EJERCICIO 1: Gasahol, Inc. Tiene 14’000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol almacenada en su instalación de Fresno y 16’000 galones almacenados en su instalación de Bakersfield. Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a Fresh Food Farms (FFF) 10’000 galones y a American Growers (AG) 20’000 galones. El costo de embarcar 1 galón desde cada instalación de almacenado a cada cliente es: Hacia
FFF $0.04 $0.05
Fresno Bakersfield
AG $0.06 $0.03
Formule un modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque de costo mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y demanda.
FFF AG
DEMANDA 10’000 20’000
a) Variable de decisión X FF = # de galones de Fresno a FFF X FA = # de galones de Fresno a AG X BF = # de galones de Bakersfield a FFF X BA = # de galones de Bakersfield a AG b) Función Objetivo Minimizar Costo Embarque Min Z= 0.04 $ * X FF (gal) + 0.06 $ * X FA (gal) + 0.05 $ * X BF (gal) + 0.03 $ * X BA (gal) gal gal gal gal c) Restricciones ‐ De Demanda:
X FF (gal) + X BF (gal) = 10’000 (gal)
X FA (gal)+ X BA (gal) = 20’000 (gal)
‐ De Cantidad Almacenada:
X FF (gal) + X BF (gal) = 14’000 (gal)
X FA (gal) + X BA (gal) = 16’000 (gal)
d) No Negatividad X FF >= 0 X FA >= 0 X BF >= 0 X BA >= 0 EJERCICIO 2: EJERCICIO 2: HealthNut Company está desarrollando una nueva barra de mantequilla de cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas, pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total mínimo, basándose en los siguientes datos: Costo ($/oz) Proteínas(g/oz) Carbohidratos(g/oz) Grasas saturadas(g/oz)
Mantequilla de Cacahuate 0.10 4.00 2.50 2.00
Chocolate 0.18 0.80 1.00 0.50
a) Variable de decisión X M = # de onzas de Mantequilla de Cacahuate X C = # de onzas de Chocolate b) Función Objetivo Minimizar Costo Total c) Restricciones
Min Z=0.1 $ * X M (onz) + 0.18 $ * X C (onz) onz onz onz
‐De Contenido:
4 (gr./onz) * X M (onz) + 0.8 (gr. /onz) * X C (onz) >=
Carbohidratos: 5(gr.)
2.5 (gr./onz) * X M (onz) + 1 (gr./onz) * X C (onz) <=
Grasas Saturadas: 5(gr.)
2 (gr. /onz) * X M (onz) + 0.5 (gr./onz) * X C (onz) <=
Proteínas: 5(gr.)
d) No Negatividad
X M >= 0 X C >= 0 EJERCICIO 3: HealthNut Company tiene una maquina que muele semillas de Psyllium hasta producir un polvo fino a una velocidad de 30 libras por hora. La compañía también usa la máquina para hacer crema de cacahuate con cacahuates tostados a una velocidad de 60 libras por hora. El tiempo de fijación para cambiar la máquina de un producto al otro es despreciable. La demanda mensual y los costos de mantenimiento de inventario de cada producto se muestran en la tabla siguiente:
Mes Mayo Junio Julio
DEMANDA(lb) CREMA DE PSYLLIUM CACAHUATE 400 600 450 700 500 650
COSTOS DE MANTENIMIENTO($/lb) CREMA DE PSYLLIUM CACAHUATE 0.10 0.05 0.10 0.05 0.12 0.05
El inventario inicial para cada producto a principios de mayo es 0 y también debe ser 0 a finales de julio. En ningún momento el inventario de Psyllium puede exceder las 1000 libras ni el de mantequilla de chachaguate las 500 libras. Asimismo, cada mes hay 20 horas de tiempo de maquina disponible. Formule un programa lineal para determinar un plan de producción para los meses de mayo, junio y julio que minimice los costos totales de almacenamiento, suponiendo que se satisface la demanda al final de cada mes y que los costos de mantenimiento de existencia se basan en la cantidad en inventario a principios de mes. a) Variable de decisión X 11 = # de horas que se usa la máquina para producir Psyllium en Mayo X 21 = # de horas que se usa la máquina para producir Psyllium en Junio X 31 = # de horas que se usa la máquina para producir Psyllium en Julio X 12 = # de horas que se usa la máquina para producir Crema de Cacahuate en Mayo X 22 = # de horas que se usa la máquina para producir Crema de Cacahuate en Junio X 32 = # de horas que se usa la máquina para producir Crema de Cacahuate en Julio I 1 = Inventario al inicio de Mayo I 2 = Inventario al inicio de Junio I 3 = Inventario al inicio de Julio
I 4 = Inventario al inicio de Agosto
I 11 = Inventario al inicio de Mayo de Psyllium I 21 = Inventario al inicio de Junio de Psyllium I 31 = Inventario al inicio de Julio de Psyllium I 41 = Inventario al inicio de Agosto de Psyllium I 12 = Inventario al inicio de Mayo de Cacahuate I 22 = Inventario al inicio de Junio de Cacahuate I 32 = Inventario al inicio de Julio de Cacahuate I 42 = Inventario al inicio de Agosto de Cacahuate
b) Función Objetivo Minimizar Costos Totales
Min Z=0.1 $ * I 11 (lb) + 0.1 $ * I 21 (lb) + 0.12 $ * I 31 (lb) + 0.05 $ * I 12 (lb) + 0.05 $ * I 22 (lb) + 0.05 $ * I 32 (lb) c) Restricciones ‐De Inventario:
I 11 (lb) = 0
I 21 (lb) = I 11 (lb) + X 11 (hr.) * 30 (lb/hr.) – 600(lb)
I 31 (lb) = I 21 (lb) + X 21 (hr.) * 30 (lb/hr.) – 700(lb)
I 41 (lb) = I 31 (lb) + X 31 (hr.) * 30 (lb/hr.) – 650(lb)
I 41 (lb) =0
I 12 (lb) = 0
I 22 (lb) = I 12 (lb) + X 12 (hr.) * 60 (lb/hr.) – 400(lb)
I 32 (lb) = I 22 (lb) + X 22 (hr.) * 60 (lb/hr.) – 450(lb)
I 42 (lb) = I 32 (lb) + X 32 (hr.) * 60 (lb/hr.) – 500(lb)
I 42 (lb) =0
I 11 (lb), I 21 (lb), I 31 (lb), I 41 (lb) <= 1000(lb)
I 12 (lb), I 22 (lb), I 32 (lb), I 42 (lb) <= 500(lb)
‐De Tiempo
X 11 (hr.) + X 12 (hr.) <= 20(hr.)
X 21 (hr.) + X 22 (hr.) <= 20(hr.)
X 31 (hr.) + X 32 (hr.) <= 20(hr.)
d) No Negatividad I 11 , I 21 , I 31 , I 41 , I 12 , I 22 , I 32 , I 42 , X 11 , X 21 , X 31 , X 12 , X 22 , X 32 >= 0 EJERCICIO 4: EJERCICIO 4: En Explosives, Inc. se mezclan azufre, carbón y salitre para producir pólvora. El producto final debe contener al menos 10%, pero no más de 20%, de carbón por unidad de peso. La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la cantidad de carbón usado. Para evitar una explosión accidental, la suma de 50% de azufre más 60% del carbol mas 30% del salitre usados no puede exceder 35% del producto final. El azufre es con mucho el componente más caro. Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ingrediente que debe utilizarse para producir cada libra de pólvora que satisfaga las restricciones y, a la vez, que requiera la menor cantidad de azufre. a) Variable de decisión A= Cantidad de azufre a utilizar en libras C= Cantidad de carbón a utilizar en libras S= Cantidad de salitre a utilizar en libras b) Función Objetivo Minimizar Cantidad de Azufre
Min Z= S (lb) (lb)
c) Restricciones A (lb) + C (lb) + S(lb) = 1(lb) ‐De Composición:
C (lb) >= 0.1(lb)
C (lb) <= 0.2(lb)
S (lb) <= 0.5* C (lb) S (lb) – 0.5 * C (lb) <= 0
0.5* A (lb) + 0.6* C (lb) + 0.3 * S (lb) <= 0.35(lb)
‐ No Negatividad
A, C, S >= 0 EJERCICIO 5: Cada semana, Florida Citrus, Inc., usa una sola maquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de toronja en concentrados almacenados en dos tanques separados de 1000 galones antes de congelarlos. La maquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero solo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6.00 por galón. Cada galón de jugo de toronja cuesta $2.00 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronja se vende después en $8.00 por galón. Formule un modelo de programación lineal para determinar un plan de producción que maximice ganancias para la siguiente semana usando las variables:
JN = el numero de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana
JT = el numero de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana
a) Función Objetivo Maximizar Ganancias Max Z= Venta ‐ Costo
6.00 $ * 0.7 (gal) * JN (gal) + 8.00 $* 0.75 (gal) * JT (gal) ‐ 1.5 $ * JN (gal) – 2 $ * JT (gal) gal gal gal gal b) Restricciones ‐De Capacidad de Tanques:
Tanque 1:
0.7 (gal) x JN (gal) <= 1000(gal)
Tanque 2:
0.75 (gal) x JT (gal) <= 1000(gal)
‐De Tiempo de Maquina:
T1 = Horas que se usa el tanque para jugo de naranja
T2 = Horas que se usa el tanque para jugo de toronja
JN (gal) = 25(gal/hr.) * T1 (hr.)
JT (gal) = 20(gal/hr.) * T2 (hr.)
T1 (hr.) + T2 (hr.) <= 150 (hr)
‐ No Negatividad
JN, JT, T1, T2 >=0
EJERCICIO 6: Oklahoma Oíl, Inc., debe transportar 100’000 barriles de cada uno de los tres campos petroleros a su tanque de almacenamiento en Oklahoma City. El petróleo puede transportarse en camiones directamente de los campos el tanque de almacenamiento a un costo de $0.03 por barril por milla. Hasta 150’000 barriles de petróleo también pueden enviarse desde los campos mediante ductos a un eje central en Tulsa a un costo de $0.02 por barril por milla y luego trasportarse en camiones a Oklahoma City por $1 por barril. Formule un modelo para determinar el plan de embarque de costo mínimo, dadas las siguientes distancias en millas: DESDE Campo petrolero 1 Campo petrolero 2 Campo petrolero 3
HACIA OKLAHOMA 150 170 190
TULSA 50 65 80
a) Variable de decisión X ij ; donde:
i= origen
j= destino
b) Función Objetivo
Minimizar Plan de Embarque Min Z= 0.03$* 150(mll)* X AO (br) + 0.03$ * 170(mll)* X BO (br) + 0.03$ * 190(mll)* X CO (br) + 0.02$ * 50(mll)* X AT (br) + 0.02$ * 65(mll)* (br*mll) (br*mll) (br*mll) (br*mll) (br*mll) c) Restricciones X BT (br) + 0.02$ * 80(mll)* X CT (br) + [X AT (br) + X BT (br) + X CT (br)] * 1$ (br*mll) (br.) ‐De Cantidad a Transportar:
X AO (br) + X AT (br) = 100 000(br) X BO (br) + X BT (br) = 100 000(br) X CO (br) + X CT (br) = 100 000(br)
‐De Cantidad a Enviar a Tulsa:
X AT (br) + X BT (br) + X CT (br) <= 150 000(br)
d) No Negatividad
X ij >= 0
EJERCICIO 7: Cajun World mezcla seis especias para fabricada un producto atezar pescados. La siguiente tabla proporciona el costo de cada especia y los porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en el producto final: ESPECIA Cayena Pimienta negra Semillas de hinojo Polvo de cebolla Ajo Orégano
COSTO($/gm) 0.020 0.025 0.082 0.025 0.028 0.075
MINIMO (%) 18 15 12 16 12 14
MAXIMO (%) 20 18 14 20 15 18
Formule un programa lineal para determinar la cantidad de cada especia utilizada para producir cada kilogramo de producto que minimice el costo total. Convertimos los gm a kg. ESPECIA Cayena (1) Pimienta negra (2) Semillas de hinojo (3) Polvo de cebolla (4) Ajo (5) Orégano (6)
COSTO ($/kg.) 20 25 82 25 28 75
a) Variable de decisión
MINIMO (%) 18 15 12 16 12 14
MAXIMO (%) 20 18 14 20 15 18
X i; donde i es la cantidad de kg. de cada producto. de cada producto. b) Función Objetivo Minimizar Costos Totales
Min Z=20$* X 1 (kg.)+ 25$* X 2 (kg.) + 82$* X 3 (kg.) + 25$* X 4 (kg.) + 28$* X 5 (kg.) + 75$* X 6 (kg.)
c) Restricciones X 1 (kg) + X 2 (kg) + X 3 (kg) + X 4 (kg)+ X 5 (kg) + X 6 (kg) = 1 Kg.
‐De Cantidad Máxima y Mínima:
X 1 (kg) >= 0.18
X 1 (kg) <= 0.2
X 2 (kg)>= 0.15
X 2 (kg) <= 0.18
X 3 (kg)>= 0.12
X 3 (kg) <= 0.14
X 4 (kg)>= 0.16
X 4 (kg) <= 0.2
X 5 (kg)>= 0.12
X 5 (kg) <= 0.15
X 6 (kg)>= 0.14
X 6 (kg)<= 0.18
‐ No Negatividad
X ij >= 0
EJERCICIO 8: EJERCICIO 8: Incredible Indelible Ink Company mezcla tres aditivos, A 1, A 2, A 3 a una base en diferentes proporciones para obtener distintos colores de tinta. La tinta roja se obtiene mezclando A 1, A 2 y A 3 en la proporción de 3:1:2, la tinta azul en la proporción de 2:3:4 y la tinta verde en
proporción 1:2:3. Después de mesclar estos aditivos, se añade una cantidad igual de base para cada color. La compañía actualmente tiene 1000 galones de A 1, 1500 de A 2, 2000 de A 3 y 4000 de base. Dado que el precio de venta por galón de cada tipo de tinta es el mismo, desarrolle un modelo para determinar cómo deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos. a) Variable de decisión T R : Galones de tinta roja T A : Galones de tinta azul T V : Galones de tinta verde B R : Base para tinta roja B A : Base para tinta azul B V : Base para tinta verde X R1 : Galones de aditivo A1 para tinta roja X R2 : Galones de aditivo A2 para tinta roja X R3 : Galones de aditivo A3 para tinta roja X A1 : Galones de aditivo A1 para tinta azul X A2 : Galones de aditivo A2 para tinta azul X A3 : Galones de aditivo A3 para tinta azul X V1 : Galones de aditivo A1 para tinta verde X V2 : Galones de aditivo A2 para tinta verde X V3 : Galones de aditivo A3 para tinta verde b) Función Objetivo Maximizar Ingresos Max Z= T R (gal) + T A (gal) + T V (gal)
c) Restricciones T R (gal) = X R1 (gal) + X R2 (gal) + X R3 (gal) + B R (gal)
X R1 (gal) = 3X R2 (gal)
X R3 (gal) = 2X R2 (gal)
B R (gal) = X R1 (gal) + X R2 (gal) + X R3 (gal)
T A (gal) = X A1 (gal) + X A2 (gal) + X A3 (gal) + B A (gal)
3X A1 (gal) = 2X A2 (gal)
4X A3 (gal) = 2X A3 (gal)
B A (gal) = X A1 (gal) + X A2 (gal) + X A3 (gal)
T V (gal) = X V1 (gal) + X V2 (gal) + X V3 (gal) + B V (gal)
2X V1 (gal) = X V2 (gal)
3X V1 (gal) = 2X R2 (gal)
B V (gal) = X V1 (gal) + X V2 (gal) + X V3 (gal)
‐De Cantidad de Galones:
X R1 (gal) + X A1 (gal) + X V1 (gal) <= 1000(gal)
X R2 (gal) + X A2 (gal) + X V2 (gal) <= 1500(gal)
X R3 (gal) + X A3 (gal) + X V3 (gal) <= 2000(gal)
B R (gal) + B A (gal) + B V (gal) <= 4000(gal)
d) No Negatividad T R , T A , T V , B R , B A , B V , X R1 , X R2 , X R3 , X A1 , X A2 , X A3 , X V1 , X V2 , X V3 >=0 EJERCICIO 9: El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de desarrollar un plan nacional de energía para el año siguiente. Lilliput puede generar energía de cualquiera de cinco fuentes. Carbón, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo. Los datos sobre los recursos de energía, las capacidades de generación medidas en megawatt‐hora (MW‐hr), y los costos unitarios de generación se dan en la tabla 3.10. Lilliput necesita 50’000 MW‐hr de energía de uso domestico, y el país tiene un compromiso para producir 10’000 MW‐hr para exportación. Más aun, a fin de conservar los recursos de energía y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones:
1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder de 20% de cada energía total generada por Lilliput. 2. Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbón. 3. Los efluentes que salen a la atmosfera no deben exceder los límites específicos en la tabla 3.11. 4. La cantidad de energía generada a partir de gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir de petróleo. Formule un programa lineal para determinar un plan de energía de costo mínimo. Fuente de Energía Carbón Gas natural Nuclear Hidroeléctrica Petróleo
TABLA 3.10 Capacidades de generación de costos CAPACIDAD TOTAL(MW‐hr) COSTO DE GENERACION($/MW‐hr) 45’000 6.0 15’000 5.5 45’000 4.5 24’000 5.0 48’000 7.0
TABLA 3.11 Datos de polución de generación de energía CONTAMINANTE (gm/MW‐hr) Fuente de Energía DIOXIDO DE MONOXIDO DE PARTICULAS AZUFRE CARBONO DE POLVO Carbón 1.5 1.0 0.7 Gas natural 0.2 0.5 ‐ Nuclear ‐ 0.1 0.2 Hidroeléctrica ‐ ‐ ‐ Petróleo 0.4 0.8 0.5 Kg máximos 75 60 30 permitidos
DESECHOS SOLIDOS 0.4 ‐ 0.7 ‐ 0.1 25
a) Variable de decisión X 1 : Cantidad de MW‐hr de energía proveniente de carbón X 2 : Cantidad de MW‐hr de energía proveniente de gas natural X 3 : Cantidad de MW‐hr de energía proveniente de nuclear X 4 : Cantidad de MW‐hr de energía proveniente de hidroeléctrica X 5 : Cantidad de MW‐hr de energía proveniente de petróleo b) Función Objetivo Minimizar Costos Min Z=6$ * X 1 (MW‐hr) + 5.5$ * X 2 (MW‐hr) + 4.5$ * X 3 (MW‐hr) + 5$ * X 4 (MW‐hr) + 7$ * X 5 (MW‐hr) (MW‐hr) (MW‐hr) (MW‐hr) (MW‐hr) (MW‐hr) ‐hr)
c) Restricciones ‐De Materiales Nucleares: X 3 (MW‐hr) <= 0.2*60000(MW‐hr)
‐De Carbón: X 1 (MW‐hr) >= 0.8*45000(MW‐hr)
‐De Efluyentes: Dióxido de Azufre: 1.5(gm/ MW‐hr) *X 1 (MW‐hr) + 0.2(gm/ MW‐hr)* X 2 (MW‐hr) + 0.4(gm/ MW‐hr) *X 5 (MW‐hr) <=75000(gm) De monóxido de carbono: 1.2(gm/ MW‐hr)* X 1 (MW‐hr) + 0.5(gm/ MW‐hr)* X 2 (MW‐hr) + 0.1(gm/ MW‐hr) *X 3 (MW‐hr) + 0.8(gm/ MW‐hr) *X 5 (MW‐hr) <=60000(gm) De partículas de polvo: 0.7(gm/ MW‐hr)* X 1 (MW‐hr) + 0.2(gm/ MW‐hr)* X 3 (MW‐hr) + 0.5(gm/ MW‐hr)* X 5 (MW‐hr) <=30000(gm) De desechos sólidos: 0.4(gm/ MW‐hr)* X 1 (MW‐hr) + 0.7(gm/ MW‐hr)* X 3 (MW‐hr) + 0.1(gm/ MW‐hr)* X 5 (MW‐hr) <=25000(gm)
‐De Demanda: X 1 (MW‐hr) + X 2 (MW‐hr) + X 3 (MW‐hr) +X 4 (MW‐hr) + X 5 (MW‐hr) =60 000(MW‐hr) ‐De No Negatividad:
X i >= 0
‐De Gas Natural:
X 2 (MW‐hr) >= 0.3 X 5 (MW‐hr)
‐De Capacidad Tota:
X 1 (MW‐hr)<=45 000(MW‐hr))
X 2 (MW‐hr)<=15 000(MW‐hr)
X 3 (MW‐hr)<=45 000(MW‐hr)
X 4 (MW‐hr)<=24 000(MW‐hr)
X 5 (MW‐hr) <=48 000(MW‐hr)
EJERCICIO 10:
Fresh Food Farms, Inc., tiene 50 acres de tierra en la cual plantar cualquier cantidad de maíz, soya, lechuga, algodón y brócoli. La siguiente tabla muestra la información relevante perteneciente a la producción, el costo de plantación, el precio de venta esperado y los requerimientos de agua para cada cultivo: PRECIO AGUA VENTA($/kg) REQUERIDA(litros/kg) 1.70 8.75
CULTIVO
PRODUCCION(kg/acre)
COSTO($/kg)
Maíz (1) Frijoles de soya (2) Lechuga(3) Algodón(4) Brócoli(5)
640
1.00
500
0.50
1.30
5.00
400 300 350
0.40 0.25 0.60
1.00 1.00 1.30
2.25 4.25 3.25
Para la próxima temporada, hay 100’000 litros de agua disponible y la compañía ha contratado vender al menos 5120 kilogramos de maíz. Formule un programa lineal para determinar una estrategia de plantación óptica para Fresh Food Farms, Inc. Use el numero de acres de cada cultivo para plantación como las variables de decisión. a) Variable de decisión X i = # de acres para la plantación i b) Función Objetivo Maximizar Max Z= 640 kg. * [1.70($/kg))‐1.0($/kg)]* X 1 (acre) + 500 kg. *[1.3($/kg)‐0.5($/kg)] X 2 (acre) + 400 kg.
acre acre acre [1($/kg) ‐0.4($/kg)] X 3 (acre) + 300 kg. [1($/kg)‐0.25($/kg)] X 4 (acre) + 350 kg. [1.3($/kg)‐0.6($/kg)] X 5 (acre) acre
acre
c) Restricciones ‐De Contrato de Maíz:
X 1 (acre) * 640(acre/kg) >=5120 kg.
‐De Agua Disponible: 640(kg/acre) * 8.75 (litros/kg) * X 1 (acre) + 500 (kg/acre) * 5 (litros/kg) * X 2 (acre) + 400 (kg/acre) * 2.25 (litros/kg) * X 3 (acre) + 300 (kg/acre) * 4.25 (litros/kg) * X 4 (acre) + 350 (kg/acre) * 3.5 (litros/kg) * X 5 (acre) <=100 000 (litros)
‐ No Negatividad
X i >= 0
