ESATDÍSTICA EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS

PRUEBA DE HIPÓTESIS A. MUESTRAS GRANDES 1. Una cadena de restaurantes afirma que el tiempo promedio de espera de clientes por atender está distribuido normalmente con una media de 3 minutos y una desviación estándar de 1 minuto. Su departamento de aseguramiento de calidad halló en una muestra de 50 clientes en un cierto establecimiento que el tiempo medio de espera era de 2.75 minutos. Al nivel de significación de 0.05, ¿es dicho tiempo menor de 3 minutos? a) b) c) d) e)

Enuncie la hipótesis nula y alternativa. Formule la regla de decisión. Calcule el valor estadístico de la prueba. Interprete el resultado. ¿Cuál es el valor de p?

Datos:

x = 2.75 s =1 n = 50 α = 5% Planteamiento de la Hipótesis:

H0 : µ < 3 H1 : µ ≥ 3 Nivel de significancia y tipo de prueba:

α = 5% Tipo de Prueba: Prueba de extremo derecho. Selección del estadístico de prueba:

z=

x−µ σx

2.75 − 3 0.141 z = −1.773 z=

s n 1 σx = 50 σ x = 0.141

σx =

Valores críticos de la prueba: Prueba de Hipótesis Tarea Nº 2

Página 1

zc → f (α ) → zc (α = 5%) ExtremoDerecho

Toma de decisión: Se acepta

H0

Conclusión de la prueba: Hay evidencias que la afirmación de la cadena de restaurantes es verdadera. 2. El peso de los pollos de una granja sigue una normal con media 2.6 Kg. y desviación estándar 0.5 Kg. Se experimenta un nuevo tipo de alimentación con 49 crías. Cuando se hacen adultas se las pesa resultando una media de 2.78 Kg. Puede afirmarse que el peso ha aumentado o por el contrario se ha mantenido con un nivel de significación del 2%. Datos:

x = 2.78 s = 0.5 n = 49 α = 2% Planteamiento de la Hipótesis:

H 0 : µ ≥ 2.6 H1 : µ < 2.6 Nivel de significancia y tipo de prueba:

Prueba de Hipótesis Tarea Nº 2

Página 2

α = 2% Tipo de Prueba: Prueba de extremo izquierdo. Selección del estadístico de prueba:

s n 0.5 σx = 49 σ x = 0.07

σx =

x−µ z= σx 2.78 − 2.6 0.07 z = 2.57 z=

Valores críticos de la prueba:

zc → f (α ) → zc (α = 2%) : ExtremoIzquierdo


H0

Conclusión de la prueba: Hay evidencias de que la afirmación de que el peso de los pollos ha aumentado. 3. Su posición como representante de mercadeo para El Juguetón, un fabricante de carros y camiones de juguete para niños menores de 5 años, requiere que usted pruebe la durabilidad del producto. Su compañía afirma que el Richard Petty Rapid Roller soporta por lo menos 200 lbs/pulg² como mínimo sin dañarse. Usted prueba 100 de estos modelos y halla un punto de equilibrio promedio de 195 lbs/pulg², con una desviación estándar de 22.2 libras; con un nivel de significación de 0.01 determine si la afirmación de la compañía es verdadera.


Página 3

Datos:

x = 195 s = 22.2 n = 100 α = 1% Planteamiento de la Hipótesis:

H 0 : µ ≥ 200 H1 : µ < 200 Nivel de significancia y tipo de prueba:


x−µ z= σx 195 − 200 2.22 z = −2.25 z=

s n 22.2 σx = 100 σ x = 2.22

σx =


zc → f (α ) → zc (α = 1%) ExtremoIzquierdo


Página 4


H0

Conclusión de la prueba: Hay evidencias de que la afirmación de la compañía es verdadera. 4. Inspectores de gobierno, al investigar los cargos levantados contra una embotelladora de bebidas que no llenaba adecuadamente sus productos, han muestreado 200 botellas y encontraron que el promedio de llenado es aproximadamente 930 ml. Se anuncia que las botellas contienen 946.33 ml. Se sabe que la desviación estándar de la población es 44.36 ml. Debería concluir los inspectores, al nivel de significancia de 2% que las botellas están siendo llenadas con menos contenido? Datos:

x = 930 s = 44.36 n = 200 α = 2% Planteamiento de la Hipótesis:

H 0 : µ < 946.33 H1 : µ ≥ 946.33 Nivel de significancia y tipo de prueba:

α = 2% Prueba de Hipótesis Tarea Nº 2

Página 5

Tipo de Prueba: Prueba de extremo derecho. Selección del estadístico de prueba:

s n 44.36 σx = 200 σ x = 3.14

σx =

x−µ z= σx 930 − 946.33 3.14 z = −5.20 z=


zc → f (α ) → zc (α = 2%) ExtremoDerecho

Toma de decisión:

Se acepta

H0

Conclusión de la prueba: Hay evidencias de que los inspectores deberían concluir que las botellas están siendo llenadas con menos contenido. 5. Una cadena regional de tiendas de abarrotes ha instalado cajas automáticas computarizadas para reducir la espera del usuario, así como también para ayudar en el control de inventarios. Los 36 empleados entrenados en las nuevas máquinas promediaron 12.4 intentos antes de lograr una transacción libre de errores. La larga experiencia con cajeros entrenados para manejar las antiguas cajas registradoras mostraba un promedio de 11.6 intentos antes de lograr una operación perfecta, con una desviación estándar de 2.7 intentos. Con un nivel de significancia de 0.01 Debería la cadena concluir que las nuevas registradoras computarizadas son más difíciles de aprender a manejar?


Página 6

Datos:

x = 11.6 s = 2. 7 n = 36 α = 1% Planteamiento de la Hipótesis:

H 0 : µ > 12.4 H1 : µ ≤ 12.4 Nivel de significancia y tipo de prueba:


x−µ z= σx 11.6 − 12.4 0.45 z = −1.77 z=

s n 2.7 σx = 36 σ x = 0.45

σx =


zc → f (α ) → zc (α = 1%) EztremoIzquierdo


Página 7

Toma de decisión: Se acepta H 0 Conclusión de la prueba: Hay evidencias de que la cadena debería concluir que las nuevas registradoras computarizadas son más difíciles de aprender a manejar. B. MUESTRAS PEQUEÑAS 1. Un documental de televisión acerca de la alimentación excesiva afirmaba que los habitantes de un poblado tienen un sobre peso aproximado de 10 lb. en promedio. Para probar esta afirmación se examinó a 18 individuos elegidos aleatoriamente, y se encontró que sus sobre peso es de 12.4 lb. Con una desviación estándar de muestra 2.7 lb; a un nivel de significancia de 0.05, hay alguna razón para dudar de la validez del valor afirmado de 10 lb. Datos:

x = 12.4 s = 2. 7 n = 18 α = 5% Planteamiento de la Hipótesis:

H 0 : µ = 10 H1 : µ ≠ 10 Nivel de significancia y tipo de prueba:

α = 5% Tipo de Prueba: Prueba de dos extremos. Prueba de Hipótesis Tarea Nº 2

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Selección del estadístico de prueba:

s n 2.7 σx = 18 σ x = 0.63

σx =

x−µ t= σx 12.4 − 10 0.63 t = 3.8 t=

Valores críticos de la prueba: c→

f (α ) → zc (α = 5%) DosExtremos


H0

Conclusión de la prueba: 2. Una corredora de bienes raíces tomó una muestra aleatoria de 12 hogares de un barrio de la localidad y encontró que el valor de mercado promedio estimado era $ 78000, con una desviación estándar de $ 4900. Pruebe la hipótesis de que para todas las casa del área el valor estimado medio es de $ 82500 frente a la otra opción que es menos de $ 82500, asuma una distribución normal y utilice un nivel de significancia de 0.05.


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x = 78000 s = 4900 n = 12 α = 5% Planteamiento de la Hipótesis:



x−µ t= σx 78000 − 82500 1415 t = −3.18 t=

s n 4900 σx = 12 σ x = 1415

σx =


f (α ) → zc (α = 5%) ExtremoIzquierdo


Página 10


H0

Conclusión de la prueba: Una empresa de servicio postal garantiza a su empresa que puede reducir el tiempo promedio necesario para recibir un paquete a menos de 2.5 días que es lo que usted experimenta actualmente. Después de utilizar la nueva compañía en 17 ocasiones, el tiempo de entrega promedio fue de 2.2 días y la desviación estándar fue de 0.9 días. ¿Debería cambiar su firma a la nueva empresa de mensajería?, Sea α = 1%. 3.



α = 1% Tipo de Prueba: Prueba de Extremo derecho. Selección del estadístico de prueba:

x−µ t= σx 2.2 − 2.5 0.21 t = −1.42 t=

s n 0.9 σx = 18 σ x = 0.21

σx =


f (α ) → zc (α = 1%) ExtremoDerecho


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Toma de decisión: Se acepta Conclusión de la prueba:

H0

4. Un ensayo sobre resistencia a la rotura de 6 cuerdas fabricadas por una compañía mostró una resistencia media de 7750 lb. y una desviación típica de 145 lb. Mientras que el fabricante sostiene que la resistencia media de sus cuerdas era de 8000 lb. ¿Se puede admitir la afirmación del fabricante al nivel de significación de 0.05?

x = 78000 s = 4900 n = 12 α = 5% Planteamiento de la Hipótesis:




Página 12

s n 4900 σx = 12 σ x = 1415

σx =

x−µ t= σx 78000 − 82500 1415 t = −3.18 t=




H0

Conclusión de la prueba: 5. Los registros llevados por una gran tienda por departamentos indican que en el pasado las ventas semanales tenían un promedio de $ 5.775. Para incrementar las ventas, la tienda comenzó recientemente una campaña agresiva de publicidad. Después de 15 semanas las ventas promediaron $ 6.012 con s = 977. La tienda debería seguir con el programa publicitario, fije un nivel de significación de 1%.



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α = 1% Tipo de Prueba: Prueba de Extremo derecho. Selección del estadístico de prueba:

s n 0.9 σx = 18 σ x = 0.21

σx =

x−µ t= σx 2.2 − 2.5 0.21 t = −1.42 t=




H0

Conclusión de la prueba:

C. PROPORCIONES 1. Tradicionalmente el 35% de todos los créditos otorgados por el banco de la localidad han sido para micro empresas. Durante el año


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pasado, el banco ha hecho esfuerzos por incrementar esta proporción. De 150 créditos anualmente en curso, 56 están identificados claramente por haber sido otorgados a las microempresas. ¿El banco ha tenido éxito en sus esfuerzos por atraer más clientes de las minorías? Pruebe la hipótesis con un nivel de significación del 5%. Datos:

n = 150

α = 5% 56 p= 150 Planteamiento de la Hipótesis:

H 0 : π > 0.35 H1 : µ ≤ 0.35 Nivel de significancia y tipo de prueba:


z=

p −π σp

0.37 − 0.35 0.04 t = 0.5 t=

σp =

p (1 − p) n

0.37(1 − 0.37) 150 σ p = 0.04

σp =


f (α ) → z c (α = 5%) ExtremoIzquierdo


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H0

Conclusión de la prueba: 2. Un fabricante de salsa de tomate está en el proceso de decidir si produce una nueva marca extra condimentada. El departamento de investigación de mercado de la compañía empleó una encuesta telefónica nacional de 6000 hogares y encontró que la salsa de tomate extra condimentada sería comprada por 335 de ellos. Un estudio mucho más extenso hecho hace dos años mostraba que 5% de los hogares en ese entonces había comprado el producto. A un nivel de significación del 2%, debería la compañía concluir que ahora existe un mayor interés en el sabor extra condimentado? Datos:

n = 6000 α = 2% p=

335 6000

Planteamiento de la Hipótesis:


α = 2% Tipo de Prueba: Prueba de extremo izquierdo.


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Selección del estadístico de prueba:

z=

p −π σp

σp =

p (1 − p ) n

0.055(1 − 0.055) 6000 σ p = 0.009

0.055 − 0.05 0.003 t = 1.1

σp =

t=




H0

3. Un fabricante de blusas de vestir para mujer, sabe que su marca se vende en 19% de las tiendas de ropa para mujer ubicadas en el país; el fabricante tomó una muestra de 85 tiendas y encontró que el 14.12% de las tiendas vendían la marca. A un nivel de significancia de 0.02, existe evidencia que la marca del fabricante ha disminuido en sus ventas? Datos:

n = 85

α = 2% p = 0.02


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Planteamiento de la Hipótesis:

H 0 : π < 0.19 H1 : µ ≥ 0.19 Nivel de significancia y tipo de prueba:

α = 2% Tipo de Prueba: Prueba de extremo Derecho. Selección del estadístico de prueba:

z=

p −π σp

σp =

p (1 − p) n

0.1412(1 − 0.1412) 85 σ p = 0.04

0.1412 − 0.19 0.04 z = −1.22

σp =

z=




H0

Conclusión de la prueba: 4. El director de personal de una compañía de seguros grande está interesado en reducir la tasa de movimientos de los oficinistas encargados de procesar datos durante su primer año de empleo. Registros anteriores indican que 25% del total de las nuevas contrataciones es esta área ya no se encuentran en la compañía al


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final del primer año. Se están instrumentando programas de entrenamiento extensivo para una muestra de 150 oficinistas encargados del procesamiento de datos. Al final de un período de un año de los 150 individuos 29 de ellos ya no se encuentran en la compañía. a. Al nivel de significación de 0.01 Existe evidencia de que la porción de oficinistas encargados del procesamiento de datos que estuvieron en el nuevo programa de entrenamiento y que ya no trabajan en la compañía es menor que 0.25 b. Calcule el valor de p e interprete su resultado

Datos:

n = 150

α = 0.01 p = 0.19 Planteamiento de la Hipótesis:

H 0 : π ≤ 0.25 H1 : µ > 0.25 Nivel de significancia y tipo de prueba:

α = 1% Tipo de Prueba: Prueba de extremo Derecho. Selección del estadístico de prueba:

z=

p −π σp

0.37 − 0.35 0.03 t = −2 t=

σp =

p (1 − p) n

0.37(1 − 0.37) 150 σ p = 0.03

σp =




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H0

5. El Sr. Arias es el jefe de contabilidad de Industrias Acero, el cree que los problemas de flujo de efectivo se deben a la cobranza lenta de cuentas pendientes. Estima que más de 60% de las cuentas están en atraso más de 3 meses. Una muestra de más 200 cuentas señaló que 140 tenían más de tres meses de antigüedad. Al nivel de significación de 0.01, ¿se puede concluir que más del 60% de las cuentas están en retraso por más de tres meses?

Datos:

n = 200

α = 1% 140 p= = 0 .7 200 Planteamiento de la Hipótesis:


α = 1%


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Tipo de Prueba: Prueba de extremo izquierdo. Selección del estadístico de prueba:

z=

p −π σp

σp =

p (1 − p) n

0.37(1 − 0.37) 150 σ p = 0.032

0.37 − 0.35 0.032 t = 3.13

σp =

t=




H0

Conclusión de la prueba:


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ESATDÍSTICA EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS

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