Ejercicios Propuestos 1 Pruebas de Hipótesis
Preliminarmente, genere un cuadro resumen de las pruebas de hipótesis vistas en clase. Se sugiere por ejemplo el siguiente esquema: A
A partir partir de este resumen, r esumen, resuelva los ejercicios propuestos a continuación. 1) Las
puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,. !n un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la crea creati tivi vida dadd una una mues muestr traa de "# alum alumno noss ha prop propor orci cion onad adoo las las siguientes puntuaciones: 11, $, 1%, 1&, ', 11, $, (, , $, 1(, $, 1&, %(, 1$, 1#, 1&, 1&, ', %", ', ), 1(, 1), ), &, 1, %#, 1(, 1. A un nivel de con*ian+a del $ -Puede a*irmarse que el programa es e*ectivo
Solución:
2) !n
una muestra de 1### nacimientos el n/mero de varones ha sido (% -Puede considerarse, con un nivel de signi*icación del 1#, que en general nacen m0s nios que nias Solución:
Las puntuaciones en un test de ra+onamiento abstracto siguen una distribución distribución Normal Normal de media media " 2 varian+a varian+a )#. Para evaluar un programa programa de mejora de las capacidades intelectuales, a 1#1 individuos que est0n reali+ando este programa se les pasa el test, obteni3ndose una media de # puntos 2 una varian+a de '# -Puede asegurarse, a un nivel de con*ian+a del $#, que el programa incrementa las di*erencias individuales en esta variable 3)
Solución:
4) Las notas obtenidas en An0lisis de 4atos de individuos elegidos al a+ar
del grupo 51 2 de ) individuos, elegidos tambi3n al a+ar, del grupo 5% son las siguientes:
¿Puede concluirse a un nivel de confianza del 95% que las puntuaciones medias de ambos grupos son iguales? o por el contrario que hay diferencia entre ambas. Solución:
5) Para Para comp compro roba barr la util utilid idad ad de una una técnica cnica de enriqueci enriquecimien miento to moti motiva vaci cion onal al un inve invest stig igad ador or pasa pasa una una prue prueba ba de rend rendim imie ient nto o académico a una muestra de 16 sujetos. Despu és aplica su t écnica de enriquecimiento y tras ello, vuelve a pasar la prueba de rendimiento. Los resultados fueron los siguientes:
A un nive nivell de conf confia ianz nzaa del del 95% 95%, ¿Pod ¿Podem emos os rech rechaz azar ar que que los los rendimientos académicos son iguales antes que despu és frente a la alternativa de que se produce una mejora? Teniendo en cuenta que los
sujetos son los mismos en ambas muestras se trata de un contraste de igualdad de medias con datos emparejados, por consiguiente:
Solución:
6na m0quina empacadora de harina produce bolsas con un contenido de # 7g. Para controlar el *uncionamiento de la m0quina se tomó una muestra de %# bolsas de harina 2 el peso medio resultó ser de (% 7g. con una desviación est0ndar de 11 7gs. -!st0 la m0quina trabajando correctamente 8suponga 9 #.1#; 6)
!n este este caso caso,, se debe debe cons consid ider erar ar que que la m0qui 0quina na est est0 traba rabajjando ando correctamente si produce empaques que no e
Se trata de una prueba de hipótesis para la media de una población 2 desviación est0ndar desconocida >ipótesis. >#: ? #@ >1: ? #. Nivel de signi*icación. 9 #.1#. !stad=stica de prueba. tn B 1 8C B ?;D8sn B 1DEn; Puesto Puesto que P8t1$ F B1.&%$ t1$ G H1.&%$; H1.&%$; #.1#, se recha+ar0 recha+ar0 ># si t F B1.&%$ ó t G H1.&%$. n %#, (%, 2 t1$ 8(% B #;D811DE%#; B'D%,()# B ",%
4ado que el valor del estad=stico de prueba cae netamente en la región cr=tica i+quierda, ># es recha+ada a *avor de >1. 7) 6n investigador est0 interesado en comparar el e*ecto de % hormonas 8A
2 I; de crecimiento sobre la longitud total alcan+ada por una leguminosa. Para ello tomó una muestra de %# plantas, asignando al a+ar 1# a cada hormona. Los resultados en cm. *ueron los siguientes: Hormona A: Hormona :
1# 1# 1" 1% 1# ' 1% 11 1) 1 1 11 1) 1& 1' $ 1( 1% 1 1)
4eterm 4ete rmin inar ar si ha ha22 di di*e *eren renci cias as si signi gni*i *ica cati tivas vas en entr tree lo loss cr crec ecim imie ient ntos os producidos por ambas hormonas a un nivel del . a; 4et 4eterm ermina inarr si ha2 di* di*ere erenci ncias as sig signi* ni*ica icativ tivas as ent entre re los crec crecim imien ientos tos producidos por ambas hormonas a un nivel del , suponiendo primero varian+as iguales 2 luego distintas. d istintas. b; 4eterminar si ha2 di*erencias signi*icativas entre los crecimientos producidos por ambas hormonas a un nivel del , pero suponiendo que
cada una de las parejas, en el orden dado, tienen la misma ascendencia gen3tica. Solución
!n el primer caso se trata de una prueba de di*erencia entre medias con muestras independientes, suponiendo primero varian+as iguales 2 luego distintas: 6tili+ando !
Prueba t para dos muestras suponiendo !arian"as i#uales
Prueba t para dos muestras suponiendo !arian"as distintas
Prueba t para muestras pareadas
!n un estudio para predecir a partir del per=metro tor0
a; Aplique todos los tipos de an0lisis que se podr=an reali+ar 8muestras pareadas, muestras independientes donde se conocen las varian+as de los m3todos %# 2 (1", muestras independientes desconociendo las varian+as, supo su poni ni3n 3ndo dola lass ig igua uale les, s, su supo poni ni3n 3ndo dola lass di di*e *ere rent ntes es.. -4 -4ee to toda dass es esta tass alternativas, qu3 tipo de an0lisis estad=stico ser=a correcto reali+ar -Por qu3 -Por qu3 cree que el e
d; -A qu3 conclusión se llega 2 en qu3 se basa dicha conclusión e; -Ku3 error se puede estar cometiendo al plantear la conclusión anterior 2 en qu3 consiste dicho error en t3rminos de este problema *; Jonstru2a un intervalo del $ de con*ian+a para estimar la di*erencia promedio entre los dos m3todos. g; -!ra de esperar que el intervalo cubriera o no el valor # -Por qu3 Solución:
Prueba t para medias de dos muestras emparejadas
Prueba t para dos muestras suponiendo !arian"as i#uales
Prueba t para dos muestras suponiendo !arian"as desi#uales
Prueba " para medias de dos muestras
6n ingeniero qu=mico est0 investigando la variabilidad de dos tipos de equipos de medición que se usan para controlar la salida de un proceso de producción. Le interesa saber si el equipo 1, el m0s antiguo, tiene ma2or desajuste 2 por lo tanto una varian+a ma2or. 5oma dos muestras aleatorias de tamao n1 1% 2 n% 1#, siendo las varian+as muestrales: S 1(, 2 S 1#,'. -Jon un nivel de signi*icación del qu3 se puede concluir. %)
%
1
%
%
Solución:
%
Ho:
σ1
<=
%
H1:
σ%
%
σ1
>
%
σ%
α = 0,05 extraj ajo o una mues muestra tra alea aleator toria ia y que que la vari variabl able e medi medida da se Supon Suponien iendo do que se extr comporta de manera normal
!l estad"stico # es F
= 1$,5 % 10,& = 1,'$
( se compara contra )11* F )11*
+* 0,05 = ',10
-or -or tal tal ra. ra./n no se ec eca. a.a a H0, al 52 52 3os 3os dos dos equi equipo pos s tien tienen en i4ua i4uall variabilidad
A (# novillos elegidos al a+ar de una población con igual historia previa, peso 2 edad, se los dividió en dos grupos de %# animales cada uno. A los novillos del rupo 1 se los suplementó con 1,# 7g ma=+DanimalDd=a 2 a los del rupo %, con 1, 7g ma=+DanimalDd=a. Las ganancias de peso promedio de ambos grupos gr upos despu3s de ( d=as de ensa2o ensa2 o *ueron: X (#, 7gDa 7gDani nima mall 2 X )",# )",# 7gDa 7gDani nima mall con: con: S $),#( 87gDanimal;% 2 S 1(',) 87gDanimal;%. 10)
1
%
%
%
1
%
-Pue -Puede de a*ir a*irma marse rse que que la suple supleme ment ntaci ación ón con con 1, 1, 7g ma=+ ma=+Da Dani nima malD lDd= d=aa produce ganancias de peso signi*icativamente ma2ores que el rupo 1, con un nivel de signi*icación del 1 Solución: Ho: 1 ≥ 6
H1: 1 < 6
α = 0,01 7eniendo eniendo en cuenta cuenta que las dos muestras se extrajeron de manera aleatoria de dos poblaciones normales, entonces ambas muestras son independientes entre s" Se i4nora si ay omo4eneidad de varian.as, en consecuencia se e8ectuar9 primero una prueba para i4ualdad de varian.as: prueba Ho:
%
σ1
=
%
σ%
3os valores te/ricos
vs H1: F
%
σ1
≠
%
σ%
con un nivel de si4ni8icaci/n α0 = 0,01
)1+* 1+* 0,++5 = 0,6+ y
F
)1+* 1+* 0,005 = ',$'
Se contrastan con el valor calculado
= F =
+,0$ % 1$&, = 1,'$
3ue4o no se eca.a H 0 , al 12 y se supone que las dos poblaciones tienen i4ual variabilidad !l estad"stico de prueba es entonces contrastado con t )'&* )'&* %
omo n1 = n2 * = t =
S a
t n1 n1 ; n6 6
0,01 = 6,1
= ) +,0$ ; 1$&, %6 = 166,'6
)$0,5 ',0 % ) 11,05+&
6 60
*
S a
= 11,05+& 11,05+&
= ?,$''6
3ue4o, se eca.a H0, al 12 3a suplementaci/n con 1,5 @4 ma".%animal%d"a prod produc uce e 4ana 4ananc ncia ias s de peso peso si4n si4ni8 i8ic icat ativ ivam amen ente te may mayores ores,, que que con con 1,0 1,0 @4 ma".%animal%d"a 11) Se
conduce un e
N
C
1
10,5
1$0,$
2
60,$
3
Bloque
N
C
6
601,6
1&5,0
1$,
7
60+,+
11&,+
615,+
10,6
8
61','
1+,&
4
60+,0
1$,
9
1&$,1
1$,
5
11,
15$,5
10
660,$
1,
Solución: Ho: µd = 0
H1: µd > 0
α = 0,05 Suponiendo que se reali./ una asi4naci/n aleatoria de los tratamientos a las unidades experimentales en los pares )bloques: !l estad"stico de prueba )observaciones pareadas t t
) +* 0,05 = 6,6
S d n
= ,$
lue4o
t
= ','& % ,$ = $5
Se echa+a >#, al . Puede a*irmarse, con un nivel de signi*icación del , que el N incrementa la producción de remolacha.
Oediante dos procesos se *abrican alambres galvani+ados lisos para alambrados rurales. Los t3cnicos de la *0brica desean determinar si los dos procesos tienen di*erentes e*ectos en la resistencia media de ruptura del alambre. Se somente a varias muestras de alambre a determinada tensión 2 se registra la resistencia de la ruptura. 6sando los datos de la siguiente tabla, tabla, suponi suponiend endoo conoci conocidas das las varian variancia ciass de .(# 2 .% 2 sabi3ndose la resistencia a la ruptura sigue una le2 normal@ pruebe la hipótesis de que las medias de resistencia a la ruptura seg/n los dos procesos son iguales@ para un nivel de signi*icación del . 1 2)
%
σ 1
%
σ %
Prueba n 1 $ ( 1# & $ 1# Prueba n % 1( $ 1" 1% 1" ' 1# Solución:
Planteando la hipótesis nula 2 la hipótesis alternativa: Ho: µ1 = µ6 Ha: µ1 ≠ µ6 Se 8ija el nivel de si4ni8icaci/n α=005 omo omo la variab variable le se dist distrib ribuy uye e normal normalmen mente, te, enton entonces ces A1 se distribuye distribuye N 8 µ , σ D n ; y A6 se distribuye N 8 µ , σ D n ; 3a di8erencia entre las medias de dos poblaciones normales, tambiBn se distribuye normalmente !ntonces la variable C se distribuye distribuye como una D)01, por 7e 7eorema entral del 3"mite 1
1
1
%
Z =
8 x1
− x %
; − 8 µ 1
− µ %
%
%
σ 1
σ %
n1
+
n%
%
%
;
se distribuye D)0,1
IJI1:IJI
rueba . para medias de dos muestras Prueba1
Eedia Farian.a )conocida Gbservaciones i8erencia ipotBtica de las medias C -)C<=. una cola Falor cr"tico de . )una cola -)C ≤=. )dos colas Falor cr"tico de . )dos colas
&1 5$
Prueba2
116&51$' 565 0 ?6$6&156& 0005&5 1$$&5' 00151501 1+5++10&
