EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD I. Debidos a las altas tasas de interés, una firma informa que 30% de sus cuentas por cobrar de otras firmas comerciales están vencidas. Un contador escoge aleatoriamente una muestra de 5 cuentas. 1. Obtenga la expresión matemática que define a la distribución vencidas.
5
P ( X x ) ( 0.30 )x ( 0.70 )5 - x x 2.
,
de probabilidad del número de cuentas
x 0, 1, 2, , n
Determine la probabilidad de que: a) 2 cuentas estén vencidas
P(X2)
5 ( 0.30 )2 ( 0.70 )3 10 ( 0.09 ) ( 0.343 ) 0.3087 2
b) ninguna este vencida
P (X0)
5 ( 0.30 )0 ( 0.70 )5 ( 1 ) ( 1 ) ( 0.1681) 0.1681 0
c) al menos una este vencida P(X1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.1681 = 0.8319 d) todas estén vencidas
P ( X 5)
5 ( 0.30 )5 ( 0.70 )0 ( 1 ) ( 0.0024 ) ( 1 ) 0.0024 5
II. La probabilidad de que un presunto cliente de un centro comercial escogido aleatoriamente haga una compra es 0.20. Un vendedor visita a 15 presuntos clientes. 1. Determine la probabilidad de que: a) Haga menos de 3 ventas. La variable aleatoria X representará el número de ventas realizadas en la muestra y P ( X 3 ) = P ( X 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ), se obtiene aplicando un modelo binomial con parámetros n = 15 y p = 0.20
P ( X 0)
15 ( 0.20 )0 ( 0.80 )15 ( 1 ) ( 1 ) ( 0.0352 ) 0.0352 0
P ( X 1)
15 ( 0.20 )1 ( 0.80 )14 15 ( 0.20 ) ( 0.0440 ) 0.1319 1
P ( X 2)
15 ( 0.20 )2 ( 0.80 )13 105 ( 0.04 ) ( 0.0550 ) 2
Luego
0.2309
P ( X 3 ) = 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 = 0.3980
b) Haga al menos 3 ventas. P ( X 3 ) = 1 - [ P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) ] = 1 - 0.3980 = 0.602 2. Determine el número esperado de ventas del vendedor y la desviación estándar del número de ventas. E ( X ) = np = 15 ( 0.20 ) = 3 ventas
V ( X ) = np ( 1 – p ) = 15 ( 0.20) ( 0.80 ) = 2.4
X
2.4 1.5492 ventas
III. Un gerente selecciona aleatoriamente 3 individuos de un grupo de 10 empleados para asignarlos a un estudio de clasificación de salarios. Suponga que 4 de los empleados trabajaron previamente en proyectos semejantes. 1. Determine la expresión matemática que define a la distribución de probabilidad del número de empleados con experiencia.
P(X x)
4 6 x 3-x 10 3
x 0, 1, 2, 3
,
2. Determine la probabilidad de que: a) dos tengan experiencia.
4 6 2 3 - 2 P(X 2) 10 3
4 6 2 1 10 3
4 6 0 3 10 3
6(6)
0.30
120
b) ninguno tenga experiencia.
4 6 0 3 - 0 P(X 0) 10 3
( 1 ) (20 ) 0.1667 120
c) a lo sumo 2 tienen experiencia P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X 1)
4 6 1 2 10 3
4 ( 15 ) 0.50 120
Luego P ( X 2 ) = 0.1667 + 0.5000 + 0.3000 = 0.9667 3. Determine el número esperado de empleados con experiencia y la desviación estándar del número de empleados con experiencia. Como p =
A 4 0.4 N 10
E( X ) = np = 3(0.4) = 1.20 empleados V( X ) = np (1 – p)
N-n = 3(0.4)(0.6)( 7 / 9 ) = 0.56 X 0.56 0.7483 empleados N -1
IV. Un producto industrial particular se envía en lotes de 200. Como la prueba para determinar si un artículo está defectuoso es costosa, diseñó un plan de muestreo que recomienda muestrear 5 artículos de cada lote y rechazar el mismo si resulta más de un artículo defectuoso. Si se rechaza se prueba cada artículo del lote. Suponga que un lote contiene 8 artículos defectuosos. 1. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote? n=5, N = 200 y A = 8. P (aceptar el lote) = P ( X 1 ) = P ( X = 0 ) +
5 P ( X 0 ) 0
0.04 0
5 P ( X 1 ) 1
0.04 1 (0.96) 4
(0.96) 5
P(X = 1)
( 1 ) ( 1 ) ( 0.8154 ) 0.81.54
5 ( 0.04 ) ( 0.8493 ) 0.1699
P ( X 1 ) 0.8154 0.1699 0.9853 V. Suponga que el número promedio de vehículos que llegan a un parqueo es de 10 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de qué en una hora determinada lleguen 4 vehículos ? X = 4 se va a obtener aplicando un modelo de Poisson con parámetro = 10
104 e P( X 4 ) 4!
10
10000(0.00004540) 0.4540 0.0189 24 24
VI. Suponga que el número promedio de llamadas que llegan a una Central Telefónica es de 120 por hora. 1) Construya la expresión matemática que define a la distribución de probabilidad del número de llamadas que ocurren en 3 minutos.
(
120 60
) ( 3 ) 2(3) 6
Entonces:
6x e- 6 P(X x) x! 2)
,
x 0, 1, 2,
¿Cuál es la probabilidad de que: i) Se reciban 2 llamadas
P(X 2) ii)
6 2 e- 6 18 e- 6 18 ( 0.0025 ) 0.0450 2!
Se reciba una llamada o más P(X 1) = 1 - P(X = 0)
P(X 0)
60 e- 6 ( 1 ) e- 6 e- 6 0.0025 0! 1
P ( X 1 ) = 1 - 0.0025 = 0.9975
VII. En una fábrica han ocurrido accidentes a razón de una cada dos meses. Suponga que ocurrieron en forma independiente. 1. Determine la probabilidad de que: i) No haya accidente en determinado mes. X representa el número de accidentes que ocurren cada mes. representa el número promedio de accidentes por mes. Entonces vamos a utilizar un modelo de Poisson con =
P( X 0 ) ii)
1
2
= 0.50 accidentes por mes
(0.5)0 e 0.5 (1)e 0.5 e 0.5 0.6065 0! 1
hallan 4 accidentes en determinado trimestre
1 = (3) 1.5 accidentes 2
( 1.5 )4 e- 1.5 5.0625 ( 0.231) P(X 4) 0.0471 4! 24 2. ¿Cuántos accidentes espero en un año? =
1
2
( 12 ) = 6 accidentes
VIII. Se sabe que el 1% de las cuentas de ahorro de un banco están desactivadas. Se selecciona aleatoriamente una muestra de 30 cuentas. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 cuentas estén desactivadas? = 30 ( 0.01 ) = 0.30
P(X 3)
( 0.30 )
3
e
- 0.3
3!
0.027 (0.7408)
0.0033
6
IX. Suponga para cierta marca y modelo de computadora, que el tiempo de operación en forma efectiva (antes de la primera descompostura) sigue una distribución normal con una media de 350 horas y una desviación estándar de 50 horas. 1. ¿Cuál es la probabilidad de qué una computadora de esa marca y modelo opere efectivamente: i) menos de 300 horas Suponga que la variable aleatoria X representa el tiempo de operación en forma efectiva de las computadoras. Sabemos que X N ( = 350 , = 50 ) y que necesitamos calcular P ( X 300 ). Una ilustración gráfica de la estandarización de X y 300 se da a continuación donde se ha sombreado el área representada por P ( X 300 ). = 50 A = 0.1587
A = 0.1587
300
= 350
X
-1
0
Z
Como el evento X 300 corresponde al Caso 1, tenemos que: P ( X 300 ) P Z 300 - 350 50
ii)
P ( Z - 1 ) F ( - 1 ) 0.1587
Por lo menos 280 horas.
Aquí queremos calcular P ( X 280 ). Una ilustración gráfica será la siguiente donde se ha sombreado el área representada por P ( X 280 ). A = 0.9192
= 350
280
X
Como el evento X 280 corresponde al caso 2, tenemos que: P ( X 280 ) = 1 - P ( X 280 ) donde según el caso 1, P ( X 280 ) P Z 280 - 350 50
P ( Z - 1.40)
= F ( - 1.40 ) = 0.0808 Luego P ( X 280 ) = 1 – 0.0808 = 0.9192.
iii)
Entre 300 y 403 horas.
Ahora queremos calcular P ( 300 X 403 ) La ilustración gráfica de esta situación se da a continuación donde se ha sombreado el área que representa P ( 300 X 403 ). A = 0.6967
300
= 350
403
X
Como el evento 300 X 403 corresponde al caso 3, tenemos que: P ( 300 < X < 403) = P ( X 403) - P ( X 300 )
donde según el caso 1,
P ( X 403 ) P Z 403 - 350 50
Luego P ( 300 X 403 ) = 0.8554 - 0.1587 = 0.6967
P ( Z 1.06 ) F (1.06 ) 0.8554
2. Suponga que un momento dado se disponen de 500 computadoras de esa marca y modelo, ¿Cuántas espero que operen en formas efectiva después de 280 horas?. Como hay 500 computadoras espero
500 P ( X 280 ) = 500 ( 0.9192 ) = 459.6 computadoras.
3. ¿En cuántas horas estarán descompuestas el 99% de esas computadoras? Recordemos que X representa el tiempo de operación en forma efectiva de las computadoras. Supongamos que “a” representa el máximo tiempo en horas que tarda en descomponerse el 99% de esas computadoras, entonces. A = 0.99
= 350
a
X
P ( X a ) = 0.99 P Z a - 350 50
Estandarizando X y a obtenemos
P ( Z 2.33 )
El valor 2.33 se encuentra así: Buscamos en el cuerpo de la tabla el valor más cercano a 0.99 que debe ser 0.9901, luego trace a partir de él una línea horizontal imaginaria hasta que toque el margen izquierdo de la tabla en 2.3 ; después trace una línea imaginaria vertical hasta que toque el margen superior de la tabla en 3. Ahora si las áreas acumuladas a la izquierda de
que: a - 350
50
2.33
a - 350 50
y
2.33 son iguales, entonces debe cumplirse
a = 350 + 2.33 (50) =350 + 116.5 = 466.5 horas
X. En la rama de la construcción está establecido por la ley un salario mínimo de C$ 12 por hora para los obreros. Si suponemos que los salarios en esta rama están distribuidos normalmente con una media de C$ 18 por hora y una desviación estándar de C$ 3. i) ¿Qué porcentaje de los obreros podrían iniciar un proceso de demanda por incumplimiento a la ley? Supongamos que la variable aleatoria X representa al salario de los obreros. Sabemos que X N ( = 18 , = 3 ). Cuando el salario X no llega al mínimo se puede iniciar un proceso de demanda, esto es, cuando X 12. Por tanto calcularemos P ( X 12). Una ilustración gráfica de la estandarización de X y 12 aparece a continuación donde se ha sombreado el área representada por P ( X < 12 ). =3 A = 0.0227
A = 0.0227
12
= 18
X
Como el evento X 12 corresponde al caso 1, tenemos que: P ( X 12 ) P Z 12 - 18 3
P ( Z - 2 ) 0.0227
-2
0
Z
El 2.27% de los obreros pueden iniciar un proceso de demanda ii) ¿Cuál es el menor salario que perciben los obreros que representan el 10% de los mejores remunerados? Suponga que c representa el menor salario que perciben el 10% de los mejores remunerados. Entonces P ( X c ) = 0.10 Como el evento X c corresponde al caso 2. 1 - P ( X c ) = 0.10
P ( X c ) = 0.90
P Z c - 18 3
Estandarizando X obtenemos
Luego
P ( Z 1.28 )
c - 18 1.28 c 18 1.28 (3) C$ 21.84 3
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE 1) La población de supermercados de una ciudad se dan en la siguiente tabla. * * * * N° Super 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 Ventas diarias 8.1 (en miles de C$)
7.5
5.4
3.0
6.2 7.0
8.0
2.5
1.8
4.3
3.8
5..5
4.6
15
16
8.3
9.0
3.6
Si X representan las ventas diarias. i) Diga que representan y en el problema. representa la venta diaria promedio de los supermercados y representa la venta diaria total de los supermercados. ii)
Iniciando en la fila 26 y columna 4 de la tabla de números aleatorios y con una dirección horizontal de izquierda a derecha, tome una muestra aleatoria simple de 4 supermercados. Luego márquelos con un *.
Cada número de código tendrá dos dígitos porque la población es de tamaño N = 16. Observando, para la fila 26 y columna 4, los dos primeros dígitos, obtenemos el número 96 que es rechazado porque es mayor que 16. Siguiendo en la dirección horizontal de izquierda a derecha, nos fijaremos ahora sólo en los menores o iguales que 16 y que no se repitan porque el muestreo se está realizando sin reposición. El resultado serán los números: 14, 13, 12 y 05 que corresponden a los supermercados 14, 13, 12 y 05 señalados con un *. 1)
Con la muestra del inciso ii) del ejemplo 1 , Estime , y
Las ventas diarias que corresponden a los supermercados 14, 13, 12 y 05 son presentadas en la siguiente tabla. No. Super 05 12 13 14
Xi
X i2
6.2 5.5 4.6 8.3
38.44 30.25 21.16 68.89 24.6
158.74
n
Xi 24.6 X . 6.15 ( en miles de C$) n 4
N X 16 ( 6.15 ) 98.4 ( en miles C$)
n
2 ( X ) 2 i 24.6 2 . 158.74 Xi 158.74 - 151.29 n 4 S2 . n -1 4 1 3 7.45 2.4833 S 2.4833 1.5758 (en miles de C$ ) 3 n
iii) Obtenga el error de muestreo correspondiente a la estimación de N
Como μ
x N
i
=
88.6 5.5375 entonces em x - μ = 6.15 – 5.5375 = 0.6125 (en miles C$) 16
MUESTRA ALEATORIA SISTEMATICA I) Tome una muestra sistemática de 6 casas a partir de una manzana que comprende 78 casas. 1. 2.
Haga una lista de las 78 casas y numere las 78 casas así: 1, 2, 3, 4, . . . . . . . . . . 78 Obtenga el intervalo de muestreo Como N = 78 y n = 6
,
k
N 78 13 n 6
3. Utilicemos la tabla de números aleatorios para seleccionar de las primeras 13 casas, aquella con la cual debemos comenzar. Utilizando dos dígitos para codificar las casas, y entrando en la fila 2 columna 4 con una dirección descendente obtenemos la casa 07 4. Si seleccionemos cada decimotercera casa, arrancando con la casa 07, obtenemos los siguientes números de casas: 07, 20, 33, 46, 59, 72 II) A partir de una lista de 70 solicitudes de empleo tome una muestra sistemática de 8 solicitudes. 1.
Numeremos las solicitudes así:
2.
Obtenga el intervalo de muestreo.
k original 3.
1, 2, 3, . . . . . . 70
N 70 8.75 n 8
k nuevo 875
Utilicemos la tabla de números aleatorios para seleccionar un número entre 1 y 875
Usando tres dígitos, y entrando por la fila 28 columna 6 con una dirección de izquierda a derecha obtenemos el número 400 4.
A partir de 400 aumente consecutivamente 875 hasta obtener los 8 números 400, 1275, 2150, 3025, 3900, 4775, 5650, 6525
Finalmente se suprimen tantas cifras a la derecha como decimales existan en 8.75 La muestra estará formada por los siguientes números de solicitudes: 4, 12, 21, 30, 39, 47, 56, 65
DISTRIBUCION MUESTRAL DE UN ESTIMADOR 1) Consideremos la población compuesta por 5 representantes de ventas y el número de seguros de vida que vendieron el mes pasado. Representante A B C D E
No. Seguros 8 6 4 10 6
Suponiendo que X representa el número de seguros vendidos. i)
Construya la distribución de la población de X representándola gráficamente.
Seleccionando todos los valores posibles de X y haciéndoles corresponder a cada uno su probabilidad obtenemos. xi
f ( xi )
4 6 8 10
0.20 0.40 0.20 0.20
f(X) 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0
2
4
6
8
10
12 X
1.00 ii) Considerando todas las muestras posibles de tamaño dos que pueden seleccionarse sin reposición y sin orden de la población. Construya la distribución muestral de X representándola gráficamente. Seleccionando todas las muestras posibles de tamaño n = 2 de la población de tamaño N = 5 y calculando para cada una su media muestral obtenemos. . Muestras xi 8, 6 7 8, 4 6 8, 10 9 8, 6 7 6, 4 5 6, 10 8 6, 6 6 4, 10 7 4, 6 5 10, 6 8 Seleccionando todas las medias muestrales posibles y haciéndoles corresponder a cada una su probabilidad obtenemos. f (x i ) xi 5 0.20 6 0.20 7 0.30 8 0.20 9 0.10 1.00
f( X0.35 ) 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
iii) Para la distribución poblacional del ejemplo 1 calcule y xi 4 6 8 10
f ( xi ) 0.20 0.40 0.20 0.20 1.00
2
2
xi fi 0.80 2.40 1.60 2.00 6.80
( xi - 6.8 ) f(xi ) 1.568 0.256 0.288 2.048 4.160
= xi f (xi ) 6.8 2 = (x i - ) 2 f (x i ) 4.16
= 4.16 seguros 2
2
σ 4.16 2.0396 seguros
iv) Para la distribución muestral de la media del ejemplo 1calcule X y
xi
f( x i ) 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 1.0
5 6 7 8 9
Como
2 (x i - 6.8 ) f 0.648 0.128 0.012 0.288 0.484 1.560
x i f( x i ) 1.0 1.2 2.1 1.6 0.9 6.8
X x i f (x i ) 6.8
X2 y verifique que μ X μ
μX μ
Por tanto
y
(x i )
2 X = (x i - X )2 f (x i ) 1.56
X representa el error estándar de la media muestral X , entonces:
X 1.560 1.2490 seguros v) Para la distribución muestral de la media del ejemplo 1calculemos ahora
μX y
X
basándonos en la
distribución poblacional, esto es, aplicando las fórmulas anteriores. Sabemos que = 6.8 seguros y que = 2.0396 seguros Por tanto μ X μ = 6.8 seguros Como las muestras de tamaño n = 2 se seleccionaron sin reposición de una población finita de tamaño N tenemos que
X
X
=
n
N - n N - l
2.0396 2
5-2 2.0396 5 -1 2
0.75 2.0396
0.375 1.2490 seguros
Comparando estos resultados, concluimos que son iguales. ESTIMADOR POR INTERVALO PARA y
CUANDO ES CONOCIDA.
I) Una máquina empaca azúcar en bolsas plásticas. Se quiere estimar el peso promedio de las bolsas de azúcar sabiendo por estudios anteriores que la desviación estándar poblacional es de 0.10 lbs. Del flujo de producción se toma una muestra aleatoria sistemática de 10 bolsas, obteniendo los siguientes pesos en libras. 5.10, 4.90, 4.80, 5.15, 5.05, 4.95, 4.97, 4.85, 5.03, 5.00 Suponiendo que el peso de las bolsas de azúcar se distribuye normalmente:
i)
Obtenga un intervalo de confianza del 80% para el peso promedio de las bolsas de azúcar.
Los elementos son las bolsas de azúcar. La población se considera infinita X representa el peso de las bolsas de azúcar. La población es normal con conocida representa el peso promedio de las bolsas de azúcar. n = 10 bolsas de azúcar.
X z/2
La fórmula para esta situación es:
n
n
X
X
i
n
49.8 así 4.98 lbs. y zα/2 lo determinamos de P( Z < z/2 ) = 1 2 10
Como la tabla de la distribución Z sólo presenta áreas acumuladas a la izquierda, encontremos el valor de 1 así:
1 - = 0.80
= 0.20
= 0.10 2
1-
2
2
= 0.90
Según la tabla de la distribución de Z el área más cercana a 0.90 es 0.8997. Trace a partir de esta área una línea horizontal imaginaria hacia la izquierda (que señalará 1.2 ) y luego otra línea vertical imaginaria hacia arriba (que señalará 8). Se dirá que al área 0.90 le corresponde zα/2 = 1.28
X , zα/2 , y n por su valores correspondientes obtenemos:
Sustituyendo
4.98 1.28
0.10 10
4.98 1.28 ( 0.0316 ) 4.98 0.0404
Li = 4.9396 lbs. y Ls = 5.0204 lbs.
Podemos decir con un 80% de confianza de que 4.9396 5.0204 y con un 20% de riesgo de que no está comprendida entre esos límites. ii)
Identifique el error muestral promedio en la estimación por intervalo del inciso i)
σx
= 0.0316 lbs.
iii) Con la misma muestra anterior, obtenga otro intervalo de confianza para el peso promedio de las bolsas de azúcar, pero con un nivel de confianza del 97%. Compare la longitud de este intervalo con el obtenido en el inciso i) haciendo los comentarios pertinentes. así: zα/2 lo determinamos de P( Z < z/2 ) = 1 2 1 - = 0.97
= 0.03
= 0.015 2
1-
2
= 0.985
Según la tabla de la distribución de Z, al área acumulada 0.985 le corresponde Sustituyendo
zα/2 = 2.17
X , zα/2 , y n por su valores correspondientes obtenemos 4.98 2.17
0.10 10
4.98 0.0686
Li = 4.9114 lbs. y Ls = 5.0486 lbs.
Podemos decir con un 97% de confianza de que: 4.9114 5.0486 Observemos que la longitud de este intervalo es mayor que la longitud del intervalo del inciso i), esto significa que entre más confiable sea nuestra estimación menos precisa será.
iv)
Identifique el valor del error máximo permitido con una confianza del 80% en la estimación del inciso i) E = 0.0404 lbs
v) Si quiero estimar el peso promedio de las bolsas de azúcar con una confiabilidad del 90% de que el error máximo permitido sea de 0.0313 lbs, ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Como la población es infinita, la fórmula es: n = z/2 E
2
Sustituyendo zα/2 , y E por sus valores correspondientes obtenemos n
=
1.65 (0.10) 0.0313
2
= 27.7894 28 bolsas
Se necesita una muestra de tamaño n = 28 bolsas para tener una confiabilidad del 90% de que el error máximo permitido sea de 0.0313 lbs. II) Consideremos el conjunto de todas las pequeñas industrias de un determinado artículo. Se quiere estimar la producción anual total de las industrias y se sabe, en base a estudios anteriores, que la desviación estándar poblacional de las producciones anuales es igual a 2 en miles de unidades. Con tal propósito se selecciona de un listado actualizado de 826 industrias una muestra aleatoria de 50 industrias, obteniendo una producción anual promedio de 5.52 en miles de unidades. i)
Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la producción anual total de las industrias.
Los elementos son las pequeñas industrias. La población es finita de tamaño N = 826 X representa la producción anual por industria. La población se supone que no es normal y es conocido. representa la producción anual promedio. representa la producción anual total n = 50 pequeñas industrias Aunque la población no sea normal podemos aplicar, según el teorema del límite central, la siguiente fórmula:
NX z/2 N
σ n
N-n N -1
porque n 30
Observe que
n 50 = 0.0605 0.05 y que por tanto no podemos omitir el factor de corrección. N 826
Sustituyendo
X , zα/2 , , n y N por sus valores correspondientes obtenemos 826 (5.52) 1.65 (826)
2 50
826 - 50 826 - 1
4559.52 1.65 (826) (0.2828) (0.9698) 4559.52 373.7882
Li = 4185.7318
y Ls = 4933.3082
Podemos decir con un 90% de confianza de que: 4185.7318 4933.3082 (en miles de unidades) ii) Con una confianza del 95% calcule el valor del error máximo permitido en la estimación de la producción anual total del inciso i) E z/2 σ N X = 1.96 (226.5383) = 444.0151 iii) Si quiero estimar la producción anual promedio de las industrias con una confiabilidad del 80% de que el error máximo permitido sea de 300 unidades, ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Como la población es finita, la fórmula es no = z/2 E
2
Compruebe que
zα/2 = 1.28 y que E = 300 = 0.3 en miles de unidades. 1000
Sustituyendo
zα/2 , y E por sus valores correspondientes obtenemos no =
1.28 (2) 0.3
2
= 72.8178
no 72.8178 = 0.0882 0.05, podemos reducir no a N 826 n0 N 72.8178 (826) 60147.5028 = 66.9930 67 pequeñas industrias. no ( N - 1) 72.8178 825 897.8178
Como = n =
RESUELVE I)
Considere la siguiente población de cuentas por cobrar de una compañía.
No. Cuenta Monto (en miles de C$)
01
02
03
04
05
06
07
08
1.5
2.3 1.0
1.8
1.9
2.0
3.5 1.5
09
10
11
12
13
14
15
2.4 1.2
1.8
4.5
3.0
2.1
3.5
1) Utilizando la fila 3 columna 4 como una entrada a la tabla de números aleatorios, dirección descendente, seleccione una muestra aleatoria de 4 cuentas señalándolas con un * 2) Suponiendo que X representa el monto de las cuentas. i) Diga que representa y según el problema. ii) Estime el monto promedio de las cuentas y el monto total de las cuentas utilizando la muestra seleccionada en 1) 3) Obtenga los errores de muestreo correspondientes a las estimaciones de y hechas en el inciso ii) de la parte 2) SOLUCION 1) Las cuentas por cobrar seleccionadas son las correspondientes a los números: 07, 10, 03, y 08 2) i) μ : Monto promedio de las cuentas : Monto total de cuentas ii) X =1.8 en miles de C$ N X =27 en miles de C$ II)
La población de supermercados de una ciudad se presenta en la siguiente tabla.
No. Super Ventas diarias (en miles de C$)
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
84
73
50
35
62
38
26
25
56
45
90
20
87
30
40
1)
Tome una muestra aleatoria sistemática de 3 Supermercados entrando en la fila 10, columna 10 y con una dirección de izquierda a derecha de la tabla de números aleatorios. Luego señálelos con un *
2)
Suponiendo que X representa las ventas diarias.
i) Diga que representa y según el problema. ii) Estime , y utilizando la muestra del inciso 1) iii) Obtenga los errores de muestreo correspondientes a las estimaciones de y hechas en el inciso ii) SOLUCION 1) Si seleccionamos un punto de arranque r entre 1 y 5 entrando en la fila 10, columna 10 y con una dirección de izquierda a derecha de la tabla de números aleatorios entonces obtenemos r = 5, y los supermercados seleccionados son los correspondientes a los números 5, 10, 15 2) i) μ : Venta diaria promedio : Venta diaria total ii) X = 49 en miles de C$ N X = 735 en miles de C$ S = 11.5326 iii) Para μ, em= 1.7333 , para τ, em= 26 III) Se quiere investigar el número total de calculadoras que hay en inventario en un centro comercial. En el siguiente plano se presentan los módulos que componen el centro.
i) Entrando en la fila 11 y columna 8 de la tabla de números aleatorios y con una dirección descendente ( ) , seleccione una muestra aleatoria de 4 módulos, señalándolos con un * ii) Suponiendo que la encuesta reveló para el primer módulo seleccionado en el inciso i) la existencia de 10 calculadoras, para el segundo módulo la existencia de 15 calculadoras, para el tercer módulo 20 calculadoras y para el cuarto módulo 3 calculadoras, Estime el número promedio de calculadoras por módulo y el número total de calculadoras en el centro. SOLUCION i) Los módulos seleccionados corresponden a los siguientes números: 05, 17, 13 y 04 ii) X = 12 calculadoras N X = 240 calculadoras IV) Se desea investigar en un barrio la cantidad de niños en edad escolar con el fin de estudiar las necesidades educativas a nivel primario (se piensa construir una escuela). Con tal fin se dispone del siguiente mapa del barrio.
Parque Iglesia Predio vacío
i) Seleccione una muestra aleatoria sistemática de 4 manzanas. Luego ubíquelas poniéndoles un *
ii) Suponiendo que la encuesta reveló para la primera manzana seleccionada en el inciso i) la existencia de 18 niños, para la segunda manzana la existencia de 21 niños, para la tercera manzana la existencia de 27 niños y para la cuarta manzana la existencia de 10 niños. Estime el número promedio de niños por manzana y el total de niños en el barrio. SOLUCION Supongamos la no existencia de niños en el parque, la iglesia y el predio vacío. i) Si seleccionamos un punto de arranque r entre 1 y 75 entrando en la fila 7, columna 5 y con una dirección descendente de la tabla de números aleatorios entonces obtemos r = 18, y las manzanas seleccionados son los correspondientes a los números 1, 9, 16 y 24 ii)
X = 19 niños N X = 570 niños
V) Un auditor quiere investigar el total de páginas que tienen los documentos de una empresa. En su poder hay 280 documentos numerados del 001 al 280. i) Entrando en la fila 1 y columna 4 con una dirección de izquierda a derecha de la tabla de números aleatorios, seleccione una muestra de 20 documentos, escribiendo el número de documento de cada uno. ii) Suponiendo que los 20 documentos muestreados del inciso i) resultaron con un promedio de13.4 páginas, Estime el número total de páginas en todos los documentos. SOLUCION i) Si suponemos que entramos en la fila 1, columna 4 y con una dirección de izquierda a derecha de la tabla de números aleatorios entonces los documentos seleccionados son los correspondientes a los números: 020, 141, 209, 223, 255, 279, 191, 241, 225, 151, 248, 196, 062, 078, 163, 008, 166, 061, 069 y 012 ii) N X = 3752 páginas
