EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL NOTA: PARA TODOS LOS EJERCICIOS AQUÍ PROPUESTOS, EL OBJETIVO ES REALIZAR EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, NO RESOLVERLOS. ESTO ES PARA EL SEGUNDO CORTE. 1. (K. Mathur & D. Solow) World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25 por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, diesel y jetsóleo. La siguiente tabla indica las cantid ades en barriles de gasolina, diesel y jetsóleo producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo: Gasolina Diesel Jetsóleo Crudo Ligero 0,45 0,18 0,30 Crudo Pesado 0,35 0,36 0,20 La refinería se ha comprometido a entregar 1.260.000 barriles de gasolina, 900.000 barriles de Diesel y 300.000 barriles de jetsóleo. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Defina todas las variables de decisión. 2. (K. Mathur & D. Solow) Fresh Dairy Farms tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente si guiente tabla: LECHE DESCREMADA MANTEQUILLA QUESO Máquina 1 0.2 min/galón 0.5 min/libra 1.5 min/libra Máquina 2 0.3 min/galón 0.7 min/libra 1.2 min/libra Ganancia neta $0.22/galón $0.38/libra $0.72/libra Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente del departamento de producción formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. 3. (K. Mathur & D. Solow) Health Nut Company está desarrollando una nueva barra de mantequilla de cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas. Desarrolle una programación lineal para determinar la cantidad de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total mínimo, basándose en los siguientes datos: Mantequilla de Cacahuate Chocolate Costo ($/onza) 0.10 0.18 Proteínas (gramos/onza) 4.00 0.80 Carbohidratos (gramos/onza) 2.50 1.00 Grasas saturadas (gramos/onza) 2.00 0.50 4. (K. Mathur & D. Solow) Oklahoma Oil, Inc., debe transportar 100.000 barriles de cada uno de sus campos petroleros a su tanque tanque de almacenamiento en Oklahoma City. El petróleo puede puede transportarse en camiones directamente de los campos al tanque de almacenamiento a un costo de $0.03 por barril por milla. Hasta 150.000 barriles de petróleo también pueden enviarse desde los campos mediante ductos a un eje central en Tulsa a un costo de $0.02 por barril por milla y luego transportarse en camiones a Oklahoma City por $1 por barril. Formule un modelo para determinar el plan de embarque de costo mínimo, dadas las siguientes distancias en millas: HACIA OKLAHOMA TULSA Campo petrolero 1 150 50 Campo petrolero 2 170 65 Campo petrolero 3 190 80 5. (K. Mathur & D. Solow) Cada semana, Florida Citrus Inc usa una sola máquina durante 150 horas para destilar el jugo de naranja y de toronja en concentrados 30% almacenados en dos tanques separados de 1000
galones antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero sólo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6.00 por galón. Cada galón de jugo de toronja cuesta $2.00 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronja puede venderse después en $8.00 por galón. Formule un modelo de programación lineal para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana. 6. (K. Mathur & D. Solow) Cajú World mezcla seis especias para fabrica un producto para atezar pescados. La siguiente tabla proporciona el costo de cada especia y los porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en el producto final: ESPECIA COSTO ($/gramo) M NIMO (%) M XIMO (%) Cayena 0.020 18 20 Pimienta negra 0.025 15 18 Semillas de hinojo 0.082 12 14 Polvo de cebolla 0.030 16 20 Ajo 0.028 12 15 Orégano 0.075 14 18 7. Se desea minimizar el costo en la utilización de combustible en un determinado proceso de producción donde las máquinas que requieren de combustible son una caldera y un calentador. Para tal fin se dispone de la siguiente información: Un galón de ACPM genera 1.800 BTU de poder calórico y 45 minutos de combustión. Un galón de FUEL OIL genera 3.600 BTU de poder calórico y 175 minutos de combustión. Cada galón de ACPM cuesta $980 y cada galón de FUEL OIL cuesta $1.120. Para el ciclo de producción se requiere al menos 7.500 BTU de pode calórico y de 7 horas de combustión. Se pide determinar la cantidad que se debe comprar de cada combustible para satisfacer los requerimientos al menor costo. Rta/ 24 galones de Fuel Oil. Menor costo: $26.880 3. Una empresa que fabrica artículos de cuero tiene como productos básicos carteras y zapatos. La utilidad por cada cartera es de $8.000 y por cada para de zapatos es de $11.000. Cada cartera requiere 8 dm 2 de cuero y 12 mts de hilo; cada par de zapatos requiere de 5 dm2 de cuero y 6 mts de hilo. La empresa dispone diariamente de 10 mt 2 de cuero y 180 mts de hilo. Determinar el nivel de producción en cada artículo con el fin de obtener el mayor beneficio diario. Rta/ 30 zapatos. Mayor beneficio diario: $330.000 8. Una empresa de transporte terrestre de carga tiene una flota de 28 camiones con capacidad de 20 toneladas cada uno, y 15 tractomulas con capacidad de 50 toneladas cada una. Los camiones tienen un costo de operación de $1500 por kilómetro y las tractomulas de $2800 por kilómetro. La próxima semana la empresa deberá transportar un total de 1050 toneladas para un recorrido de 450 kilómetros. Además, por política de la empresa cuando se presenta una situación como esta, no pone al servicio toda su flota sino que por cada dos camiones mantenidas en reserva debe quedarse por lo menos una tractomula. Se pregunta: ¿Cuál es el número óptimo de camiones y de tractomulas que deben movilizarse para transportar la carga si ningún vehículo puede hacer más de un viaje? Rta/ 15 camiones, 15 tractomulas. Menor costo: $64.500 9. Un fabricante de gasolina produce y vende dos clases de combustibles: el A y el B. El combustible clase A contiene un 25% de gasolina grado I, 30% de gasolina grado II y 45% de gasolina grado III. El combustible clase B contiene un 50% de gasolina grado I, un 15% de gasolina grado II y el resto de gasolina grado III.
La disponibilidad semanal es de 3 millones de alones de gasolina grado I, de 2.5 millones de gasolina grado II y de 2.7 millones de gasolina grado III. Los costos/galón de gasolina grado I, II y III son de $930, $1.050 y $840 respectivamente. El combustible clase A se vende a 1.230/galón y el clase B a $1.100/galón. ¿Qué cantidad de cada combustible deberá producir semanalmente el fabricante con el fin de optimizar la utilidad, y en cuánto aumenta o disminuye esta utilidad óptima si el galón de combustible clase A se puede vender a $1.400? Rta/ 6´000.000 de galones de combustible clase A. 10. Una industria productora de platos de cartón para piñatas está tratando de encontrar el sistema más económico de cortar los platos a partir del metro cuadrado de cartón. En este momento tiene dos pedidos de platos: uno por 351.000 platos de 500 centímetros cuadrados (cm2) y otro por 484.000 platos de 400 centímetros cuadrados (cm2). La industria tiene dos sistemas de corte que son: el sistema I que consiste en sacar 6 platos de 500 cm2 y 8 platos de 400 cm2 de un metro cuadrado de cartón (1 metro cuadrado = 10.000 cm2), y el resto es desperdicio. El sistema II consiste en sacar 3 platos de 500 cm2 y 12 platos de 400 cm2 de un metro cuadrado de cartón, y el resto es desperdicio. Plantear un modelo de programación lineal para determinar cuántos cortes de cada sistema deberá realizar la industria con el fin de suplir la demanda y minimizar el desperdicio. Rta/ 57.500 cortes tipo I, 2000 cortes tipo II. 11. El dueño de una finca a la ribera de un río tiene dos lugares A y B de los cuales puede extraer material para construcción. Cada tonelada extraída en A contiene un 40% de arena de río y un 50% de gravilla, y cada tonelada extraída en B contiene un 55% de arena y un 35% de gravilla. Las ventas de estos materiales ascienden cada semana a lo mas a 91 toneladas de arena de río y a 80 toneladas de gravilla. La arena se vende a $35.000 la tonelada y la gravilla a $40.000, y extraer una tonelada de material de cualquiera de los dos lugares le cuesta $5.500 la tonelada. ¿Cuántas toneladas deberá extraer semanalmente de cada lugar con el fin de optimizar la ganancia? Rta/ 90 toneladas en A, 100 toneladas en B. Máxima ganancia: $ 5´340.000 12. Una empresa de corte y confección elabora vestidos para dama y para caballeros. El proceso de producción consta de tres actividades que son cortar la tela, coser los vestidos y terminados o acabados de los vestidos, los cuales se desarrollan en las secciones A, B y C respectivamente. Confeccionar un vestido para dama implica 4 horas en A, 3 horas en B y 1.5 horas en C. Confeccionar un vestido para caballero implica 5 horas en A, 3 horas en B y 1 hora en C. La sección A puede operar máximo 80 horas a la semana, la B máximo 70 horas a la semana, y la C máximo 18 horas a la semana. La utilidad por cada vestido para dama es de $45.000 y por cada vestido para caballero es de $60.000. Determinar la producción semanal de cada clase de vestido con el fin de obtener la mayor ganancia total. Rta/ 16 vestidos para caballero. Máxima ganancia: $960.000 13. Usted trabaja en una fábrica que produce tres artículos denotados por X, Y y Z. Los insumos necesarios para su producción son capital y mano de obra. Cada unidad de X requiere $20.000 de capital y 8 horas de mano de obra para su elaboración; cada unidad de Y requiere de $30.000 de capital y 10 horas d emano de obra; y cada unidad de Z requiere de $60.000 de capital y 12 horas de mano de obra. La fábrica dispone de 1250 horas de mano de obra cada mes y de $3.600.000 de capital cada mes para la producción; además, el ingreso por unidad de X, Y y Z es de $100.000. $150.000 y $180.000 respectivamente. Usted debe determinar el nivel de producción mensual que genere el mayor ingreso. Rta/ 120 unidades de Y. Ingreso máximo: $18´000.000 10. Con el fin de comercializar un determinado producto, a usted lo nombran como la persona que deberá decidir cuántos anuncios deben salir por radio y cuántos por televisión. Un anuncio por radio es escuchado por 250.000 personas y uno por televisión le llega a 400.000 personas según un estudio previo. Un anuncio en
radio tiene un costo de $9´375.000 y un en televisión cuesta $12´500.000, y se tiene un presupuesto para estos fines de $93´750.000. Por disposición de la empresa que comercializa el producto, no más del 40% del presupuesto destinado a la promoción se puede asignar a los anuncios por televisión. Determinar el número de anuncios que usted deberá contratar en cada uno de los dos medios con el fin de maximizar la audiencia total. Rta/ 6 anuncios en radio, 3 anuncios en Televisión. Audiencia máxima: 2´700.000 11. Una planta industrial produce 4 artículos electrodomésticos: televisores, radios, licuadoras y lavadoras. Cada uno de estos artículos es armado en el taller de ensamble (TE) y luego enviado al taller de acabados (TA). El número de horas hombre (h-h) de trabajo requeridos para producir cada artículo así como la utilidad por unidad están dadas en el siguiente cuadro: Televisión Radio Licuadora Lavadora h-h disponible TE 8 2 1 4 3.000 TA 2 1 1 2 2.000 Utilidad ($) 38.500 2.000 4.500 26.000 Determinar el número de artículos de cada clase que se deben producir para maximizar la utilidad total. Rta/ 750 lavadoras. Utilidad máxima: $19´500.000 12. Un ingenio azucarero produce y vende diariam ente dos clases de azúcar que son el refinado (R) y el natural (N) o azúcar morena. Los costos por bulto de 50 kilos son de $30.000 para R y de $24.000 para N. Los precios/bulto son de $45.000 para R y de $36.000 para N, y los costos de producción diarios se deben cubrir con el presupuesto máximo que se destina ca da día para todo fin que es de $2´196.000. Además, cada bulto de R requiere para su producción de 3 horas hombre y ocupa un espacio de 0.3 metros cúbicos (m3), y cada bulto de N requiere de 2 horas hombre y ocupa un espacio de 0.3 m3. Se dispone cada día de 380 horas hombre y de 210 m3de bodega. Determinar el nivel de producción diaria que optimice el beneficio. Rta/ 72 bultos azúcar refinado. Beneficio máximo: $1´044.000 13. Usted dispone en estos momentos de la suma de $40´000.000 y tiene tres posibilidades no excluyentes de invertir que son los bancos A, B y C. El banco A le ofrece una tasa de 36% efectivo anual, el banco B le ofrece 38% efectivo anual pero le hace una retención d el 1.5% sobre los intereses devengados cada año, y el banco C le ofrece una tasa del 35% efectivo anual. El banco B no le acepta más de 10 millones, el banco A no le acepta más de $25 millones y en el banco C deberá invertir a lo más el 50% del total disponible. Determinar el monto que deberá invertir en cada banco con el fin de optimizar la rentabilidad total sabiendo que la inversión se hace por un año solamente. Rta/ $25´000.000 en A, 10´000.000 en B, 5´000.000 en C 14. Un productor fabrica y vende cinco artículos diferentes A, B, C, D y E. En la tabla siguiente se muestran los costos por unidad así como el precio por unidad para cada artículo. A B C D E Costo por unidad ($) 500 800 3.000 250 100 Precio por unidad ($) 700 900 3.500 500 120 Si el objetivo es maximizar la utilidad total ara el productor, formule un modelo de PL y resuelva el problema, sabiendo que hay que producir un mínimo de 200 unidades de A y 100 de B, que no se dispone de materia prima suficiente para producir más de 750 unidades de las cinco clases de artículos y las producciones de los artículos C y E deben ser iguales. Rta/ 200 unidades de A, 100 unidades de B, 225 unidades de C, 225 unidades de E
15. Una finca tiene una extensión de terreno de 20 hectáreas todas aptas para la agricultura y para la ganadería. El propietario dispone además de un presupuesto de $18.000.000 para invertir ya sea en agricultura o en ganadería o en ambas, teniendo la siguiente información: una hectárea dedicada a la agricultura le generará unos ingresos anuales de $1´600.000 y una hectárea destinada a la ganadería le producirá unos ingresos anuales de $2´100.000. los costos anuales/hectárea son aproximadamente de $1´400.000 para la ganadería y de $1´000.000 para la agricultura. Usted como Administrador debe asesorar al propietario de la finca en la mejor utilización de los recursos de capital y tierra con el fin de maximizar los beneficios anuales totales. Rta/ 18 Hectáreas en agricultura. Beneficio máximo anual: $10´800.000 16. Par es un pequeño fabricante de equipo y accesorios de golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf estándar como para el modelo de lujo. Un análisis de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente que muestra las necesidades de tiempo (en horas) de producción para las cuatro operaciones de manufacturas requeridas, y la estimación de la utilidad por bolsa. Bolsa estándar Bolsa de lujo
Corte 7/10 1
Costura 1/2 5/6
Terminado 1 2/3
Insp. Y Emp 1/10 1/4
Utilidad $10 $9
El director de manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. a) Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad, ¿cuántas unidades de cada modelo deberá fabricar? b) ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener Par de estas cantidades de producción? c) ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación? d) ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación? 17. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1,20 por unidad y el B $0,80 por unidad, ¿cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? ¿cuál es el costo mínimo? 18. (Arya, Lardner & Ibarra) Una compañís posee dos minas, P y Q. Cada tonelada de mineral de la primera mina produce 50 libras de cobre, 4 de cinc y 1 de molibdeno. Cada tonelada de mineral procedente de la mina Q produce 25 libras de cobre, 8 de cinc y 3 de molibdeno. La compañía debe producir al menos 87500, 16000 y 5000 libras a la semana de estos tres metales, respectivamente. Si tiene un costo de $50 por tonelada obtener mineral de P y $60 por tonelada extraerlo de la mina Q, ¿cuánto mineral deberá obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mínimo? 19. (Arya, Lardner & Ibarra) Una compañía destiladora tiene dos grados de whisky en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene 50% de cada uno de los grados I y II; mientras que la marca súper consta de dos terceras partes de del grado I y el resto del grado II. La compañía dispone de 3000 galones del grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón de la marca súper produce una utilidad de $6. ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la com pañía a fin de maximizar utilidades? 20. (Arya, Lardner & Ibarra) Las víctimas de un terremoto en Centroamérica requieren medicinas y botellas de agua. Cada paquete de medicamentos mide 1 pie cúbico y pesa 8 libras, mientras que cada caja con botellas de agua ocupa 1 pie cúbico y pesa 15 libras. Un avión sólo puede transportar 59700 libras con un volumen total de 4470 pies cúbicos. Cada paquete de medicamentos puede ayudar a 10 personas, mientras que cada caja con botellas de agua servirá para 15 personas. ¿Cuánto se debe enviar de cada uno para ayudar a la mayor cantidad de personas?
21. (Arya, Lardner & Ibarra) Un estanque de peces se abastece cada primavera con dos especies de peces S y T. El peso promedio de los peces es 4 libras para S y 3 para T. Hay dos tipos de comida, A1 y A2, disponibles en el estanque. El requerimiento diario promedio para un pez de la especie S es de 2 unidades de A1 y 3 unidades de A2, mientras que para la especie T es 3 unidades de A1 y 240 u nidades de A1 y 1 unidad de A2. Si a lo más hay 440 unidades de A1 y 240 unidades de A2 diariamente, ¿cómo debe abastecerse el estanque para que el peso total inicial de los peces sea máximo? 22. (Soo Tang Tan) Jorge ha decidido invertir a lo más $100.000 en acciones corporativas. Ha clasificado sus opciones en tres grupos de acciones: acciones azules, acciones de crecimiento y acciones especulativas, cuyos respectivos rendimientos esperados al cabo de un año son: de 10% (dividendos y apreciación del capital), 15% y 20% (debidos principalmente a la apreciación del capital). Debido a los riesgos relativos a su inversión, Jorge ha decidido también que no más del 30% de su inversión deberá estar dentro de las acciones para el crecimiento y las acciones especulativas, y que al menos 50% de su inversión debe estar dentro de las acciones azules y especulativas. ¿Qué cantidad debe invertir Jorge en cada grupo de acciones para maximizar el rendimiento de su inversión? 23. (Soo Tang Tan) La compañía de viajes Everest Deluxe ha decidió anunciarse en las ediciones dominicales de los dos periódicos principales en su ciudad. Estos anuncios están dirigidos a tres grupos de clientes potenciales. Cada anuncio en el periódico I es visto por 70.000 clientes del grupo A, 40.000 clientes del grupo B y 20.000 clientes del grupo C. Cada anuncio en el periódico II es visto por 10.000 clientes del grupo A, 20.000 clientes del grupo B y 40.000 clientes del grupo C. Cada anuncio en el periódico I cuesta $1.000, y cada anuncio en el periódico II cuesta $800. Everest desea que sus anuncios sean vistos por al menos 2.000.000 de personas del grupo A, 1.400.000 de personas del grupo B y 1.000.000 de personas del grupo C. ¿Cuántos anuncios debe colocar Everest en cada periódico a fin de alcanzar sus metas de publicidad a un costo mínimo? 24. (Soo Tang Tan) Maderas Boise ha decidido entrar al lucrativo negocio de las casas prefabricadas. En un principio, planea ofrecer tres modelos: estándar, de lujo y muy lujoso. Cada casa se fabrica previamente y se monta parcialmente en la fábrica, mientras que el montaje final se realiza en el sitio de la instalación. La cantidad (en dólares) de material de construcción necesario, la cantidad de trabajo necesario en la prefabricación y montaje parcial en la fábrica, la cantidad de trabajo necesario para el montaje final, y la ganancia por unidad son las siguientes: Material ($) Trabajo en la fabrica (horas) Trabajo en el sitio de instalación ($) Ganancia
Modelo estándar 6.000 240
Modelo de lujo 8.000 220
Modelo muy lujoso 10.000 200
180
210
300
3.400
4.000
5.000
Para la producción del primer año, se ha presupuestado una suma de $8´200.000 para el material de construcción; el número de horas de trabajo disponibles para laborar en la fábrica (para la prefabricación y el montaje parcial) no debe exceder de 218.000 horas, mientras que la cantidad de trabajo para el montaje final debe ser menor o igual a 237.000 horas de trabajo. Determinar cuántas casas de cada tipo de producir Boise para maximizar su ganancia en esta nueva empresa (los estudios de mercado han confirmado que no debe haber problemas con las ventas). 25. (Paul & Haeussler) Una compañía de papel almacena su papel para envoltura en rollos de 48 pulgadas de ancho, llamados rollos de almacenamiento, y los corta en anchos más pequeños dependiendo de los pedidos de los clientes. Suponga que se recibe un pedido de 50 rollos de papel de 15 pulgadas de ancho, y de 60 rollos de 10 pulgadas de ancho. De un rollo de almacenamiento la compañía puede cortar tres rollos de 15 pulgadas de ancho, y un rollo de 3 pulgadas de ancho. Como el rollo de 3 pulgadas de ancho no puede utilizarse en este orden, entonces es el recorte que se desperdicia en este rollo.
Del mismo modo, de un rollo de almacenamiento se pueden cortar dos rollos de 15 pulgadas de ancho, un rollo de 10 pulgadas de ancho, y el resto sería desperdicio. O también se puede cortar un rollo de 15 pulgadas, 3 rollos de 10 pulgadas y el resto es desperdicio. O cortar 4 rollos de 10 pulgadas y el resto es desperdicio. Suponga que la compañía tiene suficientes rollos de almacenamiento para cubrir la orden y que al menos 50 rollos de 15 pulgadas y 60 rollos de 10 pulgadas de ancho de papel para envoltura serán cortados. Determine el número de rollos de almacenamiento que se cortan en cada una de las formas descritas que minimicen el desperdicio total.
