EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL POR EL MÉTODO GRÁFICO MAXIMIZACIÓN 1. Una empresa empresa donde donde produce produce sillas sillas y mesas, mesas, tiene tiene una ganancia ganancia por mesa mesa de tres (3) dólares, para construir una necesita invertir dos (2) horas máquina y una (1) hora hombre. ara la empresa producir una silla necesita invertir seis (!) horas máquina y cuatro (") horas hombre donde tiene una ganancia de cinco (#) dólares por silla. $uestro má%imo disponible por horas máquinas será de dos (2) y el má%imo disponible disponible para horas hombre será de seis (!). &ndique la combinación combinación de productos que ma%imice la ganancia. 2. Una compa' compa'aa mueblera mueblera abrica abrica escritori escritorios os y sillas. sillas. *l departam departamento ento de aserrado aserrado corta corta la mader maderaa para para ambos ambos produc producto tos, s, la que luego luego se enva enva a los disti distint ntos os departamentos de ensamble. +os muebles ensamblados se envan para su acabado al departamento de pintura. +a capacidad diaria del departamento de aserrado es de 2 sillas o de - escritorios. *l departamento departamento de ensamble de sillas puede producir 12 sill sillas as diari diarias as,, y el de ensam ensamble ble de escrit escritori orios os produc producee ! escrit escritor orios ios.. +a capacidad capacidad del departamento departamento de pintura es de 1# sillas, o 11 escritorios. escritorios. ado que la utilidad por sillas es de /# y la de un escritorio es de /1, determine la combinación de producción óptima para la compa'a. 3. 0+ 0+$& $& 4.., 4.., es una empresa empresa dedicada dedicada a la comerciali comerciali5aci 5ación ón de abonos para plantas que emplea 3 tipos dierentes de ingredientes , 6 y 7, para conseguir 3 tipos de abonos 1, 2, y 3. *n cuanto a los ingredientes, su disponibilidad es limitada y sus costos son los siguientes8
INGREDIENTE A B C
CANTIDAD DISPONIBLE (kg)
COSTOS (pts/kg)
". 1.3 !. 1.# 2. 1. +os costos de los abonos son8 bono 1 ⇒ 2. pts9:g bono 2 ⇒ 3. pts9:g bono 3 ⇒ 1# pts9:g.
dem demás ás de lo ante anteri rior or,, los los ingr ingred edie ient ntes es han han de me5c me5cla lars rsee en prop propor orci cion ones es especicas para asegurar una combinación adecuada8 ara el abono 1, no menos del 2# ; de y no más del " ; de 7< para el abono 2, no menos del 3 ; de , no menos del 2 ; ni más del 3 ; de 6 y no más del 1# ; de 7< y para el abono 3, no menos del 3# ; de 6. 7on 7on todos todos los los datos datos que 0+ 0+$ $& & 4.. 4.. nos ha acil acilita itado, do, nos piden piden que que determinemos8 =7uánta cantidad de cada tipo de abono hay que producir de orma que se ma%imice el beneicio de la compa'a> ". Un gran?ero gran?ero tiene tiene 1 hectár hectáreas eas en los cuales cuales puede sembra sembrarr dos cultivos. cultivos. ispon isponee de / 3 a in de cubrir el costo del sembrado. *l gran?ero puede coniar en un total de 13# horas@hombre destinadas destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro
se muestra los siguientes datos por hectárea. etermine la plantación de cultivos que ma%imicen la utilidad. 7U+A&B4
74A * +$A
*C$ D4@DC6*
UA&+&
&C*
/2
#
/ 1
4*EU$
/"
2
/ 3
#. os productos se elaboran al pasar en orma sucesiva por tres máquina. *l tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 1 horas por da. *l tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son8 Cinutos or Unidad roducto
Cáquina 1
Cáquina 2
Cáquina 3
Eanancia
1
1
!
-
/2
2
#
2
1#
/3
$ota8 etermine la combinación óptima de los productos. !. Una compa'a elabora dos productos8 y 6. *l volumen de ventas del producto es cuando menos el !; de las ventas totales de los dos productos. mbos productos utili5an la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a 1 lb. +os productos y 6 utili5an esta materia prima en los ndices o tasas de 2 lb9unidad y " lb9unidad, respectivamente. *l precio de venta de los productos es /2 y /" por unidad. etermine la asignación óptima de la materia prima a los dos productos. F. 4e va a organi5ar una planta de un taller de automóviles donde van a traba?ar electricistas y mecánicos. or necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nGmero de mecánicos que de electricistas y que el nGmero de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. *n total hay disponibles 3 electricistas y 2 mecánicos. *l beneicio de la empresa por ?ornada es de 2# euros por electricista y 2 euros por mecánico. =7uántos traba?adores de cada clase deben elegirse para obtener el má%imo beneicio y cual es este> -. Un abricante de muebles de madera elabora sillas y mesas que vende a /1# las mesas y / 13 las sillas. Utili5a mano de obra, madera, y dispone de un mercado posible. ara elaborar una mesa requiere de 2 horas de mano de obra, # metros de madera y puede vender hasta 1 mesas por da. +os datos para las sillas son de 3,# horas de mano de obra, " metros de madera y puede vender hasta - sillas por da. 4e dispone de 3! horas por da de mano de obra a un costo de /2 por hora y de !
metros de madera a /1 por metro. reparar un programa de producción diario que ma%imice la utilidad. H. Una empresa produce dos tipos de mesas8 una estilo colonial y otra estilo nórdico. +as utilidades que se obtienen de su venta son de /2 por la colonial y /2 2 por la nórdica. ara esta semana ya hay un pedido de 1 mesas de tipo nórdico. *l gerente de producción quiere reali5ar la planeación de su producción semanal sabiendo que solamente cuenta con "# horas para la construcción y 2 horas para barni5arlas. *n el siguiente cuadro se indican las horas necesarias para reali5ar cada una de las tareas y la utilidad para ambas mesas.
1. Un autobGs 7aracas@Caracaibo orece pla5as para umadores al precio de 1 6olvares y a no umadores al precio de ! 6olvares. l no umador se le de?a llevar # :gs. de peso y al umador 2 :gs. 4i el autobGs tiene H pla5as y admite un equipa?e de hasta 3. :g. =7uál ha de ser la oerta de pla5as de la compa'a para cada tipo de pasa?eros, con la inalidad de optimi5ara el beneicio>
MINIMIZACIÓN 1. Una compa'a de qumica programa la producción de ciertos tipos de me5clas, donde el material C es igual a - dólares por paquete y con un peso de " :ilos, el material $ es igual a # dólares por paquete con un peso de 2 :ilos. 4e requiere 1 :ilos de la me5cla y se necesita emplear no menos de 2 paquetes de $ para hacer la me5cla. =7uántos paquetes se debe usar para minimi5ar los costos> 2. Una dieta debe contener al menos 1! unidades de carbohidratos y 2 de protenas. *l alimento a contienen dos unidades de carbohidratos y " de protenas< el alimento 6 contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de protenas. 4i el alimento cuesta 1.2 dólares por unidad y el 6 .- dólares por unidad, =7uantas unidades de cada alimento deben comprarse para minimi5ar costos> =7uál es el costo mnimo> 3. Una compa'a e%trae minerales de una mina, el nGmero delibras de los minerales y 6 que pueden e%traerse de cada tonelada de la mina 1 y 2 se dan en la tabla siguiente, ?unto con los costos por tonelada de las minas8
MINERAL A MINERAL B COSTO POR TONELADA
MINA
MINA !
1 +b 2 +b # dólares
2 +b # +b ! dólares
4i la compa'a debe producir al menos 3 +b de y 2# +b de 6, =7uantas toneladas de cada mina deben procesarse con el ob?etivo de minimi5ar el costo> =7uál es el costo mnimo> ". Un gran?ero tiene 2 cerdos que consumen H libras de comida especial todos los das. *l alimento se prepara como una me5cla de ma5 y harina de soya con las siguientes composiciones8 +ibras por +ibra de limento limento
7alcio
rotena
0ibra
7osto (/9lb)
Ca5
.1
.H
.2
.2
Darina de 4oya
.2
.!
.!
.!
+os requisitos de alimento de los cerdos son8 1. 2. 3.
7uando menos 1; de calcio or lo menos 3; de protena Cá%imo #; de ibra
etermine la me5cla de alimentos con el mnimo de costo por da #. Una escuela prepara una e%cursión para " alumnos. +a empresa de transporte tiene - autocares de " pla5as y 1 autocares de # pla5as, pero solo dispone de H conductores. *l alquiler de un autocar grande cuesta - euros y el de uno peque'o, ! euros. 7alcular cuántos de cada tipo hay que utili5ar para que la e%cursión resulte lo más económica posible para la escuela. !. Un centro de recicla?e industrial utili5a dos chatarras de aluminio, A y B, para producir una aleación especial. +a chatarra A contiene !; de aluminio, 3; de silicio, y "; de carbón. +a chatarra B contiene 3; de aluminio, !; de silicio, y 3; de carbón. +os costos por tonelada de las chatarras A y B son de /1 y /-, respectivamente. +as especiicaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mnimo de 3; y má%imo de !;< (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y #;, y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y F;. etermine la me5cla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1 toneladas de la aleación.
F. +a empresa les abrica dos tipos de ?abones, uno *special y otro $ormal. ara abricar los ?abones, el ?abón $ormal requiere de 1 hora por :ilo, en tanto que el ?abón especial necesita de 3 horas por :ilo y e%isten disponibles ! horas para la abricación en el mes. 7on base a la demanda de sus clientes la empresa ha establecido que la producción total de ?abones debe ser por lo menos 3 :ilos por mes. or otro lado debe satisacer pedidos que le solicitan por lo menos 12 :ilos de ?abón *special. +a poltica de la empresa es abricar mayor cantidad de ?abón
normal que de ?abón especial. +os costos de producción son de /2 por :ilo de ?abón $ormal y /3 por :ilo de ?abón *special. lantear un modelo de producción con el mnimo costo total.
-. Iuan necesita comprar alimento preparado para su perro, que le proporcione las cantidades de protenas y grasa que requiere una alimentación adecuada. *n el mercado e%isten dos alimento8 4uper y $ormal con dierentes especiicaciones que indican que por cada :ilo, 4uper contiene 12 mg de protenas y " mg de grasa< mientras que el $ormal tiene 3 mg de protenas y - mg de grasa. +os requerimientos de alimentación indican que a un animal se le debe dar cada da un mnimo de 3 mg de protenas y 2" mg de grasa. *n ningGn caso la cantidad de grasa puede ser mayor a la de protenas proporcionadas diariamente. Un :ilo de alimento 4uper cuesta /1,! y un :ilo de $ormal /1,2. JuK cantidades de cada alimento debe adquirir para satisacer los requerimientos de alimentación con el mnimo gasto diario.
H. Una empresa ensambladora de productos de comunicación debe programar su producción semanal. ebido a problemas de liquide5, le interesa minimi5ar sus costos semanales, ya que le pagan la producción 2 das despuKs de entregada. ctualmente está armando dos artculos dierentes, el A1" y el 62< ambos artculos deben ser armados y probados por personal especiali5ado. +a empresa compradora requiere no menos de 1 aparatos semanales< del modelo 62 debe entregar no menos que la cuarta parte de los que entregue del A1", pero en ningGn caso deben superar en más de 1# al nGmero de equipos A1". *n el cuadro se indica el tiempo que requieren los especialistas para armar y probar cada equipo, e%presado en minutos, as como la disponibilidad de tiempo.
10. Una
campa'a para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a resa. 4e decide repartir al menos 3. yogures. 7ada yogurt de limón necesita para su elaboración ,# gr. de un producto de ermentación y cada yogurt de resa necesita ,2 gr. de ese mismo producto. 4e dispone de H :gs. de ese producto para ermentación. *l coste de producción de un yogurt de resa es el doble que el de un yogurt de limón. =7uántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campa'a sea mnimo>
