantienen contactos n!evos, el tiempo $e t9cnico !tili&a$o en contactos con clientes n!evos $e'e ser por lo menos 3K $el

tiempo !tili&a$o en contactos con clientes normales Para los re"!erimientos $e ingresos ) pol%ticas en!ncia$as, .S $esear%a $eterminar cómo asignar el tiempo $e los t9cnicos entre clientes normales ) n!evos, a ?n $e ma:imi&ar el n-mero total $e clientes en contacto $!rante el per%o$o $e $os semanas Los t9cnicos re"!ieren !n prome$io $e 23 min!tos por ca$a contacto $e cliente

normal ) $e !na *ora por ca$a contacto con cliente n!evo a Desarrolle !n mo$elo $e programación lineal "!e le permita a .S asignar el tiempo $e los t9cnicos entre clientes normales ) n!evos ' aga !na gr7?ca $e la región +acti'le c Res!elva las ec!aciones lineales sim!lt7neas apropia$as para $eterminar los valores $e @1 ) @/ en ca$a p!nto e:tremo $e la región +acti'le $ Enc!entre la sol!ción óptima/3 REBERENCIA( P7gina /8 Pro'lema 0 M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición An$erson S=eene) Hillams E$itorial .*omson Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  N!mero $e *oras $e t9cnico asigna$o a clientes normales

@/  N!mero $e *oras $e t9cnico asigna$o a clientes n!evos 



B!nción O'>etivo ma:  3@123 3@/3

n-mero $e clientes

Restricciones @1  @/  3 *oras $isponi'les $e t9cnico @/  3@1 relación $e tiempo $e t9cnico /2@1  @/  33 ingresos en $ólares



negativi$a$ @i  3F i1,/

No

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /8 Pro'lema 0 /3


P7gina( 81



Sol!ción GLP 104

91

Payoff: 1.20 X1 + 1.00 X2 = 90.00

78

65

52

39

: 25.00 X1 + 8.00 X2 = 800.00

: %0.60 X1 + 1.00 X2 = 0.00

26

13

: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 80.00

0 0

11

22

44

33

55

66

Optimal Decisios!X1"X2#: !50.00" 30.00# : 1.00X1 + 1.00X2 $= 80.00 : %0.60X1 + 1. 00X2 &= 0.00 : 25.00X1 + 8.00X2 &= 800.00

Entra$a $e $atos SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO ig* .ec* Service Clientes Clientes oras $e tra'a>o normales n!evos Canti$a$ *oras 11 ma: N-mero clientes 1/ 1 Restricciones oras $isponi'les Relación tiempo Ingresos

//

5tili&a$o 1 W3 /2

1 1 

/  38  00 

L%mite 3 3 33

No 5tili&  W38 W

Datos $e sali$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO ig* .ec* Service Clientes Clientes oras $e tra'a>o normales n!evos Canti$a$ *oras 23 03 ma: N-mero clientes 1/ 1 3


P7gina( 8/

77


Restricciones oras $isponi'les Relación tiempo Ingresos


5tili&a$o 1 W3 /2

1 3  1 W//EW11   183 

L%mite 3 3 33

No 5tili& W1EW13 /1EW11 3

/1 Jac\son ole Man!+act!ring es !n pe"!e#o +a'ricante $e pro$!ctos $e pl7stico "!e se !tili&an en las in$!strias a!tomotrices ) $e comp!tación .iene !n importante contrato con !na empresa $e comp!ta$oras "!e implica la

pro$!cción $e ca>as $e pl7stico para las impresoras port7tiles $e $ic*a empresa Las ca>as $e impresora se pro$!cen en $os m7"!inas $e mol$eo por in)ección La m7"!ina M133 tiene !na capaci$a$ $e pro$!cción $e /3 ca>as $e impresora por *ora ) la m7"!ina M/33 tiene !na capaci$a$ $e 83 ca>as por *ora Am'as m7"!ina !tili&an la misma materia prima "!%mica para pro$!cir las ca>as $e

impresoraF la M133 !tili&a 83 li'ras $e materia prima por *ora, ) la M/33 !tili&a 23 por *ora La empresa $e comp!ta$oras le *a pe$i$o a Jac\son ole "!e pro$!&ca tantas ca>as $!rante la semana "!e sig!e como sea posi'le, ) la *a

$ic*o "!e le pagar7 1 $ólares por ca$a ca>a "!e p!e$a entregar Sin em'argo, la sig!iente semana es !n per%o$o normal $e vacaciones programa$as para la ma)or parte $e los emplea$os $e pro$!cción $e Jac\son ole D!rante este tiempo, se e+ect-a el mantenimiento an!al $e to$o el e"!ipo $e la planta De'i$o al tiempo para$o para mantenimiento, la M133 no estar7 $isponi'le

$!rante m7s $e 12 *oras ) la M/33 $!rante m7s $e 13 *oras Sin em'argo, en ra&ón $el eleva$o costo $e preparación invol!cra$o en am'as m7"!inas, la a$ministración re"!iere "!e, si el programa $e pro$!cción en c!al"!iera $e estas m7"!inas, la m7"!ina $e'er7 operar por lo menos $!rante 2 *oras El provee$or $e la materia "!%mica !tili&a$a en el proceso $e pro$!cción le *a

in+orma$o a Jac\son ole "!e ten$r7 $isponi'le !n m7:imo $e 1333 li'ras $e la materia prima para la pro$!cción $e la sig!iente semana El costo $e la

materia prima es $e  $ólares por li'ra A$em7s $el costo $e la materia

prima, Jac\son ole estima "!e el costo *orario $e operación $e la M133 ) la M/33

son $e 23 ) 2 $ólares, respectivamente a Borm!le !n mo$elo $e programación lineal "!e se p!e$a !tili&ar para ma:imi&ar la contri'!ción $e la !tili$a$ ' Res!elva el pro'lema !tili&an$o el proce$imiento $e sol!ción gr7?ca/1 Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  N!mero $e *oras $e tra'a>o $e ma"!ina M133 @/  N!mero $e *oras $e tra'a>o $e ma"!ina M/33 

B!nción O'>etivo ma:  /3@1]1 W 83@1] W 23@1  83@/]1 W 23@/] W 2@/

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina /2 Pro'lema 8 /1


P7gina( 80



ma:  03 W /83 W 23@1  /3 W 033 W 2@/ ma:  3@1  082@/ 

Restricciones @1  12 *oras m7:imas $e tra'a>o M133 @/  13 *oras m7:imas $e tra'a>o $e M/33 @1  2 *oras m%nimas $e tra'a>o $e M133 @/  2 *oras m%nimas $e tra'a>o $e M/33 83@1  23@/  1333 li'ras $e materia prima $isponi'les



No negativi$a$ @i  3F i1,/ Sol!ción GLP Payoff: 70.0 X1 + 345.0X2 = 4325.0 12

6 : 40.0 X1 + 50.0 X2 = 1000.0 :

0.0 X1+

: 1.0 X1 + : 0.0 X1 + 0

2.0 X2 =

0.0 X2 =

5.0

5.0

1.0 X2 = 10.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 15.0 0 1 2 3 4 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Optimal Decisios!X1"X2#: !12.5" 10.0# : 1.0X1 + 0.0X2 $= 15.0 : 0.0X1 + 1.0X2 $= 10.0 : 1.0X1 + 0.0X2 &= 5.0 : 0.0X1 + 2.0X2 &= 5.0 : 40.0X1 + 50.0X2 $= 1000.0

Datos entra$a SOLVER PLANIBICACION .RA4AJO ig* .ec* Service Ma"!ina Ma"!ina oras $e tra'a>o M133 M/33 Canti$a$ *oras 1 1 ma: Contri' !tili$a$ 3 082 812 Restricciones oras ma: M133 oras ma: M/33


1 3

5tili&a$o L%mite No 5tili& 3 1  12 18 1 1  13 

P7gina( 88

24

25

26 27


oras min M133 oras min M/33 Li'ras $isponi'les


1 3 83

3 1 23

1  1  3 

2 2 1333

W8 W8 13

Datos $e sali$a SOLVER

oras $e tra'a>o Canti$a$ *oras Contri' !tili$a$ Restricciones oras ma: M133 oras ma: M/33 oras min M133 oras min M/33 Li'ras $isponi'les

Ma"! Ma"!in ina a Ma"! Ma"!in ina a M133 M/33 1/2 13 ma: 3 082 80/2

1 3 1 3 83

3 1 3 1 23

5tili&a$o 1/2 13 1/2 13 1333

    

L%mite No 5tili& 12 /2 13 WEW10 2 2 2 2 1333 W12EW3

// Electronic Com!nications +a'rica ra$ios port7tiles "!e p!e$en !tili&arse en com!nicaciones $e $os v%as El n!evo pro$!cto $e la empre com!nicaciones empresa sa "!e tiene !n

rango $e *asta /2 millas, es a$ec!a$o para !na $iversi$a$ $e !sos comerciales ) personales Los canales $e $istri'!ción para el n!evo ra$io son( 1 / 0 8

$istri'!i$ores $e $e e" e"!ipo marino, $istri'!i$ores $e e"!ipo $e o?cina, ca$ a$e enas nacionale less $e tien$as al men!$eo, pe$i$os por correo

De'i$o De'i $o a $i+e i+erren ente tes s co cost stos os $e $i $ist stri ri'! '!ci ción ón ) pr prom omoc ocio iona nale les, s, la re$it!ali$a$ $el

pro$!cto variar7 seg-n el canal $e $istri'!ción A$em7s, el costo $e p!'lici$a$ ) el es+ es+!er !er&o &o $e ven ventas tas per person sonale aless re re"!e "!eri$ ri$o o tam tam'i9 'i9n n var variar iar7n 7n $e ac!er$o c on los canal ales es $e $is isttri'! '!c ción La ta ta'l 'la a sig! g!iiente res! s!m me la $istri'!ción $e la !tili$a$, el costo $e p!'lici$a$ ) los $atos $e es+!er&o $e ventas personales

correspon$ientes al pro'lema $e Electronic Com!nications La empresa a +orrm! +o m!la la$o $o !n pr pres es!p !p!e !est sto o $e p! p!'l 'lic ici$ i$a$ a$ $e 2 233 333 3 $ó $óla larres es,, ) es est7 t7 $isponi'le !n m7:imo $e 133 *oras $e la +!er&a $e ventas para asignar al es+!er&o $e ventas Binalmente, !n contrato vigente con la ca$ena nacional $e tien$as al men!$eo re"!iere "!e por lo menos $e $istri'!)an 123 !ni$a$es a

trav9s este canal $e $istri'!ción

$e

Datos $e 5tili$a$es, costos ) es+!er&o $el personal $e ventas para Electronic Es+!er&o $el Canal $e 5tili$a$es por Costo $e p!'lici$a$ personal $e ventas $istri'!ción !ni$a$ ve ven$i$a por !ni$a$ ven$i$ap apo or !ni$a$ ven$i$a Distri' Marinos 3 13 / *oras Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 82


Distri' $e o?cinas .ien$as .ie n$as nacio nacionales nales Pe$i$os por correo


8 3 3

  12

0 *oras 0 *oras *oras Ning!na

Electroni Electr onicc Com Com!ni !nicat cation ionss a*ora a*ora se en+ en+re renta nta al pr pro'l o'lema ema $e esta'lecer !n estrategia $e $istri'!ción para los ra$ios, "!e ma:imice pro$ o$!c !cci ción ón $e n! n!ev evos os ra ra$i $ios os De De'e 'e la re$i e$it! t!al ali$ i$a$ a$ ge gene nera rall $e la pr toma to mars rse e $e $eci cis sio ione nes s en rel elac ació ión n co con n c!a c!anta ntass !ni !ni$a$ $a$es es $e' $e'en en asignarse a ca$a !no $e los c!atro canales $e $istri'!ción, as% como asignar el pres!p!esto $e p!'lici$a$ ) el es+!er&o $e la +!er&a $e ventas a ca$a !no $e los canales $e $istri'!ción //

Sol!ción( Borm!lación Bor m!lación $el mo$elo( De? De ?ni nici ción ón $e  varia'les @1  N!mero $e ra$ios asigna$os a $istri'!i $istri'!i$ores $ores $e e"!ipo marino @/  N!mero $e ra$ios asigna$os a $istri'!i$ores $e e"!ipos $e o?cina @0  N!mero $e ra$ios asigna$os a ca$enas nacionales $e tien$as @8  N!mero $e ra$ios asigna$os a pe$i$os por correo 

B!nción O'>etivo ma:  3@1  8@/  3@0  3@8



Restricciones 13@1  @/  @0  12@8  2333 2333 por pres!p!esto pres!p!esto /@1  0@/ 0@/  0@0  133 133 *ora *orass $e es+! es+!er&o er&o en ventas @0  123 !ni$a$es m%nimas para ca$enas nacionales



No negativi$a$ @i  3F i1,8

Datos $e entra$a SOLVER ELEC.RONIC COM5NICA.ION Distri'!i$ores Ca$e Ca $ena nass pe$i pe$i$o $oss E"!ipo E"!ipos $e $e nacionales por Ra$ios asigna$os a Marino O?cina $e tien$as correo N-mero $e Ra$ios 1 1 1 1 Ma: 5tli$a$es 3 8 3 3 038 5SO DE RES.RICCIONES REC5ROS Pres!p!esto 13 Es+!er&o la'oral / Contrato ca$ena nacion //

 0

 0 1

5tili&a$o LIMI.E 12 8/  2333   133 1  123

No !tili& 8233 1/33 W1833

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial

.*omson .*om son P7gin P7gina a / / Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 8



Datos $e sali$a SOLVER ELEC.RONIC COM5NICA.ION Distri'!i$ores Ca$enas pe$i$os E"!ipo E"!ipos nacionales por Ra$ios asigna$os a Marino $e O?cina $e tien$as correo N-mero $e Ra$ios 1318/ 88/218 123 3 Ma: 5tli$a$es 3 8 3 3 88/ RES.RICCIONES Pres!p!esto Es+!er&o la'oral Contrato ca$ena nacion

5SO DE REC5ROS 13 /

 0

5tili&a$o LIMI.E No !tili& 12 2333  2333 333 133  133 333

 0 1

123 

123

333

/0 National Ins!rance Associates mantiene !na cartera $e inversiones en acciones, 'onos ) otras alternativas $e inversión Act!almente *a) +on$os $isponi'les por /33333 $ólares ) $e'en ser toma$os en consi$eración para n!evas oport!ni$a$es $e inversión Las c!atro opciones $e valores "!e National est7

consi$eran$o as% como los $atos ?nancieros relevantes correspon$ientes son los "!e sig!en( Acción

Datos ?nancieros A Precio por acción  133 .asa an!al $e ren$imiento Me$i$a $e riego por $ólar

4 23 31/ 313

C 3 33 33

D 83 33 313 332 33

La me$i$a $e riesgo in$ica la incerti$!m're relativa asocia$a con la acción, en +!nción $e s! capaci$a$ $e alcan&ar s! ren$imiento an!al pro)ecta$oF valores m7s eleva$os in$ican ma)or riesgo Las me$i$as $e riesgo son proporciona$as por el principal asesor ?nanciero $e la empresa La a$ministración general $e National *a estip!la$o las sig!ientes v%as $e acción para las inversiones( 1 La tasa $e ren$imiento an!al $e la cartera $e'e ser por lo menos K / Ning!no $e los valores p!e$e representar m7s $el 23K $e la inversión total en $ólares

a 5tilice la programación lineal para $esarrollar !na cartera $e inversiones "!e minimice el riesgo ' Si la empresa ignora el riesgo ) !tili&a !na estrategia $e m7:imo ren$imiento so're la inversión, ;C!7l ser%a la cartera $e inversiones<


P7gina( 8



c ;C!7l es la $i+erencia en $ólares entre las carteras $e inversiones $e los incisos a ) '< ;Por "!9 pre+erir%a la empresa la sol!ción $esarrolla$a en el inciso a/0 REBERENCIA( P7gina01 Pro'lema 1 M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición An$erson S=eene) Hillams E$itorial .*omson

Sol!ción a( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e acciones opción A @/  Canti$a$ $e acciones opción 4 @0  Canti$a$ $e acciones opción C @8  Canti$a$ $e acciones opción D

asigna$os a asigna$os a asigna$os a asigna$os a



B!nción O'>etivo min  13@1  02@/  83@0  0/@8



Restricciones 133@1  23@/  3@0  83@8  /33333 $ólares $isponi'les 1/@1  83@/  8@0  83@8  33]/33333 ren$imiento 133@1  32]/33333 inversión m7:ima $e @1 23@/  32]/33333 inversión m7:ima $e @/ 3@0  32]/33333 inversión m7:ima $e @0 83@8  32]/33333 inversión m7:ima $e @8



No

negativi$a$ @i  3F i1,8 Datos entra$a SOLVER National Ins!rance Associates Acciones Accionea asigna$as a A 4 Canti$a$ 1 1 Riesgo 13 02

C

D 1 8

1 Min 0/ /3

RES.RICCIONES 5SO DE REC5ROS Dólares $isponi'les 133 23 3 Ren$imiento ann!al 1/ 8 8 Invesión m7: en A 133 Invesión m7: en 4 23 Invesión m7: en C 3 Invesión m7: en D

5tili&a$o 83 /3 8 /8 133 23 3 83 83

     

LIMI.E No !tili& /33333 10333 1333 W12/3 133333 3333 133333 2333 133333 /333 133333 333

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina 01 Pro'lema 1 /0


P7gina( 8



Res!lta$os $el SOLVER National Ins!rance Associates Accionea asigna$as a A Canti$a$ 0000000 Riesgo 13 RES.RICCIONES Dólares $isponi'les Ren$imiento ann!al Invesión m7: en A Invesión m7: en 4 Invesión m7: en C Invesión m7: en D

5SO DE REC5ROS 133 1/ 133

Acciones 4 C D 3 00000000 /233 Min 02 8 0/ 18

23 8

3 8

23 3

5tili&a$o 83 /33333  8 1333  0000000 3   83 133333 

LIMI.E No !tili& /33333 333 1333 333 133333  133333 13333333 133333 0000000 133333 333

/8 La a$ministración $e Carson Stapler Man!+act!ring Compan) pronostica para el trimestre "!e viene !na $eman$a $e 2333 !ni$a$es para s! mo$elo S!reWol$ Esta engrapa$ora se ensam'la a partir $e tres componentes principales( la

'ase, el cart!c*o $e grapa ) la mani>a asta a*ora Carson *a +a'rica$o los tres componentes Sin em'argo, el pronóstico $e 2333 !ni$a$es es !n n!evo

vol!men m7:imo $e venta ) la empresa "!i&7 no tenga s!?ciente capaci$a$ $e pro$!cción para la +a'ricación $e to$os los componentes La a$ministración est7 pensan$o contratar !na empresa ma"!ila$ora local para pro$!cir por lo menos !na parte $e los componentes Los re"!isitos $e tiempos $e pro$!cción por !ni$a$ son como sig!e(

Departamento A 4 C

.iempo $e pro$!cción *oras 4ase Cart!c*o Mani>a 330 33/ 332 338 33/ 338 33/ 330 331

.iempo $isponi'le *oras 833 833 833

Note "!e ca$a componente +a'rica$o por Carson oc!pa tiempo $e pro$!cción en ca$a !no $e los tres $epartamentos Desp!9s $e tomar en consi$eración los gastos generales, las materias primas ) los costos $e mano $e o'ra $e la empresa, el $epartamento $e conta'ili$a$ *a llega$o al costo !nitario, en $ólares, $e man!+act!ra $e ca$a componente Estos $atos >!nto con las coti&aciones $e la empresa ma"!ila$ora $e los precios $e compra, en $ólares, son como sig!e( Componente 4ase

Costo $e man!+act!ra Costo $e a$"!isición 32 32

Cart!c*o Mani>a Os=al$o Pa!l Riva$eneira

383 113

322 183 P7gina( 8



a Determine c!7l ser%a la $ecisión $e +a'ricar o comprar para Carson, "!e *aga "!e p!e$a c!mplirse la $eman$a $e 2333 !ni$a$es a !n costo total m%nimo De ca$a componente, ;C!7ntas !ni$a$es $e'er7n ser +a'rica$as ) c!antas

$e'er7n ser a$"!iri$as< ' ;Q!9 $epartamentos est7n limitan$o el vol!men $e +a'ricación< Si p!$iera consi$erarse tiempo e:traor$inario a !n costo a$icional $e 0 la *ora, ;Q!9 $epartamento o $epartamentos $e'er%an ser motivo $e tiempo e:tra< E:pli"!e c S!ponga "!e en el $epartamento A se p!e$en programar *asta 3 *oras $e tiempo e:tra ;Q!9 recomen$ar%a !ste$< /8

Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @11  N!mero $e 'ases para grapa$oras pro$!ci$as @1/  N!mero $e cart!c*os para grapa$oras pro$!ci$os @10  N!mero $e mani>as pro$!ci$as para grapa$oras pro$!ci$as @/1  N!mero $e 'ases para grapa$oras a$"!iri$as @//  N!mero $e cart!c*os para grapa$oras a$"!iri$os @/0  N!mero $e mani>as para grapa$oras a$"!iri$as 

B!nción O'>etivo min  32@11  383@1/  113@10  32@/1  322@//  183@/0



Restricciones 330@11  33/@1/  332@10  833 338@11  33/@1/  338@10  833 33/@11  330@1/  331@10  833 @11  @/1  2333 canti$a$ $e 'ases @1/  @//  2333 canti$a$ $e cart!c*os @10  @/0  2333 canti$a$ $e mani>as



*oras $isponi'les Dep A *oras $isponi'les Dep 4 *oras $isponi'les Dep C

No negativi$a$ @i> 3F i1,/F >1,0

Datos $e entra$a SOLVER 5ni$a$es $e Canti$a$ Costos

Carson Stapler Man!+act!ring Compan) Pro$!ci$as A$"!iri$as Grapas Cart!c*os Mani>as Grapas Cart!c*os Mani>as 1 1 1 1 1 1 Min 32 38 11 32 322 18 212

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina 01 Pro'lema 1 /8


P7gina( 23

Investigación Operativa I RES.RICCIONES 5SO DE REC5ROS oras Departamento A 330 33/ oras Departamento 4 338 33/ oras Departamento C 33/ 330 Canti$a$ $e 'ases 1 Canti$a$ $e cart!c*os 1 Canti$a$ $e mani>as


332 338 331 1 1 1

1

5tili&a$o 31 31 33 / / /

     

LIMI.E 833 833 833 2333 2333 2333

No !tili& 03 03 08 833 833 833

     

LIMI.E No !tili& 833 333 833 333 833 1023 2333 333 2333 333 2333 333

Datos $e sali$a $e SOLVER 5ni$a$es $e Canti$a$ Costos

Carson Stapler Man!+act!ring Compan) Pro$!ci$as A$"!iri$as Grapas Cart!c*os Mani>as Grapas Cart!c*os Mani>as 1/23 023 2333 023 1/23 3 32 38 11 32 322 18

RES.RICCIONES 5SO DE REC5ROS oras Departamento A 330 33/ oras Departamento 4 338 33/ oras Departamento C 33/ 330 Canti$a$ $e 'ases 1 Canti$a$ $e cart!c*os 1 Canti$a$ $e mani>as

332 338 331 1 1 1

1

Min

112 5tili&a$o 833 833 //2 2333 2333 2333

/2 Gol+ S*a+ts GSI pro$!ce palos $e gra?to para varios +a'ricantes $e palos $e

gol+ Dos instalaciones $e +a'ricación $e GSI, !na locali&a$a en San Diego ) otra en .ampa, tienen capaci$a$ para pro$!cir palos en $iversos gra$os $e rigi$e&, $es$e mo$elos normales, principalmente !tili&a$os por gol?stas prome$io, *asta mo$elos e:trar%gi$os, !tili&a$os principalmente por gol?stas con 'a>o *an$icap ) pro+esionales GSI aca'a $e reci'ir !n contrato para la pro$!cción $e /33333 palos normales ) 2333 r%gi$os Da$o "!e am'as plantas act!almente est7n pro$!cien$o palos $e gol+ para c!mplir con ór$enes anteriores, ning-n $e las

plantas tiene capaci$a$ s!?ciente, por si misma, para llenar el n!evo pe$i$o La planta $e San $iego p!e$e pro$!cir *asta !n total $e 1/3333 palos, ) la $e .ampa, *asta !n total $e 13333 palos $e gol+ De'i$o a $i+erencias en

e"!ipamiento en ca$a !na $e las plantas ) $e $istintos costos $e mano $e o'ra, los costos $e pro$!cción !nitarios son $istintos, como se m!estra a contin!ación( Palo normal Palo r%gi$o

Costo $e San Diego Costo $e .ampa  2/2  82  282  23

a Borm!le !n mo$elo $e programación lineal para $eterminar la manera en "!e

GSI $e'er7 programar la pro$!cción $e este n!evo pe$i$o para minimi&ar el costo total $e pro$!cción ' 5tilice c!al"!ier có$igo $e programación lineal para resolver el mo$elo $esarrolla$o en el inciso a c S!ponga "!e alg!nas $e las ór$enes anteriores $e la planta $e .ampa po$r%an ser reprograma$as para li'erar la capaci$a$ a$icional para esta n!eva or$en ;Merecer%a esto la pena< E:pli"!e $ S!ponga "!e el costo $e pro$!cir !n palo $e gol+ r%gi$o en .ampa +!e

incorrectamente calc!la$o, ) "!e el costo correcto es $e 203 $ólares por palo Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 21



;Q!9 e+ecto, si es "!e *!'iera alg!no, ten$r%a lo anterior so're la sol!ción óptima $esarrolla$a en el inciso '< ;Q!9 e+ecto ten$r%a lo anterior so're el costo total $e pro$!cción< /2

Sol!ción a( Borm!lación $el mo$elo( De?nición $e  varia'les @1  N!mero $e !ni$ $e palos $e gol+ normales +a'rica$os en San Diego @/  N!mero $e !ni$ $e palos $e gol+ e:trar%gi$os +a'rica$os en San Diego @0  N!mero $e palos $e gol+ normales +a'rica$os en .ampa @8  N!mero $e palos $e gol+ e:trar%gi$os +a'rica$os en .ampa 

B!nción O'>etivo min  2/2@1  282@/  82@0  23@8

Restricciones @1  @0  /33333 @/  @8  2333 

palos $e gol+ normales palos $e gol+ e:trar%gi$os palos +a'rica$os en San Diego palos +a'rica$os en .ampa

@1  @/  1/3333 @0  @8  13333  No negativi$a$ @i  3F i1,8 Datos $e entra$a SOLVER

Palos $e Gol+ Canti$a$ Costos

Gol+ S*a+ts GSI San Diego .ampa Normales E:trar%gi$ Normales E:trar%gi$ 1 1 1 1 Min 2/2 2/2 82 2 /112

RES.RICCIONES Palos normales Palos e:trar%gi$os Ba'ric San Diego Ba'ric .ampa

1

5SO DE REC5ROS 1

1


1 1

5tili&a$o LIMI.E No !tili& /  /33333 133 1

1

1

/  2333 833 /  1/3333 1133 /  13333 133

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina 01 Pro'lema 1 /2


P7gina( 2/


Palos $e Gol+ Canti$a$ Costos


Gol+ S*a+ts GSI San Diego .ampa Normales E:trar%gi$ Normales E:trar%gi$ /3333 2333 13333 3 Min 2/2 2/2 82 2 1E3

RES.RICCIONES Palos normales Palos e:trar%gi$os Ba'ric San Diego Ba'ric .ampa

1

1

5SO DE REC5ROS 1 1 1

5tili&a$o LIMI.E No !tili& /E32  /33333 333 1

1

1

2333  2333 333 2333  1/3333 /233333 /E32  13333 333

/ La P+eier Compan) a$ministra apro:ima$amente 12 millones $e $ólares para s!s clientes Para ca$a Cliente, P+eier escoge !na me&cla $e tres tipos $e inversiones( !n +on$o $e valores $e crecimiento, !n +on$o $e ingresos ) !n

+on$o $e merca$o $e $inero Ca$a cliente tiene o'>etivos $e inversión $istintos ) $i+erentes tolerancias $e riesgo Para $ar g!sto a estas $i+erencias, P+eier

esta'lece l%mites en ca$a cartera para los porcenta>es "!e p!e$en ser inverti$os en estos tres +on$os ) a ca$a cliente le asigna !n %n$ice $e riesgo As% como este sistema +!nciona para Dennos artmann, !no $e los clientes $e P+eier Con 'ase en !na eval!ación $e la tolerancia al riesgo $e artmann, P+eier le *a asigna$o a la cartera $e artmann !n %n$ice $e 332 A$em7s,

para mantener cierta $iversi$a$, la +racción $e la cartera $e artmann inverti$a en +on$os $e crecimiento ) $e ingresos $e'e ser por lo menos $e 13K ca$a !na ) por lo menos /3K $e'er7 estar inverti$o en +on$os $e merca$o $e $inero Las eval!aciones $e riego para los +on$os $e crecimiento, $e ingresos ) $e merca$o $e $inero son respectivamente 313, 332 ) 331

El %n$ice $e riesgo $e ca$a !na se calc!la como el prome$io pon$era$o $e la val!aciones $e riesgo $e los tres +on$os, $on$e los coe?cientes $e pon$eración son ig!ales a la +racción $e la cartera inverti$a en ca$a !no $e los tres +on$os artmann le *a $a$o 033333 $ólares a P+eier para s! a$ministración P+eier est7 pronostican$o act!almente !n ren$imiento $el /3K en el +on$o $e crecimiento, 13K en el +on$o $e ingresos ) K en el +on$o $e merca$ $e $inero

a Desarrolle !n mo$elo $e programación lineal para

seleccionar la

me>or me&cla $e inversiones para el cartera artmann ' Res!elva el mo$elo $esarrolla$o en el inciso a c ;C!7nto p!e$en variar los ren$imientos $e los tres +on$os, antes "!e P+eier tenga "!e mo$i?car la composición $e la cartera $e artmann<

$ Si artmann +!era mas tolerante al riesgo ;"!9 a!mento $e ren$imiento po$r%a esperar< Por e>emplo, ;Q!9 pasar%a si s! %n$ice $e riesgo $e cartera a!mentar%a al 33<


P7gina( 20



e Si P+eier revisa *acia a'a>o s! estimación $e ren$imiento para el

+on$o $e crecimiento *asta 313, ;Cómo recomen$ar%a !ste$ "!e se mo$i?cara la cartera $e artmann< + ;Q!9 in+ormación $e'e mantener P+eier so're ca$a cliente para !tili&ar este sistema para la a$ministración $e las carteras $e los clientes< g En 'ase semanaria P+eier revisa las estimaciones $e ren$imiento $e ca$a !no $e los tres +on$os S!ponga "!e P+eier tiene 23

clientes Descri'e la +orma en "!e P+eier po$r%a ser mo$i?caciones semanales en ca$a cartera $e cliente, ) asignar los +on$os totales a$ministra$os entre los tres +on$os $e inversión /

Sol!ción a( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e $ólares asigna$os a valores $e crecimiento @/  Canti$a$ $e $ólares asigna$os a ingresos @0  Canti$a$ $e $ólares asigna$os a merca$o $e $inero 

B!nción O'>etivo ma:  3/3@1  313@/  33@0



Restricciones @1  313]033333 para valores $e crecimiento @/  313]033333 para ingresos @0  3/3]033333 para merca$o $e $inero @1  @/ @0  033333 cartera 313@1  332@/  331@0  332]033333 riesgo $e cartera

No negativi$a$ @i  3F i1,0 Datos $e entra$a SOLVER 

La P+eier Compan) Asigna$os a Canti$a$ $e $ólares Ren$imiento

CrecimientoIngresos Merca$o

RES.RICCIONES Crecimiento Ingresos Merca$o $e $inero Riesgo

1 3/

1 31

1 Ma: 33 30

5SO DE REC5ROS 1 1 31

332

5tili&a$o LIMI.E No !tili& 1  03333 W/33 1  03333 W/33 1 1  3333 W233 331 31  12333 188

Cartera

1

1

1

0  033333 /33

An$erson S=eene) Hillams M9to$os C!antitativos para los Negocios ma E$ición E$itorial .*omson P7gina 01 Pro'lema 1 /


P7gina( 28


Asigna$os a Canti$a$ $e $ólares Ren$imiento


La P+eier Compan) CrecimientoIngresos Merca$o

RES.RICCIONES Crecimiento Ingresos Merca$o $e $inero Riesgo Cartera

1/3333 3/

03333 123333 Ma: 31 33 0333

5SO DE REC5ROS 1 1 31

332

1

1

5tili&a$o LIMI.E No !tili& 1E32  03333 333333 03333  03333 333 1 /E32  3333 333333 331 12333  12333 333 1 0E32  033333 333

/ La Jolla 4everage Pro$!cts est7 pensan$o en pro$!cir !n re+resco $e vino, "!e ser%a me&cla $e !n vino 'lanco, $e !n vino rosa$o ) $e >!go $e +r!ta A ?n $e llenar las especi?caciones $e sa'or, el re+resco $e vino $e'e estar *ec*o con

por lo menos 23K $e vino 'lanco, !n m%nimo $e !n /3K ) no m7s $e !n 03K $e rosa$o, ) /3K $e >!go $e +r!ta La Jolla a$"!iere el vino $e los vi#e$os o

l!gares cercanos ) el >!go $e +r!tas $e !na planta procesa$ora en San Brancisco Para el per%o$o act!al $e pro$!cción, p!e$en a$"!irirse

13333 galones $e vino 'lanco ) 333 galones $e vino rosa$o, no *a) l%mite en la canti$a$ $e >!go $e +r!ta "!e se p!e$e pe$ir El costo $e los vinos es $e !n $ólar por galón para el vino 'lanco ) $e 123 $ólares por galón para el vino rosa$oF el >!go $e +r!ta se p!e$e a$"!irir a 323 por galón La Jolla 4everage

Pro$!cts p!e$e ven$er to$o el re+resco "!e p!e$a pro$!cir a /23 $ólares por galón a ;En esta sit!ación, es el costo $e vino ) el costo $e +r!tas !n costo *!n$i$o, o !no relevante< E:pli"!e ' Borm!le !n programa lineal para $eterminar el n-mero $e galones "!e La

Jolla 4everage Pro$!cts $e'er7 a$"!irir $e ca$a ingre$iente ) la contri'!ción a la !tili$a$ total "!e o'ten$r7n $e esta me&cla c Si La Jolla 4everage Pro$!cts p!$iera o'tener canti$a$es a$icionales $e vino 'lanco, ;$e'er%a *acerlo< De *acerlo, ;C!7nto $e'er%a estar $isp!esto a pagar por ca$a galón a$icional, ) c!antos galones a$icionales $esear%a a$"!irir<

$ Si La Jolla 4everage Pro$!cts p!$iera o'tener canti$a$es a$icionales $e vino rosa$o, ;$e'er%a *acerlo< De *acerlo, ;C!7nto $e'er%a estar $isp!esto a pagar por ca$a galón a$icional, ) c!anto galones a$icionales $esear%a a$"!irir< e Interprete el precio $!al para la restricción "!e correspon$e al re"!isito $e

"!e el re+resco $e vino $e'e contener por lo menos 23K $e vino 'lanco;C!al ser%a s! conse>o a la a$ministración respecto a este precio $!al< + Interprete el precio $!al $e la restricción "!e correspón$ela re"!isito $e "!e al re+resco $e vino $e'e contener e:actamente el /3K $e >!go $e +r!tas;C!al es s! conse>o a la a$ministración respecto a este precio $!al

P7gina( 22



Sol!ción '( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e galones $e vino 'lanco @/  Canti$a$ $e galones $e vino rosa$o @0  Canti$a$ $e galones $e >!go $e +r!tas 

B!nción O'>etivo ma:  /2]@1@/@0 W 1@1 W 12@/ W32@0



Restricciones @1  13333 canti$a$ m7:ima $e vino 'lanco @/  333 canti$a$ m7:ima $e vino rosa$o @1  32@1 @/  @0 $osi?cación m7:ima $e vino 'lanco @/  3/@1 @/ @0 $osi?cación m%nima $e vino rosa$o @/  30@1 @/ @0 $osi?cación m7:ima $e vino rosa$o @0  3/@1 @/ @0 $osi?cación $e >!go $e +r!tas



No negativi$a$ @i  3F i1,0

Datos $e entra$a SOLVER Galones $e Canti$a$ 5tili$a$

La P+eier Compan) Vino V 4lanco Rosa$o 1 1 12 1

Br!tas 1 Ma: / 82

RES.RICCIONES Vino 'lanco Vino rosa$o Min vino 'lanco Min vino rosa$o

5SO DE REC5ROS 5tili&a$o LIMI.E No !tili& 1 1  13333 33 1 1  333 33 32 W1 W1 W12  3 W123 W3/ 3 W3/ 38  3 W383

Ma: vino rosa$o Ma: +r!tas

W30

3

W30

W3/

W3/

3


Galones $e Canti$a$

La P+eier Compan) Vino V 4lanco Rosa$o Br!tas 13333 0333 /333 Ma:

31  38 

3 3

W313 W383

5tili$a$


12

1

/

//333

P7gina( 2



RES.RICCIONES Vino 'lanco Vino rosa$o Min vino 'lanco Min vino rosa$o

5SO DE REC5ROS 5tili&a$o LIMI.E No !tili& 1 13333  13333 333 1 0333  333 233333 32 W1 W1 1EW3  3 333 W3/ 3 W3/ EW3  3 333

Ma: vino rosa$o Ma: +r!tas

W30

3

W30

W3/

W3/

3

W1233  W1333 

3 3

123333 133333

/ El gerente $e programación $el Canal 13 $esea $eterminar la me>or +orma $e

asignar el tiempo para la $i+!sión $e las noticias vespertinas $e las 11(33 a las 11(03 Espec%?camente le g!star%a $eterminar el n-mero $e min!tos $e tiempo $e $i+!sión $e$ica$o a noticias locales, noticias nacionales, el clima ) los

$eportes A lo largo $e los 03 min!tos $e $i+!sión, se reservan 13 min!tos para n!'ili$a$ La pol%tica $e $i+!sión in$ica "!e por lo menos 12K $el tiempo

$isponi'le $e'er7 $e$icarse a co'ert!ra $e noticias locales el tiempo $e$ica$o a noticias locales ) nacionales $e'er7 ser por lo menos 23K $el tiempo total $e $i+!siónF el tiempo $e$ica$o al segmento $el clima $e'er7 ser in+erior o ig!al al tiempo "!e se $e$i"!e al segmento $e $eportesF el tiempo $e$ica$o al segmento $e $eportes no $e'er7 ser s!perior al tiempo total $e$ica$o a noticias locales ) nacionalesF ) por lo menos, /3K $el tiempo $e'er7 $e$icarse al segmento $el clima Los costos $e pro$!cción por min!to son $e 033 $ólares para noticias locales, /33 $ólares para noticias nacionales, 133 $ólares para el clima ) 133 $ólares para $eportes Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  n-mero $e min!tos para noticias locales @/  n-mero $e min!tos para noticias nacionales @0  n-mero $e min!tos so're clima @8  n-mero $e min!tos so're $eportes 

B!nción O'>etivo  min  033@1  /33@/  133@0  133@8

Restricciones @1  12K@1  @/  @0  @8 tiempo noticias locales @1  @/  23K@1  @/  @0  @8 tiempo noticias locales ) nacionales @0  @8 tiempo $e noticias $el clima @8  @1  @/ tiempo para $eportes @0  /3K@1  @/  @0 @8 tiempo para clima @1 @/  @0  @8  /3 tiempo $isponi'le en min!tos  No negativi$a$ 

@i  3F i1,8 Datos $e entra$a SOLVER PROGRAMACIXN CANAL 13


P7gina( 2

Investigación Operativa I MIN5.OS en Noticias Canti$a$ Costos


Locales Nacionales Clima Deportes 1 1 1 1 Min 033 /33 133 133 33

RES.RICCIONES Noticias Locales Not Locales ) Nac Noticias Clima Noticias Deportes

3,2 3,2 1

Noticias Clima .iempo $isponi'le

5SO DE REC5ROS 5tili&a$o LIMI.E No !tili& W3,12 W3,12 W3,12 3,8  3 W3,83 3,2 W3,2 W3,2 3  3 3,33 1 W1 3  3 3,33 1 W1 1  3 W1,33

W3,/

W3,/

3,

W3,/

1

1

1

1

3,/  8 

3 /3

W3,/3 1,33

Datos $e sali$a SOLVER PROGRAMACIXN CANAL 13 MIN5.OS en Noticias Canti$a$ Costos RES.RICCIONES Noticias Locales Not Locales ) Nac Noticias Clima Noticias Deportes Noticias Clima .iempo $isponi'le

Locales Nacionales Clima Deportes 0  2 2 Min 033 /33 133 133 0033

3,2 3,2 1

5SO DE REC5ROS 5tili&a$o LIMI.E No !tili& W3,12 W3,12 W3,12 W/EW1/  3 3,33 3,2 W3,2 W3,2 EW1/  3 3,33 1 W1 3  3 3,33 1 W1 2  3 W2,33

W3,/

W3,/

3,

W3,/

1

1

1

1

1  /3 

3 /3

W1,33 3,33

/ G!l+ Coast Electronics est7 listo para asignar contratos para la impresión $e s!

in+orme an!al D!rante los -ltimos a#os, !n in+orme an!al a c!atro colores *a si$o impreso por Jo*nson Printing ) Li\esi$e Lit*o 5na n!eva empresa, 4enson Printing, *a in"!iri$o so're la posi'ili$a$ $e e+ect!ar !na parte $e la

impresión El nivel $e cali$a$ ) servicio $e Li\esi$e Lit*o *a si$o e:trema$amente eleva$oF $e *ec*o sólo el 3,32K $e s!s in+ormes t!vieron "!e ser $escarta$os por pro'lemas $e cali$a$ Jo*nson Printing tam'i9n *a teni$o !n nivel *istórico eleva$o $e cali$a$, pro$!cien$o !n prome$io $e sólo 1K $e in+ormes no acepta'les Da$o "!e la G!l+ Coast Electronics no *a teni$o e:periencia con 4enson Printing, *a estima$o s! tasa $e $e+ectos en 13K A G!l+ Coast Electronics le g!star%a $eterminar c!antos in+ormes $e'er7n ser impresos por ca$a !na $e estas empresas, para o'tener 2333 in+ormes $e

cali$a$ acepta'les Para aseg!rarse $e "!e 4enson Printing reci'ir7 !na parte $el contrato $e la a$ministración *a especi?ca$o "!e el n-mero $e in+ormes

asigna$os a 4enson Printing $e'er7 ser, por lo menos 13K $el vol!men "!e se asigne a Jo*nson Printing A$em7s el vol!men total asigna$o a 4enson Printing, Jo*nson Printing ) Li\esi$e Lit*ono $e'er7 e:ce$er 03333, 23333 ) 23333

e>emplares respectivamente De'i$o a la larga relación $esarrolla$a con Li\esi$e Lit*o, la a$ministración tam'i9n *a in$ica$o "!e a Li\esi$e Lit*o se le $e'er7 Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 2



asignar por lo menos 03333 in+ormes El costo por e>emplar es $e /82 $ólares para 4enson Printing, /23 $ólares para Jo*nson Printing, ) /2 $ólares para Li\esi$e Lit*o a Borm!le ) res!elva !n programa lineal para $eterminar c!7ntos e>emplares

$e'er7n asignarse a ca$a empresa impresora, para ma:imi&ar el costo total $e o'tener 2333 in+ormes $e cali$a$ acepta'le ' S!ponga "!e el nivel $e cali$a$ $e 4enson Printing res!lta m!c*o me>or a lo estima$o ;Q!9 e+ecto, si es "!e e:iste alg!no, ten$r%a< c S!ponga "!e la a$ministración est7 $isp!esta a reconsi$erar s! re"!isito $e

"!e a Li\esi$e Lit*o se le $en por lo menos 03333 in+ormes;Q!e e+ecto, si es "!e *a) alg!no, ten$r%a esto< Sol!ción( Borm!lación $el mo$elo(  De?nición $e varia'les @1  canti$a$ $e e>emplares asigna$os a Lit*o @/  canti$a$ $e e>emplares asigna$os a Jo*nson @0  canti$a$ $e e>emplares asigna$os a 4enson 





B!nción O'>etivo ma:  /2@1  /2@/ /82@0 Restricciones 2K@1  K@/  3K@0  2333 e>emplares $e '!ena cali$a$ @0  13K@/ asignación m%nima 4enson @0  03333 asignación ma: a 4enson @/  23333 asignación ma: a Jo*nson @1  23333 asignación ma: a Lit*o @1  03333 asignación min a Lit*o No negativi$a$ @i 3F i1,0 Datos entra$a SOLVER

PROGRAMACIXN G!l+ Coast Electronics

E>emplares Canti$a$ Costos RES.RICCIONES


Lit*o Jo*nson 4enson 1 1 1 Ma: /,2 /,2 /,82 , 5SO DE REC5ROS

5tili&a$o

LIMI.E No !tili&

P7gina( 2



E>emplares $e cali$a$ Jo*nson ) 4enson

3,2 W3,1

E>emplares 4enson E>emplares Jo*nson E>emplares Lit*o E>emplares Lit*o

3, 1 1

1

1 1

3, /,2  23338,1/ 3,  3 W3,3 W 1  03333 /,33 1  23333 8,33 1  23333 8,33 1  03333 W/

Datos sali$a SOLVER PROGRAMACIXN G!l+ Coast Electronics E>emplares Lit*o Jo*nson 4enson Canti$a$ 23333 3 /322, Ma: Costos /,2 /,2 /,82 /3/0 RES.RICCIONES E>emplares $e cali$a$ Jo*nson ) 4enson E>emplares 4enson E>emplares Jo*nson

5SO DE REC5ROS 5tili&a$o LIMI.E No !tili& 3,2 3, 3, 2333  23333,33 W W3,1 1 /322,  3 /322,2 1 /322,  03333 W188,88 1 3  23333 23333,33

E>emplares Lit*o E>emplares Lit*o

1 1

23333  23333 23333  03333

3,33

/3333

03 Como !na il!stración $e la asignación $e rec!rsos "!e !sa la programación lineal, consi$ere el pro'lema sig!iente acerca $e la plani?cación $e pro$!cción en !na tien$a La pro$!cción $e'e ?>arse para $os tipos $e m7"!inas, la ma"!ina 1 ) la m7"!ina / Ciento veinte *oras $e tiempo enlata'les p!e$en ?>arse para m7"!ina1, ) 3 *oras para m7"!ina / La pro$!cción $!rante el perio$o $e

plani?cación se limita a $os pro$!ctos A ) 4, ca$a !ni$a$ $el pro$!cto A re"!iere / *oras $e tiempo $el proceso en ca$a m7"!ina Ca$a !ni$a$ $e pro$!cto "!e 4 re"!iere $e 0 *oras en la m7"!ina 1 ) $e 12 *oras en la m7"!ina / El margen $e la contri'!ción es 833 por ca$a !ni$a$ $e pro$!cto A ) 233 por ca$a !ni$a$ $e pro$!cto 4 Am'os tipos $e pro$!ctos p!e$en comerciali&arse prontamenteF por consig!iente, la pro$!cción $e'e ?>arse con el o'>etivo $e a!mentar al m7:imo la

ganancia/ La +orm!lación( Da$o, @1  n-mero $e !ni$a$es $el pro$!cto A para pro$!cción @/  n-mero $e !ni$a$es $el pro$!cto 4 para pro$!cción

Ma:imi&ar la contri'!ción en la ganancia,   8@1  2@/

/

Sets, Matrices, an$ Linear Programming Ro'ert L C*il$ress


P7gina( 3



S!>eto a( /@1  0@/  1/3 rec!rso m7"!ina 1 /@1  12@/  3 rec!rso m7"!ina / @1  3 no negativi$a$ @/  3 no negativi$a$ Datos $e entra$a para Solver


Sol!ción( opción ' Sol!ción  ma: @1 @/

a /1000 /3 /2

' /1000 /3 /

c 01000 /2 /

$ /1000 12 /2

e /1000 /3 1

01 Para il!strar !n pro'lema $e la programación lineal en "!e el costo se minimi&a, consi$ere el pro'lema "!e en+renta el +a'ricante $e metales La empresa pro$!ce !na aleación "!e es *ec*o $e acero ) metal $e tro&os El costo por la tonela$a $e acero es 23 ) el costo por la tonela$a $e tro&o es $e /3 Los re"!isitos tecnológicos para la aleación son 1 !n m%nimo $e !na tonela$a $e

acero se Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 1



re"!iere para ca$a $os tonela$as $e tro&oF / !na *ora $e tiempo $e procesamiento se re"!iere por ca$a tonela$a $e acero, ) se re"!ieren c!atro *oras $e tiempo $e procesamiento por ca$a tonela$a $e tro&oF 0 el acero ) el

tro&o se com'inan linealmente para *acer la aleación La p9r$i$a en proceso $el acero es 13 por ciento ) la p9r$i$a en proceso $el tro&o es /3 por ciento A!n"!e la pro$!cción p!e$e e:ce$er la $eman$a, !n m%nimo $e 83 tonela$as $e la aleación $e'e +a'ricarse Para mantener el +!ncionamiento $e la planta

e?ca&mente, !n m%nimo $e 3 *oras $e tiempo $e procesamiento $e'e !sarse El s!ministro tanto $e los tro&os como $el acero es a$ec!a$o para la pro$!cción $e la aleación El o'>etivo $el +a'ricante es pro$!cir la aleación a !n costo m%nimo/ La +orm!lación matem7tica al pro'lema $e programación lineal p!e$e plantearse $e la sig!iente manera Da$o, @1  n-mero $e tonela$as $e acero para pro$!cción $e aleación @/  n-mero $e tonela$as $e tro&o para pro$!cción $e aleación Minimi&ar el costo   23@1  /3@/ An7lisis( 1 !n m%nimo $e !na tonela$a $e acero se re"!iere por ca$a $os tonela$as $e tro&o 1 X1  2 X 2 F X 2 2X1 F @/ W /@1  3 F /@1 W @/  3 / se necesitan !na *ora $e procesamiento por ca$a tonela$a $e acero )

c!atro *oras $e tiempo $e procesamiento por ca$a tonela$a $e tro&o ) !n m%nimo $e 3 *oras 1@1  8@/  3 0 La p9r$i$a en proceso es $el 13K $e acero ) el /3K $e tro&o, $eman$a m%nima $ 83 tonela$as $e aleación

ren$imiento $el acero 1W13K@1 ren$imiento $el tro&o1W/3K@/ 1W13K@1  1W/3K@/  83

33@1  33@/  83 S!>eto a( /@1 W @/  3 1 1@1  8@/  3 / 33@1  33@/  83 0 @1  3 no negativi$a$ /

Sets, Matrices, an$ Linear Programming Ro'ert L C*il$ress


P7gina( /


@/  3


no negativi$a$

Datos $e entra$a para Solver


Sol!ción( opción a Sol!ción  ma: @1 @/

a 1883 1 0/

' 1883 0/ 1

c 188 1 /

$ 1883 12 /2

e 1388 0/ 1

0/ La Tenmore Corporation, !n +a'ricante progresista $e mecanismos civiles ) militares, +a'rica act!almente !na l%nea $e armas para civiles, con !na pro$!cción act!al $iaria $e 03 !ni$a$es $el mo$elo W1/33 ) $e 1/3 !ni$a$es $el mo$elo W 1233 El vicepresi$ente $e man!+act!ra "!iere sa'er si po$r%a a!mentarse las

ganancias cam'ian$o la me&cla $e pro$!ctos entre los $os mo$elos Se compiló la


P7gina( 0



sig!iente in+ormación so're las *oras re"!eri$as para la +a'ricación $e ca$a mo$elo ) las capaci$a$es $e los $epartamentos $e la +7'rica 03 orasW ora sWo om' m'rre re" re"!e !eri ri$a $ass Ca Capa paci ci$a $a$ $ Departamentos Mo$elo W Mo Mo$elo Departamental *oras 1/33 1233 $iarias Dep 1 / 3 033 Dep / 3 0 283 Dep 2 / / 883 Dep 8 1 12 1 1/ 033 Contri'!ción por !ni$a$  23  83 Borm!lación $el pro'lema( @1  Canti$a$ $e !ni$a$es $el mo$elo W 1/33 @/  Canti$a$ $e !ni$a$es $el mo$elo W 1233  B!nción O'>etivo( Ma:imi&ar   23 @1  83 @/  Restricciones( 

/ @1  3 @/  033 3 @1  0 @/  283

por Dep 1 por Dep /

/ @1  / @/  883 1/ @1  12 @/  033  No negativi$a$( @ i  3F i  1, /

por Dep 2 por Dep 8

Sol!ción gr7?ca por comp!ta$or !san$o el GLP

Ro' o'ert ert J .* .*ier iera! a!++ ) Ric Ric*a *ar$ r$ A Gr Gros osse se .om oma a $e $e $ecis cision iones es po porr me me$i $io o $e Investigación $e Operaciones Lim!sa Pag Pag /0

03

W


P7gina( 8



Sol!ción con SOLVER(

Datos $e entra$a


P7gina( 2


Datos $e sali$a(

Pro$!cción Act!al(   2303  831/3   033 Pro$!cción N!eva(   23123  833   13033 A!menta las ganancias en( 13033 W 033   8333 Resp!estas m-ltiples( resp!esta correcta $ a a!menta las ganancias en  0333 ' a!menta las ganancias en  033 c a!menta las ganancias en  13033 $ a!menta las ganancias en  8333 e no a!menta las ganancias



P7gina( 



00 Re$$) Mi\\s pro$!ce pint!ras tanto para interiores como para e:teriores a partir $e $os materias primas, M1 ) M/ La sig!iente ta'la proporciona los $atos '7sicos $el pro'lema(

.onela$as $e materia prima por tonela$a $e Disponi'ili$a$ Pint!ra para Pint!ra para m7:ima $iaria

Materia prima, M1 e:teriores  Materia prima, M/ 1 5tili$a$ por  2 tonela$a 1333 $ólares

interiores 8

en tonela$as /8

/



8

5na enc!esta $e merca$o restringe la $eman$a m7:ima $iaria $e pint!ra para interiores a / tonela$as A$em7s la $eman$a $iaria $e pint!ra para interiores no p!e$e e:ce$er a la $e pint!ra para e:teriores por m7s $e 1 tonela$a Re$$) Mi\\s "!iere $eterminar la me&cla $e pro$!cto óptima la me>or $e pint!ras para interiores ) para e:teriores "!e ma:imice la !tili$a$ $iaria

total01 Borm!lación $el pro'lema( 

 



De?nición $e varia'les( @1  N-mero $e tonela$as $e Pint!ra para E:teriores @/  N-mero $e tonela$as $e Pint!ra para Interiores B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   2333 @1  8333 @/ Restricciones  @1  8 @/  /8 1 @1  / @/   3 @1  1 @/  / W1@1  1 @/  1 No

negativi$a$( @ i  3F i  1, /

por $isp M1 por prima M/ $e pint $iaria

Materia prima $isp Materia m7:imo $iario Int $eman$a

01

an$) A .a*a Investigación $e Operaciones 5na Intro$!cción Prentice all Pag 11


P7gina( 




Sol!ción con SOLVER( Datos $e entra$a

Datos $e sali$a( Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 



Sol!ción( Pro$!cir $iariamente 0 tonela$as $e pint!ra para e:teriores ) 12 tonela$as $e pint!ra para interiores, para pro$!cir !na ganancia m7:ima $e  /1333,33 Sol!ción m-ltiple( resp!esta correcta c R!'ro Pint E:t ton Pint Int ton Ganan ma:

a 12 03 /1333

' 03 12 /3333

Resp!estas c 03 12 /1333

$ 12 12 /3333

e 02 /3 /1333

08 O&ar\ Barms !tili&a $iariamente 33 li'ras $e alimento especial El alimento especial es !na me&cla $e ma%& ) semilla $e so)a, con las sig!ientes composiciones(

Li'ra por li'ra $e alimento

Ma%& Semilla $e So)a

para gana$o Prote%nas Bi'ra 33 33/ 33 33

Costo li'ra 303 33

Los re"!erimientos $iet9ticos $iarios $el alimento especial estip!lan "!e por lo menos !n 03K $e prote%nas ) c!an$o m!c*o !n 2K $e ?'ra

O&ar\ Barms $esea $eterminar el costo m%nimo $iario $e la me&cla $e alimento0/ Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les( @1  Canti$a$ $e li'ras $e Ma%& @/  Canti$a$ $e li'ras $e Semilla $e So)a 0/

an$) A .a*a Investigación $e Operaciones 5na Intro$!cción Prentice all Pag 1


P7gina( 


 




B!nción O'>etivo( Minimi&ar   303 @ 1  33 @/ Restricciones( 33 @1  33 @/  303]@1  @/ 33/ @1  33 @/  332]@1  @/ @1  @/  33 No negativi$a$( @ i  3F i  1, /

por prote%nas por ?'ra pro$!cción


Sol!ción con SOLVER(


P7gina( 3



Datos $e entra$a

Datos $e Sali$a(

Sol!ción( 832 li'ras $e ma%&, 0/81 li'ras $e semilla $e so)a costo m%nimo $el alimento( 802 por $%a Sol!ción m-ltiple( resp!esta correcta ' a ' c $ e

 822 por $%a  802 por $%a  812 por $%a  212 por $%a  202 por $%a

02 Jac\ es !n est!$iante empren$e$or $e primer a#o $e la 5.E Compren$e "!e Zsólo el tra'a>o ) na$a $e $iversión *acen $e Jac\ !n m!c*ac*o a'!rri$o[

Como res!lta$o $e esto, Jac\ "!iere $istri'!ir s! tiempo $isponi'le, $e alre$e$or $e 13 *oras al $%a, entre el tra'a>o ) la $iversión Calc!la "!e el >!ego es $os veces m7s $iverti$o "!e el tra'a>o .am'i9n "!iere est!$iar por lo

menos tanto como >!ega Sin em'argo, Jac\ compren$e "!e si "!iere terminar

to$as s!s tareas !niversitarias, no p!e$e >!gar m7s $e c!atro *oras al $%a Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 1



;Cómo $e'e $istri'!ir Jac\ s! tiempo para ma:imi&ar s! satis+acción tanto en el tra'a>o como en el >!ego<00 Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  n-mero $e *oras $e >!ego @/  n-mero $e *oras $e tra'a>o  B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   /@ 1  @/  Restricciones( @1  @/  13 $isponi'ili$a$ $e tiempo @/  @1 @1 W @/  3 tra'a>ar por lo menos tanto como >!ega @1  8 l%mite $e >!ego  No negativi$a$ @i  3F i 1, / Sol!ción GLP

X2

PayOf ptim .alDecisios!X1"X2#: ! 4.0"46.0# : 1.0X1 + 1.0X2 $= 10.0 : 1.0X1 % 1.0X2 $= 0.0 : 1.0X1 + 0.0X2 $= 4.0

Datos $e Entra$a Solver

00

an$) A .a*a Investigación $e Operaciones 5na Intro$!cción Prentice all Pag 1


X1.0

0 X.2 0= 2

P7gina( /

X0.2



Datos $e Sali$a Solver

J!ega c!atro *oras ) tra'a>a  *oras Sol!ción m-ltiple( resp!esta correcta $ R!'ro J!ega .ra'a>a Satis+acción ma:

a 12 03 183

' 03 3 /33

Resp!estas c 03 3 183

$ 83 3 183

e 3 /3 /1333

0 Jo*n $e'e tra'a>ar por lo menos /3 *oras a la semana para completar s! ingreso mientras asiste a la esc!ela .iene la oport!ni$a$ $e tra'a>ar en $os tien$as al $etalle( en la tien$a 1 Jo*n p!e$e tra'a>ar entre 2 ) 1/ *oras a la

semana, ) en la tien$a / le permiten tra'a>ar entre  ) 13 *oras Am'as tien$as pagan el mismo salario por *ora De manera "!e Jo*n "!iere 'asar s! $ecisión acerca $e c!7ntas *oras $e'e tra'a>ar en ca$a tien$a en !n criterio $i+erente( el +actor $el estr9s en el tra'a>o 4as7n$ose en entrevistas con los emplea$os

act!ales, Jo*n calc!la "!e, en !na escala $e 1 a 13, los +actores $es estr9s son $e  )  en las tien$as 1 ) /, respectivamente De'i$o a "!e el estr9s

a!menta por *ora, 9l s!pone "!e el estr9s total al ?nal $e la semana es proporcional al


P7gina( 0



n-mero $e *oras "!e tra'a>a en la tien$a ;C!7ntas *oras $e'e tra'a>ar en ca$a tien$a<08

Borm!lación pro'lema(  De?nición varia'les @1  n-mero $e tien$a @/  n-mero $e tien$a /  

$el $e *oras $e tra'a>o en la 1 *oras $e tra'a>o en la

B!nción o'>etivo( Minimi&ar   @ 1  @/ Restricciones( @1  2 @1  1/ @/   @/  13 @1  @/  /3 No



negativi$a$ @i  3F i  1, / Sol!ción GLP

Payoff: 8.0 '1 + 6.0 X2 = 140.0

: 1.0 '1 + 0.0 X2 =

:

1.0 '1 + 1.0 X2 = 20.0

5.0

X2 12 11 : 0.0 '1 +

109 8 7 6 5

1.0 X2 = 10.0

: 0.0 '1 + : 1.0 '1 +

43

0.0 X2 = 12.0

2 1 0 0

1

2

3

4

5

Optimal Decisios!'1"X2#: !10.0" 10.0# : 1.0'1 + 0.0X2 &= 5.0 : 1.0'1 + 0.0X2 $= 12.0 : 0.0'1 + 1.0X2 &= 6.0 : 0.0'1 + 1.0X2 $= 10.0 : 1.0'1 + 1.0X2 &= 20.0

6

7

8

9

10

11

12

'1

1.0 X2 =

6.0

08

an$) A .a*a Investigación $e Operaciones 5na Intro$!cción Prentice all Pag /3


P7gina( 8



Datos $e entra$a Solver

Datos $e sali$a Solver

Sol!ción( Jo*n $e'e tra'a>ar 13 *oras a la semana en la tien$a 1 ) 13 *oras en la tien$a

/

Sol!ción m-ltiple( resp!esta correcta $ R!'ro .ien$a 1 .ien$a / Estr9s min


a 11 11 183

' 13 13 /33

Resp!estas c 13 3 183

$ 13 13 183

e 13 13 /1333

P7gina( 2



0 La D!mont Compan), +a'ricante $e e"!ipo $e pr!e'as, tiene tres $epartamentos principales para la man!+act!ra $e s!s mo$elos SW 1333 ) SW /333 Las capaci$a$es mens!ales son las sig!ientes( Re"!erimientos !nitarios $e tiempo *oras Departamentos Mo$elo Mo$elo SW oras $isponi'les en SW1333 /333 el presente mes De Estr!ct!ra principal8 / 133 De Alam'ra$o el9ctrico /2 1 1/33 De Ensam'le 82 12 133 La contri'!ción $el mo$elo SW1333 es $e  83 333 por !ni$a$, ) la $el mo$elo SW /333 es $e  13 333 por !ni$a$ S!ponien$o "!e la compa#%a p!e$e ven$er c!al"!ier canti$a$ $e ca$a !no $e s!s pro$!ctos, $e'i$o a las con$iciones +avora'les $e merca$o Determ%nese la sali$a óptima para ca$a mo$elo, la contri'!ción m7s alta posi'le para el presente mes ) el tiempo so'rante en los tres $epartamentos02 Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  n-mero $e !ni$a$es $el mo$elo SW 1333 @/  n-mero $e !ni$a$es $el mo$elo SW /333 B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   83333@1  13333@/  Restricciones 8@1  /@/  133 Dep $e Estr!ct!ras /2@1  1@/  1/33 Dep alam'ra$o 82@1  12@/  el9ctrico Dep 133  No negativi$a$ ensam'la>e 

@i  3F i  1, / Sol!ción GLP

Ro'ert J .*iera!+ ) Ric*ar$ A Grosse .oma $e $ecisiones por me$io $e Investigación $e Operaciones Lim!sa Pag /0 02


P7gina( 



: 2.5 X1 + 1.0 X2 = 1200.0 Payoff: 40.0 X1 + 10.0 X2 = 14222.2

X2 240 228 216 204 192 180

: 4.5 X1 +

1.5 X2 = 1600.0

168156

:

4.0 X1 +

2.0 X2 = 1600.0

1321 44 120 108 96 84 72 60 48 36 24 12 0 221

229

237

245

253

261

269

277

285

293

301

309

317

325

333

341

349

357

365


Datos entra$a para Solver

Datos sali$a $el Solver


P7gina( 

373

381

389



Ba'ricar 022,2 !ni$a$es $el Mo$elo SW1333 solamente para pro$!cir !n 'ene?cio $e 18 ///,/3 Si la restricción es +a'ricar componentes completos, +a'ricar 022 !ni$a$es $el mo$elo SW1333 ) 1 !ni$a$ $el mo$elo SW/333 para pro$!cir !n 'ene?cio $e  18 /13,33 Sol!ción m-ltiple( resp!esta correcta ' R!'ro a Mo$elo SW1333 /222 Mo$elo SW/333 33 Contri'!ción ma: 18/13

Resp!estas ' c 0222 0222 33 133 18///,/ 18///,/

$ 023 3 18//3

e 023 133 18///,/

0 La Cincinnati C*emical Compan) $e'e pro$!cir 13 333 li'ras $e !na me&cla especial para !n cliente La me&cla se compone $e los ingre$ientes( @1, @/ ) @0 @1 c!esta li'ra, @/  13li'ra ) @0  11li'ra No p!e$en !sarse mas $e 0 333 li'ras $e @1 ) por lo menos $e'er%an !sarse 1 233 li'ras $e @/ A$em7s se re"!ieren por lo menos / 333 li'ras $e @0 a ' c

Calc-lese el n-mero $e li'ras $e ca$a ingre$iente "!e *a'r7 "!e emplear A ?n $e re$!cir la m%nimo el costo total $e las 13 333 li'ras Calc-lese el costo total m7s 'a>o posi'le ;a) li'ras so'rantes en el pro'lema< 0

Re+( .oma $e $ecisiones por me$io $e Investigación $e Operaciones .*iera!+ Lim!sa Pag /8 Borm!lación $el pro'lema  De?nición $e varia'les @1  n-mero $e li'ras $el ingre$iente @1

Ro'ert J .*iera!+ ) Ric*ar$ A Grosse .oma $e $ecisiones por me$io $e Investigación $e Operaciones Lim!sa Pag /8 0


P7gina( 



@/  n-mero $e li'ras $el ingre$iente @/ @0  n-mero $e li'ras $el ingre$iente @0 

B!nción o'>etivo( Minimi&ar   @1  13@/ 

11@0  Restricciones( @1  @/  @0  13333 @1  0333 @/ 1233 @0  /333 No



negativi$a$ @i  3F i  1, 0

canti$a$ $e pro$!cción canti$a$ $e @1 canti$a$ $e @/ canti$a$ $e @0



Sol!ción( a

' c

@1 0333 li'ras @/ 2333 li'ras @0 /333 li'ras Costo m7s 'a>o    333,33 De'o !tili&ar 0233 li'ras m7s $e @/


P7gina( 



Sol!ción m-ltiple( resp!esta correcta $ R!'ro Ingre$iente @1 Ingre$iente @/ Ingre$iente @0 Costo min ;a) so'rantes<

a 0333 2333 /333 333 No

' /233 333 1233 333 Si

Resp!estas c 0333 333 1333 333 No

$ 8333 8333 /333 333 Si

e 0333 2333 /333 333 No

0 La Gra) Man!+act!ring Compan) *a seg!i$o constantemente !na pol%tica $e +a'ricación $e a"!ellos pro$!ctos "!e contri'!)an con la ma)or canti$a$ a los costos ?>os ) a las ganancias Sin em'argo, siempre se *a proc!ra$o pro$!cir los re"!erimientos m%nimos semanales $e venta, "!e son los sig!ientes para los pro$!ctos T, L, M ) N( Pro$!cto T

/2 !ni$a$es

Pro$!cto L

03 !ni$a$es

Pro$!cto M 03 !ni$a$es Pro$!cto N

/2 !ni$a$es

Los re"!erimientos $e pro$!cción ) el tiempo $isponi'le para la semana sig!iente son( .iempo Departamento Departamento 1

.iempo re"!eri$o por pro$!cto $isponi'le la semana *oras pro: *oras T L M N 833

Departamento

3/2

3/3

312

3/2

1333

/

303

383

323

303

233

Departamento

3/2

303

3/2

303

233

0

3/2

3/2

3/2

3/2

 33

 133

Departamento 8 Contri'!ción por !ni$a$

 1323  33

Act!almente, la me&cla semanal $e pro$!cción consi$eran$o los re"!erimientos m%nimos $e venta, es $e(


P7gina( 3



Pro$!cto T

1 200 !ni$a$es

Pro$!cto L

03 !ni$a$es

Pro$!cto M 03 !ni$a$es Pro$!cto N

/2 !ni$a$es

;Son la me&cla act!al $e pro$!ctos ) la contri'!ción, para la empresa, óptimas< En caso contrario ;C!7l es la contri'!ción act!al< ;C!7les $e'en ser las óptimas<0 Borm!lación $el pro'lema( 

De?nición $e varia'les @1  N-mero $e pro$!cto

!ni$a$es

$el

T

@/  N-mero pro$!cto

$e

!ni$a$es L

$el

@0

$e

!ni$a$es

$el



N-mero

pro$!cto

M

@8  N-mero pro$!cto N

$e

!ni$a$es

$el



B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   132@1  3@/  3@0  133@8



Restricciones 3/2@1  3/3@/  312@0  3/2@8  833 Disp Dep 1 303@1  383@/  323@0  303@8  1333 Disp Dep /



3/2@1  303@/  3/2@0  303@8  233 Disp Dep 0 3/2@1  3/2@/  3/2@0 3/2@8  233Disp Dep 8 @1  /2 Venta m%nima $e T @/  03 Venta m%nima $e L @0  03 Venta m%nima $e M @8  /2 Venta m%nima $e N No negativi$a$ @i  3F i  1,8

Datos $e entra$a para el Solver

0

Ro'ert J .*ier

+

Ric*ar$ A Gr

.

$e $ecision

$i

$e

Investigación $e Operaciones Lim!sa Pag /2 Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 1




Sol!ción m-ltiple( resp!esta correcta ' Resp!estas R!'ro a ' c ;Me&cla óptima< Si No Si Contri'!ción act 1800,/ 12,2 1223 Contri'!ción opt 12,2 1800,/2 183223 Pro$!cto T 2 2 32 Pro$!cto L 03 03 /2 Pro$!cto M 22 22 2 Pro$!cto N /2 /2 03


$ No 122 12333 23 03 23 /2

e Si 12333 182333  03 233 02

P7gina( /



83 La LaCross Man!+act!ring Compan) esta consi$eran$o la +a'ricación $e !na l%nea $e pro$!ctos, comp!esta $e c!atro pro$!ctos Ca$a pro$!cto p!e$e +a'ricarse con $os m9to$os $i+erentes ) completamente $istintos, !no $e los c!ales consta $e $os procesos ) el otro $e tres Se +a'ricar7n 'as7n$ose en el seg!n$o t!rno El precio $e venta $e estos pro$!ctos ) s!s costos varia'les, as% como las canti$a$es "!e pro'a'lemente p!e$an ven$erse, $e ac!er$o con el gr!po $e investigaciones $e merca$otecnia, son los sig!ientes(0 Pro$!cto Precio $e venta al ma)oreo 83K $e $esc!ento

1

/

0

8

 133

 123

 1/2  183

Costos varia'les W M9to$o A

 3

 102

 1/3  102

Costos varia'les W M9to$o 4

 113

 123

 133  113

Canti$a$ "!e p!e$e ven$erse

1333

0333

8333

333

La sección $e man!+act!ra $e la empresa *a $etermina$o "!e los tiempos $e man!+act!ra para ca$a proceso son los sig!ientes( Pro$!cto 1

/

0

8

03

0

/3

02

133

3

3

13

13

32

32

Departamento 01

83

83

/3

83

Departamento 0/

23

3

83

03

M9to$o A Departamento /3 Departamento /1 Departamento //

3

M9to$o 4

Las *oras $isponi'les al mes( Departamento /3 12 333 Departamento /1 23 333 Departamento //  333

Ro'ert J .*iera!+ ) Ric*ar$ A Grosse .oma $e $ecisiones por me$io $e Investigación $e Operaciones Lim!sa Pag /2 0


P7gina( 0



Departamento 01 13 333 Departamento 0/ 13 333 Borm!lación $el pro'lema( De?nición $e  varia'les @11  N-mero m9to$o @/1  N-mero m9to$o @01  N-mero m9to$o @81  N-mero m9to$o @1/  N-mero m9to$o @//  N-mero m9to$o @0/  N-mero m9to$o @8/  N-mero m9to$o 4

$e !ni$a$es $el pro$!cto A $e !ni$a$es $el pro$!cto A $e !ni$a$es $el pro$!cto A $e !ni$a$es $el pro$!cto A $e !ni$a$es $el pro$!cto 4 $e !ni$a$es $el pro$!cto 4 $e !ni$a$es $el pro$!cto 4 $e !ni$a$es $el pro$!cto

1 ela'ora$os con el / ela'ora$os con el 0 ela'ora$os con el 8 ela'ora$os con el 1 ela'ora$os con el / ela'ora$os con el 0 ela'ora$os con el 8 ela'ora$os con el



B!nción O'>etivo( Ma:imi&ar   133W3@11  123W102@/1  1/2W1/3@01  183W102@81  133W113@1/  123W123@//  1/2W133@0/  183W113@/8



Restricciones @11  @1/  1333

Venta pro$!cto 1

@/1  @//  0333 Venta pro$!cto / @01  @0/  8333 Venta pro$!cto 0 @81  @8/  333 Venta pro$!cto 8 03@11  0 @/1  /3@01  02@81  12333 oras Dep /3 3@11  133@/1  3@01  3@81  23333 oras Dep /1 13@11  13@/1  32@01  32@81  333 oras Dep // 83@1/  83@//  /3@0/  83@8/  13333oras Dep 01 23@1/  3@//  83@0/  03@8/  13333oras Dep 0/



No negativi$a$ @i> 3F i 1,8F >  1,/ Datos $e entra$a para el solver


P7gina( 8



Sol!ción( P1 1 333 !ni$a$es M9to$o A P/ 0 333 !ni$a$es M9to$o A P0 33 !ni$a$es M9to$o A P0 1 333 !ni$a$es M9to$o 4 P8 / 333 !ni$a$es M9to$o 4 Contri'!ción,  120 333,33


81 5na +7'rica ela'ora $os pro$!ctos, A, 4 Ca$a !no $e ellos $e'e ser procesa$o en $os m7"!inas $i+erentes 5na m7"!ina tiene !na capaci$a$ $isponi'le $e /8


P7gina( 2



*oras ) la otra $e 1 *oras Ca$a !ni$a$ $el pro$!cto A re"!iere re"!iere $e $os *ora *o rass en am'as m7"!inas Ca$a !ni$a$ $el pro$!cto 4 necesita $e tres tr es *ora *oras s en la primera m7"!ina ) $e !na *ora en la seg!n$a La !tili$a$ incremental es $e  por !ni$a$ $el pro$!cto A ) $e  por !ni$a$ !ni$ a$ $el pro$!cto pro$!cto 4, ) la +7'r +7'rica ica p!e$ p!e$e e ven ven$er $er tantas tantas !ni !ni$a$ $a$es es $e ca$a pro$!cto como p!e$a +a'ricar El o'>etivo $e la +7'rica es ma:imi&ar las !tili$a$es El pro'lema est7 en $eterminar c!7ntas !ni$a$es $el pro$!cto A ) $el pro$!cto 4

po$r%an pro$!cirse $entro $e los l%mites $isponi'les por la capaci$a$ $e las m7"!inas0 Res!men( Pro$!ctos M7"!inas 1 / 5tili$a$ en 

A / *oras / *oras 

Borm!lación $el pro'lema  De?nición $e varia'les @1  n-mero $e !ni$a$es pro$!cto A @/  n-mero $e !ni$a$es pro$!cto 4  

$el $el

B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   @1  @/ Restricciones /@1  0@/ /8 /@1  1@/  1



4 0 *oras 1 *ora 

No

negativi$a$ @i 3 F i  1, / Sol!ción con GLP

capaci$a$ $e m7"!ina 1 capaci$a$ $e m7"!ina /

Capaci$a$ $e las m7"!inas /8 *oras 1 *oras

4onini, ansman, 4ierman An7lisis C!antitativo para los Negocios Novena E$ición Ir=in McGra=ill Pag 80

0


P7gina( 



9 8 7

:

2 X1 +

1 X2 =

16

6 :

5

2 X1 +

3 X2 =

24

4 3 Payoff:

6 X1 +

7 X2 =

64

2 1 0

0

1

2

Optimal Decisios!X1"X2#: ! : 2X1 + 3X2 $= 24 : 2X1 + 1X2 $= 16

3 6"

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

4#


Datos sali$a $el Solver


P7gina( 

15

16



Sol!ción( @1   @/  8   8 8/ Al me&clar $i+erentes *i$rocar'!ros, se o'tiene gasolina $e $i+erentes 8/ gra$os, "!e es el res!lta$o $irecto $e las operaciones $e re?ner%a En !na operación

real $e re?nación, se reali&an varias me&clas $e *i$rocar'!ros, "!e $an m!c*as clases $e gasolina como pro$!cto ?nal por e>emplo, gasolina $e $istintos

gra$os para avión ) para carro, con caracter%sticas importantes para los e>emplo, lo, $istinto $isti ntos s gr gra$o a$os s $e la co comp mpos osici ición ón $e la ga gasol solin ina a por e>emp octana>e, presión $el vapor, conteni$o $e a&!+re ) conteni$o $e o:i$ante En este e>emplo simpli?ca$o, se s!pone "!e !na re?ner%a $ispone sólo

$e $o $oss ti tipo poss $e ga gaso soli lina na,, c! c!)a )ass ca cara ract cter er%s %sti tica cass se pr pres esen enta tan n en la sig!iente ta'la( Caracter%sticas Caracter%sti cas $e las me&clas $e gasolina

Me&clas $isponi'les Octana>e Gasolina tipo 1 138 Gasolina tipo / 8 8

Presión $e vapor 2 

Canti$a$ Disponi'le 03 333 'arriles 3 333 'arriles

Estos tipos $e gasolina p!e$en ser com'ina$os para pro$!cir $os pro$!ctos pro$ !ctos ?nales, gasolina para avión ) gasolina para carro carro Las c!ali$a$ c!a li$a$es es "! "!e e re"!ieren re"!ieren estos estos pro$!ctos pro$!ctos ?nales ?nales aparecen aparecen en la sig!iente ta'la(

Caracter%sticas $e la gasolina como pro$!cto ?nal

Pro$!ctos ?nales Gasolina avión Gasolina carro

Octana>e m%nimo 13/ 

Presión M7:ima $e vapor  

Precio Ventas De venta m7:imas por 'arril /3 333 'arriles 8213 c!al"!iera 0/83

C!an$o la gasolina se com'ina, la me&cla res!ltante tiene !n octana>e ) !na presión $e vapor proporcional proporcional al vol!men $e ca$a tipo $e gasolina "!e se me&cló me& cló Por Por e>e e>empl mplo, o, si si se me&c me&clan lan 1 333 333 'arr 'arrile iless $e gas gasoli olina na tipo tipo 1 con 1 333 'arriles gasolina tipo /, la gasolina res!ltante ten$r7 !n octana>e $e ( 1.000x1041.000x94 2.000  99 Y !na !na presión presión $e vapor vapor $e ( 1.000x5 1.000x9 2.000

7


P7gina( 



La empresa $esea ma:imi&ar los ingresos por la venta $e gasolina como pro$!cto ?nal83

Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  n-mero $e 'arriles $e @/  n-mero $e 'arriles $e @0  n-mero $e 'arriles $e @8  n-mero $e 'arriles $e carro  

1, !tili&a$a para gasolina 1, !tili&a$a para gasolina /, !tili&a$a para gasolina /, !tili&a$a para gasolina

B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   8213 @1  @0  0/83 @/  @8   8213 @1  0/83@/  8213@0  0/83@8 Restricciones 104X1 94X3 102 X1

 X 3

/@1 W @0  3  96 104X 2 94X 4 X2  X4

oct para avión

@/ W /@8  3 5X1 9X3 6

oct para carro

W1@1  0@0 3 5X2 9X4 8 X 2  X 4 W0@/  @8  3 @1  @/  03333 @0  @8  3333 @1  :0  /3333

pres para avión

X1  X3



$e gasolina .ipo avión $e gasolina .ipo carro $e gasolina .ipo avión $e gasolina .ipo

No negativi$a$ @i 3 F i  1, 8


pres para carro $isponi'ili$a$ $e gas .ipo 1 $isponi'ili$a$ gas .ipo / venta gasolina para avión

4onini, ansman, 4ierman An7lisis C!antitativo para los Negocios Novena E$ición Ir=in McGra=ill Pag 8 83


P7gina( 




Sol!ción(   0b0228282 @1  //,/ @/  ///,/ @0  11,1 @8  11,/ 80 5na +7'rica pro$!ce c!atro art%c!los( A, 4, C ) D Ca$a canti$a$ $el pro$!cto A re"!iere $e $os *oras $e ma"!ina$o, !na *ora $e monta>e ) 13 $e inventario en proceso Ca$a !ni$a$ $el pro$!cto 4 re"!iere $e !na *ora $e ma"!ina$o,

tres *oras $e monta>e ) 2 $e inventario en proceso Ca$a !ni$a$ $el pro$!cto C re"!iere $e $os ) me$ia *oras $e ma"!ina$o, $os ) me$ia *oras $e monta>e ) / $e inventario en proceso Binalmente, ca$a !ni$a$ $el pro$!cto D re"!iere $e cinco *oras $e ma"!ina$o, ning!na $e monta>e ) 1/ $e inventario en

proceso


P7gina( 3



La +7'rica $ispone $e 1/3 333 *oras $e tiempo $e ma"!ina$o ) 13 333 *oras $e tiempo $e monta>e A$em7s, no p!e$e tener m7s $e !n millón $e $ólares $e inventario en proceso Ca$a !ni$a$ $el pro$!cto A genera !na !tili$a$ $e 83, ca$a !ni$a$ $el

pro$!cto 4 genera !na !tili$a$ $e /8, ca$a !ni$a$ $e pro$!cto C genera !na !tili$a$ $e 0 ) ca$a !ni$a$ $el pro$!cto D genera !na !tili$a$ $e /0 No

p!e$en ven$erse m7s $e /3 333 !ni$a$es $el pro$!cto A, 1 333 !ni$a$es $el pro$ pr o$!c !cto to C, ) p! p!e$ e$en en ve ven$ n$er erse se la ca cant nti$ i$a$ a$ "! "!e e se "! "!ie iera ra $e lo loss pro$!ctos 4 ) D Sin em em'a 'arg rgo, o, $e'en $e'en pr pro$ o$!c !cir ir ) ve ven$ n$er er por lo men enos os 13 33 333 3 !ni$ !n i$a$ a$es es $el pro$!cto D para c!mplir con los re"!erimientos $e !n

contrato

So're estas con$iciones, So're con$iciones, +orm!lar +orm!lar !n pro'lema pro'lema $e prog programaci ramación ón linea lin eal l El o'>etivo $e la +7'rica es ma:imi&ar la !tili$a$ res!ltante $e la venta $e los c!atro pro$!ctos81

Res!men( Proceso Ma"!ina$o Monta>e Inventario 5tili$a$

A / *r 1 *r 13 83

Pro$!cto 4 C 1 *r /,2 *r 0 *r /,2 *r 2 / /8 0

D 2 *r 3 *r 1/ /0

Disponi'le *oras 1/3333 13333 1333333

Borm!lación $el pro'lema( 

 

De?nición $e varia'les( @1  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto A @/  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto 4 @0  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto C @8  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto D

$el $el $el $el

B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   83@1  /8@/  0@0  /0@8 Restricciones( /@1  @/  /2@0  2@8  1/3333 $isponi'ili $isponi'ili$a$ $a$ $e ma"!ina$o @1  0@/  /2@0  3@8  13333 $isponi'ili $isponi'ili$a$ $a$ $e monta>e 13@1  2@/  /@0  1/@8  1333333 $isponi'ili$a$ $e inventario @1  /3333

@0 1333 @8 13333 



limite $e venta pro$! pro$!cto cto A l%mite $e venta $el pro$!cto C contrato $el pro$!cto D

 No

negativi$a$( @i 3 F i  1, 8 4onini, ansman, 4ierman An7lisis C!antitativo para los Negocios Novena E$ición Ir=in McGra=ill Pag 2

81


P7gina( 1





Sol!ción(   103333 @1  13 133 333 33 @/  23 233 333 33 @0  3 @8  13333 88 La 5WSave Loan Compan) est7 planean$o s!s operaciones para el pró:imo a#o La empresa *ace cinco tipos $e pr9stamos, "!e se in$ican a contin!ación, con !n retorno an!al en porcenta>e para ella .ipo $e pr9stamo pr9stamo Retorno Reto rno an!al Pr9stamos "!irogra+arios 12 Pr9stamos para m!e'les 1/ Pr9stamos para a!tomóviles  ipo i pote teca cass $e 'ien 'ienes es ra% ra%ce cess en seg! seg!n$ n$o o gra$ gra$o o 13


P7gina( /


ipotecas $e 'ienes ra%ces en primer gra$o




Los re"!erimientos legales ) la pol%tica $e la empresa esta'lecen los sig!ientes l%mites en las canti$a$es $e los $istintos tipos $e pr9stamos Los pr9stamos "!irogra+arios no p!e$en e:ce$er $el 13K $el total $e .ipo $e pr9stamos La canti$a$ $e pr9stamos "!irogra+arios ) para m!e'les no p!e$e e:ce$er $e /3K $el total $e tipo $e pr9stamos Las *ipotecas en primer gra$o $e'en ser por lo menos $e 83K $el total $e *ipotecas ), por lo menos, /3K $e la canti$a$ total $e tipo $e pr9stamos Las *ipotecas en seg!n$o gra$o no p!e$en e:ce$er $e /2K $e la canti$a$ total $e tipo $e pr9stamos La empresa $e'e ma:imi&ar los ingresos $e los intereses $e los pr9stamos, s!>et7n$ose a las restricciones in$ica$as La empresa

p!e$e prestar !n m7:imo $e 1,2 millones8/ Borm!lación $el Pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  Monto en $ólares para Pr9stamos Q!irogra+arios @/  Monto en $ólares para Pr9stamos para M!e'les @0  Monto en $ólares para pr9stamos para A!tomóviles @8  Monto en $ólares para ipotecas $e 'ienes ra%ces en seg!n$o gra$o @2  Monto en $ólares para ipotecas $e 'ienes ra%ces en primer gra$o 

B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   312@1  31/@/  33@0  313@8  33@2



Restricciones @1  313 @1 @/ @0  @8  @2 l%mite en monto $e pres "!irogra+ 33@1 W 313@/ W 313@0 W 313@8 W 313@2  3

@1  @/  3/3 @1  @/  @0  @8  @2 l%mite en monto para prest 33@1  33@/ W 3/3@0 W 3/3@8 W 3/3@2  3 "!iro  m!e'les @2  383 @8  @2 l%mite $e monto en *ipotecas W 383@8  33@2  3 @2  3/3 @1  @/  @0  @8  @2 l%mite monto $el total $e prest W 3/3@1 W 3/3@/ W 3/3@0 W 3/3@8  33@2  3 @8  3/2@1  @/  @0  @8  @2 l%mite en *ipotecas $e /$o gra$o W 3/2@1 W 3/2@/ W 3/2@0  32@8 W 3/2@2  3 @1  @/  @0 @8  @2  1233333 monto $isponi'le

4onini, ansman, 4ierman An7lisis C!antitativo para los Negocios Novena E$ición Ir=in McGra=ill Pag 2 8/


P7gina( 0





No

negativi$a$ @i 3 F i  1, 2



82 5na +7'rica ven$en $os tipos $e pro$!ctos $i+erentes, A ) 4 La in+ormación

so're el precio $e venta ) el costo incremental es la sig!iente( Precio $e venta Costo incremental 5tili$a$ incremental

Pro$!cto A 3 03 03

Pro$!cto 4 83 13 03

Los $os pro$!ctos se +a'rican $entro $e !n proceso com-n ) se ven$en en $os merca$os $i+erentes El proceso $e pro$!cción tiene !na capaci$a$ $e 03 333 *oras $e mano $e

o'ra, se re"!iere $e tres *oras para ela'orar !na !ni$a$ $e A ) !na *ora para pro$!cir !na !ni$a$ $e 4 El merca$o )a +!e est!$ia$o, por lo "!e los

+!ncionarios $e la empresa consi$eran "!e la canti$a$ m7:ima $e las !ni$a$es

$e A "!e p!e$e ven$erse es $e  333F la canti$a$ m7:ima $e 4 es $e 1/ 333 Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 8



!ni$a$es De ac!er$o con estas limitaciones, los pro$!ctos p!e$en ven$erse en c!al"!ier com'inación Borm!lar esta como !n pro'lema $e sit!ación programación lineal80 Borm!lación $el pro'lema  De?nición $e varia'les @1  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto A @/  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto 4

$el $el

B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   03@1  03@/  Restricciones 0@1  1@/  por mano $e 03333 @1  333 o'ra venta $e A @/  1/333 venta $e 4 



No negativi$a$ @i 3 F i  1, /

Sol!ción GLP Payoff: 30.0 X1 + 30.0 X2 = 540000.0

X2 1199 1140 1080 1021 9615 9020 8425 7830 7235 6640 6045 5450 4855 4260 3665 3070 2475 1880 1285 690 95

:

0.0 X1 +

1.0 X2 = 12000.0

: 3.0 X1 +

1.0 X2 = 30000.0

:

30

428

826

1224 1622 2020 2418 2816 3214 3612 4010

1.0 X1 + 0.0 X2 = 8000.0

4408 4806 5204 5602 6000 6398 6796 7194 7592 7990

X1


Datos entra$a Solver

4onini, ansman, 4ierman An7lisis C!antitativo para los Negocios Novena E$ición Ir=in McGra=W ill Pag 2 80


P7gina( 2



Datos sali$a Solver

8 Recientemente, la empresa EM45.IDOS e:perimentó $r7sticos cam'ios en los precios $e la materia primaF por los "!e el gerente or$enó a !n analista ree:aminar las proporciones $e las me&clas $e los ingre$ientes para la pro$!cción $e salc*ic*as

La pro$!cción $e salc*ic*as implica c!mplir con $os re"!isitos esenciales para el pro$!cto El porcenta>e $e prote%nas, por peso, $e'e ser al menos 12K, ) el porcenta>e $e grasa, por peso, no p!e$e e:ce$er $e 03K el peso restante es relleno La empresa tiene c!atro materia primas $isponi'les para la me&cla, con las sig!ientes caracter%sticas( Ingre$iente A 4 C D

Porcenta>e $e Prote%nas 83 /3 13 2

Porcenta>e $e Grasa 13 12 02 83

Costo por Li'ra 13 32 383 312


P7gina( 



Borm!lar el pro'lema $e programación lineal "!e le a)!$e a empresa 88 $eterminar el pro'lema $e me&cla m7s apropia$o

Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ en li'ras $el ingre$iente A @/  Canti$a$ en li'ras $el ingre$iente 4 @0  Canti$a$ en li'ras $el ingre$iente C @8  Canti$a$ en li'ras $el ingre$iente D 

B!nción o'>etivo Minimi&ar   13@1  32@/  383@0  312@8



Restricciones 383@1  3/3@/  313@0  332@8  312 prote%nas 313@1  312@/  302@0  383@8  303 grasas @1  @/  @0  @8  1 total li'ra $e me&cla






la a

4onini, ansman, 4ierman An7lisis C!antitativo para los Negocios Novena E$ición Ir=in McGra=ill Pag 2 88


P7gina( 



8 5n +a'ricante $e m!e'les pro$!ce $os tipos $e escritorios( est7n$ar ) e>ec!tivo Estos escritorios se ven$en a !n ma)orista $e mo'iliario $e o?cinaF ) para to$o ?n pr7ctico e:iste !n merca$o ilimita$o para c!al"!ier me&cla $e ellosF al menos $entro $e la capaci$a$ $e pro$!cción $el +a'ricante Ca$a escritorio $e'e pasar por c!atro operaciones '7sicas( corte $e ma$era, ensam'le $e las pie&as, preW aca'a$o ) aca'a$o ?nal Ca$a !ni$a$ pro$!ci$a $el escritorio $el escritorio

est7n$ar re"!iere $e 8 min $e tiempo $e corte, / *oras $e ensam'le, 83 min $e preWaca'a$o ) 2 *oras ) /3 min $e tiempo $e aca'a$o ?nal Ca$a !ni$a$ $e escritorio e>ec!tivo re"!iere $e / min $e corte, 0 *oras $e ensam'le, / *oras $e preWaca'a$o ) 8 *oras $e tiempo $e aca'a$o ?nal La capaci$a$ $iaria para ca$a operación e"!ivale a 1 *oras $e corte, 03 *oras $e ensam'le, 1 *oras

$e preWaca'a$o ) 8 *oras $e aca'a$o ?nal El 'ene?cio por !ni$a$ pro$!ci$a es $e 83 para el escritorio est7n$ar ) $e 23 para el escritorio e>ec!tivo ;Q!9 me&cla $e pro$!ctos es óptima<82 Borm!lación $el pro'lema  De?nición $e varia'les @1  N-mero $e !ni$a$es $e escritorios est7n$ar @/  N-mero $e !ni$a$es $e escritorios e>ec!tivos  

B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   83@1  23@/ Restricciones 3@1  1/@/  1 /3@1  03@/  03

3@1  /3@/  1 20008@1  83@/  8



No

negativi$a$ @i 3 F i  1, / Sol!ción GLP

*oras $e corte *oras $e ensam'la>e *oras $e preW aca'a$o *oras aca'a$o ?nal

ans G Daellen'ac* Intro$!cción a .9cnicas $e Investigación $e Operaciones CECSA Pag2

82


P7gina( 



12 11 10

Payoff: 40.000 X1 + 50.000 X2 = 559.998

9 8 : 5.333 X1 + 4.000 X2 = 64.000

7 6 5

: 0.667 X1 + 2.000 X2 = 16.000 4

: 0.800 X1 + 1.200 X2 = 16.000 : 2.000 X1 + 3.000 X2 = 30.000

3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16



Datos sali$a Solver


P7gina( 

17

18

19



8 5n +a'ricante $e alimento para pollos $esea $eterminar la me&cla $e menor

costo para !na +órm!la $e altas prote%nas "!e contiene 3 gr $e n!triente A, 8 gr $e n!triente 4, /3 gr $e n!triente C ) 12 gr $e vitamina @ por ca$a \g $e alimento P!e$e me&clar la +órm!la emplean$o $os ingre$ientes ) otro $e

relleno El ingre$iente 1 contiene 133 gr $e n!triente A, 3 gr $e n!triente 4, 83 gr $e n!triente C ) 13 gr $e vitamina @F ) c!esta 383 por Tg El

ingre$iente / contiene /33 gr $e A, 123 gr $e 4, /3 gr $e C, na$a $e vitamina @ ) c!esta 33 por \g8 Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e Tg $e ingre$iente .ipo 1 @/  Canti$a$ $e Tg $e ingre$iente .ipo / B!nción o'>etivo( Minimi&ar   383@1  33@/  Restricciones 133@1  /33@/  3 N!triente A 3@1  123@/  8 N!triente 4 83@1  /3@/  /3 N!triente C 13@1  3@/  12 Vitamina @ 



No

negativi$a$ @i 3 F i  1, /

Son ec!aciones re$!n$antes, para s! sol!ción se as!me "!e c!mplir7n al menos los pe$i$os $e los ingre$ientes, s!s res!lta$os ser7n anali&a$os por !n $ietista para no inc!rrir en $a#os a los pollos, entonces( 

Restricciones

133@1  /33@/  3 3@1  123@/  8 83@1  /3@/  /3 13@1  3@/  12

N!triente A N!triente 4 N!triente C Vitamina @

ans G Daellen'ac* Intro$!cción a .9cnicas $e Investigación $e Operaciones CECSA Pag 3

8


P7gina( 133




Datos sali$a Solver

En la sol!ción gr7?ca p!e$e notarse las ec!aciones re$!n$antes(


P7gina( 131



8 5na compa#%a pro$!ce tres tipos $e pro$!ctos "!%micos re?na$os( A, 4 ) C Es necesario pro$!cir $iariamente al menos 8 ton $e A, / ton $e 4 ) 1 ton $e C Los pro$!ctos $e entra$a son los comp!estos @ ) Y Ca$a tonela$a $e @

proporciona 3/2 ton $e A, 3/2 ton $e 4 ) 3,308 ton $e C Ca$a tonela$a $e Y rin$e 32 ton $e A, 313 ton $e 4 ) 3308 ton $e C La tonela$a $e comp!esto @ c!esta /23 ) el comp!esto Y 833 El costo $e procesamiento es $e /23 por ton $e @ ) /33 por ton $e Y Las canti$a$es pro$!ci$as "!e e:ce$an los

re"!erimientos $iarios no tienen valor, )a "!e el pro$!cto s!+re cam'ios "!%micos si no se !tili&a $e inme$iato El pro'lema consiste en $eterminar la

me&cla con costo m%nimo $e entra$a8 Borm!lación $el pro'lema  De?nición $e varia'les @1  .onela$as $e comp!esto @ @/  .onela$as $e comp!esto Y

B!nción o'>etivo( Minimi&ar   233@ 1  33@/  Restricciones 3/2@1  32@/  8 tonela$as $e A 3/2@1  313@/  / tonela$as $e 4 


8


P7gina( 13/



3308@1  3308@/  1

tonela$as $e C

No negativi$a$



@i 3F i  1, / Sol!ción GLP

9

8 Payoff: 500.0000 X1 + 600.0000 X2 = 6396.1630 7 : 0.2500 X1 + 0.1000 X2 = 2.0000

6

5

4

3

: 0.2500 X1 + 0.5000 X2 = 4.0000

2

: 0.0834 X1 + 0.0834 X2 = 1.0000

1 0 16 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

17

18

19

20

21

22

23

15

Optimal Decisios!X1"X2#: !7.9808" 4.0096# : 0.2500X1 + 0.5000X2 &= 4.0000 : 0.2500X1 + 0.1000X2 &= 2.0000 : 0.0834X1 + 0.0834X2 &= 1.0000


Datos $e sali$a Solver


P7gina( 130

24

X1



23 La Pal)sa+e Ins!rane Compan) o+ Tnoc\ville, ME, $ispone $e +on$os ociosos por !n total $e /3 millones, $isponi'le para inversiones a corto ) largo pla&o Las especi?caciones g!'ernamentales re"!ieren "!e no m7s $el 3K $e to$as las inversiones sean a largo pla&oF no m7s $el 83K $e inviertan a corto pla&oF )

"!e la ra&ón entre las inversiones a largo ) corto pla&o no sean ma)or $e 0 a 1 Act!almente, las inversiones a largo pla&o rin$en el 12K an!alF mientras "!e la tasa an!al para las inversiones a corto pla&o es $el 13K Plant9ese este pro'lema como programa lineal con el o'>etivo $e ma:imi&ar el 'ene?cio pon$era$o 8

Borm!lación $el Pro'lema  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ en millones $e $ólares para inversión a corto pla&o @/  Canti$a$ en millones $e $ólares para inversión a largo pla&o  



B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   313@1  312@/ Restricciones @1  @/  /3 @/  33@1  @/ 33@1 W 3/3@/  3 @/  383@1  @/ 383@1 W 33@/  3 @/@1  01 0@1 W @/  3 No

negativi$a$ @i 3 F i  1, /

Sol!ción GLP

+on$os para inversión inversiones a

inversiones a corto pla&o relación entre inversiones

largo pla&o


8


P7gina( 138



Payoff: 0.1 X1 + 0.1 X2 = 2.4 X2 12 11 10

:

0.8 X1 %

0.2 X2 =

:

0.0

0.4 X1 % 0.6 X2 = 0.0

9 8 7

: 3.0 X1 % 1.0 X2 = 0.0

6 5 :

4

1.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0

3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

Optimal Decisios!X1"X2#: !12.0" : 1.0X1 + 1.0X2 $= 20.0 : 0.8X1 % 0.2X2 &= 0.0 : 0.4X1 %0.6X2 &= 0.0 : 3.0X1 %1.0X2 &= 0.0

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

X1

8.0#


Datos $e sali$a $e Solver


P7gina( 132



21 5n +a'ricante $e 'otes $e ?'ra $e vi$rio pro$!ce c!atro mo$elos $i+erentes "!e $e'en pasar por tres operaciones $i+erentes( mol$ea$o, ensam'la$o ) aca'a$o La ta'la $a$a contiene to$a la in+ormación necesaria Comp!esto $e

Mol$ea$o Mo$elo *!ni$ 1 / / /1 0 8 8 0 Capac semana 8 *

Ensam'le *!ni$ 2 0  8

Aca'a$o *!ni$ 13 2 1/ 0

mol$ea$o gal!ni$ /33 /33 /3 //3

 *

13 *

833 gal

4ene?cio !ni$ 13 1/8 /1/ 13

Los pronósticos $e venta in$ican "!e, en prome$io, no $e'en pro$!cirse por semana m7s $e  !ni$a$es $el mo$elo 8 E:cepto por esta restricción, la $eman$a ser7 s!?ciente para a'sor'er

c!al"!ier canti$a$ pro$!ci$a El o'>etivo es ma:imi&ar los 'ene?cios8 Borm!lación $el Pro'lema  De?nición $e varia'les @1  N-mero $e !ni$a$es mo$elo 1 @/  N-mero $e !ni$a$es mo$elo / @0  N-mero $e !ni$a$es mo$elo 0 @8  N-mero $e !ni$a$es mo$elo 8

$el $el $el $el



B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   13@1  1/8@/ /1/@0  13 @8



Restricciones /@1  /1@/  8@0  0@8  8 *oras $e mol$ea$o 2@1  0@/  @0  8@8   *oras $e ensam'le 13@1  2@/  1/@0  0@8  13 *oras $e aca'a$o /33@1  /33@/  /3@0  //3@8  833 galones para mol$ea$o


8


P7gina( 13



@8   

No

negativi$a$ @i 3 F i  1, 8 Datos $e entra$a para Solver


2/ En !na compa#%a se +a'rican tres pro$!ctos A, 4 ) C Los tres pro$!ctos comparten en s!s procesos $e pro$!cción c!atro m7"!inas @, Y, S ) . El pro$!cto A !tili&a tres operaciones en las m7"!inas @, S ) . El pro$!cto 4 !tili&a sólo $os operaciones en las m7"!inas @ ) S o en las m7"!inas Y ) . El

pro$!cto C p!e$e +a'ricarse !tili&an$o las ma"!inas @ ) S o en las m7"!inas Y, S ) . El tiempo necesario en min!tos por !ni$a$ pro$!ci$a, para ca$a posi'ili$a$ $e pro$!cción en ca$a m7"!ina, ) el costo varia'le $e pro$!cción por min!to para ca$a m7"!ina se con$ensan en la sig!iente ta'la

.iempo en min!ni$a$ $e m7"!ina Pro$!cto Proceso @ Y A 1 13

S 

. 0

Có$igo A

4 C

1 / 1




13 



 1

41 4/ C1 P7gina( 13



/ Costo var min 

383

13

0



323

3/8

303

C/

Ca$a m7"!ina tiene !na capaci$a$ $iaria $e pro$!cción $e 83 min!tos La $eman$as m%nimas $e los tres pro$!ctos son 0 para A, 82 para 4 ) 13 para C El o'>etivo consiste en $eterminar el es"!ema $e pro$!cción "!e minimice el costo total varia'le $e pro$!cción 23

Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  n-mero $e !ni$a$es proceso @/  n-mero $e !ni$a$es proceso @0  n-mero $e !ni$a$es proceso @8  n-mero $e !ni$a$es proceso @2  n-mero $e !ni$a$es proceso / 

$el 1 $el 1 $el / $el 1 $el

pro$!cto A, con el pro$!cto 4, con el pro$!cto 4, con el pro$!cto C, con el pro$!cto C, con el

B!nción o'>etivo( Minimi&ar   38313@1  @/  @ 8  323@0  13@2  3/8@1 13@/  1@8  0@2  3030@1  @0  @2 Minimi&ar   08@1  2@/  2@0  38@8  1/@2

Restricciones 13@1  @/  @8  capaci$a$ ma"!ina 83 @0  13@2  83 @ @1 13@/  1@8  0@2  capaci$a$ ma"!ina 83 0@1  @0  @2  83 Y @1  0 capaci$a$ ma"!ina @/  @0  82 S @8  @2  13 capaci$a$ ma"!ina . $eman$a $el pro$!cto A  No $eman$a $el pro$!cto negativi$a$ 4 @i 3 F i  1, 8 $eman$a $el pro$!cto C Datos $e entra$a para Solver 

ans G Daellen'ac* Intro$!cción a .9cnicas $e Investigación $e Operaciones CECSA Pag /

23


P7gina( 13




20 5ste$ est7 organi&an$o !na ?esta ) $ispone $e $e las sig!ientes canti$a$es $e licor( 8 on& l%"!i$as $e =*is\), / on& l%"!i$as $e vo$\a, 8 on& l%"!i$as $e

vermo!t* 'lanco, / on& $e vermo!t* ro>o, /8 on& l%"!i$as $e 'ran$) ) 1 on& l%"!i$as $e licor $e ca+9 5ste$ piensa preparar las sig!ientes 'e'i$as(

C*a!ncies, R!sos Negros, Italianos D!lces, Cócteles Molotov Martinis R!sos ) H*is\) en las rocas 5n C*a!nc) consiste en /0 $e =*is\) ) 10 $e vermo!t* ro>o 5n R!so Negro consiste $e  $e vo$\a ) d $e licor $e ca+9 5n Italiano D!lce consiste $e d $e 'ran$), 6 $e vermo!t* ro>o ) d vermo!t* 'lanco Los Cócteles Molotov son !na me&cla $e /0 $e vo$\a ) 10 $e vermo!t* 'lanco

Por -ltimo el H*is\) en las rocas consiste sólo $e =*is\) Ca$a trago contiene 8 on& l%"!i$as S! o'>etivo es me&clar los ingre$ientes, en +orma tal, "!e p!e$a prepararse el ma)or n-mero $e posi'le $e tragos Sin em'argo, 5ste$

consi$era "!e es necesario preparar c!an$o menos el $o'le $e Cócteles

Molotov "!e $e R!sos Negros, para proporcionar !na selección e"!ili'ra$a

Plant9ese como !n pro'lema $e programación lineal21 Res!men(


21


P7gina( 13



Me&clas tragos $e 8 on&as Licores R!sos Italianos Cócteles H*is\) c*a!ncies negros $!lces molotov en rocas H*is\) /0]8 1]8 Vo$\a ]8 /0]8 Verm4 d]8 10]8 VermR 10]8 /8]8 4ran$) d]8 Lic Ca+9 d]8

Canti$a$ Disponi'le on& 8 / 8 / /8 1

Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les( @1  N-mero $e tragos $e C*a!ncies @/  N-mero $e tragos $e R!sos Negros @0  N-mero $e tragos $e Italianos D!lces @8  N-mero $e tragos $e Cócteles Molotov @2  N-mero $e tragos $e H*is\) en las Rocas 

B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   @1  @/  @0  @8  @2



Restricciones( /0]8 @1  8@2  8 /@1  0@2  0 por conteni$o $e =*is\) ]8@/  /0]8@8  / @/  @8  /1 por conteni$o $e Vo$\a d]8@0  10]8@8 8 0@0  8@8 1/ por conteni$o $e Vermo!t* 4lanco 10]8@1  /8]8@0  / 8@1  @0  /1 por conteni$o $e vermo!t* Ro>o d]8@0  /8 @0  /8 por conteni$o $e 4ran$) d]8@/  1 @/  1 por conteni$o $e Licor $e Ca+9 /@/  @8 /@/ W @8  3 relación $e Cócteles MolotovR!sos Negros




Sol!ción( Datos $e entra$a para Solver


P7gina( 113




28 Pro.rac,Inc Pro$!ce $os l%neas $e m7"!ina pesa$a 5na $e s!s l%neas $e pro$!ctos, llama$a e"!ipo $e e:cavación, se !tili&a $e manera primor$ial en

aplicaciones $e constr!cción La otra l%nea, $enomina$a e"!ipo $e la silvic!lt!ra, est7 $estina$a a la in$!stria ma$erera .anto la m7"!ina m7s gran$e $e la l%nea $e e:cavación la EW, como la ma)or $e to$a la l%nea $el e"!ipo $e silvic!lt!ra la BW son +a'rica$as en los mismos $epartamentos ) con el mismo e"!ipo

Emplean$o las pro)ecciones económicas correspon$ientes al sig!iente mes, el gerente $e Merca$otecnia $e Pro.rac *a consi$era$o "!e $!rante ese per%o$o ser7 posi'le ven$er to$as las EW ) BW "!e la compa#%a sea capa& $e pro$!cir La gerencia tiene "!e recomen$ar a*ora !na meta $e pro$!cción para el mes

pró:imo Es $ecir, ;c!7ntas EW ) BW $e'er7n +a'ricar si la $irección $e Pro.rac $esea ma:imi&ar la contri'!ción $el mes entrante a la ganancia  es $ecir, el

margen $e contri'!ción, $e?ni$o como los ingresos menos los costos

varia'les La toma $e $ecisiones re"!iere la consi$eración $e los sig!ientes +actores importantes( a El margen $e contri'!ción !nitaria $e Pro.rac es $e  2333 por ca$a EW ven$i$a ) $e  8333 por ca$a BW ' Ca$a pro$!cto pasa por las operaciones $e ma"!ina$o, tanto en el

$epartamento A como en el $epartamento 4 Os=al$o Pa!l Riva$eneira

P7gina( 111



c Para la pro$!cción correspon$iente al mes pró:imo, estos $os $epartamentos tiene tiempos $isponi'les $e 123 ) 13 *oras, respectivamente La +a'ricación $e ca$a EW re"!iere 13 *oras $e ma"!ina$o en el $epartamento A ) /3 *oras en el $epartamento 4, mientras "!e ca$a BW re"!iere 12 *oras *oras en el $epartamento a )

13 en el 4 $ Para "!e la a$ministración c!mpla con el ac!er$o concerta$o con el

sin$icato, las *oras totales $e tra'a>o inverti$as el la pr!e'a $e pro$!ctos termina$os $el sig!iente mes no $e'en ser m7s all7 $el 13K in+erior a !na meta conveni$a $e 123 *oras Estas pr!e'as se llevan a ca'o en !n tercer $epartamento ) no tienen na$a "!e ver con las activi$a$es $e los $epartamentos A ) 4 Ca$a EW es someti$a a

pr!e'as $!rante 03 *oras ) ca$a BW $!rante 13 e Con el ?n $e mantener s! posición act!al en el merca$o, la alta

gerencia *a $ecreta$o como pol%tica operativa( "!e $e'er7 constr!irse c!an$o menos !na BW por ca$a tres EW "!e sean +a'rica$as + 5no $e los principales $istri'!i$ores *a or$ena$o !n total $e c!an$o

menos cinco EW ) BW en c!al"!ier com'inación para el pró:imo mes, por lo c!al ten$r7 "!e pro$!cirse por lo menos esa canti$a$2/ Res!men $e $atos(

Dep A Dep 4 ora $e pr!e'a

Ma" EW 13 /3 03

ORAS Ma" BW 12 13 13

.otal $isponi'le 123 13 102 123W13K

Pro$!cir c!an$o menos 1 BW por ca$a 0 EW 1(E 9 )  3(F 9) ( Borm!lación $el mo$elo 1 De?nición $e varia'les varia'les $e $ecisión EW  n-mero $e !ni$a$es $e ma"!inas tipo EW BW  n-mero $e !ni$a$es $e m7"!inas tipo BW

/ B!nción o'>etivo Ma:imi&ar   2333 EW  8333 BW 0 Restricciones ec!aciones restricción 13EW  12BW  123 /3EW  13BW  13 03EW  13BW  102 1EW W 0BW  3 1EW  1BW  2 1EW  3 1BW  3 2/

$e

Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 


P7gina( 11/



Sol!ción gr7?ca(

Sol!ción matem7tica anal%tica Datos iniciales antes $e aplicas SOLVER(

De?niciones $e $atos para SOLVER ) resolver(


P7gina( 110



Res!lta$os $el mo$elo(


P7gina( 118



22 La empresa Cra=ler .rea$, $esea me&clar minerales $e *ierro $e c!atro minas $istintas para +a'ricar ro$amientos $estina$os a !n n!evo pro$!cto $e Protrac( !n tractor tipo or!ga $e tama#o me$iano, el EW, $ise#a$o especialmente para competir en el merca$o e!ropeo Por me$io $el an7lisis se *a $emostra$o "!e , para pro$!cir !na me&cla $ota$a $e las c!ali$a$es $e tracción a$ec!a$as,

$e'en c!mplirse re"!erimientos m%nimos en relación con tres elementos '7sicos "!e, para simpli?car, se#alaremos a"!% como A, 4, C En t9rminos espec%?cos, ca$a tonela$a $e mineral $e'er7 contener c!an$o menos cinco li'ras $el elemento '7sico A, 133 li'ras $el elemento '7sico 4 ) 03 li'ras $el elemento

'7sico C El mineral e:tra%$o $e ca$a !na $e las c!atro minas posee los tres elementos '7sicos, pero en canti$a$es $istintas Estas composiciones

e:presa$as en li'ras por tonela$a, se en!meran en la sig!iente ta'la( Composiciones o'teni$as $e ca$a mina Elemento MINA li'ras por tonela$a $e ca$a elemento '7sico 1 / 0 8 A 13 0  / 4 3 123 2 12 C 82 /2 /3 0 Costotonela$a $e mineral  33  833  33  233 El o'>etivo $el a$ministra$or es $esc!'rir !na me&cla m%nimo20 Borm!lación $el pro'lema( 1 De?nición $e varia'les .1  +racción $e tonela$as mina 1 ./  +racción $e tonela$as mina / .0  +racción $e tonela$as mina 0 .8  +racción $e tonela$as mina 8

$e la $e la $e la $e la

/ B!nción o'>etivo Minimi&ar   33 .1  833 ./  33 .0  233 .8 0 Restricciones 13 .1  0 ./   .0  / .8  2 elemento A 3 .1  123 ./  2 .0  12 .8  133 elemento 4

+acti'le$ecosto

82 .1  /2 ./  /3 .0  0 .8  03elemento A .1  ./  .0  .8  1 'alance .1, ./, .0, .8  3 no negativi$a$

Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 

20


P7gina( 112



Sol!ción( para *o>a $e c7lc!lo Datos originales(

Res!lta$os (


P7gina( 11



2 5na compa#%a AS.RO Y COSMOS +a'ricante $e .V pro$!ce $os mo$elos $e aparatos televisores, el astro ) el Cosmo a) $os l%neas $e pro$!cción, !na para ca$a mo$elo, e intervienen $os $epartamentos en la pro$!cción $e ca$a

mo$elo La capaci$a$ $e la l%nea $e pro$!cción $el Astro es $e 3 aparatos $e .V por $%a La capaci$a$ $e la l%nea Cosmo es $e 23 televisores $iarios En el

$epartamento A se +a'rican los cinescopios En este $epartamento se re"!iere !na *ora $e tra'a>o para ca$a mo$elo Astro ) $os *oras $e tra'a>o para ca$a mo$elo Cosmo En la act!ali$a$ p!e$e asignarse !n m7:imo $e 1/3 *oras $e

tra'a>o $iarias para la pro$!cción $e am'os tipos $e aparato en el $epartamento A En el $epartamento 4 se constr!)e el c*asis A"!% se re"!iere !na *ora $e tra'a>o para ca$a televisor Astro ) tam'i9n !na *ora para ca$a mo$elo Cosmo Act!almente se p!e$e asignar 3 *oras $e tra'a>o al $epartamento 4 para la pro$!cción $e am'os mo$elos La contri'!ción a las ganancias es $e /3 ) 13 $ólares, respectivamente, por ca$a televisor Astro )

Cosmo Si la compa#%a sa'e "!e p!e$e ven$er to$os los aparatos Astro ) Cosmo "!e sea capa& $e +a'ricar ;c!7l $e'er7 ser el plan $e

pro$!cción por ca$a $%a es $ecir, la pro$!cción $iaria para ca$a mo$elo<28 Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  n-mero $e !ni$a$es $e .V Astro @/  n-mero $e !ni$a$es $e .V Cosmo B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   /3@1  13@/  Restricciones @1  /@/  1/3 capaci$a$ Dep A @1  @/  3 capaci$a$ Dep 4 @1  3 capaci$a$ $e l%nea Astro @/  23 capaci$a$ $e l%nea Cosmo  No negativi$a$ @i 3 F i  1, / 

Sol!ción GLP

Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 133

28


P7gina( 11



Payoff: 20.0 X1 + 10.0 X2 = 1600.0

X2 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 1412

: 0.0 X1 +

108 6 4 2 0

: 1.0 X1 + : 1.0 X1 +

0.0 X2 = 70.0

1.0 X2 = 90.0

: 1.0 X1 +

2.0 X2 = 120.0

0

10

5

1.0 X2 = 50.0

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

X1


Datos $e entra$a para solver



P7gina( 11



2 De los m!c*os pro$!ctos "!e +a'rica la Arco Man!+act!ring Compan), sólo los pro$!ctos C, D, E ) B pasan por los sig!ientes $epartamentos( cepilla$o, +resa$o, tala$ra$o ) ensam'le Los re"!erimientos por !ni$a$ $e pro$!cto en *oras ) contri'!ción son los sig!ientes( Departamento Pro$!cto Cepilla$oBresa$o .ala$ra$o Ensam'leContr5ni$a$ C

32

/3

32

03



D

13

13

32

13



E

13

13

13

/3



B

32

13

13

03



Las capaci$a$es $isponi'les en este mes para los pro$!ctos C, D, E ) B, as% como los re"!erimientos m%nimos $e venta, son( Departamento Venta

Capaci$a$*orasPro$!ctoRe" M%nimos

Cepilla$o

133

C

133 !ni$a$es

Bresa$o

/33

D

33 !ni$a$es

.ala$ra$o

0333

E

233 !ni$a$es

Ensam'le

333

B

833 !ni$a$es

Determ%nese la canti$a$ $e los pro$!ctos C, D, E ) B, "!e ten$r7 "!e +a'ricar este mes para ma:imi&ar la contri'!ción22 

Borm!lación $el pro'lema De?nición $e varia'les @1  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto C @/  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto D @0  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto E @8  N-mero $e !ni$a$es pro$!cto B

$el $el $el $el

.*iera!+ .oma $e Decisiones por me$io $e Investigación $e Operaciones Lim!sa Pag /8

22


P7gina( 11

Investigación Operativa I  




B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   @1  @/  @0 @8 Restricciones 32@1  13@/  13@0  32@8  133 /3@1  13@/  13@0  13@8  /33 32@1  32@/  13@0  13@8  0333 03@1  13@/  /3@0  03@8  333 @1  133 @/  33 @0  233 @8  833

capaci$a$ Cepilla$o capaci$a$ Bresa$o capaci$a$ .ala$ra$o capaci$a$ Ensam'le venta $e C venta $e D venta $e E venta $e B

No

negativi$a$ @i 3 F i  1, 8 Datos $e entra$a para el Solver



P7gina( 1/3



2 Plani?cación ?nanciera Hillie anes es el presi$ente $e !na microempresa $e inversiones "!e se $e$ica a a$ministrar las carteras $e acciones $e varios clientes 5n n!evo cliente *a solicita$o "!e la compa#%a se *aga cargo $e a$ministrar para 9l !na cartera $e  133333 A ese cliente le agra$ar%a

restringir !na cartera a !na me&cla $e tres tipos $e acciones -nicamente, como po$emos apreciar en la sig!iente ta'la Borm!le 5D !n PL para mostrar

c!7ntas acciones $e ca$a tipo ten$r%a "!e comprar Hillie con el ?n $e ma:imi&ar el ren$imiento an!al2

PRECIO POR ACCIONES ACCION Go+er Cr!$e 3 Can Oil /2 Slot* Petrole!m /3

RENDIMIEN.O AN5AL ES.IMADO POR ACCION   0 0

INVERSION MA@IMA POSI4LE  3333 /2333 03333

Borm!lación $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  N-mero $e acciones $e Go+er Cr!$e @/  N-mero $e acciones $e Can Oil @0  N-mero $e acciones $e Slot* Petrole!m B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   @1  0@/  0@0  Restricciones 3@1  3333 inversión m7:ima $e Go+er Cr!$e /2@/  /2333 inversión m7:ima $e Can Oil /3@0  03333 inversión m7:ima $e Slot* Petrole!m 3@1  /2@/  /2@0  133333 inversión total 



No negativi$a$ @i 3 F i  1, 0 Datos $e entra$a para Solver


2


P7gina( 1/1




2 Plani?cación $e Cartera 5na compa#%a $e inversiones tiene act!almente  13 millones $isponi'les para inversión La meta "!e se *a tra&a$o consiste en ma:imi&ar la retri'!ción espera$a $!rante el sig!iente a#o S!s c!atro posi'ili$a$es $e inversión se presentan res!mi$as en la sig!iente ta'la A$em7s, la compa#%a *a especi?ca$o "!e c!an$o menos 03K $e los +on$os

ten$r7n "!e colocarse en acciones or$inarias ) 'onos $e la tesorer%a ) "!e no m7s $el 83K $el $inero $e'er7 invertirse en +on$os $el merca$o ) t%t!los m!nicipales Se invertir7 la totali$a$ $e los  13 millones act!almente a la

mano Borm!le !n mo$elo $e PL "!e in$i"!e a la empresa c!7nto $inero $e'e invertir en ca$a instr!mento2 POSI4ILIDAD DE INVERSION 4onos $e .esorer%a Acciones Or$inarias Merca$o $e Dinero

RE.RI45CION ESPERADA K   1/

INVERSION MA@IMA MILLONES DE  2  /

.%t!los M!nicipales



8

Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 11

2


P7gina( 1//



Borm!lación $el pro'lema 

 

De?nición $e varia'les @1  canti$a$ en $ólares en 4onos $e .esorer%a @/  canti$a$ en $ólares en Acciones Or$inarias @0  canti$a$ en $ólares en Merca$o $e Dinero @8  canti$a$ en $ólares en .%t!los M!nicipales B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   33@1  33@/  31/@0  33@8 Restricciones @1  @/  303@1  @/  @0  @8 33@1  33@/ W 303@0 W 303@8  3 03K $e inversión @0  @8  383@1  @/  @0  @8 W383@1 W 383@/  33@0 33@8  3 83K $e inversión @1  2333333 @/  333333 @0  /333333 @8  8333333 @1  @/  @0  @8  13333333







inversión en 4onos $e .esorer%a inversión en Acciones Or$inarias inversión en Merca$o $e Dinero inversión en .%t!los M!nicipales inversión total

P7gina( 1/0



3 Hoo$ Halter es propietario $e !n pe"!e#o taller $e +a'ricación $e m!e'les En este taller +a'rica tres tipos $i+erentes $e mesas( A, 4 ) C Con ca$a mesa, se re"!iere $etermina$o tiempo para cortar las partes "!e la constit!)en, ensam'larlas ) pintar la pie&a termina$a Hor$ po$r7 ven$er to$as las mesas "!e consiga +a'ricar A$em7s, el mo$elo C p!e$e ven$erse sin pintar Hor$ emplea a varias personas, las c!ales

tra'a>an en t!rnos parciales, por lo c!al el tiempo $isponi'le para reali&ar ca$a !na $e estas activi$a$es es varia'le $e !no a otro mes A partir $e los $atos sig!ientes, +orm!le 5D !n mo$elo

$e

programación lineal "!e a)!$e a Hor$ a $eterminar la me&cla $e pro$!ctos "!e le permitir7 ma:imi&ar s!s ganancias en el pró:imo mes2 Mo$elo A 4 C C sin pintar Capaci$a$

Corte *rs 0 1 8 8 123

Monta>e *rs 8 / 2 2 /33

Pint!ra *rs 2 2 8 3 033

Ganancia por mesa  /2 /3 23 03

Sol!ción al pro'lema  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e mesas Mo$elo A @/  Canti$a$ $e mesas Mo$elo 4 @0  Canti$a$ $e mesas Mo$elo C @8  Canti$a$ $e mesa Mo$elo C sin pintar B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   /2@ 1  /3@/  23@0  03@8  Restricciones 0@1  @/  8@0  8@8  123 *oras en Corte 8@1  /@/  2@0  2@8  /33 *oras en Monta>e 2@1  2@/  8@0  3@8  033 *oras en Pint!ra 


2


P7gina( 1/8



No negativi$a$ @i 3 F i  1, 8 Datos $e entra$a para Solver 


1 Do!glas E Starr, a$ministra$or $e la perrera eavenl) o!n$ Tennels, Inc,

o+rece alo>amiento en plan $e pensión para mascotas La comi$a $e los perros alo>a$os en la perrera se prepara me&clan$o tres pro$!ctos gran!la$os, con lo c!al se o'tiene !na $ieta 'ien 'alancea$a para los canes La in+ormación so're los tres pro$!ctos se m!estra en la sig!iente ta'la Si Do!glas "!iere aseg!rarse $e "!e ca$a !no $e s!s perros ingiera $iariamente c!an$o menos  1 on&a $e on&as $e prote%nas, 32 on&as $e car'o*i$ratos ) no m7s $e

grasas;"!9 canti$a$ $e ca$a pro$!cto en grano $e'er7 incl!irse en el alimento $e los perros a ?n $e minimi&ar los costos $e Do!glas< Nota( 1 on&as  1

li'ra2 PROD5C.O EN GRANO A 4 C

COS.O POR LI4RA 382 30 3/

PRO.EINAS K / 22 0

CAR4OIDRA.OS K 2 13 /3

GRASAS K 0 / 1

Sol!ción $el pro'lema Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 112

2


P7gina( 1/2

Investigación Operativa I 


De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ en li'ras $e pro$!cto A @/  Canti$a$ en li'ras $el pro$!cto 4 @0  Canti$a$ en li'ras $el pro$!cto C

B!nción o'>etivo( Minimi&ar   382@ 1  30@/  3/@0  Restricciones 3/@1  322@/  30@0  32 por prote%nas 332@1  313@/  3/3@0  33/2 por car'o*i$ratos 330@1  33/@/  331@0  3301/2 por grasas  No negativi$a$ @i 3 F i  1, 0 



/ McNa!g*ton, Inc Pro$!ce $os salsas para carne( Spic) Dia'lo ) Re$ 4aron la m7s s!ave Esta salsa $e *acen me&clan$o $os ingre$iente, A ) 4 Se permite cierto nivel $e _e:i'ili$a$ en las +órm!las $e estos pro$!ctos Los porcenta>es permisi'les, as% como la in+ormación $e ingresos ) costos, aparecen en la

sig!iente ta'la Es posi'le comprar *asta 83 litros $e A ) 03 $e 4 McNa!g*ton

p!e$e ven$er to$a la salsa "!e ela'ore Borm!le !n mo$elo $e programación


P7gina( 1/



lineal c!)o o'>etivo sea ma:imi&ar las ganancias netas o'teni$as por la venta $e estas salsas3 INGREDIEN.E

PRECIO DE VEN.A SALSA A 4 POR LI.RO Spic) Dia'lo C!an$o menos /2K C!an$o menos 23K 002 Re$ 4aron C!an$o m!c*o 2K ] /2 Costo por litro 13 /2 ] no e:iste !n porcenta>e m7:imo o m%nimo e:pl%cito Sol!ción $el pro'lema  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e litros $e ingre$iente A para Salsa Spic) Dia'lo @/  Canti$a$ $e litros $e ingre$iente A para Salsa Re$ 4aron @0  Canti$a$ $e litros $e ingre$iente 4 para Salsa Spic) Dia'lo @8  Canti$a$ $e litros $e ingre$iente 4 para Salsa Re$ 4aron 



B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   002@ 1  @0  /2@/  @8 W 1@1  @/ W /2@0  @8   12@1  3@/  1/2@0  3/@8

Restricciones @1  3/2@1  @0 32@1 W 3/2@0  3 @/  32@/  @8 3/2@/ W 32@8  3 @0  323@1  @0 W323@1  323@0  3 @1  @/  83 @0  @8  03

No negativi$a$ @i 3 F i  1, 8 

Datos para entra$a $el Solver

conteni$o $e A en la salsa Spic) conteni$o $e A en la salsa Re$ conteni$o $e 4 en la salsa Spic) m7:ima compra $e litros $e A m7:ima compra $e litros $e 4


3


P7gina( 1/



Sali$a $el Solver

0 La Core) An$ers Spice Compan) $ispone $e !na canti$a$ limita$a $e tres ingre$ientes "!e se !tili&a para pro$!cción $e con$imentos Core) emplea los tres ingre$ientes 431, 43/ ) 430 para la ela'oración $e c-rc!ma )

pimentón El $epartamento $e merca$otecnia in+orma "!e la compa#%a p!e$e ven$er to$o el pimentón "!e sea capa& $e pro$!cir, pero solamente se p!e$e ven$er !n m7:imo $e 133 'otellas $e c-rc!ma Los ingre$ientes no !tili&a$os po$r7n ven$erse en el merca$o Los precios est7n e:presa$os en on&a Los

precios act!ales son( 431, 33F 43/, 33F 430, 322 A$em7s, Core) *a ?rma$o !n contrato para s!ministrar 33 'otellas $e pimentón a HalWMart En la sig!iente ta'la se o+rece in+ormación a$icional Borm!le el pro'lema $e Core) como !n mo$elo $e programación lineal para ma:imi&ación $e ingresos1

INGREDIEN.ES ON4O.ELLA

DEMANDA

PRECIO VEN.A

C-rc!ma Pimentón Disponi'ili$a$

431 8 0

43/ / /

430 4O.ELLAS 4O.ELLA 1 133 0/2 0 ilimita$a /2


1


P7gina( 1/


on&as


333

333

333

Sol!ción $el pro'lema  De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e 'otellas $e C-rc!ma @/  Canti$a$ $e 'otellas $e Pimentón B!nción o'>etivo Ma:imi&ar   0/2@1  /2@/  33333 W 8@1 W 0@/  33333 W /@1 W /@/  322333 W @1 W 0@/   1823 W 282@1 W 2@/  Restricciones 8@1  0@/  333 por on&as $e 431 /@1  /@/  333 por on&as $e 43/ 1@1  0@/  333 por on&as $e 430 @1  133 'otellas $e @/  33 C-rc!ma contrato para Pimentón No  negativi$a$ @i  3F i  1, / 

Sol!ción GLP

:

X21701

2.0 X1 + 2.0 X2 = 9000.0

: 4.0 X1 + 3.0 X2 = 8000.0

16211541

1461 0.0 X2 = 1700.0

: 1.0 X1 +

13811301

1221 10611 141 981 901 821

741661

:

0.0 X1 +

581 501421

Payoff:

1.1 X1 +

2.1 X2 = 1260.0

341261 181101 0 901827364554637281909910111213141516171800 Optimal Decisios!X1"X2#: ! 0.0" 600.0# : 4.0X1 + 3.0X2 $= 8000.0 : 2.0X1 + 2.0X2 $= 9000.0 : 1.0X1 + 3.0X2 $= 7000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 $= 1700.0 : 0.0X1 + 1.0X2 &= 600.0


X1

1.0 X2 = 600.0

: 1.0 X1 +

3.0 X2 = 7000.0


P7gina( 1/



Sali$a $el Solver

8 G!) C*!ng, s!perinten$ente $e los e$i?cios ) $el terreno circ!n$ante $e la

5niversi$a$ Gótica, *a planea$o aplicar +ertili&ante al c9spe$ $el 7rea c!a$rang!lar a principios $e la primavera Ese pra$o necesita por lo menos las canti$a$es $e nitrógeno, +ós+oro ) potasio "!e ?g!ran en la sig!iente ta'la( MINERAL Nitrógeno Bós+oro Potasio

PESO MINIMOLI4RAS 13  2

a) tres tipos $e +ertili&ante comercial $isponi'lesF los an7lisis ) precios por 1333 li'ras se enlistan en la sig!iente ta'la G!) p!e$e comprar c!al"!ier canti$a$ $e c!al"!iera $e los +ertili&antes "!e "!iera ) com'inarlos antes $e aplicarlos al c9spe$ Borm!le !n mo$elo $e PL "!e $etermine la canti$a$ $e


P7gina( 103



ca$a +ertili&ante "!e $e'e comprar para satis+acer los re"!erimientos con !n costo m%nimo/ Bertili&ante I II III

Conteni$o $e Conteni$o $e Conteni$o $e nitrógeno li' +ós+oro li' potasio li' Precio  /2 13 2 13 13 2 13  2 13 2 

Sol!ción $el pro'lema  De?nición $e varia'les @1  Miles $e li'ras $e Bertili&ante I @/  Miles $e li'ras $e Bertili&ante II @0  Miles $e li'ras $e Bertili&ante III B!nción o'>etivo( Minimi&ar   13@1  @/  @0  Restricciones /2@1  13@/  2@0  conteni$o $e 13 nitrógeno 13@1  2@/  13@0  conteni$o $e +ós+oro  conteni$o $e potasio 2@1  13@/  2@0  2  No negativi$a$ @i  3F i  1, 0 



Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 11

/


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2 La E'el Mining Compan) es propietaria $e $os minas "!e pro$!cen cierto tipo $e mineral Dic*as minas est7 locali&a$as en $istintas partes $el pa%s ), en

consec!encia, presentan $i+erencias en s!s capaci$a$es $e pro$!cción ) en la cali$a$ $e s! mineral Desp!9s $e ser moli$o el mineral se clasi?ca en tres clases $epen$ien$o $e la cali$a$( alta Me$ia ) 'a>a E'el *a si$o contrata$a para s!ministrar semanalmente a la planta $e +!n$ición $e s! compa#%a matri& 1/ tonela$as $e mineral $e alta cali$a$,  tonela$as $e cali$a$ me$iana ) /8 tonela$as $e cali$a$ 'a>a A E'el le c!esta  /3333 $iarios operar la primera mina )  1333 la seg!n$a Sin em'argo en !n $%a $e operación la primera mina pro$!ce  tonela$a $e mineral $e alta cali$a$, / tonela$as $e me$iana ) 8 tonela$as $e 'a>a, mientras "!e la seg!n$a pro$!ce / tonela$as $iarias $e material $e alta cali$a$, / $e me$iana ) 1/ $e 'a>a ;C!7ntos $%as a la semana ten$r7 "!e +!ncionar ca$a mina para c!mplir los compromisos $e E'el $e la manera m7s económica posi'le< En este caso res!lta acepta'le programar la operación $e las minas en +racciones $e $%a 0

Sol!ción $el pro'lema 

 



De?nición $e varia'les @1  N-mero $e $%as a la semana +racción $e semana $e tra'a>o $e la Mina 1 @/  N-mero $e $%as a la semana +racción $e semana $e tra'a>o $e la Mina / B!nción o'>etivo( Minimi&ar   /3@ 1  1@/ miles $e $ólares Restricciones @1  /@/  1/ /@1  /@/   8@1  1/@/  /8 @1  @/  2 No negativi$a$ @i  3F i  1 /

mineral $e alta cali$a$ mineral $e cali$a$ me$iana mineral $e 'a>a cali$a$ m7:imo tiempo 1 semana 2 $%as


0


P7gina( 10/



Sol!ción GLP 6 : 6.0 X1 +

2.0 X2 = 12.0

Payoff: 20.0 X1 + 16.0 X2 = 68.0 4

: 1.0 X1 +

1.0 X2 =

5.0

2

: 2.0 X1 +

2.0 X2 =

: 4.0 X1 + 12.0 X2 = 24.0

8.0

0 0

2

4

6

8

10

Optimal Decisios!X1"X2#: ! 1.0" 3.0# : 6.0X1 + 2.0X2 &= 12.0 : 2.0X1 + 2.0X2 &= 8.0 : 4.0X1 + 12.0X2 &= 24.0 : 1.0X1 + 1.0X2 $= 5.0

Datos $e entra$a para Solver PROD5CCION DE MINERALES EN E4EL MINING COMPANY Pro$!cción en D%as $e la semana Costo $iario $e operación

Mina /

Mina 1

1 1 MIN /3333 1333 0333

5SO DE RES.RICCIONES REC5RSOS Pro$!cción mineral alta c  Pro$!cción mineral me$iana c / Pro$!cción mineral 'a>a c 8 .iempo m7:imo !na semana 1

/ / 1/ 1

5.ILIADO LIMI.E   1/ 8   1  /8 /  2

NO 5.ILIADO W8 W8 W 0

Datos $e sali$a $el Solver Mina Mina Pro$!cción en 1 / 0 MIN D%as $e la semana 1 Costo $iario $e operación /3333 1333 333


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RES.RICCIONES Pro$!cción mineral alta c Pro$!cción mineral me$iana c Pro$!cción mineral 'a>a c .iempo m7:imo !na semana


 / 8 1

NO 5.ILIADO LIMI.E 5.ILIADO / 1/  1/ ,0/EW1/ / 1/ 1

  83  8 

 /8 2

,0/EW1/ 1 1

 La Sall) Solar Car CO, tiene !na planta "!e +a'rica a!tomóviles se$7n, $eportivos ) camionetas Los precios $e venta, costos varia'les ) costos ?>os correspon$ientes a la man!+act!ra $e estos ve*%c!los

se presentan en la sig!iente ta'la(

MODELO Se$an Camioneta Deportivo

CON.RI45CION A LAS GANANCIAS  333 333 11333

VARIA4LE DE PROD5CCION .IEMPORS 1/ 12 /8

COS.OS BIJOS  /333333 0333333 333333

Rall) *a reci'i$o recientemente pe$i$os por !n total $e 133 a!tomóviles se$an, /33 camionetas ) 033 a!tomóviles $eportivos De'er7 aten$er to$os estos pe$i$os Ella $esea planear la pro$!cción $e manera "!e p!e$a alcan&ar el p!nto $e e"!ili'rio con la ma)or rapi$e& posi'le, es $ecir, "!iere aseg!rarse "!e el margen total $e contri'!ción sea ig!al al total $e costos ?>os ) "!e los costos varia'les

$e pro$!cción sean m%nimos Borm!le este pro'lema como !n mo$elo $e programación lineal ) res!9lvalo8 Sol!ción $el pro'lema(  De?nición $e varia'les @1  canti$a$ $e a!tomóviles Se$an @/  canti$a$ $e Camionetas @0  Canti$a$ $e a!tomóviles Deportivos B!nción o'>etivo( .iempo M%nimo   1/@1  12@/  /8@0  Restricciones @1 W /333  3 pro$!cción $e a!tomóviles se$an @/ W 0333  3 pro$!cción $e camionetas 11@0 W 333  3 pro$!cción $e a!tomóviles $eportivos :1  133 canti$a$ $e a!tomóviles se$an :/  /33 canti$a$ $e camionetas @0  033 canti$a$ $e a!tomóviles $eportivos  No negativi$a$ @i  3F i  1, 0 


8


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Sali$a $el Solver

 Reese Eic*ler, +a'ricante $e e"!ipo complementario para ?ltración $el aire,

pro$!ce $os tipos $e !ni$a$es, el 5mi$aire ) el Depollinator Los $atos re+erentes a los precios $e venta ) a los costos aparecen en la sig!iente ta'la La compa#%a Resse *a si$o contrata$a para s!ministrar 233 5mi$aire ) $esea calc!lar las canti$a$es $el p!nto $e e"!ili'rio $e am'os tipos $e !ni$a$

Borm!le el mo$elo $e PL para minimi&ar los costos ) res!9lvalo2 Pro$!cto 5mi$aire Depollinator 

Precio $e venta Costos varia'les Costos ?>os  por !ni$a$  por !ni$a$  823 /83 123333 33 03 /83333

De?nición $e varia'les @1  Canti$a$ $e !ni$a$es $e 5mi$aire @/  Canti$a$ $e !ni$a$es $e Depollinator

B!nción o'>etivo( Minimi&ar   /83@1  03@/  Restricciones 823@1 W /83@1 W 123333  3 F /13@1  123333 

Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 11

2


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33@/ W 03@/ W /83333  3 F 083@/  /83333 @1  233 No  negativi$a$ @i  3F i  1, / Sol!ción GLP

: 210.0 X1 + 0.0 X2 = 150000.0 Payoff: 240.0 X1 + 360.0 X2 = 425546.2 X2 95010 00 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250

:

1.0 X1 + 0.0 X2 = 500.0

:

1502 00 100 50 0 0

50

0.0 X1 + 340.0 X2 = 240000.0

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

X1

Optimal Decisios!X1"X2#: !714.3" 705.9# : 210.0X1 + 0.0X2 &= 150000.0 : 0.0X1 + 340.0X2 &= 240000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 &= 500.0

P!nto $e e"!ili'rio :1  233 ) :/  32 Datos $e entra$a Solver

Sali$a Solver


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 5na compa#%a opera c!atro gran>as, c!)os gra$os $e pro$!ctivi$a$ son compara'les Ca$a !na $e las gran>as tiene cierta canti$a$ $e *ect7reas -tiles ) $e *oras $e tra'a>o para plantar ) c!i$ar la cosec*a Los $atos correspon$ientes a la pró:ima tempora$a aparecen en la sig!iente ta'la EC.AREAS 5.ILES 233 33 033 33

GRANJA 1 / 0 8

ORAS DE .RA4AJO DISPONI4LES POR MES 133 0333 33 //33

La organi&ación est7 consi$eran$o la opción $e plantar tres c!ltivos $istintos Las $i+erencias principales entre estos c!ltivos son las

ganancias espera$as por *ect7rea ) la canti$a$ $e mano $e o'ra "!e ca$a !no re"!iere, como se in$ica en la sig!iente ta'la

C5L.IVO A 4 C

EC.AREAS MA@IMAS 33 33 033

ORAS MENS5ALES DE .RA4AJO POR EC.AREA / 8 0

GANACIAS ESPERADAS POR EC.AREA  233 /33 033

A$em7s, el total $e las *ect7reas "!e p!e$en ser $e$ica$as a c!al"!ier c!ltivo en partic!lar est7n limita$as por los re"!erimientos asocia$os por concepto $e e"!ipo $e ciega Con la ?nali$a$ $e mantener !na carga $e tra'a>o m7s o menos !ni+orme entre las $istintas gran>as, la pol%tica $e la a$ministración recomien$a "!e el porcenta>e $e *ect7reas planta$as $e'er7 ser ig!al para to$as las gran>as Sin em'argo, en c!al"!iera $e esas ?ncas p!e$e crecer c!al"!ier com'inación $e c!ltivos, siempre ) c!an$o se satis+agan to$as las

restricciones incl!i$o el re"!erimiento $e la carga $e tra'a>o sea

!ni+orme La a$ministración $esea sa'er c!antas *ect7reas $e ca$a c!ltivo ten$r7 "!e


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plantar en s!s respectivas ganancias espera$as 





De?nición $e varia'les @11  Canti$a$ $e a Gran>a @1/  Canti$a$ $e a Gran>a @10  Canti$a$ $e a Gran>a @18  Canti$a$ $e a Gran>a @/1  Canti$a$ $e a Gran>a @//  Canti$a$ $e a Gran>a @/0  Canti$a$ $e a Gran>a @/8  Canti$a$ $e a Gran>a @01  Canti$a$ $e a Gran>a @0/  Canti$a$ $e a Gran>a @00  Canti$a$ $e a Gran>a @08  Canti$a$ $e a Gran>a 8

$el 1 $el / $el 0 $el 8 $el 1 $el / $el 0 $el 8 $el 1 $el / $el 0 $el

gran>as,

A

?n

$e

ma:imi&ar

las

C!ltivo A en la C!ltivo A en la C!ltivo A en la C!ltivo A en la C!ltivo 4 en la C!ltivo 4 en la C!ltivo 4 en la C!ltivo 4 en la C!ltivo C en la C!ltivo C en la C!ltivo C en la C!ltivo C en la

B!nción o'>etivo( Ma:imi&ar   233@11  233@1/  233@10  233@18  /33@/1  /33@//  /33@/0  /33@/8  033@01  033@0/  033@00  033@08 Restricciones @11  @/1  @01  233 a $e c!ltivo en Gran>a 1 @1/  @//  @0/  33 a $e c!ltivo en Gran>a / @10  @/0  @00  033 a $e c!ltivo en Gran>a 0 @18  @/8  @08  33 a $e c!ltivo en Gran>a 8 /@11  8@/1  0@01  133 oras $e tra'a>o en Gran>a 1 /@1/  8@//  0@0/  0333 oras $e tra'a>o en Gran>a / /@10  8@/0  0@00  33 oras $e tra'a>o en Gran>a 0 /@18  8@/8  0@08  //33 oras $e tra'a>o en Gran>a 8 @11  @1/  @10  @18  33 a $e c!ltivo A @/1  @//  @/0  @/8  33 a $e c!ltivo 4 @01  @0/  @00  @08  033 a $e c!ltivo C C!mplimiento $e $istri'!ción !ni+orme 500 900 300 





700

X34 33@11  @/1  @01 W 233@1/  @//  @0/  3 Distr G1 ) G/ 233@10  @/0  @00 W 033@11  @/1  @01  3 Distr G1 ) G0 33@11  @/1  @01 W 233@18  @/8  @08  3 Distr G1 ) G8 X11  X21  X31



X12  X22  X32

X13  X23  X33

X14 X24

No negativi$a$ @i>  3F i  1, 0F >  1, 8 i  C!ltivoF >  Gran>a

Entra$a $e $atos para Solver Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 11




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Sali$a Solver

 La a$ministración $e !n vi#e$o $esea com'inar c!atro cosec*as $istintas para pro$!cir tres tipos $istintos $e vinos en +orma com'ina$a Las e:istencias $e las cosec*as ) los precios $e venta $e los vinos com'ina$os se m!estran en la

sig!iente ta'la, >!nto con ciertas restricciones so're los porcenta>es incl!i$os en la composición $e las tres me&clas En partic!lar, las cosec*as / ) 0 en con>!nto $e'er7n constit!ir c!an$o menos 2K $e la me&cla $e A ) c!an$o menos 02K $e la me&cla C A$em7s, la me&cla A $e'er7 contener c!an$o menos el K $e la cosec*a 8, mientras "!e la me&cla 4 $e'er7 contener por lo menos 13K $e la cosec*a / ) a lo s!mo 02K $e la cosec*a 8 Se po$r7 ven$er c!al"!ier

canti$a$


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"!e se ela'ore $e las me&clas A, 4 ) C Borm!le !n mo$elo PL "!e aprovec*e $e me>or +orma las cosec*as $isponi'les ) res!9lvalo

Me&cla A 4 C

1 ] ] ]

E:istencias 103

Cosec*a / 0 8 c!an$o menos 2K / Y 0 c!an$o en c!al"!ier proporción menos K c!an$o menos] c!an$o 13K m!c*o 02K C!an$o menos 02K / ) 0 ] en c!al"!ier proporción /33 123 023

Precio $e ventagalón 3 23 02

galones ] in$ica "!e no e:iste restricción alg!na 





De?nición $e varia'les @11  Canti$a$ $e galones me&cla @1/  Canti$a$ $e galones me&cla @10  Canti$a$ $e galones me&cla @/1  Canti$a$ $e galones me&cla @//  Canti$a$ $e galones me&cla @/0  Canti$a$ $e galones me&cla @01  Canti$a$ $e galones me&cla @0/  Canti$a$ $e galones me&cla @00  Canti$a$ $e galones me&cla @81  Canti$a$ $e galones me&cla @8/  Canti$a$ $e galones me&cla @80  Canti$a$ $e galones me&cla C

$e vino A $e vino 4 $e vino C $e vino A $e vino 4 $e vino C $e vino A $e vino 4 $e vino C $e vino A $e vino 4 $e vino

$e la cosec*a 1 para $e la cosec*a 1 para $e la cosec*a 1 para $e la cosec*a / para $e la cosec*a / para $e la cosec*a / para $e la cosec*a 0 para $e la cosec*a 0 para $e la cosec*a 0 para $e la cosec*a 8 para $e la cosec*a 8 para $e la cosec*a 8 para

B!nción O'>etivo Ma:imi&ar  3@11  3@/1  3@01  3@81  23@1/  23@//  23@0/  23@8/  02@10  02@/0  02@00  02@80 Restricciones @/1  @01  32@11  @/1  @01  @81 por lo menos 2K $e / ) 0 en A @81  33@11  @/1  @01  @81 c!an$o menos el K en A @//  313@1/  @//  @0/  @8/ c!an$o menos el 13K en 4 @8/  302@1/  @//  @0/  @8/ c!an$o m!c*o el 02K en 4 @/0  @00  302@10  @/0  @00  @80 por lo menos 02K $e / )

0 en C @11  @1/  @/1  @//  @/0 cosec*a @01  @0/  @00 cosec*a @81  @8/  @80 cosec*a 8 

@10  103 m7:imo $e galones $e cosec*a 1  /33 m7:imo $e galones $e /  123 m7:imo $e galones $e 0  023 m7:imo $e galones $e

No negativi$a$ @i>  3F i  1, 8F >  1, 0

Eppen Investigación $e opresiones en la ciencia a$ministrativa Prentice all Pag 11




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Ejercicios Resuletos-Investigacion de Operaciones

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