13- DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN EN LOS SUELOS El caso más sencillo de la distribución de presiones corresponde a una carga concentrada y vertical en la superficie de un terreno considerado homogéneo, elástico e isótropo. El problema matemático fue resuelto fue resuelto por Boussinesq en el año de 1865 mediante la teoría de la elasticidad. Al integrar la ecuación de Boussinesq para una superficie rectangular quedando el punto bajo integración a una profundidad "z" debajo de una esquina, Fadum preparó una table que facilita el problema. 13.1
Determinar la distribución vertical de esfuerzos sobre planos horizontales hasta 5 m, de metro en metro, en la línea de acción de una carga de 100Tn. Concentrada en la superficie del terreno.
Datos: P= Z1=
100.00 1.00
Tn m
Z2=
2.00
m
Z3=
3.00
m
Z4=
4.00
m
Z5=
5.00
m
SOLUCIÓN: El problema se resuelve mediante la formula de Boussinesq para cada metro de profundidad.
Como en este caso se piden los esfuerzos directamente bajo la carga, la fórmula se trabsforma en:
Por tanto: 2
2
Para Z1:
σ1=
47.7
Tn/m =
4.77
kg/cm
Para Z2:
σ2=
11.9
Tn/m2 =
1.19
kg/cm2
Para Z3:
σ3=
5.3
Tn/m2 =
0.53
kg/cm2
Para Z4:
σ4=
2.98
Tn/m2 =
0.298
kg/cm2
Para Z5:
σ5=
1.9
Tn/m =
0.19
kg/cm
13.2
2
2
Para el caso anterior, determinar el esfuerzo a una profundidad de 3,00m y a una ditancia de 2,00m de la línea de acción de la carga:
SOLUCIÓN: La formula de Boussinesq también se escribe así en la que
Datos: z=
3.00
r= Z= r/Z =
1.00 1.00 1.00
KB =
0.833
m
Determinamos el valor de σz σz =
9.256
2
Tm/m =
0.93
2
kg/cm
Los valores de KB en función de la relación (r/Z) se encuentran tabulados para variaciones de 0,01, en el libro de Mecánica de Suelos y Cimentaciones del mismo autor
EN LOS SUELOS
concentrada y vertical en la superficie emático fue resuelto fue resuelto por la ecuación de Boussinesq para una suz" debajo de una esquina, Fadum
ontales hasta 5 m, de metro en metro, en la
ula se trabsforma en:
3,00m y a una ditancia de 2,00m de la línea
a variaciones de 0,01, en el libro de Mecánica
13.3
Una cimentación circular se encuentra desplantada a 2,00m de profundidad en un terreno considerado elástico, homogéneo e isótropo. La cimentación presenta un diámetro de 3,00m y soporta una carga de 100 Tm, incluyendo su peso. Determinar la presión en un plano a 7,5 metros de profundidad directamente bajo la zapata.
Datos: Z= D= R= P=
7.50 3.00 1.50 100.00
m m m Tm
SOLUCIÓN: Para el caso de carga uniformemente distribuida de tipo circular, la fórmula es:
en la que:
Los valores de K (Factor de influencia) para presión vertical bajo en el centro de una carga uniformemente distribuida circular son:
El valor de 14.15
Para una relación
0.4
Tm/m2
K=
0.0571
Por lo que
=
0.808
Tm/m2 =
0.081
kg/cm2
o considerado a una carga de dad directamen-
13.4
Una cimentación rectangular de 15 m de ancho por 30m de largo provoca una presión de contacto de 1,5 kg/cm2 = 15 Tm/m2. Determinar la presión que la zapata provocaría a una profundidad de 3,00m bajo una de sus esquinas.
Datos: L= B= Z=
30.00 15.00 3.00
P=
15.00
m m m Tm/m2
Para resolver estos problemas se usa el gráfico de Fadum que representa la integración de la ecuación de Boussinesq. Cuando el punto estudiado se encuentra bajo una de sus esquinas, la fórmula es:
En la que I (factor de influencia) depende de m y de n que a su vez dependen de:
=
5.00
10.00
Se obtiene del gráfico de Fadum el valor de I
I=
0.25
=
3.75
Tm/m2 =
0.375
kg/cm2
13.5
En el problema anterior, determinar la presión a la misma profundidad, pero en el centro de la zapata rectangular.
SOLUCIÓN: Datos:
Para este caso la zapatase divide en cuatro recuadros:
L= B= Z=
30.00 15.00 3.00
m m m
P=
15.00
Tm/m2
=
2.50
I=
0.2439 4
=
14.63
Cantidad de rectangulos =
Tm/m2 =
1.463
5.00
kg/cm2
Observar la diferencia de valor de σz de este problema con respecto al valor obtenido para una de las esquinas
nido para una de las
13.6
Con los datos anteriores, determinar el esfuerzo a la misma profundidad, pero bajo el punto G.
Datos: L= B= Z=
33.00 18.00 3.00
m m m
P=
15.00
Tm/m2
SOLUCIÓN: Para la solución de este problema se divide el área como se indica y se efectúa lo siguiente:
a) Se calcula, mediante el procedimiento de Fadum, la presión para el punto G como si el área ACIG estuviera totalemente cargada. b) A la presión anterior se le restan las presiones de los recuadros ABHG y DFIG y se le suma la presión del recuadro DEHG que se ha restado dos veces: a) Cálculo de la presión dada por el recuadro ACIG: 6.00
11.00
I=
0.24948 3.74
Tm/m2 =
0.374
kg/cm2
b) Cálculo de los recuadros ABHG, DFIG y DEHG Recuadro ABHG: B= L=
3.00 18.00 1.00
I=
6.00
0.20449 3.07
2
Tm/m =
0.307
kg/cm
2
Recuadro DFIG: B= L=
33.00 3.00 11.00
I=
1.00
0.20457 3.07
Tm/m2 =
0.307
kg/cm2
Recuadro DEHG: B= L=
3.00 3.00 1.00
I=
1.00
0.17522 2.63
Tm/m2 =
0.263
kg/cm2
0.263
kg/cm2
Por lo que la presión resultante a 3,0m bajo el punto G vale: σz = σz1 - (σz2 + σz3) =
2.63
Tm/m2 =
bajo el pun-
lo siguiente:
13.7
Se cuenta con una zapata de 2,0 m de ancho por 3,0m de largo que soporta una carga de 120 Tm (incluyendo su peso) equivalente a una presión 20 Tm/m2. Encontrar la presión que soportarían los puntos A, B, C, D y E a una profundidad Z = 2,5m bajo el nivel de desplante de la zapata
Datos: L= B= Z=
3.00 2.00 2.50
P=
20.00
m m m Tm/m2
SOLUCIÓN: a) El esfuerzo z bajo el punto A a 2,50m de profundidad será para q = 20 Tm/m2:
0.80
I=
1.20
0.16848 3.37
Tm/m2 =
0.337
kg/cm2
b) Para el punto B el esfuerzo será:
0.40
I=
0.60
L= B= Z=
0.08009 6.41
Tm/m2 =
0.641
kg/cm2
c) Para el punto C el esfuerzo será: 1.
2.
3.
4.
m=
0.60
I=
0.04348
m=
0.60
I=
0.13605
m=
0.20
I=
0.0179
m=n = I=
n=
0.20
L= B= Z=
n=
1.00
L= B= Z=
n=
0.20
L= B= Z=
0.20
L= B= Z=
0.0179
σz = P (I1 + I2 + I3 + I4) =
Tm/m2 =
4.3
0.431
kg/cm2
d) Para el punto D el esfuerzo se obtiene así: 1.
2.
m=
0.20
I=
0.05042
m=
0.80
I=
0.15978
σz = P (I1 + I2) =
4.2
n=
0.80
L= B= Z=
n=
1.00
L= B= Z=
Tm/m2 =
0.420
kg/cm2
1.50 1.00 2.50
m m m
0.50 1.50 2.50
m m m
2.50 1.50 2.50
m m m
0.50 0.50 2.50
m m m
2.50 0.50 2.50
m m m
2.00 0.50 2.50
m m m
2.50 2.00 2.50
m m m
Una carga P = 100 Tm, concentrada en la superficie del terreno y situada directamente en el centro de un área de 2,0m de ancho por 3,0m de largo, ¿Qué carga total produciría, a 2,5 m bajo la superficie sobre el área mencionada?¿qué carga total produciría sobre esa área si estuviera desfasada 1,0m del eje de la carga, como se muestra en la figura?
13.8
Datos: L= B= Z= P=
3.00 2.00 2.50 100.00
m m m Tm
SOLUCIÓN: a) valores de m y de n para el caso (a):
0.40
I=
L= B= Z=
0.60
1.50 1.00 2.50
0.08009
Presión total: 32.036
Tm
El esfuerzo sobre el área de 2,0m x 3,0m es de: 5.339
Tm/m2
b) Valores de m y n para el caso (b): 1. Para el rectangulo ACDF: m=n=
1.20
L= B=
3.00 3.00
m m
I=
Z=
2.50
m
L= B= Z=
3.00 1.00 2.50
m m m
0.19584
2. Para el rectangulo ABDE:
0.4 I=
1.2
0.10631
Por lo tanto: 8.953
Tm
El esfuerzo sobre el área es: 1.49
Tm/m2 =
0.149
kg/cm2
m m m
13.9
Mediante el método 2:1, determinar la presión σz que una carga de 120 Tm, disgtribuída en un área de 2,0m de ancho por 3,0m de largo produce a 2,5m de profundidad, bajo su desplante
SOLUCIÓN: La presión promedio se encuentra con la ecuación:
Datos: L= B= Z= P=
3.00 2.00 2.50 120.00
m m m Tm
4.85
Tm/m2 =
0.485
kg/cm2
La presión σz anterior es la presión media a la profundidad indicada. La presión máxima aproximada se encuentra multiplicando la presión media por 1,5. Así, la presión máxima en este problema es: 7.3
Tm/m2 =
0.73
kg/cm2
13.10 Si la distribución de presiones del ejemplo anterior se hiciera no con la pendiente 2 en 1 sino bajo un ángulo de 30°, ¿Cúal sería, para el caso anterior, la presión media a la misma profundidad? 4.19
La presión máxima sería 6.28
Tm/m2
2
Tm/m =
0.42
kg/cm
2
