FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS Las funciones elementales básicas son:
F. potencial:
F. exponencial:
F. logarítmicas
F. trigonométricas y sus inversas
La mayor parte de las funciones con las que trabajaremos a lo largo del curso se construyen a partir de estas funciones elementales básicas. Conocer estas funciones y manejarlas con soltura es primordial para seguir con éxito el curso.
Función Potencial
Una función potencial es una función de la forma:
, fijo)
en donde el exponente n es un número real fijo. El dominio, las características y la forma de la gráfica de una función potencial dependen mucho de cuál sea el exponente. A continuación se presentan los casos más relevantes:
2
Funciones elementales básicas
Función potencial con exponente entero positivo Si
x
x
n par
n impar
f x x2 , x 4 , x 6 ,
f x x3 , x5 , x7 ,
Función potencial con exponente entero negativo Si y
y
x
x
n par
f x
1
x 2
,
1
x4
,
1
x6
,
n impar
f x
1
x
,
1
x3
,
1
x5
,
Funciones elementales básicas
Función potencial con exponente fraccionario positivo
Raíces de orden ord en par p ar : Si
p
q
Raíces de orden or den i mpar : Si
p
q
y
y
x
x
x
n
1 2
1
;
f x x 2
n
x
Se supone que la fracción
p
3
1
;
f x x 3
3
2 n ; 3
x
es una fracción irreducible, es decir,
q
1
2
f x x 3 x 2 3
.
Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Aquí damos las más usadas.
Nota:
Un error común al trabajar con raíces de cuadradas, y en general con cualquier raíz de orden par, es pensar que la notación engloba tanto a la raíz cuadrada positiva como a la raíz cuadrada negativa del número x, es decir, muchas veces se piensa que lo lo cual es falso. Escribir es exactamente lo mismo que escribir , es decir, .
3
4
Funciones elementales básicas
Función potencial con exponente fraccionario negativo
Raíces de orden par : Si
p
q
Raíces de orden i mpar : Si
p
q
y
y
y
x
x x
Se supone que la fracción
p
es una fracción irreducible, es decir,
q
.
Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Sólo mostramos las más usuales.
Propiedades de exponentes y radicales Si
, entonces:
Insistimos en que estas propiedades son ciertas siempre y cuando . En este caso, no hay ningún problema al aplicarlas. Sin embargo, muchas de ellas se pueden emplear cuando alguno de los valores es negativo y es aquí, sobre todo en la propiedades relacionadas con los radicales, cuando surgen los problemas y hay que tener mucha precaución a la hora de usarlas. Veamos algún ejemplo:
Funciones elementales básicas
Ejemplo 1:
Si n es impar la propiedad
se puede aplicar cualquier valor de x y de y. Es
decir,
si n es impar
Por ejemplo,
.
Sin embargo, cuando la raíz es de orden par, el escribir la raíz de un producto como el producto de las raíces puede acarrear serios problemas si ambos factores no son positivos. Si tomamos , ¿se cumple que ? Todo lo comentado aquí también es válido para la propiedad
x
n
n
x
n
y
y
.
Ejemplo 2:
Otra propiedad con la que hay que tener mucho cuidado al aplicarla sobre valores negativos es .
De nuevo, si n es impar (el valor de m es indiferente) la propiedad tiene carácter general para cualquier valor real de x.
El problema vuelve a surgir cuando el valor de n es par. Siempre que aparece la expresión solemos simplificarla empleando la propiedad anterior ( ) y concluimos que , sea cuál sea el valor de x.
Si x es positivo, la propiedad está correctamente aplicada. Pensemos un poco: ¿Tiene sentido la expresión cuando x es un número negativo? Si sustituimos, por ejemplo, x por (7) la expresión quedaría como , expresión que no tiene sentido porque un número positivo, (recordemos que hemos convenido que ), nunca puede ser igual a un número negativo1.
Para no tener problemas, conviene acostumbrarse desde el principio a usar la propiedad correcta que dice:
1
No hay que confundir lo aquí explicado con el hecho de que las soluciones de la ecuación
.
5
6
Funciones elementales básicas
Las funciones potenciales aparecen con frecuencia en biología. Muchas veces, al estudiar dos variables conjuntamente se deduce que una de ellas es proporcional a una potencia de la otra, es decir, si x e y representan dichas variables:
o, alternativamente:
donde k es una constante de proporcionalidad. En particular, la alometría trata de cuantificar relaciones entre distintas medidas de un organismo, fundamentalmente con la masa de éste, basándose en ecuaciones del tipo anterior. Por ejemplo, para mamíferos uterinos se han desarrollado modelos que permiten relacionar variables como la tasa de consumo de oxígeno TCO (en mililitros por minuto), la frecuencia respiratoria FR (en ciclos por minuto) y el peso de los pulmones P pulm (en gramos) con la masa M (en kilogramos) del animal. En la siguiente tabla se muestran dichas ecuaciones2: Variable dependiente
Variable independiente
Tasa de consumo de oxígeno
Masa
Peso de los pulmones
Masa
Frecuencia respiratoria
Masa
Ecuación
Reflexiona: ¿Qué significado tiene el hecho de que el exponente de la función potencial sea
mayor que 1, igual a 1, comprendido entre 0 y 1 ó menor que 0?
2
Éstas y muchas más ecuaciones alométricas se pueden encontrar en la página http://www.um.es/fisfar/efalom.pdf
Funciones elementales básicas
Función Exponencial
Para cualquier constante
, se define la función exponencial de base b como la función:
La función exponencial por excelencia es aquella que tiene como base al número e de Euler o constante de Neper ( ), es decir, . A dicha función la denominaremos función exponencial natural o simplemente función exponencial. Cuando el exponente de la función exponencial es complicado suele ser cómodo emplear la notación
Por ejemplo, en vez de escribir
se puede escribir, con mayor claridad
es decir:
Nótese que en una función exponencial la base b es fija y es el exponente quien es variable. El dominio de cualquier función exponencial es y, salvo para , que es una función constante, la forma de su gráfica depende de que el valor de b sea mayor o menor que 1. A continuación se muestran ambas posibilidades:
7
8
Funciones elementales básicas
Función exponencial y
y
1
1 x
x
Función estrictamente decreciente
En la siguiente figura se observa que, si la base es más rápido al aumentar el valor de b.
Función estrictamente creciente
, el crecimiento de la función exponencial
y 6
x
y 4
x
y e
x
Funciones exponenciales para distintos valores de b (
)
La función exponencial permite modelar matemáticamente diferentes comportamientos poblacionales, magnitudes físicas, fenómenos medioambientales,... Veamos un ejemplo: Ejemplo: Algunas bacterias se reproducen muy rápidamente. Supongamos una población inicial de 100 bacterias que se duplica cada hora. Sea el número de bacterias en la población en la hora t . Puesto que la población se duplica cada hora, es fácil ver que:
Funciones elementales básicas
Cada hora que pasa la población se duplica
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ Siguiendo la misma pauta, podemos calcular el número de individuos en la población transcurrido cualquier número de horas. El número de bacterias en función del tiempo admite como modelo la función:
(bacterias en la hora t )
Ahora podemos calcular el número de bacterias en la población transcurrido cualquier periodo de tiempo: media hora, tres cuartos de hora, o en el instante 3,1 horas:
Hemos obtenido una función que permite calcular el número de bacterias en la población en cualquier instante . Advertencia: No debe confundirse la función exponencial con la función potencial.
Función potencial
Función exponencial
: base var iable, exponente fi jo. : base fi ja, exponente vari able.
Aunque las reglas de los exponentes se apliquen a ambas son funciones con propiedades diferentes. Un error bastante frecuente es derivar una función exponencial como si de una función potencial se tratara.
Función
Potencial
Exponencial
Derivada Correcto
Incorrecto
9
10
Funciones elementales básicas
En el siguiente gráfico se compara la gráfica de una función potencial con una exponencial. Para valores de x lo suficientemente grandes las funciones exponenciales (con ) crecen mucho más rápidamente que las potenciales (con ).
y
y b
x
y x
n
x
En el intervalo , las funciones exponenciales ( mucho más rápidamente que las funciones potenciales (
) crecen )
Función Logarítmica
Sea . Para cualquier valor positivo x se define el logaritmo en base b de x como el exponente al que debe elevarse b para obtener el número x. Al logaritmo en base b de x lo denotaremos como logb x . Por lo tanto:
Por ejemplo:
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ Se denomina función logarítmica de base b a la función que a cada valor positivo de x le hace corresponder el valor de , es decir tal que:
Por lo tanto,
.
Funciones elementales básicas
Reflexiona: ¿Por qué el dominio de un logaritmo ha de ser
calcular logaritmos con base negativa?
? ¿Por qué no se pueden
Al igual que con la función exponencial, el logaritmo más empleado es el de base e. A éste se le denomina logaritmo natural o neperiano y se le denota usualmente por ln (x ), es decir
Cuando la base del logaritmo es 10, hablamos de logaritmos decimales y nos referiremos a ellos como .3
Basándonos en la definición es fácil ver que:
Y para logaritmos neperianos:
Por lo tanto, las funciones exponencial y logarítmica de base b son funciones inversas por lo que sus gráficas son simétricas respecto de la recta y x : y y b
x
y log b x b 1 1 b
x
Gráficas de las funciones exponencial y logarítmica de base b con
3
b
1
Existe algo de confusión en cuanto a la notación empleada para los logaritmos. En algunos manuales la notación (sin especificar la base) se reserva para los logaritmos neperianos aunque lo habitual es reservar esta notación para los logaritmos decimales.
11
12
Funciones elementales básicas
Reflexiona:
Si , ¿cómo son los valores de si gráfica de una función logarítmica de base b en donde
? ¿Y si ??
? ¿Cómo será la
Propiedades de los logaritmos
Si
y r es cualquier número real:
Reflexiona: ¿Son ciertas las propiedades anteriores para cualquier par de números reales x e y?
Originariamente los logaritmos se empleaban para trabajar con grandes números teniendo la ventaja de transformar productos y cocientes en sumas y restas, respectivamente. Actualmente los logaritmos se usan en ingeniería y en ciencias para manejar cantidades cuyos valores varían en un rango excesivamente grande. Los logaritmos intervienen en la definición de pH. El pH indica la concentración de iones hidronio [H3O+] presentes en un medio material (mezclas, disoluciones, etc.). Esta concentración es muy variable, pudiendo tomar valores comprendidos entre 101 y 1014 M, aproximadamente, cuando nos referimos a disoluciones en agua. Así, en vez de trabajar directamente con la concentración de iones hidronio es más cómodo usar su logaritmo decimal. Entonces, el pH se define como:
En la siguiente tabla se muestran los valores de la concentración y el correspondiente valor del pH:
Funciones elementales básicas
13
1
0,1 0,01 0,001 0,000 1 0,000 01 0,000 001 0,000 000 1 0,000 000 01 0,000 000 001 0,000 000 000 1 0,000 000 000 01 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 1 0,000 000 000 000 01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014
Concentración de iones hidronio y su correspondiente pH.
Veamos algunos ejemplos de trabajo con logaritmos:
Sabiendo que
Ejemplo 1:
calcula, sin usar la calculadora,
y
.
Solución:
Ejemplo 2:
Resuelve la ecuación
Solución:
,
14
Funciones elementales básicas
Conclusión: La única solución de la ecuación es está definido ni en ni en .
Ejemplo 3:
ya que el logaritmo neperiano no
Resolver la ecuación
Solución:
Puesto
que
hemos
obtenido
una
ecuación que sólo depende de la ecuación anterior se transforma en
la ecuación de 2º grado:
Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son . Como no nos interesa el valor de y sino el valor de la incógnita x hemos de deshacer el cambio de variable:
Si Si
Conclusión: La única solución de la ecuación es
(no hay solución)
.
Cambio de base:
Aunque revisando textos matemáticos anteriores a 1950 se pueden encontrar tablas de logaritmos en base 2, en la actualidad sólo se trabaja, fundamentalmente, con logaritmos decimales y neperianos. De todas formas, para encontrar el valor numérico de un logaritmo en base distinta a 10 o distinta al número e se puede recurrir a la fórmula
Funciones elementales básicas
Errores muy graves y frecuentes:
(Corrígelo tú mismo).
Funciones Trigonométricas
La palabra trigonometría deriva de los vocablos griegos trigonon (triángulo) y metria (medición). En este apartado presentamos un breve repaso de las funciones trigonométricas y sus representaciones gráficas. Definiciones:
Radi án y gr ado sexagesimal:
Un radián (rd) es la medida del ángulo central de una circunferencia que corresponde a un arco cuya longitud igual al radio de la circunferencia. Un grado sexagesimal (1 o) es la medida del ángulo central que corresponde a un arco cuya longitud es
Por tanto:
1 360
de la longitud de la circunferencia.
radianes
radianes
radianes
Para hacer la conversión de grados a radianes basta aplicar una regla de tres o la relación anterior para deducir que: radianes
ao 180o
radianes
Análogamente para convertir radianes a grados se utiliza la fórmula:
15
16
Funciones elementales básicas
ao
radianes radianes
180o
Def ini ción de las fu nci ones tr igonomé tr icas
Se considera la circunferencia de centro el origen O y radio 1 y sobre ella un punto cualquiera P de coordenadas . Sea el ángulo que forma la dirección positiva del eje de abscisas con el segmento OP . Las funciones trigonométricas se definen como: Construcción de las funciones trigonométricas y 1
sen ( ) y
P(x, y ) 1
tan( )
y
-1
O
x
x
1
csc ( )
cos( ) x
y
cot( )
x 1 sen( )
sec( )
1 tan( ) 1 cos( )
-1
Algunas fórmulas importantes
a) Se dice que un ángulo es complementario del ángulo si
2
radianes. Es fácil
deducir entonces que si y son ángulos complementarios se cumple que sen( ) cos( ) cos( ) sen( ) tan( ) cot( )
b) Identidad fundamental sen ( x) cos ( x) 1 2
2
Se deduce por tanto que sen( x) 1 cos2 ( x ) cos( x) 1 sen 2 ( x)
El signo quedará completamente determinado una vez se conozca el cuadrante en el que se sitúa el ángulo x. A partir de la anterior fórmula es fácil ver que también se cumple que:
Funciones elementales básicas
17
tan 2 ( x) 1 sec 2 ( x)
c) Identidades para la suma y la resta sen( x y) sen( x) cos( y) cos( x) sen( y) cos( x y) cos( x) cos( y) tan( x y )
sen( x) sen( y)
tan( x) tan( y) 1 tan( x ) tan( y)
Es fácil deducir entonces las relaciones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad: sen(2 x) 2 sen( x) cos( x)
sen( x / 2)
cos(2 x) cos 2 ( x) sen 2 ( x)
cos( x / 2)
tan(2 x)
2 tan( x)
tan( x / 2)
1 tan 2 ( x)
1 cos( x ) 2 1 cos( x ) 2 1 cos( x) 1 cos( x)
d) Algunos valores importantes x
sen (x )
cos(x )
tan (x )
0
0
1
0
1
6
2
4
3
2 2 3
3 2
3 3
2 2
1
1
3
2
2
1
0
No definida
0
1
0
2
1
0
No definida
2
0
1
0
2
3
Ejercicio 1:
Dado un ángulo deduce las razones trigonométricas de los ángulos , y .
,
18
Funciones elementales básicas
Representación gráfica de las funciones trigonométricas y
2,5 p
2p
1,5 p
p
y
1
1
0,5
0,5
0,5 p 0
0,5 p
1,5 p
p
2p
2,5 p
2,5 p
2p
1,5 p
p
0,5 p 0
0,5
0,5
1
1
0,5 p
y sen(x)
y cos(x)
y
y
p
1,5 p
2p
2,5 p
2,5 p
2p
1,5 p
p
0,5 p 0
0,5 p
p
1,5 p
2p
2,5 p
y tan( x) y
1
x 2,5 p
2p
1,5 p
p
0,5 p
0,5 p
p
1,5 p
2p
2,5 p
x 2,5 p
2p
1,5 p
p
0,5 p
0,5 p
p
1,5 p
2p
2,5 p
2,5 p
2p
1,5 p
p
0,5 p
0,5 p
p
1,5 p
2p
2,5 p
-1
y csc(x )
y sec(x )
y cot(x)
En todas las gráficas el ángulo x está dado en radianes.
Funciones elementales A las funciones exponenciales y logarítmicas junto con las trigonométricas y sus inversas se les denomina funciones trascendentes. Estas funciones junto con las potenciales se conocen como funciones elementales básicas.
Las funciones elementales básicas se pueden combinar usando
las operaciones aritméticas de suma (), resta (), multiplicación (×) y división (÷) y la composición de funciones. A las funciones obtenidas de tal manera las denominaremos funciones elementales.
Funciones elementales básicas
Funciones elementales básicas F. potenciales
F. exponenciales
F. logarítmicas
F. trigonométricas
FUNCIONES ELEMENTALES El nombre de elemental no implica sencillez. Las funciones elementales pueden tener un aspecto tan complicado como: 5
3 cos( x 8 ) x7 5 e x 3 f ( x ) arctg 2 ln(sen ( x 8)) 4
Sin embargo, hay funciones que no son elementales y son tan sencillas como:
g ( x)
1
si x 0
1 si x 0
La función anterior no es elemental al intervenir en su definición una operación lógica (el " si" condicional). Estas operaciones no están permitidas en la definición de funciones elementales.
Transformaciones de funciones Muchas veces la gráfica de una función se puede obtener mediante transformaciones sencillas de funciones conocidas. Por ejemplo, es fácil dibujar la gráfica de la función g ( x) ( x 2)3 o de h( x) ( x 5)3 si conocemos la gráfica de f ( x) x3 .
19
20
Funciones elementales básicas
Gráficas de f ( x )
3
x , de g( x )
( x 2) 3 y de h( x )
( x 5)3
Las tres gráficas tienen exactamente la misma forma. Las gráficas de g ( x) ( x 2)3 y de h( x) ( x 5)3 se obtienen
mediante traslación horizontal de la gráfica de
f ( x) x3
Las transformaciones más sencillas son:
Traslaciones Reflexiones Contracciones y expansiones
TRASLACIONES VERTICALES
Si
Si
La gráfica de
La gráfica de
“a” unidades hacia arriba.
“a” unidades hacia abajo.
Funciones elementales básicas
TRASLACIONES HORIZONTALES
Si
Si
21
La gráfica de
La gráfica de
“a” unidades hacia la derecha.
“a” unidades hacia la izquierda.
En definitiva, si esquema:
quedan resumidas en el siguiente
Traslaciones de
Ejercicio 2:
Partiendo de la gráfica de la función siguientes funciones: (a) (c)
(b) (d)
dibuja la gráfica de las
22
Funciones elementales básicas
Ejercicio 3:
Partiendo de la gráfica de la función funciones: (a) (c)
dibuja la gráfica de las
(b)
(d)
REFLEXIONES
Reflexión respecto al eje OX
Reflexión respecto al eje OY
La
gráfica
respecto al eje de a bscisas OX .
Ejercicio 4:
La
respecto al eje de ordenadas OY .
Partiendo de la gráfica de la función funciones: (a)
gráfica
Partiendo de la gráfica de la función funciones: (a)
Ejercicio 5:
de
dibuja la gráfica de las
(b)
dibuja la gráfica de las
(b)
de
Funciones elementales básicas
Ejercicio 6:
Partiendo de la gráfica de la función funciones (a)
dibuja la gráfica de las
(b)
EXPANSIONES Y CONTRACCIONES VERTICALES
Expansión vertical
Contracción vertical
EXPANSIONES Y CONTRACCIONES HORIZONTALES
Expansión horizontal
Contracción horizontal
23
24
Funciones elementales básicas
Ejercicio 7:
Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las funciones: (a) (c)
Cualquier parábola es una transformación de la función
Ejercicio 8:
obtén la ecuación y
(b) (d)
Reescribe la ecuación de las siguientes parábolas en la forma:
y utiliza dicha escritura para dibujar su gráfica partiendo de la gráfica de la función
Indicación:
.
(a)
(b)
(c)
(d)
La ecuación de cualquier parábola (vertical), en la forma:
, se puede reescribir
Para ello, basta con igualar los dos términos de la derecha, identificar coeficientes y resolver el sistema obtenido. Por ejemplo, consideremos la parábola de ecuación Si deseamos escribir esta parábola como tendremos que igualar ambas ecuaciones. Así:
Desarrollando el término de la derecha
Identificando coeficientes:
Grado [2]
Funciones elementales básicas
⟹ Grado [1] Grado [0]
Grado [2]: Si
Grado[1]:
Grado[0]:
. Por comodidad 4 elegimos
. Puesto que
se tiene que
Luego, la ecuación
, es decir,
ha quedado reescrita como
Podemos utilizar esta reescritura para dibujar la gráfica de la parábola a partir de transformaciones sobre la gráfica de la función .
Problemas propuestos
1.
2.
Halla todos los números reales x que verifican las siguientes desigualdades:
4
(b) 5( x 1) 3
(d) x3 2 x2 5 x 6
(e)
Dadas las funciones ( x ) ( 0 )
3.
(a) 3 x 5 x
x 1 3 x 5
1 x 1 2
(c) x3 3 x 2
1 2
y ( x) x 2 4 , calcula ( 1/ x ), 1/ ( x ), ( 2 x ),
y ( 2 x ). 1 x a b . Comprueba que f ( a ) f ( b ) f . 1 ab 1 x
Sea f ( x) log
Tabié s u i aa α va ativ si qu s sa ht st s áus
25
26
Funciones elementales básicas
4.
Sean f ( x ) log( x) y g ( x ) x3. Calcular f ( g ( a )) y g ( f ( a )). ¿Es conmutativa, en general, la composición de funciones?
5.
2 1 Resuelve la ecuación 27 9
6.
Despeja x en las siguientes ecuaciones:
x
y
7.
.
e x e x
y
2
e x e x e x e x
Despeja u en las ecuaciones: s
8.
3
x
log u 1 ln u 1
s
105
u
Los sismólogos utilizan la escala de Richter para medir y reportar la magnitud de los terremotos. La magnitud o número de Richter de un terremoto depende del cociente de la intensidad, I , de un terremoto entre la intensidad de referencia, I 0 , que es el movimiento más pequeño de la tierra que puede registrarse en un sismógrafo. Los números de Richter a menudo se redondean a la cifra de las décimas o las centésimas y está dado por la fórmula I I 0
R log10
Si se determina que la intensidad de un terremoto es 50000 veces la intensidad de referencia, ¿cuál es su lectura en la escala Richter? Resuelve sin calculadora. Indicación: log10 5 0,69
9.
El volumen, L, de un sonido, en decibeles (dB), que percibe el oído humano depende del cociente de la intensidad, I , de dicho sonido entre el umbral, I 0 , de escucha del oído humano promedio, según la fórmula
I I 0
L 10 log10
dB
Encuentra el volumen de un sonido que posee una intensidad 10000 veces el umbral de escucha del oído humano promedio. Resuelve sin calculadora. 10. El gas de invernadero más abundante es el dióxido de carbono. Según el pronóstico de las Naciones Unidas, en el peor escenario posible, la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera se puede aproximar con C (t ) 277e0.00353 t con 0 t 350
Funciones elementales básicas
donde t es el tiempo en años a partir de 1750 y C (t ) viene medido en ppm (partes por millón). a) Aplica el modelo para estimar la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera en 1950, 2000, 2050 y 2100. b) Según el modelo, ¿cuándo, aproximando a la década más cercana, esa cantidad rebasará las 700 ppm? 11. El carbono 14 es un isótopo inestable que se desintegra de forma continua transformándose en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 que queda en una muestra que contenía al principio A gramos de carbono 14 está dada por C (t ) A 0, 999879t
donde t es el tiempo en años. En la actualidad, un fósil contiene 4,06 g de carbono 14. Se estima que originalmente el fósil contenía 46 g. Calcula, aproximadamente, la edad del fósil. 12. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que t semanas después de su brote el número de personas infectadas está dado por f (t )
10000 1 C e kt
Si 2 000 personas estaban infectadas al principio y 5 000 habían sido infectadas al final de la cuarta semana, ¿cuántas personas estarán infectadas al final de la octava semana? Resolver sin calculadora. 13. La concentración de alcohol en sangre de una persona es 0,2mg/dl tras ingerir una bebida alcohólica. Si la cantidad de alcohol en la sangre decrece de forma exponencial y se elimina la cuarta parte cada hora, encuentra la función f (t ) A e t con A, que mide la concentración de alcohol en sangre, transcurridas t horas desde la ingestión. 14. Las ventas de ordenadores están sujetas a fluctuaciones estacionales. Los ingresos trimestrales de la empresa Computer Phaseos en 1995 y 1996 se pueden aproximar con la función f (t ) 0,11 sen(1,39t ) 0,5 con 1 t 8
donde t representa el tiempo en trimestres (t =1 el final del primer trimestre de 1995) y f (t ) viene medido en miles de millones de euros. ¿Cuáles fueron los ingresos máximos y
27
28
Funciones elementales básicas
mínimos de la empresa? 15. En un cultivo están desarrollándose bacterias. El tiempo t (en horas) para que el cultivo se duplique (denominado tiempo de generación) es función de la temperatura T (en oC) del cultivo. Si el tiempo de generación viene dado por: 11 1 T si 30 T 36 24 24 t f T 4 T 175 si 36 T 39 3 4
Determina el dominio de f , calcula f 33 , f 36 y f 38 y dibuja su gráfica.
16. La gráfica de la función
es conocida. Describe cómo obtendrías la gráfica de
cada una de las siguientes funciones partiendo de la gráfica de f . (a) (c) (e) (g) (i) (k) (m) (o)
17. Explica cómo puedes obtener la gráfica de (a) (b) (c) (d) (e) (f)
(b) (d) (f)
(h) (j) (l)
(n) (p)
:
Funciones elementales básicas
(g) (h)
18. Esboza cada una de las siguientes gráficas partiendo de la gráfica de una función elemental básica: (a) (c) (e) (g) (i) (k)
(b) (d) (f) (h) (j) (l)
19. Calcula el dominio natural de definición de las siguientes funciones: (a) (d) (g) (j)
1 x ax ax x x 2
(d)
(h)
x 3 x 1
(o) ln 5 4 x x x 2 4 ln x( x 6)
(u) ln [tan ( x)]
1/ ( x 2 )
10 3cos( x) 1
x 3 x 1
(p) ln 1 e
1 ln 36 x 2
2
3
x a 3 x b
(f) arcsen( x)
2
9
(i)
1
(l)
x3 6x 2 11x 6
(q)
4 x ln 2 2 x
(y) 1
(c)
x 2
(ñ) ln x 2 25
ln( x)
(v)
1/ x
(s)
x 2 6
(n) 2
(x) x 5
1
(k)
(m) ln( x)
(r)
3 x 4 7 x
(b)
3 x
x 2
(t)
x 2 1 ln 2 x 2 1
1 ln cos( x)
x2 3x 4 ln 3 x
(w)
x 1 x 7 x
(z)
1 2
4
29
