Probabilidad
I.
Tipos de probabilidad
1.Se va a seleccionar al azar una carta de una baraja estándar de 52 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea una reina? ¿Qué estrategia de probabilidad empleó para responder esta pregunta? 2.El Centro para el Cuidado del Niño reporta el estado civil de los padres de 539 niños. Hay 333 parejas casadas, 182 divorciadas y 24 padres viudos. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño en particular elegido al azar tenga un padre divorciado? ¿Qué estrategia empleó? 3.¿Cuál es la probabilidad de que el Promedio Industrial Dow Jones sea mayor de 12 000 en los próximos 12 meses? ¿Qué estrategia de probabilidad utilizó para responder esta pregunta? 4.Algunas personas están a favor de reducir los impuestos federales para aumentar los gastos del consumidor, y otras están en contra. Se seleccionan dos personas y se registran sus opiniones. Mencione los resultados posibles. 5.Un inspector de control de calidad selecciona una parte para probarla. La parte se marca como aceptable, susceptible a repararse o desecho. Luego, se prueba otra parte. Mencione los posibles resultados de este experimento con dos partes. 6.Una encuesta entre 34 estudiantes de Wall College of Business mostró que tienen las siguientes especializaciones:
Supongamos que alumno y observa su
Contabilidad
10
Finanzas
5
Sistemas de información
3
Administración
6
Mercadotecnia
10
selecciona a especialización.
un
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté especializado en administración? b) ¿Cuál es la probabilidad de que esté especializado en Mercadotecnia? c) ¿Qué concepto de probabilidad utilizó para hacer este cálculo? 7.En cada uno de los casos siguientes, indique si se utilizó la probabilidad clásica, empírica o subjetiva. a) Un jugador de básquetbol comete 30 de 50 faltas. La probabilidad de que corneta la Siguiente falta es de 0.6. b) Se forma un comité de estudiantes con siete miembros para estudiar los problemas del ambiente. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de los siete Kamila Kwapisz
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Probabilidad
sea elegido vocero del equipo? c) Usted compra uno de los 5 millones de boletos vendidos por Lotto Canada. ¿Cuál es la probabilidad ele que gane el premio acumulado de un millón de dólares? d) La probabilidad de que ocurra un terremoto en el norte de California durante los próximos 10 años es 0.80. 8.Una empresa va a dar un ascenso a dos empleados de un grupo de seis hombres y tres mujeres. a) Mencione los resultados de este experimento, en caso de haber alguna preocupación por la igualdad de los géneros. b) ¿Qué concepto de probabilidad utilizaría para calcular estas probabilidades? 9. Se seleccionó una muestra de 40 ejecutivos de la industria petrolera para que contestaran un cuestionario. Una pregunta sobre los problemas del ambiente requería de una respuesta de sí o no. a) ¿Cuál es el experimento? b) Mencione un evento posible. c) Diez de los 40 ejecutivos respondieron "si". Con base en estas respuestas, ¿cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de la industria petrolera responda ''si'? d) ¿Qué concepto de probabilidad ilustra lo anterior? 10.¿Cada uno de los resultados, son igualmente probables y mutuamente excluyentes? Una muestra de 2 000 conductores con licencia reveló el siguiente número de violaciones al límite de velocidad. Número de violaciones 0 1 2 3 4 5 o más Total
Número de conductores 1910 46 18 12 9 5 2000
a) ¿Cuál es el experimento? b) Mencione un evento posible. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor en particular haya cometido exactamente dos violaciones al límite de velocidad? d) ¿Qué concepto de probabilidad ilustra lo anterior? 11.El departamento de investigación de mercados de Vernors planea realizar una encuesta entre adolescentes acerca de un refresco recién inventado. A cada uno se le va a pedir que lo compare con su refresco favorito. Kamila Kwapisz
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Probabilidad
a) ¿Cuál es el experimento? b) ¿Cuál es el evento posible? 12.El número de veces que un evento en particular ocurrió en el pasado se divide entre el número de ocurrencias. ¿Cómo se llama esta estrategia de la probabilidad? 13.La probabilidad de que la causa y cura de todos lo tipos de cáncer se descubra antes del año 2015 es de 0.20. ¿Qué punto de vista de la probabilidad ilustra esta afirmación?
II.
Reglas para Calcular la Probabilidad A.
Reglas de adición (Especial y General)
14.Berdine's Chicken Factory tiene varias tiendas en el área de Hilton Head, Carolina del Sur. Al entrevistar a los candidatos para varios puestos de mesero, al dueño le gustaría incluir información sobre la cantidad de propina que un mesero puede esperar por cuenta. Un estudio de 500 cuentas recientes indicó que el mesero ganó las propinas siguientes: Cantidad de propina $0 a $5 6 a 10 11 a 20 21 a 50 51 o más TOTAL
Número 200 100 75 75 50 500
a) ¿Cuál es la probabilidad de una propina de $50 o más? b) ¿Las categorías $0 a $5, $6 a $10", etcétera, se consideran mutuamente excluyentes? c) Si se calculara un total de las probabilidades asociadas con cada resultado, ¿cuál sería este total? d) ¿Cuál es la probabilidad de una propina de más de $10? e) ¿Cuál es la probabilidad de una propina de menos de $50? 15.Trabaje con la siguiente ilustración.
B
B’
a) ¿Cómo se Llama la ilustración? Kamila Kwapisz
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Probabilidad
b) ¿Qué regla de la probabilidad ilustra? c) B representa el evento de elegir una familia que reciba pagos del programa de bienestar. ¿A qué es igual P (B) + P (B)’? 16.En Kiddie Carts Internacional hay 100 empleados de ellos 57 son obreros, 40 son supervisores, 2 son secretarias y uno es el presidente. Supongamos que se selecciona un empleado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un obrero? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un obrero o un supervisor? c) Consulte la parte b ¿Éstos eventos son mutuamente excluyentes? d) ¿Cuál es la probabilidad de qué el empleado seleccionado no sea obrero ni supervisor? 17.Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Supongamos que P(A) = 0.30 y P (B) = 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran ni A ni B? 18.Los eventos X y Y son mutuamente excluyentes. Supongamos que P(X) = 0.05 y P (Y) 0.02. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra X o Y? ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran ni X ni Y? 19.Un estudio de 200 cadenas de supermercados reveló esto ingresos después de impuestos: Ingreso después de impuestos
Número de empresas
Menús de $1 millón
102
$1 a
10 millones
61
$20 millones o más
37
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una cadena en particular tenga menos de $ 1, 000,000 de dólares en ingresos después de impuestos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una cadena seleccionada en forma aleatoria tenga un ingreso entre $1, 000,000 y $20, 000,000, o un ingreso de $20, 000,000 o más? ¿Qué regla de probabilidad se aplicó? 20.El presidente de la junta de directores dice: "Hay una probabilidad de 50% de que esta compañía obtenga una ganancia, de 30% de que quede igual y de 20% de que pierda dinero durante el próximo trimestre”. a) Utilice la regla de la adición para calcular la probabilidad de que no pierdan dinero el próximo trimestre. Kamila Kwapisz
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Probabilidad
b) Use la regla del complemento para calcular la probabilidad de que no pierdan dinero el próximo trimestre. 21.Se lanzan al aire dos monedas. Si A es el evento "dos águilas" y B es el evento "dos soles", ¿A y B son mutuamente excluyentes? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? 22.Las probabilidades de los eventos A y B son 0.20 y 0.30, respectivamente. La probabilidad de que ocurran A y B es 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? 23.Supongamos que P(X) = 0.55 y P (Y) = 0.35, y que la probabilidad de que ambos ocurran es 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra X o Y? 24.Suponga que dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes. ¿Cuál es la probabilidad de su ocurrencia conjunta? 25.Un estudiante toma dos cursos, historia y matemáticas. La probabilidad de que el estudiante pase el curso de historia es 0.60, y que la probabilidad de que apruebe el curso de matemáticas es 0.70. La posibilidad de que apruebe ambos es 0.50. c) d) e) f)
¿Cuál es la probabilidad de que pase por lo menos uno? ¿Cuál es la probabilidad que de que apruebe solamente historia? ¿Cuál es la probabilidad que pase solamente matemáticas? ¿Cuál es la probabilidad que no pase ninguna materia?
26.Se lanza un dado y se observa el numero (de puntos) que aparece en la cara superior. a) Defina el espacio muestral b) Sea el evento A en que ocurre un número par, B en el que ocurre un número impar y C en el que ocurre un número mayor a 3, obtenga lo siguiente: i. P(A o B), P( A o B o C), P( A o C ), P( C o B ) ii. P(A o B)’, P( A o B o C)’, P( A o C )’, P( C o B )’ iii. La probabilidad de que ocurra solamente A, solamente B, y solamente C 27.Se ha seleccionado al azar una carta de un naipe común de 52 cartas. Considere los eventos siguientes: A = {Corazón} y B={carta figura} a) Encuentre P(A), P(B) Y P(A y B) b) Encuentre P(A o B), P(A o B)’ 28.Se lanza una moneda y un dado a) Obtenga el espacio muestral de dicho experimento b) Expresé explícitamente los siguientes eventos: A={Aparece Águila y un numero par}, B={Aparece un número menor a tres}, C={Aparece Sol y un número impar} c) Obtenga los siguiente: P(A o B o C), P(A o C), P(A o B), P(A), P(B), P(C), P(A)’, P(B)’. Kamila Kwapisz
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Probabilidad
29.Se lanza un par de dados y se registran los dos números que aparecen en la cara de arriba. Encuentra el número de elementos en cada uno de los eventos siguientes: A= {Los dos números son iguales}, B= {la suma es 10 o más}, C= [aparece 5 en el primer dado}, D= {aparece 5 al menos en un dado}.Obtenga la probabilidad de la ocurrencia de A o B, B o C, A o D, que no ocurra ni A ni B, que no ocurra ni C o D. 30.Un estudio realizado por el Servicio Nacional de Parques reveló que 50% de los vacacionistas que van a la región de las Montañas Rocallosas visitan Yellowstone Park, 40% visitan los Tetons y 35% visitan ambos lugares. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vacacionista visite por lo menos una de estas atracciones? b) ¿Cómo se llama la probabilidad 0.35? c) ¿Cuál es la probabilidad que un vacacionista solo visite Yellowstone Park? d) ¿Cuál es la probabilidad que un vacacionista no visite ni Yellowstone Park ni Tetons? 31.Un banco local reporta que el 80% de sus clientes tienen una cuenta de cheques, 60% tiene una cuenta de ahorros y 50% tienen ambos tipos de cuenta. Si elegimos un cliente al azar: a) b) c) d)
¿Cuál es la probabilidad de que tenga una cuenta de cheques o de ahorro? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga solamente una cuenta de cheques? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga solamente una cuenta de ahorro? ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ni cuenta de cheques ni cuenta de ahorro?
32.All seasons Plumbing tiene dos camiones de servicio que se descomponen con frecuencia. Si la probabilidad de que el primer camión esté disponible es 0.75, la probabilidad de que el segundo esté disponible es 0.50 y la probabilidad de que ambos estén disponibles es de 0.30, ¿cuál es la probabilidad que ninguno esté disponible? 33.Se descubrió que 60% de los turistas en China visitan la Ciudad Prohibida, el Templo del Cielo, la Gran Muralla y otros sitios históricos en o cerca de Beijing. Cuarenta por ciento visitan Xi'an, con sus magníficos soldados, caballos y carruajes de terracota, que permanecieron enterrados durante más de 2 000 años. 30% de los turistas van a Beijing y a Xi'an. ¿Cuál es la probabilidad de que un turista visite por lo menos uno de estos lugares? ¿Cual es la probabilidad que no visite ninguno de estos lugares?
B.
Regla especial de multiplicación
34.Defina cada uno de estos conceptos: a) Probabilidad condicional b) Evento. Kamila Kwapisz
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Probabilidad
c) Probabilidad conjunta. 35.Un inversionista compró 100 acciones de 5/3 Bank y 100 de Santee Cooper Electric. La probabilidad de que las acciones del banco aumenten de precio dentro de un año es de 0.70. La probabilidad de que las de la compañía eléctrica aumenten en ese mismo periodo es de 0.60. a) Obtenga el espacio muestral b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tipos de acciones aumenten de precio durante el periodo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que aumenten las acciones del banco pero no las de la compañía eléctrica? d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los grupos de acciones aumenten de precio? 36.Con cada compra de una pizza grande en Tony's Pizza, el cliente recibe un cupón que tiene que raspar para saber si ganó un premio. Las probabilidades de ganar un refresco gratis son 1 en 10, y las probabilidades de ganar una pizza grande gratis son 1 en 50. Usted planea comer mañana en Tony's. a) ¿Cuál es la probabilidad de qué gane una pizza grande o un refresco? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no gane ningún premio? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no gane ningún premio en tres visitas consecutivas a Tony's? d) ¿Cuál es la probabilidad de que gane por lo menos un premio en una de sus próximas tres visitas a Tony's? 37.Armco, fabricante de sistemas de semáforos, descubrió que en las pruebas de vida acelerada, 95% de los sistemas recién fabricados duraron 3 años antes de dejar de cambiar las señales en forma apropiada. a) Si una ciudad compró cuatro de estos sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro funcionen de manera apropiada durante por lo menos 3 años? b) ¿Qué regla de probabilidad ilustra este caso? c) ¿Utilizando letras para representar los cuatro sistemas, escriba una ecuación para mostrar cómo llegó a la respuesta en la parte a. 38.Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo de Northwest Airlines llegue 15 minutos después de la hora programada es 0.90. Para este estudio, seleccionamos cuatro vuelos que llegaron ayer. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro vuelos seleccionados lleguen 15 minutos después de la hora programada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno llegue 15 minutos después de la hora programada? c) ¿Cuál es la, probabilidad de que por lo menos uno de los vuelos seleccionados no llegue15 minutos después de la hora programada? 39.Barry Bonds, de los Gigantes de San Francisco tuvo un promedio de bateos más Kamila Kwapisz
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Probabilidad
alto en la temporada 2002 de la Liga Mayor de Beisball. Su promedio fue 0.370. Suponga que probabilidad de lograr un hit es de 0.370 cada vez que batea, y en un juego en particular bateó 3 veces. a) b) c) d) e)
¿Qué tipo de probabilidad se refiere este ejemplo? Obtenga el espacio muestral ¿Cuál es la probabilidad de lograr tres hits en un juego en particular? ¿Cuál es la probabilidad de que no logre ningún hit en un juego? ¿Cuál es la probabilidad de que logre por lo menos un hit?
40.La probabilidad de que un bombardero dé en un blanco en una misión particular es de 0.80. Se envían 4 bombarderos contra un mismo blanco. a) ¿Cuál es la probabilidad? Que todos den en el blanco. b) ¿Cuál es la probabilidad? Que ninguno de en el blanco. c) ¿Cuál es la probabilidad? Que por lo menos 1 de en el blanco. 41.Se van a graduar 90 estudiantes en el Lima Shawnee High School esta primavera. De los 90 estudiantes, 50 planean asistir a la universidad. Se van a escoger 2 estudiantes al azar para que porten las banderas en la graduación. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos planeen asistir a la universidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los estudiantes planee ir a la universidad? 42.Un nuevo modelo de Auto deportivo tiene frenos defectuosos. 15% de las veces, y un mecanismo de dirección defectuoso 5% de las veces. Supongamos (y esperamos) que estos problemas ocurren de manera independiente. Si está presente uno u otro de los problemas, el auto se conoce como "limón". Sí los dos problemas ocurren, el auto es un "peligro". Su profesor compró uno de estos autos ayer.¿Cuál es la probabilidad de que sea? a) ¿un limón? b) ¿un peligro? 43.De las casas construidas en el área de Quail Creek, 40% incluyen un sistema de seguridad. Se seleccionan tres casas en forma aleatoria. a) Obtenga el espacio muestral b) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres casas seleccionadas tengan un sistema de seguridad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres casas tenga un sistema de seguridad? d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una tenga un sistema de seguridad? e) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos casas tenga un sistema de seguridad? f) ¿Supone que los eventos sean dependientes o independientes? 44.Brooks Insurance Inc. Quiere ofrecer seguros de vida a los hombres de 60 años, Kamila Kwapisz
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a través de Internet. Las tablas de mortalidad indican que la probabilidad que un hombre de 60 años sobreviva otro año es de 0.98. Si la póliza se ofrece a 5 hombres de 60 años: a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cinco hombres sobrevivan un año? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos sobreviva? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno uno de ellos sobreviva? 45.Un inversionista tiene tres acciones comunes. Cada una, independiente de las demás, tiene las mismas probabilidades de (1) aumentar en valor, (2) reducir en valor o (3) conservar el mismo valor. Mencione los posibles resultados de este experimento. Calcule la probabilidad de que: a) b) c) d)
Por lo menos dos acciones aumenten su valor. Ninguno aumente el valor Exactamente una acción conserve su valor Exactamente las tres acciones reduzcan su valor
46.Se desarrolló una nueva goma de mascar que ayuda a los que quieren dejar de fumar. Si 60% de las personas que usan la goma tienen éxito y dejan de fumar, ¿Cuáles la probabilidad de que en un grupo de cuatro fumadores que usan la goma por lo menos uno deje de fumar? 47.Cleanbrush Products envió por accidente tres cepillos de dientes eléctricos defectuosos a una farmacia, con 17 cepillos que no estaban defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la farmacia devuelva los primeros dos cepillos que se vendan por estar defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros cepillos de dientes vendidos no estén defectuosos? 48.Si pregunta su fecha de nacimiento a tres personas extrañas, ¿qué probabilidad hay de que (a) todas hayan nacido en miércoles, (b) todas hayan nacido en distintos días de la semana, (c) ninguna haya nacido en sábado? 49. 50.El diagrama siguiente representa un sistema de dos componentes, A y B, que están en serie. (Estar en serie significa que para que el sistema opere, deben trabajar ambos componentes, A y B.) Suponga que los dos componentes son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione en estas condiciones? La probabilidad de que A funcione es 0.90 y la probabilidad de que B funcione también es 0.9 A
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B
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C. Regla General de Multiplicación, Tabla Contingente, Diagrama de árbol y Probabilidad Condicional 51.La primera carta seleccionada de una baraja estándar de 52 naipes fue un rey, a) Si se regresa a la baraja, ¿Cuáles la probabilidad de que salga un rey en la segunda selección? b) Si el rey no se devuelve, ¿cuál es la probabilidad de que salga un rey en la segunda se lección? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un rey desde la primera vez y otro rey en la segunda selección (suponiendo que no se reemplaza el primero)? 52.Suponga que P(A) = 0.40 y P (B | A) = 0.30. ¿Cuál es la probabilidad conjunta de A y B? 53.Suponga que P(X1) = 0.75 y P (Y2 | X1) = 0.40. ¿Cuál es la probabilidad conjunta de X1 y Y2? 54.Un malabarista tiene una bolsa que contiene 4 bolas azules, tres bolas verdes, dos bolas amarillas y una bola roja. El malabarista elige una bola al azar. Luego sin devolver la anterior elige una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de que el malabarista tome primero una bola amarilla y luego una azul? 55.Un lote contiene 12 artículos de los cuales 4 están defectuosos. Se sacan del lote tres artículos al azar uno tras otro. Encuentre la probabilidad p de que los 3e artículos no estén defectuosos 56.Supongamos que se dan las tres cajas siguientes: La caja X tiene 10 bombillas de los cuales 4 están defectuosas La caja Y tiene 6 bombillas de los cuales 1 están defectuosas La caja Z tiene 8 bombillas de los cuales 3 están defectuosas Se escoge una caja al azar y luego se selecciona un bombillo de la caja escogida: a) Encuentre la probabilidad p de que el bombillo no esté defectuoso. b) Si el bombillo no está defectuoso, encuentre la probabilidad de que esté provenga de la caja Z. c) Si el bombillo no está defectuoso, encuentre la probabilidad de que esté provenga de la caja X d) Si el bombillo está defectuoso, encuentre la probabilidad de que esté provenga de la caja Z. e) Elabore un diagrama de árbol. 57.Suponga que se lanza una moneda cuyo peso ha sido alterado de manera que P(S)=2/3 y P(A)=1/3. Si aparece Sol, entonces se selecciona un número al azar del 1 al 9; Si aparece águila, entonces se selecciona un número al azar del 1 al 5. Kamila Kwapisz
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Encuentre la probabilidad de que aparezca un número par. Elabore un diagrama de árbol. 58.Sean X, Y, Z tres monedas en una caja. Supongamos que X es una moneda equilibrada. Y tiene dos águilas y Z ha sido alterada de manera que la probabilidad de obtener águila es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y es lanzada: a) Encuentre la probabilidad de que aparezca una águila b) Si aparece águila encuentre la probabilidad de que esta provenga de la moneda X. c) Si aparece Sol, encuentre la probabilidad de que esta sea de la moneda Z. 59.Tim Bleckie es propietario de Bleckie Investment and Real Estate Company. Hace poco, la empresa compró cuatro terrenos en Holly Fanns Estates y seis en Newburg Woods. Los terrenos son igualmente valiosos y se venden prácticamente por el mismo precio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los próximos dos terrenos vendidos estén en Newburg Woods? b) ¿Cuál es la probabilidad de que de los próximos cuatro terrenos vendidos por lo menos uno esté en Holly Farnis? c) ¿Estos eventos son dependientes o independientes? 60.Consulte la siguiente tabla. Segundo evento
Primer Evento
Total
A1
A2
A3
B1
2
1
3
6
B2
1
2
1
4
Total
3
3
4
10
a) b) c) d) e)
Elabore un diagrama de árbol Determine P (A1) Determine P (B1 | A2) Determine P (B2 | A1) Determine P (B2 y A3)
61.Cada uno de los vendedores de Stiles-Compton obtiene una calificación de superior al promedio, promedio o inferior al promedio en cuanto a su habilidad para las ventas. Cada uno obtiene también una calificación por su potencial para avanzar: aceptable, bueno o excelente. Estas calificaciones para los 500 vendedores se clasificaron en la tabla siguiente.
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Probabilidad
Habilidad para las ventas Inferior al promedio Promedio Superior al promedio
Potencial para avanzar Excelente Aceptable Bueno 16 12 22 45 60 45 93 72 135
a) ¿Cómo se llama la tabla? b) Elabore un diagrama de árbol mostrando todas las probabilidades, las probabilidades condicionales y las probabilidades conjuntas c) ¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor seleccionado al azar tenga una habilidad para las ventas superior al promedio y un excelente potencial para avanzar? 62.El equipo de béisbol Gatos Salvajes de Ludlow, de ligas menores juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día. El equipo gana 50% de sus partidos nocturnos y 90% de los que juega en el día. Según el periódico de hoy, ganaron ayer. ¿Qué probabilidad hay de que el partido se haya jugado por la noche?, ¿Qué probabilidad hay de que el partido se haya jugado de día? Elabore un diagrama de árbol. 63.La doctora Stallter ha enseñado estadística básica durante varios años. Sabe que 80% de los estudiantes terminan los problemas asignados. También determinó que entre aquéllos que hacen las tareas 90% aprueban el curso. Entre los alumnos que no hacen su tarea 60% aprueban. El semestre pasado, Mike tomó clases de estadística con la doctora Stallter y obtuvo una calificación aprobatoria. ¿Qué probabilidad hay de que haya terminado sus tareas? ¿ Qué probabilidad hay de que no haya terminado la tarea? Elabore un diagrama de árbol. 64.El departamento de crédito de Lion's Department Store en Anaheirn, California, reportó que 30% de sus ventas se pagan en efectivo, 30% con cheque en el momento de la compra y 40% con cargo a la tarjeta de crédito. 20% de las compras en efectivo, 90% de las que se pagan con cheque y 6% de las que se cargan a la tarjeta son por más de $50. La señorita Tina Stevens sólo compró un vestido nuevo que cuesta $120. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo? ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado con tarjeta? Elabore un diagrama de árbol. 65.Una cuarta parte de los residentes de Burning Ridge Estates dejan abierta la puerta de la cochera cuando no están en casa. El jefe de policía calcula que en un 5% de las cocheras con la puerta abierta habrá algún robo y en sólo 1% de las cocheras que tienen la puerta cerrada habrá algún robo. Si hay un robo en una cochera, ¿qué probabilidad hay de que las puertas hayan estado abiertas?, ¿qué probabilidad hay de que las puertas hayan estado cerradas? Elabore un diagrama de árbol. Kamila Kwapisz
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Probabilidad
66.En un programa de empleados qua reciben capacitación administrativa en Claremont Enterprises, 80% de los alumnos son mujeres, y 20% son hombres. De las mujeres, 90% y 78% de los hombres asistieron a la universidad. a) Se selecciona a un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea una mujer que no asistió a la universidad? b) ¿El género y la asistencia a la universidad son independientes? c) Elabore un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades, las probabilidades condicionales y las probabilidades conjuntas. d) ¿El total de las probabilidades conjuntas es 1.00? ¿Por qué? 67.Una encuesta entre los estudiantes de último año de Administración de Northem University, reveló lo siguiente en cuanto al género y el área de estudios de los alumnos. Área de Estudio Género Hombre Mujer Total
Contabilidad 100 100 200
Administración 150 50 200
Finanzas 50 50 100
TOTAL 300 200 500
a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante mujer? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante de contabilidad o finanzas? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una alumna o a un alumno de contabilidad? ¿Qué regla de la adición aplicó? d) ¿El género y el área de estudio son independientes? ¿Por qué? e) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno de contabilidad, dado que la persona seleccionada será un hombre? f) Suponga que se selecciona al azar a dos estudiantes para que asistan a un almuerzo con el presidente de la universidad. ¿Cuál es la probabilidad de que los elegidos sean de contabilidad? 68.El comisario de Wood County clasifica los crímenes según la edad (en años) del criminal, y si el crimen es violento o sin violencia. Como se muestra a continuación, el año pasado, el comisario reportó un total de 150 crímenes. Edad en años Tipo de crimen Violento Sin violencia TOTAL Kamila Kwapisz
Menos de 20 27 12 39
20 a 40 41 34 75
Más de 40 14 22 36
TOTAL 82 68 150 13
Probabilidad
a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso para analizarlo y encontrar que comprende un crimen violento? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso para analizarlo y descubrir que lo cometió una persona menor de 40 años? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso que comprende un crimen violento o un criminal de menos de 20 años? ¿Qué regla de la adición aplicó? d) En caso de que un crimen violento se seleccione para su análisis, ¿cuál es la probabilidad de que Io haya cometido una persona de menos de 20 años? e) El juez Tybo selecciona dos crímenes para revisarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean violentos? 69.Flashner Marketing Research Inc. se especializa en evaluar los prospectos para las tiendas de ropa femenina en los centros comerciales. Al Flashner, presidente, reporta que evalúa los prospectos como buenos, aceptables y malos. Los registros de evaluaciones anteriores que 60% de las veces los prospectos se calificaron como buenos, 30% como aceptables y 10% como malos. De los que se calificaron como buenos, 80% obtuvieron ganancias el primer año; de los que se calificaron como aceptables, 60% obtuvo utilidades el primer año; y de los que se calificaron como malos, 20% obtuvieron ganancias el primer año. Connie's Apparel fue uno de los clientes de Flashner, y obtuvo ganancias el año pasado. Elabore un diagrama de árbol. ¿Cuál es la probabilidad de que se le haya dado una calificación original de malo? 70.Horwege Electronics, Inc. compra tubos de televisión a cuatro proveedores diferentes. Tyson Wholesale proporciona. 20% de los tubos, Fuji Importers 30%. Kirkpatricks 25% y Parts, Inc. 25%, Tyson Wholesale, suele ofrecer la mejor calidad, ya que sólo 3% de sus tubos están defectuosos. El 4% de los tubos de Fuji Importes tienen algún defecto, el 7% los de Kirk Patrick y 6.5% los de Parts Inc. a) Elabora un diagrama de árbol b) ¿Cuál es el porcentaje general de tubos defectuosos? c) En el último envío se encontró un tubo defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Tyson Wholesale? 71.ABC Auto Insurance clasifica a los conductores como buenos, intermedios y malos. Los conductores que solicitan un seguro pertenecen a uno de estos tres grupos en las siguientes proporciones: 30%, 50% y 20%, respectivamente. La probabilidad de que un "buen" conductor tenga un accidente es de 0.01, de un conductor "intermedio" es 0.03 y de un conductor "malo" es 0.10. La compañía le vende al señor Brophy una póliza de seguros y éste tiene un accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que el señor Brophy sea: (Elabora un diagrama de árbol) a) un "buen" conductor? b) un conductor "intermedio? c) un "mal" conductor? 72.Se han considerado cuatro personas para el puesto de director ejecutivo en Kamila Kwapisz
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Probabilidad
Dalton Enterprises. Tres de los candidatos tienen más de 60 años de edad. Dos son mujeres, y de ellas sólo una tiene más de 60. a) Representa el problema en un diagrama de árbol. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato tenga más de 60 años y sea mujer? c) Si el candidato es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 60? d) Si el candidato tiene más de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? 73.Se recibieron de la fábrica dos cajas de camisas Old Navy para caballero. La caja 1 contenía 25 camisas polo y 15 camisas Super-T. La caja 2 contenía 30 camisas polo y 10 Super T. Se seleccionó una de las cajas al azar, y de esa caja se eligió una camisa también al azar- para su inspección. La camisa era tipo polo. Con esta información. Elabore un diagrama de árbol, ¿cuál es la probabilidad de que la camisa polo provenga de la caja 1?, ¿cuál es la probabilidad de que la camisa polo provenga de la caja 2?
III. Combinaciones y Permutaciones 74.Para el juego diario de lotería en Illinois, los participantes seleccionan tres números entre 0 y 9. Un número no se puede seleccionar más de una vez, de modo que un boleto ganador podría ser digamos 307. La compra de un boleto le permite seleccionar una serie de números. Los números ganadores se anuncian por televisión todas las noches. a) ¿Cuántos resultados diferentes (números de tres dígitos) son posibles? b) Si usted compra un boleto para el juego de hoy por la noche, ¿cuál es la probabilidad de que gane? c) Suponga que compra tres boletos para la lotería de hoy por la noche y selecciona un número diferente para cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que no gane con ninguno de los boletos? 75.Encuentre el número de formas en las cuales 4 personas pueden sentarse en una fila de 4 sillas. (Permutaciones) 76.Hay 12 estudiantes elegibles para asistir a la reunión anual de la Asociación Nacional de Estudiantes. Encuentre el número de n de formas como puede conformarse una delegación de 4 estudiantes, de los 12 estudiantes elegibles. (Combinaciones). 77.Un estudiante debe responder 8 de 10 preguntas en un examen. Encuentre el número n de formas como el estudiante puede elegir las ocho preguntas (Combinaciones) 78.Hace varios años, Wendy's Hamburgers anunciaba que había 256 maneras diferentes de pedir una hamburguesa. Podía elegir que le sirvieran o que no le sirvieran cualquier combinación de los siguientes ingredientes: mostaza, salsa de Kamila Kwapisz
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Probabilidad
tomate, cebolla, pepinillos, jitomate, aderezo, mayonesa y lechuga. ¿El anunció es correcto? Explique cómo llegó a su respuesta. 79.Reynolds Construcción Company acordó construir "similares" todas las casas en una nueva subdivisión. A los compradores potenciales se les ofrecen cinco diseños exteriores. El constructor estandarizó tres plazos de interiores que se pueden incorporar a cualquiera de los cinco exteriores. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ofrecer planos de interiores y exteriores a los compradores potenciales? 80.Los clientes del Bank of América eligen su número de identificación personal (PIN) de tres dígitos para utilizar los cajeros automáticos. a) Considere éste un experimento y mencione cuatro resultados posibles. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el señor Jones y la señora Smith elijan el mismo PIN? 81.El estado de Maryland tiene placas para automóviles con tres números seguidos por tres letras. ¿Cuántas placas diferentes son posibles? 82.La contraseña de una computadora consiste en cuatro caracteres. Éstos pueden ser cualquiera de las 26 letras del alfabeto. Cada uno se puede utilizar más de una vez. ¿Cuántas contraseñas diferentes son posibles? 83.Una caja con 24 latas contiene una que está contaminada. Se van a seleccionar tres latas al azar para someterlas a una prueba. a) ¿Cuántas combinaciones diferentes de 3 latas se pueden seleccionar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione la lata contaminada para la prueba? 84.Un acertijo en el periódico presenta un problema de comparación. Los nombres de 10 presidentes de Estados Unidos se presentan en una columna, y los de los vicepresidentes se presentan en orden aleatorio en la segunda columna. El acertijo pide al lector que una cada presidente con su vicepresidente. Si forma las combinaciones al azar, ¿cuántas combinaciones son posibles? ¿Cuál es la probabilidad de que sus. 10 combinaciones, sean correctas?
IV. Distribuciones discretas de probabilidad 85.En cada uno de los siguientes incisos indique si la variable aleatoria es discreta o continua. a) La duración de tiempo de un corte de cabello. b) El número de automóviles que un corredor pasa todas las mañanas mientras corre. c) El número de hits de un equipo femenil de preparatoria en un juego de softbol. d) El número de pacientes atendidos por noche en el South Strand Medical Center entre las 6 y las 10 PM. e) El número de millas que su automóvil recorrió con el último tanque de gasolina, f) El número de clientes de Wendy´s que utilizaron las instalaciones de Oaks Kamila Kwapisz
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Probabilidad x
P(x)
x
P(x)
x
P(x)
5 0.3 5 0.1 5 0.5 10 0.3 10 0.3 10 0.3 15 0.2 15 0.2 15 -0.2 20 0.4 20 0.4 20 0.4 Street. g) La distancia entre Gainesville, Florida y todas las ciudades de Florida que tienen una población por lo menos de 50 000 habitantes. X P(x) 86. Calcule la media y la varianza de la siguiente 0 0.2 distribución de probabilidad discreta: 1 0.4
87.
2
0.3
3
0.1
X
P(x)
2
0.5
8
0.3
10
0.2
Calcule la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta:
88.Las tres tablas siguientes muestran las "variables aleatorias" y sus "probabilidades". Sin embargo, solo una de éstas es en realidad una distribución de probabilidad. ¿Cuál es? a) Utilizando la distribución de probabilidad correcta, encuentre la probabilidad en la que x es: (1) Exactamente 15. (2) No mayor que 10. (3) Mayor que 5. b) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta distribución.
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Probabilidad
89.¿Cuál de estas variables es discreta y cuáles son variables aleatorias continuas? a) b) c) d) e) f)
El número de cuentas nuevas abiertas por un vendedor al año. El tiempo que transcurre entre la llegada de cada cliente a un cajero automático. El número de clientes en la estética Big Nick. La cantidad de gasolina en el tanque de su automóvil. El número de personas en un jurado que pertenecen a una minoría. La temperatura de hoy en el exterior.
90.Dan es el propietario y gerente de Starbucks. Dan ofrece llenar la taza tres veces en todas las órdenes de café y reunió la siguiente información sobre este servicio. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar para la distribución del número de veces que llenó las tazas. Interprete los resultados. Rellenos 0 1 2 3
Porcentaje 30 40 20 10
91.El director de admisiones de Kinzua University en Nueva Escocia calculó la distribución de la admisión de estudiantes para el segundo semestre del año basándose en experiencias pasadas. ¿Cuál es el número esperado de admisiones para el segundo semestre? Calcule la varianza y la desviación estándar del número de admisiones. Admisiones
Probabilidad
1000
0.6
1200
0.3
1500
0.1
92.La tabla siguiente ilustra la distribución de probabilidad para los premios en efectivo sorteo que se lleva a cabo en Lawson's Department Store. Premio ($)
Probabilidad
0
0.45
10
0.30
100
0.20
500
0.05
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Probabilidad
Si usted compra un solo boleto, ¿cuál es la probabilidad de que gane: a) exactamente $100 b) por lo menos $10 c) no más de $100 d) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta distribución. 93.Le piden que seleccione tres canciones con los cantantes que hicieron famosas esas canciones. Si usted adivina, la distribución de probabilidad para el número de elecciones correctas es: Probabilidad
0.333 0.5 0
0.167
Número correcto
0
3
1
2
¿Cuál es la probabilidad de que obtenga: a) exactamente una correcta? b) al menos una correcta? c) exactamente dos correo d) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta distribución. 94.Samson Apartments, Inc. Tienen un gran número de unidades disponibles para rentar cada mes. Una de las preocupaciones de la administración es el número de departamentos vacantes al mes. Un estudio reveló el porcentaje de tiempo que un número determinado de departamentos pasa sin ocuparse. Calcule la media y la desviación estándar de los departamentos vacantes. Número de unidades vacantes 0 1 2 3
Probabilidad 0.1 0.2 0.3 0.4
95.Una inversión producirá $1 000, $2 000 o $5 000 al final del año. Las probabilidades de estos valores son: 0.25, 0.50, y 0.15, respectivamente. Determine la media y la varianza del valor de la inversión. 96.El gerente de personal de Cumberland Pig Iron Company estudió el número de accidentes laborales durante un mes y desarrollo la siguiente distribución de probabilidad. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de accidentes en un mes.
Número de Kamila Kwapisz
Probabilidad 19
Probabilidad
accidentes 0 1 2 3 4
0.40 0.20 0.20 0.10 0.10
97.Coissant Bakery Inc. ofrece pasteles con decorados especiales para cumpleaños, bodas y otras ocasiones. La pastelería también tiene pasteles regulares. La siguiente tabla proporciona el número total de pasteles vendidos por día y la probabilidad correspondiente. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de pasteles vendidos por día. Número de pasteles vendidos en un día 12 13 14 15
V. de
Probabilidad 0.25 0.40 0.25 0.10
Distribución
probabilidad binomial, poisson y normal estandarizada 98.En una situación binomial n = 4 y p = 0.25. Determine las probabilidades de los siguientes eventos utilizando la fórmula binomial. a. x=2.
b. x=3.
99.En una situación binomial n = 5 y p = 0 .40. Determine las probabilidades de los siguientes eventos utilizando la fórmula binomial. a. x=1.
b. x=2.
100.Suponga que existe una distribución binomial donde n = 3 y p = 0.60. a) Consulte el Apéndice A y mencione las probabilidades para los valores de: b) x de 0 a 3. c) Determine la media y la desviación estándar de la distribución 101.Suponga que existe una distribución binomial donde n = 5 y p = 0.30. a) Consulte el Apéndice A y mencione las probabilidades para los valores de: b) x de 0 a 5. c) Determine la media y la desviación estándar de la distribución 102.Un estudio de la American Society of Investors encontró un 30% de inversionistas individuales que habían utilizado un agente de descuentos. En una Kamila Kwapisz
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Probabilidad
muestra aleatoria de nueve personas, ¿cuál es la probabilidad de que?: a) exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos? b) exactamente cuatro personas hayan utilizado un agente de descuentos? c) ninguna persona haya utilizado un agente de descuentos? 103.El Servicio Postal de Estados Unidos informa que 95% de la correspondencia de primera clase dentro de la misma ciudad se entrega en un periodo de dos días a partir del momento en que se envía. Se enviaron seis cartas al azar a diferentes lugares. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las seis lleguen en un plazo de dos días? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco lleguen en un plazo de dos días? c) Encuentre el número medio de cartas que llegarán en un plazo de dos días. d) Calcule la varianza y la desviación estándar del número de cartas que llegarán en un plazo de dos días. 104.Las normas de la industria sugieren que 10% de los vehículos nuevos requieren un servicio de garantía en el primer año. Jones Nissan en Sumter, Carolina del Sur, vendió ayer 12 autos marca Nissan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos vehículos requiera el servicio de garantía? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de estos vehículos requiera el servicio de garantía? c) Determine la probabilidad de que exactamente dos de estos vehículos requieran el servicio de garantía. d) Calcule la media y la desviación estándar de esta distribución de probabilidad. 105.Un agente de tele marketing realiza seis llamadas telefónicas por hora y es capaz de concretar una venta con 30% de estos contactos. Para las próximas dos horas, encuentre: a) b) c) d)
La probabilidad de realizar exactamente cuatro ventas. La probabilidad de no realizar ninguna venta. La probabilidad de realizar exactamente dos ventas. El número medio de ventas en un periodo de dos horas.
106.Una investigación reciente de la American Accounting Association reveló que 23% de los estudiantes graduados en contabilidad eligen el área de contabilidad pública. Suponga que se selecciona una muestra de 15 graduados recientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos elijan contaduría pública? b) ¿Cuál es la probabilidad de que cinco seleccionen contabilidad pública? c) ¿Cuántos graduados cree usted que seleccionarían contabilidad pública?.. 107.Suponga que 60% de toda la gente prefiere la Coca Cola a la Pepsi. Seleccionarnos 18 personas para un estudio. Kamila Kwapisz
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Probabilidad
a) ¿Cuántas personas cree que prefieran Coca Cola? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de las personas seleccionadas para este estudio prefieran Coca Cola? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 15 personas prefieran Coca Cola? 108.En una distribución binomial n = 8 y p = 0.30. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos. a) x = 2. b) x < = 2 (la probabilidad de que x sea igual o menor que 2). c) x > = 2 (la probabilidad de que x sea igual o mayor que 3). 109.En una distribución binomial n = 12 y p = 0.60. Encuentre las siguientes probabilidades. a) x = 2. b) x <= 3. c) x > = 1 110.En un estudio reciente se encontró que 90% de las familias en Estados Unidos tienen televisores con pantalla grande. En una muestra de nueve familias, ¿cuál es la probabilidad de que: a) b) c) d)
las nueve tengan televisores con pantalla grande? menos de cinco tengan televisores con pantalla grande? más de cinco tengan televisores con pantalla grande? al menos siete familias tengan televisores con pantalla grande?
111.Un fabricante de marcos para ventanas sabe por experiencia que el 5% de la producción presentará un tipo de defecto mínimo que requerirá un ajuste. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 20 marcos para ventanas: a) ninguno necesite ajuste? b) uno necesite ajuste? c) más de dos necesiten ajuste? 112.La velocidad a la que las compañías de servicios pueden resolver problemas es muy importante. Georgetown Telephone Company, informa que puede resolver los problemas del cliente el mismo día que éstos se reportan en 70% de los casos. Suponga que 15 casos reportados hoy son representativos todas las quejas. a) ¿Cuántos problemas esperaría que se resolvieran el día de hoy? ¿Cuál es la desviación estándar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de los problemas se resuelvan hoy? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 u 11 de los problemas se resuelvan hoy? ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 de los problemas se resuelvan hoy? 113.Steele Electronics, Inc. vende marcas costosas de equipo estereofónico en varios centros comerciales en toda la zona del noroeste de Estados Unidos. El departamento de Investigación de Mercadotecnia reporta que 30% de los clientes Kamila Kwapisz
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Probabilidad
que visitan las tiendas e indican que están curioseando, al final, realizarán una compra. Suponga que los últimos 20 clientes que visitaron la tienda son una muestra. a) ¿Cuántos de estos clientes se podría esperar que realizarán una compra'? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de estos clientes realicen una compra? c) ¿Cuál es la probabilidad de que diez o más de estos clientes realicen una compra? d) ¿Es posible que al menos uno de estos clientes realice una compra? 114.En una distribución de Poisson µ = 0.4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que x = 0? b) ¿Cuál es la probabilidad que x = > 0 115.En una distribución de Poisson µ = 4. a) ¿Cuál es la probabilidad que x = 2? b) ¿Cuál es la probabilidad que x < = 2? c) ¿Cuál es la probabilidad que x > 2? 116.La señorita Bergen es ejecutiva de préstamos del Coast Bank and Trust. Por sus años de experiencia, ella calcula que la probabilidad de que un solicitante no pueda pagar su préstamo de 0.025. El mes pasado ella realizó 40 préstamos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se paguen 3 préstamos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 préstamos queden sin pagar? 117.Los automóviles llegan a la salida de Elkhart de la autopista de Indiana en un promedio de 2 por minuto. La distribución de llegadas se aproxima a una distribución de Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún automóvil llegue en un minuto en particular? b) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue por lo menos un automóvil en un minuto en particular. 118.Se calcula que 0.5% de quienes llaman al departamento de Servicios al Cliente de Dell, Inc. señal de línea ocupada. ¿Cuál es la probabilidad de que de los 1 200 individuos que llamaron el día de hoy, por lo menos 5 hayan recibido una señal de línea ocupada? 119.Los autores de los libros de texto y las editoriales trabajan mucho para minimizar el número un libro. Sin embargo, algunos errores son inevitables. El señor J. A. Carmen, dística, reporta que el número promedio de errores por capítulo es de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten menos de 2 errores en un capítulo en particular? 120.¿Cuáles son los requisitos de una distribución de probabilidad binomial Kamila Kwapisz
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Probabilidad
121.Una máquina de esquila Tamiami produce 10% de piezas defectuosas, porcentaje que resulta demasiado alto. El ingeniero de control de calidad revisa los resultados en casi todas las muestras desde que detectó esta condición anormal. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 piezas. a) Exactamente 5 estén defectuosas. b) 5 o más estén defectuosas. 122.Un auditor de Health Maintenance Services of Georgia reporta que 40% de los asegurados de 55 años de edad y mayores utilizan la póliza durante el año. Para los registros de la compañía, se seleccionaron al azar 15 asegurados. a) ¿Cuántos asegurados cree que utilizaron la póliza durante un año? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o más de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de diez de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? 123.Tire and Auto Supply considera una división de 2 por 1 en el inventario. Antes de que finalice la transacción por lo menos dos terceras partes de los 1 200 accionistas de la compañía deberán aprobar la oferta. Para evaluar la probabilidad de que la oferta se apruebe, el director de finanzas seleccionó una muestra de 18 accionistas. Contactó a cada uno de ellos y encontró que 14 aprobaron la división ofrecida. ¿Cuál es la probabilidad de que este evento suponiendo que dos terceras partes de los accionistas den su aprobación? 124.Un estudio federal reportó que 7.5% de la fuerza laboral de Estados Unidos tiene problemas de drogadicción. Un oficial antidroga para el estudio en Indiana quiso investigar esta afirmación. En su muestra de 20 trabajadores. a) ¿Cuántos empleados cree usted que presenten problemas de drogadicción? b) ¿Cuál es la desviación estándar? c) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los empleados de la muestra presenten problemas de drogadicción? d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los empleados de la muestra presenten problemas de drogadicción? 125.El Banco de Hawai reporta que el 7% de sus clientes con tarjetas de crédito dejarán de pagar en algún momento. La sucursal de Hilo ya envió por correo 12 tarjetas nuevas el día de hoy. a) ¿Cuántos clientes piensa que dejarán de pagar? ¿Cuál es la desviación estándar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los clientes deje de pagar? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los clientes deje de pagar? 126.Las estadísticas recientes sugieren que 15% de las personas que visitan un Kamila Kwapisz
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Probabilidad
sitio de ventas al detalle en la web realiza una compra. Un detallista desea verificar esta demanda. Para hacerlo seleccionó una muestra de 16 visitantes en su sitio y encontró que en realidad 4 realizaron una compra. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se realicen exactamente 4 compras? b) ¿Cuántas compras deberá considerar el detallista? c) ¿Cuál es la probabilidad que cuatro o más visitas resulten en una compra? 127.Las ventas de los automóviles Lexux en la zona de Detroit, siguen una distribución de Poisson, con una media de tres por día. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún Lexus se vendió en un día en particular? b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante 5 días consecutivos se venda por lo menos un Lexus? 128.Suponga que 1.5% de las antenas de los nuevos teléfonos Nokia están defectuosas. Para una muestra aleatoria de 200 antenas, encuentre la probabilidad de que: a) Ninguna de las antenas esté defectuosa. b) Tres antenas o más estén defectuosas. 129.Un estudio de las cajas registradoras de Safeway Supermarket en la zona de South Strand reveló que entre 4 y 7 p.m. los fines de semana existen un promedio de cuatro clientes formados. ¿Cuál es la probabilidad de que usted visite Safeway a esa hora durante este semestre y encuentre que: a) b) c) d)
no hay clientes esperando? hay cuatro clientes esperando? cuatro clientes o menos están esperando? cuatro clientes o más están esperando?
130.Un estudio interno de Lahey Electronics; una compañía grande de desarrollo de software, reveló que, el tiempo promedio que tarda un correo electrónico en llegar a su destinatario fue de 2 segundos. Además, la distribución de los tiempos de llegada siguió la distribución de Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un mensaje tarde exactamente un segundo en llegar a su destinatario? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un mensaje tarde más de 4 segundos en llegar a su destinatario? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un mensaje no tarde casi nada, por ejemplo: “cero”, segundos en llegar a su destinatario? 131.Los reportes de los crímenes recientes indican que 3.1 de los robos de vehículos motorizados ocurren a cada minuto en los Estados Unidos. Suponga que la distribución de los robos por minuto puede calcularse con la distribución de probabilidad de Poisson. a) Calcule la probabilidad de que ocurran cuatro robos exactamente en un minuto. Kamila Kwapisz
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Probabilidad
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran robos en un minuto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos ocurra un robo en un minuto? 132.New Process Inc. un proveedor grande de ropa que ofrece ventas por correo anuncia servicios de entrega inmediata en todos sus pedidos. Recientemente el surtido de pedidos no ha funcionado como se había planeado, y se presentó un gran número de quejas. Bud Owens, director del servicio de clientes, rediseño por completo el método para manejar los pedidos. La meta es tener menos de 5 pedidos sin surtir, al final de 95% de los días hábiles. Las revisiones frecuentes de los pedidos de los pedidos sin surtir al final del día, revelaron que la distribución de éstos seguía una distribución de Poisson con una media de dos pedidos. a) ¿New Process Inc. alcanzó las metas internas deseadas? Mencione las pruebas. b) Dibuje un histograma que represente la distribución de la probabilidad de Poisson de los pedidos sin surtir. 133.La NASA ha experimentado dos desastres. El Challenger explotó sobre el océano Atlántico en 1986 y el Columbia explotó sobre el este de Texas en 2003. Se han realizado un total de 113 misiones espaciales. Utilice la distribución de Poisson para calcular la probabilidad de exactamente dos fallas. ¿Cuál es la probabilidad de que no existan fallas? 134.Enumere las características más importantes de una distribución de probabilidad normal. 135.La media de una distribución de probabilidad normal es 500; la desviación estándar es 10. a) ¿Entre qué par de valores se encuentra alrededor del 68% de las observaciones? b) ¿Entre qué par de valores se encuentra alrededor del 95% de las observaciones? c) ¿Entre qué par de valores se encuentra prácticamente la totalidad de las observaciones? 136.La media de una distribución de probabilidad normal es 60; la desviación estándar es 5. a) ¿Alrededor de qué porcentaje de las observaciones se encuentran entre 55 y 65? b) ¿Alrededor de qué porcentaje de las observaciones se encuentran entre 50 y 70? c) ¿Alrededor de qué porcentaje de las observaciones se encuentran entre 45 y 75? 137.Una población normal tiene una media de 20.0 y una desviación estándar de 4.0. a) Calcule el valor de z asociado con 25.0. Kamila Kwapisz
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Probabilidad
b) ¿Qué proporción de la población está entre 20.0 y 25.0? c) ¿Qué proporción de la población es menor que 18.0? 138.Una población normal tiene una media de 12.2 y una desviación estándar de 2.5. a) Calcule el valor de z relacionado con 14.3. b) ¿Qué proporción de la población está entre 12.2 y 14.3? c) ¿Qué proporción de la población es menor que 10.0? 139.Un estudio reciente de los salarios por hora de integrantes de equipos de mantenimiento de las aerolíneas más importantes demostró que el salario medio por hora era de $20.50, con una desviación estándar de $3.50. Si seleccionamos a un miembro de un equipo al azar ¿cuál es la probabilidad de que este individuo perciba: a) entre $20.50 y $24 por hora? b) más de $24 por hora? c) menos de $19 por hora? 140.La media de una distribución normal es 400 libras. La desviación estándar es 10 libras. a) ¿Cuál es el valor del área entre 415 libras y la media de 400 libras? b) ¿Cuál es el valor del área entre la medía y 395 libras? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que tiene un valor menor de 395 libras? 141.Una distribución normal tiene una media de 50 y una desviación estándar de 4. a) Calcule la probabilidad de un valor entre 44.0 y 55.0. b) Calcule la probabilidad de un valor mayor que 55.0. c) Calcule la probabilidad de un valor entre 52.0 y 55. 142. Una población normal tiene una media de 80.0 y una desviación estándar de 14.0. a) Calcule la probabilidad de un valor entre 75.0 y 90.0. b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 o menos. c) Calcule la probabilidad de un valor entre 55.0 y 70.0. 143.Una máquina expendedora de bebidas de cola está ajustada para servir un promedio de 7.00 onzas por vaso. La desviación estándar es 0.10 onzas. La distribución de cantidades servidas sigue una distribución normal. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina sirva entre 7.10 y 7.25 onzas de bebida de cola? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina sirva 7.25 onzas o más? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina sirva entre 6.80 y 7.25 onzas de bebida de cola? 144.Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos caseros en Kamila Kwapisz
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Down River Federal Savings siguen la distribución normal con una media de $70 000 y una desviación estándar de $20 000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad: a) de que el monto solicitado sea $80 000 o más? b) de que el monto solicitado esté entre $65 000 y $80 000? c) de que el monto solicitado sea $65 000 o más? 145.WNAE, una estación de AM totalmente dedicada a transmitir noticias, encuentra que la distribución de tiempo que los radioescuchas sintonizan la estación sigue la distribución normal. La media de la distribución es 15.0 minutos y la desviación estándar es de 3.5. ¿Cuál es la probabilidad de que un radioescucha en particular sintonice la estación en: a) más de 20 minutos? b) por 20 minutos o menos? c) entre 10 y 12 minutos? 146.El salario inicial medio para graduados de la universidad en la primavera del año 2004 era de 36 280 dólares. Suponga que la distribución de los salarios iniciales sigue la distribución normal con una desviación estándar de $3 300. ¿Qué porcentaje de los graduados tienen salario inicial de: a) entre $35 000 y $40 000? b) de más de $45 000? c) entre $40 000 y $45 000? 147.Una distribución normal tiene una media de 50 y una desviación estándar de 4. Determine el valor por debajo del cual ocurrirán 95% de las observaciones. 148.Las ventas mensuales de mofles en el área de Richmond, Virginia, siguen la distribución normal con una media de 1 200 y una desviación estándar de 225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario tales que exista una posibilidad de sólo 5% de que se agoten las existencias. ¿Dónde debería establecer el fabricante los niveles de inventario? 149.Suponga una distribución de probabilidad binomial con n = 50 y p = 0.25. Calcule lo siguiente: a) La desviación media y la desviación estándar de la variable aleatoria. b) La probabilidad de que X sea 15 o menor. c) La probabilidad de que X sea 10 o menor. 150.Suponga una distribución de probabilidad binomial con n = 40 y p = 0.55. Calcule lo siguiente: a) b) c) d)
La desviación media y la desviación estándar de la variable aleatoria. La probabilidad de que X sea 25 o mayor. La probabilidad de que X sea 15 o menor. La probabilidad de que X esté entre 15 y 25 inclusive.
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151.Dottie's Tax Service se especializa en declaraciones de impuesto sobre la renta de clientes profesionistas, como médicos, dentistas, contadores y abogados. Una auditoría reciente de las declaraciones que elaboraba que llevó a cabo el IRS (Sistema de Administración Tributaria de Estados Unidos) indicó que en 5% de las declaraciones que había elaborado durante el último año tenían errores. Suponiendo que este índice continúe hacia el año en curso y que Dottie's elabora 60 declaraciones, ¿cuál es la probabilidad de que corneta errores en: a) más de seis declaraciones? b) seis declaraciones cuando menos? c) seis declaraciones exactamente? 152.Los pesos de los Jamones enlatados que se procesan en la compañía Heriline Ham siguen una distribución normal con una media de 9. 20 libras y una desviación estándar de 0. 25 Libras. En la etiqueta se especifica un peso de 9.00 libras. a) ¿Qué proporción de los jamones pesan en realidad menos que lo especificado en la etiqueta? b) El dueño Glen Heniles está considerando dos propuestas para reducir la proporción de jamones por abajo del especificado en la etiqueta. Puede incrementar el peso medio a 9.25 y dejar igual la desviación estándar, o puede dejar el peso medio en 9.20 y reducir la desviación estándar de 0.25 a 0.15 libras. ¿Que cambio recomendaría usted? 153.La mayor parte de los arrendamientos de automóviles a cuatro años permiten hasta 60 000 millas. Si el arrendado rebasa esa cantidad, se agrega una sanción de 20 centavos por milla al costo del arrendamiento. Suponga que la distribución de millas manejadas en arrendamientos a cuatro años sigue la distribución normal. La media es 52 000 millas y la desviación estándar es 5 000 millas. a) ¿Qué porcentaje de los arrendamientos generará una sanción debido a un exceso en el millaje? b) SI la compañía automotriz quisiera cambiar los términos del arrendamiento de manera tal que 25 de los arrendamientos rebasaran el límite ¿dónde debería establecerse el nuevo límite superior? c) Una definición de un automóvil de bajo millaje es uno con cuatro años de antigüedad y ha sido manejado al largo de menos de 45 000 millas. ¿Qué porcentaje de los carros, devueltos son considerados como de bajo millaje? 154.El precio de las acciones del Banco de Florida al final de cada jornada de comercialización del año pasado siguió la distribución normal. Suponga que durante el año hubo 240 jornadas de comercialización. El precio medio fue de 42 dólares y la desviación estándar $2.25 por acción. a) ¿Qué porcentaje de jornadas estuvo el precio por arriba de $45? ¿Cuántas jornadas estimaría usted? b) ¿Qué porcentaje de jornadas estuvo el precio. entre $38 y $40? c) ¿Cuál fue el precio de las acciones en el 15% más alto de los días? Kamila Kwapisz
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CADENAS DE MARKOV Una cadena de markov consta de unos estados E1 E2 E3 E4…..E n. que inicialmente en un tiempo 0 o paso 0 se le llama estado inicial, además de esto consta de una matriz de transición que significa la posibilidad de que se cambie de estado en un próximo tiempo o paso. MATRIZ DE TRANSICIÓN: Una matriz de transición para una cadena de Markov de n estado es una matriz de n X n con todos los registros no negativos y con la propiedad adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1. Por ejemplo: las siguientes son matrices de transición.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA MATRIZ DE TRANSICIÓN: Es el arreglo numérico donde se condensa las probabilidades de un estado a otro. A través de una grafica de matriz de transición se puede observar el comportamiento estacionario representado por una cadena de Markov tal que los estados representan la categoría en que se encuentre clasificado. Como se aprecia a continuación:
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PROPIEDADES: 1- la suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1. 2- la matriz de transición debe ser cuadrada. 3- las probabilidades de transición deben estar entre 0 y 1 La mejor manera de entender que es una cadena de markov es desarrollando un ejemplo sencillo de estas mismas como el siguiente. Ej. 1. En un país como Mexico existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son Telcel, llusacel y movistar (estados). Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para Telcel 0.4 para Llusacel 0.25 y para movistar 0.35. (estado inicial) Se tiene la siguiente información un usuario actualmente de Telcel tiene una probabilidad de permanecer en Telcel de 0.60, de pasar a Llusacel 0.2 y de pasarse a movistar de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de Llusacel tiene una probabilidad de mantenerse en Llusacel del 0.5 de que esta persona se cambie a Telcel 0.3 y que se pase a movistar de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de movistar la probabilidad que permanezca en movistar es de 0.4 de que se cambie a Telcel de 0.3 y a Llusacel de 0.3. Partiendo de esta información podemos elaborar la matriz de transición.
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La suma de las probabilidades de cada estado en este caso operador deben ser iguales a 1 Po= (0.4 0.25 0.35)
→
estado inicial
También se puede mostrar la transición por un método grafico
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Ahora procedemos a encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la matriz de transición por el estado inicial y así sucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente anterior.
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Como podemos ver la variación en el periodo 4 al 5 es muy mínima casi insignificante podemos decir que ya se a llegado al vector o estado estable.
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Ej 2. Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas colas que son: coca cola, Pepsi cola y big cola cuando una persona a comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo de el 75%, un 15% de que compre Pepsi cola y un 10% de que compre big cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15% big cola; si en la actualidad consuma big cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre coca cola y 205 pepsi cola. En la actualidad cada marca Coca-Cola, Pepsi y big cola tienen los siguientes porcentajes en participación en el mercado respectivamente (60% 30% 10%) Elaborar la matriz de transición Hallar la probabilidad que tiene cada marca en el periodo 5 Respuesta Matriz de transición Kamila Kwapisz
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NOTA: estos ejercicios se pueden realizar en Excel utilizando la función de multiplicar matrices. Entonces
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Ej. 3 Almacenes éxito, Carrefour y Sao han investigado la fidelidad de sus clientes y han encontrado los siguientes datos: E1: Exito E2: Carrefour E3: Sao Hallar el estado estable (L)
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Repaso General 1.- Con base en su evaluación del mercado accionario, usted determina que la probabilidad de que los precios de las acciones empiecen a bajar dentro de dos meses son 50-50. A este concepto de probabilidad con base en su criterio se le llama: a) Probabilidad clásica b) Probabilidad empírica c) Probabilidad subjetiva d) Independencia 2.- Se está llevando a cabo, un estudio acerca del ausentismo en el salón de clases. En términos de estadística, al estudio se le denomina como: a) Un experimento b) Un evento Kamila Kwapisz
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c) Un resultado d) Una probabilidad conjunta 3.- En un estudio sobre el ausentismo los resultados mostraron que el lunes por la mañana se ausentaron 126 estudiantes. A este número (126) se le denomina como: a) Un experimento b) Un evento c) Un resultado d) Una probabilidad conjunta 4.- Para aplicar la regla de la adición, P(A o 8 o C) = P(A)+ P (B) + P(C), los eventos tienen que ser: a) Eventos conjuntos b) Eventos condicionales c) Eventos mutuamente excluyentes d) Eventos independientes 5.- La administración afirma que la probabilidad de un relevador defectuoso es de sólo 0.001. La regla que se utiliza para encontrar la probabilidad de que el relevador no esté defectuoso es la: a) Regla de la adición b) Regla de la multiplicación c) Regla complementaria d) Regla especial de la probabilidad 6.- La administración afirma que la probabilidad de un relevador defectuoso es de sólo 0.001. La probabilidad de que el relevador no esté defectuoso es a) 0.002 b) 0.000001 c) 0.999 d) 1.0 7.- Para una distribución de probabilidad, la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles tiene que ser igual a: a) 0.5 b) 1.0 c) 1.5 d) 1.0 8.- Las distribuciones de probabilidad binomial y de Poisson son: a) Continuas b) Ya sean discretas o continuas Kamila Kwapisz
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c) Discretas d) Normales 9.- Una distribución de probabilidad normal es: a) Simétrica alrededor d la media b) En forma de campana c) Asintótica con respecto al eje X d) Todo lo anterior. 10.- Menciona las características de una distribución Binomial 11.- Menciona las características de una distribución de Poisson 12.- Menciona las características de una distribución normal 13.- Clasifica Tipos de variables y define cada una de ellas Bibliografía
Douglas A. Lind, William G. Marchal, Samuel A. Wathen. “Estadistica Aplicada a los Negocios y a la Econompía”, Editorial McGrawHill Seymour Lipschutz, Marc Lipson. “Probabilidad”, Editorial McGrawHill Anexos Tablas http://induoperacionesdos.blogspot.mx/p/analisis-de-markov.html
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