INTRODUCCIÓN La inferencia estadística es el proceso mediante el cual se utiliza la información de los datos de una muestra para extraer conclusiones acerca de la población de la que se seleccionó seleccionó la muestra. Las técnicas de inferencia estadística se dividen en dos áreas principales: Estimación de intervalos de confianza y confianza y Pruebas de hipótesis.
En cada prueba estadística, estadística, se comparan algunos valores observados contra observados contra algunos esperados u esperados u otro valor observado comparando estimaciones de parámetros (media, desviación estándar, varianza). Estas estimaciones de los verdaderos parámetros son obtenidos usando una muestra de datos y calculando los estadísticos.
La capacidad para detectar una diferencia entre lo que es observado y lo que es esperado depende del desarrollo de la muestra de datos. Incrementando el tamaño de la muestra mejora la estimación y la confianza en las conclusiones estadísticas.
Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de que un valor supuesto (hipotético) es el parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara el estadístico muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (µ). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.
FUNDAMENTO TEORICO ESTIMACIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS Una estimación puntual de la razón de dos varianzas poblacionales σ 12/σ22 está dada por la razón de las varianzas muestrales S 12/S22. 2
2
Si σ1 y σ2 son las varianzas de poblaciones normales, podemos establecer una estimación por intervalos de σ 12/σ22 mediante el uso de la estadística F. F
2
2
2
1
2
S 1
S 2
2
La variable aleatoria F tiene una distribución F con n 1 – 1 – 1 y n2 – 1 – 1 grados de libertad. P ( f 1
/2
F f / 2 ) 1
Reemplazando F, se encuentra que: 2
S 1
S 2
2
*
2 1 2 / 2 2
1
2
S 1
f
S 2
2
* f / 2
Nota: Para la obtención del intervalo de confianza se tuvo en cuenta que f 1 (v1 , v2 )
1 f (v2 , v1 )
(teorema)
FUNDAMENTO PRÁCTICO Ejemplo 1: Una compañía fabrica propulsores para uso en motores de tractores para fines agrícolas. Una de las operaciones consiste en esmerilar el terminado de una superficie particular con una aleación de titanio. Pueden emplearse dos métodos de esmerilado y ambos pueden producir partes que tienen la misma rugosidad superficial promedio. Al ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de 12 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar muestral de 5.1 micropulgadas y una muestra aleatoria de 15 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar muestral de 4.7 micropulgadas. Se quiere encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas poblacionales.
SOLUCIÓN: Si se supone que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie está distribuida normalmente, entonces: 2
S 1 S 2
2
f 0.95,14,11
5.12 4.7 2
*
1 2.58
0.46
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2 1 2 2
S 1 S 2
2
f 0.05,14,11
5.12 4.7 2
* 2.74
3.23
Puesto que este intervalo de confianza incluye el uno, no se puede afirmar, con un nivel de confianza de 90% que las desviaciones estándar de las rugosidades con los dos procesos sean diferentes.
Ejemplo 2: Una empresa de productos cosechados del campo ha estado experimentando con dos disposiciones físicas de los productos en cajas de porcifolonato, para así obtener la mayor disposición en las cajas en experimento, obteniendo como resultados:
Usar una prueba de hipótesis bilateral con regla de decisión determinada por la región de rechazo (use un nivel de significancia del 5%).
SOLUCIÓN: Dado que en tablas, tendremos:
y Luego reemplazando en el intervalo de confianza obtenido para la razón de varianzas, se obtiene que:
Entonces el intervalo de confianza estará determinado por:
Por lo tanto el intervalo de confianza al 5% de significancia será: [ ]
Ejemplo 3: En un estudio sobre el tiempo de desarrollo de una especie de insectos en dos poblaciones aisladas, A1 y A2, se obtuvieron los siguientes datos:
Suponiendo que el tiempo de desarrollo en la población A i sigue una distribución N(µi ; σi), para i = 1, 2…,obtener …,obtener un intervalo de confianza para el cociente de varianzas al nivel 0.80 .
SOLUCIÓN:
Ejemplo 4: Se
requiere conocer los menores tiempos de riego de dos tipos de hortalizas. El ingeniero agrónomo le gustaría seleccionar el riego que tenga la menor variabilidad en los tiempos de riego en la superficie a plantar. Para ello toma una muestra de 10 tiempos del primer riego, la cual tiene una desviación estándar muestral de 5 minutos y una muestra aleatoria de 15 tiempos del segundo riego, la cual tiene una desviación estándar muestral de 4 minutos. Se quiere encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas poblacionales de los tiempos de riego encontrados.
SOLUCIÓN: Si se suponemos que los dos tiempos de riego son independientes y que la superficie está distribuida normalmente, entonces: S 1
2
S 2
2
f 0.95,9,14
2
52 4
2
1
2
*
1 2.87
0.544
2
2
1
2
2
2
S 2
2
52 4
2
f 0.05,9 ,14
* 3.03
2
1
S 1
2
4.734
2
Puesto que este intervalo intervalo de confianza al 90% será: [ ] para los dos tiempo de riego.
Ejemplo 5: Un fabricante de cosechadoras arroz pone a prueba dos nuevos métodos de ensamblaje de motores que utilizan estas cosechadoras de arroz respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran en la tabla: Método 1
Método 2
n1 = 31
n2 = 25
s1 = 50
s2 = 24
Construya un intervalo de confianza del 90% para δ12/δ22.
SOLUCIÓN: Por la recomendación de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente fórmula:
Al despejar:
.
F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24.
y Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera: Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relación de varianzas δ12/δ22 está entre 1.07 y 3.93. Esto supondría que la varianza de la población del método 1 es mayor a la varianza de la población del método 2 entre 1.07 y 3.93.
Ejemplo 6: Se piensa que la concentración del ingrediente activo de un detergente líquido para el control de una plaga de mariquitas, es afectada por el tipo de catalizador utilizado en proceso de fabricación. Se sabe que la densidad del agua donde es diluido para disminuir la concentración activa es de 3 g/l, sin importar el tipo de catalizador utilizado. Se realizan 10 observaciones con cada catalizador, y se obtienen los datos siguientes:
Catalizador 1: 57.9, 66.2, 65.4, 65.4, 65.2, 62.6, 67.6, 63.7, 67.2, 71.0 Catalizador 2: 66.4, 71.7, 70.3, 69.3, 64.8, 69.6, 68.6, 69.4, 65.3, 68.8 Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el cociente de las dos varianzas
SOLUCIÓN: Hallando los datos muestrales tendremos: X 1
65.22
X 2
68.42
S 12
10.677 677
S 22
n 1=10
y
n 2=10
, y 1- α=0.95, entonces α/2 = 0.025, luego
4.4516
Reemplazando en la fórmula antes mencionada:
S 1
2
S 2
2
f 0.975,10,10
10.667
1 2
*
1
4.4516 3.56
0.673
1 2
2 2
2
2
2
S 2
2
f 0.25,10,10
10.667 4.4516
* 3.72
2
1
S 1
2
8.914
2
Por lo tanto el intervalo de confianza confianza al 95% será: [ ] para para los dos catalizadores, diluido en detergente.
CONCLUSIONES: 1. Los test de hipótesis utilizando probabilidad Fisher constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico, para la decisión de los problemas antes resueltos. 2. La distribución Fisher Smederco mide los grados de libertad libertad de las dos distribuciones de las varianzas al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. 3. Los test de hipótesis se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencias de ingeniería, etc.
BIBLIOGRAFIA: 1.
Análisis Estadístico y Gráfico de datos Aleatorioso I, Tom Alban Coppier; 5ta edición, 2009.
2.
Enciclopedia Clarín, Tomo 20 Nagel, Ernest and Newman, James R., Godel's Proof, New York University Press, 1958.
3.
Calculos Estadísticos y Gráficos de Poblaciones Descriptivas Parson R E - Hostetler R P - Edwards, 6ta edición, 20.
4.
Enciclopedia Acuícola Acuícola . Dra Ines Montilla Zavala. Universidad Agraria La Molina. Molina. 4ta edición.
