Ejercicios de riesgo y rentabilidad
1) Calcule la rentabilidad esperada, la varianza y el desvío standard de un
portafolio formado por ambas acciones en partes iguales:
"Escenar"Probabili"Retorno "Retorno "
"io "dad "de A "de B "
"Recesió"25% "-4 % "9 % "
"n " " " "
"Normal "40% "8% "4 % "
"Boom "35% "20% "-4 % "
Rta: E(r )=5,83% σ' 2,1%
Resolución:
"Escenario "Probabilida"Retorno "Retorno"Prob.RA"Prob .RB"
" "d "de A "de B " " "
"Recesión "25% "-4% "9% "-1% "2% "
"Normal "40% "8% "4% "3% "2% "
"Boom "35% "20% "-4% "7% "-1% "
" " " " "9,20% "2,45% "
" " " " "Media "Media de"
" " " " "de A "B "
" " " " " " "
"1 "2 " " " " "
"desvios A "desvios B "1 x 2 x " " " "
" " "Prob " " " "
"-13,20% "6,55% "-0,22% " " " "
"-1,20% "1,55% "-0,01% " " " "
"10,80% "-6,45% "-0,24% " " " "
" " "-0,47% " " " "
" " "Cov entre A y B " " "
" " " " " " "
" " " " " " "
"(desv de A)^2"(desv de " " " " "
"x prob "B)^2 x prob" " " " "
"0,436% "0,107% " " " " "
"0,006% "0,010% " " " " "
"0,408% "0,146% " " " " "
"0,850% "0,262% "Varianza" " " "
" " "s " " " "
"9,217% "5,123% "Desvios " " " "
" " " " " " "
" " " " " " "
" " " " " " "
"varianza de " "0,044% " " " "
"la cartera = " " " " " "
"Desvio de la " "2,105% " " " "
"cartera = " " " " " "
Rentab. Esperada del portafolio:
E(r) =
Varianza del portafolio=
Desvio del portafolio = 2,105%
2) Un inversor posee un capital de $100.000 y está evaluando cómo
invertirlo. Suponga que está considerando invertir en dos activos
riesgosos, A y B, y un activo libre de riesgo, F. A continuación se
proporciona la información sobre rentabilidades esperadas, riesgo y
correlación:
" "Rendimiento Esperado "Desvío "
"Acción A "20% "30% "
"Acción B "15% "20% "
"Bonos del Tesoro "5% " "
"(F) " " "
El coeficiente de correlación entre la rentabilidad de la acción A y la de
la acción B es 0.25.
Calcular:
a) La rentabilidad esperada y el riesgo del portafolio si el inversor
decide invertir $50.000 en el activo A y $50.000 en el activo B.
Rta: 17,5 % y 20%
b) La rentabilidad esperada y el riesgo de un portafolio compuesto por
$25.000 en el activo A y $75.000 en bonos del tesoro.
Rta: 8,75% y 7,5%
Aclaración: Como los bonos del tesoro tienen riesgo igual a 0, de la
fórmula de la varianza se elimina el segundo y tercer término, se podría
usar directamente:
c) La rentabilidad esperada y el riesgo de un portafolio compuesto por
los tres activos en las siguientes proporciones: 35% en A, 25% en B y
40% en F.
Rta: 12,75% y 12,71%
d) Conforme al CAPM, si conocemos que el beta del activo A es 1,05 ¿Cuál
sería la rentabilidad esperada del portafolio de mercado y el beta de
los otros dos activos, B y F?
Rta: 19,28%; 0,7 y 0.
e) ¿Cuál sería el costo del capital propio de la acción de una empresa C,
conforme al CAPM, si tal acción tiene la misma volatilidad o desvío
estándar que la de la empresa B?
Respuesta: Para conocer el rendimiento esperado de la acción de la
empresa C deberíamos conocer su Beta, información que no se nos
brinda. Dos activos pueden tener la misma volatilidad o desvío
estándar pero ello no significa que deban tener la misma rentabilidad
esperada conforme al CAPM. El beta de un activo determina su
rentabilidad esperada, pues este es la medida del riesgo relevante o
remunerable de un activo (riesgo sistemático, de mercado o no
diversificable).
f) Si la correlación entre el activo A y el activo B fuera 1 ¿Cuál sería
el desvío estándar de la cartera del punto a)?
Rta: 25%
g) Puede comprobar fácilmente que el desvío estándar de la rentabilidad
del portafolio del punto anterior es un promedio ponderado del desvío
de los activos que lo integran ¿Es este resultado siempre válido?
Respuesta:
La afirmación que el desvío estándar del portafolio es un promedio
ponderado del desvío de los activos que lo integran es correcta en
este caso que rho=1. Pero ese resultado no es válido para coeficientes
de correlación distintos de 1. En el caso planteado, no hay efecto
diversificación pues los activos están perfectamente correlacionados.
Para coeficientes de correlación diferentes de 1 el desvío del
portafolio será menor al promedio del desvío de los activos (efecto
diversificación.)
h) Si los rendimientos del activo A y del activo B fueran independientes
(coef. De correlación igual a 0) ¿Cuál sería el desvío del portafolio
del punto anterior? Hay en este caso efecto diversificación?
Rta:18,03%
También hay efecto diversificación.
3) ¿Cuál es el rendimiento esperado del portafolio de mercado en un momento
en que el rendimiento de las letras del Tesoro es de 5% y una acción con
una beta de 1,25 tiene un rendimiento esperado de 14%?
Rta: 12,2%
4) ¿Cuál es la tasa de retorno esperada por un inversor sobre una acción
que tiene una beta de 0,9 cuando el rendimiento del mercado es del 15%, y
las Letras del Tesoro rinden un 7%?
Rta: 14,2%
5) ¿Qué retorno podría esperar un inversor cuyo portafolio está compuesto
en un 75% por el portafolio del mercado y en un 25% por Letras del tesoro,
si la tasa libre de riesgo es del 5% y la prima de riesgo del mercado es de
9%?
Rta:11,75%
6) Una acción tiene βa = 0,8 y E(ra) = 13% anual. La rentabilidad del
activo libre de riesgo es 4% anual.
1. ¿Cuál será el rendimiento esperado de una cartera igualmente invertida
en ambos activos? Rta: 8,5%
2. Si el β de una cartera formada por estos dos activos es 0,6 ¿cuál será
el peso de cada activo? Rta: 0,75 del activo "a" y 0,25 del libre
de riesgo.
3. Si el rendimiento esperado de una cartera formada por estos dos
activos es del 11%, ¿cuál es su β?
Rta: β = 0,6222
7) La rentabilidad de las letras del tesoro es del 4%, y la rentabilidad
esperada de la cartera de mercado es de 12%. Basándose en el CAPM:
1. ¿Cuál es la prima de riesgo de mercado? Rta: 8%
2. Cuál es la rentabilidad deseada para una inversión con un beta de 1,5?
Rta: 16%
3. Si el mercado espera una rentabilidad de 11,2% de la acción X, ¿cuál
es la beta de esta acción? Rta: 9%
8) Determine la Beta de la acción A, basándose en la siguiente serie de
rentabilidades:
"Retornos de la "Retorno del "
"Acción A "Mercado "
"6% "5% "
"15% "12,5% "
"- 4,2% "- 3,5% "
"9% "7,5% "
Rta.: 1,20
9) Determinar el costo de capital propio que exigirán los accionistas de
una empresa que cotiza en bolsa cuyo beta es de 1,02. Usted dispone de la
siguiente información referida a tasas libres de riesgo y al rendimiento
esperado del mercado son:
"PLAZO "TASA "RENDIMIENTO "
" " "DEL MERCADO "
"1 año "3,5% "10% "
"5 años "5% "12% "
"10 años "6,5% "15% "
"15 años "8% "18% "
Si usted piensa mantener sus inversiones en esa compañía por 15 años. ¿Cuál
será el rendimiento esperado de las mismas?
Rta: 18,20%
10) Suponga que usted hubiera invertido 30.000 dólares en las cuatro
siguientes acciones.
Título Cantidad Invertida Beta
Acciones A $5.000 0.75
Acciones B $10.000 1.10
Acciones C $8.000 1.36
Acciones D $7.000 1.88
La tasa libre de riesgo es de 4% y el rendimiento esperado de la cartera de
mercado es de 15%. Basándose en el CAPM ¿cuál será el rendimiento esperado
de la cartera?.
( El beta de la cartera es un promedio ponderado del beta de los activos
que lo integran)
Rta: 18,22%
Entonces este beta será:
(5000/30000)*0.75+(10000/30000)*1.10+(8000/30000)*1.36+(7000/30000)*1.88=
1,293
La rentabilidad esperada de la cartera será:
4 + 1,293 (15 – 4) = 18.22%
Un procedimiento alternativo (más extenso) hubiera sido calcular las
rentabilidades esperadas de cada uno de los 4 activos, a partir de su beta,
y luego calcular la rentabilidad esperada del portafolio como un promedio
ponderado de las rentabilidades esperadas de los activos individuales.
11)Dados los siguientes precios de fin de período de acciones
correspondientes a la Cía. A, con las siguientes probabilidades y
suponiendo un precio actual por acción de $50,
"Probabilidad "0,15 "0,10 "0,30 "0,20 "0,25 "
"Precio a fin de"$35 "$42 "$50 "$55 "$60 "
"período por " " " " " "
"acción " " " " " "
Calcular el retorno para cada probabilidad. ¿Cuál es el retorno
esperado y la varianza del retorno?
R: 0,9% y 16,73%
"Rendimiento"-0,30 "-0,16 "0,00 "0,10 "0,20 "
"s " " " " " "
Por ej (35-50)/50 = - 0,30
12) Con los siguientes datos:
"Acción "Rentab. Esperada (en%)"Rentab. Esperada (en "
" "de la acción si la "%) de la acción si la "
" "rentab. de mercado es "rentab. de mercado es "
" "-10% "+10% "
"A "0 "+20 "
"B "-20 "+20 "
"C "-30 "0 "
"D "+15 "+15 "
"E "+10 "-10 "
¿Cuál es la beta de cada una de las acciones del cuadro?
R: 1; 2; 1,5; 0 ; -1
Beta de A = (0-20)/(-10-10) = -20/-20 = 1
Beta de B = (-20-20)/(-10-10) = -40/-20 = 2
Beta de C = -30/-20 = 1,5
Beta de D = 0/-20 = 0
Beta de E = 20/-20 = -1
13) Teniendo en cuenta que Rf = 10%, Rm = 16% y el retorno sobre la
acción C es 18%:
a) Determinar la beta implícita para la acción.
b) Cuál será el retorno de la acción si su beta es 0,75?
R.: 1,33 y 14,5%
a)
b)
14) La Cía. de inversiones J maneja un fondo de acciones compuesto por
5 acciones con los siguientes valores de mercado y betas:
"Acción "Valor de mercado ($) "Beta "
"A "100.000 "1,10 "
"B "50.000 "1,20 "
"C "75.000 "0,75 "
"D "125.000 "0,80 "
"E "150.000 "1,40 "
"total "500.000 " "
Si Rf = 7% y Rm = 14% ¿Cuál es el retorno esperado del porfolio?
R: 14,50%
"Acción "Valor de"Beta "% de "Rf "Rto "Rendim. "
" "mercado " "particip" "esperado" "
" "($) " " " "del " "
" " " " " "mercado " "
"A "100.000 "1,10 "0,20 "0,07 "0,14 "0,1470 "
"B "50.000 "1,20 "0,10 "0,07 "0,14 "0,1540 "
"C "75.000 "0,75 "0,15 "0,07 "0,14 "0,1225 "
"D "125.000 "0,80 "0,25 "0,07 "0,14 "0,1260 "
"E "150.000 "1,40 "0,30 "0,07 "0,14 "0,1680 "
"total "500.000 " " " " " "
" " " " " " " "
"* 0,07 + (0,14 - 0,07) . 1,10 = " " " "
"0,1470 " " " "
15) Se está considerando invertir en la acción de la Cia Z, se espera
que Z gane un retorno del 16%, su beta es de 1,4 , la tasa libre de riesgo
es 8% y el rendimiento esperado del mercado es 14%. Se debería invertir
en Z?
Según el CAPM el retorno estimado de Z será:
Ya que el retorno que se espera es menor que el valor que se espera en
equilibrio, no debería invertir en Z.
16) Con referencia al problema anterior, qué se debería hacer si la
beta de Z es 1,2? Los demás datos no cambian.
Ya que el retorno esperado el mayor a la tasa de equilibrio, se debería
invertir en Z.
Nota: La tasa de retorno en equilibrio que provee la recta del mercado
de valores, llamada SML, es la mínima tasa de retorno que un inversor debe
aceptar de un título. Entonces para que la acción sean una buena compra,
la tasa de retorno mínima requerida deberá ser calculada utilizando la
recta SML.
Por otro lado el rendimiento esperado considera a los activos
individualmente, mientras que el rendimiento estimado según el modelo
considera la variación de los activos respecto del retorno medio del
mercado.
