UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA CA4-7 EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
FERNANDA JAMI
PROF. FRANCISCO BAHAMONDE
17 DE OCTUBRE DE 2012
QUITO - ECUADOR
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. La primera semilla sea roja? b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
P(E1) =
=0.67 = 67%
P(E2) = ,
= 0.36 = 36%
2. Una rata es colocada en una caja con 3 botones de colores, roja, azul y blanco si presiona 2 botones al azar ¿cual es la probabilidad de que presione 2 veces el botón rojo?
EM =
rr aa bb
rb ar br
rb ab ba
P(rr)=
= 0.11 = 11%
3. Un lote de 12 artículos, tiene 4 defectuosos. Se toma al azar 3 artículos del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que los 3 sean buenos. E1: bueno
=
.
.
=
= 25%
E2: bueno E3: bueno
4. Sea el caso de lanzar un par de dados corrientes. si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2. 4.2 EM=
2.4 3.3
5.1
P(E1)= = 0.40 = 40%
1.5
5. Se lanza una moneda al aire 2 veces ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos una cara?
P(E1) =
= 0.75 = 75%
cc
cs
sc
ss
EM =
6. Se escoge al azar dos dígitos, desde el 1 al 5 si la suma es para hallar la probabilidad de que ambos números sean impares. P(E1)=
= 0.24 = 24%
7. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde. a. Sea roja P(E1)=
= 0.40 = 40%
b. No sea verde P(E2)= 1- P(E2)= 1-
=
= 0.65 = 65%
8. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? a. Sea roja o blanca
=
+
=
=
= 0.66 = 66%
= 0.60 = 60%
b. No sea blanca P(E1)= 1- P(E1) = 1-
9. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7?
EM=
P(E1)=
1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1
1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2
1.3 2.3 3.3 4.3 5.3 6.3
= 0.17 = 17%
1.4 2.4 3.4 4.4 5.4 6.4
1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5
1.6 2.6 3.6 4.6 5.6 6.6
10. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que: a) Salga 6 en todos.
= . . =
E1= 6
E2= 6
E3= 6
11. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. Hombre Ojos castaños 5 Total 10
P(
Mujer 10 20
= P(A) +P (B) – P
Total 15 30
=
+
-
=
= 0.66 = 66%
12. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: a. Dos caras
P(E1)= .
=
= 0.25 =25%
EM=
cc
cs
SS
SC
b. Dos sellos P(E2)= .
=
= 0.25 =25%
13. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: a. La probabilidad de que el número obtenido sea par. P(E1)=
= 0.5 = 50 %
14. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: a.
Un número par. P(E1)= = 0.5 = 50%
b.
Un múltiplo de tres. P(E1)= = 0.33 = 33%
c.
Mayor que cuatro P(E1)= = 0.33 = 33%
15. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que: a. Sea roja P(E1)=
= 0.40 = 40%
b. No sea amarilla P(E1.) = 1-
= = 0.75 = 75%
16. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Hallar la probabilidad de: a. Una sea blanca y la otra roja
P(E1.E2)=
.
=
= 0.21 = 21%
=
= 0.49 = 49%
b. Dos seas blancas
P(E1.E2)=
.
17. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras. a. Sea roja o blanca
P(E1+E2)=
+
=
= 0.60=60%
b. No sea blanca P(E1) = 1-
=
= 0.66 = 66%
18. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta: a. Sea un hombre P(E1)=
= 0.33 = 33%
b. Sea una mujer morena P(E1)=
= 0.44 = 44%
19. Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten? P(E1)= P
P(E1)= =
+ - =
P
=
.
=
= 0.70 =70 %
20. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. P(>9) = (4.6), (5.5), (5.6), (6.6) P(4) = (b.4), (1.3), (2.2), (2.6), (3.5), (4.4), (4.6) P
=
+
-
=
= 0.36 =36%
EJERCICIOS DEL TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 1 Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? Solución: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: R A
N R
B N R N
C
P( )=
( )
=
( )
=
( )
= 0.26 = 26%
EJEMPLO 2
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
0.2
P(
Ingenieros
0.75
Directivo
0.2
Economistas
0.50
Directivo
0.6
Otros
0.20
Directivo
)=
= 0.405 = 40.5%
EJEMPLO 3
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02 En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma. l
A 0.97 0.03 ̅
0.1
A 0.02
0.9
̅
P( )=
̅
0.98
̅
= 0.157 = 15.7%
EJEMPLO 4
Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine: a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios. SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos: Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas Suceso H: pacientes de género masculino a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:
b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:
EJEMPLO 5
Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato. SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos: Suceso P: seleccionar el primer aparato Suceso S: seleccionar el segundo aparato Suceso T: seleccionar el tercer aparato Suceso E: seleccionar un resultado con error Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:
EJERCICIO DE TEOREMA DE BAYES PRUEBA Un almacén esta considerado cambiar su política de otorgamiento de créditos para reducir el número de clientes que finalmente no pagan sus deudas. El gerente de crédito sugiere que en el futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o más en sus pagos en 2 ocasiones distintas. La sugerencia del gerente se basa en el hecho de que en el pasado sus cuentas, el 90% de todos los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas se habían demorado en sus pagos en por lo menos 2 ocasiones. Suponga que de una investigación independiente encontramos que el 2% de todos los clientes (con crédito) finalmente no pagan sus cuentas y que de aquellas que finalmente si las pagan el 45% se han demorado en por lo menos 2 ocasiones. Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro por lo menos en 2 ocasiones finalmente no page su cuenta y con la información que obtengo analice la política que ha sugerido el Gerente de Ventas. P( ) =0.45 =0.441 P© 0.98 ̅
P( ) = 0.55 =0.593
P( ̅ )= 0.90 = 0.018 P© 0.02
̅
P( ̅ )= 0.10 = 0.002
̅
P( ) =
=
= 0.0392 = 3.92%