Mecanica de fluidos II, pendiente critica, flujo critico, ejemplo,
estructurasDescripción completa
Método Pendiente DeflexionDescripción completa
excel desarrollado para pendiente deflexionFull description
Dibujo técnico
Apa( laboratorio 11)Descripción completa
Descripción: mecanica defluidos
Pendiente de un planoFull description
Descripción: Braja Das
Descripción completa
calculo de la pendienteFull description
bmnhDescripción completa
pendienteDescripción completa
canal de pendiente variableDescripción completa
canal de pendiente variable, para ensayos en laboratorio de hidraulica de canalesDescripción completa
Descripción: Dibujo técnico
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Análisis Estructural Método de Pendiente Deflexión Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 3 Calcular los momentos de la viga. Los asentamientos en los soportes son: A=32mm B=62mm C=70mm D=28mm E=210GPa I=800 (10^6) mm4
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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3 MOMENTOS POR CARGAS EXTERNAS: • Tramo AB: (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM AB =- 2 == -225 kNm 2 l 6 (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM BA = 2 = =225 kNm 2 l 6
• Tramo BC: Pab 2 (200)(3)(32 ) FEM BC =- 2 == -150 kNm 2 l 6 (Pab 2 ) (200)(3)(32 ) FEM BA = 2 = =150 kNm 2 l 6 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3 • Tramo CD(igual al tramo AB): (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM CD =- 2 == -225 kNm 2 l 6 (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM DC = 2 = =225 kNm 2 l 6 EFECTOS DE ASENTAMIENTO: • Tramo AB: △ 0.03m = =0.005 l 6m Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3 • Tramo BC: △ 0.008m = =0.00133 l 6m
• Tramo CD:
△ 0.042m = =0.007 l 6m
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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3 ECUACIÓN DE MOMENTO: Sabiendo que EI=16800 kNm
2EI 3△ (2θ A +θ B - ) L L M AB =-225+56000(2θ A +θ B -0.015)
M AB =FEM AB +
2EI 3△ (θ A +2θ B - ) L L M BA =225+56000(θ A +2θ B -0.015) M BA =FEM BA +
2EI 3△ (2θ B +θ C - ) L L M BC =-150+56000(2θ B +θ C -0.00399) M BC =FEM BC +
2EI 3△ (θ B +2θ C - ) L L M CB =150+56000(θ B +2θ C -0.00399)
M CB =FEM CB +
2EI 3△ (2θ C +θ D - ) L L M CD =-225+56000(2θ C +θ D +0.021) M CD =FEM CD +
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2EI 3△ M DC =FEM DC + (θ C +2θ D - ) L L M DC =225+56000(2θ C +θ D +0.021)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3 • Ecuaciones de equilibrio: luego como las rotulas y las articulaciones no soportan momentos; se tiene: M AB =0
(1)
M BA +M BC =0
(2)
M CB +M CD =0
(3)
M DC =0
(4)
Luego de (1):
-225+56000(2θ A +θ B -0.015)=0 (a) Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3 De (2):
225+56000(θ A +2θ B -0.015)-150+56000(2θ B +θ C -0.00399)=0 ( b) De (3):
150+56000(θ B +2θ C -0.00399)-225+56000(2θ C +θ D -0.021)=0 (c) De (4):
225+56000(2θ C +θ D -0.021)=0
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(d)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3 Resolviendo (a), (b), (c) y (d):
M AB =0 M BA =153.88 kNm M BC =-153.88 kNm M CB =-107.08 kNm M CD =107.08 kNm M DC =0
θ A =0.0081 rad θ B =0.0028 rad θ C =-0.0017 rad θ D =-0.0117 rad
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 4 Encontrar los diagramas de momento y cortante para una viga continúa de dos luces de igual longitud . W
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO: -WL2 FEM AB = 12 WL2 FEM CB = 12
-WL2 FEM BC = 12 WL2 FEM BA = 12
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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4 ASENTAMIENTOS: Δ=0 ECUACIONES DE PENDIENTE DEFLEXION: 2EI WL2 M AB = (2θ A +θ B )L 12 2EI WL2 M BA = (θ A +2θ B )+ L 12 2EI WL2 M BC = (2θ B +θ C )L 12 2EI WL2 M CB = (θ B +2θ C )+ L 12 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
(1) (2) (3) (4)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4 Además se sabe que: M +M =0 BA BC
(5)
M AB =0
(6)
M CB =0
(7)
Organizando las ecuaciones (6) en (1) y (7) en (4) se obtiene: 4EI 2EI WL2 θA + θB =0 L L 12 2EI 4EI WL2 θB + θC + =0 L L 12
(8) (9)
De (2): M BA
2EI 4EI WL2 = θA + θB + L L 12 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
(10)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
De (3) :
4EI 2EI WL2 = θB + θC L L 12
(11)
2 EI 8EI 2EI θA + θB + θ C =0 L L L
(12)
M BC
De (5):
De (8) se tiene que: WL3 θ B θA = 48EI 2
(13)
De (13) en (12) se tiene que: WL3 2 θ B =- θC 168EI 7 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
(14)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4 De (14) en (9) se tiene que: WL3 θ C =48EI
(15)
De (15) en (14) se tiene que:
θB =0
(16)
De (16) en (13) se tiene que: WL3 θA = 48EI
(17)
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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4 • Momentos: Sustituyendo (15), (16) y (17) en (10) se obtiene: WL2 M BA = 8
(18)
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (11) se obtiene:
WL2 M BC =8
(19)
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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4 Diagrama de cortante y momentos
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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5 Encontrar los diagramas de momento y cortante para la viga de la figura, la cual sufre un desplazamiento en el apoyo C de 12 mm.
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO: En este caso no se presentan momentos de empotramiento. ASENTAMIENTOS: Δc=12mm Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
2EI (2θ A +θ B ) L 2EI M BA = (θ A +2θ B ) L 2EI 3△ M BC = (2θ B +θ C - ) L L 2EI 3△ M CB = (θ B +2θ C - ) L L 2EI 3△ M CD = (2θ C +θ D + ) L L 2EI 3△ M DC = (θ C +2θ D + ) L L 2EI M DE = (2θ D +θ E ) L 2EI M ED = (θ D +2θ E ) L M AB =
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 5
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(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5 Además se sabe que: M BA +M BC =0
(9)
M CB +M CD =0
(10)
M DC +M DE =0
(11)
M AB =0
(12)
M ED =0
(13)
Organizando las ecuaciones para Δ=0.012m y L=7m con (12) en (1) y (13) en (8) se obtiene: Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5 4EI 2EI θA + θ B =0 7 7 2EI 4EI θA + θ B -M BA =0 7 7 4EI 2EI 9EI -M BC =0 θB + θC 7 7 6125 2EI 4EI 9EI -M CB =0 θB + θC 7 7 6125 4EI 2EI 9EI -M CD =0 θC + θD + 7 7 6125 2EI 4EI 9EI -M DC =0 θC + θD + 7 7 6125 4EI 2EI θD + θ E -M DE =0 7 7 2EI 4EI θ E =0 θD + 7 7 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
(14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que: • (2) y (3) en (9): 2EI 4EI 4EI 2EI 9EI =0 θA + θB + θB + θC 7 7 7 7 6125 2 8 2 9 =0 θ A + θB + θC 7 7 7 6125
(22)
• (4) y (5) en (10): 2EI 4EI 9EI 4EI 2EI 9EI θB + θC + θC + θD + =0 7 7 6125 7 7 6125 2 8 2 θ B + θ C + θ D =0 7 7 7 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA