[TÍTULO DEL DOCUMENTO] Segundo Quishpillo
30 DE MAYO DE 2018 ING. MECANICA Ejercicios de maximización y minimización
1. Gasahol, Inc. Tiene 14000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol almacenada en su instalación de Fresno y 16000 galones almacenados en su instalación de Bakersfield. Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a Fresh Food Farms (FFF) 10000 galones y a American Growers (AG) 20000 galones. El costo de embarcar un galón desde cada instalación de almacenado cada cliente es:
HACIA FFF $0.04 $0.05
DE Fresno Bakersfield
AG $0.06 $0.03
Formule el modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque de costo mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y demanda. A) Solución: DEMANDA Fresh Food Farms American Growers
10000 20000
= ℎ = = ℎ =
: = 0.04 0.04 + 0.06 0.06 + 0.05 0.05 + 0.03 0.03 : + ≥ 10000 10000 ℎ + ≥ 20000 + ≤ 14000 + ≤ 16000 , , , ≥ 0
Resolución atreves del programa tora
1. Gasahol, Inc. Tiene 14000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol almacenada en su instalación de Fresno y 16000 galones almacenados en su instalación de Bakersfield. Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a Fresh Food Farms (FFF) 10000 galones y a American Growers (AG) 20000 galones. El costo de embarcar un galón desde cada instalación de almacenado cada cliente es:
HACIA FFF $0.04 $0.05
DE Fresno Bakersfield
AG $0.06 $0.03
Formule el modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque de costo mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y demanda. A) Solución: DEMANDA Fresh Food Farms American Growers
10000 20000
= ℎ = = ℎ =
: = 0.04 0.04 + 0.06 0.06 + 0.05 0.05 + 0.03 0.03 : + ≥ 10000 10000 ℎ + ≥ 20000 + ≤ 14000 + ≤ 16000 , , , ≥ 0
Resolución atreves del programa tora
Respuestas = 1000 10000 0 = 4000 000 = 0 = 1600 16000 0 = 112000 100 100 = 1120 120
2. HealthNut Company está desarrollando una nueva barra de mantequilla de cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas, pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total mínimo, basándose en los siguientes datos:
MANTEQUILLA CACAHUATE Costo($/oz) Proteínas (g/oz) Carbohidratos (g/oz) Grasas saturadas (g/oz)
0.1 4.00 2.50 2.00
DE
CHOCOLATE
0.18 0.80 1.00 0.50
A) Solución: = ℎ = ℎ
: = 0.01 + 0.18 : 4 + 0.8 ≥ 5 ℎ 2.5 + ≤ 5 2 + 0.5 ≤ 3 , ≥ 0
Resolución a través del programa tora
Respuestas = 1,25 = 0 = 1,25 10 10 = 0,125
3. HealthNut Company tiene una máquina que muele semillas de Psyllium hasta producir un polvo fino a una velocidad de 30 lb por hora. La compañía también usa la máquina para hacer crema de cacahuate con cacahuates tostados a una velocidad de 60 lb por hora. El tiempo de fijación para cambiar la máquina de un producto al otro es despreciable. La demanda mensual y los costos de mantenimiento de inventario de cada producto se muestran en la tabla siguiente:
Mayo Junio Julio
DEMANDA
COSTO DE MANTENIMIENTO
CREMA DE PSYLLIUM CACAHUATE 400 600 450 700 500 650
CREMA DE PSYLLIUM CACAHUATE 0.10 0.05 0.10 0.05 0.12 0.05
El inventario inicial para cada producto a principios de mayo es 0 y también debe ser 0 afínales de julio. En ningún momento el inventario de Psyllium puede exceder las 1.000 libras ni la mantequilla de cacahuate las 500 libras. Asimismo, cada mes hay 20 hs. de tiempo de máquina disponible. Formule un programa lineal para determinar un plan de producción para los meses de mayo, junio y julio que minimice los costos totales de almacenamiento, suponiendo que satisface la demanda al final de cada mes y que los costos de mantenimiento de existencia se basan en la cantidad del inventario a principios del mes. 1) Solución:
= ℎ = = ℎ = ℎ = ℎ = ℎ ℎ = ℎ ℎ = ℎ ℎ = = = =
= = = =
= ℎ = ℎ = ℎ = ℎ
: = 0.1 + 0.1 + 0.12 + 0.05 + 0.05 + 0.05
:
= 0 = + 30 − 600 = + 30 − 700 = + 30 − 650 = 0
=0 = + 60 − 400 = + 60 − 450 = + 60 − 500 =0
, , , , ≤ 1000 , , , , ≤ 500 + ≤ 20 + ≤ 20 + ≤ 20 , , , , , , , , , , , , , ≥ 0
Resolución en el programa tora
Respuestas Como nos podemos fijar el mínimo de la función es en cero con un valor dual de cero es decir que no existen restantes por lo que la solución óptima es en los inventarios igual a cero.
, , , , , , , = 0
Por lo tanto : = 0.1 + 0.1 + 0.12 + 0.05 + 0.05 + 0.05 = 0 Ejercicio 3.4 FMR Company tiene una maquina capaz de fabricar tubos de diámetros grandes y
pequeños para contratista de plomería. Los tubos grades se producen a una velocidad de 200 pies por hora y los pequeños a 300 pies por hora. Cada hora que la maquina es utilizada para producir tubos grandes generalmente ocasiona 1.5 atascamientos y cuando se producen tubos pequeños resultan 3 atascamientos por hora. Cada atascamiento requiere aproximadamente 5 minutos de restablecimiento durante los cuales la maquina no puede producir tubos. La gerencia desea un número igual de pies de ambos tamaños de tubos y la mayor cantidad total de tubos posible. Formule un modelo para determinar cuánto tiempo de un día de 8 horas debe asignarse a la producción de tubos grandes y cuanto a la de tubos pequeños. Para las variables de decisión, use el número de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños y grandes. Variables de Decisión:
TP= Cantidad de pies de tubos pequeños. TG= Cantidad de pies de tubos Grandes. CHP= Cantidad de horas que se producen tubos pequeños CHG= Cantidad de horas que se producen tubos pequeños. Función Objetivo: MAX (TP + TG) Restricciones de producción:
TP = TG CHP >= 0 CHG >= 0 TP = 300* CHP – 0.25*300 * CHP TG = 200* CHG – 0.125*200*CHG CHP+CHG <= 8 TP, TG, CHP y CHG >= 0.
Ejercicio 3.5 repita el ejercicio 3.4 usando la fracción de 8 horas de tiempo de maquina que
dedicara a fabricar tubos pequeños y grandes como las variables de decisión. Variables de Decisión:
P: fracción de las 8 hs. que se utiliza para fabricar tubos pequeños. G: fracción de las 8 hs. que se utiliza para fabricar tubos grandes. Función Objetivo: MAX = 1800*P Restricciones de producción:
1800*P - 1400*G = 0 P+G=1 P Y G >= 0.
Ejercicio 3.6 repita el ejercicio 3.4 usando el número de pies de tubos pequeños y grandes para
fabricar en 8 horas de tiempo de maquina como las variables de decisión. Variables de Decisión:
P: número de pies de tubos pequeños a fabricar en 8 hs. G: número de pies de tubos grandes a fabricar en 8 hs. Función Objetivo: MAX = P Restricciones de producción:
P-G=0 P/200 + G/300 <= 8 P Y G >= 0.
Ejercicio 3.7 en explosives, Inc. Se mezclan azufre, carbón y salitre para producir pólvora. El
producto final debe contener al menos 10% pero no mas de 20%, de carbón por unidad de peso. La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la cantidad de carbón usado. Para evitar una explosión accidental, la suma de 50% del azufre más 60% del carbón mas 30% del salitre usados no pueden exceder 35% del producto final. El azufre con mucho el componente mas caro. Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ingrediente que debe utilizarse para producir cada libra de pólvora que satisfaga las restricciones y, a la vez, que requiera la menor cantidad de azufre. Variables de Decisión:
A: porcentaje de azufre a utilizar para producir una libra de pólvora. C: porcentaje de carbón a utilizar para producir una libra de pólvora. S: porcentaje de salitre a utilizar para producir una libra de pólvora. Función Objetivo: MIN = C. Restricciones:
A>=0.10 B>=0 C>=0 D>=0 A<=0.20 B<=0.50 0.5*C+0.6*A+0.3*B<=0.35*D B<=0.50*A A,B,C y D >= 0
3.8 Case Chemicals diluye cada litro de ácido sulfúrico concentrado con 20 litros de agua destilada para producir H2SO4. De manera similar, cada litro de ácido clorhídrico concentrado se diluye con 30 litros de agua destilada para producir HCl. Estos dos productos son vendidos a escuelas de segunda enseñanza a $0.10 por botella de 100 mililitros (esto es, 0.1 litros). La
compañía actualmente tiene 50000 botellas vacías en inventario. Suponga que existe una cantidad virtualmente ilimitada de agua destilada que cuesta $0.15 por litro y que se dispone de los siguientes datos:
Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ácido concentrado por diluir para maximizar las ganancias totales. ¿Puede resolver este modelo como un programa lineal? Explique. Variables de Decisión:
X1: cantidad en litros de ácido sulfúrico concentrado para diluir. X2: cantidad en litros de ácido clorhídrico concentrado para diluir. Función Objetivo:
MAX :
Z= [21-(12+0.15*20)] X1 + [31-(18+0.15*30)] X2 Z= 6X1 + 8.5X2
Restricciones:
21 X1+31 X2 <= 500 X1 <= 200 X2 <= 150 Restricciones de no negatividad
X1 y x2 >= 0
Solución:
X1= 200 X2= 25.81 La cantidad de litros de ácido sulfúrico concentrado para diluir son 200, mientras que la cantidad en litros de ácido clorhídrico concentrado para diluir es de 25.81.
3.9 ManuMania Company usa una base y dos productos de goma, todos en cantidades iguales, para producir su Gooey Gum. La compañía puede producir un total combinado de hasta 800 libras de la base y dos productos de goma. De manera alternativa, puede comprar estos ingredientes en el mercado abierto en las siguientes cantidades de dólares por libra:
Formule un modelo para determinar el plan de producción de costo mínimo/compra para satisfacer una demanda de 1200 libras de Gooey Gum. Variables de Decisión:
X1: cantidad en libras de base que se debe producir. X2: cantidad en libras de base que se debe comprar. X3: cantidad en libras de producto-1 que se debe producir. X4: cantidad en libras de producto-1 que se debe comprar. X5: cantidad en libras de producto-2 que se debe producir. X6: cantidad en libras de producto-2 que se debe comprar. Función objetivo:
MIN:
Z= 1.75*X1 + 2*X2 + 2.25*X3 + 3*X4 + 3.25*X5 +3.75*X6;
Restricciones:
X1+X3+X5 <= 800; X1+X2+X3+X4+X5+X6 >= 1200; X1+X2 = X3+X4; X3+X4 = X5+X6; X1+X2 = X5+X6; Restricciones de no negatividad:
X1, X2, X3, X4, X5 y X6 >= 0
Solucion:
X1=400 X2=0 X3=400 X4=0 X5=0 X6=40
3.10 Cada semana, Florida Citrus, Inc., usa una sola máquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y toronja en concentrados almacenados en dos tanques separados de 1000 galones antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero solo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6.00 por galón. Cada galón de jugo de toronja cuesta $2.00 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronja se vende después en $8.00 por galón. Formule un modelo de programación lineal para determinar un plan producción que maximice la ganancia para la siguiente semana usando las variables. JN= el número de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana JT= el número de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana Función Objetivo:
MAX:
Z= (0.7*6-1.5) JN + (0.75*8-2) JT Z= 2.7JN + 4JT
Restricciones:
JN/25 + JT/20 <= 150 JN <= 1000 JT <= 1000 Restricciones de no negatividad:
JN Y JT >= 0
Solucion:
JN=1000 JT=1000 EJERCICIO 3.11 Como variante del ejercicio 3.10, formule un modelo de programación lineal
para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana usando las variables:
CN= el número de galones de concentrado de naranja por producir esta semana CT= el número de galones de concentrado de toronja por producir esta semana MAXIMIZAR = 2,7 + 4
SUJETO A: 25
+
20
≤ 150
− 0,3 ≤ 1000 − 0,25 ≤ 1000
INTERPRETACION:
Como se puede observar en la imagen adjunta existen coeficiente que no exceden en mayor parte el número de galones de jugo, se debe tomar en cuenta el punto 3, donde existe un exceso de productos los cuales debemos disminuir para optimizar los recursos EJERCICIO 3.12 Como variante del ejercicio 3.10, formule un modelo de programación lineal
para determinar un plan de producción que maximice la ganancia de la siguiente semana usando las variables:
TN= el número de horas de tiempo de máquina a usarse esta semana para destilar jugo de naranja TT= el número de horas de tiempo de máquina a usarse esta semana para destilar jugo de toronja MAXIMIZAR = 2,7 + 4
SUJETO A: 25
+
20
≤ 150
− 0,3 ≤ 1000 − 0,25 ≤ 1000
INTERPRETACION:
Como se puede observar en la imagen adjunta existen coeficiente que no exceden en mayor parte el número de galones de jugo, se debe tomar en cuenta el punto 3, donde existe un exceso de productos los cuales debemos disminuir para optimizar los recursos EJERCICIO 3.13 Oklahoma Oil, Inc., debe transportar 100 000 barriles de cada uno de sus tres
campos petroleros a si tanque de almacenamiento en Oklahoma City. El petróleo puede transportarse en camiones directamente de los campos al tanque de almacenamiento a un costo de $0.03 (3ctvs) por barril por milla. Hasta 150 000 barriles petróleo también puede enviarse desde los campos mediante ductos a un eje centrar en Tulsa a un costo de $0.02 (2ctvs) por barril por milla y luego transportarse en camiones a Oklahoma City por $1 por barril. Formule un modelo para determinar el plan de embarque de costo mínimo, dadas las siguientes distancias en millas: HACIA DESDE
OKLAHOMA
TULSA
CAMPO PETROLERO 1
150
50
CAMPO PETROLERO 2 CAMPO PETROLERO 3
170 190
65 80
VARIABLES DE DECISION. 1: 1 ℎ ℎ. 2: 2 ℎ ℎ. 3: 3 ℎ ℎ. 1: 1 ℎ . 2: 2 ℎ . 3: 3 ℎ .
MINIMIZACION: = 4,5 + 5,1 + 5,7 + + 2,3 + 2,6
SUJETO A: + ≤ 100000 + ≤ 100000 + ≤ 100000 + + ≤ 150000
INTERPRETACION:
Como se puede observar en la imagen todos los coeficientes de las distintas variables que presenta el problema tiene valores los cuales nos indican que aumentan en significativamente la producción y eso genera el costo mínimo requerido 14. Cajun World mezcla seis especias para fabricar un producto para atezar pescados. La siguiente tabla proporciona el costo de cada especia y los porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en el producto final:
ESPECIA Cayena Pimienta negra Semillas de hinojo Polvo de cebolla Ajo Orégano
COSTO ($/gm) MÍNIMO (%) 0,02 18 0,025 15 0,082 12 0,025 16 0,028 12 0,075 14
MÁXIMO (%) 20 18 14 20 15 18
Formule un programa lineal para determinar la cantidad de cada especia utilizada para producir cada kilogramo de producto que minimice el costo total. SOLUCIÓN
Variables: C: Cayena a utilizar por 1 kg. de producto. P: Pimienta negra a utilizar por 1 kg. de producto. S: Semillas de hinojo a utilizar por 1 kg. de producto. PO: Polvo de cebolla a utilizar por 1 kg. de producto. A: Ajo a utilizar para por 1 kg. de producto. O: Orégano a utilizar por 1 kg. de producto. MÍN: = 0.02 + 0.025 + 0.082 + 0.025 + 0.028 + 0.075 SUJETO A: + + + + = 1 ≥ 0.18 ≤ 0.2 ≤ 0.15 ≤ 0.18 ≤ 0.12 ≤ 0.14 ≤ 0.16 ≤ 0.2 ≤ 0.12 ≤ 0.15 ≤ 0.14 ≤ 0.18
SOLUCIÓN EN TORA
ITER. 1
EL PROBLEMA SE RESUELVE DESPUES DE 8 ITERACIONES ITER. 8
PARA UN = 0.11
15. Incredible Indelible Ink Company mezcla tres aditivos A1, A2 y A3 a una base en diferentes proporciones para obtener diferentes colores de tinta. La tinta roja se obtiene mezclando A1, A2 y A3 en la proporción de 3,1, 2; la tinta azul en la proporción de 2, 3, 4 y la tinta verde en la proporción de 1, 2, 3. Después de mezclar estos aditivos, se añade una cantidad igual de base para cada color: La compañía actualmente tiene 1000 galones de A1, 1500 de A2, 2000 de A3 y 4000 de base. Dado que el precio de venta por galón de cada tipo de tinta es el mismo, desarrolle un modelo para determinar cómo deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos. SOLUCIÓN
Variables R = Cantidad de galones de tinta roja producidos B = Cantidad de galones de tinta azul producidos G = Cantidad de galones de tinta verde producidos MÁX: = + + SUJETO A: + + ≤ 1000 + + ≤ 1500 + + ≤ 2000
SOLUCIÓN EN TORA
EL PROBLEMA SE RESUELVE EN DOS ITERACIONES
PARA UN á = 1000
16. El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de desarrollar un plan nacional de energía para el año siguiente. Lilliput puede generar energía de cualquiera de cinco fuentes: carbón, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo. Los datos sobre los recursos de energía, las capacidades de energía medidas en megawatthora(MW-hs), y los costos unitarios de generación se dan en la siguiente tabla.
Lilliput necesita 50000 MW-hs de energía de uso doméstico, y el país tiene un compromiso para producir 10000MW-hs para exportación. Más aún, a fin de conservar los recursos de energía y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones: 1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energía total generada por Lilliput; 2. Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad d las plantas de carbón; 3. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites especificados en la tabla; 4. La cantidad de energía generada a partir de gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir de petróleo; Capacidades de generación y costos FUENTE DE ENERGIA CAPACIDAD TOTAL (MW-hr) Carbón 45 000 Gas natural 15 000 Nuclear 45 000 Hidroeléctrica 24 000 Petróleo 48 000
COSTO DE GENERACION ($/MW-hr) 6.0 5.5 4.5 5.0 7.0
Datos de polución en la generación de energía FUENTE DE CONTAMINANTE (gm/ MW-hr) ENERGIA DIÓXIDO DE MONÓXIDO DE PARTÍCULAS DE DESECHOS AZUFRE CARBONO POLVO SÓLIDOS Carbón 1.5 1.2 0.7 0.4 Gas natural 0.2 0.5 Nuclear 0.1 0.2 0.7 Hidroeléctrica Petróleo 0.4 0.8 0.5 0.1 Kg máximos 75 60 30 25 permitidos Formule un programa lineal para determinar un plan de energía de costo mínimo. SOLUCIÓN
Variables
=C: cantidad de energía generada de carbón (MW-hs). =G: cantidad de energía generada de gas natural (MW-hs). =N: cantidad de energía generada de nuclear (MW-hs). =H: cantidad de energía generada de hidroeléctrica (MW-hs). =P: cantidad de energía generada de petróleo (MW-hs).
MÍN: = 6 + 5,5 + 4,5 + 5 + 7
SUJETO A: 1,5 + 0,2 + 0,4 ≤ 75000 1,2 + 0,5 + 0,1 + 0,8 ≤ 60000
0,7 + 0,2 + 0,5 ≤ 30000 0,4 + 0,7 + 0,1 ≤ 75000 ≤ 36000 ≤ 45000 ≤ 15000 ≤ 45000 ≤ 12000 ≤ 24000 ≤ 48000
SOLUCIÓN EN TORA
ITER. 1
