EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B Tipo A Tipo B
inversión x y
rendimiento 0,1x 0,08y 210000
0,1x+0,08y Condiciones que deben cumplirse (restricciones):
R1 R2 R3 R4 La función objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y
2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Solución En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos: Tipo
Nº
Bizcocho
Relleno
Beneficio
T. Vienesa T. Real
x y
1.x 1.y 150
0,250x 0,500y 50
250x 400y
Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):
3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela. Solución Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo. Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x ,y Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: 40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son
La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y 4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La
compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. Solución Organizamos los datos en una tabla: días
Alta Calidad calidad media Mina A x 1x 3x Mina B y 2y 2y 80 160 La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y
Baja calidad 5x 2y 200
Coste diario 2000x 2000y
Las restricciones son:
5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Sea x = nº electricistas y = nº mecánicos La función objetivo
f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones
6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La
ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas. Solución Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P. nº Ganancia Turista x 30x Primera y 40y Total 5000 30x +40y La función objetivo es: f(x, y)=30x +40y
Las restricciones:
Problemas de programación lineal 1 Unos
grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y
chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantal ones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?
2 Una
compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L 2 .
Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2 ; y un trabajo de máquina para L 1 y de 10 minutos para L 2 . Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por
unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2 , respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
3 Una
empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del
tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3 . Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% d e refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m 3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m 3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
4 En
una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una
composi ción mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
5 Con
el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material
escolar. Unos almace nes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los prec ios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
6 Unos
grandes
almacenes
desean
liquidar
200
camisas
y
100
pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos of ertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B . ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
7 Se
dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar
pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas
que
de
las
grandes.
Cada
pastilla
grande
proporciona
un
beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
8 Una
escuela prepara una excursión para 400 alum nos. La empresa
de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que l a excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
PROBLEMA : PROBLEMA DE INVENTARIOS
PRODUCCION DE ELECTRODOMESTICOS Una planta de producción fabrica refrigeradoras, cocinas y lavadoras. Durante cada trimestre se dispone de 18000 horas de producción. Una refrigeradora requiere de 2 horas, una cocina 4 horas y un lavadora 3 horas de producción. Suponga que un producto que permanezca al final de un trimestre (incluido el ultimo), supone un costo de almacenamiento por unidad de $10 para las refrigeradoras, $8 para las cocinas y $6 para las lavadoras. Se debe mantener un nivel de inventario de al menos de 150 unidades por cada producto. El cuarto trimestre no se producen refrigeradoras. La compañía requiere un plan de fabricación que no exceda la limitación de horas de fabricación disponible cada trimestre, que satisfaga la demanda de inventario trimestral y que tenga un costo mínimo por unidades almacenadas al final de cada trimestre.
Nivel de Inventario : al menos 150 para cada trimestre. Inventario al Inicio de cada trimestre es cero.
Horas disponibles :
18 000 cada trimestre
Refrigeradora : 2 horas Cocina :
4 horas
Lavadora :
3 horas
Cuarto trimestre no se producen refrigeradoras: Costos de inventario:
10 $ / refrigeradora 8 $ / cocina 6 $ / lavadora
Variable de Decisión: R1
C1
L1
R2
C2
L2
R3
C3
L3
C4
L4
R3 =
Nº de refrigeradoras a producir el tercer trimestre.
DEMANDA PERIODO
REFRIGERADORA
COCINA
LAVADORA
1
1500
1500
1500
2
1000
1500
2000
3
2000
1200
1500
3
1200
1500
2500
Variable de Decisión:
R1
C1
L1
R2
C2
L2
R3
C3
L3
C4
L4
R3 =
Nº de refrigeradoras a producir el tercer trimestre.
Restricciones:
De horas disponibles:
2R1 + 4C1 + 3L1 18 00 2R2 + 4C2 + 3L2 18 00 2R3 + 4C3 + 3L3 18 00 4C4 + 3L4 18 00
Relaciones de Producción:
Demanda de inventario:
Inventario Inventario Cantidad Demanda Final Inicial Pr oducida
Con Refrigeradoras: R1 - 1 500 = IR1
(1)
IR1 + R2 - 1 000 = IR2
(2)
IR2 + R3 - 2 000 = IR3
(3)
IR4 - 1 200 = IR4
(4)
Con Cocinas: C1 - 1 500 = IC1
(1)
IC1 + C2 - 1 500 = IC2
(2)
IC2 + C3 - 1 200 = IC3
(3)
IC3 + C4 - 1 500 = IC4
(4)
Con Lavadoras: L1 - 1 500 = IL1
(1)
IL1 + L2 - 2 000 = IL2
(2)
IL2 + L3 - 1 500 = IL3
(3)
IL3 + L4 - 2 500 = IL4
(4)
Donde: IR2 = INVENTARIO DE REFRIGERADORAS AL FINAL DEL SEGUNDO TRIMESTRE
IR1 150
IC1 150
IL1 150
IR2 150
IC2 150
IL2 150
IR3 150
IC3 150
IL3 150
IR4 150
IC4 150
IL4 150
Función Objetivo:
Minimizar costos de inventario.
MIN 10(IR1 + IR2 + IR3 + IR4) + 8(IC1 + IC2 + IC3 + IC4) + 6(IL1 + IL2 + IL3 + IL4)
Programación Entera, Formulación Pregunta 1: Problema de expansión de capacidad: Una compañía de servicio eléctrico esta planeando ampliar su capacidad de generación durante los próximos 5 años. Su capacidad actual es de 800 megavatios (MW), pero de acuerdo con sus propios pronósticos de la demanda, va ha requerir la capacidad adicional que muestra la siguiente tabla:
CAPACIDAD MINIMA AÑO (MW)
1
880
2
960
3
1050
4
1160
5
1280
La compañía de servicio eléctrico podrá aumentar su capacidad de generación con la instalación de unidades generadoras adicionales de 10, 50 ó 100 MW. El costo de instalación de un generador depende de su tamaño y del año en el cual entre en servicio. La siguiente tabla muestra el costo de adquisición de cada generador en el año i.
Capacidad del
AÑO
Generador (MW)
1
2
3
4
5
10
300
250
208
173
145
50
670
558
465
387
322
100
950
791
659
549
458
Una vez que un generador entra en servicio, su capacidad esta disponible para satisfacer la demanda en los años subsiguientes. Formule el modelo de programación lineal que minimice los costos de poner en servicio los generadores necesarios, satisfaciendo al mismo tiempo los requisitos de capacidad mínima.
800 + 10x11+ 50x12 + 100x31 = cp1 cp1+10x12+50x22+100x32=cp2 cp2+10x13+50x23+100x33=cp3 cp3+10x14+50x24+100x34=cp4 cp4+10x15+50x25+100x35=cp5 cp1>=880 , cp2>=960 , cp3>=1050 , cp4>=1160 , cp5>= 1280 fo min (300x11+250250+...+458X35)
PREGUNTA 3: Formulación El departamento central de la policía esta pensando en reubicar varias sub-estaciones de la policía para obtener una mejor vigilancia en áreas de alta criminalidad. Las ubicaciones bajo consideración, junto con las áreas que pueden ser cubiertas a partir de dichas ubicaciones se dan en la tabla anexa. Formule un modelo de programación de enteros que se pudiera utilizar para encontrar el número mínimo de localizaciones necesarias a fin de proporcionar la cobertura para todas las áreas. A bc 1
Ubicación potencial
Áreas
De las sub-estaciones
Cubiertas
A
1, 5, 7
B
1, 2, 5, 7
C
1, 3, 5
D
2, 4, 5
E
3, 4, 6
F
4, 5, 6
G
1, 5, 6, 7
2
xa+ xb + xb + xg >=1 xb+xd>= 1 min x1 + x2 +x3 …x7
PROBLEMA 5 Una competencia de relevos de 100 metros incluye a cuatro diferentes nadadores, quienes nadan sucesivamente 25 metros de dorso, pecho, mariposa y libre. El entrenador tiene seis nadadores muy veloces, cuyos tiempos esperados en segundo para los eventos esperados individuales se dan en la tabla.
Dorso
Pecho
Mariposa
Libre
Nadador 1
65
73
63
57
Nadador 2
67
70
65
58
Nadador 3
68
72
69
55
Nadador 4
67
75
70
59
Nadador 5
69
69
75
57
Nadador 6
75
70
66
59
Como deberá el entrenador asignar, los nadadores a los relevos a fin de minimizar la suma de sus tiempos. Xij, 1=si el nadador i =1,2,3,4,5,6 de estilo j=D,P,M,L es seleccionado 0=si el nadador i =1,2,3,4,5,6 de estilo j=D,P,M,L NO es seleccionado fo 65x11+ 73x12 + 63x13 + 57x14 + 67x21 + 70x22+....59x64
sa elegiendo al nadador por estilo x11+x21+x31+x41+x51+x61=1 x12+x22+x32+x42+x52+x62=1 x13+x23+x33+x42+x52+x63=1 x14+x24+x34+x44+x52+x64=1
asign de un nadador por un solo estilo x11+x12+x13+x14 =1 x21+x22+x23+x24=1
... x61+x62+x63+x64=1
elección de 4 nadadores x11+x12+x13+x14 + x21+x22+x23+x24 + x61+x62+x63+x64 = 4
PROBLEMA 6 Una empresa dedicada a la fabricación de pinturas para fuselaje de aviones posee 3 maquinas con diferentes capacidades. Poner en operación un día cada maquina, tiene costos fijos y un costo de precio por galón. Las capacidades de cada maquina, son como sigue:
Maquina
Costos Fijos
Costo del proceso por Galón.
Capacidad Máxima diaria en Galones.
1
$100
$5
2000
2
$200
$4
3000
3
$300
$3
4000
La empresa espera una demanda diaria de 3500 galones. El problema consiste en determinar cual de las tres maquinas utilizar y cuantos galones debe producir cada maquina de tal manera que la demanda quede satisfecha y el costo total sea el mas pequeño posible.
Xi = 1=utilizar maquina i / 0=no utilizar maquina
Yi = numero de galones ha producir en maquina i
Min 100x1 + 200x2 + 300x3 + 5y1 + 4y2 + 4y3 sa y1 <=2000x1 , y2<=3000x2 , y3=4000x3 y1+y2+y3=3500
PROBLEMA 7 La Mc Davis Consulting Co. se especializa en la preparación de programas de computadora para el gobierno y la industria. Estos programas se escriben en uno de cuatro lenguajes de programación: FORTRAN, Ensamblador, COBOL y APL. La compañía tiene tres programadores que realizan esta labor y existen cinco trabajos de programación que deben terminarse lo más pronto posible. No todos los programadores trabajan a la misma velocidad en todos los lenguajes y se les paga en forma diferente con base en su experiencia. Cada uno de los trabajos debe elaborarlo un solo programador. Los costos de terminación de cada tarea por programador se muestran a continuación:
Programador
Trabajo 1
Trabajo 2
Trabajo 3
Trabajo 4
Trabajo 5
Joe
$100
$150
$200
$100
$50
Sue
80
200
100
100
80
Susan
200
250
250
150
100
A continuación se muestran el tiempo que necesita cada programador para terminar cada trabajo y el tiempo de que dispone después de realizar sus demás tareas.
Prog.
Trabajo 1
Trabajo 2
Trabajo 3
Trabajo 4
Trabajo 5
Tiempo disponible
Joe
10
15
20
10
5
35
Sue
4
10
5
5
4
20
Susan
20
25
25
15
10
40
Xij=asignación del programador i al trabajo j 1=asigno / 0=no asigno Min (joe) = 100x11 + 150x12+200x13+100x14 + 50x15 .. SA 10x11+15x12+20x13+10x14+5x15 <=35 ….<=20 …..<=40 x11+x21+x31=1 x12+x22+x32= 1 x13+x23+x33= 1
PROBLEMA 8 Una compañía manufactura cajas de herramientas en tres plantas y la manda después por barco a tres centros de distribución (los cuales son propiedad de la compañía). Los costos de producción y distribución variable por unidad transportada entre las plantas y los centros de distribución, así como la capacidad de producción mensual de las plantas, la demanda mensual de cada centro de distribución, y los costos fijos mensuales por operar las plantas y centros de distribución se muestran en la siguiente tabla:
Planta
Centro de distribución A
Centro de distribución B
Centro de distribución C
Capacidad
Costos fijos
1
$25
$30
$27
600
1700
2
$27
$25
$29
600
2000
3
$30
$27
$26
600
1900
Demanda
500
500
500
Costo fijo
$500
$400
$600
La compañía está pasando por momentos económicos difíciles y la administración ha decidido cerrar una planta y un centro de distribución. Desde luego que la demanda del centro de distribución se perderá (no será satisfecho). Cuando un centro de distribución se cierra, nada llegará a él y los costos fijos no se tomarán en cuenta. Cuando se cierra una planta, nada se manufacturará ni saldrá de ella. Formule el modelo de programación entera para decidir qué planta y centro de distribución cerrar.
Xij = cantidad de cajas de herramientas de planta i=1,2,3 al Centro de distribucuib j=a,b,c Cp=1=decisión de no cerrar la planta 0=caso contrario cd=1=decisión de no cerrar la planta 0= caso contrario oferta planta x11+x12+x13=600cp1 x21+x22+x23=600cp2 x31+x32+x33=600cp3 demanda x11+x21+x31=500cd1 x12+x22+x32=500cd2 x13+x23+x33=500cd3
cp1+cp2+cp3=2 cd1+cd2+cd3=2
fo 1700cp1+2000cp2+1900cp3 + 500cd1+500cd2+500cd3 +
25x11+30x12+27x13 + 27x21+25x22+29x23+ 30x31+27x32+26x33
PROBLEMA 9 Un comerciante de equipos industriales se encuentra en una ciudad en la cual puede comprar siete tipos de equipos, los pesos, utilidades, y cantidades mínimas y máximas a comprar de los equipos se muestran en la siguiente tabla.
Peso (kg/unidad)
Utilidad
1
($/unidad)
Mínimo a comprar
Máximo a comprar
320
2500
1
3
2
400
3700
0
3
3
450
2600
2
4
4
400
2800
1
3
5
300
1900
0
2
6
360
3000
0
4
7
380
2700
1
4
Equipo
Suponga que el comerciante dispone de un camión con capacidad de 3600 Kg. Además para los productos 2 y 5, existe un costo fijo de embarque (este costo es independiente de la cantidad embarcada, solo en caso de no embarcar dicho producto el costo fijo será cero); el costo fijo para el producto 2 es de $ 280 y para el producto 5 es de $ 350. Para el producto 6 el costo fijo es de $320, pero solo se aplica este costo si se embarcan 3 o más unidades de este producto. Formule un modelo adecuado para esta situación.
Xi = cantidad de equipos Yi= 1=eligir equipo i=2,5,6 / caso contrario
Max = 2500x1 + 3700x2 + 2600x3..+2700x7 – 280y2 – 350y5 –320y7 Sa 320x1 + 400x2 +450x3 + 400x4..380x7<=3600 (peso maximo) 1<=x1<=3 x2<=3y2 2<=x3<=4 1<=x4<=3 x5<=2y5 x6<=4 1<=x7<=4
PROBLEMA 10 Hemos recibido las ofertas de tres compañías de teléfonos para suscribirnos a su servicio de larga distancia hacia Estados Unidos, Telefónica cobrara una tarifa fija de 16 dólares al mes más 0.25 centavos por minuto, Telmex cobrara 25 dólares al mes, pero reducirá el costo por minuto a 0.21 centavos, en tanto que Nextel ofrece cobrar una tarifa fija mensual de 18 dólares y el costo por minuto es de 0.22 centavos. Generalmente hacemos un promedio de 200 minutos de llamadas de larga distancia al mes. Suponiendo que no se pague la tarifa fija a menos que haga las llamadas y de que pueda dividir mis llamadas entre las tres compañías según nos parezca o nos convenga, formular un modelo que nos ayude a determinar como debo utilizar los servicios de las tres compañías para minimizar nuestra cuenta mensual de teléfono?
Yi=1=cia de telefonos i seleccionada / caso contrario
Xi=cantidad de minitos Min 16y1+25y2+18y3 + 25x1+-21x2+.22x3 sa x1+x2+x3=200y1 x1+x2+x3=200y2 x1+x2+x3=200y3
PROBLEMA 11 Una compañía opera una planta en Lima con una capacidad anual de 30,000 unidades. El producto se embarca a centros regionales de distribución localizados en Arequipa, Trujillo, Iquitos. Debido a un incremento anticipado en la demanda, la compañía planea aumentar la capacidad construyendo una nueva planta en una ò más de las ciudades siguientes: Piura, Chiclayo, Tacna, Tarapoto. El costo fijo anual estimado y la capacidad anual de las cuatro plantas propuestas son como sigue:
Planta propuesta
Costo fijo anual
Capacidad anual
Piura
US$ 175,000
10,000
Chiclayo
US$ 300,000
20,000
Tacna
US$ 375,000
30,000
Tarapoto
US$ 500,000
40,000
El grupo de planeación a largo plazo de la empresa a desarrollado pronostico de la demanda prevista anual en los centros de distribución como sigue: Centro de distribución
Demanda anual
Arequipa
30,000
Trujillo
20,000
Iquitos
20,000
El costo de embarque por unidad de cada una de las plantas a cada uno de los centros de distribución aparece en la siguiente tabla: Localización de la planta
Arequipa
Trujillo
Iquitos
Piura
5
2
3
Chiclayo
4
3
4
Tacna
9
7
5
Tarapoto
10
4
2
Lima
8
4
3
Formule un modelo de programación lineal entera que determine las nuevas plantas que deberán construir.
Xij = producto embarcdo de la planta i al centro de distr j Yi = 1=contruyo planta / 0 =caso contrario
Fo Min 5x11+2x12+3x13+....+..3x53...+175000y1+300,000y2+375,000y3+500,000y4
sa x11+x12+x13<=10,000 y1 x21+x22+x23<=20,000 y2 x31+x32+x33<=30,000 y3 x41+x42+x43<=40,000 y4 x51+x52+x53<=30,000
x11+x21+x31+x41+x51<=30,000 x12+x22+x32+x42+x52<=20,000
x13+x23+x33+x43+x53<=20,000 PROBLEMA 12 Una línea aérea piensa comprar Jet de pasajeros grandes, medianos y chicos. El precio de compra será de $67 millones cada avión grande, $50 millones por cada uno mediano, $35 millones por cada avión chico. El consejo directivo ha autorizado un compromiso máximo de $1500 millones para estas compras. Sin importar que aviones se compren, se espera que las distancias de viajes aéreos sean lo suficientemente grandes como para que los aviones se utilicen, en esencia, a su capacidad máxima. Se estima que la ganancia neta anual (después de restar los costos de recuperación de capital) será $4.2 millones para un avión grande, $3 millones si se trata de un avión mediano y $2.3 millones por cada avión chico. Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados para operar 30 aviones nuevos. Si solo se comprar aviones chicos, las instalaciones de mantenimiento podrían manejar 40 aviones, pero cada avión mediano equivale a 1 1/3 aviones chicos y cada avión grande equivale a 1 2/3 aviones chicos, en términos de la utilización de las instalaciones de mantenimiento. Esta información se obtuvo en un análisis preliminar del problema. Más adelante se llevara a cabo un estudio mas detallado. Si se toman estos datos como una primera aproximación la gerencia desea saber cuantos aviones de cada tipo debe comprar a fin de maximizar la ganancia.
Xi= cantidad de aviones a comprar de tamaña i
Max 4.2x1 + 3x2 + 2.3x3
X1+x2+x3<=40 pilots
4/3 40 = 30
chicos =40 medianos 30 grades = 5y/3 de 40 = 24
x1/24 + x2/30 + x3/40 <=1
67x1 + 50x2+35x2 <=1500
pregunta 13 una empresa desea planear la producción de dos tipos de baterias para los meses de Julio , agosto, setiembre la demanda es productos
Julio
agosto Set
Oct
Bateria A
400
500
600
400
Bateria B
600
600
700
600
El inventario de A y B al final de junio es de 100 y 150 respectivamente, ademas al final del mes de octubre se debe dispner de al menos 135 del Tipo B, los costos unitarios de baterias A es 80$ y 100$ de B, para cualquier mes, los costos de almacenamiento de A es 10$ y 8$ de B, ambos productos ocupan el mismo espacio de almacen, la capacidad del almacen es 150 Las capacidades de producción son de 500 de tipo A y 600 tipo B Generar un mpl para planificar la producción Considerar que si sobrepasa la capacidad de almacenamiento hay un sobre costo de 50$ por unidad
Xij = numero de unidades a producir en el mes i del producto j Yij = inventario del mes i del producto j Zij =numero de unidades por vender del mes i del producto j
Min 80(x1a+x2a+x3a+x4a) + 100(x1b+x2b+x3b+x4b) + 10 (y1a + y2a+y3a+y4a) + 8(y1b+y2b+y3b+y4b)
SA Producto a
100+x1a=za+y1a (julio) y1a+x2a=z2a+y2a y2a+x3a=z3a+y3a y3a+x4a=z4a+y4a
producto b 100+x1b=zb+y1b (julio) y1b+x2b=z2b+y2b y2b+x3b=z3b+y3b y3b+x4b=z4b+y4b
y4b>=135
almacen y1a<=150 y1b<=150 y2a<=150 y2b=150 y3a<=150 y3b<=150 y4a<=150 y4b<=150
x1a<=500 x1b<=600 x2a<=500 x2b<=600 x3a<=500 x3b<=600 x4a<=500 x4b<=600
demanda Z1a<=400
Z1b<=600
Z2a<=400
Z2b<=600
Z3a<=400
Z3b<=600
Z4a<=400
Z4b<=600
Duracion : 7 meses Desviacion estandar : 0.97
1- hallar la duración esperada del proyecto con una probabilidad del 90% p(x-7)/0.97 = 90% -> 90% = 1.28 x=8.24 meses
2- hallar la probabilidad de k el proyecto tenga un duración entre 5 y 8 meses primero hallamos la probabilidad de 8 p(8-7)/.97=x x=1.03 ..en la tabla hallamos la intersección para ubicar a que porcentaje corresponde... 1.03 es 0.8484 es decir 84.84%
luego hallamos la probabilidad de 5 p(5-7)/.97=x x=-2.06 ..en la tabla hallamos la intersección para ubicar a que porcentaje corresponde... –2.06 es 0.0197 es decir 1.97%
por ultimo restamos las probabilidades ... 84.84 – 1.98 = 82.87... entonces la probabilidad de k tenga una duración entre 5 y 8 meses es 82.87%
3- hallar un intervalo de confianza al 90% 100% - 90% = 10%. 10% / 2 = 5% hallamos primero para 90% + 5% 95% k en la tabla es 1.64 p(x-7)/.97=1.64 x=8.59 hallamos para 5% k en la tabla es -1.64 p(x-7)/.97= - 1.64 x=5.40 el intervalo es 5.40 – 8.59
4- que se adelante 1 meses (6 – 7)/.97 = -1.03 = 15.15% 50% - 15.15% = 34.85%
5- que se atrase 2 mes (9– 7)/.97 = x x=2.06 = 98.03% 98.03% - 50% -----------------1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades? MARCAS
GRADO I
GRADO II UTILIDAD
REGULAR 50%
50%
$5
SÚPER
25%
$6
75%
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones x2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones Max Z = 5x1 + 6x2 …….(1) Sujetos a: 1500x1 + 1000x2 < 3000 …….. (2) 2250x1 + 500x2 < 2000 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 2. (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que las más cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15 por cada kilo de la mezcla más cara? MEZCLA
CACAHUATE
NUEZ
GANANCIA POR SEMANA
BARATA
80%
20%
$10 POR KILO
CARA
50%
50%
$ 15 POR KILO
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos x2 = la Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos Max Z = 10x1 + 15x2 …….(1) Sujetos a: 1440x1 + 240x2 < 1800 …….. (2) 900x1 + 600x2 < 1200 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 3. (Dediciones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unida de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la
primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda máquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? PRODUCTO
HRS MÁQUINA 1
HRS MÁQUINA 2
UTILIDAD
A
2
5
$ 70 POR KILO
B
4
3
$50 POR KILO
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x1 + 50x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 ……... (2) 5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 4. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que se recibe una orden por 14 unidades de A a la semana. Si la orden debe cumplirse, determine el nuevo valor de la utilidad máxima. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x1 + 50x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 …….. (2) 5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 5. (Decisiones sobre Producción). Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquina, como se indica a continuación: PRODUCTO
HRS MÁQUINA 1
HRS MÁQUINA 2
HRS MÁQUINA 3
UTILIDAD
A
2
4
3
$250 POR KILO
B
5
1
2
$300 POR KILO
Si los número de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 250x1 + 300x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 6. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que una repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a la compañía a incrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo programa de producción que maximiza la utilidad total. Solución: PRODUCTO
HRS MÁQUINA 1
HRS MÁQUINA 2
HRS MÁQUINA 3
UTILIDAD
A
2
4
3
$600 POR KILO
B
5
1
2
$300 POR KILO
¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 250x1 + 300x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 7. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 5, suponga que el fabricante es forzado por la competencia a reducir el margen de utilidad del producto B. ¿Cuánto puede bajar la utilidad de B antes de que el fabricante deba cambiar el programa de producción? (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Solución: PRODUCTO
HRS MÁQUINA 1
HRS MÁQUINA 2
HRS MÁQUINA 3
UTILIDAD
A
2
4
3
$600 POR KILO
B
5
1
2
$ X POR KILO
¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades pero en éste caso, debemos tomar en cuenta que se debe minimizar, ahora la UTILIDAD del PRODUCTO B, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por lo tanto queda: Max Z = 250x1 + 150x2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 8. (Decisiones sobre inversión) Un gerente de Finanzas tiene $ 1´ 106 de un fondo de pensiones, parte de cual debe invertirse. El gerente tiene dos inversiones en mente, unos bonos conversadores que producen un 6% anual y unos bonos hipotecarios más efectivo que producen un 10% anual. De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no más del 25% de la cantidad invertida puede estar en bonos hipotecarios. Más aún, lo mínimo que puede ponerse en bonos hipotecarios es de %100,000. Determine las cantidades de la dos inversiones que maximizarán la inversión total. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de la inversión en bonos conservadores x2 = la Cantidad de la inversión en bonos hipotecarios Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: (0.06)(1,000,000)x1 + (0.1)(1,000,000)x2 < (1,000,000)(0.25) ……... (2) x2 > 100,000 ……... (3) x1, x2 > 0 9. (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 acre pies en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre: CULTIVOS
COSTO DE PLANTAR
DEMANDA HORASHOMBRE
UTILIDAD
PRIMERO
$20
5
$ 100
SEGUNDO
$40
20
$ 300
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre pies x2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre pies Max Z = 100x1 + 300x2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a: x1 + x2 < 100 ......... (2) esta ecuación se debe a que sólo tiene 100 acre pies para los cultivos 5x1 + 20x2 < 1350…... (3) 20x1 + 40x2 < 3000 ......(4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 10. (Decisiones sobre plantación de cultivos) En el ejercicio anterior, determine la porción del terreno que deberá plantearse con cada cultivo si la utilidad por concepto del segundo cultivo sube a $ 450 por acre. Solución:
CULTIVOS
COSTO DE PLANTAR
DEMANDA HORASHOMBRE
UTILIDAD
PRIMERO
$20
5
$ 100
SEGUNDO
$40
20
$ 450
¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre pies x2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre pies Max Z = 100x1 + 450x2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a: 5x1 + 20x2 < 1350…... (2) 20x1 + 40x2 < 3000 ......(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 11. (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la combinación más barata de dos productos, A y B, que contienen: al menos 0.5 miligramos de tiamina al menos 600 calorías PRODUCTO TIAMINA
CALORIAS
A
0.2 mg
100
B
0.08 mg
150
Solución: Variables: x1 = la Cantidad mas Barata del producto A x2 = la Cantidad mas Barata del Producto B Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5…... (2) (al menos) 100x1 + 150x2 > 150 ......(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 12. (Putificación del mineral) Una compañía posee dos minas, P y Q. En el cuadro siguiente se muestra la producción de los elementos por cada tonelada producida por ambas minas respectivamente:
MINAS
COBRE
ZINC
MOLIBDENO
COSTO POR TON. DE OBTENCIÓN DE MINERAL
P
50 lb
4 lb
1 lb
$ 50
Q
15 lb
8 lb
3 lb
$ 60
La compañía debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidades de los metales que se muestran a continuación: 87,500 libras de cobre 16,000 libras de zinc
5,000 libras de molibdeno ¿Cuánto mineral deberá obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mínimo? Solución: Variables: x1 = la Cantidad de Mineral de la MINA P en libras x2 = la Cantidad de Mineral de la MINA Q en libras Max Z = 50x1 + 60x2 …….(1) 50x1 + 15x2 < 87,500 ......... (2) (COBRE) 4x1 + 8x2 < 16,000…... (3) (ZINC) x1 + 3x2 < 5000 ......(4) (MOLIBDENO) x1, x2 > 0 lo que queda planteado 13. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un depa, de química industrial, almacena, al menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de vasos almacenados no debe exceder de 1200. Determine la cantidades posibles de estos dos tipos de vasos que pueden almacenarse y muéstrelo con un gráfica. Solución: Variables: x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) x1, x2 > 0 14. (Espacio de Almacenamiento) En el ejercicio anterior, supongamos que los vasos del primer tamaño ocupan 9 in2 del anaquel y los del segundo 6 in2. El área total de anaqueles disponibles para almacenar es a lo sumo de 62.8 ft2. Determine las cantidades posibles de los vasos y muéstrelo con una gráfica. Solución: Variables: x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) 9x1 + 6x2 < 62.8 .......(5) x1, x2 > 0 15. (Planeación Dietética) Una persona está pensando reemplazar en su dieta de la carne por frijoles de soya. Una onza de carne contiene un promedio de casi de 7 gramos de proteína mientras que una onza de frijoles de soya (verde) contiene casi 3 gramos de proteína. Si requiere que si consumo de proteína diaria que obtiene de la carne y de los frijoles de soya combinados debe ser al menos de 50 gramos. ¿Qué combinación de éstos nutrientes formarán un dieta aceptable? Solución: Variables: x1 = la Cantidad de Carne x2 = la Cantidad de Frijoles de Soya Min Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 7x1 + 3x2 > 50 .......(5) x1, x2 > 0 16. (Ecología) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias de peces S y T. Hay dos tipos de comida F1 y F2 disponibles en el estanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pez de cada especia está dado en el cuadro siguiente:
especies
F1
F2
Peso Promedio
S
2 Unidades
3 Unidades
3 libras
T
3 Unidades
1 Unidades
2 libras
If there are six hundred of F1 and three hundred of F2 everyday. How do you debit supply the pool for what the total weight of fishes are at least 400 pounds? Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE S) en Primavera en Unidades x2 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE T) en Primavera en Unidades Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 3x2 < 600 …….. (2) 3x1 + 1x2 < 300 ……….(3) 3x1 + 2x2 > 400 lo que queda Planteado x1, x2 > 0 17. Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Libras por Libra de Alimento Alimento
Calcio
Proteína
Fibra
Costo ($/lb)
Maíz
0.001
0.09
0.02
0.2
0.6
0.06
0.6
Harina de Soya 0.002
Los requisitos de alimento de los cerdos son: 1. Cuando menos 1% de calcio 2. Por lo menos 30% de proteína 3. Máximo 5% de fibra Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1) Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 18. Un pequeño banco asigna un máximo de $20,000 para préstamos personales y para automóviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales ¿Cómo deben asignarse los fondos? Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad Fondos de préstamos personales x2 = la Cantidad fondos de préstamos para automóvil Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1) Sujetos a: (0.14)(20,000)x1 + (0.12)(20,000)x2 < 20000 …….. (2) x2 > (2)(0.14)(20,000) ……….(3) x1 > (0.01)(0.12)(20,000) .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0
19. Una planta armadora de radios produce dos modelos HiFi-1 y HiFi-2 en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en la estaciones de trabajo son: Minutos por Unidad de Minutos por Unidad de Estación de Trabajo
HiFi-1
HiFi-2
1
6
4
2
5
5
3
4
6
Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres estaciones. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 1 x2 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 2 Min Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: 6x1 + 4x2 < (0.1)(480) …….. (2) 5x1 + 5x2 < (0.14)(480) ……….(3) 4x1 + 6x2 > (0.12)(480) .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 20. Una compañía de productos electrónicos, produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente electrónicos, en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30 y $ 20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción del modelo 1 de Radio x2 = la Cantidad de producción del modelo 2 de Radio Max Z = 30x1 + 20x2 …….(1) Sujetos a: x1 < 60 …….. (2) 10x1 + 8x2 < 800 ……….(3) x2 < 75 .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 21. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquina. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad Producto
Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia
1
10
6
8
$2
2
5
20
15
$3
Nota: Determine la combinación óptima de los productos. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto 1 x2 = la Cantidad de Unidades del Producto 2 Min Z = 2x1 + 3x2 …….(1) Sujetos a: 10x1 + 5x2 < 10 …….. (2) 6x1 + 20x2 < 10 ……….(3) 8x1 + 15x2 < 10 .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0
22. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos de publicidad de $1000 por mes cada minutos de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 25 más venta que cada minutos de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual por anuncios por radio y televisión. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: 5x1 + 100x2 < 1000 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (25)(x2) ……….(3) x1, x2 > 0 23. Una compañía elabora dos productos: A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima en los índices o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio de venta de los productos es $20 y $40 por unidad. Determine la asignación óptima de la materia prima a los dos productos. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto A x2 = la Cantidad de Unidades del Producto B Max Z = 20x1 + 40x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 …….. (2) x1 > (0.6)(60) ……….(3) x1, x2 > 0 24. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de manos de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sobreros son exclusivamente del segundo tipo. La compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 por el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para maximizar la ganancia. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 1 x2 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 2 Max Z = 8x1 + 5x2 …….(1) Sujetos a: 150x1 + 200x2 < 500 …….. (2) x1 > (2)(200) ……….(3) x1, x2 > 0 25. Una empresa pequeña, cuenta con dos máquina para elaborar dos productos. Cada producto tiene que pasar por la máquina A y después por la máquina B. El producto 1 requiere 3 horas de la máquina A y 2 de la máquina B, mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la máquina A y 2 horas de la máquina B. La capacidad de las máquina A y B son 500 y 650 horas semanales respectivamente. El producto a deja 350 pesos y el segundo producto B deja 600 pesos por utilidades. Analice usted la situación de la operación de esta, dado que por escasez de materia prima no puede producir más de 21 unidades del producto. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto A x2 = la Cantidad de Unidades del Producto B Max Z = 350x1 + 600x2 …….(1) Sujetos a: 3x1 + 1x2 < 500 …….. (2) 2x1 + 2x2 < 650 …….. (3)
x1 + x2 < 21 ……...….(4) x1, x2 > 0 26. el grupo "IMPEXA", desea hacer publicidad para su productos en tres diferentes medios: radio, televisión y revista. El objetivo principal es alcanzar tantos clientes como sea posible. Han realizado un estudio y el resultado es: Durante el día Número de clientes 450,000 potenciales que puede alcanzar por unidades de publicidad 500,000
Durante la noche
Radio
Revistas
800,000
675,000
200,000
1,000,000
650,000
250,000
"IMPEXA" no quiere gastar más de $1,200,00. Además en publicidad por televisión no desean gastar más de 750 mil pesos. Se desean comprar tres unidades de televisión durante el día y 2 unidades durante la noche. Plantee el problema como un modelo de programación lineal. Solución: ¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR? x1 = la Cantidad de clientes Potenciales por día x2 = la Cantidad de clientes Potenciales por noche x3 = la Cantidad de clientes por Radio x4 = la Cantidad de clientes por revistas Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1) Sujetos a: (RESTRICCIONES DE BALANCE) x1 + x2 + x3 + x4 < 1,200,000 x1 + x2 < 750,000 x1 > 450,000 x1 < 500,000 x2 > 800,000 x2 < 1,000,000 x3 > 375,000 x3 < 650,000 x4 > 200,000 x4 < 250,000 3x1 < 2x2 27. La señora Morales tiene una dieta a seguir, la cual reúne los siguientes requisitos alimenticios. Al menos 4 mg. de vitamina A Al menos 6 mg. de vitamina B A lo más 3 mg. de vitamina D Así mismo, la dieta está formada por pan, queso, buebo, y carne. La tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo: Contenido en mg por gramo de producto PRODUCTO COSTO
VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA D
PAN QUESO BUEBOS CARNE
0.20 0.15 0.15 0.30
40 31 19 53
0.18 0.10 0.40 0.35
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a comprar de PAN x2 = la Cantidad a comprar de QUESO x3 = la Cantidad a comprar de HUEVO x4 = la Cantidad a comprar de CARNE Min W = 40x1 + 31x2 + 19x3 + 53x4…….(1) Sujetos a: 0.20x1 + 0.15x2 + 0.15x3 + 0.30x4 > 4
0.10 0.14 0.15 0.16
0.18x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.35x4 > 6 0.10x1 + 0.14x2 + 0.15x3 + 0.16x4 > 3 x1, x2, x3, x4 > 0 28. (Inversiones) A Julio que es asesor de inversiones, se le presentan 4 proyectos con sus respectivos costos en un período de tres años, así como la utilidad total. El requiere maximizar la utilidad total disponiendo de $50,000; $24,000; y $30,000 en cada uno de los años siguientes: PROYECTO
UTILIDAD TOTAL COSTO AÑO 1
COSTO AÑO 2
COSTO AÑO 3
X1 X2 X3 X4
100 90 75 80
14 8 19 2
5 14 18 9
6 2 9 5
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1) Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Disponibilidad: Las cantidades disponibles por año se asignan a las diferentes variables o proyectos bajo estas restricciones para optimizar o maximizar la utilidad total. 29. Supóngase que el Banco de Crédito al Campesino tiene dos planes de inversión a saber: El primero en el programa de tierras de riego, el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión al fin del año, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, para el término de dos años. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule el programa lineal que le permita al banco maximizar la inversión total en un sexenio, si la inversión es de $ 100 millones. Solución: ¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR? xiR = la Cantidad de inversión de riesgo a una año i xiT = la Cantidad de inversión Temporal en 2 años i donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1) Sujetos a: (RESTRICCIONES DE BALANCE) x1R + x1T < 100,000 x2R + x2T < 1.30x1R x3R + x3T < 1.30x2R + 1.65x1T x4R + x4T < 1.30x3R + 1.65x2T x5R + x5T < 1.30x4R + 1.65x3T x6R < 1.30x5R + 1.65x4T x1T, xR > 0 30. Una compañía de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión. Su presupuesto limita los gastos de publicidad a $1,500 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $15 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $90. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. Los datos históricos muestran que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 30 veces más ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2 …….(1)
Sujetos a: 15x1 + 90x2 < 1500 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (30)(x2) ……….(3) x1, x2 > 0 31. Una Tienda de animales ha determinado que cada Hámster debería recibirla menos 70 unidades de proteína. 100 unidades de carbohidratos y 20 unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla. ¿Qué mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo mínimo para la tienda? Alimento
Proteínas (Unidades / Onza)
Carbohidratos (Unidades / Onza)
Grasa (Unidades / Onza)
Costo (Onza)
A B C D E F
20 30 40 40 45 30
50 30 20 25 50 20
4 9 11 10 9 10
2 3 5 6 8 8
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a mezclar de A x2 = la Cantidad a mezclar de B x3 = la Cantidad a mezclar de C x4 = la Cantidad a mezclar de D x5 = la Cantidad a mezclar de E x6 = la Cantidad a mezclar de F Min W = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 8x5 + 8x6…….(1) Sujetos a: 20x1 + 30x2 + 40x3 + 40x4 + 45x5 + 30x6 < 70 ......... PROTEÍNA 50x1 + 30x2 + 20x3 + 25x4 + 50x5 + 20x6 < 100 ------ CARBOHIDRATOS 4x1 + 9x2 + 11x3 + 10x4 + 9x5 + 10x6 < 20 ---------- GRASA x1, x2, x3, x4 > 0 32. Una compañía manufacturera local produce cuatro deferentes productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes:
Producto I Producto II Producto III Producto IV
Maquinado Pulido
Ensamble
3 2 2 4
2 1 2 1
1 1 2 3
La compañía dispone semalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos II y III, según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto IV. ¿cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total? Considere que las piezas incompletas como un modelo de Programación Lineal. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1) Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480
1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25 x1, x2, x3, x4 > 0 33. Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquina. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas: Máquina
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
1 2
2 3
3 2
4 1
2 2
El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para las máquina 1 y 2 es $10 y $15. Las horas totales presupuestadas para todos os productos en las máquina 1 y 2 son 500 y 380. si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 en $65, $70, $55 y $45, formule el problema como modelo de programación lineal para maximizar el beneficio neto total. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto 1 x2 = la Cantidad a fabricar del producto 2 x3 = la Cantidad a fabricar del producto 3 x4 = la Cantidad a fabricar del producto 4 Max W = 65x1 + 70x2 + 55x3 + 45x4…….(1) Sujetos a: 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 < 500 3x1 + 2x2 + 1x3 + 2x4 < 380 x1, x2, x3, x4 > 0 34. La compañía Delta tiene maquinaria especializada en la industria de plástico. La compañía se dispone a iniciar operaciones el próximo mes de enero y cuenta con $300,000 y diez máquinas. La operación de cada máquina requiere de $4,000.00 al inicio de una mes para producir y al fin del mes la cantidad de $9,000.00 sin embargo, para cada dos máquinas se necesita un operador cuyo sueldo mensual es de $3000.00 pagando al principio del mes. La compañía se propone planear su producción, empleo de operador y compra de maquinaria que debe tener, al principio del mes siete, al máximo número de máquina en operación. Al principio de cada mes la compañía tiene disponibles tres alternativas para adquirir maquinaria. En la primera alternativa puede comprar máquina de $20,000.00 cada una con un periodo de entrega de una mes. Esto es, si al principio de cada mes "t" se pide y paga la maquinaria, está se entregará al principio del mes t + 1. En la segunda alternativa, se puede comprar en $15,000.00 cada maquinaria, pero el periodo de entrega es en dos meses. La última alternativa s comprar en $10,000.00 cada máquina con un periodo de entrega en tres meses. Formule un modelo de programación lineal que permita determinar la política de compra de maquinaria, producción y pago de operadores en cada mes, de manera tal que al principio del mes siete tenga el máximo número de máquina en operación. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1) Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100
x4 < 25 x1, x2, x3, x4 > 0 35. Una compañía de productos químicos que labora las 24 horas del día tiene las siguientes necesidades de personal técnico y especializado Periodo
Hora del día
Personal técnico
Personal Especializado
1 2 3 4 5 6
6 – 10 10 –14 14 – 18 18 –22 22 – 02 02 - 06
20 40 80 45 25 10
8 12 15 9 3 2
Observe que el periodo 1 sigue al periodo 6. Considere que cada persona en la compañía labora 8 horas consecutivas. Suponga que Xt y Zt, denotan el número de personas técnicas y especializadas, respectivamente, que empiezan a trabajar al inicio del periodo t en cada día. En esta compañía, el acuerdo sindical establece que en todo momento debe haber por lo menos tres veces el número de personal técnico que de personal especializado. Establezca un modelo de programación lineal pata determinar el mínimo número de personal técnico y especializado para satisfacer las necesidades diarias de trabajo en el compañía. Solución: xiR = la Cantidad de personal técnico xiT = la Cantidad de personalidad especializado donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Min Z = x1 + x2 Sujetos a: 20x1 + 8x2 > 60 40x1 + 12x2 > 120 80x1 + 15x2 > 240 45x1 + 9x2 > 3(45) 25x1 + 3x2 > 75 10x1 + 2x2 > 30 36. Ferrocarriles Nacionales de México tiene al inicio del próximo año la siguiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el país: Trimestre
1
Locomotoras Diesel 750
2
3
800
780
La gerencia de ferrocarriles puede satisfacer su demanda mediante la combinación de las siguientes alternativas: a. Uso de la existencia de locomotoras diesel en estado de trabajo b. Compra de locomotoras al extranjero las cuales pueden entregarse al principio de cualquier trimestre c. Reparar locomotoras en los talleres nacionales con carácter normal. El tiempo re reparación es de 6 meses. d. Reportar locomotoras en los talleres nacionales con carácter urgente. El tiempo de reparación es de 3 meses. La alternativa b tiene un costo de $5,000,000 por locomotora
