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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar los lados del triángulo que se se forma al unir los puntos A(0;2), B(4;4), C(0;4). Hallar también el área de dicho triángulo. 2. En el triángulo ABC, Determinar la mediana relativa al lado AC, si los puntos que determinan el triángulo son: A(0;0), B(4;6), C(8;0) 3. Se tiene un triángulo equilátero que tiene por vértices los puntos A(2;2), A(2;2), B(4;k) y C(8;p). Hallar “k” y “p” si el lado de dicho triángulo triángulo es 40 u 4. En el cuadrilátero de vértices: A(8;5), B(-4;-1), C(4;-7) y D(0;7), compruebe que el perímetro del cuadrilátero que resulta al unir los puntos medios de los lados es igual a la mitad de la suma de las longitudes de las diagonales del cuadrilátero original. 5. Hallar los puntos de trisección del segmento AB, donde: A(-1;3) y B(14;-3) 6. En En el trián triángu gulo lo de vért vértic ices es A(2; A(2;-5 -5), ), B(1; B(1;-2 -2)) y C(4; C(4;7) 7),, hall hallar ar la longitud de la bisectriz interior del vértice B triáng ngul ulo o de vért vértic ices es A(-1 A(-1;;-1) 1),, B(3; B(3;5) 5) y C(-4 C(-4;1 ;1), ), hall hallar ar la 7. En el triá longitud de la bisectriz exterior del vértice B 8. El punto de intersección M de las medianas de un triángulo está ubicado en el eje de las abscisas: Dos de sus vértices son los puntos A(2;-3) y B(-5;1). El vértice C está en el eje de ordenadas. Determinar las coordenadas de los puntos M y C 9. Una recta pasa por los puntos A(7;-3) y B(23;-6). Hallar el punto de intersección de la recta con el eje de las abscisas. 10. 10. Los Los punt puntos os a(4;2 a(4;2), ), B(7; B(7;-2 -2)) y C(1; C(1;6) 6) son son los los vért vértic ices es de un triángulo de alambre homogéneo. Determinar el centro de gravedad de este triángulo. 11. 11. Demo Demost strar rar que los punto puntos s (-2; (-2;8) 8),, (1;(1;-1) 1),, (3;(3;-7) 7) están están en una una recta, sin usar criterio de pendiente. 12. Hallar Hallar el el valor valor de “x” “x” de mane manera ra que que el punto punto (x;-8) (x;-8) este este en la recta que pasa por los puntos (2;1) y (3;4) 13. Dados los puntos puntos A(-3;4 A(-3;4), ), B(-1;-2 B(-1;-2), ), C(5;6 C(5;6), ), D(x;-4) D(x;-4).Obt .Obténgase éngase los valores de x tal que el área del triángulo ABD sea igual al del triángulo BCD. 14. El área de u triángulo cuyos vértices son (a;6), (2;a), (4;2) es 28 2 . Encontrar el valor de a. 15. 15. Los Los vért vértic ices es de un trián triángu gulo lo son los punto puntos s A(4; A(4;7) 7),, B(-3 B(-3;4 ;4)) y C(3;0). Calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice C. 16. 16. Dete Determ rmin inar ar el área área del del para parale lelo logr gram amo o ABCD ABCD,, tres tres de cuyo cuyos s vértices son los puntos A(4;9), B(10;1) y C(3;7) 17. Calcular Calcular el valor valor de las pendient pendientes es de las median medianas as del triángulo de vértices A(6;3), B(3;9) y C(-1;-1) 18. Demuestre Demuestre que el el cuadrilá cuadrilátero tero cuyos cuyos vértices vértices son: son: (8;6), (8;6), (-2;1) (-2;1),, (1;5), (-1;-6) es un trapecio isósceles. 19. Demost Demostrar rar que que la recta recta que pasa pasa por por los punto puntos s (-4;3) (-4;3) y (6;-1 (6;-1)) es perpendicular a la que pasa por (2;4) y (-2;-6) 20. Demostrar Demostrar que el triángu triángulo lo cuyos cuyos vértices vértices son: son: (6;7) (6;7),, (3;-4) (3;-4) y (1;0), es rectángulo. u
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21. Hallar el ángulo que forma la recta que pasa por (2;6) y (4;-1) con la que pasa por (5;2) y (0;3) 22. Determinar la pendiente que forma una recta con otra que pasa por los puntos (-1;2) y (5;5) formando un ángulo cuya tangente es 0,75 23. Determine la tangente del mayor ángulo del triángulo de vértices A(1;4), B(6;2) y C(0;-3) 24. Determinar la pendiente de la bisectriz del ángulo A del triángulo ABC: A(-7;3), B(-3;-5) y C(-1;6) 25. Sean los puntos A(3;1),B(-2;-6), los vértices de un triángulo, sabiendo que las alturas se cortan en el punto P(4;-4). Hallar las coordenadas del otro vértice. x − 4 y +14 = 0 y 26. Hallar el ángulo formado por las rectas: 5x
3y
−
11
−
=
0
27. Determina la altura trazada desde A al lado BC del triángulo ABC, cuyos vértices son: A(0;4), B(5;1) y C(1;-3) 28. Dibujar la recta con ecuación y = 4/5X +3. 29. Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y la pendiente de la recta que lo une al punto A(3,4) es 1/2. Determinar las coordenadas del punto. 30. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados. 31. Una diagonal de un cuadrado une los vértices A(1,2) y C(2,5). Obtener las ecuaciones de los lados del cuadrado. NOTA: Tomando en consideración que cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la diagonal. 32. Trazar la recta de siguiente ecuación implícita: 3 x + 5 y - 15 = 0 33. Hallar el punto de intersección de las rectas: 6 x - 5 y = - 27
8x+7y=5 34. Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es y=mx+5, para que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones y = -3x- 5, y = 4x + 2. 35. La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4 x + 9 y - 27 = 0 . 36. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, -5) y es paralela a la recta y = - 2/3x + 9 37. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5 x - 3 y = - 2 y 8 x + 7 y = 44 y es perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: y = 2/3x + 1 38. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,10) y forma un ángulo de 45° con la recta y = 3/2x 39. La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por extremos los puntos A(–3, –2) y C (1, 2). Halla los vértices B y D y el perímetro del rombo. 40.Los vértices de un triángulo son A(1,4); B(3,-9) y C(-5,2). Determinar la longitud de la mediana trazada desde el vértice B. 41.Dados tres vértices de un paralelogramo: A(-1,3); B(5,-3) y (3,-5). Determinar el cuarto vértice D opuesto a B.
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42.Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (2,-1); (-1,4) y (-2,2). Determinar sus vértices. 43. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,-3) y sea paralela a la recta que pasa por los puntos (3,2) y (-5,7). 44.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y sea perpendicular a la recta 2x+3y-4=0. 45. En su orden, los puntos A(-1 , -4) , B(2 , 3), C(-7 , 3) y D(9 , -2) están en los Cuadrantes: A) I, II, III, IV B) IV, III, II, I C) II, I, IV, III D) III, I, II, IV. 46. La distancia entre los puntos A(-2 , -3) y B(3 , -3) es: A) 10 unidades B) 5 unidades C) 6 unidades D) 4 unidades 47. La distancia entre los puntos A(3 , -3) y B(3 , 4) es: A) - 6 unidades B) - 7 unidades C) 6 unidades D) 7 unidades 48. El punto medio P(x , y) del segmento de recta que une los puntos P(1 , 1) y Q(6 , 5) es: A) P(7 , 6) B) P(3 , 3.5) C) P(3 , 3) D) P(3.5 , 3) 49. El menor de los ángulos que una recta forma con el eje X se llama: A) Pendiente de la recta B) Inclinación de una recta C) ángulo entre dos rectas D) ninguna de las anteriores
Ejercicios complementarios “Distancia entre dos puntos” 1. Grafica los siguientes pares de puntos y encuentra la distancia entre ellos. a) ( 5 , 3 ) , ( – 2 , – 1) b) (– 1, –1) , ( 2 , 2 ) c) ( 3 , 4) , ( 8 , 4 ) d) ( 0 , 1 ) , (9,0) 2. Los vértices de un triangulo rectángulo son los puntos (9 , 7), (9 , 3) y (6 , 3). Determina las longitudes de los catetos. Después calcula la longitud de la hipotenusa y el área del triangulo formado. 3. Dos de los vértices de un triangulo equilátero son los puntos (4 , 6) y (8 , 6). Halla las coordenadas del tercer vértice. (Dos soluciones). 4. Demuestra que los puntos (–1, – 5), (2 , 1), (1 , 5) y (– 2 , –1) son vértices de un paralelogramo. 5. Halla el punto de abscisa 3 que equidista 10 unidades del punto ( – 3 , 6). 6. Encuentra un punto sobre el eje “Y” que equidiste de (6 , 9) y (– 4 , –3). 7. Determina si los puntos dados son colineales. a) (0 , 6), (2 , 7) y (– 2 , 3) b) (a , 0), (2a , – b) y (– a , 2b) 8. Dibuja el triangulo cuyos vértices son los puntos (–1 , 1), (3, 11 2 ), (4 , 3) y muestra que es rectángulo. Calcula su área y perímetro. “Pendiente, Punto Medio y Razón” 1. Halla la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos dados. a) (1 , 1) , (– 4 , 3) PROFESO R: Gilmer Martell Campos
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2. 3.
4.
5.
6.
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b) (6 , 3) , (– 1 , 0) c) (–1 , 4) , (– 3 , – 5) Por medio de pendientes demuestra que (1 , 8), (– 1 , 2) y ( – 2, – 1) son colineales. Una recta de pendiente – 2 pasa por el punto (5 , 5) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 1 y la abscisa de B es 3, ¿cuál es la abscisa de A y ordenada de B? Halla los ángulos interiores de un triangulo cuyos vértices son los puntos dados y clasifica en base a ellos. a) (6 , 2), (2 , – 3), (– 2 , 2) b) (3 , 6), (9 , 0), (– 1 , 2) Si A (1 , 1), B (5 , 3) y C (3 , 7) son vértices de un triangulo a) Halla sus puntos medios. b) ¿El triangulo ABC es isósceles? ¿El triangulo formado por los puntos medios es isósceles? c) Halla el área del triangulo ABC Determina si las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos: a) 1 : (– 4 , 3), (6 , –1) 2
: (2 , 4), (– 2 , – 6)
b)
1
: (–10 , 4), (4 , – 3)
2 :
(7 , 3), (4 , – 3)
c)
1
2
: (0 ,
: (1 ,1), (3 , 7
3)
5
2)
, (2 , 5)
7. Halla la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45° con la recta que pasa por los puntos (3 , 2) y (5 , – 4). 8. Los extremos de un segmento son P1 (5 , 7) y P2 (11 , – 1). Halla el punto P(x,y) que divide a dicho segmento en dos partes tales que P2 P : PP1
2. 9. Los extremos de un segmento son los puntos P 1 (10 , 7) y P2 (2 , –1). Halla la = −
razón P1P : PP2 en que el punto P(4 , 1) divide al segmento.
“Línea Recta” 1. Determina la ecuación de la recta que te satisface las siguientes condiciones y exprésala en la forma general. a) Pasa por 5 , 1 2 y −1 , 3 4 b) m = − 1 2 y pasa por ( – 2 , 5 ) c) m = 6, b = − 3 2 (ordenada en el origen) d) Intercepciones con el eje “X” y el eje “Y”, respectivamente − 1 2 y 3 4 2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (1 , 4) y es paralela a la recta 3x − 2 y = 40
(
) (
)
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2 3. Halla el valor de ‘k’ tal que k x + ( 2k − 3) y = − k sea perpendicular a 4 x −3 y = 8 . 4. Dadas a x + (2 − b) y = 23 y (a − 1) x + b y + 15 = 0 . Halla a y b tal que las dos rectas pasen por (2 , – 3).
5. Halla el ángulo formado por las rectas 4 x −9 y +11 = 0 y 3x + 2 y − 7 = 0 . 6. Encuentra la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos (7 , 4) y ( – 1 , – 2) 7. Para el triangulo cuyos vértices son los puntos ( – 2 , 3), (6 , – 5) y (8 , 5). Halla: a) Las ecuaciones de sus alturas. b) Las ecuaciones de sus medianas. c) Las ecuaciones de sus mediatrices. d) Demuestra que los puntos de intersección de las alturas, medianas y mediatrices son colineales. 8. Determina si los siguientes pares de rectas son: paralelas, perpendiculares, coincidentes o se cortan en un punto. a) 1 : 5 x − y − 11 = 0 c) 1 : 3 x − 6 y − 9 = 0 2 : x + 3 y + 1 = 0
b)
1: : 3x − y
=
2 : 2 x − 4 y
d)
5
2 : 6 x − 2 y + 7
=
=
1 : x − 2 y
6
−1 =
0
l 2 : 2x + y − 4 = 0
0
9. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y la gráfica cada una de las siguientes rectas. a) 1 = 8 x + 4 y = −16 b)
2 :
c)
3 : 4 x
d)
4 : 4 x − 7 y + 28
−2 x + 5 y = −
y
3
= 11
=
0
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