Ejercicios de riesgo y rentabilidad 1) Calcule la rentabilidad esperada, la varianza y el desvío standard de un portafolio formado por ambas acciones en partes iguales:
Esce Escena nari rio o Pro Probabi babili lida dad d Reto Retorn rno o de A Reto Retorn rno o de B Recesión !" #$ " %" &ormal $'" (" $" Boom )!" '" #$ " Rta: E*r +!,()" σ= ,-" Resolución: Escenario
Probabilidad
Recesión &ormal Boom
Retorno de de Retorno A de B #$" %" (" $" '" #$"
!" $'" )!"
-
Prob.RA
Prob .RB
#-" " )" " /" #-" %,'" ,$!" 0edia de 0edia de A B
-11 desvios A desvios B Prob #-),'" 2,!!" #'," #-,'" -,!!" #','-" -',('" #2,$!" #',$" #',$/" Cov entre A y B
*desv de B+3 1 *desv de A+3 1 prob prob
',$)2" ',''2" ',$'(" ',(!'" %,-/"
',-'/" ','-'" ',-$2" ',2" 4arianzas !,-)" 5esvios
varianza de la cartera 5esvio de la cartera
','$$" ,-'!"
Rentab. Esperada del portafolio: E*r+
0.092 + 0.0245 2
=
0.05825
1
4arianza del portafolio 0,85 * 0,5 2
+
0,262 * 0,5 2 +2 * 0,5 * 0,5 * (−0, 47)
=
0,044%
5esvio del portafolio 2,105%
+ 6n inversor posee un capital de 7-''.''' y est8 evaluando cómo invertirlo. 9uponga ue est8 considerando invertir en dos activos riesgosos, A y B, y un activo libre de riesgo, ;. A continuación se proporciona la información sobre rentabilidades esperadas, riesgo y correlación: Rendimiento Esperado '" -!" !"
Acción A Acción B Bonos del
5esvío )'" '"
El coeficiente de correlación entre la rentabilidad de la acción A y la de la acción B es 0.25. Calcular: a+ =a rentabilidad esperada y el riesgo del portafolio si el inversor decide invertir 7!'.''' en el activo A y 7!'.''' en el activo B. Rta: -/,! " y '" E ( r p ) = 0.5 * 20% + 0.5 *15% = 17.5%
σ p2
=
0.5 2 * 30 2
σ p
=
20%
+
0.5 2 * 20 2
+
2 * 0.5 * 0.5 * 0.25 * 30% * 20% = 400
b+ =a rentabilidad esperada y el riesgo de un portafolio compuesto por 7!.''' en el activo A y 7/!.''' en bonos del tesoro. Rta: (,/!" y /,!"
E ( r p ) = 0.25 * 20% + 0.75 * 5% = 8.75%
σ p2
=
0.25 * 30
2
σ p
=
7.5%
2
=
56.25
Aclaración: Como los bonos del tesoro tienen riesgo igual a ', de la fórmula de la varianza se elimina el segundo y tercer t>rmino, se podría usar directamente: σ p
=
0,25 * 30
=
7,5%
c) =a rentabilidad esperada y el riesgo de un portafolio compuesto por los tres activos en las siguientes proporciones: )!" en A, !" en B y $'" en ;. Rta: -,/!" y -,/-"
2
E ( r p )
=
0.35 * 20% + 0.25 *15% + 0.4 * 5%
σ p2
=
0.35 2 * 30 2
σ p
=
12.71%
+
0.25 2 * 20 2
+
=
12.75%
2 * 0.35 * 0.25 * 0.25 * 30 * 20 = 161.5
d) Conforme al CAP0, si conocemos ue el beta del activo A es -,'! ?Cu8l sería la rentabilidad esperada del portafolio de mercado y el beta de los otros dos activos, B y ;@ Rta: -%,(" ',/ y '.
E (r A ) = r f
+
β A ( r m
20 =5 + 1.05 * (r m
r
− f
− 5) ⇒
r m
=
20 − 5 1.05
+ 5 = 19.285%
El beta del activo " se! :
β "
=
r B
− f
r
r m
− f
r
=
15 − 5
=
19.285 − 5
0.7
El beta del activo F es :
β F
=
0
e+ ?Cu8l sería el costo del capital propio de la acción de una empresa C, conforme al CAP0, si tal acción tiene la misma volatilidad o desvío est8ndar ue la de la empresa B@ Respuesta: Para conocer el rendimiento esperado de la acción de la empresa C deberíamos conocer su Beta, información ue no se nos brinda. 5os activos pueden tener la misma volatilidad o desvío est8ndar pero ello no significa ue deban tener la misma rentabilidad esperada conforme al CAP0. El beta de un activo determina su rentabilidad esperada, pues este es la medida del riesgo relevante o remunerable de un activo *riesgo sistem8tico, de mercado o no diversificable+.
f+
9i la correlación entre el activo A y el activo B fuera - ?Cu8l sería el desvío est8ndar de la cartera del punto a+@ σ p2
=
0.5 2 * 30 2
σ p
=
25%
+
0.5 2 * 20 2
+
2 * 0.5 * 0.5 *1* 30% * 20% = 625
Rta: !" g+ Puede comprobar f8cilmente ue el desvío est8ndar de la rentabilidad del portafolio del punto anterior es un promedio ponderado del desvío de los activos ue lo integran ?Es este resultado siempre v8lido@ Respuesta: σ p
=
0.5 * 30 + 0.5 * 20 = 25%
=a afirmación ue el desvío est8ndar del portafolio es un promedio ponderado del desvío de los activos ue lo integran es correcta en este caso ue ro-. Pero ese resultado no es v8lido para coeficientes de correlación distintos de -. En el caso planteado, no ay efecto diversificación pues los activos est8n perfectamente correlacionados. Para coeficientes de correlación diferentes de - el desvío del portafolio ser8 menor al promedio del desvío de los activos *efecto diversificación.+
3
+ 9i los rendimientos del activo A y del activo B fueran independientes *coef. 5e correlación igual a '+ ?Cu8l sería el desvío del portafolio del punto anterior@ ay en este caso efecto diversificación@ Rta:-(,')" σ p2
=
0.5 2 * 30 2
σ p
= 18.03%
+
0.5 2 * 20 2
+
2 * 0.5 * 0.5 * 0 * 30% * 20% = 325
n ay efecto diversificación.
) ?Cu8l es el rendimiento esperado del portafolio de mercado en un momento en ue el rendimiento de las letras del
Rta: -," 0.14 = 0.05 + 1.25 ∗ ( E (r M ) − 0.05)
⇒
E (r M ) =
0.14 − 0.05 1.25
+
0.05 = 0.122
!) ?Cu8l es la tasa de retorno esperada por un inversor sobre una acción ue tiene una beta de ',% cuando el rendimiento del mercado es del -!", y las =etras del
Rta: -$," E ( r )
=
0.07 + 0.9 ∗ ( 0.15 − 0.07 )
=
0.142
5) ?Du> retorno podría esperar un inversor cuyo portafolio est8 compuesto en un /!" por el portafolio del mercado y en un !" por =etras del tesoro, si la tasa libre de riesgo es del !" y la prima de riesgo del mercado es de %"@
Rta:--,/!"
E ( r M ) = 0.09 + 0.05 = 0.14 E ( r ) = 0.75 ∗ 0.14 + 0.25 ∗ 0.05 = 0.1175
") 6na acción tiene βa ',( y E*ra+ -)" anual. =a rentabilidad del activo libre de riesgo es $" anual.
-. ?Cu8l ser8 el rendimiento esperado de una cartera igualmente invertida en ambos activos@ (,!"
Rta:
E ( r cart ) = 0.5 ∗ 0.13 + 0.5 ∗ 0.04 = 0.085 . 9i el β de una cartera formada por estos dos activos es ',2 ?cu8l ser8 el peso de cada activo@ Rta: ',/! del activo aF y ',! del libre de riesgo. β cart
=
x f
1 − x a
=
xa
∗
0.8 + x f ∗ 0 ⇒ xa
=
=
0.6 0.8
=
0.75
0.25
). 9i el rendimiento esperado de una cartera formada por estos dos activos es del --", ?cu8l es su β@ Rta: β ',2
4
E ( r merc )
β cart
=
0.13 − 0.04 0 .8
0.11 − 0.04 0.1525 − 0.04
=
+
=
0.04
=
0.1525
0.6222
#) =a rentabilidad de las letras del tesoro es del $", y la rentabilidad esperada de la cartera de mercado es de -". Bas8ndose en el CAP0:
1. ?Cu8l es la prima de riesgo de mercado@ prima
=
0.12 − 0.04
=
Rta: ("
0 .08
2. Cu8l es la rentabilidad deseada para una inversión con un beta de -,!@ Rta: -2" E ( r ) = 0.04 + 1.5 ∗ 0.08 = 0.16
3. 9i el mercado espera una rentabilidad de --," de la acción G, ?cu8l es la beta de esta acción@ Rta: %"
β X
=
0.112 − 0.04 0.12 − 0.04
=
0.09
$) 5etermine la Beta de la acción A, bas8ndose en la siguiente serie de rentabilidades:
Retornos de la Acción A Retorno del 0ercado 2" !" -!" -,!" # $," # ),!" %" /,!" Rta.: -,'
β =
COVAR act
−
VAR merc
merc
=
0.005367 0.004473
=
1.2
) 5eterminar el costo de capital propio ue e1igir8n los accionistas de una empresa ue cotiza en bolsa cuyo beta es de -,'. 6sted dispone de la siguiente información referida a tasas libres de riesgo y al rendimiento esperado del mercado son:
&'(*
+((
- aHo ! aHos -' aHos -! aHos
),!" !" 2,!" ("
RE-//E-+* E' ER(* -'" -" -!" -("
9i usted piensa mantener sus inversiones en esa compaHía por -! aHos. ?Cu8l ser8 el rendimiento esperado de las mismas@ Rta: -(,'"
5
E ( r m )15 años
=
0.18
r f 15 años
=
E ( r )
0.08 + 1.02( 0.18 − 0.08)
=
0.08 =
0.182
10) 9uponga ue usted ubiera invertido )'.''' dólares en las cuatro siguientes acciones. +tulo
antidad /n3ertida
Acciones A Acciones B Acciones C Acciones 5
7!.''' 7-'.''' 7(.''' 7/.'''
4eta
'./! -.-' -.)2 -.((
=a tasa libre de riesgo es de $" y el rendimiento esperado de la cartera de mercado es de -!". Bas8ndose en el CAP0 ?cu8l ser8 el rendimiento esperado de la cartera@. El beta de la cartera es un promedio ponderado del beta de los activos ue lo integran+
Rta: -(," Entonces este beta ser8: *!'''I)''''+J'./!K*-''''I)''''+J-.-'K*('''I)''''+J-.)2K*/'''I)''''+J-.(( -,%) =a rentabilidad esperada de la cartera ser8: $ K -,%) *-! L $+ 1$.22% 6n procedimiento alternativo *m8s e1tenso+ ubiera sido calcular las rentabilidades esperadas de cada uno de los $ activos, a partir de su beta, y luego calcular la rentabilidad esperada del portafolio como un promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los activos individuales.
--+5ados los siguientes precios de fin de período de acciones correspondientes a la Cía. A, con las siguientes probabilidades y suponiendo un precio actual por acción de 7!', Probabilidad Precio a fin de período por acción
',-! 7)!
',-' 7$
',)' 7!'
',' 7!!
',! 72'
Calcular el retorno para cada probabilidad. ?Cu8l es el retorno esperado y la varianza del retorno@ R: ',%" y -2,/)" Rendimientos Por eM
#',)'
#',-2
',''
',-'
','
*)!#!'+I!' # ',)'
-+ Con los siguientes datos: Acción
Rentab. Esperada *en"+ de la acción si la rentab. de mercado es #-'"
Rentab. Esperada *en "+ de la acción si la rentab. de mercado es K-'"
6
A B C 5 E
' #' #)' K-! K-'
K' K' ' K-! #-'
?Cu8l es la beta de cada una de las acciones del cuadro@ R: - -,! ' #-
"eta de # $ (020)&(1010) $ 20&20 $ 1 "eta de " $ (2020)&(1010) $ 40&20 $ 2 "eta de ' $ 30&20 $ 1,5 "eta de $ 0&20 $ 0 "eta de E $ 20&20 $ 1
13) e*ie*do e* c+e*ta +e - $ 10%, -/ $ 16% el eto*o sobe la acci* ' es 18%: a) ete/i*a la beta i/lcita aa la acci*. b) '+!l se! el eto*o de la acci* si s+ beta es 0,75 -.: 1,33 14,5% a)
0,18 B =
b) Rc
=
0,10 + B.(0,16 − 0,10)
1,33
=
0,10 + 0,75.(0,16 − 0,10)
=
14,5%
-$+ =a Cía. de inversiones N maneMa un fondo de acciones compuesto por ! acciones con los siguientes valores de mercado y betas: Acción A B C 5 E total
4alor de mercado *7+ -''.''' !'.''' /!.''' -!.''' -!'.''' 500.000
Beta -,-' -,' ',/! ',(' -,$'
9i Rf /" y Rm -$" ?Cu8l es el retorno esperado del porfolio@ R: -$,!'" (cción
A B C 5
6alor de 7ercado 8)
-''.''' !'.''' /!.''' -!.'''
4eta
-,-' -,' ',/! ',('
% de particip ',' ',-' ',-! ',!
Rf ','/ ','/ ','/ ','/
Rto esperado del 7ercado ',-$ ',-$ ',-$ ',-$
Rendi7. ',-$/' ',-!$' ',-! ',-2'
7
E total
-!'.''' 500.000
-,$'
',)'
','/
',-$
',-2('
J ','/ K *',-$ # ','/+ . -,-' ',-$/' 0,147 * 0, 20 + 0,10 * 0,154 + 0,15 * 0,123 + 0,25 * 0,126 + 0,30 * 0,168
=
14,50%
-!+ 9e est8 considerando invertir en la acción de la Cia O, se espera ue O gane un retorno del -2", su beta es de -,$ , la tasa libre de riesgo es (" y el rendimiento esperado del mercado es -$". 9e debería invertir en O@ 9egn el CAP0 el retorno estimado de O ser8:
R z
=
8 + (14 − 8) *1,4 = 16,4%
Qa ue el retorno ue se espera es menor ue el valor ue se espera en euilibrio, no debería invertir en O. -2+ Con referencia al problema anterior, u> se debería acer si la beta de O es -,@ =os dem8s datos no cambian. R
z
=
8 + (14 − 8) *1,2 = 15,2%
a +e el eto*o eseado el /ao a la tasa de e+ilibio, se debea i*veti e* . ota: a tasa de eto*o e* e+ilibio +e ovee la ecta del /ecado de valoes, lla/ada 9, es la /*i/a tasa de eto*o +e +* i*veso debe aceta de +* tt+lo. E*to*ces aa +e la acci* sea* +*a b+e*a co/a, la tasa de eto*o /*i/a e+eida debe! se calc+lada +tili;a*do la ecta 9. * el /odelo co*sidea la vaiaci* de los activos esecto del eto*o /edio del /ecado.
8
