Ejercicios resueltos de Riesgo y Rentabilidad
Problema 1 : Calcule la rentabilidad rentabilidad esperada, la varianza y el desvío standard de un portafolio
formado por ambas acciones en partes iguales: Esce Escena nari rio o Pro Probabi babili lida dad d Reto Retorn rno o de A Reto Retorn rno o de B Recesión !" #$ " %" &ormal $'" (" $" Boom )!" '" #$ "
E*r+A '-! *#'-'$+ . '-$' '-'( . '-)! '-' '-'% E*r+ 0.092 + 0.0245
= 0.05825 2 E*r+B '-! '-'% . '-$' '-'$ . '-)! *#'-'$+ '-'$!
*/ACER E0 1E2345+ Rta: E*r +!,()" σ = ,6" Problema 2 : 7n inversor inversor posee un capital capital de 86''-'' 86''-''' ' y est9 evaluand evaluando o cómo invertirloinvertirlo-
2uponga ue est9 considerando invertir en dos activos riesgosos, A y B, y un activo libre de riesgo, ;- A continuación se proporciona la información sobre rentabilidades esperadas, riesgo y correlación: Rendimiento Esperado '" 6!" !"
Acción A Acción B Bonos del
1esvío )'" '"
El coeficiente de correlación entre la rentabilidad de la acción A y la de la acción B es 0.25. a+ 0a rentabilidad esperada y el riesgo del portafolio si el inversor decide invertir 8!'-''' en el activo A y 8!'-''' en el activo B E ( r p ) = 0.5 * 20% + 0.5 *15% = 17.5%
σ p2
=
0.5 2 * 30 2
σ p
=
20%
+
0.5 2 * 20 2
+
2 * 0.5 * 0.5 * 0.25 * 30% * 20% = 400
b+ 0a rentabi rentabilid lidad ad esperad esperada a y el riesgo riesgo de un portaf portafoli olio o compu compuest esto o por 8!-' 8!-''' '' en el activo A y 8=!-''' en bonos del tesoro E (r p ) = 0.25 * 20% + 0.75 * 5% = 8.75% 2 σ p =
0.25 2 * 30 2
σ = p
7.5%
=
56.25
0os bonos del tesoro no tienen riesgo-
c+ 0a rentabil rentabilidad idad espera esperada da y el riesgo de un portafol portafolio io compuest compuesto o por los tres activos activos en las siguientes proporciones: )!" en A, !" en B y $'" en ;-
1
E ( r p ) = 0.35 * 20% + 0.25 *15% + 0.4 * 5% = 12.75%
σ p2
=
0.35 2 * 30 2
σ p
=
12.71%
+
0.25 2 * 20 2
+
2 * 0.35 * 0.25 * 0.25 * 30 * 20 = 161.5
d+ Conforme al CAP>, si conocemos ue el beta del activo A es 6,'! ?Cu9l sería la rentabilidad esperada del portafolio de mercado y el beta de los otros dos activos, B y ;@ E (r A ) = r f + β A r m
− f
20 =5 + 1.05 * ( r m
5) ⇒ r m
−
r
=
20 − 5
+
1.05
5 = 19.285%
El beta del activo ! ser :
β !
=
r B
− f
r
r m
− f
r
=
15 − 5
=
19.285 − 5
0.7
El beta del activo F es :
β F
=
0
e+ ?Cu9l sería el costo del capital propio de la acción de una empresa C, conforme al CAP>, si tal acción tiene la misma volatilidad o desvío est9ndar ue la de la empresa B@ Respuesta: Para conocer el rendimiento esperado de la acción de la empresa C
deberíamos conocer su Beta, información ue no se nos brinda- 1os activos pueden tener la misma volatilidad o desvío est9ndar pero ello no significa ue deban tener la misma rentabilidad esperada conforme al CAP>- El beta de un activo determina su rentabilidad esperada, pues este es la medida del riesgo relevante o remunerable de un activo *riesgo sistem9tico, de mercado o no diversificable+f+
2i la correlación entre el activo A y el activo B fuera 6 ?Cu9l sería el desvío est9ndar de la cartera del punto a+@
σ p2
=
0.5 2 * 30 2
σ p
=
25%
+
0.5 2 * 20 2
+
2 * 0.5 * 0.5 *1 * 30% * 20% = 625
g+ Puede comprobar f9cilmente ue el desvío est9ndar de la rentabilidad del portafolio del punto anterior es un promedio ponderado del desvío de los activos ue lo integran ?Es este resultado siempre v9lido@
Respuesta:
σ p
=
0.5 * 30 + 0.5 * 20 = 25%
0a afirmación ue el desvío est9ndar del portafolio es un promedio ponderado del desvío de los activos ue lo integran es correcta en este caso ue ro6- Pero ese
2
resultado no es v9lido para coeficientes de correlación distintos de 6- En el caso planteado, no ay efecto diversificación pues los activos est9n perfectamente correlacionados- Para coeficientes de correlación diferentes de 6 el desvío del portafolio ser9 menor al promedio del desvío de los activos *efecto diversificación-+
+ 2i los rendimientos del activo A y del activo B fueran independientes *coef- 1e correlación igual a '+ ?Cu9l sería el desvío del portafolio del punto anterior@ /ay en este caso efecto diversificación@ σ p2
=
0.5 2 * 30 2
σ p
=
18.03%
+
0.5 2 * 20 2
+
2 * 0.5 * 0.5 * 0 * 30% * 20% = 325
2i, ay efecto diversificación-
Problema 3: ?Cu9l es el rendimiento esperado del portafolio de mercado en un momento en
ue el rendimiento de las letras del
⇒
E (r M ) =
0.14 − 0.05 1.25
+
0.05 = 0.122 Rta-: 6,"
Problema : ?Cu9l es la tasa de retorno esperada por un inversor sobre una acción ue tiene
una beta de ',% cuando el rendimiento del mercado es del 6!", y las 0etras del
Problema 5: ?u retorno podría esperar un inversor cuyo portafolio est9 compuesto en un
=!" por el portafolio del mercado y en un !" por 0etras del tesoro, si la tasa libre de riesgo es del !" y la prima de riesgo del mercado es de %"@
E ( r M ) = 0.09 + 0.05 = 0.14 E ( r ) = 0.75 ∗ 0.14 + 0.25 ∗ 0.05 = 0.1175 Rta: 66,=!"
Problema ! : 7na acción tiene βa ',( y E*ra+ 6)" anual- 0a rentabilidad del activo libre de
riesgo es $" anual6- ?Cu9l ser9 el rendimiento esperado de una cartera igualmente invertida en ambos activos@
3
E ( r cart ) = 0.5 ∗ 0.13 + 0.5 ∗ 0.04 = 0.085 - 2i el β de una cartera formada por estos dos activos es ',D ?cu9l ser9 el peso de cada activo@ β cart
=
x f
1 − xa
=
xa
∗
0.8 + x f ∗ 0 ⇒ x a
=
=
0.6 0.8
=
0.75
0.25
Problema ": 0a rentabilidad de las letras del tesoro es del $", y la rentabilidad esperada de la
cartera de mercado es de 6"- Bas9ndose en el CAP>: 6- ?Cu9l es la prima de riesgo de mercado@ prima
=
0.12
−
0.04
=
0.08
- Cu9l es la rentabilidad deseada para una inversión con un beta de 6,!@
E ( r )
=
0.04 + 1.5 ∗ 0.08 = 0.16
)- 2i el mercado espera una rentabilidad de 66," de la acción , ?cu9l es la beta de esta acción@
β X
=
0.112 − 0.04
=
0.12 − 0.04
0.09
Problema #: 2uponga ue usted ubiera invertido )'-''' dólares en las cuatro siguientes
acciones$%tulo
&antidad 'n(ertida
Acciones A Acciones B Acciones C Acciones 1
8!-''' 86'-''' 8(-''' 8=-'''
)eta
'-=! 6-6' 6-)D 6-((
0a tasa libre de riesgo es de $" y el rendimiento esperado de la cartera de mercado es de 6!"- Bas9ndose en el CAP> ?cu9l ser9 el rendimiento esperado de la cartera@ Respuesta: El beta de la cartera es un promedio ponderado del beta de los activos ue lo
integranEntonces este beta ser9: *!'''F)''''+G',=!.*6''''F)''''+G6,6'.*('''F)''''+G6,)D.*='''F)''''+G6,(( 1*2+3 0a rentabilidad esperada de la cartera ser9: $ . 6-%) *6! H $+ 1#.22,
4
5
